On one scenario for changing the stability of invariant manifolds of singularly perturbed systems

Full Text

Введение
Основным объектом изучения является автономная сингулярно возмущенная система дифференци-
альных уравнений вида
x_ = f(x; y; ; ");
"y_ = g(x; y; ; ");
(1)
где x и y — векторы в Евклидовых пространствах; " — малый положительный параметр; — вектор
параметров, вектор-функции f и g достаточно гладкие, и их значения сравнимы с единицей. Медленная
и быстрая подсистемы описываются первым и вторым уравнениями системы (1) соответственно [1–3].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 20–29
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 20–29 21
Напомним, что гладкая поверхность называется инвариантным многообразием системы (1), если лю-
бая траектория, которая имеет с ней хотя бы одну общую точку, целиком принадлежит этой поверх-
ности [1–3].
Среди инвариантных многообразий выделяют так называемые медленные инвариантные многообра-
зия — инвариантные поверхности медленных движений, размерность которых равна размерности мед-
ленной подсистемы. В предельном случае (при " = 0) медленное инвариантное многообразие называется
медленной поверхностью (или медленной кривой, в зависимости от ее размерности), которая описыва-
ется уравнением
g(x; y; ; 0) = 0:
Устойчивость или неустойчивость медленного инвариантного многообразия определяется устойчиво-
стью или неустойчивостью медленной поверхности. Известно, что медленная поверхность является устой-
чивой, то есть притягивающей для траекторий системы (1), если все собственные числа матрицы ли-
неаризации быстрой подсистемы имеют отрицательные вещественные части [1–3]. В противном случае
она будет неустойчивой (отталкивающей).
При исследовании сингулярно возмущенных систем большой интерес вызывают критические случаи,
когда меняется знак одного или нескольких собственных чисел матрицы линеаризации быстрой подси-
стемы. Это приводит к тому, что медленное инвариантное многообразие теряет устойчивость [2; 3].
Есть несколько сценариев данного явления [4; 5]. С помощью введения условий на дополнительные па-
раметры системы в этих случаях можно построить медленное инвариантное многообразие со сменой
устойчивости [6; 7].
Первый сценарий можно наблюдать, когда одно из собственных чисел матрицы линеаризации быст-
рой подсистемы переходит через ноль и становится положительным. Этот случай связан с существовани-
ем траекторий-уток [6; 8–16]. Такая траектория системы идет сначала по притягивающему инвариантно-
му многообразию, а после — по отталкивающему. В этом сценарии требуется подобрать значение допол-
нительного параметра, которое обеспечит непрерывность функции, описывающей траекторию-утку [3].
Аналогичный сценарий смены устойчивости наблюдается в многомерных инвариантных многообразиях
со сменой устойчивости, которые можно рассматривать как инвариантные поверхности, целиком состо-
ящие из траекторий-уток [2; 6; 7; 12; 14; 17].
Во втором сценарии меняется знак вещественной части пары комплексно сопряженных собственных
чисел матрицы линеаризации быстрой подсистемы. В этом случае наблюдается явление затягивания
потери устойчивости: траектория системы (1) уходит от положения равновесия не сразу после того,
как оно потеряло устойчивость, а через какое-то время [4; 18–22].
Данная работа посвящена еще одному сценарию смены устойчивости медленных инвариантных много-
образий сингулярно возмущенных систем вида (1). Суть этого сценария заключается в том, что устойчи-
вой части медленного инвариантного многообразия отвечает пара комплексно сопряженных собственных
чисел с отрицательной вещественной частью матрицы линеаризации быстрой подсистемы, а неустойчи-
вой части медленного инвариантного многообразия отвечает пара вещественных собственных чисел про-
тивоположных знаков. Другими словами, смена устойчивости связана с одновременным обнулением и
вещественных частей, и коэффициентов при мнимой части собственных чисел матрицы линеаризации
быстрой подсистемы.
1. Основные результаты
В качестве простейшей системы, в которой наблюдается описанный выше сценарий смены устойчи-
вости медленного инвариантного многообразия, можно рассмотреть сингулярно возмущенную систему
вида
x_ = 1;
"y_ = z;
"z_ = axy + bxz;
(2)
где a и b — константы; " — малый положительный параметр.
Система {
z = 0;
axy + bxz = 0
описывает медленную кривую системы (2). Для исследования ее на устойчивость запишем матрицу
линеаризации быстрой подсистемы:
J =
(
0 1
ax bx
)
; (3)
22
Кипкаева О.С. Об одном сценарии смены устойчивости инвариантных многообразий сингулярно возмущенных систем
Kipkaeva O.S. On one scenario for changing the stability of invariant manifolds of singularly perturbed systems
с характеристическим многочленом
2 − bx − ax = 0:
Учитывая необходимое условие устойчивости полиномов, можем сказать, что при a и b разных знаков
медленная кривая будет неустойчивой.
В случае когда a > 0 и b > 0, медленная кривая будет устойчивой, если x будет отрицательным.
Если a < 0 и b < 0, то для устойчивости медленной кривой необходимо, чтобы x был положительным.
Исследуем собственные значения матрицы линеаризации (3). Они имеют следующий вид:
1;2 =
bx ±
√
b2x2 + 4ax
2
:
Смена знака подкоренного выражения собственных чисел происходит в двух точках: x = 0 и
x = −4a=b2. Причем при x = 0 происходит обнуление вещественных и мнимых частей собственных чисел.
Рассмотрим подробнее случай a > 0, b > 0.
1. x < −4a=b2. При таких значениях x подкоренное выражение принимает положительные значения,
то есть собственные числа будут вещественными.
Выясним знак собственного числа 1, где
1 =
bx +
√
b2x2 + 4ax
2
:
Так как x < 0, то bx < 0 и
4ax < 0 ⇒
√
b2x2 + 4ax < |bx|:
Следовательно,
1 =
bx +
√
b2x2 + 4ax
2
<
bx + |bx|
2
= 0:
Выясним знак собственного числа 2, где
2 =
bx −
√
b2x2 + 4ax
2
:
Так как bx < 0 и √
b2x2 + 4ax > 0;
то
2 =
bx −
√
b2x2 + 4ax
2
< 0:
Таким образом, при x < −4a=b2 матрица J имеет отрицательные вещественные собственные зна-
чения.
2. −4a=b2 < x < 0. В этом случае подкоренное выражение принимает отрицательные значения, сле-
довательно, собственные значения будут комплексными с отрицательной вещественной частью.
3. x > 0. При таких значениях x подкоренное выражение принимает положительные значения, то
есть собственные числа будут вещественными.
Выясним знак собственного числа 1, где
1 =
bx +
√
b2x2 + 4ax
2
:
Так как x > 0, то bx > 0 и √
b2x2 + 4ax > 0:
Следовательно,
1 =
bx +
√
b2x2 + 4ax
2
> 0:
Выясним знак собственного числа 2, где
2 =
bx −
√
b2x2 + 4ax
2
:
Так как bx > 0 и
4ax > 0 ⇒
√
b2x2 + 4ax > |bx|;
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 20–29
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 20–29 23
то
2 =
bx −
√
b2x2 + 4ax
2
<
bx − |bx|
2
= 0:
Таким образом, при x > 0 матрица J имеет вещественные собственные значения разных знаков.
Бифуркация собственных значений матрицы J представлена на рис. 1.
В случае a < 0 и b < 0 анализ собственных чисел проводится аналогично. Здесь при x < 0 собствен-
ные значения будут вещественными разных знаков, при x ∈ (0;−4a=b2) — комплексно сопряженными
с отрицательной вещественной частью, а при x > −4a=b2 собственные значения будут отрицательными
вещественными, см. рис. 1. Отметим, что в случае a < 0 и b < 0 изменения в характере собственных
чисел происходят аналогичным образом, но при уменьшении x.
Рис. 1. Собственные числа матрицы J для случая а — a > 0 и b > 0; б — a < 0 и b < 0
Fig. 1. Eigenvalues of the matrix J for the case а — a > 0 and b > 0; б — a < 0 and b < 0
Таким образом, в системе (2) при x = 0 наблюдается новый сценарий смены устойчивости точно-
го медленного инвариантного многообразия y ≡ 0, z ≡ 0; связанный с одновременным обнулением и
вещественных частей, и коэффициентов при мнимой части собственных чисел матрицы линеаризации
быстрой подсистемы.
Этот же сценарий смены устойчивости медленного инвариантного многообразия можно рассмотреть
в более сложных системах. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1.
x_ = 1;
"y_ = z;
"z_ = axy + bxz + f(x) + ;
(4)
где f(x) =  0x2 +  1x +  2, а  i (i = 0; : : : ; 2) — константы. Покажем, что система (4) имеет мед-
ленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости, связанной с одновременным обнулением и
вещественных частей, и коэффициентов при мнимой части собственных чисел матрицы линеаризации
быстрой подсистемы.
Чтобы найти это инвариантное многообразие, нужно должным образом подобрать значение допол-
нительного параметра . Бифуркационное значение = и соответствующую ему траекторию (од-
номерное инвариантное многообразие со сменой устойчивости) будем искать в виде асимптотического
разложения по степеням ":
= 0 + "1 + "22 + : : : ;
y = Y (x; ") = Y0(x) + "Y1(x) + "2Y2(x) + : : : :
(5)
Для нахождения i; Yi(x) подставим разложения (5) в уравнение инвариантности:
"
dz
dt
= "
dz
dx
dx
dt
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ", получим:
при "0:
0 = − 2;
Y0(x) = − 0x
a
−  1
a
;
при "1:
1 = 0;
Y1(x) =
b
a2  0;
24
Кипкаева О.С. Об одном сценарии смены устойчивости инвариантных многообразий сингулярно возмущенных систем
Kipkaeva O.S. On one scenario for changing the stability of invariant manifolds of singularly perturbed systems
при "n, где n > 2:
n = 0;
Yn(x) = 0:
Следовательно, для = − 2 существует точное инвариантное многообразие со сменой устойчивости
{
y = A0x + A1;
z = −"A0;
(6)
где
A0 = − 0
a
; A1 = − 1
a
+ "
b 0
a2 :
Траектория, соответствующая решению (6) системы (4), является глобальным медленным инвариант-
ным многообразием со сменой устойчивости. Все остальные траектории, начиная с начальной точки в
области влияния его устойчивой части, следуют вдоль него и затем продолжают свое движение вдоль
его неустойчивой части на расстояние порядка O(1) при " → 0, см. рис. 2 и рис. 3.
Рис. 2. Глобальное медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости (6) (сплошная линия) и
траектория системы (4) с начальным условием x(0) = ????0; 5; y(0) = 2; z(0) = 1; 5 (пунктирная линия);
a = 1; b = 1;  0 = 1;  1 = 1; 2;  2 = 0; 1; " = 0; 01
Fig. 2. Global stable/unstable slow invariant manifold (6) (solid line) and the trajectory of the system (4) with
initial data x(0) = ????0:5; y(0) = 2; z(0) = 1:5 (dash line); a = 1; b = 1;  0 = 1;  1 = 1:2;  2 = 0:1; " = 0:01
Пример 2. Рассмотрим еще один пример с другим возмущением:
x_ = 1;
"y_ = z;
"z_ = axy + bxz + f(x) + ;
(7)
где f(x) =  0x5 +  1x4 +  2x3 +  3x2 +  4x +  5, а  i (i = 0; : : : ; 5) — константы.
Бифуркационное значение = и соответствующую ему траекторию ищем в виде разложений (5).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ", получим:
при "0:
0 = − 5;
Y0(x) = − 0x4
a
−  1x3
a
−  2x2
a
−  3x
a
−  4
a
;
при "1:
1 = 0;
Y1(x) =
b
a2
(
4 0x3 + 3 1x2 + 2 2x +  3
)
;
при "2:
2 = −2 2
a
;
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 20–29
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 20–29 25
Рис. 3. Глобальное медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости (6) (сплошная линия) и
траектория системы (4) с начальным условием x(0) = ????0; 95; y(0) = 2; z(0) = 1; 5 (пунктирная линия);
a = 1; b = 1;  0 = 1;  1 = 1; 2;  2 = 0; 1; " = 0; 01
Fig. 3. Global stable/unstable slow invariant manifold (6) (solid line) and the trajectory of the system (4) with
initial data x(0) = ????0:95; y(0) = 2; z(0) = 1:5 (dash line); a = 1; b = 1;  0 = 1;  1 = 1:2;  2 = 0:1; " = 0:01
Y2(x) = −b2
a3
(
12 0x2 + 6 1x + 2 2
)
− 1
a2 (12 0x + 6 1) ;
при "3:
3 =
6b 1
a2 ;
Y3(x) =
b3
a4 (24 0x + 6 1) +
b
a3 12 0 +
b
a3 24 0;
при "4:
3 = −24b2 0
a3 ;
Y4(x) = −b4
a5 24 0;
при "n, где n > 5:
n = 0;
Yn(x) = 0:
Следовательно, для


= − 5 − "2 2 2
a
+ "3 6b 1
a2
− "4 24b2 0
a3
существует точное инвариантное многообразие со сменой устойчивости
{
y = A0x4 + A1x3 + A2x2 + A3x + A4;
z = −"(4A0x3 + 3A1x2 + 2A2x + A3);
(8)
где
A0 = − 0
a
; A1 = − 1
a
+ "
4b 0
a2 ; A2 = − 2
a
+ "
3b 1
a2
− "2 12b2 0
a3 ;
A3 = − 3
a
+ "
2b 2
a2
− "2 6b2 1
a3
− "2 1
a2 12 0 + "3 b3
a4 24 0;
A4 = − 4
a
+ "
b 3
a2
− "2 2b2 2
a3
− "2 1
a2 6 1 + "3 b3
a4 6 1 + "3 b
a3 12 0 + "3 b
a3 24 0 − "4 b4
a5 24 0:
Траектория, соответствующая точному решению (8) системы (7), является глобальным медленным
инвариантным многообразием со сменой устойчивости. Все остальные траектории, начиная с начальной
точки в области влияния его устойчивой части, следуют вдоль него и затем продолжают свое движение
вдоль его неустойчивой части на расстояние порядка O(1) при " → 0, см. рис. 4 и рис. 5.
26
Кипкаева О.С. Об одном сценарии смены устойчивости инвариантных многообразий сингулярно возмущенных систем
Kipkaeva O.S. On one scenario for changing the stability of invariant manifolds of singularly perturbed systems
Рис. 4. Глобальное медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости (8) (сплошная линия) и
траектория системы (7) с начальным условием x(0) = ????0; 5; y(0) = 2; z(0) = 1; 5 (пунктирная линия);
a = 1; b = 1;  0 = 1; 5;  1 = 1; 2;  2 = 1; 1;  3 = ????1;  4 = 2; 1;  5 = 1; 5; " = 0; 01
Fig. 4. Global stable/unstable slow invariant manifold (8) (solid line) and the trajectory of the system (7) with
initial data x(0) = ????0:5; y(0) = 2; z(0) = 1:5 (dash line);
a = 1; b = 1;  0 = 1:5;  1 = 1:2;  2 = 1:1;  3 = ????1;  4 = 2:1;  5 = 1:5; " = 0:01
Рис. 5. Глобальное медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости (8) (сплошная линия) и
траектория системы (7) с начальным условием x(0) = ????0; 95; y(0) = 2; z(0) = 1; 5 (пунктирная линия);
a = 1; b = 1;  0 = 1; 5;  1 = 1; 2;  2 = 1; 1;  3 = ????1;  4 = 2; 1;  5 = 1; 5; " = 0; 01
Fig. 5. Global stable/unstable slow invariant manifold (8) (solid line) and the trajectory of the system (7) with
initial data x(0) = ????0:95; y(0) = 2; z(0) = 1:5 (dash line);
a = 1; b = 1;  0 = 1:5;  1 = 1:2;  2 = 1:1;  3 = ????1;  4 = 2:1;  5 = 1:5; " = 0:01
Таким образом, в рассмотренных примерах наблюдается новый сценарий смены устойчивости мед-
ленных инвариантных многообразий, связанный с одновременным обнулением и вещественных частей,
и коэффициентов при мнимой части собственных чисел матрицы линеаризации быстрой подсистемы.
Эти примеры можно обобщить.
Теорема 1. Для системы
x_ = 1; "y_ = z; "z_ = axy + bxz + f(x) + ; (9)
где f(x) =  0xk +  1xk????1 + : : : +  k????1x +  k; а  i, (i = 0; : : : ; k) и k — константы, существует точное
медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости. Смена устойчивости этого многообразия
обусловлена одновременным обнулением и вещественных частей, и коэффициентов при мнимой части
собственных чисел матрицы линеаризации быстрой подсистемы.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 20–29
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 20–29 27
Выводы
В работе исследовался сценарий смены устойчивости медленного инвариантного многообразия, связанный с одновременным обнулением и вещественной части, и коэффициентов при мнимой части собственных значений матрицы линеаризации быстрой подсистемы. В качестве иллюстрации было предложено несколько примеров сингулярно возмущенных систем, для которых существует точное инвариантное многообразие с такой сменой устойчивости. Получена теорема существования точного инвариантного многообразия со сменой устойчивости для некоторого класса сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

About the authors

O. S. Kipkaeva

Author for correspondence.
Email: kipkaeva.os@ssau.ru
ORCID iD: 0009-0001-5448-9417

assistant lecturer of the Department of Differential Equations and Control Theory

References

Supplementary files