# ON THE NOETHER THEORY OF TWO-DIMENSIONAL SINGULAR OPERATORS AND APPLICATIONS TO BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR SYSTEMS OF FOURTH-ORDER ELLIPTIC EQUATIONS

## Abstract

It is known that the general theory of multidimensional singular integral operators over the entire space Em was constructed by S. G. Mikhlin. It is shown that in the two-dimensional case, if the operator symbol does not turn into zero, then the Fredholm theory holds. As for operators over a bounded domain, in this case the boundary of the domain significantly affects the solvability of such operator equations. In this paper we consider two-dimensional singular operators with continuous coefficients over a bounded domain. Such operators are widely used in many problems of the theory of partial differential equations. In this regard, it would be interesting to find criteria of Noetherity of such operators as explicit conditions for its coefficients. Depending on the 2m+ 1 connected components, necessary and sufficient conditions of Noetherity for such operators are obtained and a formula for the evaluation of the index is given. The results are applied to the Dirichlet problem for general fourth-order elliptic systems.

## Full Text

1. Пусть D — конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Γ и содержащая внутри точку z = 0; an(z), bn(z) (n = 0, ±1, . . . ± m)

— комплекснозначные непрерывные в D = D Γ функции. В пространстве Lp

β2/p

(D), (1 < p < ,

0 < β < 2)

Lp

β2/p p p p

β2/p = {f (z) : |z|

f (z) = F (z) L (D), ||f ||Lβ

2/p

= ||F ||L },

рассмотрим сингулярный интегральный оператор

m

A (an(z)I + bn(z)K)Sn, (1)

n=m

где I – тождественный оператор, операторы K, S действуют по формулам

1 ∫∫

(Kf )(z) = f (z), (Sf )(z) = π

D

e2

f (ζ)dsζ ,

|ζ z|2

Sn n-я степень оператора S.

Sn = Sn = KSnK, θ = arg(ζ

z), z

D,

здесь черта обозначает операцию комплексного сопряжения, dsζ – элемент плоской меры Лебега, интеграл понимается в смысле главного значения по Коши [1]. При этом, хотя функции, входящие

в Lp

β2/p

(D), являются комплекснозначными, само пространство будем считать вещественным, т. е.

рассматривать его как линейное множество над полем вещественных чисел. Тогда оператор A будет

обычным линейным ограниченным оператором в Lp

β2/p

(D), что следует, например, из [2].

Интегральные операторы вида A широко применяются во многих задачах теории дифференциальных

уравнений в частных производных [3–5]. В связи с этим представляет интерес установить критерии нетеровости таких операторов в виде явных условий на их коэффициенты. Некоторые частные случаи оператора A изучены в работах [6–9].

σ

Поскольку символ оператора Sn [1] равен ( σ )n (σ = σ1 + 2 ̸= 0), то согласно [10] свойства

оператора U определяются свойствами матрицы

( P2m(z, t) Q2m(z, t) )

GA(z, t) =

, (2)

где

m

P2m(z, t) = t

m

n=m

Q2m(z, t) P2m(z, t)

n 2m

a (z)tm+n, Q (z, t) = tm

m

n=m

bn(z)tmn,

и для нетеровости оператора A в Lp

β2/p

1. необходимо, чтобы

det GA(z, t) ≡ |P2m(z, t)|2 − |Q2m(z, t)|2 ̸= 0 для всех z D, |t| = 1. (3)

Множество комплексных матричных полиномов второго порядка степени 2m, удовлетворяющих условию (2), будем обозначать через F 2. Два полинома G1(t) и G2(t) из F 2 назовем гомотопными (пишется

G1(t) G2(t)), если существует семейство G (t; τ ) матричных полиномов из F 2, непрерывно зависящих

от действительного параметра τ, 0 τ 1, такое, что

G (t; 0) G1(t), G (t; 1) G2(t).

Соотношение гомотопии [4] разбивает F 2 на классы гомотопии — связные, открытые компоненты множества F 2.

Соответственно неравенству (2) возможны два случая:

а) det GA(z, t) > 0 т. е. |P2m(z, t)| > |Q2m(z, t)| для всех z D, |t| = 1;

b) det GA(z, t) < 0 т. е. |P2m(z, t)| < |Q2m(z, t)| для всех z D, |t| = 1.

Множество матричных полиномов, удовлетворяющих условию (2), а), b), будем обозначать

соответственно через F+2, F

2. Если G (t) G (t), то G (t) и G (t) принадлежат одному и тому же

1 2 1 2

из этих множеств. В дальнейшем будем рассматривать лишь F+2.

Итак, P2m(z, t) есть комплексный невырождающийся полином степени 2m. Пусть qk (k =

= 1, 2, . . . 2m) — комплексные корни уравнения P2m(z, t) = 0. Согласно (2), a) эти корни не лежат на окружности |t| = 1, т. е. |qk| ̸= 1. Возможно, априори 2m + 1 случаев:

j0) |qk| > 1, k = 1, 2, . . . , 2m, т. е. все корни лежат вне круга |t| = 1;

jν ) |qk| < 1, k = 1, 2, . . . ν, т. е. внутри круга |t| = 1 лежат ν корней.

(4)

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 7–13

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 7–13 9

Класс матричных полиномов из F+2, для которого имеет место один из случаев (4), будем обозначать

соответственно через Mjν , ν = 0, 1, 2, . . . , 2m. Далее в зависимости от класса Mjν находятся условия, при выполнении которых матрица GA(τ, t), τ Γ, |t| = 1 факторизуется с нулевыми частными индексами.

Тогда из [8] следует, что оператор A нетеров в пространствах Lp

β2/p

(D), 1 < p < , 0 < β < 2.

Введем обозначения

ν = |aν|2 − |bν|2, λνn = aν an bν bn, µνn = aν bn bν an,

2m

M = max|t|=1Re

(

j=1

λj t

j ), ν = 0, ±1, . . . ± m, n = ±1, . . . ± m,

где функции λj явно выражаются через коэффициенты оператора A.

Теорема 1. Для нетеровости оператора A в лебеговых пространствах Lp

β2/p

(D), 1 < p < ,

0 < β < 2 необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга)

условий:

0(z) > M (z) + (M 2(z) +

m

(|µon(z)|2 − |λon(z)|2))

n=m

1/2

при z D, (5)

ν (z) > M (z) + (M 2(z) + m

n= m

(|µνn(z)|2 − |λνn(z)|2))

1/2

, ν = ±1, . . . ± m, 0,

(6)

ν

k=1 Q2m(τ, qk (τ )) ̸= 0 при z D и τ Γ,

где qk (τ ) – корни уравнения P2m(τ, t) = 0, τ Γ, |t| = 1, такие, что |qk (τ )| < 1 для τ Γ. При этом, если выполнено (5), то индекс оператора A равен нулю; если выполнено (6), то

ν

κ = 2 IndΓQ2m(τ, qk (τ )).

k=1

2. В качестве применения результатов теоремы 1 в D = {z : |z| < 1} рассмотрим общую эллиптическую систему двух дифференциальных уравнений 4-го порядка

4 [ 4 ω

]

4 ω

j=0

a4j,j (z) ∂z4j ∂zj + b4j,j (z) ∂z4j ∂zj +

3 [

+ ak,j (z)

k+j ω + b

(z)

k+j ]

ω

= g(z),

(7)

k+j=0

∂zk ∂zj

k,j

∂zk ∂zj

где ω(z) = u(x, y) + iv(x, y), коэффициенты уравнения ak,j (z), bk,j (z) (k, j = 0, . . . , 4) будем считать непрерывными в D, g(z) Lp(D), 2 < p < ,

1 (

=

)

+ i ,

1 (

=

)

i .

∂z 2 ∂x ∂y

∂z 2 ∂x ∂y

По главной части системы (7) построим матрицу-функцию

4 j 4 j 4

j 4 j

a4j,j (z)σ σ

Gz (σ) = j=0

b4j,j (z)σ σ

j=0 .

4

j

b4j,j (z)σ σ

j=0

4j

4

j

a4j,j (z)σ σ

j=0

4j

Эллиптичность системы (7) означает, что для любой точки z D и любого неравного нулю комплексного числа σ = σ1 + 2 должно выполняться неравенство det Gz (σ) ̸= 0,

Очевидно, что

где

det Gz (σ) = |Pz (t)|2 − |Qz (t)|2 ̸= 0,

4 4

Pz (t) = t

4

j=0

a4j,j (z)t

4+j

, Qz (t) = t

4

j=0

b4j,j (z)t

4j

, |t| = 1.

Как и в п. 1, разобьем эллиптические системы (7) на гомотопические классы jν (j = 0, 1, . . . , 4).

Две эллиптические системы из множества всех эллиптических систем (7) с одинаковой главной частью такой, что Gz (σ) F +, можно тогда и только тогда соединить непрерывным путем в F +, если

характеристические матричные полиномы этих систем гомотопны. Известно [4], что соотношение гомотопии разбивает F + на пять классов гомотопии — связанные открытые компоненты:

класс j0 : Ind|t|=1Pz (t) = 0, т. е. полином Pz (t) внутри единичного круга |t| = 1 корней не имеет;

Джангибеков Г., Одинабеков Д.М. К теории Нетера двумерных сингулярных операторов ...

10Dzhangibekov G., Оdinabekov J.M. On the Noether theory of two-dimensional singular operators ...

класс jν (1 ν 4) : Ind|t|=1Pz (t) = ν, т. е. полином Pz (t) внутри единичного круга |t| = 1 имеет

ровно ν корней.

Эти классы образуют полную систему множества F +, т. е. F 1 и F 2 из F + принадлежат некоторому

z z

классу jν (ν = 0, 1, 2, 3, 4) тогда и только тогда, когда F 1 F 2.

z z

p

Задача Дирихле. Найти функцию ω(z) из класса W 4(D) C(D), удовлетворяющую внутри G

уравнению (7), а на ее границе

Γ двум краевым условиям

1Γ

ω(z)1

1

∂ω 1

∂n 1

= 0,

1Γ

= 0, (8)

∂n

где ω

означает производную по направлению внешней нормали в точках контура Γ. Некоторые частные

случаи задачи (8) для системы (7) изучены в работе [11].

p

Известно [3–5], что любая комплекснозначная функция класса W 4(D) C(D), удовлетворяющая на

границе Γ однородным краевым условиям (8), представлена в виде

1 ∫∫

ω(z) = π

D

G4(z, ζ)f (ζ)dsζ (9)

с произвольной комплекснозначной плотностью f (z) Lp(D), p > 1, где G4(z, ζ) — функция Грина бигармонического уравнения области D :

11 12

1

1

G4(z, ζ) = |ζ z|2 ln1

1 (1 − |z|2)(1 − |ζ|2).

1 ζ z 1

Очевидно, что все производные от функции ω(z) по z и z до 3-го порядка дают интегральные операторы с непрерывными ядрами или с ядрами, имеющими слабую особенность, и, следовательно,

являются вполне непрерывными в Lp(D) (1 < p < ) операторами.

4

∂z4

Непосредственный подсчет показывает, что ω

определяется по формуле

4ω

2 ∫∫

где

∂z4 = π

D

K1(z, ζ)f (ζ)dsζ , (10)

1

K (z, ζ) = ζ z

(ζ z)3

+

3|ζ z|2ζ4

(1 )4

4(ζ z)ζ3

(1 )3

. (11)

Следует отметить, что первое слагаемое ядра K1(z, ζ) дает сингулярный интегральный оператор

(S2f )(z) :

(S2f )(z) = 2 ∫∫

e4

f (ζ)dsζ , θ = arg(ζ z), z D,

π |ζ z|2

D

а два других слагаемых имеют особенность лишь на границе Γ области D, поэтому они не дают вполне непрерывные операторы. Однако, если ζ Γ, т. е. когда |ζ| = 1, тогда K1(z, ζ) = 0, следовательно, в

целом ядро K1(z, ζ) имеет сингулярную особенность только внутри области D.

4

∂z3 ∂z

Аналогично вычислив производную ω

4ω

, получим

2 ∫∫

где

∂z3∂z = π

D

K2(z, ζ)f (ζ)dsζ , (12)

1

2(ζ z)ζ3

3ζ2

K2(z, ζ) = (ζ

z)2 (1 )3

+

(1 )2

. (13)

Первое слагаемое ядра K2(z, ζ) дает сингулярный интегральный оператор (Sf )(z) :

1 ∫∫

(Sf )(z) = π

D

e2

ζ − ∈

f (ζ)ds , θ = arg(ζ z), z D.

|ζ z|2

Отметим также, что K2(z, ζ) = 0 при ζ Γ.

4

∂z2 ∂z2

Вычислив производную ω

, получим

4ω

z2z2 = f (z).

Далее, переходя в формулах (10), (12) к комплексно-сопряженным значениям, находим другие производные от искомой функции ω(z).

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 7–13

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 7–13 11

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение (1) значения производных функций ω(z), для определения функции f (z) получим следующее двумерное сингулярное интегральное уравнение:

2

(a2,2I + b2,2K)f + (a4,0I + b0,4K)S2f + (a0,4I + b4,0K)S f +

+(a3,1I + b1,3K)Sf + (a1,3I + b3,1K)Sf + Tf = g,

(14)

здесь f (z) – искомая, g(z) – заданная функции класса Lp(D) (1 < p < ), а (Kf )(z) = f (z) – оператор перехода к комплексно-сопряженным значениям, T – вполне непрерывный оператор, а сингулярные

операторы S2, S2 , S , S

определяются по формулам

∗ ∗

(S2f )(z) = 2 ∫∫

2

K (z, ζ)f (ζ)ds , S = KS2K,

π 1

D

ζ ∗ ∗

1 ∫∫

(Sf )(z) = π

D

K2(z, ζ)f (ζ)dsζ , S = KSK.

Далее к сингулярным интегральным уравнениям (14) применяется теорема 1, и в зависимости от гомотопических классов jν (ν = 0, 1, . . . , 4) для задачи Дирихле (8) общей эллиптической системы (7) получены эффективные необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для подсчета индекса. Аналогичные результаты получены для задачи Неймана системы (7).

Результаты пункта 1 опубликованы в [12].

×

### G. Dzhangibekov

Tajik National University

Author for correspondence.
Email: gulkhoja@list.ru
ORCID iD: 0000-0001-8804-4400

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of Department of Functional Analysis and Differential Equations

Tajikistan

### J. M. Оdinabekov

Lomonosov Moscow State University in Dushanbe

Email: jasur_79@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-9851-9895

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, head of the Department of Fundamental and Natural Sciences

Tajikistan

## References

1. Mikhlin S.G. Multidimensional singular integrals and integral equations. Moscow: Fizmatgiz, 1962, 254 р. Available at: https://booksee.org/book/578442. (In Russ.)
2. Stein E.M. Note on singular integrals. Proc. Amer. Math. Soc., 1957, vol. 8, pp. 250–254.
3. Vekua I.N. Generalized analytic functions. Moscow: Nauka, 1959, 652 p. Available at:
4. http://bookfi.net/book/442081. (In Russ.)
5. Boyarsky B.V. Studies on elliptic equations in the plane and boundary problems of function theory: Doctoral of Physical and Mathematical Sciences thesis. Moscow, 1960. (In Russ.)
6. Juraev A.D. Method of singular integral equations. Moscow: Nauka, 1987, 415 p. Available at: https://b-ok.africa/book/2929918/866958. (In Russ.)
7. Boymatov K.Kh., Dzhangibekov G. On a singular integral operator. Russian Mathematical Surveys, 1988, vol. 43, number 3, pp. 199–200. DOI: https://doi.org/10.1070/RM1988v043n03ABEH001746. (In Russ.)
8. Dzhangibekov G. On a class of two-dimensional singular integral operators and its applications to boundary value problems for elliptic systems of equations in the plane. Doklady Mathematics, 1993, vol. 47, №. 3, pp. 498–503. Available at: https://zbmath.org/?q=an:0881.47026. (In Russ.)
9. Jangibekov G., Khujanazarova G.Kh. On the Noether property and the index for some two-dimensional singular integral operators in a connected domain. Doklady Mathematics, 2004, vol. 396, №4, pp. 449–454. Available at:
10. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=17352487. (In Russ.)
11. Dzhangibekov G., Odinabekov D.M., Khudzhanazarov G.Kh. The Noetherian Conditions and the Index of Some Class of Singular Integral Operators over a Bounded Simply Connected Domain. Moscow University Mathematics Bulletin, 2019, vol. 74, № 2, pp. 49–54. DOI: https://doi.org/10.3103/S0027132219020025. (In Russ.)
12. Duduchava R.V. On multidimensional singular integral operators II: The case of compact manifolds. Journal of Operator Theory, 1984, vol. 11, no. 1, pp. 41–76. Available at: https://www.researchgate.net/publication/266063688_On_multidimensional_singular_integral_operators_I_The_half-space_case.
13. Jangibekov G., Khujanazarova G.Kh. On the Dirichlet problem for elliptic systems of two equations of the fourth order on a plane. Doklady Mathematics, 2004, vol. 398, no. 2, pp. 151–155. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=17352913. (In Russ.)
14. Dzhangibekov G., Odinabekov D.M. On the theory of two-dimensional singular integral operators with even characteristic over a bounded domains. In: Contemporary problems of mathematics and mechanics. Proceedings of the conference dedicated to the 80th anniversary of academician V.A. Sadovnichy. Moscow: МGU, 2019,
15. pp. 50–53. doi: 10.29003/m978-5-317-06111-1. (In Russ.)

Copyright (c) 2020 Dzhangibekov G., Оdinabekov J.M.