ON THE NOETHER THEORY OF TWO-DIMENSIONAL SINGULAR OPERATORS AND APPLICATIONS TO BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR SYSTEMS OF FOURTH-ORDER ELLIPTIC EQUATIONS

Full Text

1. Пусть D — конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Γ и содержащая внутри точку z = 0; an(z), bn(z) (n = 0, ±1, . . . ± m)

   ∪

    

   — комплекснозначные непрерывные в D = D Γ функции. В пространстве Lp

   β−2/p

   (D), (1 < p < ∞,

   0 < β < 2)

   Lp

   β−2/p p p p

   β−2/p = {f (z) : |z|

   f (z) = F (z) ∈ L (D), ||f ||Lβ

   −2/p

    

   = ||F ||L },

   рассмотрим сингулярный интегральный оператор

   m

   A ≡ ∑ (an(z)I + bn(z)K)Sn, (1)

   n=−m

   где I – тождественный оператор, операторы K, S действуют по формулам

   1 ∫∫

   

   

   (Kf )(z) = f (z), (Sf )(z) = − π

   D

   e2iθ

   f (ζ)dsζ ,

   

   |ζ − z|2

   Sn – n-я степень оператора S.

   

   S−n = Sn = KSnK, θ = arg(ζ

    

   — z), z

    

   

   ∈ D,

   здесь черта обозначает операцию комплексного сопряжения, dsζ – элемент плоской меры Лебега, интеграл понимается в смысле главного значения по Коши [1]. При этом, хотя функции, входящие

   в Lp

   β−2/p

   (D), являются комплекснозначными, само пространство будем считать вещественным, т. е.

   рассматривать его как линейное множество над полем вещественных чисел. Тогда оператор A будет

   обычным линейным ограниченным оператором в Lp

   β−2/p

   (D), что следует, например, из [2].

   Интегральные операторы вида A широко применяются во многих задачах теории дифференциальных

   уравнений в частных производных [3–5]. В связи с этим представляет интерес установить критерии нетеровости таких операторов в виде явных условий на их коэффициенты. Некоторые частные случаи оператора A изучены в работах [6–9].

   

   σ

    

   Поскольку символ оператора Sn [1] равен ( σ )n (σ = σ1 + iσ2 ̸= 0), то согласно [10] свойства

   оператора U определяются свойствами матрицы

   ( P2m(z, t) Q2m(z, t) )

   GA(z, t) =

   , (2)

    

   где

    

   

   m

    

   P2m(z, t) = t

    

   m

   ∑

   n=−m

   Q2m(z, t) P2m(z, t)

    

   

   n 2m

    

   a (z)tm+n, Q (z, t) = tm

    

   m

   ∑

   n=−m

    

   bn(z)tm−n,

   и для нетеровости оператора A в Lp

   β−2/p

   1. необходимо, чтобы

      

      det GA(z, t) ≡ |P2m(z, t)|2 − |Q2m(z, t)|2 ̸= 0 для всех z ∈ D, |t| = 1. (3)

      Множество комплексных матричных полиномов второго порядка степени 2m, удовлетворяющих условию (2), будем обозначать через F 2. Два полинома G1(t) и G2(t) из F 2 назовем гомотопными (пишется

      G1(t) ∼ G2(t)), если существует семейство G (t; τ ) матричных полиномов из F 2, непрерывно зависящих

      от действительного параметра τ, 0 � τ � 1, такое, что

      G (t; 0) ≡ G1(t), G (t; 1) ≡ G2(t).

      Соотношение гомотопии [4] разбивает F 2 на классы гомотопии — связные, открытые компоненты множества F 2.

      Соответственно неравенству (2) возможны два случая:

      

      а) det GA(z, t) > 0 т. е. |P2m(z, t)| > |Q2m(z, t)| для всех z ∈ D, |t| = 1;

      b) det GA(z, t) < 0 т. е. |P2m(z, t)| < |Q2m(z, t)| для всех z ∈ D, |t| = 1.

      Множество матричных полиномов, удовлетворяющих условию (2), а), b), будем обозначать

      соответственно через F+2, F

      2. Если G (t) ∼ G (t), то G (t) и G (t) принадлежат одному и тому же

      − 1 2 1 2

      из этих множеств. В дальнейшем будем рассматривать лишь F+2.

      Итак, P2m(z, t) есть комплексный невырождающийся полином степени 2m. Пусть qk (k =

      = 1, 2, . . . 2m) — комплексные корни уравнения P2m(z, t) = 0. Согласно (2), a) эти корни не лежат на окружности |t| = 1, т. е. |qk| ̸= 1. Возможно, априори 2m + 1 случаев:

      j0) |qk| > 1, k = 1, 2, . . . , 2m, т. е. все корни лежат вне круга |t| = 1;

      jν ) |qk| < 1, k = 1, 2, . . . ν, т. е. внутри круга |t| = 1 лежат ν корней.

      (4)

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 7–13

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 7–13 9

       

      Класс матричных полиномов из F+2, для которого имеет место один из случаев (4), будем обозначать

      соответственно через Mjν , ν = 0, 1, 2, . . . , 2m. Далее в зависимости от класса Mjν находятся условия, при выполнении которых матрица GA(τ, t), τ ∈ Γ, |t| = 1 факторизуется с нулевыми частными индексами.

      Тогда из [8] следует, что оператор A нетеров в пространствах Lp

      β−2/p

      (D), 1 < p < ∞, 0 < β < 2.

      Введем обозначения

      

      

      

      

      ∆ν = |aν|2 − |bν|2, λνn = aν an − bν bn, µνn = aν bn − bν an,

      2m

      M = max|t|=1Re

      (∑

       

      j=1

      λj t

      j ), ν = 0, ±1, . . . ± m, n = ±1, . . . ± m,

      где функции λj явно выражаются через коэффициенты оператора A.

      Теорема 1. Для нетеровости оператора A в лебеговых пространствах Lp

      β−2/p

      (D), 1 < p < ∞,

      0 < β < 2 необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга)

      условий:

      ∆0(z) > M (z) + (M 2(z) +

      m

      ∑ (|µon(z)|2 − |λon(z)|2))

      n=−m

      1/2

      при ∀z ∈ D, (5)

      ∆ν (z) > M (z) + (M 2(z) + ∑m

      n= m

       

      −

      (|µνn(z)|2 − |λνn(z)|2))

      1/2

      , ν = ±1, . . . ± m, 0,

       

      (6)

      

      ∏ν

       

      k=1 Q2m(τ, qk (τ )) ̸= 0 при ∀ z ∈ D и τ ∈ Γ,

      где qk (τ ) – корни уравнения P2m(τ, t) = 0, τ ∈ Γ, |t| = 1, такие, что |qk (τ )| < 1 для ∀τ ∈ Γ. При этом, если выполнено (5), то индекс оператора A равен нулю; если выполнено (6), то

      ν

      κ = 2 ∑ IndΓQ2m(τ, qk (τ )).

      k=1

2. В качестве применения результатов теоремы 1 в D = {z : |z| < 1} рассмотрим общую эллиптическую систему двух дифференциальных уравнений 4-го порядка

4 [ ∂4 ω

]

 

 

∂4 ω

∑

j=0

a4−j,j (z) ∂z4−j ∂zj + b4−j,j (z) ∂z4−j ∂zj +

3 [

+ ∑ ak,j (z) ∂

k+j ω + b

(z) ∂

k+j ]

ω

 

= g(z),

(7)

k+j=0

∂zk ∂zj

k,j

∂zk ∂zj

где ω(z) = u(x, y) + iv(x, y), коэффициенты уравнения ak,j (z), bk,j (z) (k, j = 0, . . . , 4) будем считать непрерывными в D, g(z) ∈ Lp(D), 2 < p < ∞,

∂ 1 ( ∂

=

∂ )

+ i ,

∂ 1 ( ∂

=

∂ )

— i .

∂z 2 ∂x ∂y

∂z 2 ∂x ∂y

По главной части системы (7) построим матрицу-функцию

 4 j 4 j 4

j 4 j 

∑ a4−j,j (z)σ σ −

Gz (σ) =  j=0

∑ b4−j,j (z)σ σ −

j=0  .

 4

j

 

 ∑ b4−j,j (z)σ σ

j=0

4−j

4

j

 

∑ a4−j,j (z)σ σ

j=0



4−j 

Эллиптичность системы (7) означает, что для любой точки z ∈ D и любого неравного нулю комплексного числа σ = σ1 + iσ2 должно выполняться неравенство det Gz (σ) ̸= 0,

Очевидно, что

 

где

det Gz (σ) = |Pz (t)|2 − |Qz (t)|2 ̸= 0,

4 4

Pz (t) = t

4 ∑

j=0

a4−j,j (z)t

4+j

, Qz (t) = t

4 ∑

j=0

b4−j,j (z)t

4−j

, |t| = 1.

Как и в п. 1, разобьем эллиптические системы (7) на гомотопические классы jν (j = 0, 1, . . . , 4).

Две эллиптические системы из множества всех эллиптических систем (7) с одинаковой главной частью такой, что Gz (σ) ∈ F +, можно тогда и только тогда соединить непрерывным путем в F +, если

характеристические матричные полиномы этих систем гомотопны. Известно [4], что соотношение гомотопии разбивает F + на пять классов гомотопии — связанные открытые компоненты:

класс j0 : Ind|t|=1Pz (t) = 0, т. е. полином Pz (t) внутри единичного круга |t| = 1 корней не имеет;

Джангибеков Г., Одинабеков Д.М. К теории Нетера двумерных сингулярных операторов ...

10Dzhangibekov G., Оdinabekov J.M. On the Noether theory of two-dimensional singular operators ...

 

класс jν (1 � ν � 4) : Ind|t|=1Pz (t) = ν, т. е. полином Pz (t) внутри единичного круга |t| = 1 имеет

ровно ν корней.

Эти классы образуют полную систему множества F +, т. е. F 1 и F 2 из F + принадлежат некоторому

z z

классу jν (ν = 0, 1, 2, 3, 4) тогда и только тогда, когда F 1 ∼ F 2.

z z

p

 

Задача Дирихле. Найти функцию ω(z) из класса W 4(D) ∩ C(D), удовлетворяющую внутри G

уравнению (7), а на ее границе

Γ двум краевым условиям

1Γ

 

ω(z)1

1

 

∂ω 1

∂n 1

 

= 0,

1Γ

 

= 0, (8)

∂n

 

где ∂ω

означает производную по направлению внешней нормали в точках контура Γ. Некоторые частные

случаи задачи (8) для системы (7) изучены в работе [11].

p

 

Известно [3–5], что любая комплекснозначная функция класса W 4(D) ∩ C(D), удовлетворяющая на

границе Γ однородным краевым условиям (8), представлена в виде

1 ∫∫

ω(z) = − π

D

G4(z, ζ)f (ζ)dsζ (9)

с произвольной комплекснозначной плотностью f (z) ∈ Lp(D), p > 1, где G4(z, ζ) — функция Грина бигармонического уравнения области D :

11 − zζ 12

1

 

1

 

G4(z, ζ) = |ζ − z|2 ln1

1 − (1 − |z|2)(1 − |ζ|2).

1 ζ − z 1

Очевидно, что все производные от функции ω(z) по z и z до 3-го порядка дают интегральные операторы с непрерывными ядрами или с ядрами, имеющими слабую особенность, и, следовательно,

являются вполне непрерывными в Lp(D) (1 < p < ∞) операторами.

4

∂z4

 

Непосредственный подсчет показывает, что ∂ ω

определяется по формуле

∂4ω

2 ∫∫

 

где

∂z4 = π

D

K1(z, ζ)f (ζ)dsζ , (10)

1

 

K (z, ζ) = ζ − z

(ζ − z)3

+

 

3|ζ − z|2ζ4

(1 − zζ)4

4(ζ − z)ζ3

— zζ

 

− (1 )3

. (11)

Следует отметить, что первое слагаемое ядра K1(z, ζ) дает сингулярный интегральный оператор

(S2f )(z) :

(S2f )(z) = 2 ∫∫

e4iθ

f (ζ)dsζ , θ = arg(ζ − z), z ∈ D,

π |ζ − z|2

D

а два других слагаемых имеют особенность лишь на границе Γ области D, поэтому они не дают вполне непрерывные операторы. Однако, если ζ ∈ Γ, т. е. когда |ζ| = 1, тогда K1(z, ζ) = 0, следовательно, в

целом ядро K1(z, ζ) имеет сингулярную особенность только внутри области D.

4

∂z3 ∂z

 

Аналогично вычислив производную ∂ ω

∂4ω

, получим

2 ∫∫

 

где

∂z3∂z = π

D

K2(z, ζ)f (ζ)dsζ , (12)

1

2(ζ − z)ζ3

3ζ2

K2(z, ζ) = − (ζ

— zζ

 

−

 

z)2 − (1 )3

+

(1 − zζ)2

. (13)

Первое слагаемое ядра K2(z, ζ) дает сингулярный интегральный оператор (Sf )(z) :

1 ∫∫

(Sf )(z) = − π

D

e2iθ

ζ − ∈

 

f (ζ)ds , θ = arg(ζ z), z D.

|ζ − z|2

∈

 

Отметим также, что K2(z, ζ) = 0 при ζ Γ.

4

∂z2 ∂z2

 

Вычислив производную ∂ ω

, получим

 

∂4ω

∂z2∂z2 = f (z).

Далее, переходя в формулах (10), (12) к комплексно-сопряженным значениям, находим другие производные от искомой функции ω(z).

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 7–13

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 7–13 11

 

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение (1) значения производных функций ω(z), для определения функции f (z) получим следующее двумерное сингулярное интегральное уравнение:

∗

 

2

 

∗

 

(a2,2I + b2,2K)f + (a4,0I + b0,4K)S2f + (a0,4I + b4,0K)S f +

+(a3,1I + b1,3K)S∗f + (a1,3I + b3,1K)S∗f + Tf = g,

 

(14)

здесь f (z) – искомая, g(z) – заданная функции класса Lp(D) (1 < p < ∞), а (Kf )(z) = f (z) – оператор перехода к комплексно-сопряженным значениям, T – вполне непрерывный оператор, а сингулярные

операторы S2, S2 , S , S

определяются по формулам

∗ ∗ ∗ ∗

(S2f )(z) = 2 ∫∫

 

2

 

K (z, ζ)f (ζ)ds , S = KS2K,

∗ π 1

D

ζ ∗ ∗

1 ∫∫

(S∗f )(z) = π

D

 

K2(z, ζ)f (ζ)dsζ , S∗ = KS∗K.

Далее к сингулярным интегральным уравнениям (14) применяется теорема 1, и в зависимости от гомотопических классов jν (ν = 0, 1, . . . , 4) для задачи Дирихле (8) общей эллиптической системы (7) получены эффективные необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для подсчета индекса. Аналогичные результаты получены для задачи Неймана системы (7).

Результаты пункта 1 опубликованы в [12].

 

About the authors

G. Dzhangibekov

Tajik National University

Author for correspondence.
Email: gulkhoja@list.ru
ORCID iD: 0000-0001-8804-4400

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of Department of Functional Analysis and Differential Equations

Tajikistan

J. M. Оdinabekov

Lomonosov Moscow State University in Dushanbe

Email: jasur_79@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-9851-9895

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, head of the Department of Fundamental and Natural Sciences

Tajikistan

References

Supplementary files