Modeling of elastic plastic deformation of near-surface layers of materials

Full Text

Введение
Определение и анализ напряженно-деформированного состояния в нагруженном элементе
конструкции с учетом поверхностных дефектов представляет собой одну из ключевых проблем
современной механики и ее практических приложений [1–3].
Особое поведение поверхностного и приповерхностных слоев материалов обусловлено тем,
что свободная поверхность не препятствует развитию пластических сдвигов и в результате
после статической и циклических нагрузок на поверхности наблюдаются выступы (экструзии)
и впадины (интрузии) (рис. 1). Чем глубже слой, тем сильнее стеснение сдвиговых деформаций.
Они тормозятся, в основном, границами зерен и разориентировкой плоскостей сдвига в блоках
внутри зерен.
Местное возмущение в виде поверхностного эффекта, согласно принципу Сен-Венана,
должно постепенно затухать, а напряжение пластического течения приповерхностных слоев,
плавно возрастая, переходить на некоторой глубине в напряжение течения основного материала.
Слои материала, ослабленные поверхностным эффектом, при изгибе приводят к дополни-
тельному повороту поперечного сечения образца по сравнению с упругим решением задачи.
Проявление поверхностного эффекта обнаруживается тензометрическим методом. Однако
дополнительная нелинейная деформация на поверхности образца, фиксируемая тензорезисто-
ром, весьма мала по сравнению с упругой составляющей. Наиболее ярко это проявляется на
уровнях номинальных напряжений, соответствующих области чистой усталости и ниже.
Мехеда В.А. Моделирование упруго-пластического деформирования приповерхностных слоев материалов
Mekheda V.A. Modeling of elastic plastic deformation of near-surface layers of materials 26 из 34
Рис. 1. Схема образования экструзий (1) и интрузий (2) на поверхности (3) металлических материалов,
подвергнутых циклическим нагрузкам; (4) – полосы скольжения
Fig. 1. Scheme of the formation of extrusions (1) and intrusions (2) on the surface (3) of metal materials
subjected to cyclic loads; (4) – slip stripes
1 Экспериментальное исследование приповерхностного эффекта
Используя свойства тензометрического измерительного моста, можно в его пределах из
полной деформации поверхности ε вычесть линейную составляющую εL:
εNL = ε − εL = ε −
σ
E
. (1)
При таком подходе достигается высокая точность измерения нелинейной деформации [4; 5].
Поскольку в металлах нелинейная упругая деформация практически отсутствует, то измеренная
нелинейная деформация есть неупругая деформация.
Консольно закрепленный образец длиной 100 мм и постоянным поперечным сечением
4 × 14 мм из стали 1Х18Н9Т в состоянии поставки подвергался поперечному изгибу силой,
приложенной на свободном конце. Результаты такого эксперимента [6] приведены на рис. 2.
Рис. 2. Диаграмма деформирования стали 1Х18Н9Т при поперечном изгибе с тремя промежуточными
циклами разгрузки-нагружения
Fig. 2. Strain-stress diagram of steel 1Х18Н9Т during transverse bending with three intermediate
unloading-loading cycles
Нагрузка прикладывалась достаточно медленно со скоростью изменения номинального
напряжения 37,5 МПа/мин. Под номинальным напряжением понимается напряжение на по-
верхности образца, определенное по формуле сопротивления материалов при изгибе балок.
Тензометрическая аппаратура позволяет надежно фиксировать деформацию поверхности
тела величиной 1 · 10−6. Тогда, согласно диаграмме рис. 2, обнаруживаемое пластическое
течение поверхности образца составляет σT1 = 25 МПа.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 25–34
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 25–34 27 из 34
Представляют интерес участки разгрузки. В начале этих участков, когда номинальное
напряжение в образце стало снижаться, нелинейные деформации продолжали расти, и чем
выше уровень достигнутого перед разгрузкой номинального напряжения, тем этот процесс
протекает интенсивнее. Такое поведение материала можно объяснить проявлением процесса
ползучести. Вклад ползучести в нелинейную деформацию достаточно весом, поэтому подобные
эксперименты должны проводиться под управлением ЭВМ со строгим соблюдением режима
нагружения во времени.
В металлах наблюдается единый процесс неупругого деформирования, отражением которого
является нелинейная деформация, включающая пластическую составляющую и составляющую
от ползучести.
Если отбросить проявление ползучести в начале участков разгрузки, то обратное пластиче-
ское течение при εNL = 1 · 10−6 наблюдается при снижении номинального напряжения на 2σ
(рис. 2). Поверхностный слой ведет себя как идеальное упруго-пластическое тело, а напряжение
течения σ = σT1 — константа. Поверхностным слоем являются берега микро- и макротрещин, а
также берега магистральной трещины. Снижение напряжений у поверхности микротрещин
отмечается в работах [7; 8]. Замечено, что с увеличением напряжений в стали каждая микротре-
щина затуплялась, и вокруг нее возникало пластическое течение, а результирующие локальные
концентрации напряжений были пренебрежимо малы.
Чтобы определиться с глубиной δ проявления поверхностного эффекта, была рассчитана
производная от номинального напряжения по нелинейной составляющей деформации
dσ
dεNL
.
Производная является чувствительным индикатором происходящих структурных процессов.
Как видно из рис. 3, производная в процессе нагружения сначала резко падает с увеличением
нелинейной деформации, а затем в точке B характер ее изменения стабилизируется. Примем,
что в точке B пластическое течение охватило все ослабленные приповерхностные слои. При
этом номинальное напряжение достигло значения начала пластического течения внутренних
слоев σT2 = 130 МПа, а нелинейная деформация, фиксируемая тензорезистором на поверхности,
достигла величины εNL = 7, 64 мкм/м.
Далее с увеличением изгибающего момента вклад поверхностного эффекта в нелиней-
ную деформацию практически стабилизируется, а ее нарастание обусловлено включением в
пластическое течение более глубоких внутренних слоев.
Закон изменения напряжения текучести в приповерхностных слоях в зависимости от глуби-
ны залегания слоя примем в виде полинома второй степени
σT(x) = Ax2 + Bx + C, (2)
где x — глубина расположения приповерхностного слоя, A, B, C — постоянные коэффициенты,
определяемые из следующих граничных условий:
σT(0) = σT1, σT(δ) = σT2,
dσT
dx
(δ) = 0.
Здесь δ – глубина распространения приповерхностного эффекта.
Последнее условие обеспечивает плавный переход напряжения течения приповерхностных
слоев в напряжения течения внутренних слоев.
Подстановка граничных условий в (2) дает
σT(x) = −ΔσT
x
δ
2
+ 2ΔσT
x
δ
+ σT1 при 0 ≤ x ≤ δ. (3)
Здесь введено обозначение
ΔσT = σT2 − σT1. (4)
Глубина δ в выражении (3) подбиралась таким образом, чтобы при изгибающем моменте,
вызывающем на поверхности образца напряжение σT2, расчетная нелинейная деформация εNL2
под тензорезистором равнялась экспериментальному значению.
Мехеда В.А. Моделирование упруго-пластического деформирования приповерхностных слоев материалов
Mekheda V.A. Modeling of elastic plastic deformation of near-surface layers of materials 28 из 34
Рис. 3. Диаграмма деформирования (1) и первая производная (2) от номинального напряжения
по нелинейной деформации
Fig. 3. Strain-stress diagram (1) and the first derivative (2) of the nominal stress with respect to nonlinear
strain
Эта задача решена методом редукционных коэффициентов в процессе последовательных
приближений. Образец разбивался по высоте на отдельные полоски толщиной Δxi. Более
мелкое разбиение (до 0,1 микрона) производилось в приповерхностных слоях, а ближе к оси
изгиба образца Δxi = 0, 4 мм.
Последовательность вычислений в нулевом приближении
φ(0) = 1 → F(0) = bh → I(0) =
bh3
12
→ σ(0)
i =
M
I(0) yi → ε(0)
i =
σ(0)
i
E
.
Здесь нижний индекс — номер полоски, верхний индекс в скобках — номер приближения, а
yi — расстояние от оси изгиба сечения до центра тяжести полоски.
Рис. 4. Схема определения редукционных коэффициентов в первом приближении
Fig. 4. Scheme for determining reduction coefficients in a first approximation
В первом приближении (рис. 4) ослабление поперечного сечения образца пластическим
деформированием учитывалось введением редукционного коэффициента φi, равного отношению
напряжения пластического течения в i-й полоске, вычисленного по формуле (3), к номинальному
напряжению в ней из предыдущего приближения
φ(1)
i =
σ(1)
Ti
σ(0)
i
. (5)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 25–34
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 25–34 29 из 34
Расчет выполняется для уровня напряжения на поверхности 130 МПа в следующей после-
довательности:
σ(1)
Ti (yi, ε(0)
i ) =


φ(1)
i = 1 если σ(1)
Ti ≥ σ(0)
i
φ(1)
i =
σ(1)
Ti
σ(0)
i
если σ(1)
Ti ≤ σ(0)
i


→ b(1)
i = bφ(1) → F(1)
i = b(1)
i Δxi →
→ I(1)
i = F(1)
i y2i
→ I(1) = 2
kΣ
i=1
I(1)
i → σ(1)
i =
M
I(1) yi → ε(1)
i =
σ(1)
i
E
.
Пояснение. Материал приповерхностных полосок считается идеальным упруго-
пластическим. Если напряжение нулевого приближения в полоске не превышает напряжение
пластического течения в ней, то для полоски редукционный коэффициент принимается равным
единице. Для других приповерхностных полосок редукционный коэффициент назначается в
соответствии со схемой рис. 4.
Определяется эффективная ширина полоски, находится площадь полоски и переносный
момент инерции относительно оси изгиба образца. Ввиду малости собственный момент инерции
полосок не учитывается. Суммируются моменты инерции всех полосок, результат удваивается
в силу симметрии сечения относительно оси изгиба. Вычисляются в первом приближении
напряжения и деформации в сечении.
По такому же алгоритму выполняются и последующие приближения. Процесс последова-
тельных приближений быстро сходится. Достаточно пяти приближений. Выполняя расчеты
для разных δ, определено значение δ = 25, 7 мкм, удовлетворяющее условию равенства расчет-
ного значения нелинейной деформации на поверхности образца экспериментальному значению
(точка В на рис. 3).
Сдвиговые деформации неизбежно приводят к взаимному повороту кристаллических плос-
костей в микро- и макрообъемах. Материал упрочняется и «запоминает» степень достигнутого
упрочнения. Действительно, после каждой промежуточной разгрузки и последующего нагру-
жения (см. рис. 2) состояние материала возвращается практически в исходную точку. Полного
совпадения точек не происходит из-за ползучести материала, которая проявляется все сильнее
с ростом уровня нагрузки. В предлагаемой модели ползучесть не учитывалась.
В соответствии с вышеизложенным принимаем, что сталь 1Х18Н9Т является кинемати-
чески упрочняющимся материалом, то есть предполагаем, что наряду с жестким смещением
предельной поверхности текучести происходит также ее расширение [9].
Экспериментальная диаграмма деформирования на участке ВС (рис. 3) близка к линейной.
Тогда, принимая линейный закон упрочнения, запишем
σi = Eεi, если 0 ≤ εi ≤ εT2,
σTi = EεT2 + E∗(εi − εT2) = σT2 + E∗(εi − εT2), если εi ≥ εT2. (6)
Здесь E∗ — коэффициент упрочнения.
Проводя расчеты при различных значениях коэффициента упрочнения и используя опи-
санный выше метод последовательных приближений и соблюдая условия точки C (рис. 3),
получаем значение E = 1, 668 · 105 МПа, которое на 7,6 % ниже нормального модуля упругости
E = 2, 0 · 105 МПа. Для учета упрочнения материала в приповерхностных слоях и устранения
разрыва в напряжениях пластического течения при переходе от приповерхностных слоев к
внутренним в начале каждого приближения вводится поправка: напряжение σT2 в формуле (4)
заменяется на σTi(δ).
Таким образом, определены четыре параметра модели деформирования материала, кото-
рые характеризуют поверхностный эффект. Используя модель, были рассчитаны нелинейные
деформации, если вместо испытаний на изгиб проводить испытания образца на растяжение.
Результаты расчета приведены на рис. 5. Как видно из этого рисунка, нелинейная деформация
на поверхности образца как минимум в три раза больше при изгибе, чем при растяжении в
Мехеда В.А. Моделирование упруго-пластического деформирования приповерхностных слоев материалов
Mekheda V.A. Modeling of elastic plastic deformation of near-surface layers of materials 30 из 34
области напряжений, при которых определяются параметры поверхностного эффекта. Следо-
вательно, при изучении поверхностного эффекта методами тензометрии следует предпочитать
испытания образцов на изгиб. Если предположить, что напряжения текучести в приповерхност-
ном слое равны нулю, то такой предельный случай даст максимальное отклонение от линейной
деформации 4 %. В действительности это значение будет еще меньше и не превысит 2 %.
Таким образом, поверхностный эффект очень слабо влияет на деформированное состояние
упругого тела и значительно — на его напряженное состояние у поверхности. Поэтому он не
обнаруживается экспериментальными методами, основанными на изучении деформированного
состояния тела, такими как метод интерференционного муара или поляризационно-оптический,
если в последнем изменение оптических свойств модели связывать с напряжениями, как у
Максвелла, а не с деформациями по Нейману [10].
Рис. 5. Нелинейная деформация на поверхности образца в зависимости от номинального напряжения.
Жирная линия — изгиб, тонкая линия — растяжение
Fig. 5. Nonlinear strain on the surface of the sample depending on the nominal stress. Thick line — bending,
thin line — stretching
Изучение поверхностного эффекта осложняется тем, что, как правило, приповерхност-
ные слои подвергаются различного рода обработкам с целью улучшения механических ха-
рактеристик конструкций. В приповерхностных слоях протекают коррозионные процессы.
Механическим удалением слоя невозможно избавиться от поверхностного эффекта.
Данное исследование проведено на коррозионно-устойчивом материале, что позволило
свести к минимуму влияние коррозионных процессов, которые усложняют ситуацию.
Результаты расчета образца на изгиб и растяжение при одном и том же номинальном
напряжении на поверхности 245 МПа приведены на рис. 6 и 7. Показано, как с глубиной
изменяется удельная работа упругого, пластического деформирования и их суммы.
Особый интерес вызывает энергия пластического деформирования, которую можно счи-
тать мерой разрушения кристаллической структуры и превращения ее в аморфную. Согласно
расчетам вне зависимости от вида нагружения энергия пластического деформирования дости-
гает максимума под поверхностью на глубине от семи до восьми микрон. Следовательно, при
воздействии переменной нагрузки зарождение микро- и макротрещин будет происходить под
поверхностью, и трещина выйдет на поверхность после разрыва перемычки [11].
Однако при растяжении максимальная энергия пластического деформирования на 0,41 %
выше, чем при изгибе. Следовательно, при растяжении-сжатии процесс накопления повре-
ждений происходит интенсивнее, чем при изгибе, что подтверждается экспериментальными
данными: предел выносливости при растяжении-сжатии ниже, чем при изгибе.
Как видно из рис. 7, полная энергия минимальна на поверхности образца. Значит начало
разрушения образца при растяжении должно происходить изнутри, а излом иметь форму
«конус-чашечка» [12].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 25–34
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 25–34 31 из 34
Рис. 6. Изменение энергий деформирования в приповерхностных слоях при изгибе образца: жирная линия — энергия пластического деформирования; тонкая линия — энергия упругого деформирования; пунктирная линия — полная энергия
Fig. 6. Changes in strain energies in the near-surface layers when the sample is bent: thick line — energy of plastic strain; thin line — energy of elastic strain; dotted line — the total energy
Рис. 7. Изменение энергий деформирования в приповерхностных слоях при растяжении образца:
жирная линия — энергия пластического деформирования; тонкая линия — энергия упругого
деформирования; пунктирная линия — полная энергия
Fig. 7. Changes in strain energies in the near-surface layers when the sample is stretched: thick line — plastic strain energy; thin line — elastic strain energy; dotted line — the total energy
Заключение
Предложенная модель деформирования металлов с учетом приповерхностного эффекта
позволяет приближенно численным методом решать сложные упруго-пластические задачи и с
единой позиции объяснять многие процессы, которые происходят при статическом и переменном нагружении.

About the authors

V. A. Mekheda

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: villiy.mekheda@gmail.com
ORCID iD: 0009-0002-2183-4509

associate professor of the Department of Space Engineering

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files