On a de Branges space related to the Riemann zeta function

Full Text

Одним из важных положений теории пространств де Бранжа является их связь с каноническими си-
стемами — парами дифференциальных уравнений первого порядка, которые задаются гамильтонианом
на интервале вещественной прямой. Такая связь осуществляется обобщенным преобразованием Фурье и
позволяет проводить спектральный анализ дифференциальных операторов с помощью пространств де
Бранжа. Пространства де Бранжа определяются их структурными функциями, представляющими со-
бой целые функции из класса Эрмита — Билера; подпространства де Бранжа образуют упорядоченную
по включению цепочку подпространств. Структурные функции подпространств де Бранжа могут быть
выписаны через решения канонической системы. Таким образом, одной из важных задач при изучении
пространств де Бранжа является нахождение канонической системы и обобщенного преобразования Фу-
рье, соответствующих пространству.
1Работа выполнена в Санкт-Петербургском международном математическом институте имени Леонарда Эйлера при
финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075–15–2022–287
от 06.04.2022).
8
Бадонова С.А. О пространстве де Бранжа, связанном с дзета-функцией Римана
Badonova S.A. On a de Branges space related to the Riemann zeta function
В статье [1] построено пространство де Бранжа, элементом которого является кси-функция Римана:
(s) =
1
2

????s/2s(s − 1)????
(s
2
)
(s);
где — дзета-функция Римана, — деленная на некоторый полином; найдены гамильтониан канониче-
ской системы, соответствующей пространству, и оператор, являющийся обобщенным преобразованием
Фурье канонической системы, изометрически отображающий гильбертово пространство канонической си-
стемы на пространство де Бранжа. В.В. Капустин предложил автору найти пространство де Бранжа,
которому соответствует аналогичная каноническая система с некоторыми предпочтительными изменени-
ями. В данном кратком сообщении представлены полученные результаты и отражающие их формулы.
Приведем необходимые сведения из теории пространств де Бранжа. Подробнее некоторые утвержде-
ния и их доказательства рассматриваются в работе [1]. Теория пространств де Бранжа и канониче-
ских систем с гамильтонианом, суммируемым вблизи левого конца интервала, изложена, например, в
работе [2]. Несмотря на то что в данном кратком сообщении рассматривается каноническая система с
гамильтонианом, не суммируемым вблизи левого конца интервала, многие утверждения из работы [2]
выполняются без существенных изменений.
Классом Эрмита — Билера HB называется множество целых функций E в комплексной плоскости,
для которых выполнено неравенство
|E (z)| < |E (z)|
при всех z из верхней полуплоскости {z ∈ C : Im z > 0}. Пространством де Бранжа HE со структурной
функцией E ∈ HB называется гильбертово пространство, состоящее из целых функций F таких, что
функции F
E и F♯
E принадлежат пространству Харди H2 в верхней полуплоскости (здесь и далее F♯(z) =
= F(z)). Нормы функций F
E и F♯
E совпадают в пространстве H2 и определяют норму функции F в
пространстве HE .
Каждому пространству де Бранжа соответствует каноническая система, которая задается гамильтони-
аном на интервале вещественной прямой. Гамильтониан H представляет собой локально суммируемую
матричнозначную функцию на интервале (a; b) вещественной прямой, значениями которой являются
вещественные матрицы размера 2 × 2 такие, что H(t) > 0 почти всюду.
Будем рассматривать гамильтониан H на интервале (a; b) вещественной прямой, который дополни-
тельно обладает свойствами i–iv:
i. Гамильтониан является диагональным, то есть представим в виде
H(t) =
(
w+(t) 0
0 w????(t)
)
:
ii. Каждая из функций w+, w???? отлична от нуля почти всюду.
iii. Гамильтониан суммируем вблизи правого конца b интервала.
iv. Вблизи левого конца a интервала гамильтониан не суммируем, но выполняется условие
lim
x!a


∫x
a
w+(t) dt ×
∫b
x
w????(t) dt

 = 0:
Канонической системой называется матричное дифференциальное уравнение Jf_(t) = zH(t)f(t) на
интервале (a; b), где J =
(
0 −1
1 0
)
, f =
(
f+
f????
)
— векторнозначная функция от переменной t, z ∈ C —
спектральный параметр. В случае диагонального гамильтониана H каноническая система может быть
переписана в виде {
−f_???? = z w+f+;
f_+ = z w????f????:
Пространством канонической системы называется гильбертово пространство, состоящее из вектор-
нозначных функций f на интервале (a; b); норма в пространстве определяется по формуле
∥f∥2 =
∫b
a
⟨
H(t)f(t); f(t)
⟩
dt;
где ⟨·; ·⟩ — скалярное произведение в C2. (Если свойство ii не выполнено, дополнительно требуется
факторизация пространства). В случае гамильтониана H, обладающего свойствами i, ii, пространство
может быть представлено в виде прямой суммы L2
w+
⊕ L2
w???? пространств, для которых диагональные
элементы w+, w???? гамильтониана являются весовыми функциями.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 2. С. 7–11
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 2, pp. 7–11 9
Пусть A(t; z), B(t; z) — целые функции при каждом t. Предположим, что для любого z функции
A и B определяют решение канонической системы и выполнено условие
A(t; z) → 1; B(t; z) → 0 (1)
при t → a. В случае диагонального гамильтониана H существование такого решения обеспечивается
свойством iv. Данное утверждение получено как сообщение от Р.В. Романова. Приведем схему дока-
зательства. Не умаляя общности, можно полагать trH = 1. Тогда несуммируемость гамильтониана
H вблизи левого конца a интервала равносильна тому, что a = −∞; свойство iv переписывается в
виде lim
x!????1
x
∫x
????1
w+(t) dt = 0. Функция A может быть найдена как неподвижная точка отображения
f+ 7→ 1 − z2
∫x
????1
w????(t)
∫t
????1
w+( )f+( ) d dt, которое является сжимающим на пространстве C(−∞; b) при
достаточно большом по модулю отрицательном b ∈ R с нормой ∥f+∥
C = sup
x2(????1,b)
|f+(x)|. Тогда функ-
ция B находится по A из уравнения канонической системы. Можно показать, что для таких функций
A и B условие (1) выполнено, кроме того, A♯ = A, B♯ = B. Функции A и B могут быть найдены как
целые функции при каждом t.
При каждом t функция E(t; z) = A(t; z)+iB(t; z) как функция от z принадлежит классу Эрмита — Би-
лера и потому является структурной функцией некоторого пространства де Бранжа. Оператор V :
(V f) (z) =
√1

∫b
a
⟨
H(t)f(t);
(
A(t; z)
B(t; z)
)⟩
dt = (2)
=
√1

∫b
a
(
f+(t)A(t; z)w+(t) + f????(t)B(t; z)w????(t)
)
dt;
определяет обобщенное преобразование Фурье канонической системы. Он изометрически отображает про-
странство канонической системы на пространство де Бранжа со структурной функцией E(b; z). Суще-
ствование такого пространства обеспечивается свойством iii. Отметим, что утверждение также имеет
место, если вместо интервала (a; b) рассматривать интервал (a; c), где c ∈ (a; b). При разных значе-
ниях c получается упорядоченная по включению цепочка подпространств де Бранжа.
Будем рассматривать каноническую систему на интервале (−∞; −4) с гамильтонианом H:
H(t) =
(
et
????t 0
0 e
????t
????t
)
:
Можно показать, что для гамильтониана выполняются свойства i–iv. Отметим, что каноническую си-
стему с таким гамильтонианом можно определить на всей отрицательной полуоси, но рассматривается
только ее сужение на указанный интервал.
Обозначим   =  (z) = 1
2
− iz.
Теорема.
1. Функции
A(t; z) =
√
−t
4
e
????t
2
(
Kα
(
−t
2
)
+ Kα????1
(
−t
2
))
;
B(t; z) = −i
√
−t
4
e
t
2
(
Kα
(
−t
2
)
− Kα????1
(
−t
2
))
определяют решение канонической системы на интервале (−∞; −4) с гамильтонианом H, где Kα —
модифицированная функция Бесселя. Кроме того, для функций A и B выполнено условие (1).
2. Оператор V , определяющий обобщенное преобразование Фурье канонической системы, имеет вид
(V f)(z) =
1
2
????∫4π
????1
[
f+(t)
e
t
2 √
−t
(
Kα
(
−t
2
)
+ Kα????1
(
−t
2
))
−
−if????(t)
e????t
2 √
−t
(
Kα
(
−t
2
)
− Kα????1
(
−t
2
))]
dt:
10
Бадонова С.А. О пространстве де Бранжа, связанном с дзета-функцией Римана
Badonova S.A. On a de Branges space related to the Riemann zeta function
3. Пространство де Бранжа со структурной функцией E(−4; z) является образом оператора V .
Оно совпадает (в смысле совпадения множеств и равенства норм) с пространством де Бранжа HE
со структурной функцией E(z) = 2Kα(2).
4. Пространство HE содержит функцию ξ( 1
2
????2iz)
p(z) , где — кси-функция Римана, p — полином
степени не меньше трех, нулями которого являются различные нули функции
( 1
2
− 2iz
)
.
Доказательство.
В работе [1] показано, что функции A1(t; z) = A
(
2t; z
2
)
; B1(t; z) = B
(
2t; z
2
)
определяют решение
канонической системы на интервале (−∞; −2) с гамильтонианом H1(t) = H(2t) и удовлетворяют усло-
вию (1). Заменив t на t=2 и z на 2z, получим доказательство утверждения 1.
Для рассматриваемого гамильтониана H(t) диагональными элементами являются функции w+(t) =
= et
????t ; w????(t) = e
????t
????t . Подставив функции A, B, w+, w???? в формулу (2), найдем выражение для операто-
ра V . Таким образом, получим доказательство утверждения 2.
Из приведенных выше утверждений следует, что образом оператора V является пространство де
Бранжа со структурной функцией E(−4; z). Совпадение этого пространства с пространством HE , E(z) =
= 2Kα(2), связано со свойством пространств де Бранжа. Известно, что структурная функция про-
странств де Бранжа определяется неоднозначно: пространства HE и HEβ совпадают (в смысле совпа-
дения множеств и равенства норм), где
Eβ =
E −  E♯
√
1 − | |2
; | | < 1:
Положив   =
e????4π − 1
e????4π + 1
для функции E(z) = 2Kα(2), получим Eβ(z) = E(−4; z). Таким образом, про-
странство де Бранжа со структурной функцией E(−4; z) совпадает с пространством HE . Утверждение 3
доказано.
Для доказательства утверждения 4 определим оператор
: F(z) 7→
√
2 F(2z):
Он изометрически отображает пространство де Бранжа со структурной функцией 2K2α+1
4
(2) на про-
странство HE . Из работы [1] следует, что если p — полином степени не меньше трех, нулями которого
являются различные нули функции
( 1
2
− iz
)
, то функция F(z) =
ξ( 1
2
????iz)
p( z
2 ) принадлежит пространству
де Бранжа со структурной функцией 2K2α+1
4
(2). Тогда функция ξ( 1
2
????2iz)
p(z) = p1
2
F принадлежит про-
странству HE как элемент образа оператора . Утверждение 4 доказано.
Теорема доказана.

About the authors

S. A. Badonova

Samara National Research University; Saint Petersburg University

Author for correspondence.
Email: badonova0116@mail.ru
ORCID iD: 0009-0006-4477-9572

undergraduate student of the Faculty of Mechanics and Mathematics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation; 7/9 Universitetskaya nab., Saint Petersburg, 199034, Russian Federation

References

Supplementary files