Asymptotics of critical conditions in one combustion model

Full Text

Введение
В биологии, химии, механике и многих других областях встречается немало прикладных задач, ха-
рактерной чертой которых является одновременное протекание сильно отличающихся по скорости про-
цессов. Такие задачи описываются сингулярно возмущенными системами. Большой интерес представляет
исследование критических явлений, при которых качественно меняется характер поведения траекторий
системы. В горении так называемый критический режим разделяет режим медленного выгорания и ре-
жим теплового взрыва [1–5]. Его важная особенность заключается в том, что температура в реакторе
достигает больших значений, чем при режиме медленного горения, но при этом реакция протекает со
скоростью значительно меньшей, чем при режиме теплового взрыва.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 12–19
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 12–19 13
1. Постановка задачи
Рассмотрим модель горения газовой смеси с учетом расхода реагента и окислителя. В безразмерной
форме модель принимает вид [6; 7]:


γ d
d = ϕ(η, ξ) exp
(

1+
)
− α(θ − θamb),
d
d = −ϕ(η, ξ) exp
(

1+
)
,
d
d = −λϕ(η, ξ) exp
(

1+
)
.
(1.1)
Здесь η, ξ и θ — безразмерные концентрации реагента и окислителя и безразмерная температура, со-
ответственно; θamb — безразмерная температура окружающей среды; α — параметр, характеризующий
теплоотвод из реакционной фазы. Параметр λ — отношение стехиометрических коэффициентов и на-
чальных концентраций реагента и окислителя. Случай λ < 1 отвечает обедненной горючей смеси, и за-
вершение процесса горения связано с полным выгоранием горючего. Если λ > 1, то смесь является
богатой, процесс горения завершится после полного расхода окислителя. В случае стехиометрической
смеси (λ = 1) горючее и окислитель заканчиваются одновременно. ϕ(η, ξ) — кинетическая функция для
безразмерных переменных, которая в случае автокаталитической реакции по реагенту и окислителю
принимает вид
ϕ(η, ξ) = ηa1 (1 + η0 − η)a2 ξb1 (1 + ξ0 − ξ)b2 ,
где a1, a2, b1, b2 — константы, определяющие порядок реакции [8]. Порядки реакций могут быть любые,
в том числе дробные.
Начальные условия для (1.1) имеют вид
θ(0) = 0, η(0) = 1, ξ(0) = 1. (1.2)
Первый интеграл системы (1.1)
ξ − 1 = λ(η − 1)
позволяет свести рассмотрение (1.1)–(1.2) к задаче


γ d
d = ψ(η) exp
(

1+
)
− α(θ − θamb) = g(θ, η),
d
d = −ψ(η) exp
(

1+
)
= f(θ, η),
(1.3)
где ψ(η) = ηa1 (1 + η0 − η)a2 (λ(η − 1) + 1)b1 (ξ0 − λ(η − 1))b2 , с начальными условиями:
θ(0) = 0, η(0) = 1. (1.4)
γ и β — малые параметры, θamb положительна, когда начальная температура газовой смеси ниже
температуры окружающей среды, в ином случае отрицательна.
Анализ поведения траекторий системы проводится на основе геометрической теории сингулярных воз-
мущений и метода инвариантных многообразий [5; 9]. Такой подход позволяет определить существенные
особенности динамики решений дифференциальной системы, даже не решая ее, опираясь на анализ так
называемого вырожденного (алгебраического) уравнения. Далее, применяя асимптотические разложения
для инвариантных многообразий, этот подход позволяет найти условия возникновения различных кри-
тических явлений. В задачах горения такой подход применялся, например, в работах [1–5; 10; 11].
В данной статье рассмотрен случай a1 = b1 = b2 = 1 и a2 = 2 для стехиометрической смеси (λ =
= 1), а именно функция ψ(η) в системе (1.3)–(1.4) для рассматриваемого случая имеет вид ψ(η) =
= η2 (1 + η0 − η)2 (ξ0 − η + 1).
2. Основные результаты
2.1. Медленная кривая
Уравнение
γ
dθ
dτ
= ψ(η) exp
(
θ
1 + βθ
)
− α(θ − θamb)
определяет быструю подсистему системы (1.3)–(1.4). Положив в нем γ = 0, получим
ψ(η) exp
(
θ
1 + βθ
)
− α(θ − θamb) = 0.
14
Долгова Е.С. Асимптотика критических условий в одной модели горения
Dolgova E.S. Asymptotics of critical conditions in one combustion model
Полученное уравнение определяет так называемую медленную кривую [5] системы (1.3)–(1.4), кото-
рая является эффективным средством для описания поведения ее траекторий. Фазовая точка систе-
мы (1.3)–(1.4) вблизи медленной кривой имеет скорость порядка единицы при γ −→ 0, а вдали от
медленной кривой температура θ меняется со скоростью порядка O
(
1

)
. В γ–окрестности медленной
кривой существует медленное инвариантное многообразие системы, которое определяется как инвари-
антное множество медленных движений [9]. Медленная кривая состоит из устойчивых (для них вы-
полняется неравенство ∂g/∂θ < 0) и неустойчивых (∂g/∂θ > 0) участков, разделенных точкой срыва.
Устойчивые и неустойчивые части медленной кривой представляют собой нулевое приближение (γ =
0) устойчивых (или притягивающих) и неустойчивых (или отталкивающих) медленных инвариантных
многообразий системы (1.3)–(1.4) соответственно.
В рассматриваемом случае точка срыва: θ∗ = 1 + θamb + 2(1 + θamb)β + O(β2). Участок медленной
кривой, для которого θ < θ∗ является устойчивым и притягивает траектории системы, а участок, где
θ > θ∗, наоборот, их отталкивает.
а б
Рис. 2.1. Медленная кривая (пунктирная линия) и траектория (сплошная линия) системы (1.3)–(1.4),
построенные при следующих значениях параметров:   = 0; 01;   = 0; 01; 0 = 0; 9; 0 = 0; 9; amb = ????1; 5;
а —   = 0; 7; б —   = 0; 5
Fig. 2.1. Slow curve (dotted line) and trajectory (solid line) of the system (1.3)–(1.4), constructed with the
following parameter values:   = 0; 01;   = 0; 01; 0 = 0; 9; 0 = 0; 9; amb = ????1; 5; а —   = 0; 7; б —   = 0; 5
На рисунке 2.1 изображены медленная кривая и траектории системы (1.3)–(1.4). В случае, представ-
ленном на рисунке 2.1, а, траектория, начавшаяся в точке η = 1; θ = 0, притягивается к устойчивой
части медленной кривой и идет в ее γ–окрестности до η = 0; θ = θamb, причем безразмерная температура
не будет превышать значения θ∗. Такая траектория соответствует режиму медленного горения.
В случае, представленном на рисунке 2.1, б, траектория находится в области влияния неустойчивого
участка медленной кривой и, оттолкнувшись от него, стремится вправо, достигая высоких значений
температуры. Это режим теплового взрыва.
Кроме перечисленных возможен третий вариант, в котором медленная кривая имеет точку само-
пересечения, а траектория системы движется сначала вдоль устойчивого участка медленной кривой,
затем, пройдя точку самопересечения (точку срыва), продолжает свое движение вдоль ее неустойчи-
вого участка. Последний сценарий отвечает критическому режиму, а такие траектории носят название
траекторий-уток [5; 9; 12–14]. В следующем параграфе найдено условие протекания данного режима.
2.2. Критические условия
Критический режим моделируется так называемым управляющим параметром, в данном случае —
параметром, характеризующим теплоотвод из реакционной фазы. Критическое значение параметра α на-
ходится при построении траектории-утки, а именно так, чтобы позволить склеить устойчивое и неустой-
чивое инвариантные многообразия. Для начала найдем координаты точки срыва. Она удовлетворяет
следующей системе: {
g(θ, η) = 0,
@g
@ = 0.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 12–19
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 12–19 15
Подставив g(θ, η), получим


ψ(η) exp
(

1+
)
− α(θ − θamb) = 0,
ψ(η) exp
(

1+
)
(1 + βθ)−2 − α = 0.
(2.1)
Система (2.1) сводится к уравнению
α
[
(θ − θamb) − (1 + βθ)2]
= 0.
Случай, когда параметр α = 0 не рассматривается, поэтому приравняем к нулю выражение для θ.
Получим уравнение
β2θ2 + (2β − 1)θ + 1 + θamb = 0,
которое является квадратным относительно θ. Здесь и далее функции, зависящие от β, будем представ-
лять в виде ряда Маклорена по малому параметру β и оставлять лишь первое приближение (поскольку
β — малый параметр и более высокий порядок приближения будет незначительно отличаться от пер-
вого). Тогда значение θ в точке срыва будет
θ
∗
= 1 + θamb + 2(1 + θamb)β + O(β2).
Концентрацию топлива и критическое значение параметра, характеризующего теплоотвод, будем ис-
кать в виде асимптотических рядов по степеням γ:
η(θ, γ) = h0(θ) + γh1(θ) + O(γ2), (2.2)
α∗(γ) = α0 + γα1 + O(γ2). (2.3)
Подставляя разложения (2.2)–(2.3) в уравнение инвариантности [9]
(h′
0(θ) + γh′
1(θ) + O(γ2))g(θ, η) = γf(θ, η) (2.4)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, найдем коэффициенты раз-
ложения в (2.2).
Полагая γ = 0 (рассматривая коэффициенты при γ0), получим уравнение медленной кривой
F(h0, θ) = ψ(h0) exp
(

1+
)
− α(θ − θamb) = 0. (2.5)
В случае автокаталитической реакции при критическом режиме точка срыва совпадает с точкой са-
мопересечения медленной кривой, поэтому будем искать h0(θ∗) и α0 такими, чтобы выполнялось условие
самопересечения медленной кривой, т. е.


@F
@h0
=
[
2h0(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) − 2h20
(1 + η0 − h0)(ξ0 − h0 + 1) − h20
(1 + η0 − h0)2)
]
×
×exp
(

1+
)
= 0,
@F
@ = h20
(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) exp
(

1+
)
(1 + βθ)−2 − α = 0.
(2.6)
Из первого уравнения системы (2.6) найдем h0(θ∗):
h0(1 + η0 − h0)[5h20
− h0(4ξ0 + 3η0 + 7) + 2ξ0 + 2η0ξ0 + 2η0 + 2] = 0,
откуда получим четыре значения:
h0;1(θ
∗
) = 0, h0;2(θ
∗
) = 1 + η0, h0;3(θ
∗
) =
4ξ0 + 3η0 + 7 +
√
16ξ2
0 + 9η2
0
− 16ξ0η0 + 16ξ0 + 2η0 + 9
10
,
h0;4(θ
∗
) =
4ξ0 + 3η0 + 7 −
√
16ξ2
0 + 9η2
0
− 16ξ0η0 + 16ξ0 + 2η0 + 9
10
.
h0;1(θ∗), h0;2(θ∗), h0;3(θ∗) выходят за рамки интересующей области, поэтому
h0(θ
∗
) =
4ξ0 + 3η0 + 7 −
√
16ξ2
0 + 9η2
0
− 16ξ0η0 + 16ξ0 + 2η0 + 9
10
.
Из уравнения медленной кривой (2.5) найдем значение α0 — нулевого приближения параметра α:
α0 = 10−5 (4ξ0 + 3η0 + 7 − K)2 (−4ξ0 + 7η0 + 3 + K)2 ×
×(6ξ0 − 3η0 + 3 + K) e1+amb(1 − (θamb + 1)2β + O(β2)),
(2.7)
где K =
√
16ξ2
0 + 9η2
0
− 16ξ0η0 + 16ξ0 + 2η0 + 9.
16
Долгова Е.С. Асимптотика критических условий в одной модели горения
Dolgova E.S. Asymptotics of critical conditions in one combustion model
Теперь выпишем из уравнения инвариантности (2.4) равенство коэффициентов при первой степени
малого параметра γ:
(h
′
0 + γh
′
1 + O(γ2))
[
(h0 + γh1 + O(γ2))2(1 + η0 − h0 − γh1 − O(γ2))2(ξ0 − h0 − γh1 − O(γ2) + 1)×
×exp
(
θ
1 + βθ
)
− (α0 + γα1 + O(γ2))(θ − θamb)
]
= −γ(h0 + γh1 + O(γ2))2(1 + η0 − h0 − γh1 − O(γ2))2×
×(ξ0 − h0 − γh1 − O(γ2) + 1) exp
(
θ
1 + βθ
)
.
C учетом уравнения медленной кривой (2.5) получим
h
′
0
[
2h1h0(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) + 2h20
(1 + η0 − h0)(−h1)(ξ0 − h0 + 1) + h20
(1 + η0 − h0)2(−h1)
]
×
×exp
(
θ
1 + βθ
)
− h
′
0α1(θ − θamb) = −h20
(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) exp
(
θ
1 + βθ
)
.
Отсюда получим формулу для h1(θ):
h1(θ) =
h′
0α1(θ − θamb) − h20
(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) exp
(

1+
)
h′
0 [2h0(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) − 2h20
(1 + η0 − h0)(ξ0 − h0 + 1) − h20
(1 + η0 − h0)2] exp
(

1+
).
Заметим, что знаменатель полученной дроби обращается в 0 в точке срыва. С целью обеспечения
непрерывности η(θ, γ) потребуем, чтобы в этой точке числитель также обращался в 0. Тогда мы можем
выразить коэффициент α1 в (2.3):
α1 =
α0
h′
0(θ∗)
. (2.8)
Чтобы посчитать h′
0(θ∗), найдем из уравнения медленной кривой вторую производную по θ:
d2F
dθ2 = Fh0h0 (h
′
0)2 + Fh0h
′′
0 + 2Fh0h
′
0 + F = Fh0h0 (h
′
0)2 + 2Fh0h
′
0 + F = 0.
Из этого следует:
h
′
0(θ) =
−Fh0 ±
√
F2
h0
− Fh0h0F
Fh0h0
.
Посчитаем необходимые производные:
Fh0 =
[
2h0(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) − 2h20
(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) − h20
(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1)
]
×
×exp
(
θ
1 + βθ
)
(1 + βθ)
−2,
F = h20
(1 + η0 − h0)2(ξ0 − h0 + 1) exp
(
θ
1 + βθ
)[
(1 + βθ)
−4 − 2β(1 + βθ)
−3]
,
Fh0h0 =
[
4(1 + η0 − h0)[h20
− h0(1 + η0 − h0) − 2h0(ξ0 − h0 + 1)] + 2(ξ0 − h0 + 1)[(1 + η0 − h0)2 + 2h20
]
]
×
×exp
(
θ
1 + βθ
)
.
С учетом (2.5) и (2.6) значения производных в точке срыва будут иметь вид
Fh0(θ
∗
) = 0,
F(θ
∗
) = α0[(1 + βθ)
−2 − 2β(1 + βθ)
−1]
  
= ,
Fh0h0 (θ
∗
) =
−8h0(1 + η0 − h0)(ξ0 − h0 + 1)2 − 3h20
(1 + η0 − h0)2
2(ξ0 − h0 + 1)
exp
(
θ
1 + βθ
)    
=
.
Приняв во внимание тот факт, что η — убывающая функция, подставим h′
0(θ∗) в (2.8):
α1 = −α0
√
−Fh0h0 ()
F() = −
√
 0h0(1+0−h0)[8(0−h0+1)2+3h0(1+0−h0)] exp(
1+ )(1+ )2
2(0−h0+1)(1−2 (1+ ))
     
=
.
Подставим в это выражение θ = θ∗:
α1 = −
√
 0(40+30+7−K)(−40+70+3+K)[8(60−30+3+K)2+3(40+30+7−K)(−40+70+3+K)]
2·103(60−30+3+K)
×
×e1+amb
(
1 +
[
3 − (amb−1)2
2
]
β + O(β2)
)
.
(2.9)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 12–19
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 12–19 17
Итак, найдено критическое значение параметра α в первом приближении:
α
∗
(γ) = α0 + γα1 + O(γ2),
где α0 определено выражением (2.7), а α1 — выражением (2.9). На рисунке 2.2 представлены медленная
кривая, соответствующая критическому режиму, и траектория-утка системы.
Рис. 2.2. Медленная кривая (пунктирная линия) и траектория (сплошная линия) системы (1.3)–(1.4),
построенные при следующих значениях параметров:   = 0; 01;   = 0; 01; 0 = 0; 9; 0 = 0; 9; amb = ????1; 5;
  = 0; 50796334626.
Fig. 2.2. The slow curve (dotted line) and trajectory (solid line) of the system (1.3)–(1.4), constructed with the
following parameter values:   = 0; 01;   = 0; 01; 0 = 0; 9; 0 = 0; 9; amb = ????1; 5;   = 0; 50796334626.
Если сравнить с графиками, представленными на рисунке 2.1, то можно заметить, что при кри-
тическом режиме температура θ принимает гораздо большие значения, чем при режиме медленного
горения, однако рост температуры происходит медленно, с контролируемой скоростью по сравнению с
мгновенным ростом в режиме теплового взрыва. Этот факт имеет важное прикладное значение.
Выводы
Рассмотрена сравнительно новая модель автокаталитической реакции горения с учетом расхода реагента и окислителя. Найдено асимптотическое разложение значения параметра, отвечающего за теплоотвод из реакционной фазы, при котором в системе наблюдается критический режим. Такой режим
интересен тем, что значение температуры газа может быть сравнительно высоким, но при этом сам процесс горения останется безопасным и не приведет к взрыву.

About the authors

E. S. Dolgova

Author for correspondence.
Email: dolgova.es@ssau.ru
ORCID iD: 0009-0004-7924-1356

post-graduate student of the Department of Differential Equations and Control Theory

References

Supplementary files