Dynamics of entanglement of qubits in the three-qubit Tavis — Cummings model with dipole-dipole interaction

Full Text

Введение
Многокубитные перепутанные состояния играют одну из ключевых ролей в квантовой
информации. Они используются для различных квантовых приложений, таких как кванто-
вые вычисления и безопасная связь [1–3]. За последние годы виден значительный прогресс
в создании квантовых чипов, содержащих большое количество кубитов. В 2019 году [4] был
продемонстрирован квантовый компьютер с 53 сверхпроводящими джозефсоновскими кольца-
ми. В 2021 году был создан чип для квантового компьютера на основе 127 сверхпроводящих
джозефсоновских колец [5]. На сегодняшний момент также были реализованы многокубитные
устройства на ионах в магнитных ловушках, квантовых точках, содержащие более десятка
кубитов [6]. Для эффективного использования квантовых устройств, таких как квантовые
компьютеры и квантовые сети, используют перепутанные состояния кубитов [7]. В качестве
количественной меры перепутывания кубитов предложены различные меры. Однако большая
часть из них требует выполнения определенных условий, которые можно определить как набор
аксиом, таких как обнуление меры для сепарабельных состояний, инвариантность относительно
локальных унитарных операций и другие. Сложность расчета этих мер для произвольных
состояний лежит в их незамкнутой форме. Простейшей системой, для которой на данный мо-
мент времени определены строгие количественные критерии перепутывания кубитов, является
двухкубитная. Критерии Переса — Хородецких (отрицательность) [8; 9] и согласованность
Вуутерса [10] являются необходимыми условиями для сепарабельности двухкубитной матри-
цы плотности. Для систем с большим числом кубитов такие строгие критерии отсутствуют.
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутывания атомов в трехкубитной модели...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entanglement of qubits in the three-qubit... 90 из 103
В случае многокубитной системы для анализа динамики перепутывания рассматривают за-
путывание отдельных пар кубитов с использованием отрицательности или согласованности.
При этом особое внимание уделялось строгому математическому анализу свойств и динамики
перепутанных состояний в трехкубитных системах [11—17].
В некоторых работах было доказано, что диполь-дипольное взаимодействие играет суще-
ственную роль в эволюции квантовых корреляций [18–20], а также в динамике перепутанно-
сти [21]. Влияние диполь-дипольного взаимодействия на характер перепутанности между двумя
идентичными двухуровневыми атомами в двухмодовом поле резонатора было исследовано
в работе [22]. Результаты показали, что диполь-дипольное взаимодействие может привести
к большей перепутанности между атомами, и эффект внезапной смерти также может быть
ослаблен. Следует подчеркнуть, что диполь-дипольным взаимодействием атомов нельзя пре-
небрегать, когда расстояние между атомами меньше длины волны в резонаторе. В нашей
предыдущей работе мы детально исследовали динамику перепутывания системы трех кубитов,
два из которых резонансно взаимодействуют с модой квантового электромагнитного поля в
резонаторе без потерь, а третий находится вне резонатора [23]. Представляет большой интерес
обобщить полученные результаты на случай, когда между изолированным и захваченным
кубитами присутствует диполь-дипольное взаимодействие.
В данной статье нами была исследована динамика системы, состоящей из трех идентичных
кубитов, два из которых резонансно взаимодействуют с модой квантового электромагнитного
поля идеального резонатора посредством однофотонных переходов, а третий кубит перемеща-
ется вне резонатора. Между изолированным и захваченным кубитами учитывается диполь-
дипольное взаимодействие. Полученные решения нестационарного уравнения Шредингера были
использованы для расчета параметра перепутывания пар кубитов. Для оценки количественной
меры перепутывания пар кубитов нами использовался параметр Переса — Хородецких.
1. Модель и решение нестационарного уравнения Шредингера
Опишем интересующую нас модель. Мы рассматриваем систему из трех идентичных кубитов
A, B и C. Два кубита B и C заперты в резонаторе и резонансно взаимодействуют с его
квантованным электромагнитным полем, а третий кубит A перемещается вне резонатора.
Будем учитывать прямое диполь-дипольное взаимодействие между кубитами A и B. Тогда
гамильтониан взаимодействия описанной системы в приближении вращающейся волны можно
записать в виде:
ˆH
Int = ¯hγ Σ
i=B,C
????
ˆσ
+
i ˆa + ˆσ−
i ˆa+
+ ¯hJ
????
ˆσ
+
Aˆσ−
B + ˆσ−
Aˆσ +
B

, (1)
где ˆσ +
i = |+⟩i⟨−| и ˆσ−
i = |−⟩i⟨+| — повышающий и понижающий операторы в i-м кубите,
ˆa( ˆa+) — оператор уничтожения (рождения) фотона в моде резонатора, γ — константа, ха-
рактеризующая кубит-фотонную связь, J — константа диполь-дипольного взаимодействия.
Важно отметить, что для сверхпроводящих кубитов константа диполь-дипольного взаимодей-
ствия может превосходить константу кубит-фотонной связи. При записи гамильтониана (1) мы
предположили, что кубиты B и C имеют одинаковые константы взаимодействия с резонатором.
Мы будем полагать, что кубиты в начальный момент времени приготовлены в одном из
следующих сепарабельных состояний
|ψ1(0)⟩ABC = |+,+,−⟩, (2)
|ψ2(0)⟩ABC = |+,−,−⟩ (3)
или в одном из бисепарабельных состояний
|ψ3(0)⟩ABC = cos θ|+,+,−⟩ + sin θ|+,−,+⟩, (4)
|ψ4(0)⟩ABC = cos θ|−,+,−⟩ + sin θ|−,−,+⟩, (5)
где θ — параметр, определяющий начальную перепутанность кубитов.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 89–103
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 89–103 91 из 103
Мы предполагаем, что поле резонатора в начальный момент времени находится в тепловом
одномодовом состоянии с матрицей плотности вида
ρF(0) =Σn
pn|n⟩⟨n|, (6)
где pn — статистический вес, который задается следующей формулой:
pn =
¯nn
(1 + ¯n)n+1 , ¯n =

exp
¯hω
kBT
− 1
−1
.
Здесь ¯n — среднее число тепловых фотонов, kB — постоянная Больцмана, T — температура
резонатора.
Для описания динамики изучаемой модели нам нужно найти волновую функцию в после-
дующие моменты времени для фоковских состояний поля n (n = 0, 1, 2. . . ) и затем обобщить
полученное решение для волновой функции на случай теплового поля резонатора.
Запишем явный вид волновой функции для начального сепарабельного состояния (2) в
случае фотонов в моде n = 0
|ϕ(t)ABCF⟩1 = x1(t)|+,+,−, 0⟩ + x2(t)|+,−,+, 0⟩ + x3(t)|−,+,+, 0⟩ +
+x4(t)|+,−,−, 1⟩ + x5(t)|−,+,−, 1⟩ + x6(t)|−,−,+, 1⟩ + x7(t)|−,−,−, 2⟩, (7)
и в случае n ≥ 1
|ψ(t)ABCF⟩1 = B1(t)|+,+,+, n − 1⟩ + B2(t)|+,+,−, n⟩ + B3(t)|+,−,+, n⟩ +
+B4(t)|−,+,+, n⟩ + B5(t)|+,−,−, n + 1⟩ + B6(t)|−,+,−, n + 1⟩ +
+B7(t)|−,−,+, n + 1⟩ + B8(t)|−,−,−, n + 2⟩. (8)
Теперь, подставляя гамильтониан взаимодействия (1) и волновые функции (7), (8) в неста-
ционарное уравнение Шредингера
i¯h ∂|Ψ(t)⟩
∂t
= ˆH Int|Ψ(t)⟩, (9)
можно получить следующие системы дифференциальных уравнений: 


ix˙1(t) = γx4(t),
ix˙2(t) = Jx3(t) + γx4(t),
ix˙3(t) = Jx2(t) + γ (x5(t) + x6(t)) ,
ix˙4(t) = Jx5(t) + γ (x1(t) + x2(t)) ,
ix˙5(t) = Jx4(t) + γ

x3(t) +
√
2x7(t)

,
ix˙6(t) = γ

x3(t) +
√
2x7(t)

,
ix˙7(t) =
√
2γ (x5(t) + x6(t))
(10)
и 


i˙B1(t) = γ
√
n (B2(t) + B3(t)) ,
i˙B2(t) = γ
????√
nB1(t) +
√
n + 1B5(t)

,
i˙B3(t) = γ
????√
nB1(t) +
√
n + 1B5(t)

+ JB4(t),
i˙B4(t) = γ
√
n + 1 (B6(t) + B7(t)) + JB3(t),
i˙B5(t) = γ
√
n + 1 (B2(t) + B3(t)) + JB6(t),
i˙B6(t) = γ
????√
n + 1B4(t) +
√
n + 2B8(t)

+ JB5(t),
i˙B7(t) = γ
????√
n + 1B4(t) +
√
n + 2B8(t)

,
i˙B8(t) = γ
√
n + 2 (B6(t) + B7(t))
(11)
с начальными условиями: x1(0) = 1, x2(0) = x3(0) = x4(0) = x5(0) = x6(0) = x7(0) = 0 и
B2(0) = 1, B1(0) = B3(0) = B4(0) = B5(0) = B6(0) = B7(0) = B8(0) = 0. Аналогичные системы
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутывания атомов в трехкубитной модели...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entanglement of qubits in the three-qubit... 92 из 103
дифференциальных уравнений можно получить и для начального бисепарабельного состояния
(4), но с другими начальными условиями: x1(0) = cos θ, x2(0) = sin θ, x3(0) = x4(0) = x5(0) =
= x6(0) = x7(0) = 0 и B2(0) = cos θ, B3(0) = sin θ, B1(0) = B4(0) = B5(0) = B6(0) = B7(0) =
= B8(0). Теперь запишем явный вид волновой функции в последующие моменты времени для
начального сепарабельного состояния (3) в случае фотонов в моде n = 0
|μ(t)ABCF⟩ = y1(t)|+,−,−, 0⟩ + y2(t)|−,+,−, 0⟩ + y3(t)|−,−,+, 0⟩ + y4(t)|−,−,−, 1⟩, (12)
в случае фотонов в моде n = 1
|ϕ(t)ABCF⟩2 = x1(t)|+,+,−, 0⟩ + x2(t)|+,−,+, 0⟩ + x3(t)|−,+,+, 0⟩ +
+x4(t)|+,−,−, 1⟩ + x5(t)|−,+,−, 1⟩ + x6(t)|−,−,+, 1⟩ + x7(t)|−,−,−, 2⟩, (13)
и в случае фотонов в моде n ≥ 2 волновая функция запишется в виде
|ψ(t)ABCF⟩2 = B1(t)|+,+,+, n − 2⟩ + B2(t)|+,+,−, n − 1⟩ + B3(t)|+,−,+, n − 1⟩ +
+B4(t)|−,+,+, n − 1⟩ + B5(t)|+,−,−, n⟩ + B6(t)|−,+,−, n⟩ +
+B7(t)|−,−,+, n⟩ + B8(t)|−,−,−, n + 1⟩. (14)
Подставив волновые функции (12)–(14) и гамильтониан системы (1) в нестационарное урав-
нение Шредингера (9), можно получить следующие системы дифференциальных уравнений:


iy˙1(t) = Jy2(t),
iy˙2(t) = Jy1(t) + γy4(t),
iy˙3(t) = γy4(t),
iy˙4(t) = γ (y2(t) + y3(t)) ,


ix˙1(t) = γx4(t),
ix˙2(t) = Jx3(t) + γx4(t),
ix˙3(t) = Jx2(t) + γ (x5(t) + x6(t)) ,
ix˙4(t) = Jx5(t) + γ (x1(t) + x2(t)) ,
ix˙5(t) = Jx4(t) + γ

x3(t) +
√
2x7(t)

,
ix˙6(t) = γ

x3(t) +
√
2x7(t)

,
ix˙7(t) =
√
2γ (x5(t) + x6(t))
(15)
и 


i˙B1(t) = γ
√
n − 1 (B2(t) + B3(t)) ,
i˙B2(t) = γ
????√
nB5(t) +
√
n − 1B1(t)

,
i˙B3(t) = γ
????√
nB5(t) +
√
n − 1B1(t)

+ JB4(t),
i˙B4(t) = γ
√
n (B6(t) + B7(t)) + JB3(t),
i˙B5(t) = γ
√
n (B2(t) + B3(t)) + JB6(t),
i˙B6(t) = γ
????√
nB4(t) +
√
n + 1B8(t)

+ JB5(t),
i˙B7(t) = γ
????√
nB4(t) +
√
n + 1B8(t)

,
i˙B8(t) = γ
√
n + 1 (B6(t) + B7(t))
(16)
с начальными условиями: y1(0) = 1, y2(0) = y3(0) = y4(0) = 0; x4(0) = 1, x1(0) = x2(0) =
= x3(0) = x5(0) = x6(0) = x7(0) = 0 и B5(0) = 1, B1(0) = B2(0) = B3(0) = B4(0) = B6(0) =
= B7(0) = B8(0) = 0. Для начального бисепарабельного состояния (5) получаются анало-
гичные системы, но со следующими начальными условиями: y2(0) = cos θ, y3(0) = sin θ,
y1(0) = y4(0) = 0; x1(0) = x2(0) = x3(0) = x4(0) = x7(0) = 0, x5(0) = cos θ, x6(0) = sin θ
и B6(0) = cos θ, B7(0) = sin θ, B1(0) = B2(0) = B3(0) = B4(0) = B5(0) = B8(0) = 0.
Для модели, изучаемой в настоящей статье, решения систем дифференциальных уравне-
ний (10), (11) и (15), (16) имеют чрезмерно громоздкий вид. Поэтому в данной работе мы
ограничимся численным решением указанных уравнений. Зная явный вид волновых функций
(7), (8) и (12)–(14), мы можем вычислить временную матрицу плотности для полной системы,
состоящей их трех кубитов и моды поля, по следующей формуле:
ρABCF(t) =
∞Σ
n=0
pn|Ψ(t)⟩⟨Ψ(t)|, (17)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 89–103
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 89–103 93 из 103
которая для начальных состояний (2) и (4) преобразуется в следующее выражение:
ρABCF(t) =
∞Σ
n=1
pn|ψ(t)ABCF⟩11⟨ψ(t)ABCF| + p0|ϕ(t)ABCF⟩11⟨ϕ(t)ABCF|,
а для состояний (3) и (5) получаем следующую формулу:
ρABCF(t) =
∞Σ
n=2
pn|ψ(t)ABCF⟩22⟨ψ(t)ABCF| + p1|ϕ(t)ABCF⟩22⟨ϕ(t)ABCF| + p0|μ(t)ABCF⟩⟨μ(t)ABCF|.
На данный момент в квантовой оптике количественные критерии запутывания определены
только для двухкубитных систем. К ним, например, относят отрицательность [8; 9] и согласо-
ванность [10]. В данной статье мы будем вычислять критерий отрицательности пар кубитов.
Для вычисления критерия отрицательности пары кубитов i и j нужно найти двухкубитную
матрицу плотности ρij(t), которая вычисляется следующим образом:
ρij(t) = TrkTrFρABCF (i, j, k = A, B, C; i ̸= j ̸= k) . (18)
2. Вычисление параметра перепутывания и обсуждение
результатов
Мы используем стандартную формулировку критерия отрицательности
εij = −2Σl
????
μij
−
l , (19)
где μij — отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным
одного кубита редуцированной двухкубитной матрицы плотности ρT
ij(t), которая для начальных
состояний (2)–(5) имеет следующий вид:
ρT
ij(t) =


ρ
ij
11 0 0

ρ
ij
23
∗
0 ρ
ij
22 0 0
0 0 ρ
ij
33 0
ρ
ij
23 0 0 ρ
ij
44


. (20)
Тогда выражение (19) для критерия отрицательности примет следующий вид:
εij =
r
ρ
ij
44 − ρ
ij
11
2
+ 4|ρ
ij
23|2 − ρ
ij
11 − ρ
ij
44. (21)
Для начальных состояний (2), (4) и кубитов A и B элементы матрицы плотности выглядят
следующим образом:
ρAB
11 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B1(t)|2 + |B2(t)|2
+ p0|x1(t)|2,
ρAB
22 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B3(t)|2 + |B5(t)|2
+ p0

|x2(t)|2 + |x4(t)|2
,
ρAB
33 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B4(t)|2 + |B6(t)|2
+ p0

|x3(t)|2 + |x5(t)|2
,
ρAB
44 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B7(t)|2 + |B8(t)|2
+ p0

|x6(t)|2 + |x7(t)|2
,
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутывания атомов в трехкубитной модели...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entanglement of qubits in the three-qubit... 94 из 103
ρAB
23 (t) =
∞Σ
n=1
pn [B5(t)B∗
6 (t) + B3(t)B∗
4 (t)] + p0 [x2(t)x∗
3 (t) + x4(t)x∗
5 (t)] .
Для начальных состояний (2), (4) и кубитов A и C элементы матрицы плотности выглядят
следующим образом:
ρAC
11 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B1(t)|2 + |B3(t)|2
+ p0|x2(t)|2,
ρAC
22 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B2(t)|2 + |B5(t)|2
+ p0

|x1(t)|2 + |x4(t)|2
,
ρAC
33 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B4(t)|2 + |B7(t)|2
+ p0

|x3(t)|2 + |x6(t)|2
,
ρAC
44 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B6(t)|2 + |B8(t)|2
+ p0

|x5(t)|2 + |x7(t)|2
,
ρAC
23 (t) =
∞Σ
n=1
pn [B2(t)B∗
4 (t) + B5(t)B∗
7 (t)] + p0 [x1(t)x∗
3 (t) + x4(t)x∗
6 (t)] .
Для начальных состояний (2), (4) и кубитов B и C элементы матрицы плотности выглядят
следующим образом:
ρBC
11 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B1(t)|2 + |B4(t)|2
+ p0|x3(t)|2,
ρBC
22 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B2(t)|2 + |B6(t)|2
+ p0

|x1(t)|2 + |x5(t)|2
,
ρBC
33 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B3(t)|2 + |B7(t)|2
+ p0

|x2(t)|2 + |x6(t)|2
,
ρBC
44 (t) =
∞Σ
n=1
pn

|B5(t)|2 + |B8(t)|2
+ p0

|x4(t)|2 + |x7(t)|2
,
ρBC
23 (t) =
∞Σ
n=1
pn [B2(t)B∗
3 (t) + B6(t)B∗
7 (t)] + p0 [x1(t)x∗
2 (t) + x5(t)x∗
6 (t)] .
Для начальных состояний (3), (5) и кубитов A и B элементы матрицы плотности выглядят
следующим образом:
ρAB
11 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B1(t)|2 + |B2(t)|2
+ p1|x1(t)|2,
,
ρAB
22 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B3(t)|2 + |B5(t)|2
+ p1

|x2(t)|2 + |x4(t)|2
+ p0|y1(t)|2,
ρAB
33 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B4(t)|2 + |B6(t)|2
+ p1

|x3(t)|2 + |x5(t)|2
+ p0|y2(t)|2,
ρAB
44 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B7(t)|2 + |B8(t)|2
+ p1

|x6(t)|2 + |x7(t)|2
+ p0

|y3(t)|2 + |y4(t)|2
,
ρAB
23 (t) =
∞Σ
n=2
pn [B3(t)B∗
4 (t) + B5(t)B∗
6 (t)] + p1 [x4(t)x∗
5 (t) + x2(t)x∗
3 (t)] + p0y1(t)y∗
2(t).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 89–103
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 89–103 95 из 103
Для начальных состояний (3), (5) и кубитов A и C элементы матрицы плотности выглядят
следующим образом:
ρAC
11 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B1(t)|2 + |B3(t)|2
+ p1|x2(t)|2,
,
ρAC
22 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B2(t)|2 + |B5(t)|2
+ p1

|x1(t)|2 + |x4(t)|2
+ p0|y1(t)|2,
ρAC
33 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B4(t)|2 + |B7(t)|2
+ p1

|x3(t)|2 + |x6(t)|2
+ p0|y3(t)|2,
ρAC
44 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B6(t)|2 + |B8(t)|2
+ p1

|x5(t)|2 + |x7(t)|2
+ p0

|y2(t)|2 + |y4(t)|2
,
ρAC
23 (t) = Σ
n=2
pn [B2(t)B∗
4 (t) + B5(t)B∗
7 (t)] + p1 [x4(t)x∗
6 (t) + x1(t)x∗
3 (t)] + p0y1(t)y∗
3(t).
Для начальных состояний (3), (5) и кубитов B и C элементы матрицы плотности выглядят
следующим образом:
ρBC
11 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B1(t)|2 + |B4(t)|2
+ p1|x3(t)|2,
,
ρBC
22 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B2(t)|2 + |B6(t)|2
+ p1

|x1(t)|2 + |x5(t)|2
+ p0|y2(t)|2,
ρBC
33 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B3(t)|2 + |B7(t)|2
+ p1

|x2(t)|2 + |x6(t)|2
+ p0|y3(t)|2,
ρBC
44 (t) =
∞Σ
n=2
pn

|B5(t)|2 + |B8(t)|2
+ p1

|x4(t)|2 + |x7(t)|2
+ p0

|y1(t)|2 + |y4(t)|2
,
ρBC
23 (t) = Σ
n=2
pn [B2(t)B∗
3 (t) + B6(t)B∗
7 (t)] + p1 [x5(t)x∗
6 (t) + x1(t)x∗
2 (t)] + p0y2(t)y∗
3(t).
Результаты компьютерного моделирования временной зависимости критерия отрицательно-
сти εij от приведенного времени γt для начального сепарабельного состояния (2) и различных
значений константы диполь-дипольного взаимодействия изображены на рис. 1. Среднее число
тепловых фотонов выбрано равным ¯n = 0.1. Важно отметить, что для данной модели в случае
отсутствия диполь-дипольного взаимодействия перепутывание между кубитами A и B (и A и C)
не появляется в процессе эволюции для всех начальных состояний кубитов (2)–(5). Однако
учет даже небольшого значения константы диполь-дипольного взаимодействия приводит к
существенному перепутыванию между кубитами A и B ( и A и C ) в последующие моменты
времени. Из всех графиков хорошо видно, что влияние диполь-дипольного взаимодействия
не монотонно. Также наблюдается переход перепутанности от одной пары атомов к другим
парам атомов в процессе эволюции. Включение диполь-дипольной связи между кубитами A и B
не исключает эффект мгновенной смерти перепутывания для всех возможных пар кубитов.
Мгновенной смертью перепутывания называется исчезновение перепутывания кубитов на вре-
менах меньше времени диссипации энергии, фазы и т. д. На рис. 2 мы строим аналогичные
временные зависимости критерия отрицательности εij от приведенного времени γt, но для
начального сепарабельного состояния (3) при среднем числе тепловых фотонов ¯n = 0.1. Все
выводы, описанные в предыдущем случае, справедливы и для начального сепарабельного
состояния (3). Однако есть существенное различие в поведении динамики перепутывания
между кубитами A и B. Из рис. 2, а хорошо видно, что включение диполь-дипольной связи
приводит к полному подавлению эффекта мгновенной смерти перепутывания. На рис. 3 пока-
заны временные зависимости отрицательности εij от приведенного времени γt для начального
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутывания атомов в трехкубитной модели...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entanglement of qubits in the three-qubit... 96 из 103
бисепарабельного состояния (4) при начальном параметре θ = π/4 и среднем числе тепловых
фотонов ¯n = 0.1. Из графиков хорошо видно, что относительно небольшое значение диполь-
дипольного взаимодействия J = 0.2 приводит к перепутыванию кубитов A и B (и B и C) и
не приводит к существенным изменениям в динамике перепутывания кубитов, находящихся
внутри резонатора, в отличие от сепарабельных состояний кубитов (2) и (3). Последующее
увеличение диполь-дипольной связи приводит к увеличению максимальной степени перепуты-
вания кубитов A и B (и B и C) и к подавлению перепутанности между кубитами B и C. Также
видно, что включение диполь-дипольного взаимодействия не приводит к подавлению эффекта
мгновенной смерти перепутывания для кубитов A и B. На рис. 4 мы показываем аналогичные
зависимости, но для начального бисепарабельного состояния кубитов (5). В принципе поведение
отрицательности для состояния (5) аналогично поведению отрицательности для состояния (4).
Различия заключаются в следующем: во-первых, для попарного перепутывания кубитов A и B
диполь-дипольное взаимодействие может полностью исключить эффект внезапной смерти
перепутывания. Во-вторых, перепутывание между кубитами A и B (и A и C) не возникает
при слабом диполь-дипольном взаимодействии в отличие от начального бисепарабельного
состояния (4), у которого перепутывание пар кубитов возникает и при J = 0.2.
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
εAB(γt)
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
εAC(γt)
a b
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.2
0.4
0.6
0.8
εBC(γt)
c
Рис 1. Критерий отрицательности εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) и εBC(γt) (c) построен как функция
приведенного времени γt для начального сепарабельного состояния вида (2). Среднее число тепловых
фотонов ¯n = 0.1. Константа диполь-дипольного взаимодействия J: J = 0.05 (черная сплошная линия),
J = 0.2 (красная пунктирная линия), J = 2 (синяя точечная линия)
Fig 1. Negativity criterion εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) and εBC(γt) (c) are plotted as a function of the scaled
time γt for the initial separable state of the form (2). The mean number of thermal photons ¯n = 0.1.
The constant of the dipole-dipole interaction J: J = 0.05 (black solid line), J = 0.2 (red dashed line),
J = 2 (blue dotted line)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 89–103
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 89–103 97 из 103
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
εAB(γt)
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.2
0.4
0.6
0.8
εAC(γt)
a b
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
εBC(γt)
c
Рис 2. Критерий отрицательности εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) и εBC(γt) (c) построен как функция
приведенного времени γt для начального сепарабельного состояния вида (3). Среднее число тепловых
фотонов ¯n = 0.1. Константа диполь-дипольного взаимодействия J: J = 0.2 (черная сплошная линия),
J = 2 (красная пунктирная линия)
Fig 2. Negativity criterion εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) and εBC(γt) (c) are plotted as a function of the scaled
time γt for the initial separable state of the form (3). The mean number of thermal photons ¯n = 0.1.
The constant of the dipole-dipole interaction J: J = 0.2 (black solid line), J = 2 (red dashed line)
0 5 10 15 20
0.00 γt
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
εAB(γt)
0 5 10 15 20
0.00 γt
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
εAC(γt)
a b
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
εBC(γt)
c
Рис 3. Критерий отрицательности εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) и εBC(γt) (c) построен как функция
приведенного времени γt для начального бисепарабельного состояния вида (4). Среднее число
тепловых фотонов ¯n = 0.1. Константа диполь-дипольного взаимодействия J: J = 0.05 (черная сплошная
линия), J = 0.2 (красная пунктирная линия), J = 2 (синяя точечная линия)
Fig 3. Negativity criterion εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) and εBC(γt) (c) are plotted as a function of the scaled
time γt for the initial biseparable state of the form (4). The mean number of thermal photons ¯n = 0.1.
The constant of the dipole-dipole interaction J: J = 0.05 (black solid line), J = 0.2 (red dashed line),
J = 2 (blue dotted line)
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутывания атомов в трехкубитной модели...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entanglement of qubits in the three-qubit... 98 из 103
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
εAB(γt)
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
εAC(γt)
a b
0 5 10 15 20
0.0 γt
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
εBC(γt)
c
Рис 4. Критерий отрицательности εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) и εBC(γt) (c) построен как функция
приведенного времени γt для начального бисепарабельного состояния вида (5). Среднее число
тепловых фотонов ¯n = 0.1. Константа диполь-дипольного взаимодействия J: J = 1 (черная сплошная
линия), J = 2 (красная пунктирная линия).
Fig 4. Negativity criterion εAB(γt) (a), εAC(γt) (b) and εBC(γt) (c) are plotted as a function of the scaled
time γt for the initial biseparable state of the form (5). The mean number of thermal photons ¯n = 0.1.
The constant of the dipole-dipole interaction J: J = 1 (black solid line), J = 2 (red dashed line).
Выводы
В данной статье мы исследовали динамику системы трех идентичных кубитов, один из
которых находится вне резонатора, а два других захвачены в резонаторе и резонансно взаимо-
действуют с модой теплового поля этого резонатора. Предполагается, что между изолированным
кубитом и захваченным кубитом в резонаторе есть диполь-дипольная связь. В центре нашего
внимания были два различных типа начальных состояний кубитов: сепарабельные и бисепара-
бельные. Результаты компьютерного моделирования отрицательности пар кубитов показали,
что даже небольшое значение диполь-дипольного взаимодействия может индуцировать пере-
путывание кубитов для пар, состоящих из изолированного и захваченного кубитов, для всех
начальных состояний. В случае отсутствия диполь-дипольной связи перепутывания между
парами кубитов не возникает для выбранных состояний. Для некоторых начальных состояний
диполь-дипольное взаимодействие приводит к полному подавлению эффекта мгновенной смерти
перепутывания. Таким образом, диполь-дипольное взаимодействие между кубитами может
рассматриваться как эффективный механизм контроля и управления перепутывания кубитов
в резонаторах.

About the authors

A. R. Bagrov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: alexander.bagrov00@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1098-0300

master of Physical and Mathematical Sciences of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

E. K. Bashkirov

Samara National Research University

Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files