DETERMINATION OF THE COEFFICIENTS OF ASYMPTOTIC CRACK—TIP STRESS EXPANSION. MIXED MODE LOADING OF THE PLATE

Full Text

Введение

Хрупкое разрушение в твердом деформируемом теле и рост трещины в нем определяются полем напряжений вокруг вершины трещины и параметрами, описывающими сопротивление материала росту трещины. Поэтому одной из актуальных задач современной механики хрупкого разрушения является определение напряженно-деформированного состояния у вершины трещины или надреза в линейно-упругом изотропном материале. Несмотря на то что данная проблема линейной механики разрушения относится к хорошо известным задачам, получившим целый класс известных решений для тел с различными конфигурациями и системами нагрузок [1–3], остается еще много вопросов, и сейчас различным аспектам хрупкого разрушения посвящается большое количество исследований [4]. В настоящее время при оценке полей напряжений, деформаций и перемещений вблизи вершины трещины или надреза прибегают к аналитическим, численным и экспериментальным методам. В хрупких материалах, проявляющих линейное упругое поведение, для получения аналитического распределения напряжений и перемещений в телах с дефектами используются методы теории упругости. К таким методам относятся аналитические, такие как методы теории функции комплексного переменного и метод интегральных преобразований. Одной из широко используемых в механике разрушения техник является метод разложения по собственным функциям. Впервые аналитическое решение в рядах было получено М. Уильямсом [5; 6]. Далее, подход, основанный на методе разложения по собственным функциям, получил развитие во многих работах [7–12] и продолжает оставаться часто применяемым методом получения аналитических решений.

В работах М. Уильямса получено асимптотичеиское представление поля напряжений, формально содержащее бесконечное количество слагаемых. Ранее в разложении, как правило, удерживались только первые два слагаемых, в которые входили коэффициенты интенсивности напряжений и Т-напряжения. Однако в целой серии работ показано, что высшие приближения (регулярные слагаемые) играют существенную роль [11; 13–18]. Так, в статье [11] получено разложение асимптотических полей вершины трещины в линейно-упругом анизотропном материале. Особое внимание уделяется первым регулярным членам разложения поля напряжений (выражению для Т-напряжений). Представлено упругое решение задачи для бесконечной анизотропной плоскости, содержащей наклонную центральную трещину, подвергнутую одноосному или двухосному нагружению. При таких условиях получены точные аналитические решения для всех коэффициентов разложения у вершины трещин. Результаты показывают, что T-член является единственным параметром, зависящим от упругих констант анизотропного материала. Дана оценка зависимости Т-напряжения от свойств материала и показано, насколько существенно члены более высокого порядка, особенно Т-напряжение, и какой вклад они могут вносить в описание поля напряжения вблизи вершины трещины.

Так, в цикле работ [11; 13–18] проведен анализ полей напряжений и перемещений в различных трещинах (нагруженных как в режиме I, так и во II режиме). Основная цель исследования состояла в том, чтобы дать точную оценку полей вблизи вершины трещины, которые впоследствии могут быть использованы, например, в случае квазихрупких материалов для оценки протяженности нелинейной зоны у вершины трещины в целом и зоны процесса разрушения в частности. Значения коэффициентов высших членов степенного разложения, с помощью которых могут быть выражены механические поля, определяются регрессионным методом по результатам численных расчетов. Анализ проведен с использованием 2D-численных моделей, и используется вычислительная система ANSYS FE. Обсуждаются различные аспекты описания полей напряжений и перемещений с помощью разложения Уильямса, в частности, сходимость коэффициентов первых нескольких членов разложения ряда, их абсолютные значения и важность для точной аппроксимации напряжений.

Таким образом, представление поля напряжений с учетом высших приближений – важная задача, решение которой необходимо для правильного и точного описания поля напряжений у вершины трещины в линейно-упругом теле. В последнее время для определения коэффициентов разложения М. Уильямса в ряд используются теоретические методы, экспериментальные и численные, например, метод конечных элементов. В настоящей статье выполнена попытка построения разложения М. Уильямса и определения коэффициентов разложения с помощью МКЭ-моделирования. В статье описана проведенная процедура извлечения коэффициентов высших приближения разложения поля напряжений в ряд в окрестности вершины трещины в образцах с различной геометрией. Компьютерное моделирование процессов разрушения имеет важное инженерное значение как прогностическая способность количественно оценить разрушение материала под различными нагрузками и является весомым фактором при проектировании. Часто целью моделирования является оценка коэффициентов интенсивности напряжения (КИН), которые используются в механике для количественной оценки полей напряжения вблизи трещины в однородном материале. Их значения можно найти с помощью коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса. В случае центральной трещины в пластине, находящейся под нагрузками

Белова О.Н., Степанова Л.В. Вычисление коэффициентов асимптотического разложения поля...

42Belova O.N., Stepanova L.V. Determination of the coefficients of asymptotic crack — tip stress expansion...

моды I и моды II, напряжения вблизи вершины трещины могут быть записаны в виде разложения М. Уильямса, которое имеет вид

2

σij (r, θ) = ∑

∞

∑ amf (k) (θ)r

k

2 −1

, (1)

k

m=1 k=−∞

m,ij

k

где (r, θ) — полярная система координат с полюсом в рассматриваемой вершине трещины, am —

m,ij

коэффициенты, зависящие от геометрии и от типа и величины приложенных нагрузок; f (k) (θ) —

угловые функции, зависящие от компонент напряжения и типа нагрузки. Аналитическое представление угловых функций приведено в работе [7] и имеет следующий вид:

f (k) [(

) ( k )

( k ) ( k ) ]

2

2

1,11(θ) = k

2 + k + (−1)k

cos

2 − 1 θ −

2 − 1

cos

2 − 3 θ ,

f (k) [(

) ( k )

( k ) ( k ) ]

2

2

1,22(θ) = k

2 − k − (−1)k

cos

2 − 1 θ +

2 − 1

cos

2 − 3 θ ,

k

f (k) [(

) ( k ) ( k

k ) ( k ) ]

2

1,12(θ) = k

2 − 1

sin

2 − 3 θ −

2 + (−1)

sin

2 − 1 θ ,

(2)

f (k) [(

) ( k )

( k ) ( k ) ]

2

2

2,11(θ) = −k

2 + k − (−1)k

sin

2 − 1 θ −

2 − 1

sin

2 − 3 θ ,

f (k) [(

) ( k )

( k ) ( k ) ]

2

2

2,22(θ) = −k

2 − k + (−1)k

sin

2 − 1 θ +

2 − 1

sin

2 − 3 θ ,

k

f (k) [( ) ( k ) ( k

k ) ( k ) ]

2

2,12(θ) = k

2 − 1

cos

2 − 3 θ −

2 − (−1)

cos

2 − 1 θ .

Первые члены разложения (1) описывают асимптотическое поведение решения вблизи вершины трещины и играют важную роль в механике разрушения. Зная первые коэффициенты разложения М. Уильямса, можно вычислить значения коэффициентов интенсивности напряжения и Т-напряжения по следующим формулам:

KI = √2π

(0), T = a1f (2) (0). (3)

2 1,11

Однако в работах [7; 12; 14; 15; 18] показана для целого ряда задач необходимость учета коэффициентов более высокого порядка.

Произвольное плоское нагружение образца приводит к появлению поля перемещений, которое может быть выражено рядами u1 и u2 соответственно, как

∞ 2

u1(r, θ) = ∑ ∑ amf (k)(r, θ) =

k m

k=0 k=1

∞ k

= ∑ a1 r 2 [( k

k ) k

k ( k ) ]

k=0

∞

k 2µ

k

−

κ + + ( 1) 2

−

cos θ cos 2 2

2 − 2

θ + (4)

+ ∑ a2 r 2 [( k

k ) k

k ( k ) ]

k=0

и

k 2µ

∞

−κ − 2 + (−1)

2

sin θ + sin 2 2

2 − 2 θ

u2(r, θ) = ∑ ∑ amg(k)(r, θ) =

k m

k=0 k=1

∞ k

= ∑ a1 r 2 [( k

k ) k

k ( k ) ]

k=0

∞

k 2µ

k

κ − 2 − (−1)

sin θ + sin 2 2

2 − 2

θ + (5)

+ ∑ a2 r 2 [( k

k ) k

k ( k ) ]

k=0

k 2µ

κ − 2 + (−1)

cos θ + cos 2 2

2 − 2 θ

k

где µ — модуль сдвига, ν — коэффициент Пуассона и am

— коэффициенты разложения полей

напряжений и перемещений в ряд, подлежащие определению. Константа Колосова (κ) равна 3 − 4ν

для плоского деформированного состояния или 3 − 4ν∗, где ν∗ = ν/(1 + ν), для плоского напряженного

состояния.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 40–62

Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 40–62 43

1. Моделирование пластины

   В программном комплексе SIMULIA Abaqus проведено конечно-элементное моделирование роста центральной трещины в пластине. Для реализации смешанного нагружения трещина моделировалась наклонной, при этом к пластине приложена растягивающая нагрузка. Схематически описание модели приведено на рис. 1. Всего было выполнено моделирование 11 образцов. Различие образцов состояло

   в угле наклона трещины α. Он менялся от 0◦ до 90◦ с шагом в 10◦. Создан также образец с углом наклона трещины 45◦. Ширина пластины L = 400 см, высота H = 800 см, длина трещины a = 10 см.

    

   

   Рис. 1. Описание модели

   Fig. 1. Description of the model

    

   Свойства материала заданы с помощью констант модуля Юнга и коэффициента Пуассона и приняты 3 · 1011 Па и 0.24 соответственно. Растягивающая нагрузка P приложена к верхней грани пластины и равна 100 Н. Нижняя грань пластины зафиксирована. Трещина задана с помощью типа "Контурный интеграл". Особенность состояния в вершине трещины описывается с помощью сингулярных конечных элементов. Всего разбиение содержало порядки 18 тыс. элементов. Способ разбиения вблизи вершины трещины показан на рис. 2. В результате расчета выводились значения коэффициентов интенсивности напряжений KI , KII и T -напряжение для обеих вершин трещины.

    

   

   Рис. 2. Способ разбиения сетки модели

   Fig. 2. Method of mesh partitioning of the model

    

   Для выбора набора точек из окрестности вершины трещины был написан скрипт, сохраняющий значения компонент тензора напряжений σ11, σ12 и σ22 для точек, лежащих на окружностях с центром в вершине трещины и радиусом от 0.1 см до 4 см с шагом 0.1 см. На каждой окружности равномерно выбрано 72 точки. Таким образом известны координаты каждой точки, где r соответствует расстоянию точки от вершины трещины, а угол θ меняется от −π до π. Пример выбора точек показан на рис. 3.

    

2. Моделирование полудиска

   В программном комплексе SIMULIA Abaqus проведено конечно-элементное моделирование роста трещины в полудиске в условиях трехточечного изгиба. Для реализации смешанного нагружения трещина моделировалась наклонной. Схематически описание модели приведено на рис. 4. Всего

   Белова О.Н., Степанова Л.В. Вычисление коэффициентов асимптотического разложения поля...

   44Belova O.N., Stepanova L.V. Determination of the coefficients of asymptotic crack — tip stress expansion...

    

   

   Рис. 3. Выбор набора точек

   Fig. 3. Selecting a set of points

    

   было выполнено моделирование 6 образцов. Различие образцов состояло в угле наклона трещины α

   относительно горизонтальной оси. Он менялся от 40◦ до 90◦ с шагом в 10◦. Радиус L полудиска

    

   

   Рис. 4. Описание модели

   Fig. 4. Description of the model

    

   равен 4 см, длина трещины a = 1.4 см. Свойства материала заданы с помощью констант модуля Юнга и коэффициента Пуассона и приняты 3 · 1011 Па и 0.24 соответственно. Сжимающая нагрузка P приложена к верхней грани полудиска и равна 100 Н. На нижней грани полудиска смоделированы две точки опоры, находящиеся на одинаковом расстоянии от середины H = 3.4 см. Трещина задана с помощью типа "Контурный интеграл". Особенность состояния в вершине трещины описывается с помощью сингулярных конечных элементов. Всего разбиение содержало порядки 5 тыс. элементов. Способ разбиения сетки полудиска показан на рис. 5. В результате расчета выводились значения коэффициентов интенсивности напряжений KI и KII и T -напряжение для обеих вершин трещины.

    

   

   Рис. 5. Способ разбиения сетки модели

   Fig. 5. Method of mesh partitioning of the model

    

   Выбор набора точек из окрестности вершин трещины был аналогичен выбору точек в пластине.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 40–62

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 40–62 45

    

3. Алгоритм извлечения коэффициентов разложения М. Уильямса

   В работе [20] описан подход оценки параметров разрушения для различных конфигураций трещины с помощью цифрового метода фотоупругости и конечно-элементного моделирования. Используя экспериментальные данные посредством матричных преобразований, были найдены коэффициенты асимптотического разложения М. Уильямса. В данной работе используется эта методика вычисления коэффициентов.

   Рассмотрим формулу (1). Из результатов экспериментов или моделирования можно для выбранных точек получить значения компонент тензора напряжений. Следовательно, известны значения в левой части уравнения (1). Так как известны координаты выбранных точек, можно вычислить угловые функции и подставить в уравнение значения r. Пусть будет выбрано M точек и необходимо вычислить

   N приближений (M � N ). Здесь под приближением N понимается вычисление 2N коэффициентов разложения М. Уильямса, то есть, если N = 1, то вычисляются коэффициенты a1, a1, если N = 2, то

   1 2

   вычисляются коэффициенты a1, a1, a2, a2

   и т. д. Значения компонент тензора напряжения для каждой

   1 2 1 2

   точки можно представить в виде вектора-столбца J размерностью 3M × 1. Для построения выбраны

   три компоненты тензора напряжения — это σ11, σ12, σ22. Компоненты были пересчитаны в соответствии с новой системой координат, повернутой относительно горизонтальной оси на угол наклона трещины и с центром в вершине разреза.

   2,ij

    

   Искомые значения коэффициентов представим в виде вектора-столбца X размером 2N − 1 × 1. Для избежания появления нулевого столбца в матрице при ее построении пропускаем столбец при f (2) . При

   2

    

   этом примем значение коэффициента a2 = 0.

   Составим матрицу A из угловых функций f (k) (θ) и множителя с r k

    

   . Данная матрица будет иметь

   m,ij

   размерность 3M × 2N − 1. В итоге уравнение (1) представим в виде

   

   2 −1

   J = AX (6)

   С помощью последовательных преобразований найдем

   X = (AT A)−1AT J (7)

   k

    

   Вектор-столбец X и будет содержать найденные значения кэффициентов am. Алгоритм вычисления коэффициентов был реализован в системе компьютерной алгебры MAPLE. Задача об одноосном растяжении наклонной трещины и задача о нормальном отрыве и поперечном сдвиге горизонтальной трещины — статически эквивалентные задачи [19]. Для задачи растяжения бесконечной пластины с центральной трещиной коэффициенты разложения М. Уильямса могут быть найдены аналитически. Например, в работе [7] аналитически определены коэффициенты разложения М. Уильямса.

   При приложении к пластине растягивающей нагрузки коэффициенты вычисляются следующим образом:

   n+1 ∞

   2n+1 =

   a1

    

   (−1) (2n)! σ22

   , n � 0,

   1 1

   23n+

    

   −

    

   n

    

   2 (n!)2 (2n−1) a 2

   a1

    

   22

    

   =

    

   σ∞ (γ−1)

   

   2

   (8)

   4 ,

   a1

   k = 0, остальные коэффициенты.

   При действии сдвиговой нагрузки коэффициенты вычисляют как

   n ∞

   2n+1 =

   a2

    

   (−1) (2n)! σ12

   , n � 0,

   1 1

   23n+

    

   −

    

   n

    

   2 (n!)2 (2n−1) a 2

   a2

   (9)

   k = 0, остальные коэффициенты.

   В итоге разложение М. Уильямса принимает вид

   2 ∞

   1

    

   σij (r, θ) = ∑ ∑ am

   

   f (2n+1)(θ)rn− 2 , (10)

    

   m=1 n=0

   2n+1

   m,ij

   

   2

    

   Приложенная к пластине растягивающая нагрузка должна быть пересчитана в соответствии с новой системой координат. Таким образом, растягивающая нагрузка в новой системе координат примет вид σ22 = P cos(α)2, а сдвиговая нагрузка – σ12 = P sin(2α). Кроме того, коэффициент γ в формуле (8) отвечает за поперечное сжатие пластины при растяжении, то есть σ11 = γσ22. При этом коэффициент будет вычисляться по следующей формуле:

   sin(α)2

   

   γ = cos(α)2

    

   . (11)

   2

    

   В данном случае компонента a1

   пересчитывается в связи с переходом к новой системе координат

   следующим образом:

   2 2

   a1

    

   2 = P

   (sin(α)) − (cos(α)) . (12)

   4

   Белова О.Н., Степанова Л.В. Вычисление коэффициентов асимптотического разложения поля...

   46Belova O.N., Stepanova L.V. Determination of the coefficients of asymptotic crack — tip stress expansion...

    

   Таким образом, зная точное решение для выбранной конфигурации, есть возможность сравнить ее с решением, полученным с помощью написанной программы. Поэтому точное аналитическое решение задачи о трещине в бесконечной линейно-упругой пластине использовалось далее для верификации результатов работы алгоритма извлечения коэффициентов разложения М. Уильямса полей напряжений и перемещений. После тестирования алгоритма разработанная программа была использована для вычисления коэффициентов разложения М. Уильямса поля напряжений вблизи вершины надреза в полудиске с вертикальным и наклонным под разными углами надрезом.

    

4. Результаты вычислений и выводы

Полученные с помощью программы коэффициенты разложения для центральной трещины в пластине приведены в табл. 1–4. В таблицах приведены также результаты аналитического решения (АР) и значения KI , KII , T — напряжений из конечно-элементного моделирования (МКЭ). Ниже

приведены результаты в зависимости от угла наклона трещины. Угол наклона трещины относительно горизонтальной оси равен 0◦, 30◦, 45◦, 60◦. Точки выбраны из круговой области на расстоянии 1 см от

вершины трещины.

Таблица 1

α = 0 KI KII

a

1

1

a

2

1

a

1

2

a

2

2

a

1

3

a

2

3

a

1

4

a

2

4

a

1

5

a

2

5

a

1

6

a

2

6

a

1

7

a

2

7

a

1

8

a

2

8

a

1

9

a

2

9

На всех следующих рисунках по горизонтальной оси откладывается угол θ на котором находится точка, где −π соответствует точке лежащей на нижней грани трещины, а π — на верхней. По вертикальной оси откладывается значение компонент тензора напряжения σi,j · 104 (Па).

На рис. 6, 7, 8 приведено угловое распределение компонент тензора напряжения σ11, σ22 и σ12, соответственно построенных с использованием различного количества слагаемых асимптотического разложения М. Уильямса (сплошная линия). Построены также графики компонент тензора напряжения, полученные из конечно-элементного решения (кружочки) и из аналитического решения с теоретически

k

определенными значениями амплитудных, масштабных множителей am

(кривые показаны пунктирной

линией). Точки для вычисления коэффициентов выбирались на расстоянии 1 см от вершины трещины. Трещина расположена под углом 45◦ к горизонтальной оси.

Из рис. 6 ясно видно, что на выбранном расстоянии от вершины трещины двух слагаемых в разложении Уильямса недостаточно для описания поля напряжений, трехчленное асимптотическое разложение оказывается существенно более близким к теоретическому и численному решению, тогда пятичленное асимптотическое разложение не отличимо от теоретического решения и конечно-элементного решения.

Из рис. 7 следует, что для представления компоненты тензора напряжений σ22 на выбранном расстоянии также двух и трех слагаемых недостаточно, необходимо сохранять пять и более членов ряда.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 40–62

Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 40–62 47

α = 30 KI KII

a

1

1

a

2

1

a

1

2

a

2

2

a

1

3

a

2

3

a

1

4

a

2

4

a

1

5

a

2

5

a

1

6

a

2

6

a

1

7

a

2

7

a

1

8

a

2

8

a

1

9

a

2

9

" + i + ".