On the boundary conditions for a thin circular plate conjugated to a massive body

Full Text

1. Предварительные сведения
При моделировании тонкостенных элементов конструкций, сопряженных с массивными телами, тон-
костенные элементы удобно моделировать в рамках различных двумерных или одномерных моделей:
пластин, оболочек, балок. При этом в качестве граничных условий обычно используют условие жесткого
защемления, оправдывая это «массивностью» тел, с которыми рассматриваемые тонкостенные элемен-
ты сопрягаются. Однако более детальное рассмотрение показывает, что условие жесткого защемления
выполняется лишь приближенно, и что более точными являются условия упругой заделки, когда ки-
нематические параметры — компоненты смещения средней плоскости и углы поворота связываются с
силовыми параметрами — продольными и поперечными усилиями и изгибающими моментами посред-
ством матрицы податливости [1–15]. Более простые, скалярные, соотношения использовались в работах
[16; 17]. На необходимость учета податливости заделки указывалось и в более ранних работах [18–23],
где были предложены приближенные модели для их оценки. Условие жесткого защемления может быть
получено как частный случай путем обнуления коэффициентов податливости матрицы, либо соответ-
ствующих предельных переходов. В упомянутых работах рассматривались ситуации отслоения тонкой
пленки (пластины) от массива либо расслоение составных пластин, и были вычислены коэффициен-
ты соответствующих матриц податливости (полный набор либо коэффициенты, вносящие наибольший
вклад). В частности, было показано [2; 12], что даже деформирование пластины, имеющей полный кон-
такт с абсолютно жестким основанием вне области отслоения (потери контакта с основанием), более
точно описывается при использовании граничных условий типа упругой заделки. В настоящей статье
рассматривается иной случай, а именно деформирование тонкого слоя, сцепленного с массивным основа-
нием, имеющим цилиндрическое отверстие, за счет давления на слой через данное отверстие (рис. 1.1).
Подобные задачи возникают при идентификации экспериментально определяемых параметров ультратон-
ких элементов МЭМС, используемых, в частности, в проекционных литографических системах [24–28].
Рис. 1.1. Тонкий упругий слой, сцепленный с массивным основанием, имеющим цилиндрическое
отверстие
Fig. 1.1. A thin elastic layer adhered to a massive base having a cylindrical hole
Участок тонкого слоя, находящегося над отверстием, будет рассматриваться как равномерно нагру-
женная пластина. При этом будут использоваться граничные условия, соответствующие упругой заделке.
2. Постановка задачи
Рассмотрим слой толщины h, сцепленный с массивным основанием, имеющим цилиндрическое от-
верстие радиуса R, со стороны которого на слой прикладывается давление p. Введем цилиндрическую
систему координат r, φ, z с осью z, расположенной по центру отверстия, и направленную в сторону,
противоположную от прилегающего основания (рис. 1.1).
Деформация слоя может описываться в приближении теории пластин, где в качестве кинематиче-
ских переменных используются радиальная и нормальная компоненты смещения его серединной плос-
кости u, w. К настоящему времени разработано много вариантов теории пластин, отличающихся как
52
Устинов К.Б., Гандилян Д.В. О граничных условиях для тонкой круглой пластины, сопряженной...
Ustinov K.B., Gandilyan D.V. On the boundary conditions for a thin circular plate conjugated to a massive body
степенью сложности, так и степенью строгости учета различных факторов. Рассмотрение вариантов
теорий и областей их применения не входит в задачу настоящей работы, данный вопрос рассмотрен,
например в [29], см. также цитируемую там литературу.
Рассмотрим вариант описания деформирования пластины Феппля — фон Кармана, уравнения для
которого в случае осевой симметрии могут быть записаны в виде [29; 30]:
DΔ2w −
(
Trr
d2w
dr2 + Tφφ
1
r
dw
dr
)
= q, (2.1)
Trr − Tφφ
r
+
dTrr
dr
= 0, (2.2)
Trr =
Eh
1 − ν2
[
du
dr
+
1
2
(
dw
dr
)2
+ ν
u
r
]
, (2.3)
Tφφ =
[
u
r
+ ν
du
dr
+
ν
2
(
dw
dr
)2]
. (2.4)
Здесь u,w — радиальная и нормальная компоненты смещения серединной плоскости слоя; q — рас-
пределенная нагрузка; Δ — оператор Лапласа; E, ν — модуль Юнга и коэффициент Пуассона слоя
(пластины); Trr, Tφφ — продольные усилия в пластине; D — изгибная жесткость
D =
Eh3
12(1 − ν2)
. (2.5)
Уравнения (2.1), (2.2) представляют собой уравнения равновесия, в первом из которых часть уси-
лий выражена через нормальную компоненту смещения w; уравнения (2.3), (2.4) представляют собой
уравнения закона упругости, в которых деформации выражены через компоненты смещения. Область
применимости системы уравнений ограничена не слишком большими прогибами w.
Для постановки задачи систему уравнений (2.1)–(2.4) необходимо дополнить граничными условиями.
Традиционной является постановка, в которой смещения и углы повороты пластины в точках сопря-
жения с основанием полагаются равными нулю. Это условие носит название жесткой заделки и может
быть представлено в виде
u(R) = 0, (2.6)
w(R) = 0, (2.7)
dw(r)
dr
    
r=R
= 0. (2.8)
Более точными являются условия упругой заделки, согласно которым кинематические величины,
входящие в (2.6)–(2.8), пропорциональны некоторым статическим величинам, действующим на границе.
В случае плоской границы выбор данных статических величин однозначен и определяется структурой
определяющих уравнений. В общем виде это условие в используемых обозначениях можно записать в
виде [14] 

u(R)h−1
−w′(R)
w(R)h−1

 =
1 − ν2
E


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




−Trrh−1
Mrrh−2
Qrzh−1

. (2.9)
Здесь Mrr,Qrz — изгибающий момент и перерезывающая сила, действующие в сечении; aij — без-
размерные коэффициенты матрицы податливости, зависящие в общем случае от геометрических пара-
метров системы (отношения толщины пластины к характерному размеру всей системы) и отношения
упругих констант пластины и массивной части. Коэффициенты aij не могут быть посчитаны на осно-
ве элементарных балочных теорий. Для ряда конфигураций они были посчитаны аналитическими либо
численными методами из рассмотрения более простых задач [1–14]. Условие жесткой заделки (жесткого
защемления) получается из условия упругой заделки (2.9), если положить нулями все коэффициенты
податливости aij = 0.
3. Оценки коэффициентов матрицы упругой заделки.
Аналитические и численные решения
Коэффициенты матрицы упругой заделки a11, a12, a21, a22 были получены многими авторами: числен-
но [1; 3; 5; 9], полуаналитически [2; 8] и аналитически [7] для плоской задачи о слое, примыкающем
к полуплоскости и имеющем участок отслоения. В работе [7] также были получены значения коэффи-
циентов a13, a23 (остальные коэффициенты не используются в рамках рассматриваемой модели). Для
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 50–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 50–63 53
достаточно протяженных отслоений, пользуясь результатами [6; 14; 15] можно получить следующие фор-
мулы: 
 a11 = 2
Σ
π
(
ln η
2
Σ + 1.57
)
+ d, a12 = a21 =
√
3, a22 = 12δ,
a13 = 1 +
√
3δ, a23 = 3
2 + 6δ2, δ = 0.21 + 0.62
Σ1/3 .

 (3.1)
Здесь
Σ
— отношение модулей слоя и основания; η — отношение полудлины отслоившегося слоя к его
толщине; d — константа, порядка единицы. Коэффициенты aij в данном приближении не зависят от
длины пластины, кроме коэффициента a11, зависящего логарифмически.
Рассматриваемая геометрия имеет два существенных отличия: наличие отверстия в основании на гра-
нице с пластиной и ненулевой радиус кривизны границы. Первое отличие должно приводить к умень-
шению жесткости конструкции и, как следствие, к увеличению коэффициентов податливости. Действи-
тельно, для весьма жестких по отношению к основанию пластин область затухания напряжений в ос-
новании при удалении от точки защемления велика, поэтому при отсутствии материала основания в
половине области (для плоского случая) можно ожидать до двукратного уменьшения сопротивления, и
соответственно до двукратного увеличения коэффициентов податливости. В противоположном пределе
(абсолютно) жесткого основания наличие отверстия не влияет на распределение напряжений, поэтому
коэффициенты податливости не должны меняться. Наличие кривизны контура, очевидно, должно при-
водить к увеличению жесткости системы и уменьшению коэффициентов податливости. Это уменьшение
должно сильно сказываться на коэффициентах, сильно зависящих от отношения протяженности пласти-
ны к толщине, и практически не сказываться на коэффициентах, слабо зависящих от этого отношения.
Суммируя, для рассматриваемой конфигурации коэффициенты податливости должны несколько превос-
ходить значения, даваемые формулой (3.1).
4. Оценки коэффициентов матрицы упругой заделки.
МКЭ решение
Для получения значения коэффициентов упругой заделки решалась вспомогательная задача о по-
лом цилиндре высотой H с внешним и внутренним радиусами R1,R2, один из торцов которого z = 0,
полностью сцеплен с пластиной из другого материала, имеющей круговое отверстие радиуса R3 < R2
(рис. 4.1). Противоположный торец цилиндра z = −H жестко закреплялся, u(r,−H) = w(r,−H) = 0. На
внутреннем контуре пластины ставились граничные условия одного из следующих видов: постоянное
давление
σrr(R3, z) = p, 0 6 z 6 h (4.1)
либо постоянный изгибающий момент
σrr(R3, z) = (z − h/2)p, 0 6 z 6 h. (4.2)
Для пластины и основания были взяты модули Юнга и коэффициента Пуассона для алюминия (E =
= 70 ГПа, ν = 0.35) и кремния (E = 109 ГПа, ν = 0.27), соответственно [31].
Задача решалась методом конечных элементов в линейной упругой осесимметричной постановке.
В процессе решения вычислялись компоненты смещения на верхней и нижней свободной границе
пластины u(r, 0), u(r, h),w(r, 0),w(r, h), R3 + ξ 6 r 6 R2 − ξ, где параметр ξ принимался равным 3h для
отсечения областей, в которых существенную роль могут играть краевые эффекты. Значения смещений
срединной плоскости вычислялись как полусумма значений в узлах сетки, расположенных на поверхно-
стях. Полученные функции аппроксимировались полиномиальными функциями шестого порядка мето-
дом наименьших квадратов. Данные аппроксимационные зависимости экстраполировались до границы
контакта пластины с цилиндром r = R2. Действующие продольные усилия и моменты в данной точке
вычислялись аналогичным образом через соответствующие комбинации производных от смещений. Полу-
ченные таким образом значения u(0),w′(0),M(0), T(0) использовались для нахождения коэффициентов
податливости. Для расчета были выбраны следующие геометрические параметры: h = 1, H = 100, R1 =
= 100, R2 = 100, для параметра R3 использовались два значения — 60 и 40. Разница в значениях
полученных коэффициентов aij при этом не превышала 3 %, что можно отнести к погрешности мето-
да конечных элементов. Двумерная сетка строилась четырехугольными элементами. Число элементов
по толщине пластины составляло 6, по длине пластины — 100, по сторонам массивной части — 200.
Отношение размера элемента вблизи точки заделки и вдали от нее составляло 1/10.
Полученные значения коэффициентов податливости составили a11 = 10, a12 = a21 = 1.7, a22 = 12.
Данные значения, согласующиеся с теоретическими значениями для плоской границы и сплошного ос-
нования, использовались в расчетах.
54
Устинов К.Б., Гандилян Д.В. О граничных условиях для тонкой круглой пластины, сопряженной...
Ustinov K.B., Gandilyan D.V. On the boundary conditions for a thin circular plate conjugated to a massive body
Рис. 4.1. Геометрия расчетной области
Fig. 4.1. Geometry of the computational domain
5. Оценки влияния различных коэффициентов
Оценку удобно проводить по отдельности для отдельных коэффициентов матрицы податливости. При
этом для оценки вклада того или иного коэффициента можно использовать подходящую приближенную
модель, в рамках которой можно получить аналитическое либо полуаналитическое решение. Такой под-
ход позволяет в рамках используемых приближенных теорий на основе полученных решений оценивать
относительный вклад того или иного коэффициента.
5.1. Модель пластины без учета растягивающих усилий
Для оценки влияния коэффициентов, связанных с начальным поворотом, удобно использовать эле-
ментарное уравнение изгиба пластины без учета сил, возникающих в ее плоскости. Подобное уравнение
обычно называют уравнением Софи Жермен. Данное уравнение может быть получено отбрасыванием
в уравнении (2.1) члена, связанного с действием продольных сил
DΔ2w = q. (5.1)
Здесь q — распределенная нормальная нагрузка, в общем случае зависящая от координат.
В рассматриваемом случае осевой симметрии данное уравнение в полярных координатах преобразу-
ется к виду
1
r
d
dr
[
r
d
dr
(
1
r
d
dr
(
r
dw
dr
))]
=
q
D
. (5.2)
Общее решение данного уравнения при постоянной нагрузке q, не имеющее особенностей в центре,
есть
w(r) =
qr4
64D
+ C1r2 + C2. (5.3)
При моделировании условий закрепления в виде жесткой заделки граничные условия записываются
в виде (2.7), (2.8), при этом условие (2.6) не используется, поскольку входящая в него функция u не
входит в уравнения изгиба.
При моделировании условий закрепления в виде упругой заделки условие (2.8) заменяется на сле-
дующее (с учетом знаков), являющееся частным случаем условия (2.9)
−dw(r)
dr
    
r=R
=
a22
¯E
h2Mrr(R) +
a23
¯E
h
Qrz(R). (5.4)
Здесь модуль Юнга, модифицированный для плоской деформации, определяется как
¯E
=
E
1 − ν2 . (5.5)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 50–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 50–63 55
В условии (5.4) ввиду характера уравнения (5.1) отсутствует зависимость от продольного усилия,
действующего в пластине. Кроме того, ввиду осевой симметрии вертикальное смещение края не зависит
от угла и может быть положено равным нулю.
Значение изгибающего момента может быть посчитано следующим образом [30]:
Mrr(r) = D
(
d2w(r)
dr2 +
ν
r
dw(r)
dr
)
. (5.6)
Значение перерезывающей силы наиболее просто получить из баланса сил, действующих на пластину
в пределах радиуса
Qrz(r) =
qr
2
. (5.7)
С учетом (5.6), (5.7) граничное условие (5.4) записывается в виде
dw(r)
dr
    
r=R
= − h
12
a22
(
d2w(r)
dr2
    
r=R
+
ν
R
dw(r)
dr
    
r=R
)
− a23
2
qR
¯E
h
. (5.8)
Подстановка общего решения (5.3) в граничное условие упругой заделки (5.8) дает уравнение для
определения константы C1
qR3
16D
+ 2C1R = − h
12
a22
(
(3 + ν) qR2
16D
+ 2 (1 + ν)C1
)
− a23
2
qR
¯E
h
. (5.9)
Откуда
C1 = − qR2
32D
(
1 +
3 + ν
12
a22
h
R
+ a23
2
3
h2
R2
)(
1 +
h
12R
a22 (1 + ν)
)−1
. (5.10)
После чего из (2.7) находится константа C2
C2 = − qR4
64D
− C1R2. (5.11)
Подстановка значений констант (5.10), (5.11) в общее решение окончательно дает выражение для
смещений в случае граничных условий в виде упругой заделки
w (r) =
qr4
64D
− qR2
32D
(
r2 − R2)(
1 +
3 + ν
12
a22
h
R
+ a23
2
3
h2
R2
)(
1 +
h
12R
a22 (1 + ν)
)−1
− qR4
64D
. (5.12)
Выражение для смещений в случае граничных условий в виде жесткой заделки получается отсюда,
если положить a22 = a23 = 0, либо подстановкой граничных условий (2.7), (2.8) в общее решение (5.3)
w (r) =
q
64D
(
R2 − r2)2
. (5.13)
Ввиду малости параметра h/R оценки для поправки, вносимой учетом конечности поворота в ме-
сте заделки, решение (5.12) можно разложить в ряд по данному параметру. Тогда, в частности, для
смещения в центре пластины
w (0) =
qR4
64D
(
1 +
1
3
a22
h
R
)
+ O
(
h
R
)2
. (5.14)
При h/R = 1/100 для пленки алюминия на кремнии с a22 ≈ 12 погрешность, вносимая неучетом
конечности поворота, составляет около 4 %, для h/R = 1/1000 погрешность становится пренебрежимо
малой. Вклад от коэффициента a23 для указанных условий пренебрежим ввиду того, что параметр h/R
входит во второй степени.
Аналогично для величины момента в точке заделки, согласно (5.6)
Mrr (R) =
qR2
8D
(
1 − 1 + ν
12
a22
h
R
)
. (5.15)
Поправка для рассматриваемых условий составляет порядка 1 %. Однако при меньших относитель-
ных радиусах рассматриваемая поправка становится существенной.
Уравнения (5.14), (5.15) показывают, что податливость заделки приводит к увеличению нормальных
смещений и уменьшению изгибающего момента, соответствующие поправки имеют порядок a22
h
R и обу-
словлены вкладом члена, соответствующего влиянию изгибающего момента на угол поворота в месте
контакта.
56
Устинов К.Б., Гандилян Д.В. О граничных условиях для тонкой круглой пластины, сопряженной...
Ustinov K.B., Gandilyan D.V. On the boundary conditions for a thin circular plate conjugated to a massive body
5.2. Мембранная модель
Рассмотрим другой крайний случай преобладания продольных (мембранных) усилий. При этом обыч-
но предполагается постоянство усилий
Trr (r) = const. (5.16)
Из предположения (5.16) и уравнения равновесия (2.2) также следует равенство мембранных усилий
в различных направлениях Trr = Tφφ = T. Предположение постоянства мембранных усилий не позволяет
удовлетворить точно уравнениям совместности, однако используется в приближенных расчетах. Урав-
нение для прогиба получается из общего уравнения (2.1) отбрасыванием первого члена, связанного с
изгибом, что вместе с условием (5.16) дает
−TΔw (r) = q (5.17)
или в полярных координатах:
−1
r
d
dr
(
r
dw
dr
)
=
q
T
. (5.18)
Решение, удовлетворяющее граничному условию отсутствия вертикальных смещений на границе (2.7)
и ограниченное в нуле, есть
w (r) =
q
4T
(
R2 − r2)
. (5.19)
Данное решение, очевидно, неадекватно описывает поведение вблизи точек заделки. В частности,
решение (5.19) дает конечный (и достаточно большой) поворот в этой точке. Это связано с тем, что
вблизи заделки пренебрежение изгибными напряжениями, описываемыми в уравнении (2.1) старшими
производными, становится неправомерным; для адекватного описания деформирование в этой области
в рамках мембранной теории необходимо рассмотрение пограничного слоя.
Радиальные Trr и окружные мембранные усилия Tφφ находятся из закона упругости. В предполо-
жении постоянства мембранных усилий получаем
εrr =
Trr
Eh
− ν
Tφφ
Eh
=
1 − ν
Eh
T, εφφ =
Tφφ
Eh
− ν
Trr
Eh
=
1 − ν
Eh
T. (5.20)
Выражения для радиальных и окружных деформаций εrr, εφφ через смещения u, w имеют вид
εrr =
du
dr
+
1
2
(
dw
dr
)2
, εφφ =
u
r
. (5.21)
Подстановка (5.21) в (5.20) дает различные выражения для смещения u(R) при подсчете через ра-
диальную и окружную деформации. В первом случае интегрирование от 0 до R дает
u (R) =
1 − ν
Eh
TR − 1
2
∫ R
0
(
dw
dr
)2
dr, (5.22)
во втором
u (R) =
1 − ν
Eh
TR. (5.23)
Для дальнейших расчетов возьмем среднее значение
u (R) =
1 − ν
Eh
TR − 1
4
∫ R
0
(
dw
dr
)2
dr. (5.24)
Подстановка (5.19) в (5.24) и интегрирование от 0 до R дают
u (R) =
1 − ν
E
R
h
T − q2R3
48T2 . (5.25)
С другой стороны смещение u(R) может быть посчитано через граничное условие типа упругой
заделки (получающегося как частный случай из первого из условий (2.9)):
u (R) = −a11
¯E
T. (5.26)
Здесь отсутствуют члены, связанные с высшими производными от w (см. рассуждения после фор-
мулы (5.19)). Из сравнения (5.26) и (5.25) получаем
T3 =
Eq2R2h
48 (1 − ν)
(
1 + a11 (1 + ν)
h
R
)−1
. (5.27)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 50–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 50–63 57
Откуда для малых h/R
T = 3
√
Eq2R2h
48 (1 − ν)
(
1 − a11
1 + ν
3
h
R
)
+ O
(
h
R
)2
. (5.28)
Подстановка выражения для T в выражение для нормального смещения w (5.19), для смещения в
центре пластины дает
w (r) =
1
2
(
R2 − r2) 3
√
6q (1 − ν)
EhR2
(
1 + a11
1 + ν
3
h
R
)
+ O
(
h
R
)2
, (5.29)
w (0) =
R
2
3
√
6qR(1 − ν)
Eh
(
1 + a11
1 + ν
3
h
R
)
+ O
(
h
R
)2
. (5.30)
Из данных уравнений видно, что относительная поправка, вносимая за счет учета податливости
заделки, имеет порядок a11
h
R. Для рассмотренной мембранной модели она не зависит от величины
действующей нагрузки q. Поправка величины смещения и натяжения для h/R = 1/100 составляет
порядка 1.3 %. Однако при меньших относительных радиусах рассматриваемая поправка становится
существенной.
5.3. Модель Феппля — фон Кармана в приближении постоянства усилий
в плоскости пластины
Данная модель, не являясь точной, позволяет тем не менее получить оценки влияния всех коэффи-
циентов матрицы податливости. Уравнение (2.1) для постоянных мембранных усилий Trr = Tφφ = T в
полярных координатах записывается как
1
r
d
dr
[
r
d
dr
(
1
r
d
dr
(
r
dw
dr
))]
− T
D
1
r
d
dr
(
r
dw
dr
)
=
q
D
. (5.31)
Решение данного уравнения, не имеющее особенности в нуле и удовлетворяющее граничному условию
отсутствия вертикальных смещений на контуре (2.7), записывается в виде
w (r) =
q
(
R2 − r2
)
4T
+ C
[
I0
(
r
√
√ T
D
)
− I0
(
R
√
√ T
D
)]
. (5.32)
Первая и вторая производные от вертикального смещения есть
w
′
(r) = − qr
2T
+ C
√
√T
D
I1
(
r
√
√ T
D
)
, (5.33)
w
′′
(r) = − q
2T
+ C
T
2D
[
I0
(
r
√
√ T
D
)
+ I2
(
r
√
√ T
D
)]
. (5.34)
Здесь Ik — модифицированная функция Бесселя (функция Инфельда) порядка k. Постоянная интегри-
рования C и величина натяжения T находятся из оставшихся граничных условий (2.9), записываемых
в виде
u (R) = −a11
¯E
T +
a12
¯E
h
M +
a13
¯E
Qrz, (5.35)
−w
′
(R) = −a21
¯E
h
T +
a22
¯E
h2M +
a23
¯E
h
Qrz. (5.36)
С другой стороны, подстановка выражения для производной нормальных смещений (5.33) в выраже-
ние (5.22) и интегрирование от 0 до R дают (здесь, подобно мембранному приближению, для вычисления
мембранных усилий T берется среднее значение осевых и окружных деформаций)
u (R) =
1 − ν
E
R
h
T − uw, (5.37)
uw =
R3
(
C2T4
2F3
(
3
2 , 3
2 ; 2, 5
2 , 3; R2T
D
)
+ Dq
(
Dq − 2CT2
1F2
(
3
2 ; 2, 5
2 ; R2T
4D
)))
24D2T2 . (5.38)
Здесь uw — член, возникающий за счет вклада в деформацию квадрата производной от вертикальных
смещений; mFn — гипергеометрическая функция.
58
Устинов К.Б., Гандилян Д.В. О граничных условиях для тонкой круглой пластины, сопряженной...
Ustinov K.B., Gandilyan D.V. On the boundary conditions for a thin circular plate conjugated to a massive body
Подстановка выражений для силовых параметров (5.6), (5.7), в выражения для смещения на краю
пластины (5.25) и производной от нормальных смещений (5.33) приводят к системе двух нелинейных
уравнений для определения величин C и T
1−ν
E
R
h T − uw = −a11
E
T + a13
E
qR
2 +
+a12h2
12
{
− q
2T + C T
2D
[
I0
(
R
√
√ T
D
)
+ I2
(
R
√
√ T
D
)]
+ ν
R
[
− q
2T + C T
2D
(
I0
(
R
√
√ T
D
)
+ I2
(
R
√
√ T
D
))]}
,
(5.39)
qR
2T
− C
√
√T
D
I1
(
R
√
√ T
D
)
= −a21
E
h T + a23
E
h
qR
2 +
+a22h
12
{
− q
2T + C T
2D
[
I0
(
R
√
√ T
D
)
+ I2
(
R
√
√ T
D
)]
+ ν
R
[
− q
2T + C T
2D
(
I0
(
R
√
√ T
D
)
+ I2
(
R
√
√ T
D
))]} . (5.40)
Условие жесткого защемления получается из (5.39), (5.40) обнулением коэффициентов податливости
aij = 0, однако даже при этом получившаяся система не позволяет получить аналитическое решение.
5.4. Некоторые численные оценки для модели Феппля — фон Кармана
в приближении постоянства усилий в плоскости пластины
Расчеты проводились для пластины алюминия на кремниевом основании. Постановка данной зада-
чи обусловлена ее интересом при идентификации экспериментально определяемых параметров ультра-
тонких элементов МЭМС, используемых в проекционных литографических системах [24–28]. Значения
модуля Юнга и коэффициенты Пуассона для пластины принимались E = 70 ГПа, ν = 0.35 соответ-
ственно [31]. Значения коэффициентов податливости, посчитанные методом конечных элементов, прини-
мались равными a0
11 = 10, a0
12 = a0
21 = 1.7, a0
22 = 12 (вклад в расчетные величины за счет коэффициентов
a13, a23 оказался порядка сотых долей процента, поэтому в окончательных расчетах их значение при-
нималось равным нулю a13 = a23 = 0). Отношение толщины пластины к радиусу в расчетах составляло
h/R = 1/100.
Значения величин прогиба в центре пластины w, момента на краю пластины M и величины растя-
гивающего усилия T были посчитаны для указанных значений параметров и различных величин дав-
ления q согласно формулам (5.6), (5.32) и результатам численного решения системы (5.39), (5.40). Об-
нуление одного или нескольких оставшихся коэффициентов податливости позволило также проводить
расчеты по редуцированным моделям, вплоть до модели жесткой заделки. Результаты расчетов пред-
ставлены в табл. 5.1. Величины w0, M0, T0 относятся к жесткой заделке.
Приведенные расчеты свидетельствуют о том, что влияние коэффициентов податливости разнона-
правлено и существенно зависит от уровня внешней нагрузки. Анализ полученных данных позволяет
сделать следующие выводы о влиянии коэффициентов податливости для рассматриваемой геометрии и
сочетании упругих свойств:
1. Пренебрежение влиянием коэффициента a11 приводит к занижению значений прогиба пластины
и изгибающего момента на краю (тем большим, чем больше нагрузка) и завышению значений
растягивающих усилий (тем большим, чем меньше нагрузка).
2. Пренебрежение влиянием коэффициента a12 приводит к незначительному (менее 1 %) завышению
значений прогиба пластины, завышению значений изгибающего момента на краю при малых на-
грузках и занижению при больших, и занижению значений растягивающих усилий (тем большим,
чем меньше нагрузка). В целом данный коэффициент оказывает наименьшее влияние на исследу-
емые величины. Его вклад наиболее существенен на изгибающий момент при больших нагрузках
и на величину продольной силы при малых нагрузках, однако даже в этих случаях его вклад
имеет порядок 2.5 и 5 %, соответственно.
3. Пренебрежение влиянием коэффициента a22 приводит к занижению значений прогиба пластины
(тем большим, чем больше нагрузка), к завышению значений изгибающего момента на краю (тем
большим, чем больше нагрузка), а также к занижению значений растягивающих усилий (тем боль-
шим, чем меньше нагрузка). Влияние данного коэффициента становится весьма существенным при
расчете величины изгибающего момента на краю пластины при действии больших нагрузок.
4. Сравнение результатов, полученных в рамках модели упругой заделки с учетом всех трех коэф-
фициентов, с результатами для жесткой модели показывает, что пренебрежение податливостью
приводит к занижению значений прогиба тем большим, чем больше нагрузка, однако не превы-
шающим 4.2 %, завышению значения изгибающего момента на краю, доходящего до 12.6 % при
нагрузках, соответствующих прогибам порядка 7.5 толщин пластины, и завышению значений рас-
тягивающих усилий (тем большим, чем больше нагрузка).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 50–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 50–63 59
Таблица 5.1
Значения величин прогиба в центре пластины, продольного усилия и изгибающего
момента на краю пластины при учете различных коэффициентов податливости
Table 5.1
Values of deflections in the plate center, longitudinal stresses and bending moments at the
plate edge due to accounting for various coefficients of compliance
p
E a11 a12 a22
w
h
w−w0
w
·
·100 %
M
ph2R
M−M0
M
·
·100 %
T
phR
T−T0
T
·
·100 %
5 · 10−8 0 0 0 0.703 11.39 4.64
a0
11 0 0 0.712 1.37 11.49 0.8 4.20 -10.4
0 a0
12 0 0.697 -0.82 11.37 -0.23 4.83 3.91
0 0 a0
22 0.724 2.81 11.13 -2.35 4.87 4.69
a0
11 0 a0
22 0.734 4.2 11.23 -1.46 4.41 -5.09
a0
11 a0
12 a0
22 0.729 3.5 11.2 -1.7 4.58 -0.13
10−7 0 0 0 1.138 10.10 6.08
a0
11 0 0 1.165 2.35 10.24 1.32 5.62 -8.24
0 a0
12 0 1.127 -0.93 10.01 -0.12 6.20 2.01
0 0 a0
22 1.163 2.13 9.78 -3.29 6.29 3.37
a0
11 0 a0
22 1.192 4.49 9.92 -1.84 5.82 -4.47
a0
11 a0
12 a0
22 1.181 3.69 9.91 -1.95 5.92 -2.56
10−6 0 0 0 3.336 5.379 5.35
a0
11 0 0 3.469 3.83 5.483 1.89 5.1 -5.10
0 a0
12 0 3.306 -0.89 5.421 0.78 5.39 0.69
0 0 a0
22 3.372 1.08 4.977 -8.07 5.44 1.43
a0
11 0 a0
22 3.507 4.88 5.081 -5.84 5.17 -3.57
a0
11 a0
12 a0
22 3.481 4.15 5.119 -5.07 5.20 -2.96
10−5 0 0 0 7.622 2.622 2.89
a0
11 0 0 7.944 4.05 2.676 2.0 2.77 -4.55
0 a0
12 0 7.556 -0.87 2.687 -2.41 2.91 0.57
0 0 a0
22 7.685 0.82 2.223 -17.9 2.92 1.04
a0
11 0 a0
22 8.01 4.85 2.276 -15.2 2.79 -3.54
a0
11 a0
12 a0
22 7.957 4.21 2.328 -12.6 2.81 -3.01
Полученные значения вклада податливости в величины прогиба и изгибающего момента для нагру-
зок, соответствующих малым прогибам, близки к значениям, полученным с использованием уравнения
Софи Жермен. Для нагрузок, соответствующих прогибам, равным нескольким толщинам, различие уве-
личивается, особенно для изгибающих моментов. Полученные значения величин натяжения существенно
отличаются от величин, посчитанных в рамках мембранной теории.
Следует отметить, что вычислительные трудности при расчетах с использованием редуцированных
моделей сопоставимы со случаем использования полной модели, поэтому для практических целей можно
рекомендовать использование именно полной модели во всех случаях.
Заключение
Рассмотрена задача о деформировании круговой пластины, сопряженной с массивным основанием,
под действием приложенного давления. Для моделирования сопряжения пластины с основанием исполь-
зуются граничные условия типа обобщенной упругой заделки, т. е. линейной связи изгибающего момен-
та и усилий на краю пластины со смещениями и углом поворота посредством матрицы податливости.
Решение задачи получено для трех вариантов теории пластин:
• линейной теории, не учитывающей действия продольных усилий;
• теории мембран в приближении предположения однородности продольных усилий;
• теории Феппля — фон Кармана также в приближении предположения однородности продольных
усилий.
Значения коэффициентов матрицы податливости были получены с помощью метода конечных эле-
ментов для вспомогательной задачи о сцепленной с массивным основанием пластине с цилиндрическим отверстием, края которого нагружены продольными усилиями либо изгибающим моментом. Численные
результаты получены для пластины из алюминия на кремниевом основании — задачи, возникающей
при идентификации параметров ультратонких элементов МЭМС, используемых в проекционных лито-
графических системах.
Проведено сравнение величин прогиба в центре пластины, растягивающего усилия и изгибающего
момента на краю пластины, полученных из решений, учитывающих и не учитывающих упругость за-
делки. Исследована роль отдельных коэффициентов матрицы податливости. Показано, что для больших
прогибов наиболее существенную роль играет коэффициент, связывающий угол поворота пластины в
точке заделки с действующим изгибающим моментом. Показано, что для нагружения, соответствующе-
го прогибам в несколько толщин пластины (нескольких процентов от ее радиуса), разница в значениях
изгибающего момента на ее краю, посчитанная с учетом и без учета податливости заделки, превышает
10 %, что свидетельствует о необходимости учета податливости заделки.
Авторы выражают признательность С.А. Лычеву и А.В. Дигилову за ряд полезных замечаний, вы-
раженных в процессе обсуждения работы.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РНФ, проект № 23−19−00866 (для КБУ).

About the authors

K. B. Ustinov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: ustinov@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0001-5852-3355

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, leading researcher, Laboratory of Geomechanics

101-1, Prospect Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation

D. V. Gandilyan

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: david.ghandilyan@mail.ru

postgraduate student, junior researcher, Laboratory of Mechanics of Technological Processes

101-1, Prospect Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation

References

Supplementary files