Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane

Full Text

Введение
Расчет и оптимизация физико-механических параметров круглых пластин и мембран часто исполь-
зуются при разработке разнообразных микросистем. Как правило, при проектировании микроэлектрон-
ных устройств основное внимание уделяется электромагнитным полям и связанным с ними параметрам.
Однако при разработке микроэлектромеханических систем (МЭМС) необходимо также учитывать ме-
ханические деформации и напряжения. В зависимости от назначения упругие элементы МЭМС могут
представлять собой как пластины значительной относительной толщины (например, сенсоры акселеро-
метров), так и ультратонкие мембраны (например, газоанализаторы) [1; 2]. При таком разбросе пара-
метров выбор уравнений и их решений для описания напряженно-деформированного состояния (НДС)
в каждом конкретном случае является неочевидным. Ситуация становится более сложной при перехо-
де к ультратонким изгибаемым элементам, изгиб которых сильно зависит от натяжений в срединной
плоскости, причем эта зависимость существенно нелинейная [3]. Кроме того, в силу особенностей тех-
нологических процессов изготовления ультратонких элементов (напыления, травления, роста), в них
возникают значительные остаточные напряжения [4–6]. В этой связи выбор адекватной модели и реше-
ния соответствующей начально-краевой задачи представляет актуальный вопрос в современной теории
расчета тонкостенных систем. Ему посвящена настоящая статья.
Основным результатом является “шкала относительных толщин”, на которой отмечены интервалы
применимости четырех математических моделей:
— линейной трехмерной теории упругости;
— теории изгиба Кирхгофа – Лява;
— нелинейной теории изгиба Феппля – фон Кармана;
— нелинейной теории гиперупругих мембран Адкинса – Ривлина – Грина.
Для всех четырех теорий построены в замкнутой форме решения модельных краевых задач об осесим-
метричном деформировании жестко закрепленного кругового диска.
1. Деформируемый диск
В статье рассматривается осесимметричное деформирование кругового диска толщиной h и радиу-
са R, выполненного из упругого материала. Боковая поверхность диска жестко закреплена, а его осно-
вания свободны от напряжений (рис. 1.1). Эту задачу целесообразно рассматривать в цилиндрических
координатах (r, φ, z), которые связаны с декартовыми координатами (x, y, z) следующими соотношени-
ями2:
r =
√
x2 + y2, φ = arctg (y, x) , z = z.
Начало координат O поместим в центре нижнего основания диска, а ось OZ направим вдоль его оси
так, чтобы координаты точек диска принадлежали множеству:
D =
{
(r, φ, z) ∈ R3 : r ∈ ]0, R[ , φ ∈ ]0, 2π[ , z ∈ ]0, h[
}
.
Векторные поля будем представлять в виде разложений по локальным базисам (er, eφ, ez), связанным
с ортонормированным базисом (i, j, k) преобразованиями:
er = i cos φ + j sin φ, eφ = −i sin φ + j cos φ, ez = k.
В частности, векторное поле перемещений точек диска u имеет вид:
u = uer + wez,
где u, w – искомые функции, представляющие размерные радиальные и осевые перемещения:
u : ]0, R[ × ]0, h[ ∋ (r, z) 7→ u(r, z) ∈ R, w : ]0, R[ × ]0, h[ ∋ (r, z) 7→ w(r, z) ∈ R.
2Здесь подразумевается расширенная функция арктангенса, учитывающая квадрант угла и случай вырожденного
аргумента arctg (y; x) =
{
arctg y
x ; x ̸= 0
0; (x = 0) ∧ (y ̸= 0)
+
2 [1 − sgn x − sgn y (1 + sgn x) (1 − sgn y)].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 79
Рис. 1.1. Расчетная схема пластины
Fig. 1.1. The plate design scheme
Нагружение реализуется полем внешних объемных сил, однородным всюду, за исключением узкой
кольцевой области в окрестности закрепления (рис. 1.2). В этой области, ширина которой может быть
выбрана сколь угодно малой, объемная нагрузка направлена в противоположную сторону, а ее интен-
сивность такова, что весь диск в целом оказывается самоуравновешенным:
P = P (r) ez =
[
p − pR2
R2 − a2 θ (r − a)
]
ez,
∫h
0
∫2π
0
∫R
0
P (r) r dr dφ dz = 0. (1.1)
Здесь p – постоянная объемная плотность заданного (внешнего) силового поля, a – граница кольцевой
области, θ – функция Хевисайда. Нагрузка на основной части диска может быть ассоциирована, напри-
мер, с внешним электростатическим воздействием, а нагрузка в кольцевой области моделирует опорную
реакцию. Такая специфическая форма нагружения позволяет в дальнейшем получить более простые раз-
ложения и более эффективные для вычисления аналитические формулы, а погрешность, связанная с
неучетом особенностей конкретной реализации краевых условий, незначительна в силу принципа Сен-
Венана [7].
Рис. 1.2. Распределение внешних объемных сил
Fig. 1.2. Distribution of external volume forces
В рамках настоящей статьи анализируются четыре математические модели, одна из которых рассмат-
ривает материал как гиперупругий (с потенциалом Муни – Ривлина), а остальные – как линейно-упругий.
Для того чтобы эти модели были согласованы, характеристики упругого и гиперупругого материалов
должны быть связаны между собой. Это можно сделать, если записать гиперупругий потенциал Му-
ни – Ривлина [8] через параметры Ламе μ, λ:
W =
μ
4
[
(1 − β)
(
I1
I1/3
3
− 3
)
+ (1 + β)
(
I2
I2/3
3
− 3
)]
+
2μ + 3λ
6
(√
I3 − 1
)2
, (1.2)
где β – безразмерная материальная константа второго порядка, а I1, I2, I3 – главные инварианты левого
тензора деформаций Коши – Грина3:
B = I + ∇uT + ∇u + ∇u·∇uT,
3В настоящей статье при определении результатов действия дифференциальных операторов на векторные и тензорные
функции мы придерживаемся нотации Трусделла [7; 9]. Здесь ∇u — линейный оператор, действующий следующим
образом: u(x + h) = u(x) + ∇u(x)·h + o (||h||).
80
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
которые могут быть представлены в сокращенной записи следующим образом:
I1 = 3 + 2q1 + q2,
I2 = 3 + 4q1 +
(
2q2
1 + q2 − q3
)
+ 2 (q1q2 − q4) +
1
2
(
q2
2
− q6
)
,
I3 = 1 + 2q1 +
(
2q2
1
− q3
)
+
2
3
(
2q3
1
− 3q1q3 + q5
)
+
+
1
2
(
4q2
1q2 − 8q1q4 − q2
2
− 2q2q3 + q6 + 4q7 + 2q8
)
+
(
q1q2
2
− q1q6 − 2q2q4 + 2q9
)
+
+
1
6
(
q3
2
− 3q2q6 + 2q10
)
,
где
q1 = tr∇u, q2 = ∇u:∇u, q3 = ∇uT :∇u,
q4 = (∇u·∇u) :∇u, q5 = (∇u·∇u) :∇uT, q6 =
(
∇uT·∇u
)
:
(
∇uT·∇u
)
,
q7 = (∇u·∇u) :
(
∇uT·∇u
)
, q8 =
(
∇uT·∇u
)
:
(
∇u·∇uT)
, q9 =
(
∇u·∇uT·∇u
)
:
(
∇uT·∇u
)
,
q10 =
(
∇u·∇uT·∇u
)
:
(
∇u·∇uT·∇u
)
.
Для линеаризации записанных выше соотношений представим градиент перемещений в виде произ-
ведения приведенного градиента e∇ u и малого параметра, в качестве которого возьмем норму тензора
∇u:
∇u = ϵe∇ u, ϵ = ||∇u||, e∇ u =
∇u
||∇u|| ,
тогда нелинейные функции инвариантов, входящие в выражение потенциальной энергии (1.2), могут
быть разложены в ряд Маклорена:
I1
I1/3
3
= 3 + ∇uT :∇u + ∇u:∇u − 2
3
(tr∇u)2 + o
(
ϵ2)
,
I2
I2/3
3
= 3 + ∇uT :∇u + ∇u:∇u − 2
3
(tr∇u)2 + o
(
ϵ2)
, (1.3)
(√
I3 − 1
)2
= (tr∇u)2 + o
(
ϵ2)
.
Подставляя (1.3) в (1.2), можно получить линейно-упругий потенциал с точностью до o
(
ϵ2
)
:
W =
μ
2
(
∇uT :∇u + ∇u:∇u
)
+
λ
2
(tr∇u)2 + o
(
||∇u||2)
= μ (":") +
λ
2
(tr ")2 + o
(
ϵ2)
,
где " – тензор малых деформаций, представляющий линейную часть тензора деформаций Гри-
на – Сен-Венана E, который, в свою очередь, выражается через правый тензор Коши – Грина C:
E =
1
2
(C − I) = " + o (∇u) , " =
1
2
(
∇uT + ∇u
)
.
Компоненты тензора " связаны с компонентами вектора u перемещений соотношениями Коши, которые
в случае осевой симметрии записываются в цилиндрических координатах следующим образом4:
["] =


∂u
∂r 0 1
2
( ∂u
∂z + ∂w
∂r
)
0 u
r 0
1
2
( ∂u
∂z + ∂w
∂r
)
0 ∂w
∂z .

. (1.4)
Для построения решения и его последующего анализа целесообразно ввести безразмерные перемен-
ные, а именно
— пространственные переменные: ~r = r/R, ~z = z/R;
— перемещения: ~u = u/R, ~ w = w/R;
— масштабные параметры: ~R = 1, ~h = h/R;
— модули Ламе: ~μ = 1, ~λ = λ/μ;
— параметры нагружения: ~p = pR/μ, ~a = a/R.
4Здесь и далее прямоугольными скобками обозначена матрица оператора в фиксированном базисе.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 81
При использовании этого набора переменных следует учесть, что все вычисляемые функции, например
напряжения, и потенциальная энергия также будут обезразмерены.
При решении прикладных задач используются различные совокупности материальных констант, в
частности, в трехмерных задачах теории упругости традиционно используются модули Ламе, а в техни-
ческой механике – модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν. Для единообразия в настоящей статье
все материальные константы выразим через один безразмерный параметр k:
~λ
= k − 1, ~E =
E
μ
=
3k − 1
k
, ν =
k − 1
2k
.
Для выполнения сравнительного анализа напряженного состояния, определяемого из различных ре-
шений, будем использовать эквивалентные напряжения Мизеса (корень из второго инварианта девиатора
тензора напряжений):
~σeqv =
√1
2
√
(~σrr − ~σφφ)2 + (~σφφ − ~σzz)2 + (~σzz − ~σrr)2 + 6 ~σ2
rz, (1.5)
где ~σrr, ~σφφ, ~σzz, ~σrz – компоненты тензора напряжений .
В дальнейшем все соотношения и результаты будут представлены в безразмерном виде, поэтому,
чтобы не усложнять систему обозначений, знак “тильда” будем опускать.
2. Решение в трехмерной постановке
Рассмотрим постановку задачи о НДС круговой плиты и ее решение в рамках линейной теории упру-
гости. Задача об упругом цилиндре является классическим примером, допускающим аналитическое ре-
шение, различные варианты которого развивались с конца XIX века (решения Похгаммера [10], Кри [11]
и их последователей5). Основная сложность в построении таких решений заключается в удовлетворе-
нии краевым условиям, форма которых диктуется не изначальной постановкой задачи, а возможностью
разделить переменные и свести задачу для уравнений с частными производными к независимым двухто-
чечным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. В решениях Похгаммера – Кри кра-
евые условия специального вида, соответствующие гладко-жесткому контакту (roller contact), задаются
на основаниях цилиндра, что не позволяет применить их непосредственно к рассматриваемой в статье
проблеме. Однако их модификация, предложенная Файлоном [17] и развитая Сайто [18; 19], позволя-
ет несколько иначе разделить краевые задачи на две двухточечные задачи, перенеся обременительные
гладко-жесткие условия на боковую поверхность и предоставив свободу выбора условий на основаниях.
При этом условия на боковой поверхности цилиндра как нельзя лучше соответствуют жесткому закреп-
лению в терминах теории пластин, а возможная неточность его реализации (например, можно пожелать
абсолютно жесткого закрепления точек цилиндрической поверхности, при котором все компоненты пе-
ремещений на нем обращаются в ноль) играет исчезающе малую роль при уменьшении относительной
толщины в силу принципа Сен-Венана.
Итак, будем рассматривать задачу о конечном цилиндре при действии объемного поля сил, основания
которого свободны от напряжений, а боковая поверхность свободна от касательных напряжений и при
этом не может смещаться в радиальном направлении:
∇2u − u
r2 + k
(
∂2u
∂r2 +
1
r
∂u
∂r
− u
r2 +
∂2w
∂r∂z
)
= 0, ∇2w + k
(
∂2u
∂r∂z
+
1
r
∂u
∂z
+
∂2w
∂z2
)
= −P (r) , (2.1)
σzz|
z=0, h = (k + 1)
∂w
∂z
+ (k − 1)
(
∂u
∂r
+
u
r
)    
z=0, h
= 0, (2.2)
σrz|
z=0, h =
∂u
∂z
+
∂w
∂r
    
z=0, h
= 0, σrz|
r=1 =
∂u
∂z
+
∂w
∂r
    
r=1
= 0, u|
r=1 = 0,
где ∇2 – оператор Лапласа в цилиндрических координатах:
∇2 =
∂2
∂r2 +
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2 .
Эти дифференциальные уравнения и краевые условия в совокупности определяют дифференциальный
оператор, который оказывается вырожденным, т. е. обладает нулевым собственным значением, соответ-
ствующая собственная функция которого характеризует движение цилиндра как жесткого целого вдоль
5Подробный литературный обзор представлен, например, в [12]. Обширный перечень работ отечественных авторов по
этой теме приведен в [13; 14]. Из более поздних отечественных работ отметим серию статей, посвященных применению
метода конечных интегральных преобразований к задаче о деформировании толстых плит [15; 16] и др.
82
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
его оси. Однако если правая часть (2.1) не проектируется на это собственное подпространство, то ре-
шение задачи существует. Самоуравновешенное силовое поле (1.1) удовлетворяет этому условию.
Для построения решения краевой задачи вначале заметим, что однородные уравнения, соответствую-
щие левой части системы (2.1), допускают разделение переменных. Если искомые функции представить
в виде
u = f1 (r) g1 (z) , w = f2 (r) g2 (z)
при соблюдении условий6
f
′
2 = −αf1, f
′
1 +
f1
r
= αf2, (2.3)
где α – некоторая константа, то система уравнений (2.1) может быть приведена к виду:
−
(
f
′′
1 +
f′
1
r
− f1
r2
)
1
f1
=
g′′
1
g1
1
k + 1
− αk
k + 1
g′
2
g1
= λ1, (2.4)
−
(
f
′′
2 +
f′
2
r
)
1
f2
=
g′′
2
g2
(k + 1) + αk
g′
1
g2
= λ2,
в котором λ1, λ2 обозначают константы разделения. В действительности эти константы оказываются
равными, поскольку из шести уравнений (2.3), (2.4) только четыре являются независимыми, и если из
системы (2.3) поочередно исключать f1, f2, тогда получим два уравнения, подобных (2.4):
f
′′
1 +
f′
1
r
− f1
r2 = −α2f1, f
′′
2 +
f′
2
r
= −α2f2.
Следовательно, λ1 = λ2 = α2. Таким образом, имеем четыре независимых дифференциальных уравнения:
r2f
′′
1 + rf
′
1 +
(
α2r2 − 1
)
f1 = 0, r2f
′′
2 + rf
′
2 + α2r2f2 = 0, (2.5)
g
′′
1
− α2 (k + 1) g1 − αkg
′
2 = 0, (k + 1) g
′′
2
− α2g2 + αkg
′
1 = 0,
которым отвечают разделяющиеся краевые условия:
(k + 1)
g′
2
g1
+
(k − 1)
f2
(
f
′
1 +
f1
r
)    
z=0, h
= 0,
g′
1
g2
+
f′
2
f1
    
z=0, h
= 0, f1|
r=1 = 0, f
′
2
|
r=1 = 0,
или с учетом условий (2.3):
(k + 1) g
′
2 + α (k − 1) g1|
z=0, h = 0, g
′
1
− αg2|
z=0, h = 0, f1|
r=1 = 0, f
′
2
|
r=1 = 0.
Легко видеть, что первые два уравнения (2.5) являются уравнениями Бесселя, соответственно, перво-
го и нулевого порядка; их общие решения могут быть представлены линейными комбинациями функций
Бесселя первого и второго рода:
f1 = C1J1 (αr) + C2Y1 (αr) , f2 = C3J0 (αr) + C4Y0 (αr) , (2.6)
где C1, C2, C3, C4 – неизвестные константы. Из условия регулярности решения в полюсе константы
C2, C4 следует положить равными нулю. Константы C1, C3 равны друг другу в силу (2.3) и для крат-
кости могут быть приняты равными единице, так как при разделении переменных отделенные функции
определяются с точностью до множителя.
Поскольку параметр α может принимать любое значение из R\{0} (случай нулевого α будет рас-
смотрен отдельно), соотношения (2.6) задают континуальное множество решений, элементы которого в
общем случае не удовлетворяют краевым условиям, заданным на боковой поверхности диска. Вместе с
тем, если ограничить произвол в выборе параметра α только корнями трансцендентного уравнения:
J1 (α) = 0, (2.7)
то удается получить счетное семейство решений, удовлетворяющих краевым условиям7:
f1n = J1 (αnr) , f2n = J0 (αnr) , n ∈ N. (2.8)
Корни трансцендентного уравнения (2.7) – нули функции Бесселя первого порядка, достаточно хорошее
асимптотическое приближение которых дается формулой:
αn ≈ (π + 4nπ)2J2 ((1/4 + n) π)
16J1 ((1/4 + n) π) − 4(π + 4nπ) J0 ((1/4 + n) π)
.
6Здесь и далее в тех случаях, когда это не приводит к неоднозначности, производные функций одной переменной
обозначены штрихом.
7В рамках настоящей статьи 0 не включается в множество натуральных чисел.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 83
Отдельно рассмотрим случай α = 0 (решение для этого случая будем помечать нулевым индексом):
r2f
′′
10 + rf
′
10
− f10 = 0, r2f
′′
20 + rf
′
20 = 0.
В этом случае система уравнений существенно упрощается и может быть непосредственно проинтегри-
рована:
f10 =
C5r
2
+
C6
r
, f20 = C7 + C8 ln r.
В рамках рассуждений, аналогичных предыдущему случаю, могут быть определены все константы ин-
тегрирования:
f10 = 0, f20 = 1. (2.9)
Учитывая (2.8) и (2.9), вектор-функцию {f1, f2} можно представить в виде разложения по системе
функций {(0, 1) , (J1 (αnr) , J0 (αnr))}, и поскольку оператор, порождаемый уравнениями (2.1) и краевы-
ми условиями (2.2), самосопряженный, то эта система функций составляет базис в гильбертовом про-
странстве двухкомпонентных вектор-функций, заданных над интервалом (0, 1). Соответственно, будем
искать решение исходной неоднородной системы (2.1) в виде разложений:
u =
∞Σ
n=1
g1nJ1 (αnr) , w = g20 +
∞Σ
n=1
g2nJ0 (αnr) . (2.10)
Подстановка этих разложений в уравнения (2.1):
∞Σ
n=1
[
g
′′
1n
− α2 (k + 1) g1n − αkg
′
2n
]
J1 (αnr) = 0,
(k + 1) g
′′
20 +
∞Σ
n=1
[
(k + 1) g
′′
2n
− α2g2n + αkg
′
1n
]
J0 (αnr) = −P (r) ,
и краевые условия (2.2):
∞Σ
n=1
(g
′
1n
− αg2n) J1 (αnr)
     
z=0, h
= 0,
(k + 1) g
′
20 +
∞Σ
n=1
[(k + 1) g
′
2n + α (k − 1) g1n] J0 (αnr)
     
z=0, h
= 0
приводит к уравнениям относительно коэффициентов разложений, которые сами являются функциями
переменной z. Для нахождения этих функций подействуем на каждое уравнение системы операторами
проектирования:
P0 (f) =
∫1
0
f. (0, 1) r dr, Pn (f) =
∫1
0
f. (J1 (αnr) , J0 (αnr)) r dr.
В результате получим счетное множество систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянным коэффициентами:
g
′′
1n
− α2 (k + 1) g1n − αkg
′
2n = 0, (k + 1) g
′′
2n
− α2g2n + αkg
′
1n = −bn, (2.11)
и одно уравнение для g20:
(k + 1) g
′′
20 = −b0, (2.12)
где b0, bn – проекции правой части на собственные подпространства, вычисляемые по формулам:
b0 = 2
∫1
0
P (r) rdr = 0, bn =
2
J0 (αn)2
∫1
0
P (r) rJ0 (αnr) dr =
2paJ1 (αna)
αn (1 − a2) J0 (αn)2 .
Аналогично спроектируем на собственные подпространства краевые условия:
g
′
1n
− αg2n|
z=0, h= 0, (k + 1) g
′
2n + α (k − 1) g1n|
z=0, h= 0, (2.13)
(k + 1) g
′
20
|
z=0, h= 0. (2.14)
Заметим, что сходимость (в среднеквадратичном) разложений к правым частям уравнений (2.1) обеспе-
чивается самосопряженностью задачи Штурма – Лиувилля, порождаемой первыми двумя уравнениями
(2.5), однородными краевыми условиями при r = 1 и тем фактом, что каждое собственное значение
этой задачи двукратное.
84
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Рассмотрим решение полученных уравнений относительно функций, зависящих от переменной z.
Уравнение для случая α = 0 (2.12) может быть сразу проинтегрировано:
g20 = C9 + C10z − b0z2
2 (k + 1)
.
Из этого соотношения следует, что краевые условия (2.14) для g20 не могут быть удовлетворены, ес-
ли b0 отлично от нуля или, что то же самое, если объемные силы не самоуравновешены. Если же это
условие выполнено, то g20 равняется произвольной константе, неопределяемой из краевых условий. Эта
константа характеризует смещение цилиндра как жесткого целого вдоль его оси. После построения пол-
ного решения исходной неоднородной системы мы сможем выбрать эту константу так, чтобы прогиб в
какой-нибудь наперед заданной точке, например, на контуре, был равен нулю.
Осталось только построить решения для систем (2.11). Общее решение для каждой системы может
быть построено как сумма общего решения однородной системы:
g0
1n = C1neαz + C2ne
−αz − C3neαz (k + kαz) − C4ne
−αz (k − kαz) , (2.15)
g0
2n = −C1neαz + C2ne
−αz − C3neαz (2 − kαz) + C4ne
−αz (2 + kαz)
и частного решения неоднородной системы, определяемого методом вариации произвольных постоянных
(Лагранжа):
g
∗
1n =
−bn
2 (k + 1)
∫z
0
[k (z − ζ) sh αn (z − ζ)] dζ = −bn
k (αnz ch αnz − sh αnz)
2 (k + 1) α2
n
,
g
∗
2n =
−bn
2αn (k + 1)
∫z
0
[
(k + 2) sh αn (z − ζ) − kαn (z − ζ) ch αn (z − ζ)
]
dζ = (2.16)
= bn
kαnz sh αnz + 2 (1 + k) (1 − ch αnz)
2 (k + 1) α2
n
.
Константы интегрирования C1n, C2n, C3n, C4n определяются из краевых условий (2.13):
C1n = − Kn
k + 1
[
e2αnhk2 − eαnh (
αnh k2 − αnh k + k + 1
)
− k2 + k + 1
]
,
C2n =
Kn
k + 1
[
e2αnh (
k2 − k − 1
)
− eαnh (
αnh k2 − αnh k − k − 1
)
− k2]
,
C3n = − Kn
k + 1
[
e2αnhk − 2eαnh (αnh k − k − 1) − 3k − 2
]
/2,
C4n =
Kn
k + 1
[
e2αnh (3k + 2) − 2eαnh (αnh k + k + 1) − k
]
/2,
где символом Kn обозначено выражение:
Kn =
−bn
2α2
nk (2eαnhαnh − e2αnh + 1)
.
Подставляя константы интегрирования в общее решение (2.15) и прибавляя частное решение (2.16),
получим общее решение для систем неоднородных уравнений (2.11). После подстановки этого решения
в соотношения (2.10) получим решение исходной краевой задачи (2.1), (2.2):
u =
∞Σ
i=1
Kne
−αnz
{
e2αnh[
k (αnz − 1) − 1
]
+ eαnh [k (αnh − αnz + 1) + 1] −
−eαn(h+2z) [k (αnh − αnz − 1) − 1] − e2αnz [k (αnz + 1) + 1]
}
J1 (αnr) ,
w = W0 +
∞Σ
i=1
Kne
−αnz
{
e2αnh (αnz k + 1) + eαnh [k (αnh − αnz) − 1] + eαn(h+2z) [k (αnh − αnz) + 1] −
−4eαn(h+z)αnh k + 2eαn(2h+z)k − 2eαnzk + e2αnz (αnz k − 1)
}
J0 (αnr) ,
где W0 – константа, подобранная таким образом, чтобы вертикальное смещение края цилиндра равня-
лось нулю:
W0 = −
∞Σ
i=1
Kn
[(
e2αnh − 1
)
(2k + 1) − 2eαnhαnh k
]
J0 (αn) ,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 85
Напряжения выражаются через перемещения из закона Гука с помощью соотношений Коши:
σrr =
∞Σ
i=1
2Kne
−αnz
{(
αnJ0 (αnr) − J1 (αnr)
r
)[
e2αnh [k (αnz − 1) − 1] + eαnh [k (αnh − αnz + 1) + 1] −
−eαn(h+2z) [k (αnh − αnz − 1) − 1] − e2αnz [k (αnz + 1) + 1]
]
−
−(k − 1) αnJ0 (αnr)
(
e2αnh − eαnh − eαn(h+2z) + e2αnz
)}
,
σφφ=
∞Σ
i=1
2Kne
−αnz
{[
e2αnh
[
k (αnz − 1) − 1
]
+ eαnh [k (αnh − αnz + 1) + 1] −
−eαn(h+2z) [k (αnh − αnz − 1) − 1] − e2αnz [k (αnz + 1) + 1]
]J1 (αnr)
r
−
−(k − 1) αnJ0 (αnr)
(
e2αnh − eαnh − eαn(h+2z) + e2αnz
)}
,
σzz =
∞Σ
i=1
2Kne
−αnz
[
e2αnhαnz + eαnh (αnh − αnz) − eαn(h+2z) (αnh − αnz) − e2αnzαnz
]
(−kαnJ0 (αnr)) ,
σrz =
∞Σ
i=1
2Kne
−αnz
[
e2αnh (αnz − 1) + eαnh (αnh − αnz + 1) + eαn(h+2z) (αnh − αnz − 1) −
−2eαn(h+z)αnh + eαn(2h+z) − eαnz + e2αnz (αnz + 1)
]
(−kαnJ1 (αnr)) .
Поскольку решение представлено в рядах, то желательно исследовать их сходимость и оценить по-
грешность частичных сумм в зависимости от числа учитываемых слагаемых. Для этой цели положим
p = 1 и подставим частичные суммы с различным числом слагаемых в уравнения (2.1). Получаемые
в результате разложения (которые из общих теоретических рассуждений сходятся в среднеквадратич-
ном) сравним с оригинальной кусочно-постоянной правой частью. Результаты приведены на рис. 2.1.
В верхнем ряду показано сопоставление оригинальной кусочно-линейной правой части с результатами
действия левой части уравнения (2.1) на частичные суммы 10, 60 и 110 слагаемых, а во втором ряду
их отличие от частичной суммы 200 слагаемых. Из рисунка видно, что ряд быстро сходится, но в точ-
ке разрыва функции внешних сил имеется неустранимая погрешность (эффект Гиббса). Этот эффект
может быть сглажен, если суммирование производить методом средних арифметических (Фейера) [20],
однако в этом случае частичные суммы сходятся медленнее, как видно из графиков, приведенных на
рис. 2.2.
Сопоставление оригинальной правой части и результата подстановки частичной суммы в левые части (2.1)
Погрешность частичных сумм относительно частичной суммы высокого порядка
Рис. 2.1. Оценка сходимости частичных сумм
Fig. 2.1. Estimation of partial sum convergence
86
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Сопоставление оригинальной правой части и результата подстановки частичной суммы в левые части (2.1)
Погрешность частичных сумм относительно частичной суммы высокого порядка
Рис. 2.2. Оценка сходимости частичных сумм (суммирование по Фейеру)
Fig. 2.2. Estimation of partial sum convergence (Fejer summation)
3. Модель Кирхгофа – Лява
Перейдем к постановке задачи в рамках теории пластин Кирхгофа – Лява. В ее основе лежат ги-
потезы, ограничивающие возможные перемещения и распределения напряжений по толщине, а имен-
но [21–23]:
— гипотеза нейтральной поверхности: срединная поверхность пластины при изгибе не деформируется;
— статическая гипотеза: нормальные напряжения на площадках параллельных срединной плоскости
пластины пренебрежимо малы;
— кинематическая гипотеза: материальный отрезок, изначально перпендикулярный срединной поверх-
ности пластины, в процессе деформации остается перпендикулярным к срединной поверхности.
Замечание 1. Часто к кинематической гипотезе добавляют дополнительное требование о сохранении
длины материального отрезка [24; 25]. Для того чтобы избежать путаницы, кинематическую гипо-
тезу с дополнительным условием, следуя Н.А. Кильчевскому [26], будем называть гипотезой прямых
неизменяемых нормальных элементов.
Ограничения на возможные перемещения сужают класс вектор-функций, представляющих простран-
ственное поле перемещений u(r, z), так что оно может быть выражено через одну скалярную функцию
прогиба ω, которая в случае осесимметричной деформации зависит от одной переменной ω(r):
u = −zω
′
er + ωez. (3.1)
Такое описание кинематики очень удобно для анализа деформаций пластин и позволяет строить
достаточно простые модели, допускающие аналитическое решение. Вместе с тем за эту простоту при-
ходится платить противоречивостью системы принятых гипотез. Действительно, в рамках модели изо-
тропного материала гипотеза прямых, неизменяемых нормалей не может быть выполнена одновременно
со статической гипотезой.
В литературе предложено множество способов разрешения этого противоречия, наиболее перспек-
тивным из которых представляется подход, предложенный в работе [27]. В ней кинематическая гипо-
теза рассматривается как наложение идеальных связей на материал пластины. Тогда, в соответствии с
принципом материальной индифферентности [8], класс допустимых ортогональных преобразований огра-
ничивается преобразованиями, сохраняющими направление нормалей к срединной поверхности пласти-
ны. В результате в материале пластины появляется выделенное направление, т. е. материал становится
трансверсально-изотропным, а закон состояния (с учетом осевой симметрии) записывается следующим
образом8 [28]:
[] =
E
1 + ν


"rr 0 0
0 "φφ 0
0 0 0

+^E


0 0 0
0 0 0
0 0 "zz

+
Eν
1 − ν2 ("rr + "φφ)


1 0 0
0 1 0
0 0 0

+q


0 0 1
0 0 0
1 0 0

. (3.2)
8Коэффициент Пуассона, характеризующий сужение в плоскости изотропии при растяжении нормальных волокон,
выбирается равным нулю, так, чтобы гипотеза нейтральной поверхности выполнялась независимо от статической гипо-
тезы.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 87
Здесь "rr, "φφ, "zz – компоненты тензора малых деформаций (1.4), q – реакция идеальных связей, сохра-
няющих прямой угол, определяемая для каждого элементарного объема, ^E – модуль Юнга для растяже-
ния волокон нормальных к срединной поверхности. Таким образом, если материал пластины полагается
трансверсально-изотропным, то условие сохранения длины нормали является следствием остальных ги-
потез.
В технической литературе по теории пластин и оболочек, как правило, вопросу об усилиях в идеаль-
ных связях уделяют мало внимания, концентрируя его в большей степени на результирующих усили-
ях – моментах и перерезывающих силах. Но поскольку важным элементом настоящей работы является
сравнение эффективных напряжений, вычисляемых в рамках различных подходов, то представляется
целесообразным остановиться на этом вопросе подробнее. Как и в любых средах с идеальными связями
(например, несжимаемых), усилия в связях определяются из уравнений равновесия. Так, для нахожде-
ния зависимости для q вначале выразим компоненты тензора малых деформаций через функцию ω:
εrr = −zω
′′
, εφφ = −zω′
r
и подставим результат в закон состояния (3.2):
σrr = − E
1 − ν2 z
(
ω
′′
+ ν
ω′
r
)
, σφφ = − E
1 − ν2 z
(
ω′
r
+ ν ω
′′
)
, σrz = σzr = q. (3.3)
Поскольку σrz = σzr = q, то из уравнений равновесия:
∂σrr
∂r
+
σrr − σφφ
r
+
∂σrz
∂z
= 0,
∂σzr
∂r
+
σzr
r
+ P (r) = 0 (3.4)
найдем:
σrz = σzr = q = −
∫ (
∂σrr
∂r
+
σrr − σφφ
r
)
dz =
E
2 (1 − ν2)
z2 ∂
∂r
∇2ω + C (r) , (3.5)
Неизвестная функция C (r) определяется из условия отсутствия касательных напряжений на лицевых
поверхностях:
q =
E
2 (1 − ν2)
(
z2 − h2
4
)
∂
∂r
∇2ω.
Замечание 2. В настоящем разделе координата z отсчитывается от срединной поверхности пласти-
ны (в отличие от раздела 2, в котором осевая координата отсчитывалась от нижнего основания).
Сократив число искомых функций до одной, ω, получаем из полной системы уравнений равновесия
(3.4) и краевых условий переопределенную задачу относительно ω, которая в общем случае решений
не имеет. Однако, допуская выполнение краевых условий на лицевой поверхности приближенно (в ин-
тегральном смысле) и вводя результирующие усилия (результанты) по следующим формулам:
Trr =
∫h/2
−h/2
σrr dz = 0, Mrr =
∫h/2
−h/2
zσrr dz = −D
(
ω
′′
+ ν
ω′
r
)
,
Tφφ =
∫h/2
−h/2
σφφ dz = 0, Mφφ =
∫h/2
−h/2
zσφφ dz = −D
(
ω′
r
+ ν ω
′′
)
, (3.6)
Qrz = Qzr =
∫h/2
−h/2
σrz dz = −D
∂
∂r
∇2ω,
где символ D обозначает цилиндрическую жесткость:
D =
Eh3
12 (1 − ν2)
=
kh3
3 (k + 1)
,
приходим к корректной системе уравнений, выраженных через усилия:
T
′
rr +
Trr − Tφφ
r
= 0, Q
′
zr +
Qzr
r
+ P (r) h = 0, M
′
rr +
Mrr −Mφφ
r
− Qrz = 0, (3.7)
и краевым условиям, соответствующим жесткому закреплению на круговом контуре:
ω|
r=1 = 0, ω
′|
r=1 = 0. (3.8)
88
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
В модели Кирхгофа уравнения равновесия усилий и моментов в радиальном направлении тожде-
ственно удовлетворены; осталось только уравнение равновесия перерезывающих сил:
−Q
′
zr
− Qzr
r
= D∇2∇2ω = P (r) h, (3.9)
где ∇2∇2 – бигармонический оператор, который в полярных координатах и в случае осевой симметрии
приводится к дифференциальному выражению:
∇2∇2f = f(4) +
2f′′′
r
− f′′
r2 +
f′
r3 .
Располагая решением краевой задачи (3.8), (3.9), по формулам (3.3), (3.5) могут быть определены все
компоненты тензора напряжений, а из соотношений (1.5) – соответствующее эффективное напряжение
(Мизеса).
Решение задачи (3.8), (3.9) может быть получено в замкнутом виде. Действительно, имея в виду
фундаментальную систему решений однородного уравнения, соответствующего уравнению (3.9):
(
1, r2, ln r, r2 ln r
)
,
и используя метод Лагранжа, получим:
ω =
h
D
∫r
0
P (ζ)
8
[
2
(
ζ2 + r2)
ln r +
(
ζ2 + 1
) (
1 − r2) ]
ζ dζ +
+
h
D
∫1
r
P (ζ)
8
[
2
(
r2 + ζ2)
ln ζ +
(
r2 + 1
) (
1 − ζ2) ]
ζ dζ.
Такая форма представления решения оказывается особо удобной в тех случаях, когда функция распре-
деления внешних сил имеет конечный разрыв, как, например, в случае нагрузки, заданной распределе-
нием (1.1). В этом случае после интегрирования имеем:
ω =


ph
64D
{
r4 + a2
1−a2
[
4
(
a2 + 2r2
)
ln a +
(
3 + 2r2
) (
1 − a2
)]}
r 6 a
− pha2
64D(1−a2)
{(
r2 − 1
)2 − 4
(
a2 + 2r2
)
ln r − 2
(
a2 + 2
) (
1 − r2
)}
r > a
.
Заметим, что если устремить параметр a к единице, то, используя правило Лопиталя – Бернулли, в
пределе можно получить решение для случая однородного нагружения:
ω = lim
a→1
ph
64D
{
r4 +
a2
1 − a2
[
4
(
a2 + 2r2)
ln a +
(
3 + 2r2) (
1 − a2)]}
=
ph
64D
(
r2 − 1
)2
. (3.10)
Для проведения сравнительного анализа необходимо иметь выражения для функций прогибов и на-
пряжений, поэтому удобно еще раз выписать функции напряжений, для единообразия выразив их через
параметр k:
σrr = − 4k
k + 1
z
(
ω
′′
+
k − 1
2k
ω′
r
)
, σφφ = − 4k
k + 1
z
(
ω′
r
+
k − 1
2k
ω
′′
)
,
σrz = σzr =
2k
k + 1
(
z2 − h2
4
)
d
dr
∇2ω.
4. Модель Феппля – фон Кармана
Линейное уравнение изгиба Кирхгофа – Лява не учитывает влияние напряжений в плоскости пласти-
ны на ее изгибную жесткость, что оправдано для пластин средней толщины, но ведет к существенным
погрешностям (а для ультратонких пластин к ошибкам на несколько порядков) при значительном умень-
шении относительной толщины и приближении изгибного НДС к мембранному. Конечно, классическая
линейная теория мембран, развитая еще в XVIII веке, приводит к очень простому уравнению – урав-
нению Пуассона. Но в него в качестве параметра входит усилие натяжения на контуре, определение
которого как раз и представляет основную проблему. С достаточной степенью точности задача опре-
деления натяжения решается уравнениями Феппля – фон Кармана, предложенными в начале XX века
в работах [29; 30]. Эти уравнения в некотором смысле представляют собой модификацию уравнения
Кирхгофа – Лява и плоской теории упругости, к которым добавляются нелинейные термы, содержащие
взаимное влияние изгиба и напряжений в плоскости. При этом перемещения представляются разложе-
ниями, подобными (3.1):
u = (υ − zω
′
) er + ωez,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 89
где υ – скалярная функция двух координат r, φ (в случае осевой симметрии – одной координаты, r).
В модели Феппля – фон Кармана допускаются большие повороты и следует различать отсчетную
и актуальную формы пластины, поэтому при описании ее деформаций следует использовать один из
тензоров конечных деформаций. Для вывода системы уравнений Феппля – фон Кармана используется
редуцированный тензор Грина – Сен-Венана E∗ (деформации фон Кармана):
[E
∗
] =


υ′ + 1
2 (ω′)2 − zω′′ 0 0
0 υ
r
− z ω
′
r 0
0 0 0

.
Компоненты этого тензора связаны с компонентами второго тензора напряжений Пиола – Кирхгофа
уравнениями состояния специального вида [31], которые могут быть получены формальной подстановкой
редуцированного тензора Сен-Венана в уравнение состояния (3.2):
σrr =
E
1 − ν2
[
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2 + ν
υ
r
− z
(
ω
′′
+ ν
ω′
r
)]
, σφφ =
E
1 − ν2
[
υ
r
+ ν
(
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2
)
− z
(
ω′
r
+ ν ω
′′
)]
.
Касательные напряжения, как и в предыдущей модели, не определяются из уравнений состояния,
но могут быть получены из уравнений равновесия, которые могут быть сформулированы в форме (3.4)
для компонент первого тензора Пиола – Кирхгофа P [9]:
P = F ·. (4.1)
При этом в рамках приближений Кармана компоненты градиента деформации берутся с точностью до
малых9:
[F] ≈


1 0 −ω′
0 1 0
ω′ 0 1

. (4.2)
Подставляя эту матрицу в соотношение выше, получим выражения для компонент первого тензора
Пиола – Кирхгофа:
[P] ≈


σrr − ω′σzr 0 σrz
0 σφφ 0
σzr + ω′σrr 0 ω′σrz

.
Теперь можно воспользоваться уравнениями равновесия в форме (3.4):
∂σrr
∂r
+
σrr − σφφ
r
+
∂σrz
∂z
− ∂(ω′σzr)
∂r
− (ω′σzr)
r
= 0,
∂σzr
∂r
+
σzr
r
+ ω
′ ∂σrz
∂z
+
∂(ω′σrr)
∂r
+
(ω′σrr)
r
+ P (r) = 0.
Мы полагаем, что касательные напряжения существенно меньше нормальных, следовательно, их про-
изведения с производной прогиба могут быть отброшены:
∂σrr
∂r
+
σrr − σφφ
r
+
∂σrz
∂z
= 0,
∂σzr
∂r
+
σzr
r
+
∂(ω′σrr)
∂r
+
(ω′σrr)
r
+ P (r) = 0.
При сделанных предположениях, касательные напряжения в модели Феппля – фон Кармана полностью
совпадают с моделью Кирхгофа:
σrz = σzr =
E
2 (1 − ν2)
(
z2 − h2
4
)
∂
∂r
∇2ω.
Замечание 3. Как видно, для вывода уравнений Феппля – фон Кармана приходится несколько воль-
но обращаться с нелинейными слагаемыми, что ставит вопрос о корректности этой модели. Этот
вопрос был подробно рассмотрен в работах Сьярле [31–34] и др., где он показал, что уравнения Фепп-
ля – фон Кармана естественно возникают как первый член асимптотического разложения уравнений
нелинейной теории упругости.
После приведения к срединной плоскости уравнения равновесия усилий и моментов будут такими
же, как и в (3.7), а уравнение равновесия перерезывающих будет дополнено нелинейными слагаемыми:
T
′
rr +
Trr − Tφφ
r
= 0, M
′
rr +
Mrr −Mφφ
r
− Qrz = 0, (4.3)
Q
′
zr +
Qzr
r
+ (ω
′
Trr)
′
+
(ω′Trr)
r
+ P (r) h = 0.
9В рамках этой модели предполагается, что перемещения и квадрат производной прогиба малы по сравнению с
единицей.
90
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Здесь моменты и поперечные силы совпадают с (3.6), а мембранные усилия становятся ненулевыми:
Trr =
Eh
1 − ν2
[
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2 + ν
υ
r
]
, Tφφ =
Eh
1 − ν2
[
υ
r
+ ν
(
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2
)]
. (4.4)
Как и в теории Кирхгофа – Лява, соответствующий выбор функции распределения касательных напря-
жений позволяет тождественно удовлетворить уравнению равновесия моментов. Уравнение равновесия
сил в осевом направлении дополняется нелинейными слагаемыми, которые выражают связь между из-
гибом пластины и ее растяжением в своей плоскости. Нелинейные слагаемые, в свою очередь, опреде-
ляются из уравнения равновесия сил в радиальном направлении. Для того чтобы удовлетворить этому
уравнению, удобно ввести функцию напряжений Эри ψ:
ψ′
r
=
Trr
h
, ψ
′′
=
Tφφ
h
. (4.5)
Такой выбор вспомогательной функции позволяет заведомо удовлетворить уравнению равновесия, од-
нако теперь требуется дополнить систему уравнением совместности. Для этого исключим радиальные
перемещения из уравнений (4.4), (4.5) и продифференцируем полученное выражение:
∇2∇2ψ +
E
2
L[ω, ω] = 0, (4.6)
где L – нелинейный дифференциальный оператор:
L[f, g] =
1
r
(f
′
g
′′
+ g
′
f
′′
) .
После подстановки перерезывающей силы и функции Эри в оставшееся уравнение равновесия получим
уравнение, замыкающее систему уравнений Феппля – фон Кармана:
D∇2∇2ω − hL [ψ, ω] = P (r) h. (4.7)
В общем случае для того чтобы сформулировать краевую задачу, требуется выразить перемещения че-
рез функцию Эри, что приводит к интегральным краевым условиям. Однако в случае осевой симметрии
радиальные перемещения напрямую выражаются через производные функции Эри, что позволяет ис-
ключить интегралы из краевых условий:
υ =
1
E
(ψ
′′
r − νψ
′
) .
Более удобной может оказаться формулировка системы Феппля – фон Кармана в перемещениях. Та-
кая формулировка может быть получена путем подстановки соотношений (3.6) и (4.4) в уравнения рав-
новесия (4.3):
D∇2∇2ω − Eh
1 − ν2
[(
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2
)(
ω
′′
+
ω′
r
)
+
(
υ
′′
+ ν
υ′
r
)
ω
′
+
(
(ω
′
)2 + ν
υ
r
)
ω
′′
]
= P (r) h, (4.8)
υ
′′
+
υ′
r
− υ
r2 + ω
′
ω
′′
+
(ω′)2
2r
(1 − ν) = 0.
При этом первое уравнение (4.8) может быть приведено к более простому виду, если выразить υ′′ из
второго уравнения и подставить результат в его левую часть:
D∇2∇2ω − Eh
1 − ν2
[(
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2
)(
ω
′′
+ ν
ω′
r
)
+
υ
r
(
ω′
r
+ ν ω
′′
)]
= P (r) h. (4.9)
С одной стороны, недостаток формулировки в перемещениях заключается в утрате симметрии относи-
тельно искомых функций. С другой стороны, эта система имеет лишь шестой порядок, в то время как
система с функцией Эри – восьмой.
Замечание 4. В работе [35] Рейсснер показал, что осевая симметрия позволяет дополнительно сни-
зить порядок первого дифференциального уравнения (4.8):
D
(
ω
′′′
+
ω′′
r
− ω′
r2
)
− Eh
1 − ν2
(
υ
′
ω
′
+
(ω′)3
2
+ ν
υω′
r
)
=
1
r
∫
P (r) h r dr.
4.1. Гипотеза об однородном натяжении
Система уравнений Феппля – фон Кармана существенно нелинейна и в общем случае не имеет ана-
литического решения, а ее численное решение осложнено наличием точек бифуркации и требует про-
ведения дополнительного анализа уравнения разветвления10. Поэтому на практике обычно стараются
10Такой анализ проведен, например, в [36].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 91
избежать численного интегрирования этой системы и решают ее одним из полуаналитических методов.
Наиболее простой способ построения полуаналитического решения заключается в принятии дополни-
тельной гипотезы о форме деформированной поверхности с последующим определением ее параметров
каким-либо методом (Ритца, Галеркина и т.д.). Существует множество различных решений, полученных
таким способом, многие из них представлены в сводных таблицах в работе [37]. Также в последние годы
для решения уравнений Феппля – фон Кармана широко применяются различные модификации метода
гомотопического анализа [38–40].
В настоящей статье будем использовать упрощенные уравнения Феппля – фон Кармана [41], допус-
кающие построение замкнутого аналитического решения. Этот метод основан на предположении об од-
нородности поля мембранных усилий:
Trr
h
=
Tφφ
h
=
ψ′
r
= ψ
′′
=
T0
h
.
В этом случае уравнение совместности (4.6) удается выполнить лишь приближенно, зато уравнение
равновесия (4.7) становится пригодным для аналитического решения:
D∇2∇2ω − T0∇2ω = P (r) h.
Для того чтобы построить аналитическое решение, заметим, что полученное уравнение допускает фак-
торизацию:
∇2 (
∇2ω − χ2ω
)
=
P (r) h
D
, (4.10)
где χ =
√
T0/D. В случае осевой симметрии выражение в скобках представляет собой левую часть
уравнения Бесселя нулевого порядка. Следовательно, фундаментальная система решений однородного
уравнения, определяемого левой частью (4.10), состоит из модифицированных функций Бесселя и ре-
шений уравнения Лапласа:
(1, I0 (χr) , ln r, K0 (χr)) ,
где I0 – модифицированная функция Бесселя первого рода (функция Инфельда), K0 – модифицирован-
ная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда). Частное решение неоднородного уравнения
вновь может быть получено методом Лагранжа. Итак, общее решение принимает вид:
ω = C1I0 (χr) + C2 ln r + C3K0 (χr) + C4 +
+
h
χ2D
∫r
0
P (ζ)
{
ln
ζ
r
+
I0 (χr)K0 (χζ) − K0 (χr) I0 (χζ)
χζ [I0 (χζ)K1 (χζ) + I1 (χζ)K0 (χζ)]
}
ζ dζ.
Константы интегрирования C1, C2, C3, C4 определяются из краевых условий (3.8) и условия регулярно-
сти решения в полюсе. Это выражение можно упростить, если заметить, что в знаменателе одного из
подынтегральных слагаемых стоит сумма произведений модифицированных функций Бесселя первого
и второго рода, которая может быть сведена к степенной функции [42]:
I0 (χζ)K1 (χζ) + I1 (χζ)K0 (χζ) =
1
χζ
.
Исключая константы, можно получить общее решение в виде:
ω =
h
χ2D
∫r
0
P (ζ)
{
I0 (χζ) + I0 (χr) − I0 (χ) − χI0 (χζ) I0 (χr)K1 (χ)
χI1 (χ)
− I0 (χζ)K0 (χr) − ln r
}
ζ dζ +
+
h
χ2D
∫1
r
P (ζ)
{
I0 (χr) + I0 (χζ) − I0 (χ) − χI0 (χr) I0 (χζ)K1 (χ)
χI1 (χ)
− I0 (χr)K0 (χζ) − ln ζ
}
ζ dζ.
Для случая ступенчатой нагрузки, заданной в виде (1.1), имеем:
ω =


ph
χ2D
{
− 1
χ2
− r2
4 + a
1−a2
[
I1(χa)
χ2I1(χ)
− I0(χr)
χI1(χ) (I1 (χa)K1 (χ) − I1 (χ)K1 (χa)) − a
(
1
2 ln a + 1
χ2
)]}
r 6 a
pha
χ2D(1−a2)
{
I1(χa)
χ2I1(χ)
− I1(χa)
χI1(χ) (I0 (χr)K1 (χ) + I1 (χ)K0 (χr)) − a
(
1
2 ln r + 1−r2
4
)}
r > a
.
(4.11)
Заметим, что в результате предельного перехода может быть получена формула для случая однородного
нагружения:
ω =
ph
χ2D
[
I0 (χr) − I0 (χ)
2χI1 (χ)
+
1 − r2
4
]
.
92
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Напряжения выражаются через постоянное натяжение и функцию прогиба следующим образом:
σrr =
T0
h
− 4k
k + 1
z
(
ω
′′
+
k − 1
2k
ω′
r
)
, σφφ =
T0
h
− 4k
k + 1
z
(
ω′
r
+
k − 1
2k
ω
′′
)
,
σrz = σzr =
2k
k + 1
(
z2 − h2
4
)
d
dr
∇2ω.
Перед вычислением эквивалентных напряжений для пластины Кармана необходимо отметить, что фор-
мула (1.5) справедлива лишь в тех случаях, когда номинальные и истинные напряжения не различают.
В противном случае критерий пластичности Мизеса следует переформулировать в терминах компо-
нент тензора истинных напряжений Коши S:
Seqv =
√1
2
√
(Srr − Sφφ)2 + (Sφφ − Szz)2 + (Szz − Srr)2 + 6 S2
rz,
который связан с следующим образом [9]:
S = J
−1F ··FT.
Здесь J = det (F) – якобиан преобразования. Используя упрощенный тензор градиента деформации
(4.2), после соответствующих упрощений получим:
[S] ≈


σrr − ω′ (σrz + σzr) 0 σrz + ω′σrr − (ω′)2 σzr
0 σφφ 0
σzr + ω′σrr − (ω′)2 σrz 0 (ω′)2 σrr + ω′ (σrz + σzr)

.
Для использования полученных решений необходимо определить параметр T0, который характери-
зует натяжение пластины в своей плоскости. Он может быть найден из упрощенного решения методом
Бубнова – Галеркина. В настоящей статье мы рассмотрим два таких решения — для пластин и мембран.
4.2. Решение методом Бубнова – Галеркина
Так как в рамках настоящей работы это решение носит вспомогательный характер, ограничимся
лишь одной пробной функцией прогибов, которую вслед за [21] выберем подобной решению задачи об
изгибе круглой пластины в рамках модели Кирхгофа – Лява (3.10):
ω = C
(
r2 − 1
)2
, (4.12)
где C – неизвестный множитель. Для определения радиальных перемещений подставим это выражение
для функции прогибов во второе уравнение системы (4.8):
υ
′′
+
υ′
r
− υ
r2 + 32C2r3 (
r2 − 1
)
+ 8C2r
(
r2 − 1
)2
(3 − ν) = 0.
После интегрирования с учетом краевых условий приходим к выражению:
υ =
C2
6
[
−7r7 + 20r5 − 18r3 + 5r + ν
(
r7 − 4r5 + 6r3 − 3r
)]
. (4.13)
Таким образом, получены поля перемещений с точностью до неизвестного множителя C, который сле-
дует определять из условия ортогональности пробной функции и невязки уравнения равновесия (4.9):
∫1
0
∫2π
0
{
64DC +
4EhC3
3
[
5r8 − 20r6 + 30r4 − 22r2 + 5 − ν
(
4r2 − 2
)
1 − ν
]
− P (r) h
}
(
r2 − 1
)2
r dφ dr = 0.
Для случая постоянной нагрузки P (r) = p получим кубическое уравнение относительно C:
Eh (23 − 9ν)
21 (1 − ν)
C3 + 32DC − ph
2
=
h (3k − 1) (37k + 9)
21k (k + 1)
C3 + 32DC − ph
2
= 0, (4.14)
которое имеет одно вещественное решение, определяемое по формуле Кардано.
Аналогично рассмотрим систему уравнений Феппля – фон Кармана для случая абсолютно гибкой
мембраны, которая может быть получена из исходных уравнений предельным переходом при стремлении
цилиндрической жесткости D к нулю. Имеем:
E
1 − ν2
[(
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2
)(
ω
′′
+ ν
ω′
r
)
+
υ
r
(
ω′
r
+ ν ω
′′
)]
+ P (r) = 0,
υ
′′
+
υ′
r
− υ
r2 + ω
′
ω
′′
+
(ω′)2
2r
(1 − ν) = 0.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 93
Для решения этой системы методом Бубнова – Галеркина часто [43–45] выбирают пробную функцию для
прогибов, обеспечивающую сферическую форму деформированной поверхности:
ω = C
(
r2 − 1
)
. (4.15)
Повторяя выкладки (4.13) – (4.14), получим функцию радиальных перемещений:
υ = C2 3 − ν
4
(
r − r3)
(4.16)
и выражение для неизвестного множителя:
C = − 3
√
3 (1 − ν) p
(7 − ν)E
= − 3
√
3 (k + 1) kp
(3k − 1) (13k + 1)
.
После определения функций перемещений можно определить мембранные усилия по формулам (4.4),
которые удобно записать через k:
Trr =
4kh
k + 1
[
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2 +
k − 1
2k
υ
r
]
, Tφφ =
4kh
k + 1
[
υ
r
+
k − 1
2k
(
υ
′
+
1
2
(ω
′
)2
)]
.
Для использования решения (4.11) поля мембранных усилий необходимо осреднить. Осреднение будем
проводить из условия равенства работ осредненных усилий и фактических:
∫1
0
∫2π
0
T0
(
υ
′
+
(ω′)2
2
+
υ
r
)
rdφdr =
∫1
0
∫2π
0
[
Trr
(
υ
′
+
(ω′)2
2
)
+ Tφφ
υ
r
]
r dφ dr.
При вычислении этого интеграла для относительно толстых пластин целесообразно использовать реше-
ние (4.12), (4.13), а для ультратонких мембран – решение (4.15), (4.16).
5. Модель мембран Адкинса – Ривлина – Грина
Рассмотрим систему уравнений, описывающих выпучивание закрепленной на контуре мембраны с
позиций нелинейной теории упругости. Такая система была впервые получена в работе Адкинса и Рив-
лина [46] для мембраны из несжимаемого материала Муни – Ривлина. Эта система довольно громоздка
и содержит шестнадцать дифференциальных уравнений, что, впрочем, не помешало ее авторам полу-
чить численное решение. Позднее, в работе Янга и Фенга [47], эта система для случая осевой симметрии
была сведена к трем дифференциальным уравнениям первого порядка.
Вывод уравнений модели Адкинса и Ривлина также опирается на статическую и кинематическую
гипотезы Кирхгофа, однако теперь перемещения точек мембраны считаются конечными и не предполага-
ется, что нормальное волокно сохраняет свою длину. В этом случае кинематика мембраны описывается
следующим полем перемещений:
u = υer + ωez + z (λzen − ez) , (5.1)
где λz – отношение толщин мембраны в актуальной и отсчетной формах, а en – семейство единичных
нормалей к срединной поверхности. Такая запись вектора перемещений достаточна наглядна и позволя-
ет сразу разделить слагаемые по физическому смыслу. Однако для дальнейших выкладок она не очень
удобна, так как содержит векторы разных базисов – базиса цилиндрической системы координат и бази-
са Дарбу, построенного на деформированной поверхности мембраны (es, eφ, en). Эти базисы связаны
преобразованиями:
es = er cos θ − ez sin θ, eφ = eφ, en = er sin θ + ez cos θ,
er = es cos θ + en sin θ, eφ = eφ, ez = −es sin θ + en cos θ,
где θ – угол поворота нормали срединной поверхности мембраны. Для дальнейших построений более
удобным оказывается представление перемещений (5.1) в компонентах разложений по базису Дарбу. При
этом матрицы градиента деформаций и левого тензора Коши – Грина принимают диагональный вид:
[F] =


λr 0 0
0 λφ 0
0 0 λz

, [B] =


λ2
r 0 0
0 λ2
φ 0
0 0 λ2
z

,
где λr, λφ – главные удлинения в радиальном и окружном направлениях, связанные с перемещениями
формулами:
λr =
√
(1 + υ′)2 + ω′2, λφ = 1 +
υ
r
. (5.2)
94
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Здесь нужно отметить, что, в отличие от моделей пластин, в модели мембран не учитываются слагае-
мые, зависящие от нормальной координаты z, т. е. эта модель имеет нулевой порядок асимптотического
разложения.
В этой модели материал полагается несжимаемым, что приводит к существенному упрощению вы-
ражения для потенциала Муни – Ривлина (1.2):
W =
1
4
[
(1 − β)
(
I1
I1/3
3
− 3
)
+ (1 + β)
(
I2
I2/3
3
− 3
)]
+
3k − 1
6
(√
I3 − 1
)2
=
=
1
4
[
(1 − β)
(
λ2
r + λ2
φ + λ2
z
− 3
)
+ (1 + β)
(
λ2
rλ2
φ + λ2
φλ2
z + λ2
z λ2
r
− 3
)]
.
Это выражение следует дополнить условием несжимаемости:
det (F) = J = λrλφλz = 1.
Конкретный вид функции упругого потенциала позволяет получить компоненты первого тензора на-
пряжений Пиола – Кирхгофа по формуле Дойля – Эриксена, однако эту формулу следует модифициро-
вать для учета несжимаемости:
P = 2F ·
(
∂W
∂B
+ s
∂J
∂B
)
; [P] =


∂W
∂λr
0 0
0 ∂W
∂λφ
0
0 0 ∂W
∂λz


+ s


λφλz 0 0
0 λzλr 0
0 0 λrλφ

,
где s – реакция идеальных связей, обеспечивающих несжимаемость. Переходя к компонентам, получим:
Prr =
1 − β
2
[
λr + αλr
(
λ2
φ + λ2
z
)
+ sλφλz
]
, Pφφ =
1 − β
2
[
λφ + αλφ
(
λ2
z + λ2
r
)
+ sλzλr
]
,
Pzz =
1 − β
2
[
λz + αλz
(
λ2
r + λ2
φ
)
+ sλrλφ
]
,
где α = (1 + β) / (1 − β). Отсюда по формуле, подобной (4.1):
S = J
−1F ·PT,
можно получить компоненты тензора напряжений Коши S. Используя условие несжимаемости, исклю-
чим из выражений третью кратность удлинения λz:
Srr =
1 − β
2
[
λ2
r + αλ2
r
(
λ2
φ +
1
λ2
rλ2
φ
)
+ s
]
, Sφφ =
1 − β
2
[
λ2
φ + αλ2
φ
(
λ2
r +
1
λ2
r λ2
φ
)
+ s
]
,
Szz =
1 − β
2
[
1
λ2
r λ2
φ
+ α
1
λ2
r λ2
φ
(
λ2
r + λ2
φ
)
+ s
]
.
Неизвестную реакцию идеальных связей s можно определить из условия выполнения статической
гипотезы Кирхгофа:
Szz = 0.
Тогда тензор напряжений Коши будет содержать лишь две ненулевые компоненты:
Srr =
1 − β
2
(
λ2
r
− 1
λ2
rλ2
φ
)(
1 + αλ2
φ
)
, Sφφ =
1 − β
2
(
λ2
φ
− 1
λ2
r λ2
φ
)(
1 + αλ2
r
)
.
Для подстановки в уравнения равновесия полученные напряжения следует осреднить по толщине
мембраны в актуальной форме:
Trr = λzhSrr =
hSrr
λrλφ
, Tφφ = λzhSφφ =
hSφφ
λrλφ
.
После осреднения можно получить усилия, которые должны удовлетворять уравнениям равновесия в
актуальной конфигурации:
∂Trr
∂ρ
+
Trr − Tφφ
ρ
= 0, Trrκ1 + Tφφκ2 = P (r) h, (5.3)
где ρ – радиальная координата точек мембраны в актуальной форме:
ρ = r + υ,
а κ1, κ2 – главные кривизны деформированной поверхности11:
κ1 =
ρ′ω′′ − ρ′′ω′
λ3
r
, κ2 =
ω′
λrρ
.
11Здесь штрихами обозначена производная по r.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 95
Для получения наиболее компактной системы дифференциальных уравнений выберем следующий
набор главных переменных:
y1 = λr, y2 = λφ =
ρ
r
, y3 = ρ
′
. (5.4)
В новых обозначениях уравнения равновесия (5.3) имеют следующий вид:
T′
rr
y3
+
Trr − Tφφ
y2r
= 0, Trr
y′
1y3 − y1y′
3
y2
1
√
y2
1
− y2
3
+ Tφφ
√
y2
1
− y2
3
y1y2r
= P (r) h.
Для удобства также выпишем усилия в новых переменных:
Trr =
h(1 − β)
2
(
y1
y2
− 1
y3
1y3
2
)(
1 + αy2
2
)
, Tφφ =
h(1 − β)
2
(
y2
y1
− 1
y3
1y3
2
)(
1 + αy2
1
)
.
Подставляя эти выражения в уравнения равновесия, получим систему двух дифференциальных урав-
нений изгиба мембраны:
ry
′
1
(
1
y2
+
3
y4
1y3
2
)(
1 + αy2
2
)
+
(
y3
y2
− 1
)(
3
y3
1y3
2
+ αy1y2
)
+
y1
y2
− y3
y1
+
α
y1y2
(
y3
y3
2
− 1
y2
1
)
= 0, (5.5)
(y′
1y3 − y1y′
3)
y2
1
√
y2
1
− y2
3
(
y1
y2
− 1
y3
1y3
2
)(
1 + αy2
2
)
+
√
y2
1
− y2
3
y1y2r
(
y2
y1
− 1
y3
1y3
2
)(
1 + αy2
1
)
− 2P (r)
1 − β
= 0.
Эти соотношения необходимо дополнить уравнением, связывающим главные переменные:
y
′
2 =
1
r
(y3 − y2) .
Особенностью этой системы уравнений является то, что она сформулирована в деформациях, а не
перемещениях. Соответственно и краевые условия следует формулировать для деформаций. В рассмат-
риваемой задаче окружная деформация на контуре равна нулю и в полюсе имеется особая точка, в
которой все направления неразличимы, следовательно, в этой точке радиальная и окружная деформа-
ции равны. Кроме того, в полюсе первая и вторая кривизна равны нулю, тогда из соотношения (5.2)
следует, что производная радиальной координаты ρ в полюсе равна первой кратности удлинения. Эти
соображения, с учетом (5.4), позволяют записать краевые условия через главные переменные:
y1|
r=0 = y2|
r=0 = y3|
r=0 , y2|
r=1 = 1. (5.6)
Решение краевой задачи (5.5), (5.6) удобно проводить методом пристрелки. Для этого необходимо
свести краевую задачу к задаче Коши, задавшись значением главных переменных в начале участка
интегрирования, т. е. в полюсе. Из первого краевого условия видно, что это значение одинаково для
всех трех главных переменных:
y1|
r=0 = y2|
r=0 = y3|
r=0 = λ0.
Затем нужно решить полученную задачу Коши каким-либо численным методом, например, методом
Рунге – Кутты. После этого следует проверить выполнение краевого условия на контуре и при необхо-
димости скорректировать λ0.
Недостаток этого метода заключается в том, что он не устойчив относительно малых колебаний
параметра λ0. Эту трудность удается преодолеть если в качестве начального приближения параметра
выбрать значение кратности удлинения в полюсе, полученное из решения упрощенной задачи. Например,
из решения (4.15), (4.16):
λ0 =
√
(1 + υ′)2 + ω′2
    
r=0
= 1 + C2 3 − ν
4
= 1 +
5k + 1
8k
3
√
9 (k + 1)2 k2p2
(13k + 1)2 (3k − 1)2 .
6. Сравнительный анализ
Располагая аналитическими и численно-аналитическим решениями, полученными для кругового дис-
ка в предыдущих разделах, произведем сравнительный вычислительный анализ с целью выявления об-
ластей их применения на “оси относительных толщин”.
В безразмерных переменных, помимо относительной толщины, используются два безразмерных пара-
метра, характеризующие материал, k и β, и два, характеризующие нагружение, p и a. Относительную
толщину будем варьировать в интервале
(
1, 10−3
)
. Параметр формы нагрузки a выберем равным 0.99,
что соответствует случаю равномерного нагружения и однопроцентной кольцевой опорной зоне (что
реализуется в натурных экспериментах).
96
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Поскольку сравнительный анализ ориентирован на элементы МЭМС, будем полагать, что круговой
диск изготовлен из химически чистого алюминия (как результат напыления или химического осажде-
ния). При этом k = 3, что соответствует величине 0.33 для коэффициента поперечного сжатия. Это
значение соответствует данным, приведенным в справочной литературе. Выбор значения параметра β
не принципиален, так как при малых деформациях он практически не влияет на значение упругой
потенциальной энергии материала. Для удобства выберем его равным нулю.
Отдельно следует определиться с интенсивностью нагружения p, поскольку при столь значитель-
ном изменении относительных толщин величина p должна подбираться из условий разумных значений
максимальных перемещений. По этой причине на каждом участке “оси относительно толщины” будет
фиксироваться не нагрузка, а прогиб в центре диска. Тогда сравнение перемещений будем проводить
опосредовано, по величине нагрузки, потребной для того, чтобы обеспечить заданный прогиб, т. е. бу-
дем сравнивать “жесткость” разных моделей. А для сравнения напряженных состояний будем оценивать
величину максимального эквивалентного напряжения при заданном прогибе.
Всего было проведено три серии сравнений. Параметры расчетов перечислены в таблице, а резуль-
таты приведены на рис. 6.1–6.6.
Таблица
Параметры расчетов
Table
Calculation parameters
Модели 3D и KL KL и FvKp FvKm и GAR
ωMax 1/4 1/10 1/50 1/100 1/10 1/50 1/100
h [0.01, 1] [0.01, 1] [0.001, 0.1]
Результаты Рис. 6.1, 6.2 Рис. 6.3, 6.4 Рис. 6.5, 6.6
3D – модель линейной теории упругости; KL – пластина Кирхгофа – Лява;
FvKp – пластина Феппля – фон Кармана (натяжение из решения для пластины);
FvKm – пластина Феппля – фон Кармана (натяжение из решения для GAR);
GAR – мембрана Грина – Ривлина – Адкинса
На основании сопоставления результатов расчетов можно определить области параметров, в которых
каждая из рассматриваемых моделей адекватно описывает НДС изгибаемой пластины. Для уровня по-
грешности 5 % относительные толщины, при которых может быть использована теория Кирхгофа – Лява,
находятся в интервале от 1/10 до 1/30 (при максимальном прогибе 1/100 радиуса). В интервале от 1/30
до 1/480 может быть использована теория Феппля – фон Кармана, а при меньших значениях отношения
толщины к радиусу — теория Грина – Ривлина – Адкинса.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 97
Рис. 6.1. Сравнение “жесткости” моделей Кирхгофа – Лява и линейной теории упругости
Fig. 6.1. “Stiffness” comparison of Kirchhoff – Love and linear theory of elasticity models
98
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Рис. 6.2. Сравнение эквивалентных напряжений Мизеса по теории Кирхгофа – Лява и линейной
теории упругости (на контуре)
Fig. 6.2. Mises equivalent stresses comparison of Kirchhoff – Love theory and linear theory of elasticity on a circuit)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 77–105
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105 99
Рис. 6.3. Сравнение “жесткости” моделей Кирхгофа – Лява и Феппля – фон Кармана
Fig. 6.3. “Stiffness” comparison of Kirchhoff – Love and Foppl – von Karman models
Рис. 6.4. Сравнение эквивалентных напряжений Мизеса по моделям Кирхгофа – Лява
и Феппля –
фон Кармана (на контуре)
Fig. 6.4. Mises equivalent stresses comparison of Kirchhoff – Love and Foppl – von Karman models (on a circuit)
100
Лычев С.А., Дигилов А.В., Пивоваров Н.А. Изгиб кругового диска: от цилиндра к ультратонкой мембране
Lychev S.A., Digilov A.V., Pivovaroff N.A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane
Рис. 6.5. Сравнение “жесткости” моделей Феппля – фон Кармана и нелинейной мембраны
Fig. 6.5. “Stiffness” comparison of Foppl – von Karman and nonlinear membrane models
Рис. 6.6. Сравнение эквивалентных напряжений Мизеса по моделям Феппля – фон Кармана и нелинейной мембраны (в полюсе)
Fig. 6.6. Mises equivalent stresses comparison of Foppl – von Karman and nonlinear membrane models (at the pole)

About the authors

S. A. Lychev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Author for correspondence.
Email: lychevsa@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7590-1389

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, leading researcher

Russian Federation, 101, bldg. 1, Vernadsky Avenue, Moscow, 119526, Russian Federation

A. V. Digilov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Email: avdigilov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-6892-7740

postgraduate student, junior researcher

Russian Federation, 101, bldg. 1, Vernadsky Avenue, Moscow, 119526, Russian Federation

N. A. Pivovaroff

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Email: pivovaroff.bmstu@ya.ru
ORCID iD: 0009-0005-7149-4102

postgraduate student

Russian Federation, 101, bldg. 1, Vernadsky Avenue, Moscow, 119526, Russian Federation

References

Supplementary files