Prompt polarized J/ψ production at NICA within NRQCD and generalized parton model

Full Text

Введение
Экспериментальное исследование процессов рождения тяжелых кваркониев дает уникальные возмож-
ности для изучения относительной роли жестких процессов, описываемых в рамках теории возмущений
квантовой хромодинамики (КХД), и непертурбативных моделей адронизации. Рождение поляризованных
состояний J/ψ мезонов является прецизионным тестом для моделей, описывающих адронизацию тяже-
лых кварков в кварконий: модели цветовых синглетов (МЦС) [1], нерелятивистской КХД (НРКХД) [2]
и модели испарения цвета (МИЦ) [3]. Существующие экспериментальные данные по рождению поля-
ризованных J/ψ получены в протон-протонных и антипротон-протонных столкновениях при высоких
энергиях от
√
s = 200 ГэВ [4] до
√
s = 1.96 ТэВ [5] и
√
s = 13 ТэВ [6]. Удовлетворительного описа-
ния данных не получено ни в одной из моделей адронизации [7]. В этой связи представляет интерес
изучение рождения поляризованных J/ψ при энергиях коллайдера NICA,
√
s = 27 ГэВ [8] и теорети-
ческие предсказания для спектров поляризованных J/ψ мезонов, полученных в различных подходах
факторизации и моделях адронизации. В работе [9] были сделаны предсказания в модели адрониза-
ции НРКХД, выполненные в коллинеарной партонной модели [10] и подходе реджезации партонов [11].
В данной статье мы изучаем рождение поляризованных J/ψ в обобщенной партонной модели (ОПМ)
и НРКХД впервые.
1. Неколлинеарная модель факторизации
Стандартным методом рассмотрения партонных подпроцессов и способом факторизации сечения
жесткого адронного процесса является коллинеарная партонная модель (КПМ), имеющая известный ряд
недостатков, в частности—расходимость сечения в области малых поперечных импульсов рождающей-
ся частицы. Один из способов включить в описание область малых импульсов—это подход TMD-фак-
торизации (transverse-momentum-dependence) [12], в котором подразумевается, что начальные партоны
обладают ненулевыми поперечными компонентами импульсов. Область применения строгой TMD-фак-
торизации ограничивается малыми значениями поперечных импульсов чармония pT
≪ μF , где μF —
энергетический масштаб факторизации партонного подпроцесса.
ОПМ можно назвать феноменологической реализацией идеи TMD-факторизации. Если в КПМ им-
пульсы начальных партонов описываются как продольные компоненты импульсов летящих друг навстре-
чу другу протонов, то в ОПМ вводятся в рассмотрение ненулевые поперечные компоненты импульсов
начальных партонов.
Описывая столкновение протонов с импульсами p1 и p2, обозначим импульсы партонов в соответству-
ющих протонах как q1 и q2. Будем явно выделять их поперечные компоненты q1T , q2T , тогда импульсы
начальных партонов могут быть записаны в виде
q
1 = x1p
1 + y1p
2 + q
1T , q
2 = x2p
2 + y2p
1 + q
2T , q
iT = (0, ⃗qiT , 0) , i = 1, 2,
где x и y —это доли импульсов протонов. Здесь ради сохранения калибровочной инвариантности (то есть
выполнения условия q2
1 = q2
2 = 0) в импульсы партонов искусственно добавлены слагаемые, пропорцио-
нальные импульсам летящих им навстречу протонов. Условие калибровочной инвариантности требует,
чтобы начальные партоны были на массовой поверхности, что позволяет найти выражения для долей
импульса y:
yi =
ti
sxi
, ti = ⃗q 2
iT , i = 1, 2.
Компоненты импульсов q1, q2 могут быть представлены следующим образом:
q
1 =
(
x1
√
s
2
+
t1
2
√
sx1
, ⃗q1T ,
x1
√
s
2
− t1
2
√
sx1
)
,
q
2 =
(
x2
√
s
2
+
t2
2
√
sx2
, ⃗q2T ,−x2
√
s
2
+
t2
2
√
sx2
)
.
Сечение процесса в рамках подхода КПМ, согласно теореме о факторизации, может быть представ-
лено как произведение сечения жесткого партонного подпроцесса и партонных функций распределе-
ния (ПФР), которые описывают вероятность партона иметь ту или иную долю импульса x. Строго эта
теорема доказана для КПМ, но не для ОПМ [12], однако используется для факторизации сечения и для
процесса рождения чармония в столкновении протонов записывается в виде
dσ(pp → CX) =
∫
dx1
∫
d2q1T F1(x1, μ2
F , q1T )
∫
dx2
∫
d2q2T F2(x2, μ2
F , q2T ) dˆσ,
98
Карпишков А.В., Салеев В.А., Шиляев К.К. Рождение поляризованных J=  на коллайдере NICA в НРКХД . . .
Karpishkov A.V., Saleev V.A., Shilyaev K.K. Prompt polarized J=  production at NICA within NRQCD and GPM
где dˆσ —сечение жесткого партонного подпроцесса, которое соответственно для подпроцессов 2 → 1
и 2 → 2 выражается следующим образом:
dˆσ (ab → C) = (2π)4δ(4) (q1 + q2
− k1)
|M|2
I
d3k1
(2π)32k10
,
dˆσ (ab → Cd) = (2π)4δ(4) (q1 + q2
− k1
− k2)
|M|2
I
d3k1
(2π)32k10
d3k2
(2π)32k20
,
здесь ki —импульсы конечных частиц, I —потоковый фактор, а |M|2 —усредненный по конечным спи-
новым и цветовым состояниям и суммированный по начальным квадрат модуля амплитуды партонно-
го подпроцесса. Партонные функции распределения F(x, μ2
F , qT ) в ОПМ-факторизации представляются
в форме произведения не зависящих от поперечного импульса коллинеарных партонных распределений
и множителей, включающих данную зависимость:
F(x, μ2
F , qT ) = f(x, μ2
F )G(qT ),
используемый нами анзац для функции G(qT ) имеет гауссову форму с соответствующим нормировочным
условием [13]:
G(qT ) =
e−q2
T =⟨q2
T
⟩
π⟨q2T
⟩ ,
∫
G(qT )d2qT = 1.
Значение феноменологического параметра ⟨q2T
⟩, имеющего смысл среднего значения квадрата попереч-
ного импульса начальных партонов, традиционно берется равным около 1 ГэВ2 [14], мы же, исходя
из зависимости величины ⟨q2T
⟩ от энергии столкновения, извлечем в дальнейшем его значение из экс-
периментальных данных.
2. Нерелятивистская квантовая хромодинамика
Основная идея нерелятивистской квантовой хромодинамики (НРКХД) состоит в разложении вол-
новой функции тяжелого кваркония в ряд по степеням малого параметра, роль которого выполняет
относительная скорость конституентных кварков υ [2]. Соотношение между кинетической и потенци-
альной энергией, которая для достаточно больших масс кваркония M подавляется членом, пропорци-
ональным αs/r, показывает, что относительная скорость υ пропорциональна сильной константе связи
αs, которая в свою очередь с ростом M логарифмически уменьшается, так как αs ∼ 1/ lnM. Так что
для чармония, для которого υ2 ≈ 0.3, возможно введение системы масштабов, характеризующих состо-
яния кваркония с определенным набором квантовых чисел через значения специфических динамиче-
ских величин [15]. Так, значения массы кваркония M (характеризующее энергию основного состояния),
трехмерного импульса Mυ (обратно пропорционального размеру основного состояния) и кинетической
энергии с точностью до числового множителя Mυ2 (которая определяет величину расщепления между
уровнями радиального и углового возбуждений) удовлетворяют неравенству M2 ≫ (Mυ)2 ≫ (Mυ2)2 и
позволяют реализовать разложение волновой функции основного состояния чармония
|J/ψ⟩ = O(υ0)|c¯c[3S(1)
1 ]⟩ + O(υ1)|c¯c[3P(8)
J ]g⟩ + O(υ2)|c¯c[3S(1;8)
1 ]gg⟩ + O(υ2)|c¯c[1S(8)
0 ]g⟩ + . . .
Если ограничиться лишь слагемым лидирующего по υ порядка, то в итоговое сечение внесет вклад
только рождение синглетных по цвету состояний чармония, данное приближение носит название модели
цветовых синглетов (МЦС).
Подход НРКХД также позволяет осуществить факторизацию жесткого сечения [2], которое распада-
ется на произведение сечения рождения кварк-антикваркой пары в некотором состоянии, определяемом
соответствующим набором квантовых чисел, и непертурбативного матричного элемента (НМЭ), отвеча-
ющего за адронизацию кварк-антикваркой пары в кварконий (здесь c обозначает очарованный кварк,
а суммирование проводится по фоковским состояниям, обозначенным для краткости n):
dˆσ(ab → CX) =
Σ
n
dˆσ(ab → c¯c[n]X)⟨OC
[n]⟩/(NcolNpol),
где Ncol = 2Nc для синглетных состояний, Ncol = N2
c
−1 для октетных и Npol = 2J +1 (Nc = 3—число
учитываемых цветов, J —полный момент кварк-антикварковой пары). НМЭ синглетных состояний могут
быть получены в потенциальных моделях тяжелых кваркониев [16], они связаны со значениями волновой
функции чармония или ее производной в нуле:
⟨OC
[3S(1)
1 ]⟩ = 2Nc(2J + 1)|Ψ(0)|2, ⟨OC
[3P(1)
J ]⟩ = 2Nc(2J + 1)|Ψ
′
(0)|2.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 96–111
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 96–111 99
Подобный подход не применим к октетным НМЭ, значения которых извлекаются из экспериментальных
данных.
Вычисление амплитуд в НРКХД осуществляется с помощью последовательности проецирований. Про-
екторы на состояния со значениями спина 0 и 1 имеют вид [17]
Π0 =
1 √
8m3c
(
ˆ P
2
− ˆq − mc
)
γ5
(
ˆ P
2
+ ˆq + mc
)
, Π
1 =
1 √
8m3c
(
ˆ P
2
− ˆq − mc
)
γ
(
ˆ P
2
+ ˆq + mc
)
,
где mc —это масса c-кварка, P —полный импульс кварка и антикварка, а q —их относительный импульс.
Проекторы на цветовые состояния—синглетное и октетное соответственно:
C1 =
√δij
Nc
, C8 =
√
2Ta
ij ,
где δij —дельта Кронекера, Ta
ij —генераторы фундаментального представления цветовой группы SU(3),
а Nc = 3. Окончательное проецирование на состояние с определенным значением углового момента
производится с помощью взятия следа и производной по относительному импульсу q порядка, равного
орбитальному квантовому числу (с последующим занулением q). Поэтому амплитуды рождения c¯c-пар
могут быть записаны в виде
M(a + b → c¯c[3S(1)
1 ]) = Tr[C1Π
1
M(a + b → c¯c)ε(Jz, P)]
  
q=0,
M(a + b → c¯c[3P(1)
J ]) =
d
dq
Tr[C1Π
1
M(a + b → c¯c)ε(J)
(Jz, P)]
  
q=0,
M(a + b → c¯c[1S(8)
0 ]) = Tr[C8Π0M(a + b → c¯c)]
  
q=0,
здесь приведены характерные амплитуды рождения пар. Обозначение M внутри знаков следа соответ-
ствует амлитуде рождения пары с ”отрезанными” линиями конечных кварков, ε(Jz, P)—это вектор или
тензор поляризации.
Суммирование по поляризациям в процессе получения квадрата модуля амплитуды неполяризован-
ного 3S1 состояния чармония осуществляется с помощью поляризационного тензора
P =
Σ
Jz
ε(Jz, P)ε
∗
(Jz, P) = −g +
PP
M2 .
Для неполяризованных 3PJ состояний тензоры имеют следующий вид (J = 0, 1, 2):
P = ε(0)
(P)ε(0)∗
(P) =
1
3
PP,
P =
Σ
Jz
ε(1)
(Jz, P)ε(1)∗
(Jz, P) =
1
2
[PP − PP] ,
P =
Σ
Jz
ε(2)
(Jz, P)ε(2)∗
(Jz, P) =
1
2
[PP + PP] − 1
3
PP.
Кроме того, в работе изучаются и поляризованные состояния чармония. Для определения направле-
ния спина нами выбрана система отсчета, связанная со спиральностью кваркония (helicity frame); в этой
системе вектор продольной поляризации направлен вдоль трехмерного импульса кваркония. Приведем
выражения тензоров и для суммирования по состояниям с выделенной поляризацией. Процедура по-
строения вектора продольной поляризации описана в работе, а его явное выражение и соответствующий
тензор для 3S1 состояния [18]:
ε(0, P) =
(P√Q)P/M −MQ
(PQ)2 − sM2
, P0
= ε(0, P)ε
∗
(0, P),
где Q—сумма импульсов сталкивающихся адронов (в нашем случае протонов) и s = Q2. Поляризован-
ное 3P1 состояние вычислялось с помощью процедуры, описанной в работе [19]. Тензоры для поляри-
зованных 3P2 состояний, проекция Jz указана у тензоров верхним индексом [20]:
P0
= ε(2)
(0, P)ε(2)∗
(0, P) =
1
6
[
2P0

− P1

] [
2P0

− P1

]
, P1
= P − P0
,
P1
=
Σ
|Jz|=1
ε(2)
(Jz, P)ε(2)∗
(Jz, P) =
1
2
[
P0

P1
+ P0

P1
+ P0

P1
+ P0

P1

]
,
100
Карпишков А.В., Салеев В.А., Шиляев К.К. Рождение поляризованных J=  на коллайдере NICA в НРКХД . . .
Karpishkov A.V., Saleev V.A., Shilyaev K.K. Prompt polarized J=  production at NICA within NRQCD and GPM
P2
=
Σ
|Jz|=2
ε(2)
(Jz, P)ε(2)∗
(Jz, P) =
1
2
[
P1

P1
+ P1

P1

− P1

P1

]
.
Также следует обратить внимание на учет распадов вышележащих энергетических состояний в рож-
дении чармония. Для получения сечения неполяризованного J/ψ проводится суммирование по сечениям
рождения возбужденных состояний, умноженным на бранчинг распада данного состояния в основное,
причем вычисление проводится с учетом эффекта отдачи, а именно—выражения для сдвига по попе-
речному импульсу основного состояния: pTC ≈ (MC/MC′ ) · pTC′ . Учет распадов в рождении продольно
поляризованного состояния J/ψ устроен сложнее, далее приведено полное выражение для этого сече-
ния [19]:
σJ= 
L = σJ= ; прямое
L + σcJ
L + σ 
′
L + σ 
′→cJ
L ,
каждое из слагаемых само представлено суммой сечений:
σJ= ( 
′
); прямое
L = σJ= ( 
′
)
0 (3S(1)
1 )+σJ= ( 
′
)
0 (3S(8)
1 )+
1
3
σJ= ( 
′
)(1S(8)
0 )+
+
1
3
σJ= ( 
′
)(3P(8)
0 )+
1
2
σJ= ( 
′
)
1 (3P(8)
1 )+
2
3
σJ= ( 
′
)
0 (3P(8)
2 )+
1
2
σJ= ( 
′
)
1 (3P(8)
2 ),
σcJ
L =
[
1
3
σc0 (3P(1)
0 ) +
1
3
σc0 (3S(8)
1 )
]
Br(χc0 → J/ψ+γ)+
+
[
1
2
σc1
1 (3P(1)
1 ) +
1
2
σc1
0 (3S(8)
1 ) +
1
4
σc1
1 (3S(8)
1 )
]
Br(χc1 → J/ψ+γ)+
+
[
2
3
σc2
0 (3P(1)
2 ) +
1
2
σc2
1 (3P(1)
2 ) +
17
30
σc2
0 (3S(8)
1 ) +
13
60
σc2
1 (3S(8)
1 )
]
Br(χc2 → J/ψ+γ),
σ 
′
L = σ 
′
; прямое
L Br(ψ
′ → J/ψ+X),
σ 
′→cJ
L =
1
3
σ 
′
; прямое
L Br(ψ
′ → χc0+γ) Br(χc0 → J/ψ+γ)+
+
[
1
2
σ 
′
; прямое
L +
1
4
σ 
′
; прямое
T
]
Br(ψ
′ → χc1+γ) Br(χc1 → J/ψ+γ)+
+
[
17
30
σ 
′
; прямое
L +
13
60
σ 
′
; прямое
T
]
Br(ψ
′ → χc2+γ) Br(χc2 → J/ψ+γ).
Нижние индексы L и T соответствуют продольной и поперечной поляризациям состояний.
3. Результаты расчетов
Приведем перечень инструментов, использованных для вычислений. В первую очередь, по процеду-
ре, описанной в предыдущей части, были получены квадраты модулей амплитуд партонных подпро-
цессов, рассматриваемых ниже; их вычисление проводилось в системе компьютерной алгебры Wolfram
Mathematica с применением пакетов FeynCalc [21] и FeynArts [22]. Численное интегрирование сечений
проводилось с помощью библиотеки численного интегрирования CUBA и алгоритма интегрирования
Suave [23]. В качестве коллинеарных ПФР были взяты численно заданные функции MSTW2008LO [24].
Относительная погрешность всех вычислений не превышала 1 %.
Вычисление всех вкладов в рождение J/ψ было проведено в лидирующем порядке теории возмуще-
ний по бегущей константе связи αs. Среди партонных подпроцессов 2 → 1 и 2 → 2, дающих вклад как
в прямое рождение J/ψ, так и через промежуточные вышележащие состояния, выделим те, в которых
рождаются синглетные состояния чармония, и те, в которых—октетные состояния:
g + g → χcJ [3P(1)
J ], J = 0, 2, g + g → J/ψ[1S(8)
0 ],
g + g → J/ψ[3S(1)
1 ] + g, g + g → J/ψ[3P(8)
J ], J = 0, 2,
g + g → ψ′[3S(1)
1 ] + g, q + ¯q → J/ψ[3S(8)
1 ],
g + g → χc1[3P(1)
1 ] + g, q + ¯q → χcJ [3S(8)
1 ], J = 0, 2.
В качестве начальных партонов учитывались глюоны g и кварки q (¯q). Здесь не указаны подпроцес-
сы 2 → 1, которым отвечают равные нулю матричные элементы синглетных состояний. В вычисле-
ниях массы состояний чармония принимались следующими [25]: mJ=  = 3.096 ГэВ, m ′ = 3.686 ГэВ,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 96–111
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 96–111 101
mc0 = 3.415 ГэВ, mc1 = 3.510 ГэВ, mc2 = 3.556 ГэВ. Распады состояний чармония в J/ψ и рас-
пады J/ψ в пары электрон-позитрон или мюон-антимюон учитывались бранчингами—дополнитель-
ными феноменологическими множителями, на которые домножались соответствующие сечения [25]:
Br(χc0 → J/ψ + γ) = 0.014, Br(χc1 → J/ψ + γ) = 0.343, Br(χc2 → J/ψ + γ) = 0.19, Br(ψ′ → J/ψ + X) =
= 0.614, Br(J/ψ → e+e−) = 0.05971, Br(J/ψ → μ+μ−) = 0.05961, Br(ψ′ → χc0 + γ) = 0.0979, Br(ψ′ → χc1 +
+ γ) = 0.0975, Br(ψ′ → χc2 + γ) = 0.0952. Значения НМЭ, которые в НРКХД соответствуют адрониза-
ции рождающейся пары очарованных кварков, были взяты следующими [26]: ⟨OJ= [3S(1)
1 ]⟩ = 1.3 ГэВ3,
⟨O 
′
[3S(1)
1 ]⟩ = 0.65 ГэВ3, ⟨Oc0 [3P(1)
0 ]⟩ = 0.089 ГэВ5, также использовались соотношения для НМЭ, спра-
ведливые в лидирующем порядке НРКХД по υ и отражающие спиновую симметрию тяжелых кварков:
⟨OcJ [3P(1)
J ]⟩ = (2J + 1) · ⟨Oc0 [3P(1)
0 ]⟩,
⟨OJ= [3P(8)
J ]⟩ = (2J + 1) · ⟨OJ= [3P(8)
0 ]⟩,
⟨OcJ [3S(8)
1 ]⟩ = (2J + 1) · ⟨Oc0 [3S(8)
1 ]⟩.
При расчетах в качестве масштаба перенормировки μR, входящего в выражение для константы свя-
зи αs, и масштаба факторизации μF , от которого зависят ПФР, была принята поперечная масса чар-
мония mT =
√
m2 + p2
T . Так как выбор величины для масштабов является довольно свободным, то для
оценки коридора ошибок теоретических предсказаний масштаб варьировался на множитель 2 в боль-
шую и меньшую сторону, коридор погрешностей на графиках будет показан светлой полосой того же
цвета, что и основная линия.
Для предсказания рождения и поляризации J/ψ в протон-протонных столкновениях на ускорителе
NICA при энергии
√
s = 27 ГэВ сначала были проведены вычисления и сравнения для того же процесса
при других энергиях, мы использовали результаты измерений коллабораций PHENIX (
√
s = 200 ГэВ) [27]
и NA3 (
√
s = 19.4 ГэВ) [28]. Для описания рождения J/ψ в интервале малых быстрот |y| < 0.35 и при
pT
≪ 3 ГэВ было достаточно синглетного вклада при традиционном значении ⟨q2T
⟩g = 1 ГэВ2. Однако
его оказалось достаточно для описания данных измерений вплоть до pT . 3 ГэВ, то есть во всей
области применимости ОПМ, мы фитировали на этих экспериментальных данных для рождения J/ψ сам
параметр ⟨q2T
⟩g, значение которого чувствительно к энергии процесса: ⟨q2T
⟩g = 2.80 ГэВ2, χ2/d.o.f. = 0.18,
а расчеты отображены на графике (рис. 3.1) с указанием вкладов различных синглетных состояний в
суммарное сечение J/ψ.
Также были фитированы данные измерений коллаборации PHENIX [27] для больших быстрот
1.2 < |y| < 2.2 и данные коллаборации NA3 [28]. Для описания этих экспериментов синглетного вклада
было недостаточно, поэтому учитывался вклад от октетных состояний с начальными глюонами и квар-
ками, так как состояние 3S(8)
1 в процессах с начальными глюонами не рождается. Следовательно, по-
явился целый ряд новых параметров для фитирования: ⟨q2T⟩q (помимо аналогичного глюонного пара-
метра) и октетные НМЭ, причем вклады от рождения J/ψ в процессах 2 → 1 в состояниях 1S(8)
0 , 3P(8)
0 ,
3P(8)
2 имеют одинаковую зависимость от pT , то есть пропорциональны друг другу, поэтому соответству-
ющие им НМЭ могут быть извлечены из экспериментальных данных только в виде линейной комби-
нации MJ= 
7 = ⟨OJ= [1S(8)
0 ]⟩+7 · ⟨OJ= [3P(8)
0 ]⟩/m2c. Значения всех параметров, фитированных на данных
PHENIX и NA3, расположены в табл. 3.1, а результаты наших расчетов—на рис. 3.2 и рис. 3.3. Как
видно, вклад октетных состояний (в процессах с начальными глюонами) становится сравним с синглет-
ным вкладом и даже превышает его, а в случае с данными NA3—он один почти полностью описывает
эксперимент, поэтому во всяком случае при больших y октетный вклад не может быть проигнорирован.
Для расчета предсказаний поляризации ψ′ мы фитировали и данные PHENIX по рождению ψ′ √ при
s = 200 ГэВ [27]. Параметры, относящиеся к ОПМ, были взяты из фитирования данных по рож-
дению J/ψ (табл. 3.1), так как они не должны зависеть от процесса, а октетные НМЭ, в частности
M 
′
7 = ⟨O 
′
[1S(8)
0 ]⟩ + 7 · ⟨O 
′
[3P(8)
0 ]⟩/m2c
и ⟨O 
′
[3P(8)
1 ]⟩, были фитированы, и результаты этих расчетов
помещены в табл. 3.2 и на рис. 3.4.
Перейдем к предсказаниям рождения J/ψ при энергии эксперимента SPD NICA. В расчетах учиты-
вались вклады и использовались параметры, фитированные на данных измерений коллаборации NA3
из-за близости энергии
√
s этих двух экспериментов. На рис. 3.5 и 3.6 показаны результаты расчетов
для дифференциального сечения рождения J/ψ как функций поперечного импульса pT и быстроты y
соответственно.
Кроме того, мы сравнили наши вычисления для сечения рождения J/ψ в ОПМ с конвенциональными
расчетами в КПМ. Аналогично были фитированы данные коллабораций PHENIX и NA3 для pT > 2 ГэВ.
Так же, как и в ОПМ, часть октетных НМЭ может быть фитирована лишь в виде линейной комбинации,
однако она будет иной, так как в КПМ не существует процессов 2 → 1, и все состояния могут рождаться
только в процессах 2 → 2. Анализ показывает, что отношение вкладов состояний 1S(8)
0 , 3P(8)
0 , 3P(8)
1 ,
102
Карпишков А.В., Салеев В.А., Шиляев К.К. Рождение поляризованных J=  на коллайдере NICA в НРКХД . . .
Karpishkov A.V., Saleev V.A., Shilyaev K.K. Prompt polarized J=  production at NICA within NRQCD and GPM
Рис. 3.1. Зависимость дифференциального сечения рождения J/ψ от поперечного импульса
чармония pT . Красная сплошная линия соответствует суммарному сечению, в которое входят сечение
прямого рождения J/ψ (оранжевая штриховая линия) и вклады от распадов χc2 (желтая
пунктирная), ψ′ (зеленая штрихпунктирная), χc1 (синяя штрихпунктирная с двумя точками) и χc0
(фиолетовая штрихпунктирная с тремя точками). Экспериментальные данные по рождению J/ψ
коллаборации PHENIX [27]
Fig. 3.1. Differential cross section of prompt J=  production versus charmonium transverse momentum pT .
Summed J=  cross section (red solid line) consists of direct J=  production (orange dashed line) and feed-down
contributions of c2 (yellow dotted line),  
′ (green dash-dotted line), c1 (blue dash-dot-dotted line) and c0
(purple dash-dot-dot-dotted line). Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]
Таблица 3.1
Результаты фитирования сечения рождения J/ψ в ОПМ на данных коллаборации
PHENIX в области больших быстрот 1.2 < |y| < 2.2 и данных коллаборации NA3 при y > 0
Table 3.1
Result of fitting of the prompt J/ψ production within GPM on the PHENIX collaboration
data (1.2 < |y| < 2.2) and the NA3 collaboration data (y > 0)
Эксп. данные PHENIX [27] NA3 [28]
⟨q2T
⟩g, ГэВ2 2.80 0.85
⟨q2T
⟩q, ГэВ2 1.30 0.15
MJ= 
7 , ГэВ3 (5.17 ± 0.33) · 10−2
⟨OJ= [3S(8)
1 ]⟩, ГэВ3 (0.00 ± 0.26) · 10−2
⟨Oc0 [3S(8)
1 ]⟩, ГэВ3 (4.12 ± 3.55) · 10−3
χ2/d.o.f 0.52
3P(8)
2 в КПМ остается одинаковым только при достаточно больших pT . Другими словами, рассмотрим
отношение
R(pT ) =
Σ
J=0;1;2
dσ(ab → c¯c[3P(8)
J ] → J/ψ)
dσ(ab → c¯c[1S(8)
0 ] → J/ψ)
,
в нашем случае на интервале по pT от 2 до 3 ГэВ отношение R(pT ) немного больше 3, то есть для фи-
тирования данных и последующей оценки предсказаний КПМ будем использовать комбинацию MJ= 
3 =
= ⟨OJ= [1S(8)
0 ]⟩+3·⟨OJ= [3P(8)
0 ]⟩/m2c
. Результаты фитирования октетных НМЭ указаны в табл. 3.3, а рас-
четы для данных PHENIX и NA3 и предсказания для SPD NICA помещены на рис. 3.7—3.8 вместе
с аналогичными расчетами в ОПМ. Как видно, в области малых быстрот, где сосредоточена основная
доля рождающихся J/ψ, предсказания в КПМ, по крайней мере в лидирующем порядке по αs, не со-
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 96–111
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 96–111 103
Рис. 3.2. Зависимость дифференциального сечения рождения J/ψ от поперечного импульса
чармония pT в сравнении с экспериментальными данными коллаборации PHENIX [27]. Слева показано
сравнение полных синглетного (желтая пунктирная линия) и октетного (синяя штрихпунктирная
с двумя точками) вкладов в рождение J/ψ. Справа—сравнение прямого рождения J/ψ (зеленая
пунктирная) и вклада от распадов возбужденных состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная
с двумя точками). Красная сплошная линия в обоих случаях отвечает суммарному сечению J/ψ
Fig. 3.2. Differential cross section of prompt J=  production versus charmonium transverse momentum pT .
Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet (blue dash-dot-dotted line) contributions is shown on the
left, comparison of the direct J=  production (green dotted line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line)
contributions is shown on the right. Red solid line refers to summed J=  production on both plots. Experimental
data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]
Рис. 3.3. Зависимость дифференциального сечения рождения J/ψ от поперечного импульса
чармония pT в сравнении с экспериментальными данными коллаборации NA3 [28]. Слева показано
сравнение полных синглетного (желтая пунктирная линия) и октетного (синяя штрихпунктирная
с двумя точками) вкладов в рождение J/ψ. Справа—сравнение прямого рождения J/ψ (зеленая
пунктирная) и вклада от распадов возбужденных состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная
с двумя точками). Красная сплошная линия в обоих случаях отвечает суммарному сечению J/ψ
Fig. 3.3. Differential cross section of prompt J=  production versus charmonium transverse momentum pT .
Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet (blue dash-dot-dotted line) contributions is shown on the
left, comparison of the direct J=  production (green dotted line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line)
contributions is shown on the right. Red solid line refers to summed J=  production on both plots. Experimental
data is taken from the NA3 collaboration paper [28]
104
Карпишков А.В., Салеев В.А., Шиляев К.К. Рождение поляризованных J=  на коллайдере NICA в НРКХД . . .
Karpishkov A.V., Saleev V.A., Shilyaev K.K. Prompt polarized J=  production at NICA within NRQCD and GPM
Таблица 3.2
Результаты фитирования сечения рождения ψ′ в ОПМ на данных
коллаборации PHENIX в области быстрот |y| < 0.35
Table 3.2
Result of fitting of the prompt ψ′ production within GPM
on the PHENIX collaboration data at midrapidity area |y| < 0.35
Эксп. данные PHENIX [27]
M 
′
7 , ГэВ3 (3.65 ± 3.82) · 10−3
⟨O 
′
[3P(8)
1 ]⟩, ГэВ5 (0.05 ± 1.24) · 10−1
χ2/d.o.f 6.6 · 10−3
Рис. 3.4. Зависимость дифференциального сечения рождения ψ′ от поперечного импульса
чармония pT в сравнении с экспериментальными данными коллаборации PHENIX [27]. Показаны
вклады от рождения состояний 3S(1)
1 (синяя штриховая линия), 3S(8)
1 (оранжевая штрихпунктирная)
и общий не разделяемый фитированием вклад состояний 1S(8)
0 , 3P(8)
0 , 3P(8)
2 (желтая пунктирная).
Cумма всех вкладов показана сплошной зеленой линией
Fig. 3.4. Differential cross section of prompt  
′ production versus charmonium transverse momentum pT ,
contributions of the singlet state 3S(1)
1 (blue dashed line), octet state 3S(8)
1 (orange dash-dotted line) and a sum
of octet states 1S8)
0 , 3P(8)
0 , 3P(8)
2 (yellow dotted line) are shown separately. Green solid line refers to a sum of all
these  
′ states contributions. Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]
Таблица 3.3
Результаты фитирования сечения рождения J/ψ в КПМ на данных
коллабораций PHENIX (|y| < 0.35, 1.2 < |y| < 2.2) и NA3 (y > 0)
Table 3.3
Result of fitting of the prompt J/ψ production within CPM
on the PHENIX (|y| < 0.35, 1.2 < |y| < 2.2) and NA3 (y > 0) collaborations data
Эксп. данные PHENIX [27], NA3 [28]
MJ= 
3 , ГэВ3 (0.0+0:3
−3:3) · 10−3
⟨OJ= [3S(8)
1 ]⟩, ГэВ3 (0.0+1:7
−2:6) · 10−3
⟨Oc0 [3S(8)
1 ]⟩, ГэВ3 (4.16 ± 1.24) · 10−3
χ2/d.o.f 7.23
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 96–111
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 96–111 105
Рис. 3.5. Предсказания зависимости дифференциального сечения рождения J/ψ от поперечного
импульса pT для эксперимента SPD NICA. Слева показано сравнение полных синглетного (синяя
пунктирная линия) и октетного (желтая штрихпунктирная с двумя точками) вкладов
в рождение J/ψ. Справа—сравнение прямого рождения J/ψ (зеленая пунктирная) и вклада
от распадов возбужденных состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная с двумя точками).
Красная сплошная линия в обоих случаях отвечает суммарному сечению J/ψ
Fig. 3.5. Prediction for differential cross section of the prompt J=  production as a function of charmonium
transverse momentum pT at NICA energy
p
s = 27 GeV. Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet
(blue dash-dot-dotted line) contributions is shown on the left, comparison of the direct J=  production (green
dotted line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line) contributions is shown on the right. Red solid line refers
to summed J=  production on both plots
Рис. 3.6. Предсказания зависимости дифференциального сечения рождения J/ψ от быстроты y для
эксперимента SPD NICA. Слева показано сравнение полных синглетного (синяя пунктирная линия)
и октетного (желтая штрихпунктирная с двумя точками) вкладов в рождение J/ψ. Справа—
сравнение прямого рождения J/ψ (зеленая пунктирная) и вклада от распадов возбужденных
состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная с двумя точками). Красная сплошная линия
в обоих случаях отвечает суммарному сечению J/ψ
Fig. 3.6. Prediction for differential cross section of the prompt J=  production as a function of charmonium
rapidity y at NICA energy
p
s = 27 GeV. Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet (blue
dash-dot-dotted line) contributions is shown on the left, comparison of the direct J=  production (green dotted
line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line) contributions is shown on the right. Red solid line refers
to summed J=  production on both plots
106
Карпишков А.В., Салеев В.А., Шиляев К.К. Рождение поляризованных J=  на коллайдере NICA в НРКХД . . .
Karpishkov A.V., Saleev V.A., Shilyaev K.K. Prompt polarized J=  production at NICA within NRQCD and GPM
Рис. 3.7. Зависимость дифференциального сечения рождения J/ψ от поперечного импульса
чармония pT . Расчеты в КПМ (желтая штриховая линия) и ОПМ (синяя сплошная).
Экспериментальные данные коллаборации PHENIX [27]
Fig. 3.7. Differential cross section of the prompt J=  production versus charmonium transverse momentum pT
within CPM (yellow dashed line) and GPM (blue solid line) approaches. Experimental data is taken from
the PHENIX collaboration paper [27]
Рис. 3.8. Зависимость дифференциального сечения рождения J/ψ от поперечного импульса
чармония pT . Расчеты в КПМ (желтая штриховая линия) и ОПМ (синяя сплошная) для
экспериментальных данных коллаборации NA3 [28] (слева) и предсказаний для SPD NICA (справа)
Fig. 3.8. Differential cross section of the prompt J=  production versus charmonium transverse momentum pT
within CPM (yellow dashed line) and GPM (blue solid line) approaches. Experimental data is taken from the
NA3 collaboration paper [28] (on the left). Prediction for differential cross section of J=  production
at NICA energy (on the right)
гласуются ни с экспериментальными данными, ни с нашими предсказаниями в ОПМ, что, возможно,
оправдывает наш подход к описанию неполяризованных J/ψ в ОПМ при pT < 3 ГэВ.
Поляризация в рождении чармония может быть описана через один из коэффициентов в выражении
для углового распределения лептонного распада чармония:
dσ
dΩ
∼ 1 + λ cos2 θ + μ sin 2θ cos φ + ν sin2 θ cos 2φ, λ =
σT
− 2σL
σT + 2σL
=
σ − 3σL
σ + σL
,
угловой коэффициент λ выражается через комбинацию сечений продольно и поперечно поляризованных
чармониев. Расчеты для данных коллаборации PHENIX по измерению поляризации J/ψ изображены
на рис. 3.9, построение границ коридора погрешностей для λ мы осуществляли с помощью следующих
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 96–111
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 96–111 107
выражений [29]:
λabove
= λcentre
+
√(
λ
F ; max

− λcentre

)2
+
(
λ
R; max

− λcentre

)2
,
λbelow
= λcentre

−
√(
λ
F ; min

− λcentre

)2
+
(
λ
R; min

− λcentre

)2
.
Вычисления показывают практически не зависящее от pT значение коэффициента λ ≈ 0.4, что совер-
шенно не согласуется с имеющимися экспериментальными данными и говорит, вероятно, о том, что
НРКХД не подходит для описания рождения поляризованных чармониев, по крайней мере, в лидиру-
ющем порядке теории возмущений.
Несмотря на расхождение наших расчетов для поляризации J/ψ с данными PHENIX, мы вычисли-
ли λ и для SPD NICA—наши предсказания для зависимости коэффициента λ от pT и y в рождении
J/ψ и ψ′ показаны на рис. 3.10.
На рис. 3.11 можно увидеть наши вычисления отношений вкладов P-волновых состояний чармония
χcJ в рождение J/ψ.
Рис. 3.9. Зависимость поляризации J/ψ от поперечного импульса pT в ОПМ. Показаны вклад
прямого рождения J/ψ (оранжевая штриховая линия), вклад от распада P-волновых состояний
чармония χcJ (синяя пунктирная) и сумма этих вкладов (желтая сплошная). Экспериментальные
данные коллаборации PHENIX [4]
Fig. 3.9. Polarization of J=  versus charmonium transverse momentum pT . Direct J=  production (orange dashed
line), feed-down contribution of P-wave cJ states (blue dotted line) and summed J=  production (yellow solid
line) are shown. Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [4]
Рис. 3.10. Предсказания зависимости поляризации J/ψ (синяя сплошная линия) и ψ′ (желтая
штриховая) от поперечного импульса pT и быстроты y в ОПМ для эксперимента SPD NICA
Fig. 3.10. Prediction for J=  (blue solid lines) and  
′ (yellow dashed lines) polarization as functions of
charmonium transverse momentum pT (on the left) and charmonium rapidity y (on the right) at NICA energy
108
Карпишков А.В., Салеев В.А., Шиляев К.К. Рождение поляризованных J=  на коллайдере NICA в НРКХД . . .
Karpishkov A.V., Saleev V.A., Shilyaev K.K. Prompt polarized J=  production at NICA within NRQCD and GPM
Рис. 3.11. Предсказания для отношений вкладов P-волновых состояний в рождение J/ψ в ОПМ
для эксперимента SPD NICA. Показаны отношения сечений для J1 = 0 / J2 = 2 (синяя сплошная
линия) и J1 = 1 / J2 = 2 (желтая штриховая)
Fig. 3.11. Prediction for ratios of P-wave states contributions to the J=  production at NICA energy. Ratios
for J1 = 0 / J2 = 2 (blue solid line) and J1 = 1 / J2 = 2 (yellow dashed line) are shown
Заключение
Итак, в ходе нашей работы по изучению рождения J/ψ в НРКХД и ОПМ мы провели фитирование ряда экспериментальных данных по рождению J/ψ и ψ′ в протон-протонных столкновениях для извлечения из них значений феноменологических параметров, входящих в описание процесса в рамках выбранных нами подходов. С использованием этих параметров мы получили предсказания для рождения неполяризованных и поляризованных J/ψ и ψ′ на ускорителе NICA. Исходя из сравнения с предыдущими расчетами в НРКХД и ОПМ и имеющимися экспериментальными данными, можно считать адекватным выбранный нами подход для предсказания рождения неполяризованных чармониев на NICA и недостаточно удовлетворительным для описания поляризации чармониев.

About the authors

A. V. Karpishkov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: karpishkoff@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-0762-5532

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, senior lecturer of the Department of General and Theoretical Physics

V. A. Saleev

Samara National Research University

Email: saleev@samsu.ru
ORCID iD: 0000-0003-0505-5564

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

K. K. Shilyaev

Samara National Research University

Email: kirill.k.shilyaev@gmail.com
ORCID iD: 0009-0005-0531-883X

Master’s Student of the Department of General and Theoretical Physics

References

Supplementary files