THE EFFECT OF METAL ALLOY MICROSTRUCTURE ON THE THICKNESS DISTRIBUTION IN THE CIRCULAR PLATE UNDER THE SUPERPLASTIC BLOW-FORMING

Full Text

Введение

Сверхпластичностью принято называть способность поликристаллических материалов при определенных температурно-скоростных условиях испытания проявлять аномально высокое удлинение — в сотни и даже тысячи процентов — при относительно низких напряжениях течения [1–5]. Установлено, что для деформирования металлов в режиме сверхпластичности необходимы температуры порядка 0.4

Tm (Tm — температура плавления в Кельвинах), скорость деформации в пределах 10−5 − 10−2 с−1 и

определенным образом подготовленная микроструктура со средним размером зерен не более 10 мкм.

Сверхпластическое деформирование является предпочтительным способом промышленной обработки многих технологических сплавов, поскольку позволяет достигать высоких значений деформации без разрушения, делая возможным создание бездефектных изделий большого размера и сложной формы. Кроме того, сверхпластический режим деформирования реализуется при относительно низких напряжениях течения, которые позволяют обрабатывать с приемлемым уровнем нагрузки даже жесткие сплавы, снижают требования к используемому оборудованию и уменьшают износ частей, контактирующих с обрабатываемым изделием. Благодаря этому многие процессы обработки металлов давлением, в частности, волочение, прокатка, ковка, объемная и листовая штамповка реализуются в настоящее время в условиях сверхпластичности.

Вместе с тем, для деформирования изделий в режиме сверхпластичности необходимо соблюдать определенные технологические требования. Например, при формовке листовых материалов важным технологическим параметром является толщина готового изделия. В некоторых случаях наблюдаемое истончение материала может выступать ограничивающим фактором для применения сверхпластичности как таковой, либо, по крайней мере, при выборе используемых в процессе обработки скоростей и давлений [4–8]. В связи с этим, разработка моделей, корректно описывающих поведение материала при сложном нагружении в подобных технологических процессах является одной из важнейших задач сверхпластичности.

В данной работе рассмотрено моделирование процесса формовки круглой пластины давлением с применением определяющих соотношений, учитывающих эволюцию микроструктуры материала и его упрочнение, вызванное накоплением пластических деформаций.

 

1. Постановка задачи и возникающие проблемы

   Будем рассматривать деформирование плоской круглой пластины из металлического сплава под действием приложенного с одной стороны равномерно распределенного давления P (t), где P — давление, t — время. В начальном состоянии пластина имеет равномерную толщину w0 и закреплена по периметру

   в цилиндрической форме радиуса r0 ≫ w0. Под действием приложенного давления поверхность пластины

   деформируется, в результате чего постепенно принимает полусферическую форму. Введем в каждой

   точке локальную ортонормированную сферическую систему координат, первая ось которой направлена по касательной к меридиану в направлении от полюса, вторая перпендикулярна первой в плоскости сферы, а третья совпадает с нормалью к ее поверхности (рис. 1.1).

   При моделировании процесса формовки круглой пластины давлением газа часто принимаются следующие допущения [2]:

   • однородность, изотропность и несжимаемость материала;

   • упругие деформации пренебрежимо малы по сравнению с пластическими;

   • материал деформируется с малой скоростью (из интервала скоростей, характерных для сверхпластического течения) и при постоянной температуре;

   • толщина изделия много меньше его линейных размеров;

   • размер зерен в материале много меньше толщины;

   • детали захватов считаются абсолютно жесткими, граничные условия в заделке соответствуют шарнирному закреплению;

     Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 49–61

     Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 2, pp. 49–61 51

      

     

     x3

     x2 x1

     ρ

      

     θ

     ρ

     ⇑P

      

     Рис. 1.1. Деформация круглой пластины давлением газа

      

   • в любой момент времени при деформировании пластина представляет собой сегмент сферы радиуса

     ρ.

     В рамках таких допущений деформирование пластины представляет собой квазистатический изотермический процесс. Малая толщина позволяет пренебречь изгибными напряжениями и описывать поведение материала с помощью безмоментной теории оболочек, согласно которой:

   • компонента напряжения, направленная по нормали к сфере, много меньше других и потому пренебрежимо мала: σ3 ≈ 0;

   • можно пренебречь изгибными напряжениями и положить напряжения сдвига σij = 0 при i ̸= j. Таким образом, с учетом положений безмоментной теории тензор напряжений Коши имеет вид:

      σ1 0 0 

     σij = 

     0 σ2 0  ,

     0 0 0

     где σ1 и σ2 — меридиональное и окружное напряжения. Компоненты девиатора тензора напряжений, с учетом выражения для среднего напряжения

      

     принимают вид:

     1

     

     σ = 3 σklδkl =

     1

     

     3 (σ1 + σ2)

     1  2σ1 − σ2 0 0 

     

     Sij = σij − σδij = 3 

     0 2σ2 − σ1 0

     0 0 −(σ1 + σ2)

      (1.1)

     Интенсивность касательных напряжений выражается соотношением

     

     

     2

      

     2

      

     √ 3 √

     

     σe =

     Sij Sij =

     2

     σ1 + σ2 − σ1σ2.

     ε˙

      

     ij

      

     Тензор скоростей пластических деформаций p

     связан с тензором напряжений, интенсивностью

     

     напряжений σe и интенсивностью скоростей пластических деформаций p˙ = √2ε˙p ε˙p /3 ассоциированным

     законом пластичности:

     ij ij

     ε˙p

     3 p˙(σe, . . .)

     = S

     , (1.2)

     ij 2 σe ij

     где зависимость p˙(σe, . . .) задается определяющими соотношениями материала.

     Таким образом, внедиагональные компоненты тензора деформаций будут также равны нулю, то есть введенная система координат совпадает с главными осями как тензора напряжений, так и тензора пластических деформаций. На диагонали последнего будут стоять меридиональная ε1 и окружная ε2 пластические деформации, а также деформация ε3, отвечающая за изменение толщины пластины.

     Уравнения равновесия безмоментной теории оболочек для поверхности вращения имеют вид [9]:

     σ1 σ2 P

     

     

     

     + = , (1.3)

     ρm ρc w

     Белякова Т.А., Гончаров И.А. Влияние микроструктуры металлического сплава на распределение толщины ...

     52Beliakova T.A., Goncharov I.A. The effect of metal alloy microstructure on the thickness distribution

      

     2πr w σ1 sin θ = πr2 P, (1.4)

     где ρm и ρc — меридиональный и окружной радиусы кривизны поверхности, w — толщина пластины в рассматриваемой точке оболочки, r — расстояние от этой точки до оси вращения, θ — угол между осью вращения и нормалью к поверхности в данной точке. С учетом геометрического соотношения ρc sin θ = r (рис. 1.1) из уравнений равновесия следуют выражения для главных напряжений:

     P ρc

     P ρc (

     ρc )

     σ1 =

     ; σ2 =

     2w 2w

     ρ

      

     2 − . (1.5)

     m

     Предположение о том, что деформированная оболочка представляет собой сегмент сферы хорошо согласуется с эмпирическими данными [2]. Поскольку для сферы ρm = ρc = ρ, данные соотношения принимают вид σ1 = σ2 = Pρ/2w.

     В то же время условие заделки — равенство нулю окружной деформации ε2b = 0 (индекс b здесь и далее означает величины, относящиеся к границе пластины) — на основании ассоциированного закона пластичности (1.2) приводит к соотношению:

      

     2b

      

     0 = ε˙p

     3 p˙b

     

     = S22 =

     2 σeb

     p˙b

     

     2σeb

      

     (2σ2b

     − σ1b) ,

     откуда при ненулевой интенсивности скоростей пластических деформаций в заделке p˙b имеем 2σ2b = σ1b, что противоречит полученному ранее из уравнений безмоментной теории равенству меридионального и окружного напряжений в любой точке пластины [2]. В окрестности заделки изгибные напряжения становятся сравнимы с компонентами σ1b и σ2b; ограничиваясь же соотношениями безмоментной теории при решении поставленной задачи невозможно одновременно удовлетворить обоим уравнениям равновесия, предположению о сферической форме поверхности, ассоциированному закону пластичности и условию в заделке.

     Описанная задача рассматривалась различными авторами как экспериментально, так и аналитически. При этом, оставаясь в рамках безмоментной теории, большинство авторов отказывается от строгого соблюдения одного или обоих уравнений равновесия во всех точках поверхности и применяет какие-либо дополнительные гипотезы о поведении материала в процессе деформации.

     Случай строгого соблюдения уравнения равновесия поверхности (1.4) во всех точках пластины рассматривается в работе [7]. При этом уравнение равновесия элемента (1.3) не применяется, а для определения напряжений в промежуточных точках авторы разбивают исходную пластину на набор концентрических круговых полос и отслеживают состояние каждой полосы в зависимости от времени. Сверхпластическое деформирование описывается ими при помощи степенных определяющих

     соотношений σ = Kε˙m, где σ — напряжение, ε˙

     — скорость деформации, а K и m — постоянные

     коэффициенты. Авторами работы [10] был дополнительно проведен эксперимент с растяжением пакета из двух пластинок, в верхней из которых вдоль меридиана просверлены изначально круглые отверстия одинакового размера, в процессе деформации принимающие эллиптическую форму. По результатам данного эксперимента принималась гипотеза о пропорциональности изменения размеров отверстий напряжениям по соответствующим осям, что позволило ввести параметр отношения напряжений, определить его величину экспериментально и на основе установленной зависимости вычислить приращения на каждом шаге итеративного процесса. В этой же работе [10] приводятся определяющие

     соотношения вида ε˙ = A1 (b/d)s (σ/G)n, где A1, b, s, G и n — постоянные коэффициенты, а d — размер

     зерна. Однако авторы особо отмечают, что для сверхпластических материалов поведение размера зерна достаточно сложным образом зависит не только от времени, но и от деформации, поэтому результаты данной работы основаны на упрощенном соотношении ε˙ = A2σn, эквивалентном степенной зависимости. Одним из немногих примеров отказа от гипотезы сферичности купола является работа [11], в которой форма купола полагается эллиптической. Дальнейшее решение строится аналогично работе [7]. Теоретически отказ от предположения о сферичности мог бы позволить удовлетворить одновременно уравнениями равновесия безмоментной теории оболочек и ассоциированному закону пластичности. Однако в работе [11] данный вопрос не рассматривается: соотношение полуосей эллипса в конце деформации полагается известным, а в промежуточные моменты времени — пропорциональным высоте

     купола.

     В некоторых работах при решении рассматриваемой задачи применяется какая-либо кинематическая гипотеза, позволяющая избежать разбиения оболочки на полосы и решать единую систему уравнений. Одной из первых таких работ является работа [12], в которой сделано предположение о равномерном истончении пластины. Однако, как было замечено рядом исследователей (см. например, обсуждение в [2]), гипотеза о равномерном истончении пластины в совокупности с нулевым окружным перемещением в заделке приводит к парадоксальному выводу — радиус пластины, деформированной до полусферы,

     Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 49–61

     Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 2, pp. 49–61 53

     

     оказывается в √2 раз больше начального, что противоречит предположению об абсолютной жесткости формы.

     Рассмотрение возможности изменения толщины в разных точках оболочки позволило авторам работы [13] избавиться от этого противоречия и получить аналитическое решение задачи в условиях недеформируемой формы. В качестве гипотезы о распределении деформаций при этом используется предположение о равномерном растяжении меридианов, что также, как и в работе [12], позволяет решить задачу аналитически. В результате анализа была найдена требуемая функция давления, получены и сопоставлены с экспериментальными конечное распределение толщины оболочки и общее время

     деформирования при различных скоростях

     ε˙. Однако и в данной работе в качестве определяющих

     соотношений использована степенная зависимость между интенсивностями напряжений и скоростей деформаций, не включающая в себя параметры микроструктуры. Авторами работы [14] величины окружной и меридиональной деформаций в разных точках пластины были измерены экспериментально, что позволило им выдвинуть гипотезу о параболической форме зависимости инженерной деформации от радиуса. Построенная на основе данной гипотезы модель уже не может быть решена аналитически и нуждается в численном интегрировании. Толщина пластины в рамках данной гипотезы также оказывается неравномерной, однако авторы работы [14] не обсуждают этот вопрос.

     Таким образом, большинством авторов предполагается, что в промежуточные моменты времени форма пластины задается частью сферы, а в качестве гипотезы о распределении деформаций в пластине в промежуточных точках часто используются дополнительные предположения. В то же время большинство авторов пользуются степенными определяющими соотношениями в форме σ = Kε˙m. Поведение пластины в рамках таких определяющих соотношений хорошо изучено, в частности, показано [7], что истончение пластины уменьшается с ростом параметра скоростной чувствительности m. Однако данные соотношения пригодны для описания поведения конкретного материала лишь в определенном, достаточно узком диапазоне скоростей деформации. В частности, хорошо известно, что кривые сверхпластического деформирования σ(ε˙) в логарифмических координатах имеют сигмоидальную форму [1], в то время как степенные определяющие соотношения приближают данную зависимость линейной функцией. Кроме того, из рассмотренных работ только в статье [14] использованы определяющие соотношения, зависящие от начального размера зерна в образце, но и там вопрос об эволюции параметра микроструктуры и о влиянии его на характеристики процесса деформирования не рассматривался. В основном данный вопрос поднимается в ряде экспериментальных работ и в исследованиях, посвященных моделированию деформирования листовых материалов давлением при помощи метода конечных элементов [8, 15, 16]. В частности, в работе [8] показано, что подходящая начальная микроструктура позволяет добиться более равномерного распределения толщины в готовом изделии.

     В настоящей работе задача о деформировании плоской круглой пластины под действием приложенного с одной стороны равномерно распределенного давления решена на основе определяющих соотношений, учитывающих сложную эволюцию микроструктуры материала в процессе деформации. При моделировании процессов формовки листовых заготовок особую важность представляет определение оптимальных условий деформирования и функции давления, обеспечивающих поддержание режима сверхпластичности на протяжении всего процесса обработки. Для определения границ применимости соответствующих технологических процессов необходимо исследование распределения толщины в зависимости от времени в различных точках образца. Особое внимание уделяется анализу изменения микроструктуры материала в процессе деформирования, что позволяет уточнить характеристики процесса листовой формовки и предложить пути улучшения ожидаемых механических свойств готового изделия. Расчеты проводились в рамках гипотезы о параболической форме зависимости инженерной деформации от радиуса [14]. Параметры моделей определялись на основе авторского алгоритма [17] для титанового сплава Ti-6Al-4V при температуре 927 ◦C на основании экспериментов, приведенных в работе [18].

      

2. Кинематическая гипотеза и уравнения состояния пластины

   Как было описано в предыдущем разделе, во введенной системе координат (рис. 1.1) тензоры напряжений и скоростей пластических деформаций имеют диагональный вид. Отличные от нуля компоненты тензора напряжений соответствуют меридиональному σ1 и окружному σ2 напряжениям. В полюсе купола из соображений симметрии σ1p = σ2p (индекс p здесь и далее означает полюс). При этом интенсивность касательных напряжений в полюсе оказывается равной σep = σ1p. С учетом (1.1), (1.2) и условия несжимаемости для компонент тензора деформаций

   ε1 + ε2 + ε3 = 0 (2.1)

   Белякова Т.А., Гончаров И.А. Влияние микроструктуры металлического сплава на распределение толщины ...

   54Beliakova T.A., Goncharov I.A. The effect of metal alloy microstructure on the thickness distribution

    

   получаем ε1p = ε2p = −ε3p/2. В окрестности полюса пластина деформируется свободно, при этом из

   уравнения равновесия элемента (1.3) с учетом предположения о том, что оболочка в любой момент

   времени представляет собой сегмент сферы ρm = ρc = ρ, меридиональное напряжение в куполе представляется в виде σ1p = Pρ/2wp, где wp — толщина купола в полюсе.

   По условию заделки на границе купола ε2b = 0. Будем рассматривать вариант шарнирного закрепления на границе. При постановке натурных экспериментов для обеспечения близкого к рассматриваемой модели режима деформирования иногда применяется скругленный зажим на внутренней стороны формы (см., например, рис. 2 в работе [7]). Из этих условий с учетом (1.2) для

   напряжений в заделке получаем σ1b = 2σ2b, σeb = √3σ1b/2 и для деформаций ε1b = −ε3b. Учитывая

   уравнения равновесия сегмента поверхности (1.4), для меридионального напряжения на границе

   пластины справедливо выражение σ1b = Pρ/2wb.

   Таким образом, как в полюсе купола, так и на его границе, все компоненты тензоров напряжений и деформаций могут быть выражены через меридиональное напряжение σ1, меридиональную пластическую деформацию ε1, давление газа P (t), радиус кривизны оболочки ρ и ее толщину w. Чтобы определить связь деформаций и геометрических параметров оболочки, воспользуемся, во-первых, условием несжимаемости материала (2.1). Для деформации пластины по толщине выполняется равенство ε3 = ln(w/w0), откуда можно выразить связь толщины пластины w с деформациями:

   w = w0 exp(ε3) = w0 exp(−ε1 − ε2),

   Во-вторых, в соответствии с принятой гипотезой о параболическом распределении инженерных деформаций [14] можно записать

   

   r

    

   x2 εeng = εeng,p + (εeng,b − εeng,p) 2 ,

   0

    

   где x — радиус, исчисляемый от оси симметрии купола (x = 0 соответствует полюсу пластины, x = r0 — ее границе). Переходя от инженерных деформаций к логарифмическим по формуле εeng = exp(ε) − 1,

   принятую гипотезу можно записать в виде

   x2

   

   r

    

   exp(ε) = exp(εp) + (exp(εb) − exp(εp)) 2 . (2.2)

   0

   Вычислим длину дуги меридиана L от полюса до заделки. С одной стороны ее можно выразить через радиус сферы и ограничивающий дугу угол: |L| = ρθ = ρ arcsin(r0/ρ). С другой стороны, интегрируя по длине элемента дуги и учитывая представление (2.2) можно выразить |L| через меридиональную

   деформацию ε1:

   |L| =

   ∫ r0

    

   0

   exp(ε1) dx = r0

   2 exp(ε1p) + exp(ε1b) . (2.3)

   3

   Приравнивая данные выражения, окончательно получаем связь радиуса кривизны ρ с деформациями пластины [14]:

   ρ

   arcsin

   r0

   ( r0 )

   =

   ρ

   2 exp(ε1p) + exp(ε1b)

   3

   . (2.4)

   В частном случае при ε1p = ε1b такое предположение о распределении деформаций будет эквивалентно гипотезе о равномерном растяжении меридианов, применяемой в работе [13].

   Уравнение (2.4) — неявное, поэтому для дальнейших вычислений будет удобно записать его

   в дифференциальной форме. Возьмем от обеих его частей производную по времени и упростим выражение:

   ( 1

   ρ˙ arcsin

   r0

   ( r0 )

   ρ

   1 )

   — ρ − r

    

   =

   √ 2 2

   0

   2 exp(ε1p)ε˙1p + exp(ε1b)ε˙1b 3

   . (2.5)

   В качестве определяющих соотношений для материала в данной работе будут использованы соотношения Dunne и соавторов (см., например, [15]) в нормированном виде, содержащие эволюционное уравнение для размера зерна d и параметр деформационного упрочнения h.

   A

   p˙ =

   

   dα sinh (B(σe − h − 1)) ;

   ˙

    

   D G

   

   

   d = + p˙; (2.6)

   dβ dφ

   h˙ = H(H0 − h)p˙.

   В совокупности с выведенными ранее уравнениями это позволяет записать полную систему, описывающую поведение пластины под действием приложенного давления P (t):

   wp = w0 exp(−2ε1p);

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 49–61

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 2, pp. 49–61 55

   wb = w0 exp(−ε1b);

   Pρ

   σ1p =

   

   ;

   2wp

   σ1b =

   Pρ

   

   ;

   2wb

   hp = H0 (1 − exp (−2Hε1p)) ;

   ( ( 2 ))

   hb = H0

   1 − exp

   

   −√3 Hε1b

   ; (2.7)

   2 exp(ε1p)ε˙1p + exp(ε1b)ε˙1b

   ρ˙ =

   3 ( 1

   );

   r0 1

   r0 arcsin( ρ ) − √ρ2

   A

   0

    

   −r2

   2ε˙1p =

   

   d

    

   α sinh (B (σ1p − hp − 1)) ;

   p

   d˙p =

   D G

   

   

   d

    

   d

    

   β + φ

   p p

   2ε˙1p;

   2 A (

   

   ( √3 ))

   

   √3 ε˙1b =

   

   d

    

   α sinh B

   b

   

   2

    

   σ1b − hb − 1 ;

   d˙b =

   D G

   

   

   d

    

   d

    

   β + φ

   b b

   2

   √ ε˙1b.

   3

   Как можно заметить, система (2.7) является системой из пяти дифференциальных уравнений с шестью неизвестными: P , ρ, ε1p, dp, ε1b, db. Остальные (не-дифференциальные) соотношения выписаны для удобства: выражаемые ими величины могут быть подставлены в дифференциальные уравнения напрямую. Таким образом, при известном законе давления P (t) система (2.7) является замкнутой и может быть решена любым стандартным способом (например, методом Рунге-Кутты). Для решения обратной задачи — то есть определения функции давления, требующейся для поддержания определенного режима деформирования, — необходимо дополнить систему соотношением, задающим

   этот режим. Чаще всего в качестве такого соотношения рассматривается условие

   ε˙1p = const,

   позволяющее реализовать технологически оптимальный режим в области наиболее интенсивного сверхпластического деформирования. В каждом из этих случаев решением системы (2.7) будут являться макрохарактеристики процесса деформирования (давление, напряжения и деформации, величина упрочнения), параметры микроструктуры (размеры зерен) и геометрические параметры образца (радиус и толщина оболочки).

    

3. Результаты моделирования

Как уже упоминалось, одним из важнейших параметров при сверхпластическом деформировании листовых материалов является неоднородность толщины мембраны в конце процесса, поскольку технологическими требованиями ограничиваются как минимальная толщина, так и допускаемая неравномерность толщины в готовом изделии. В рассматриваемой задаче формовки листовой пластины до полусферы минимальная толщина наблюдается в полюсе купола, а максимальная — в заделке (рис. 1.1). Для формального контроля за соотношением этих величин введем параметр истончения:

wb − wp

w¯ = ,

wb

значения которого находятся в пределах от нуля (равномерная толщина) до единицы (нулевая толщина в полюсе, прорыв мембраны).

Для определения данного параметра на основании описанных предположений было проведено моделирование деформирования пластинки в различных условиях. При расчетах рассматривался

режим деформирования с постоянной скоростью деформации в полюсе купола —

ε˙1p = const. Для

геометрических параметров пластины были приняты значения r0 = 35 мм, w0 = 1 мм. Моделировался

процесс формовки от изначального (плоского) состояния пластины до момента превращения оболочки в полусферу, который определялся по превышению высотой купола h значения r0 − rc, где rc —

малое значение контрольной высоты (в расчетах принималось равным 0.2 мм). Это соответствует условиям реальных экспериментов, в которых момент превращения оболочки в полусферу определяется по контакту купола с датчиком, выступающим на высоту rc из основания цилиндрической формы.

Белякова Т.А., Гончаров И.А. Влияние микроструктуры металлического сплава на распределение толщины ...

56Beliakova T.A., Goncharov I.A. The effect of metal alloy microstructure on the thickness distribution

 

w¯

 

0,6

ε˙ p =4,6 × 10−3

 

0,5

 

0,4

10−5

d0 мкм 0 5 10 15 20

Рис. 3.1 Зависимость коэффициента истончения w¯

от начального размера зерна d0 и скорости

пластической деформации

ε˙p в модели без роста зерен

Материальные константы в соотношениях (2.6) определялись с использованием авторского алгоритма, который подробно описан в работе [17], на основе экспериментов [18] для титанового сплава Ti-6Al-4V при температуре 927 ◦C. На рисунке 3.1 представлены результаты расчета для редуцированной модели, не учитывающей рост зерен в процессе деформирования. Параметры данной модели приведены в первой строке таблицы 3.1.

Значения материальных констант:

	A	B	α	D	G	β	φ	H0	H
(а)	47.8	0.0524	2.20	0.0	0.0	–	–	22.8	0.947
(б)	67.6	0.0532	2.35	0.367	10.3	2.09 × 10−5	0.676	4.89	3.56

 

(а) без учета роста зерен, (б) с учетом роста зерен

Таблица 3.1

 

w¯

 

0,6

 

ε˙ p =4,6 × 10−3

 

0,5

 

0,4

 

0,3

 

0,2

10−5

d0 мкм 0 5 10 15 20

Рис. 3.2. Зависимость коэффициента истончения w¯

от начального размера зерна d0 и скорости

пластической деформации

ε˙p в модели, учитывающей рост зерен

Можно заметить, что для каждой скорости деформации существует оптимальный начальный размер зерен d0, для которого итоговый коэффициент истончения w¯ минимален. Полученный результат хорошо согласуется с известным результатом ряда работ, посвященных задачам сверхпластической формовки, где отмечалось, что истончение уменьшается с увеличением параметра скоростной чувствительности m. Таким образом, даже модель, не учитывающая рост зерен, но описывающая сигмоидальный характер

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 49–61

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 2, pp. 49–61 57

 

кривой сверхпластичности и зависимость поведения материала от начального размера зерен, может быть успешно использована для моделирования деформирования в достаточно широком диапазоне скоростей. В то же время, минимальное значение параметра w¯ на рисунке 3.1 не зависит от размера зерна. Если не принимать во внимание эволюцию параметров микроструктуры, можно было бы заключить, что величина начального размера зерна в материале не оказывает влияния на получаемое истончение при условии, что используется оптимальная для данной микроструктуры скорость деформирования.

Однако картина существенно изменяется при использовании полной модели, учитывающей рост зерен в процессе деформирования. Параметры этой модели приведены во второй строке таблицы 3.1. Результаты расчета с использованием такой модели представлены на рисунке 3.2. Минимальное значение коэффициента истончения существенно зависит от начального размера зерна. Значение

w¯ стремится к некоторой константе для больших размеров зерен (более 10 мкм, что считается

пороговым значением для проявления сверхпластического течения в металлических сплавах). При уменьшении размера зерна значение коэффициента истончения w¯ убывает до некоторого минимального значения, не равного нулю. Иными словами, существует теоретический предел однородности толщины изделия: получение одинаковой толщины во всех точках невозможно даже при субмикронных размерах зерен. По мере уменьшения размера зерна оптимальная скорость деформации возрастает (что удобно для практических применений), однако минимальному истончению соответствует некоторое конкретное значение оптимальной скорости. Дальнейшее повышение скорости деформаций не позволит оставаться в рамках оптимального режима сверхпластичности, сколь бы хорошо ни была подготовлена микроструктура. Это ограничивает применение высокоскоростной сверхпластичности в рассматриваемых процессах формовки.

max(P ) МПа

 

1,5

ε˙ p =4,6 × 10−3

 

1

 

0,5

 

10−5

d0 мкм 0 5 10 15 20

Рис. 3.3. Зависимость максимума давления газа P (t) от начального размера зерна d0 и скорости

пластической деформации

ε˙p в модели, учитывающей рост зерен

Немаловажным параметром процесса формовки является давление, которое необходимо приложить в ходе деформирования для поддержания постоянной скорости деформации в полюсе купола. Характерной особенностью зависимости величины давления от времени является наличие точки максимума [14, 13, 10, 11]. Значение максимального давления является одним из основных требований к применяемому оборудованию. На рисунке 3.3 показана зависимость максимума давления от скорости сверхпластической формовки и начального размера зерна в заготовке. Вполне ожидаемо, рост скорости при фиксированном начальном размере зерна, как и рост размера зерна при фиксированной скорости, приводит к увеличению рабочего давления. Однако, как показывают результаты моделирования, значения, соответствующие режимам минимального истончения (на рис. 3.3 отмечены точками), находятся приблизительно на одном уровне. Таким образом, увеличение скорости деформаций не повышает требования к применяемому оборудованию до тех пор, пока соответствующая подготовка микроструктуры позволяет оставаться в области оптимального режима сверхпластического деформирования. По достижении максимальной скорости в оптимальном режиме, дальнейшее ее повышение приводит к росту требуемого давления, что согласуется с описанными выше результатами по истончению.

Как уже было отмечено, при решении поставленной задачи невозможно одновременно удовлетворить обоим уравнениям равновесия безмоментной теории, предположению о сферической форме поверхности, ассоциированному закону пластичности и условию в заделке. В соответствии с уравнениям

Белякова Т.А., Гончаров И.А. Влияние микроструктуры металлического сплава на распределение толщины ...

58Beliakova T.A., Goncharov I.A. The effect of metal alloy microstructure on the thickness distribution

 

Рис. 3.4. Отношение σ¯

 

меридионального напряжения σ1 к значению напряжения, вычисленному по

безмоментной теории оболочек, в зависимости от угловой координаты θ

 

безмоментной теории на всей поверхности сферы для меридионального напряжения должно выполняться равенство (1.5), или σ¯ = 2wσ1/Pρ = 1. На рисунке 3.4 показано полученное при решении фактическое значение величины σ¯ в зависимости от угловой координаты θ¯ = θ/θb и времени, позволяющее судить об отклонении от уравнений безмоментной теории. При θ¯ = 0 или θ¯ = 1 (в полюсе и в заделке) σ¯ в точности равно единице, так как система уравнений (2.7) обеспечивает соблюдение уравнений равновесия в этих

точках. В промежуточных точках значение отношения σ¯

отличается от единицы, при этом характер

отклонения зависит от времени. При малых временах σ¯ > 1 (расчетные напряжения оказываются выше ожидаемых). По-видимому, это связано с тем, что в начале процесса материал слабо сопротивляется давлению, и скорость деформаций сравнительно велика. Далее с течением времени радиус кривизны купола уменьшается, и вблизи периметра оболочки растет влияние заделки. По мере приближения

формы купола к полусфере значение σ¯

оказывается меньше единицы (расчетные напряжения ниже

ожидаемых), поскольку безмоментная теория не учитывает вклад изгибных напряжений, которые играют существенную роль в области заделки.

Тем не менее, на протяжении всего процесса деформирования отклонение параметра σ¯

от 1

существенно выше при

θ¯ → 1, чем при

θ¯ → 0. Это согласуется с принципом Сен-Венана: влияние

граничных условий на периметре купола ослабевает по мере удаления от границы, и поведение

оболочки все более соответствует свободному деформированию в соответствии с уравнениями равновесия безмоментной теории. Также по рисунку 3.4 можно оценить максимальную величину погрешности σ¯ во всем процессе деформирования — она составляет около 6%. Таким образом, использование безмоментной теории оболочек удовлетворительно описывает поведение материала в рассматриваемой задаче.

 

Заключение

Деформирование листовых материалов давлением газа в режиме сверхпластичности — интенсивно используемый в настоящее время способ промышленной обработки металлов, позволяющий создавать бездефектные изделия сложной формы из современных конструкционных сплавов, преимущественно на основе титана и алюминия. Для получения изделий с необходимыми механическими свойствами важно контролировать микроструктурные параметры в процессе деформирования.

В данной работе проанализирована эффективность применения определяющих соотношений, учитывающих размер зерен в материале и деформационное упрочнение, к задаче формовки давлением круглой пластины до полусферической оболочки. Полученные результаты хорошо согласуются с широко известными исследованиями в области сверхпластичности (зависимость истончения от параметра скоростной чувствительности m, улучшение параметров течения при уменьшении размера зерен). Показано, что использование определяющих соотношений, корректно моделирующих сигмоидальную кривую сверхпластичности, позволяет расширить область применимости полученной модели материала. Учет эволюции микроструктуры в процессе деформирования существенно уточняет оценку скорости деформации, которая необходима для поддержания оптимального режима деформирования и получения по возможности однородного по толщине изделия. Проведена численная оценка погрешности в уравнении равновесия, возникающей при решении поставленной задачи в предположениях безмоментной теории оболочек.

About the authors

T. A. Beliakova

Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: tatiana.beliakova@math.msu.ru
ORCID iD: 0000-0002-0636-816X

associated professor, Department of Plasticity Theory, Faculty of Mechanics and Mathematics

Russian Federation, 1, Lenin Mountains, Moscow, 119991, Russian Federation.

I. A. Goncharov

Lomonosov Moscow State University

Email: rtif91@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-0385-6595

postgraduate student of the Department of Plasticity Theory,
Faculty of Mechanics and Mathematics

Russian Federation, 1, Lenin Mountains, Moscow, 119991, Russian Federation.

References

Supplementary files