Procedure of the overdeterminisctic method for finding the field expansion coefficients at the crack tip based on a finite element solution for the stress tensor components

Full Text

Введение
Всестороннее исследование причин появления дефектов, трещин несплошностей и закономерностей
их развития в анизотропных хрупких материалах представляет жизненно важный интерес для оценки
прочности и живучести конструкций, выполненных из анизотропных материалов. Анизотропные хруп-
кие материалы (например, монокристаллический кремний) широко используются в качестве основных
компонентов в полупроводниках, фотоэлектрической технике, инфракрасной оптике и т. д. благодаря
своим выдающимся фотоэлектрическим возможностям. Вследствие хрупкости в анизотропных материа-
лах с высокой прочностью и низкой вязкостью в процессе механической обработки возможны хрупкие
разрушения, что снижает целостность элемента конструкции. Поэтому представляется особенно важ-
ным и актуальным аккуратное определение напряжений, связанных с вершиной трещины, ибо сформу-
лированные и применяемые сейчас критерии разрушения используют поля напряжений и деформаций
вблизи острия дефекта и могут дать направление его распространения. При построении поля упругих
напряжений необходимо учитывать анизотропные характеристики, чтобы точно предсказать дальнейшее
развитие трещины. В настоящее время для ортотропных анизотропных материалов построены аналити-
ческие решения задач о растяжении и комбинированном нагружении бесконечных пластин с центральной
трещиной. Для смешанного нагружения данной геометрии образца с трещиной имеется аналитическое
решение задачи, базирующееся на классическом формализме теории функции комплексного перемен-
ного [1]. В [1] получены асимптотические разложения полей напряжений, перемещений и деформаций,
содержащие слагаемые высоких порядков, дающие возможность более точной и целостной оценки по-
ля напряжений на больших расстояниях от вершины трещины, таким образом существенно расширяя
зону доминирования асимптотического решения.
Хорошо известно, что первые, главные члены рядов напряжений и деформаций у кончика острой
трещины в линейно упругом теле (ряд Уильямса) являются сингулярными, так же как и главные сла-
гаемые ряда, обобщающего ряд Уильямса на анизотропные среды в плоской постановке задачи. Следо-
вательно, данные слагаемые превалируют в непосредственной близости от вершины острой трещины,
острого выреза или острого надреза. В силу этого в малой области сингулярного доминирования, примы-
кающей к вершине, первых (сингулярных) слагаемых вполне достаточно для математического описания
и характеризации механических полей вокруг вершины трещины. Коэффициенты первых слагаемых в
рядах, отвечающих эталонному нормальному отрыву (деформации типа I) и эталонному поперечному
сдвигу (деформации типа II), полностью определяются и обуславливаются комплексом приложенных
нагрузок и конфигурацией образца. Согласно классической механике разрушения данные коэффициен-
ты именуются коэффициентами интенсивности напряжений (КИН), которые выполняют первостепенную
роль в контексте классической линейной механики хрупкого разрушения, и их критические значения
служат критериальными характеристиками состояния тела с трещиной. Ввиду этого многие исследова-
ния и в настоящее время посвящены исключительно определению либо КИН, либо КИН и Т-напряже-
ний. При этом, даже невзирая на то, что КИН являются ключевыми параметрами механики трещин, в
многочисленных исследованиях [1–11] обнаружено, что слагаемые асимптотического ряда М. Уильямса
или его обобщения на анизотропные материалы более высоких порядков, в свою очередь, также вносят
весомый вклад в описание полевых величин, ассоциированных с вершиной острой трещины. Многочис-
ленные исследования, проведенные представителями различных научных школ, показали [1–11], что при
увеличении дистанции от вершины трещины регулярными слагаемыми пренебрегать нельзя. Путем сопо-
ставления теоретического решения в рядах с экспериментально найденными значениями перемещений и
напряжений, фиксируемыми современными и классическими поляризационно-оптическими техниками, в
числе которых в последнее время преимущественно используются метод корреляции цифровых изобра-
жений (КЦИ) [2–5], наиболее часто применяемый сейчас; цифровая голографическая интерферометрия
[6; 7]; методы спекл-интерферометрии [8] и метод цифровой фотоупругости, сегодня обращающий на се-
бя пристальное внимание [9–11], выяснено, что c увеличением расстояния от кончика острой трещины
(при расширении исследуемой зоны) особые (сингулярные) слагаемые уже не в полной мере характери-
зуют искомые поля у вершины трещины, поэтому существенность и вклад слагаемых более высокого по-
рядка становятся бесспорными и очевидными. Для анизотропных материалов, таких как горные породы,
древесина, есть много примеров, когда зона процесса разрушения находится за пределами сингулярной
доминирующей зоны, что требует учета слагаемых более высокого порядка малости [12–14]. Для воз-
56
Фомченкова М.А., Степанова Л.В. Процедура переопределенного метода нахождения коэффициентов...
Fomchenkova M.A., Stepanova L.V. Procedure for the overdeterministic method of finding coefficients...
можного построения асимптотических решений, учитывающих неособые слагаемые ряда, в окрестности
вершины острой трещины и выреза в образцах с заданными, конечными размерами в настоящей работе
было проведено объемное компьютерное моделирование в конечно-элементном комплексе Simulia Abaqus,
в котором выполнен большой цикл вычислений, направленных на определение напряженно-деформиро-
ванного состояния в области, охватывающей вершину трещины в анизотропных ортотропных матери-
алах, в частности с кубической симметрией их материальных свойств. Конечно-элементный анализ и
вычисления нацелены на аккуратное определение полей напряжений в окрестности вершины острого
разреза и использовании этих значений в алгоритме переопределенного метода. В вычислительных экс-
периментах варьировались два угла: угол наклона трещины к горизонтали, что позволяет рассмотреть
все типы комбинированного нагружения от эталонного чистого отрыва до эталонного чистого сдвига,
и угол между трещиной и осью симметрии упругих свойств материала.
1. Математическая постановка задачи
Хрупкое разрушение является частой причиной разрушения механических компонентов, особенно при
наличии острых трещин. В условиях хрупкого разрушения область локализации неупругих деформаций
вокруг вершины трещины оказывается относительной малой, и для исследования механического отклика
образцов можно использовать концепцию и решения линейной механики хрупкого разрушения. Для
образца с трещиной (рис. 1.1), подвергнутого произвольной нагрузке в плоскости, разложение в ряд М.
Уильямса отражает упругие напряжения вокруг вершины трещины:


11(r; )
22(r; )
12(r; )

 =
= 2Re


∞Σ
n=1
a1
n
i(n+1)2
1 − 2
rn=2−1


22

(????1)n+1
2
1 (cos + 2 sin )n=2−1 − 21

(????1)n+1+1
2
2 (cos + 1 sin )n=2−1

(????1)n+1
2
1 (cos + 2 sin )n=2−1 −
(????1)n+1+1
2
2 (cos + 1 sin )n=2−1
−2
(????1)n+1
2
1 (cos + 2 sin )n=2−1 + 1
(????1)n+1+1
2
2 (cos + 1 sin )n=2−1




+(1.1)
+Re


∞Σ
n=1
a2
n
i(n+1)2
1 − 2
rn=2−1


22

(????1)n
2
1 (cos + 2 sin )n=2−1 − 21

(????1)n+1
2
2 (cos + 1 sin )n=2−1

(????1)n
2
1 (cos + 2 sin )n=2−1 −
(????1)n+1
2
2 (cos + 1 sin )n=2−1
−2
(????1)n
2
1 (cos + 2 sin )n=2−1 + 1
(????1)n+1
2
2 (cos + 1 sin )n=2−1




;
где ij — компоненты тензора напряжений; r; — полярные координаты с полюсом в вершине математи-
ческого разреза; 1; 2 — корни характерического уравнения; a1
n; a2
n — коэффициенты ряда, являющиеся
функциями приложенной нагрузки и конфигурации образца и подлежащие определению.
Рис. 1.1. Пластина с трещиной в анизотропном материале
Fig. 1.1. Plate with a crack in an anisotropic material
В (1.1) 1 и 2 — корни характеристического уравнения, имеющего вид
S114 − 2S163 + (2S12 + S66) 2 − 2S26 + S22 = 0; (1.2)
где Sij — компоненты тензора податливости.
Большинство анизотропных материалов, таких как горные породы, обладают одной или несколькими
плоскостями симметрии, что уменьшает количество независимых упругих констант, необходимых для
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 54–66
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 54–66 57
их характеристики. Например, ортотропные материалы имеют три ортогональные плоскости симметрии,
что приводит к сокращению числа упругих постоянных до девяти. Далее, число упругих модулей во
многих случаях снижается за счет принятия гипотезы Сен-Венана [15]. В настоящем анализе исполь-
зуются исходные значения компонент тензора упругих модулей без каких бы то ни было упрощений.
На сегодняшний день доступно использование базы данных Materials Project [16], являющейся обще-
доступной базой химических и механических свойств материалов, созданной для предоставления этих
данных общественности с целью ускорения процесса обнаружения новых материалов, а также дополня-
ющей сведениям о них. Используя возможности суперкомпьютеров и новейшие методы моделирования
свойств материалов, Materials Project обеспечивает открытый веб-доступ к вычисленной информации
об известных материалах, а также мощные инструменты анализа, которые помогут вдохновить и раз-
работать новые материалы (рис. 1.2 и 1.3). В качестве примера рассмотрен материал CsSnI3: Матрица
упругих констант материала CsSnI3 имеет вид


11 8 7 0 0 0
8 17 6 0 0 0
7 6 20 0 0 0
0 0 0 5 0 0
0 0 0 0 7 0
0 0 0 0 0 5


: (1.3)
Рис. 1.2. Визуализация упругих свойств рассматриваемого материала: модуль Юнга (слева)
и сжимаемость (справа)
Fig. 1.2. Visualization of the elastic properties of the material in question: Young’s modulus (left)
and compressibility (right)
Рис. 1.3. Визуализация упругих свойств рассматриваемого материала: пространственное распределение
коэффициента Пуассона
Fig. 1.3. Visualization of the elastic properties of the material in question: spatial distribution of Poisson’s ratio
58
Фомченкова М.А., Степанова Л.В. Процедура переопределенного метода нахождения коэффициентов...
Fomchenkova M.A., Stepanova L.V. Procedure for the overdeterministic method of finding coefficients...
2. Конечно-элементное решение задачи о комбинированном
нагружении пластины с горизонтальной и наклонной трещиной
в анизотропном материале и его анализ
Для определения напряженно-деформированного состояния в образце с центральным разрезом из
перовскита и последующего нахождения амплитудных множителей a1
n; a2
n проведена серия конечно-эле-
ментных вычислений, в ходе которой были определены поля напряжений и перемещений у вершины
разреза. Все вычисления были выполнены в конечно-элементном пакете SIMULIA Abaqus. Для построе-
ния сетки в окрестности вершины трещины использовались сингулярные конечные элементы, количество
узлов вдоль окружностей, охватывающих вершины трещины, равно 144. Таким образом, при экспортиро-
вании значений компонент тензора напряжений имеется возможность сформировать переопределенную
систему уравнений, состоящую из 435 уравнений, если избирается один контур для анализа, 870 урав-
нений в случае выбора двух контуров и т. д.
Результаты вычислений представлены на рисунках.
На рис. 2.1 показаны распределения компонент тензора напряжений ij в окрестности вершины тре-
щины для различных углов наклона трещины и расположения осей симметрии упругих свойств мате-
риала.
a b
c d
Рис. 2.1. Распределения компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений для углов   = 90
◦,
  = 0
◦: a — 11, b — 22, c — 12, d — интенсивность касательных напряжений
Fig. 2.1. Distributions of stress tensor components and stress intensity for angles   = 90
◦,   = 0
◦:
a — 11, b — 22, c — 12, d — tangential stress intensity
На рис. 2.2 приведены распределения напряжений ij в окрестности вершины трещины для угла
наклона трещины   = 60◦ и   = 30◦; на рис. 2.3 показаны распределения напряжений ij в окрестности
вершины трещины для угла наклона трещины   = 45◦ и   = 0◦; на рис. 2.4 — распределения напряжений
ij в окрестности вершины трещины для угла наклона трещины   = 45◦ и   = 45◦.
Полученные численные решения задач о комбинированном нагружении пластины с надрезом были
использованы для воспроизведения аналитического решения вблизи кончика трещины в анизотропном
материале с помощью переопределенного метода.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 54–66
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 54–66 59
a b
c d
Рис. 2.2. Распределения компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений для углов   = 60
◦,
  = 30
◦: a — 11, b — 22, c — 12, d — интенсивность касательных напряжений
Fig. 2.2. Distributions of stress tensor components and stress intensity for angles   = 60
◦,   = 30
◦:
a — 11, b — 22, c — 12, d — intensity of tangential stresses
a b
c d
Рис. 2.3. Распределения компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений для углов   = 45
◦,
  = 0
◦: a — 11, b — 22, c — 12, d — интенсивность касательных напряжений
Fig. 2.3. Distributions of stress tensor components and stress intensity for angles   = 45
◦,   = 0
◦:
a — 11, b — 22, c — 12, d — intensity of tangential stresses
60
Фомченкова М.А., Степанова Л.В. Процедура переопределенного метода нахождения коэффициентов...
Fomchenkova M.A., Stepanova L.V. Procedure for the overdeterministic method of finding coefficients...
a b
c d
Рис. 2.4. Распределения напряжений и интенсивности напряжений при углах   = 45
◦,   = 45
◦:
a — 11, b — 22, c — 12, d — интенсивность касательных напряжений
Fig. 2.4. Distributions of stresses and stress intensity at angles   = 45
◦,   = 45
◦: a — 11, b — 22,
c — 12, d — tangential stress intensity
3. Техника переопределенного метода
В настоящее время переопределенный метод [17] нахождения коэффициентов ряда Уильямса или
его обобщений на случай анизотропных сред стал основным способом определения значений коэффи-
циентов [1–14]. В большинстве случаев алгоритм переопределенного метода основан на использовании
значений компонент вектора перемещений у вершины трещины, что приводит к необходимости акку-
ратного исключения перемещения тела как абсолютно твердого тела. В настоящей работе использует-
ся подход, базирующийся на применении компонент тензора напряжений, что упрощает вычисления.
С целью реконструкции асимптотического разложения полей напряжений у вершины трещины из ко-
нечно-элементного решения выбирались значения компонент тензора напряжений вдоль окружностей,
охватывающих вершину трещины (рис. 3.1).
Для определения коэффициентов разложений (1.1), представляемых в кратком виде:
ij(r; ) =
Σ2
m=1
∞Σ
n=1
amn
rn=2−1f(n)
m;ij(); (3.1)
оно в может быть записано в матричной форме
= CA; (3.2)
где — вектор-строка, состоящая и известных значений компонент тензора напряжений; C — матрица
порядка, состоящая из известных радиальных и угловых распределений компонент тензора напряжений;
A — вектор-столбец, состоящий из искомых амплитудных множителей a1
n и a2
n:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 54–66
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 54–66 61
Рис. 3.1. Путь для извлечения значений компонент напряжений в окрестности вершины трещины
Fig. 3.1. Path to extract stress component values in the vicinity of the crack tip
В раскрытой форме матрица C имеет вид


f(1)
1;11 (1) r−1
2 f(1)
2;11 (1) r−1
2 f(2)
1;11 (1) f(2)
2;11 (1) · · · f(n)
1;11 (1) r
n
2
−1 f(n)
2;11 (1) r
n
2
−1
f(1)
1;22 (1) r−1
2 f(1)
2;22 (1) r−1
2 f(2)
1;22 (1) f(2)
2;22 (1) · · · f(n)
1;22 (1) r
n
2
−1 f(n)
2;22 (1) r
n
2
−1
f(1)
1;12 (1) r−1
2 f(1)
2;12 (1) r−1
2 f(2)
1;12 (1) f(2)
2;12 (1) · · · f(n)
1;12 (1) r
n
2
−1 f(n)
2;12 (1) r
n
2
−1
f(1)
1;11 (2) r−1
2 f(1)
2;11 (2) r−1
2 f(2)
1;11 (2) f(2)
2;11 (2) · · · f(n)
1;11 (2) r
n
2
−1 f(n)
2;11 (2) r
n
2
−1
f(1)
1;22 (2) r−1
2 f(1)
2;22 (2) r−1
2 f(2)
1;22 (2) f(2)
2;22 (2) · · · f(n)
1;22 (2) r
n
2
−1 f(n)
2;22 (2) r
n
2
−1
f(1)
1;12 (2) r−1
2 f(1)
2;12 (2) r−1
2 f(2)
1;12 (2) f(2)
2;12 (2) · · · f(n)
1;12 (2) r
n
2
−1 f(n)
2;12 (2) r
n
2
−1
...
...
...
...
. . .
...
...
f(1)
1;11 (k) r−1
2 f(1)
2;11 (k) r−1
2 f(2)
1;11 (k) f(2)
2;11 (k) · · · f(n)
1;11 (k) r
n
2
−1 f(n)
2;11 (k) r
n
2
−1
f(1)
1;22 (k) r−1
2 f(1)
2;22 (k) r−1
2 f(2)
1;22 (k) f(2)
2;22 (k) · · · f(n)
1;22 (k) r
n
2
−1 f(n)
2;22 (k) r
n
2
−1
f(1)
1;12 (k) r−1
2 f(1)
2;12 (k) r−1
2 f(2)
1;12 (k) f(2)
2;12 (k) · · · f(n)
1;12 (k) r
n
2
−1 f(n)
2;12 (k) r
n
2
−1


: (3.3)
Таким образом, — матрица, имеющая одну строку и 3M столбцов, где M — число точек, извлечен-
ных из конечно-элементного анализа, размерность матрицы C равна 3M ×2K −1; где K — количество
слагаемых, удерживаемых в асимптотическом разложении поля напряжений. В общем случае можно со-
хранять различное число слагаемых, соответствующих нормальному отрыву и поперечному сдвигу, но
в данном случае сохранялось одинаковое число слагаемых.
В качестве тестового образца была выбрана квадратная пластина, длина стороны которой была мно-
го больше длины трещины. Результаты расчета алгоритма переопределенного метода сопоставлялись с
аналитическим решением задачи о растяжении бесконечной плоскости с математическим разрезом. Ре-
зультаты сравнения конечно-элементного решения и аналитическиого решения для большой пластины с
малым дефектом приведены на рис. 3.2–3.5. Сплошными линиями изображены угловые распределения
компонент тензора напряжений, определенные в соответствии с аналитическим решением задачи при со-
хранении различного числа слагаемых в разложении. Точками показаны результаты конечно-элементно-
го анализа. Из представленных графиков следует, что конечно-элементное решение полностью совпадает
с асимптотическим решением с коэффициентами ряда, найденными с помощью переопределенного мето-
да. Таким образом, можно заключить, что переопределенный метод, основанный на конечно-элементном
анализе напряженного состояния, позволяет с хорошей точностью воспроизвести коэффициенты обоб-
щенного ряда и дать асимптотическое представление напряжений.
Далее, в конечно-элементом пакете Simulai Abaqus была рассмотрена серия экспериментов для квад-
ратной пластины со стороной l = 10 cм и длиной трещины, равной 2a = 1 см: Полученные коэффициен-
ты ряда, обобщающего ряд Уильямса на случай ортотропных материалов, для растягиваемой пластины
оказались следующими:
a1 = 18:755 Па
√
см; a2 = −4:211 Па; a3 = 13:7
√Па
см
; a4 = 0;
a5 = −3:162
Па
см3=2 ; a6 = 0:617
Па
см2 ; a7 = 0:629
Па
см5=2 ; a8 = 0; (3.4)
a9 = 0:115
Па
см7=2 ; a10 = 0:01
Па
см4 :
62
Фомченкова М.А., Степанова Л.В. Процедура переопределенного метода нахождения коэффициентов...
Fomchenkova M.A., Stepanova L.V. Procedure for the overdeterministic method of finding coefficients...
а б в
Рис. 3.2. Угловые распределения компонент тензора напряжений для углов   = 90
◦,   = 0
◦: а — 11,
б — 22, в — 12
Fig. 3.2. Angular distributions of stress tensor components for angles   = 90
◦,   = 0
◦: a — 11,
b — 22, c — 12
а б в
Рис. 3.3. Угловые распределения компонент тензора напряжений для углов   = 60
◦,   = 30
◦: а — 11,
б — 22, в — 12
Fig. 3.3. Angular distributions of stress tensor components for angles   = 60
◦,   = 30
◦: a — 11, b — 22, c — 12
а б в
Рис. 3.4. Угловые распределения компонент тензора напряжений для углов   = 45
◦,   = 0
◦: а — 11,
б — 22, в — 12
Fig. 3.4. Angular distributions of stress tensor components for angles   = 45
◦,   = 0
◦: a — 11, b — 22, c — 12
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 54–66
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 54–66 63
а б в
Рис. 3.5. Угловые распределения компонент тензора напряжений для углов   = 45
◦,   = 45
◦: а — 11,
б — 22, в — 12
Fig. 3.5. Angular distributions of stress tensor components for angles   = 45
◦,   = 45
◦: a — 11,
b — 22, c — 12
Подставив полученные коэффициенты (3:4) в асимптотическое представление для компонент тензора
напряжений (1.1), можно получить следующие графики (рис. 3:6).
а б в
Рис. 3.6. Угловые распределения напряжений при углах   = 90,   = 0 для пластины с размерами f = 10 см,
b = 10 см, a = 1 см: а — 11, б — 22, в — 12
Fig. 3.6. Angular stress distributions at angles   = 90,   = 0 for a plate with dimensions f = 10 cm, b = 10 cm,
a = 1 cm: a — 11, b — 22, c — 12
Выводы
В работе дано обобщение переопределенного метода отыскания амплитудных множителей слагаемых высших порядков — коэффициентов ряда, обобщающего решение М. Уильямса на анизотропные среды. Представлены описание данного метода и опыт его применения на примере пластины, ослабленной центральным математическим разрезом, из анизотропного материала с кубической сингонией его свойств и в целом анизотропных ортотропных материалов. С помощью решения переопределенной системы уравнений вычислены коэффициенты членов разложения Уильямса более высокого порядка. Новизна рассматриваемого подхода заключается в использовании поля напряжений в расчетной схеме переопределенного метода. Процедура переопределенного метода, основанная на значениях компонент тензора напряжений, является более простой по сравнению с техникой, базирующейся на применении компонент вектора перемещений.

About the authors

M. A. Fomchenkova

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: Masha18072013@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0005-3227-5433

Master’s degree student of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

L. V. Stepanova

Samara National Research University

Email: stepanovalv.lv@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0002-6693-3132

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, head of the
Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files