On solvability of the inverse problem for the one-dimensional parabolic equation with unknown time-dependent coefficient under integral observation

Full Text

Введение

Статья посвящена исследованию разрешимости задачи, которую будем называть задача К, состоящей в нахождении пары функций $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ таких, что в области $Q_T\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$U_t-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x+p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1)

выполняются начальное и краевые условия

$U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (2)

$\begin{array}{l}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0,}\hfill \\ a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0,}\hfill \end{array}$ (3)

а также условие переопределения

${\displaystyle {\int }_0^l}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (4)

Функции $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{H}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$ заданы в $Q_T\mathrm{,}$ причем $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ всюду в ${\overline{Q}}_T$, $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\alpha }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\beta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$ заданы в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ и $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ для всех $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ тогда как $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ подлежит определению.

Интерес к обратным задачам с неизвестным коэффициентом, зависящим лишь от переменной времени, связан с тем фактором, что такие ситуации возникают в различных приложениях, например, в задачах управления [1$–$3], в задачах со свободной границей [17].

Особенностью задачи $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}--\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ являются нелокальные краевые условия.

Условия вида $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ возникают при изучении различных процессов тепломассопереноса, термоупругости, а также тесно связаны с задачами управления. Примеры, иллюстрирующие эти утверждения, можно найти в [16], а также в статьях, ссылки на которые содержатся в списке литературы отмеченной статьи.

Заметим, что нелокальные краевые условия $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ являются обобщением краевых условий статьи [3], которые, в свою очередь, являются обобщением условий (S) Стеклова [18], возникающих при исследовании процесса остывания твердого тела:

${\alpha }_{11}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{12}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{11}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{12}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\alpha }_{21}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{22}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{21}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{22}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где ${\alpha }_{ij}\mathrm{,}{\beta }_{ij}$ $—$ числа. Эта статья, по-видиммому, является первой статьей, посвященной исследованию разрешимости задачи для уравнения теплопроводности с условиями $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которые гораздо позднее стали называть нелокальными условиями.

Таким образом, условия $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ изучаемой задачи можно интерпретировать как возмущенные (в силу присутствия интегральных слагаемых) обобщения условий Стеклова.

Условие переопределения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет интегральное представление, и его естественно понимать как результат действия некоего прибора [19], дающего информацию о среднем значении искомого решения. Обратные задачи с интегральным условием переопределения рассматривались в работах Камынина [7$–$9], но в них задан интеграл по переменной времени $t$. В нашей работе условие переопределения представляет собой интеграл по пространственной переменной.

Нелинейные обратные задачи с неизвестными коэффициентами, зависящими от переменной времени, изучались различными методами многими авторами. Отметим как наиболее близкие по виду условия переопределения, кроме упомянутых уже [1$–$9] еще и работы [10; 11].

1. Разрешимость задачи К

Начнем исследование задачи К с выполнения преобразований

$r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo>\{</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^t}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>\}</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (5)

Тогда, если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение задачи К, то введенные в (5) новые функции удовлетворяют равенствам

$u_t-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (6)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (7)

$\begin{array}{l}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0,}\hfill \\ a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0,}\hfill \end{array}$ (8)

$r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{-1}{\displaystyle {\int }_0^l}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (9)

Из (6)$–$(9) видно, что преобразования (5) сводят коэффициентную и, стало быть, нелинейную, задачу К к линейной обратной задаче определения источника, другими словами, правой части уравнения (6). Назовем ее задача R. Если окажется, что существует решение $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи R, то решение задачи К может быть получено с помощью обратных к (5) преобразований

$U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{r^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (10)

Уточним понятие решений задач. Начнем с задачи К.

Определение 1. Решением задачи K будем называть пару функций $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}U\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ таких, что $U\in W_2^{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $p\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ для всех $v\in {\widehat{W}}_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливо тождество

${\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{U}_{t}v+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}_x{v}_x+p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dxdt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_{2}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{2}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_{1}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{1}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt$ (11)

и выполняется равенство

${\displaystyle {\int }_0^l}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{,}{a}_t\mathrm{,}c\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{Q}}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\alpha }_i\mathrm{,}{\beta }_i\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\phi \in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{,}{H}_i\mathrm{,}{H}_{it}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{Q}}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}E\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0\forall t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

$c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

$d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }^2+2{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\xi \eta -{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }^2\le \mathrm{0,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Тогда существует единственное решение $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи K.

Доказательство Теоремы 1 базируется на факте разрешимости задачи R и будет предъявлено после того, как мы докажем существование единственного решения задачи R, принадлежащего нужному нам пространству, что мы уточним ниже. Поэтому перейдем к исследованию задачи R.

1.1. Разрешимость задачи R

Определение 2.

Решением задачи R будем называть пару функций $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ таких, что $u\in W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $r\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, для всех $v\in {\widehat{W}}_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливо тождество

${\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-u{v}_t+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x{v}_x+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dxdt+{\displaystyle {\int }_0^l}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+$

$+{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_{1}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_{1}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt$ (12) 

и выполняется равенство

${\displaystyle {\int }_0^l}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (13)

Теорема 2. Пусть выполнены условия Теоремы 1. Тогда существует единственное решение задачи R.

Доказательство.

Не ограничивая общности, положим $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Будем искать приближенные решения задачи R из соотношений:

${\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-u_n{v}_t+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{nx}{v}_x+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{n}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}vf\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{,}$ (14)

$r_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{,}$ (15)

выбрав

$u_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{l}\mathrm{.}$

В силу выбора нулевого приближения $u_0$ из (13 найдем $r_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$. Тогда для $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$ (14) представляет собой тождество, определяющее обобщенное решение нелокальной прямой задачи N в $Q_T$, состоящей в нахождении решения уравнения

$u_t-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

удовлетворяющего начальным данным

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

и нелокальным условиям

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Разрешимость в $W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ этой задачи доказана в [25], поэтому существует единственная функция $u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющая тождеству (12).

Тогда мы можем найти $r_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (15), причем очевидно, что $r_2\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Действительно,

$r_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{,}$

откуда с помощью неравенства Коши $—$ Буняковского получим

$r_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \frac{l}{E^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{.}$

Интегрируя полученное неравенство по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и учитывая, что $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ всюду в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и там же непрерывна, а следовательно, найдется положительное число $E_0$ такое, что ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{E}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo><</mo>}{E}_0\mathrm{,}$ приходим к неравенству

${\displaystyle {\int }_0^T}{r}_2^{2}dt\le E_0{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{,}$

из которого в силу принадлежности $u_1\in W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ следует ограниченность интеграла ${\displaystyle {\int }_0^T}{r}_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$

На следующем шаге заметим, что $f{r}_2\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Действительно, так как $f\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{Q}}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то существует $k\mathrm{<mo>></mo>0}$ такое, что $\underset{Q_T}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo>|</mo>}\le \sqrt{k}$, тогда

${\displaystyle {\int }_0^T}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le k{\displaystyle {\int }_0^T}{r}_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}$

и в силу доказанной выше принадлежности $r_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пространству $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ убеждаемся в справедливости утверждения.

Продолжив этот процесс, мы построим последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}{r}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$.

Покажем теперь, что эти последовательности сходятся. Для этого воспользуемся результатами статьи [25], немного модифицировав в ней оценку.

Приведем кратко вывод априорной оценки решения задачи N в нужной нам форме и представим его в виде Леммы.

Лемма 1. Решение задачи N, принадлежащее пространству $W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяет неравенству

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}u{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \sqrt{\epsilon }M\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}f{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

где число $M\mathrm{<mo>></mo>0}$ и будет уточнено при доказательстве.

Доказательство. В [25] доказано существование функции $u\in W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая является решением задачи N. Существенную роль в доказательстве играет полученная априорная оценка. Оставляя неизменными основные этапы вывода этой оценки, внесем в нее некоторые коррективы. Для наглядности приведем здесь коротко вывод равенства, из которого получена оценка.

Приближенное решение задачи N ищется в виде

$u^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{c}_{km}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $w_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ фундаментальная система в $W_2^{\mathrm{1,0}}$ из соотношений

${\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_t^m{w}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x^m{w}_i^{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m{w}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}dx-$

$-w_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_1{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+$

$+w_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_2{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{.}$ (16)

В результате преобразований, которые подробно проделаны в [25], и здесь их опустим, получим

$\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dt-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dt+2{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{.}$ (17)

В силу условий теоремы 1 существуют положительные числа $a_0\mathrm{,}{b}_0\mathrm{,}{c}_0\mathrm{,}{h}_0$ такие, что

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge a_0\mathrm{,}\underset{{\overline{Q}}_T}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}c\mathrm{<mo>|</mo>}\le c_0\mathrm{,}\underset{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}{\alpha }_i\mathrm{,}{\beta }_i\mathrm{<mo>|</mo>}\le b_0\mathrm{,}\underset{i}{{\displaystyle \max }}\underset{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\displaystyle \max }}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_i^{2}dx\le h_0\mathrm{.}$

Оценим правую часть равенства (17), применив неравенства Коши, Коши $—$ Буняковского, учитывая условие $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ii\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ Теоремы 1, а также используя неравенства, выведенные в [25]

${\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\le \frac{a_0}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt+\frac{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>2}l+a_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a_{0}l}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\mathrm{,}$

${\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \frac{a_0}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt+\frac{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>2}l+a_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a_{0}l}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\mathrm{,}$

получим

${\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx+a_0{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\le$

$\le 2c_1{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt+\mathrm{2<mo>|</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{<mo>|</mo>,}$ (18)

где

$c_1\mathrm{<mo>=</mo>}{c}_0+h_0+\frac{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>2}l+a_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a_{0}l}\mathrm{.}$

Последнее слагаемое (18) оценим с помощью неравенства "Коши с $\epsilon$ " и получим

${\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx+a_0{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\le$

$\le c_2{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt+\epsilon {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{,}$ (19)

где

$c_2\mathrm{<mo>=</mo>2}{c}_1+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{.}$

Усилим неравенство (19), прибавив к его правой части слагаемое

$c_2{a}_0{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\mathrm{,}$ что приводит к неравенству

${\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx+a_0{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\le$

$\le c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt++a_0{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+\epsilon {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{f}^{2}dxdt\mathrm{.}$ (20)

Заметим, что справедливо равенство

$\frac{\partial }{\partial \tau }{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\mathrm{,}$

и поэтому к (20) можно применить лемму Гронуолла [26], что приводит к неравенству:

${\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx+a_0{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt\le \epsilon e^{c_2\tau }{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{f}^{2}dxdt\mathrm{,}$ (21)

которое выполняется для всех $m$ и для всех $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, при этом правая его часть от $m$ не зависит. Тогда для решения задачи N, которое есть слабый предел последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>,}$ справедливо неравенство

${\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx+a_0{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\le \epsilon e^{c_2\tau }{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{.}$ (22)

Из последнего неравенства имеем:

${\displaystyle {\int }_0^l}{u}^{2}dx\le \epsilon e^{c_2\tau }\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}f{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{,}$

$a_0{\displaystyle {\int }_0^l}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}_x^{2}dxdt\le \epsilon e^{c_2\tau }\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}f{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{.}$

Интегрируя первое из них по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, извлекая квадратный корень, а затем складывая, получим

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}u{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \sqrt{\epsilon M}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}f{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (23)

где

$M\mathrm{<mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}\frac{e^{c_{2}T}}{a_0}\mathrm{,}\frac{e^{c_{2}T}-1}{c_2}\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Вернемся к обратной задаче. Для каждого $n$ функция $u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением прямой задачи с правой частью $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, но тогда справедливо неравенство (23) и, учитывая, что $\underset{{\overline{Q}}_T}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \sqrt{k}k\mathrm{,}$ получим

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}u{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \sqrt{kM}\sqrt{\epsilon }\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{r}_n{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (24)

Из равенства (23) следует неравенство

$r_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{E^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\le E_{0}l{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_{n-1}^{2}dx\mathrm{,}$

интегрируя которое получим

${\displaystyle {\int }_0^T}{r}_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le E_{0}l{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_{n-1}^{2}dxdt\mathrm{.}$

откуда следует неравенство

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{r}_n{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \sqrt{E_{0}l}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{u}_{n-1}{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (25)

Из (24) и (25) следует:

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{u}_n{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \sqrt{kM}\sqrt{\epsilon }\sqrt{E_{0}l}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{u}_{n-1}{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{r}_n{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \sqrt{kM}\sqrt{\epsilon }\sqrt{E_{0}l}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{r}_{n-1}{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Обозначим

$s\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{Mk{E}_{0}l}\mathrm{.}$

Тогда

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{u}_n{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le s\sqrt{\epsilon }\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{u}_{n-1}{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{W_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (26)

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{r}_n{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le s\sqrt{\epsilon }\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{r}_{n-1}{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (27)

Выберем $\epsilon$ так, чтобы $s\sqrt{\epsilon }\mathrm{<mo><</mo>1}$. Тогда (26) и (27) образуют бесконечно убывающие геометрические прогрессии, а значит, сходятся при $n\to \infty$. Из этого следует, что обе последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}{r}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ сходятся по норме в соответствующих пространствах, и предел каждой последовательности единственный. Но из сильной сходимости (по норме) следует слабая сходимость. Переходя к пределу в (14) и (15), получаем, что предельные функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ образуют решение задачи R.

Покажем теперь, что некоторые дополнительные условия гарантируют принадлежность $u\in$ $\in W_2^{\mathrm{1,1}}{Q}_T\mathrm{,}r\in W_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Лемма 2. Условия теоремы 1 гарантируют принадлежность решения задачи $R$ пространству $W_2^{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Доказательство. Так как каждое приближенное решение $u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи $R$ определяется через решение прямой задачи $N\mathrm{,}$ то достаточно показать, что решение прямой задачи принадлежит $W_2^{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Умножим каждое из равенств (16) на $c_{im}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ просуммируем по $i$ от 1 до $m$, а затем проинтегрируем по $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Получим

${\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_t^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+a{u}_x^m{u}_{xt}^m+c{u}^m{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dxdt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t+\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{.}$ (28)

Преобразуем (28), интегрируя некоторые из слагаемых.

$\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}a{u}_x^m{u}_{xt}^{m}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{a}_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^l}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx\mathrm{<mo>;</mo>}{}_{}{}_{}{}_{}$

$\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dt-\frac{1}{2}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo>;</mo>}{}_{}$

$\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-{}_{}{}_{}{}_{}$

$-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{{\alpha }^{\prime }}_2{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$

$\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{{\beta }^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dt+\frac{1}{2}{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}\tau {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo>;</mo>}{}_{}$

$\mathrm{5<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_{1t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-u^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>;</mo>}$

$\mathrm{6<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_{2t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-u^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{.}$

Подставим полученные выражения в (28), учтя условие ${\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$

${\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_t^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^l}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dx\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{a}_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dxdt-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}c{u}^m{u}_t^{m}dxdt-$

$-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{{\alpha }^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dt+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\beta }_{2^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dt+{\displaystyle {\int }_0^{tau}}{{\alpha }^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+$

$+\frac{1}{2}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2}{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}\tau {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-$

$-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_{1t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt+$

$+u^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_{2t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt+u^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+$