Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure

Full Text

1. Предварительные сведения
1◦. Настоящая статья продолжает работу [1], в которой представлен геометрический метод модели-
рования несовместных деформаций для гиперупругих тел и рассмотрены его особенности на примере
простого материала. Несмотря на то что неевклидова отсчетная форма для тела из простого материа-
ла является классической и различные способы ее построения рассмотрены в статьях [2–10], подход к
синтезированию неевклидовой формы, предложенный в исследовании [1], несколько отличается от этих
способов. Он является комбинацией рассуждений Кренера [2], в рамках которых геометрия определяет-
1Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00457).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 55
ся на основе условий совместности, с идеей локальной разгрузки, предложенной в работах2 [9; 10] для
формализации локальных деформаций. Цель настоящей статьи — синтезирование неевклидовой формы
для тел с расширенной кинематикой.
В работе используются основные структуры и общие формулы, определенные в [1]. В частности,
E есть евклидово физическое пространство [1, формула (2.1)] с ассоциированным векторным простран-
ством V. Ортонормированный базис в последнем обозначается через (ci)3
i=1. Символ SR обозначает про-
межуточную форму [1, формула (2.8)], SR — ее подлежащее многообразие3 и т. д. В случае необходи-
мости приводятся ссылки на соответствующие формулы из первой части работы.
2◦. Метод синтеза неевклидовой формы, используемый в работе, аналогичен методу подвижного ре-
пера, предложенному Картаном для построения неевклидовых пространств [11]. Остановимся более по-
дробно на этой аналогии.
В случае простого материала переход к натуральному состоянию определяется полем локальных де-
формаций H : SR → End(V) [1, формулы (3.8) и (3.11)], условие совместности которых имеет вид
curlH = 0. Это означает, что в случае выполнения последнего условия (и односвязности формы SR)
поле H является градиентом некоторой глобальной деформации из промежуточной формы в глобаль-
но натуральную форму. Если же локальные деформации несовместны, то равенство нулю ротора не
выполняется. Скажем тогда, что имеется источник несовместности, представленный тензорным полем
второго ранга . В этом случае уравнение, характеризующее структурную неоднородность тела, имеет
вид
curlH = . (1.1)
Подход, предложенный Кренером, заключается в преобразовании условия совместности с тем, чтобы
результат этого преобразования можно было интерпретировать геометрически. Действительно, в соот-
ветствии с [1, 20◦ и 22◦] условие, выражающее равенство нулю ротора H, эквивалентно равенству
нулю кручения T специфической связности Γ на многообразии SR, коэффициенты которой определя-
ются формулами [1, (3.18)]. Следовательно, совместность деформаций эквивалентна утверждению, что
связность Γ евклидова. Но тогда появление источника несовместности равносильно изменению гео-
метрии на многообразии SR: из евклидовой она переходит в неевклидову, представленную тензором
кручения T0. В таком случае уравнение (1.1) преобразуется в равенство T = T0, характеризующее гео-
метрическую структуру неевклидова пространства над SR.
С другой стороны, Картаном были получены структурные уравнения, характеризующие в общих
чертах геометрию неевклидовых пространств [11–13]. Новизна идеи Картана заключалась в отказе от
использования криволинейных координат и переходе к полям базисов более общего вида. Действитель-
но, криволинейные координаты накладывают жесткие ограничения на виды локальных базисов за счет
замены переменных (три функции определяют все поле базисов в трехмерном пространстве). Если же,
отказываясь от использования замены переменных, перейти к неголономным базисам, то появляются
дополнительные функциональные степени свободы, распоряжаясь которыми можно прийти к разнооб-
разным геометриям. В явном виде поле базисов (zi)3i=1 — подвижный репер — может быть определено
по заданному полю Ω : E → Aut(V) обратимых линейных преобразований4 трансляционного простран-
ства V в соответствии с равенствами zi = Ω[ci], i = 1, 2, 3. Если через (ϑi)3i
=1 обозначить репер про-
странства V∗, сопряженный к (zi)3
i=1, а через gij = g(zi, zj) — метрические коэффициенты относительно
подвижного репера, то структурные уравнения Картана для евклидова пространства имеют вид
gmkωm
j + gmjωm
k
− dgjk = 0, dϑi + ωij
∧ ϑj = 0, dωij
+ ωik
∧ ωk
j = 0, (1.2)
где ∧ — операция внешнего произведения [14]. Поля 1-форм ωij
, i, j = 1, 2, 3, относительно которых
записаны соотношения (1.2), определяют взаимные искажения элементов репера (zi)3i
=1 при переходе
от точки к точке.
Уравнения (1.2) можно рассматривать как «условия совместности» для заданных искажений подвиж-
ного репера. Действительно, в евклидовом пространстве реализуется не произвольный набор полей ωij
, а
лишь тот, который удовлетворяет равенствам (1.2). Переход к пространствам более общего вида можно
2См. также [1, 16◦ и 17◦].
3В рамках классической механики континуума нет необходимости выделять третью форму, наряду с отсчетной и
актуальной формами. Вместе с тем в настоящей работе третья форма, называемая промежуточной, используется для
синтезирования геометрии на материальном многообразии. Формально, подобно любой другой форме тела (см. [1, 7◦]),
промежуточная форма представлена в виде упорядоченной совокупности SR = (SR; gjSR; ϵjSR; ∇jSR), где SR — под-
лежащее многообразие (носитель геометрической структуры), а gjSR, ϵjSR, ∇jSR обозначают метрику, форму объема
и связность над многообразием SR, индуцированные из евклидова пространства E. При синтезировании неевклидовой
отсчетной формы последние три поля заменяются на более общие геометрические поля.
4Хотя в оригинальных работах Картана рассматривались только вращения, можно предположить, что эти преобра-
зования являются достаточно общими.
56
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
осуществить, определив семейства 1-форм неметричности Qij , а также 2-форм кручения Ti и кривиз-
ны Rij
, и подставив их в правые части уравнений (1.2):
gmkωm
j + gmjωm
k
− dgjk = Qjk, dϑi + ωij
∧ ϑj = Ti, dωij
+ ωik
∧ ωk
j = Rij
. (1.3)
Уравнения (1.3) определяют структуру пространства произвольной аффинной связности. В этой свя-
зи можно ассоциировать поля Qij , Ti и Rij
с величинами, выражающими несовместность полей ωij
с
евклидовой геометрией.
Рассмотренная аналогия между источниками несовместности и тензорными полями кручения, кри-
визны и неметричности демонстрирует единство подходов, используемых в настоящей работе и в общей
теории пространств аффинной связности.
2. Синтезирование неевклидовой отсчетной формы для среды
второго градиента
2.1. Второй градиент деформации
3◦. Квадратичное приближение деформации. Синтезированию поля локальных деформаций
предпошлем рассмотрение кинематики среды второго градиента. Предположим, что упругий потенциал
относительно промежуточной формы SR является отображением
SR × End(V) × Hom(V; End(V)) ∋ (X, F1, F2) 7→ cW2(X, F1, F2) ∈ R. (2.1)
Поэтому, если γ ∈ Deform (SR; S) — произвольная деформация, то отклик тела в точке X ∈ SR харак-
теризуется равенством [15; 16]
W = cW2(X, F1(X), F2(X)).
В списке аргументов, наряду с первым градиентом деформации F1(X) ∈ End(V), представлен второй
градиент F2(X) ∈ Hom(V; End(V)), определяемый равенством F2(X) := DXF1. Следовательно, в окрест-
ности точки X выполнено разложение по формуле Тейлора второго порядка [17]:
γ(X + h) = γ(X) + F1(X)[h] +
1
2
F2(X)[h, h] + o(∥h∥2), (2.2)
в котором h ∈ V — достаточно малый вектор, т. е. X + h ∈ SR. Здесь и в дальнейшем подразумева-
ется отождествление второго градиента с билинейным отображением V × V → V в силу естественного
изоморфизма5 [17] Hom(V; End(V))
∼=
vec L2(V, V; V).
Обобщенная теорема Шварца [17] влечет, что второй градиент симметричен, т. е. F2(X)[v, u] =
= F2(X)[u, v]. Поэтому его можно восстановить по значениям F2(X)[v, v], v ∈ V в соответствии с
формулой, известной из теории билинейных отображений [18]:
F2(X)[u, v] =
F2(X)[u + v, u + v] − F2(X)[u, u] − F2(X)[v, v]
2
.
В свою очередь, из (2.2) вытекает следующее равенство:
F2(X)[v, v] = 2 lim
s→0
vec(γ(X), γ(X + sv)) − sF1(X)[v]
s2 ,
доказывающее единственность второго градиента как симметричного билинейного отображения, для ко-
торого выполнено соотношение (2.2).
4◦. Представления второго градиента. В прямоугольных координатах (xi)3i
=1 деформации γ со-
ответствует представление [1, формула (2.10)], а первому градиенту деформации F1(X) — разложе-
ние [1, формула (3.3)]. Поскольку второй градиент деформации можно записать как
F2(X) =
[
∂
∂XJ F1
]    
X
⊗ cJ ,
то его разложение имеет вид6
F2(X) =
∂2xi
∂XI∂XJ
    
Coor(X)
ci ⊗ cI ⊗ cJ .
5В явном виде этот изоморфизм может быть определен следующим образом. Если A — элемент Hom(V; End(V)), то
ему отвечает элемент LA пространства L2(V; V; V), заданный равенством LA(u; v) := (A[u])[v]. Искомый изоморфизм
является соответствием A 7! LA.
6Здесь Coor обозначает декартову арифметизацию [1, формула (2.2)].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 57
Вместе с тем несмотря на то что в криволинейных координатах (QI )3I
=1 и (qi)3i
=1 первый градиент
F1 имеет простое разложение [1, формула (3.4)], представление, соответствующее второму градиенту,
является более сложным. Для его получения рассмотрим следующее утверждение. Пусть
SR ∋ X 7→ AX = Ai
J
  
X ei|
(X)
⊗ EJ |X ∈ End(V)
— тензорное поле, представленное в паре координат (QI )3I
=1 и (qi)3i
=1. Тогда для его градиента
DXA =
[
∂
∂QK A
]    
X
⊗ EK|X
в точке X ∈ SR справедливо разложение7
DXA =
{
∂KAi
J
  
R(·) + Al
JFj
K
q
Γi
jl
   
(·)
− Ai
L
Q
ΓL
KJ
}    
X
ei|
(X)
⊗ EJ |X ⊗ EK|X. (2.3)
Здесь FiJ
— компоненты градиента деформации [1, формула (3.4)], а Q
ΓI
JK и q
Γi
jk — символы Кристоф-
феля, отвечающие криволинейным координатам (QI )3I
=1 и (qi)3
i=1, т. е.
Q
ΓI
JK = EI ·∂JEK и q
Γi
jk = ei ·∂jek.
Доказательство. Используя обобщенное правило дифференцирования произведения [17], получаем ра-
венство8
DXA =
{
∂KAI
J
  
R(X) ei|
(X)
⊗ EJ |X +
+ Ai
J ∂K(ei ◦ γ)|
R(X)
⊗ EJ |X +
+ Ai
Jei|
(X)
⊗ ∂KEJ
   
R(X)
}
⊗ EK|X.
(2.4)
В нем, согласно определению символов Кристоффеля,
∂K(ei ◦ γ)|
R(X) = Fj
K
   
X
∂jei|
◦ (X) = Fj
K
   
X
q
Γl
ji
   
(X)
el|
(X),
∂KEJ
   
R(X)
= − Q
ΓJ
KL
   
X
EL|X.
Подставляя полученные выражения в (2.4) и заменяя соответствующим образом индексы суммирования,
приходим к формуле (2.3).
В случае, когда A = F1, формула (2.3) приводит к равенству
F2(X) =
{
∂KFiJ
  
R(·) + FlJ
Fj
K
q
Γi
jl
   
(·)
− FiL Q
ΓL
KJ
}    
X
ei|
(X)
⊗ EJ |X ⊗ EK|X, (2.5)
являющемуся искомым разложением второго градиента. В нем
∂KFiJ
=
∂2qi
∂QJ∂QK .
Следовательно, в силу перестановочности повторных производных, ∂KFiJ
= ∂JFiK
.
В работе используется следующий частный вид формулы (2.5). Выберем в качестве (qi)3i
=1 прямо-
угольные координаты (xi)3
i=1. Тогда x
Γi
jk = 0, что дает
F2(X) =
{
∂KFiJ
  
R(·)
− FiL
Q
ΓL
KJ
}   
X
ci ⊗ EJ |X ⊗ EK|X. (2.6)
В этом случае компоненты второго градиента выражаются через компоненты первого градиента и их
производные, а также через символы Кристоффеля системы координат (QI )3I
=1.
Замечание 1. Евклидова структура физического пространства и отождествления по изоморфизму,
индуцируемые ею, позволяют скрыть истинную природу полей, используемых в настоящей работе.
Действительно, предположим заданными криволинейные координаты (QI )3I
=1 на форме SR, а коорди-
наты на образах выберем прямоугольными. Тогда
7Отображение R есть координатное отображение, соответствующее криволинейным координатам (QI )3I
=1 на фор-
ме SR [1, формула (2.13)].
8Формула (2.4) — производная тензорного поля — содержит производные скалярных и векторных базисных полей.
Производные базисных полей, в свою очередь, выражаются через исходные базисные поля; коэффициенты разложения
есть символы Кристоффеля соответствующей системы координат.
58
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
1. Деформация γ : SR → S есть тройка (γ1, γ2, γ3) скалярных полей γi : SR → R, определенных
равенством
γ(Q1, Q2, Q3) = o + ciγi(Q1, Q2, Q3).
2. Градиент деформации F1 = ci ⊗ Fi есть тройка 1-форм (F1, F2, F3), заданных как
Fi =
∂xi
∂QI dQI , i = 1, 2, 3.
То, что градиент деформации не является тензором в классическом понимании этого термина,
отмечалось в работе [19, с. 245] и позднее в монографиях [20, 21].
3. Второй градиент F2 = ci ⊗ Fi есть совокупность трех тензоров второго ранга (F1, F2, F3).
В отличие от представления полей γ, F1, F2 в исходной (евклидовой форме), их представление в
соответствии с п. 1)–3) является общим и может быть непосредственно перенесено на произвольные
гладкие многообразия.
Несмотря на то что в рамках настоящей работы такое описание полей избыточно9, к нему при-
дется прибегнуть уже в случае рассмотрения деформирования материальных двумерных поверхностей
в евклидовом пространстве.
2.2. Семейство форм и условие совместности
5◦. Гипотеза локальной разгрузки. Подобно случаю среды первого градиента [1, 16◦], пред-
положим справедливой гипотезу локальной разгрузки. Пусть фиксированы тензоры N1 ∈ End(V) и
N2 ∈ Hom(V; End(V)), характеризующие натуральное состояние, и пусть задана промежуточная фор-
ма SR вместе с упругим потенциалом (2.1). Предположим далее, что определено семейство {γ(X)}X∈SR
деформаций γ(X) : SR → S(X), для которого в любой точке X ∈ SR выполнено условие10
∂cW2(X, F1, F2)
∂F1
     
F1=F(X)
1 (X); F2=F(X)
2 (X)
= N1,
∂cW2(X, F1, F2)
∂F2
     
F1=F(X)
1 (X); F2=F(X)
2 (X)
= N2,
(2.7)
являющееся расширением [1, формула (3.6)]. Здесь F(X)
1 = Dγ(X) — первый градиент деформации γ(X),
а F(X)
2 = DF(X)
1 , соответственно, второй градиент.
6◦. Синтезирование локальных деформаций и гипердеформаций. Согласно второй из фор-
мул [1, (3.5)], в которой положим (qi)3i
=1 = (xi)3i
=1, первый градиент деформации γ(X) в точке Y ∈ SR
имеет представление
F(X)
1 (Y ) = [F(X)
1 ]i
I
   
Y
ci ⊗ EI |Y . (2.8)
Из него, согласно равенству [1, (3.8)], синтезируется поле локальных деформаций H1 : SR → End(V),
с разложением
H1(X) = Hi
I
  
R(X) ci ⊗ EI |X, где Hi
I
  
R(X) = [F(X)
1 ]i
I
   
X
. (2.9)
Вместе с тем, поскольку рассматривается среда второго градиента, одного лишь поля H1 недоста-
точно для описания локальной разгрузки. Нужно еще поле, представляющее второй градиент. С этой
целью определим вторые градиенты деформаций γ(X):
F(X)
2 (Y ) = DY F(X)
1 ,
которые, в соответствии с представлением (2.8) и формулой (2.6), имеют разложение
F(X)
2 (Y ) =
{
∂K[F(X)
1 ]i
J
   
R(·)
− [F(X)
1 ]i
L
Q
ΓL
KJ
}    
Y
ci ⊗ EJ |Y ⊗ EK|Y . (2.10)
Синтезируем теперь новый тензор H2(X) ∈ Hom(V; End(V)) по формуле
H2(X) := F(X)
2 (Y )
   
Y =X
, (2.11)
9Поскольку физическое пространство евклидово, а размерности форм и пространства совпадают.
10Несмотря на то что в рамках настоящей работы тензоры N1 и N2 предполагаются постоянными, ход рассуждений не
изменится, если эти тензоры заменить на переменные тензоры, зависящие от точки X 2 SR. В таком случае правые части
соотношений (2.7) и им подобным следует заменить на N1(X) и N2(X) соответственно. Такая замена целесообразна,
если натуральное состояние определяется в рамках действия некоторого внешнего поля, которым нельзя пренебречь.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 59
и назовем его локальной гипердеформацией. Совокупность таких тензоров образует тензорное поле H2 :
SR → Hom(V; End(V)), которое предположим гладким.
Полагая теперь в формуле (2.10) Y = X, приходим к следующему представлению тензора гиперде-
формаций (2.11):
H2(X) =
{
SiK
J
  
R(·)
− HiL
  
R(·)
Q
ΓL
KJ
}   
X
ci ⊗ EJ |X ⊗ EK|X, (2.12)
где
SiK
J
  
R(X) := ∂K[F(X)
1 ]i
J
   
R(X)
, (2.13)
а Hi
I — компоненты разложения (2.9). Заметим, что в силу перестановочности повторных производных,
числа SiK
J
  
R(X) обладают свойством симметрии: SiK
J
  
R(X) = SiJ
K
  
R(X).
Таким образом, локальная разгрузка среды второго градиента характеризуется парой тензорных по-
лей (H1,H2), значения которых определяются согласно разложениям (2.9) и (2.12). При фиксированных
криволинейных координатах (QI )3I
=1 им соответствует поле матриц X 7→
(
[Hi
I
  
R(X)], [SiJ
K
  
R(X)]
)
,
где
det[Hi
I
  
R(X)] ̸= 0,
SiK
J
  
R(X) = SiJ
K
  
R(X) , X ∈ SR.
Кроме того, в соответствии с (2.7), выполнено свойство:
∀X ∈ SR :
∂cW2(X, F1, F2)
∂F1
     
F1=H1(X); F2=H2(X)
= N1,
∀X ∈ SR :
∂cW2(X, F1, F2)
∂F2
     
F1=H1(X); F2=H2(X)
= N2.
(2.14)
7◦. Восстановление семейства деформаций. Подобно случаю первого градиента, рассмотрим за-
дачу восстановления семейства деформаций {γ(X)}X∈SR по заданной паре гладких тензорных полей
H1 : SR → End(V) и H2 : SR → Hom(V; End(V)), первое из которых имеет в качестве значений обра-
тимые линейные преобразования, а второе — симметричные тензоры. Кроме того, предполагается, что
эти поля удовлетворяют свойству (2.14).
Зафиксировав точку X ∈ SR, изменим, если нужно, криволинейные координаты (QI )3I
=1 так, чтобы
точке X отвечали их нулевые значения11. Пусть Hi
I
  
R(X) и SiJK
  
R(X) = SiK
J
  
R(X) — соответствующие
функции из разложений (2.9) и (2.12). Тогда относительно пары координат (QI )3I
=1 и (xi)3i
=1 определим
отображение R3 → R3 согласно правилу:
xi(Q1, Q2, Q3) := bi
X + Hi
I
  
R(X) QI + SiJ
K
  
R(X) QJQK, i = 1, 2, 3, (2.15)
где (bi
X)3
i=1 — фиксированная тройка чисел.
Будучи заданным как квадратичная форма, построенное отображение является гладким. Кроме того,
в силу обратимости матрицы [Hi
I
  
R(X)], теорема об обратной функции [17] гарантирует существование
окрестности нуля, в которой (2.15) является диффеоморфизмом. Поэтому, если через NX ⊂ SR обозна-
чить соответствующую окрестность точки X в E, то придем к деформации γ(X) : NX → NeX формы
NX, являющейся частью формы SR, в некоторую другую форму NeX. Отображение (2.15) является ко-
ординатным представлением γ(X); кроме того, по построению
∂xi
∂QI
    
R(X)
= Hi
I
  
R(X) ,
∂2xi
∂QJ∂QK
    
R(X)
= SiJ
K
  
R(X) ,
что влечет равенства F(X)
1 (X) = H1(X) и F(X)
2 (X) = H2(X).
Повторяя проделанную процедуру для всех точек формы SR, приходим к семейству деформаций
{γ(X)}X∈SR, по которому синтезируется пара (H1, H2). Кроме того, для построенного семейства вы-
полняется свойство (2.7), т. е. деформации γ(X) являются разгрузочными. Вместе с тем в отличие от
изначально определенных разгрузочных деформаций, заданных на всей промежуточной форме SR, по-
лученные деформации определены лишь на ее частях. Это обстоятельство не противоречит общей ме-
тодологии настоящей работы, поскольку рассматриваемые части конечны и потому также являются
формами.
11Это всегда можно сделать, используя операцию сдвига в R3.
60
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
8◦. Совместность локальных деформаций. В случае среды второго градиента будем называть
пару (H1,H2) тензорных полей, обладающую свойством (2.14), совместной, если 1) существует деформа-
ция γ0 ∈ Deform (SR; S0) из промежуточной формы SR в некоторую форму S0, для которой выполнено
равенство H1 = Dγ0, и 2) справедливо соотношение H2 = DH1. Таким образом, для γ0 выполняется
свойство
∂cW2(X, F1, F2)
∂F1
     
F1=DX 0; F2=D2X
0
= N1,
∂cW2(X, F1, F2)
∂F2
     
F1=DX 0; F2=D2X
0
= N2,
вытекающее из (2.7). В этом смысле форма S0 является глобальной натуральной.
Заметим, что если пара (H1, H2) совместна, то, в частности, совместно поле локальных дефор-
маций H1. При этом потенциал [1, формула (3.1)], относительно которого определяется натуральное
состояние, индуцирован из cW2:
cW1(X, F) := cW2(X, F, H2(X)).
Вместе с тем из совместности H1 в общем случае не вытекает совместность пары (H1, H2). По этой
причине уместно расширить терминологию:
а) пара (H1,H2) имеет первый порядок совместности, если для некоторой деформации γ0 выполнено
свойство 1), однако свойство 2) не выполнено,
б) пара (H1, H2) имеет второй порядок совместности (или просто совместна), если выполнены оба
свойства 1) и 2),
в) пара (H1, H2) несовместна, если ни одно из свойств 1), 2) не выполнено.
Таким образом, условие совместности [1, формула (3.15)] для случая простого материала дополняется
вторым условием, представленным свойством 2), что приводит к совокупности равенств:
curlH1 = 0,
DH1 = H2.
(2.16)
Их выполнение является необходимым (а в случае односвязности SR и достаточным) для первого и
второго порядка совместности пары (H1, H2). В координатной форме, согласно12 (2.9) и (2.12),
∂JHiK
− ∂KHiJ
= 0,
∂JHiK
= SiJ
K, i, J, K = 1, 2, 3.
Вместе с тем первое из условий (2.16) избыточно, если рассматривать второй порядок совместности.
Действительно, симметрия функций SiJ
K по нижним индексам дает
∂KHiJ
= SiKJ = SiJ
K = ∂JHiK
.
Но это и означает, что curlH1 = 0. Поэтому второму порядку совместности отвечает следующее условие:
DH1 = H2 или ∂JHiK
= SiJ
K, i, J, K = 1, 2, 3. (2.17)
2.3. Геометрическая интерпретация условия совместности
9◦. Поле Λ. Условие совместности (2.17) представим в следующем виде. Принимая во внимание,
что значения поля H1 являются обратимыми линейными преобразованиями, домножим обе части (2.17)
на [
−1
H1]Ii
и просуммируем по i:
[
−1
H1]Ii
∂JHiK
− [
−1
H1]Ii
SiJ
K = 0, I, J, K = 1, 2, 3. (2.18)
Определим скалярные поля ΓI
JK в соответствии с [1, формула (3.18)] и новые поля ΛI
JK по формуле
ΛI
JK := [
−1
H1]Ii
SiJ
K. (2.19)
Тогда равенство (2.18) принимает вид
ΓI
JK
− ΛI
JK = 0, I, J, K = 1, 2, 3. (2.20)
12Для вычисления производной DH1 можно воспользоваться равенством (2.3), где Ai
I = HiI
, а q = x.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 61
В первой части работы [1, предложение 1] уже было показано, что поля ΓI
JK являются коэффициентами
некоторой связности. Установим, что аналогичное свойство выполняется и для полей ΛI
JK.
10◦. Свойства поля Λ. Доказательство того, что поля ΛI
JK являются коэффициентами некоторой
связности, предварим определением закона преобразования полей SiJ
K. Для этого продифференцируем
обе части соотношения [1, формула (3.20)] по новым координатам eQL. Если через e∂L обозначить это
дифференцирование, то полученная формула примет вид
e∂L
^[F(X)] i
J
|Y =
∂2QK
∂eQJ∂eQL
    
eR(Y )
[F(X)]i
K
|Y +
∂QK
∂eQJ
    
eR(Y )
∂QM
∂eQL
    
eR(Y )
∂M[F(X)]i
K
|Y . (2.21)
Полагая в выражении (2.21) Y = X и принимая во внимание определение (2.13), получаем искомый
закон преобразования полей SiJ
K:
eSi
LJ
   
eR(X)
= Si
M K
  
eR(X)
∂QM
∂eQL
    
eR(X)
∂QK
∂eQJ
    
eR(X)
+ HiK
  
eR(X)
∂2QK
∂eQL∂eQJ
    
eR(X)
. (2.22)
Обозначая через SR многообразие, над которым определена промежуточная форма SR, приходим
к следующему утверждению:
Предложение 1. Скалярные функции ΛI
JK являются коэффициентами некоторой аффинной связности
на многообразии SR.
Доказательство. Докажем утверждение методом, аналогичным тому, как было доказано предложение 1
в [1]. Если через eΛI
JK обозначить функции (2.19), определенные относительно координат (eQI )3I=1, то в
соответствии с формулами [1, формула (3.21)] и (2.22) получаем
eΛ
I
JK =
g
[
−1
H]Ii
eSiJ
K =
=
∂eQI
∂QL [
−1
H]Li
(
SiP
R
∂QP
∂eQJ
∂QR
∂eQK
+ Hi
M
∂2QM
∂eQJ∂eQK
)
=
= ΛLP
R
∂eQI
∂QL
∂QP
∂eQJ
∂QR
∂eQK
+
∂eQI
∂QL
∂2QL
∂eQJ∂eQK
.
Последнее выражение приводит к закону преобразования коэффициентов связности в координатном ре-
пере, что и доказывает предложение.
Связность, соответствующая полям ΛI
JK, обозначается через Λ. Из симметрии полей SIJ
K по нижним
индексам следует, что и полученная связность симметрична, т. е. ее кручение равно нулю: T(Λ) = 0.
Получим другие выражения для функций ΛI
JK. С этой целью восстановим по паре (H1,H2) синтези-
рующее ее семейство деформаций {γ(X)}X∈SR. В свою очередь, семейству {γ(X)}X∈SR отвечает семейство
первых градиентов {F(X)
1
}X∈SR и обратных градиентов {
−1
F (X)
1
}X∈SR с разложениями
F(X)
1 = [F(X)
1 ]i
Ici ⊗ EI и
−1
F (X)
1 = [
−1
F (X)
1 ]Ii
EI ⊗ ci
соответственно. Их компоненты связаны соотношениями
[F(X)
1 ]i
J [
−1
F (X)
1 ]Jj
= δij
и [
−1
F (X)
1 ]Ii
[F(X)
1 ]i
J = δIJ
. (2.23)
Дифференцируя обратный градиент
−1
F (X)
1 в точке Y , принадлежащей области определения дефор-
мации γ(X), получаем равенство
DY
−1
F (X)
1 =
{
∂K[
−1
F (X)
1 ]Ij
    
R(·)
+ [
−1
F (X)
1 ]LJ
Q
ΓI
KL
}     
Y
EI |Y ⊗ cj ⊗ EK|Y . (2.24)
Заметим, что рассуждения, приводящие к последнему равенству, аналогичны использованным при вы-
воде формулы (2.6). Полагая теперь Y = X, приходим к тензору третьего ранга
P2(X) := DY
−1
F (X)
1
    
Y =X
,
который по аналогии с имплантом [1, формула (3.12)] назовем гиперимплантом. Из (2.24) следует раз-
ложение для гиперимпланта:
P2(X) =
{
RIK
j
  
R(·)
+ PL
j
  
R(·)
Q
ΓI
KL
}   
X
EI |X ⊗ cj ⊗ EK|X.
62
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
Здесь
RIK
j
  
R(X)
:= ∂K[
−1
F (X)
1 ]Ij
    
R(X)
, (2.25)
а PL
j — компоненты поля имплантов P1 =
−1
H1.
Для того чтобы связать поля RIK
j и SIJ
K, рассмотрим второе из равенств (2.23). Дифференцируя
обе его части по QK, получаем
[F(X)
1 ]i
J∂K[
−1
F (X)
1 ]Ii
+ [
−1
F (X)
1 ]Ii
∂K[F(X)
1 ]i
J = 0,
что при Y = X дает
HiJ
RIK
i + [
−1
H]Ii
SiK
J = 0.
Из последнего равенства и вытекает, что
SiK
J = −Hi
IHj
JRIK
j . (2.26)
Следовательно, наряду с парой (H1, H2), состоящей из полей локальных деформаций и гиперде-
формаций, можно рассматривать пару (P1, P2), состоящую из импланта и гиперимпланта. В терми-
нах элементов этой пары связность Γ определяется формулой [1, (3.26)], а связность Λ, в силу равен-
ства (2.26), — формулой
ΛI
JK = −[
−1
P 1]j
KRIJ
j . (2.27)
Формулу (2.27) можно записать иначе. Для этого, используя правило дифференцирования сложной
функции, получим
∂[
−1
F (X)
1 ]Ij
∂QK = [F(X)
1 ]i
K
∂[
−1
F (X)
1 ]Ij
∂xi
в произвольной точке Y . Переходя теперь к Y = X и учитывая (2.25), придем к равенству
RIK
j = HiK
eR
I
ij , (2.28)
где
eR
I
ij =
∂[
−1
F (X)
1 ]Ij
∂xi
      
Y =X
, eRI
ij = eRI
ji.
Наконец, учитывая равенство (2.28), формулу (2.27) можно преобразовать к виду:
ΛI
JK = −[
−1
P 1]i
J [
−1
P 1]j
K
eR
I
ij .
В таком виде связность Λ определяется в монографии [6, формула (2.59)].
11◦. Тензор неоднородности. Связности Γ и Λ определяют новое поле
D := Γ − Λ (2.29)
с компонентами DIJ
K = ΓI
JK
−ΛI
JK. Поле (2.29) является тензорным полем третьего ранга, в чем мож-
но убедиться, сопоставив законы преобразования коэффициентов связностей Γ и Λ: слагаемые, соответ-
ствующие вторым частным производным, при вычитании взаимно уничтожаются. Следуя терминологии,
предложенной в работе [6], назовем поле D тензором неоднородности.
В общем случае тензор неоднородности D не является симметричным, а его антисимметричная часть
DI
[JK] =
1
2
(DIJ
K
− DIK
J ) (2.30)
пропорциональна кручению связности Γ. Действительно,
DIJ
K = ΓI
JK
− ΓI
KJ + ΓI
KJ
− ΛI
KJ = T(Γ)i
JK + Di
K J ,
что влечет
2DI
[JK] = T(Γ)I
JK.
Таким образом, тензор (2.29) можно представить в виде
D =
1
2
T(Γ) + SymD, (2.31)
где SymD — соответствующая симметричная часть.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 63
12◦. Условие совместности в терминах тензора неоднородности. Согласно определению (2.29)
тензора неоднородности, условие совместности (2.20) может быть записано в окончательном виде:
D(Γ, Λ) = 0 или DIJ
K = 0, I, J, K = 1, 2, 3. (2.32)
Это необходимое (а в случае односвязности SR и достаточное) условие совместности пары (H1, H2).
Заметим, что в случае выполнения условия (2.32) из равенства (2.31) следует, что T(Γ) = 0, т. е.
поле локальных деформаций H1 совместно. Этот результат находится в полном соответствии с установ-
ленном выше свойством, согласно которому совместность второго порядка влечет совместность первого
порядка. Таким образом, в терминах полей кручения и неоднородности предложенную классификацию
совместности деформаций можно записать следующим образом:
а) пара (H1, H2) имеет первый порядок совместности, если T(Γ) = 0, но D ̸= 0,
б) пара (H1, H2) имеет второй порядок совместности, если D = 0,
в) пара (H1, H2) несовместна, если T(Γ) ̸= 0 и D ̸= 0.
2.4. Неевклидова отсчетная форма
13◦. Материальная связность. Связности Вайценбока Γ [1, формула (3.18)], Леви-Чивита
L [1, формула (3.32)] и Λ (2.19) могут служить примерами материальных связностей на SR. Каждой
из них отвечает своя неевклидова отсчетная форма. Вместе с тем можно рассматривать и комбинации
этих трех связностей, образуя разнообразные поля. Действительно, например, подберем такую связность
Δ, чтобы были выполнены следующие условия:
а) кручение Δ совпадает с кручением Γ,
б) кривизна Δ отлична от нуля,
в) в случае совместных деформаций связность Δ является евклидовой связностью.
Простейшим вариантом является связность, определяемая формулой
Δ := L + D, или в компонентах ΔI
JK := LI
JK + DIJ
K. (2.33)
Здесь D — тензор неоднородности (2.29). В явном виде, принимая во внимание, что компоненты ма-
териальной метрики G определены равенством GIJ = δijHi
IHj
J , а также используя формулы [1, (3.18)]
и (2.19), формулу (2.33) можно записать как
ΔI
JK =
GIS
2
(∂JGSK + ∂KGJS − ∂SGJK) + [
−1
H1]Ii
(
∂JHiK
− SiJ
K
)
. (2.34)
Вклад второго градиента в геометрическую структуру представлен полями SiJ
K, которые наряду с HiK
определяют локальную гипердеформацию H2.
Поскольку первое слагаемое в (2.33) является связностью, а второе — тензором третьего ранга, то, со-
ставляя закон преобразования для полей ΔI
JK, можно убедиться в том, что они действительно являются
коэффициентами связности на SR. Полученная связность удовлетворяет требованиям а)–в), указанным
выше. В самом деле, поскольку связности L и Λ симметричны, то
T(Δ) = T(Γ),
то есть кручение связности Δ совпадает с кручением связности Γ. Кроме того, кривизна R(Δ) связно-
сти Δ отлична от нуля, будучи представленной в компонентах выражением
R(Δ)I
ABC = R(L)I
ABC + R(D)I
ABC + LE
BCDI
AE + DE
BCLI
AE
− LE
ACDIB
E
− DE
ACLI
BE.
Здесь R(L) — кривизна, порожденная тензором Леви-Чивита, а R(D) — формальное выражение, которое
представляет «кривизну», порожденную тензором D. Наконец, если деформации совместны, то D = 0 и
потому связность Δ совпадает со связностью Леви-Чивита. Но связность Леви-Чивита в этом случае
сама порождается совместными деформациями, и потому ее кривизна равна нулю. Следовательно, в
случае совместных деформаций Δ является евклидовой связностью.
Связность Δ можно в определенном смысле рассматривать как модификацию связности Леви-Чиви-
та L для случая второго градиента. Аналогичная модификация связности Вайценбока Γ приводит к
полю
eΔ
:= Γ + D, или в компонентах eΔI
JK := ΓI
JK + DIJ
K. (2.35)
64
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
В явном виде поле (2.35) представлено выражением
eΔ
I
JK = [
−1
H1]Ii
(
2∂JHiK
− SiJ
K
)
. (2.36)
Рассуждениями, аналогичными тем, что касались поля Δ, можно установить, что поле eΔ также явля-
ется связностью на SR. Эта связность удовлетворяет свойствам б) и в), и с точностью до множителя
удовлетворяет свойству а):
T( eΔ) = 2T(Γ).
В рамках физических приложений геометрия, определяемая связностью (2.33) (или (2.35)), могла
бы быть полезна в случае одновременного наличия дислокаций, дисклинаций и точечных дефектов13 в
кристалле. Отметим, что, по-видимому, первое указание на то, что в рамках второго градиента можно
эффективно смоделировать наличие дислокаций и дисклинаций, содержится в работе [22].
14◦. Структура неевклидовой формы. Связность Δ, определенная согласно формуле (2.33), мате-
риальная метрика G, заданная формулой [1, формула (3.28)], и соответствующая метрике форма объема
μ = dVG задают на многообразии SR структуру пространства с неевклидовой связностью:
SR = (SR, G, dVG, Δ). (2.37)
Пространство SR является искомой неевклидовой отсчетной формой над материальным многообразием,
соответствующей теории второго градиента. Его геометрия характеризуется полями кручения T(Γ), кри-
визны R(Δ) и неметричности Q(Δ). Подобно тому как это было сделано в работе [10], можно показать,
что эти поля не зависят от выбора промежуточной формы SR.
Заменяя материальную связность (2.33) на связность (2.35), от неевклидовой формы (2.37) можно
перейти к неевклидовой форме
eS
R = (SR, G, dVG, eΔ). (2.38)
Форму eSR также следует считать искомой, поскольку в рамках построений настоящей статьи нет ника-
кого способа предпочесть форму (2.37) форме (2.38). Следовательно, здесь возникает та же ситуация,
что и для простого материала, где в качестве материальной можно выбирать как связность Вайценбока,
так и связность Леви-Чивита.
2.5. Пример синтезирования неевклидовой формы
15◦. Семейство деформаций. Проиллюстрируем рассуждения на примере центрально-симметрич-
ного деформирования промежуточной формы
SR = {X ∈ E : Ri < ∥X − o∥ < Re}, (2.39)
развивая соответствующий пример из [1]. Именно предположим, что определено семейство {γ()}
∈]Ri; Re[
деформаций γ() : SR → S(), для которого выполнены условия:
а) при каждом значении параметра ρ ∈]Ri, Re[ деформация центрально-симметрична. Кроме того, для
всех точек сферы L = {X ∈ E : ∥X − o∥ = ρ} справедливо свойство:
∀X ∈ L :
∂cW2(X, F1, F2)
∂F1
     
F1=DX (); F2=D2X
()
= N1,
∀X ∈ L :
∂cW2(X, F1, F2)
∂F2
     
F1=DX (); F2=D2X
()
= N2,
б) в сферических координатах (r, θ, φ) каждая деформация γ() имеет представление [1, (3.35)].
16◦. Синтезирование поля локальных гипердеформаций. Используя матрицу компонент пер-
вого градиента F()
1 [1, формула (3.37)], получим гиперматрицу [∂K[F()
1 ]i
J ] частных производных от
этих компонент. Ей соответствуют следующие три 3 × 3-матрицы:
[∂K[F()
1 ]1
J ] =


ω(ρ)f′′
0 (R) sinΘcosΦ ω(ρ)f′
0(R) cosΘcosΦ −ω(ρ)f′
0(R) sinΘsinΦ
ω(ρ)f′
0(R) cosΘcosΦ −ω(ρ)f0(R) sin θ cosΦ −ω(ρ)f0(R) cosΘsinΦ
−ω(ρ)f′
0(R) sinΘsinΦ −ω(ρ)f0(R) cosΘsinΦ −ω(ρ)f0(R) sinΘcosΦ

,
[∂K[F()
1 ]2
J ] =


ω(ρ)f′′
0 (R) sinΘsinΦ ω(ρ)f′
0(R) cosΘsinΦ ω(ρ)f′
0(R) sinΘcosΦ
ω(ρ)f′
0(R) cosΘsinΦ −ω(ρ)f0(R) sin θ sinΦ ω(ρ)f0(R) cosΘcosΦ
ω(ρ)f′
0(R) sinΘcosΦ ω(ρ)f0(R) cosΘcosΦ −ω(ρ)f0(R) sinΘsinΦ

,
13Поскольку неметричность [1, формула (3.34)] связности Δ в общем случае отлична от нуля.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 65
[∂K[F()
1 ]3
J ] =


ω(ρ)f′′
0 (R) cosΘ −ω(ρ)f′
0(R) sinΘ 0
−ω(ρ)f′
0(R) sinΘ −ω(ρ)f0(R) cosΘ 0
0 0 0

 .
Полагая теперь, в соответствии с (2.13), R = ρ и заменяя затем все вхождения ρ на R, приходим к
матрицам:
[S1
JK] =


ω(R)f′′
0 (R) sinΘcosΦ ω(R)f′
0(R) cosΘcosΦ −ω(R)f′
0(R) sinΘsinΦ
ω(R)f′
0(R) cosΘcosΦ −ω(R)f0(R) sin θ cosΦ −ω(R)f0(R) cosΘsinΦ
−ω(R)f′
0(R) sinΘsinΦ −ω(R)f0(R) cosΘsinΦ −ω(R)f0(R) sinΘcosΦ

,
[S2
JK] =


ω(R)f′′
0 (R) sinΘsinΦ ω(R)f′
0(R) cosΘsinΦ ω(R)f′
0(R) sinΘcosΦ
ω(R)f′
0(R) cosΘsinΦ −ω(R)f0(R) sin θ sinΦ ω(R)f0(R) cosΘcosΦ
ω(R)f′
0(R) sinΘcosΦ ω(R)f0(R) cosΘcosΦ −ω(R)f0(R) sinΘsinΦ

,
[S3
JK] =


ω(R)f′′
0 (R) cosΘ −ω(R)f′
0(R) sinΘ 0
−ω(R)f′
0(R) sinΘ −ω(R)f0(R) cosΘ 0
0 0 0

,
(2.40)
которыми, наряду с матрицей [1, (3.38)], определяется поле локальных гипердеформаций H2.
17◦. Синтезирование геометрии. Метрический тензор G, связность Леви-Чивита L и связность
Вайценбока Γ синтезированы в рамках примера из статьи [1] и представлены формулами [1, (3.39)],
[1, (3.40)] и [1, (3.42)] соответственно. В свою очередь, связность Λ определяется по (2.19) и в силу
формул [1, (3.38)] и (2.40) ее отличные от нуля коэффициенты имеют вид:
Λ1
11 =
f′′
0
f′
0
, Λ1
22 = −f0
f′
0
, Λ1
33 = −f0 sin2 Θ
f′
0
,
Λ2
12 = Λ2
21 = Λ3
13 = Λ3
31 =
f′
0
f0
, Λ2
33 = −sinΘcosΘ, Λ3
23 = Λ3
32 = cotΘ.
Полученным выражениям для коэффициентов связностей Γ и Λ отвечает тензор неоднородности D с ком-
понентами
D1
11 = D2
12 = D3
13 =
ω′
ω
. (2.41)
Следовательно, подобно случаю первого градиента, условие совместности поля локальных деформаций
представлено равенством ω′ = 0.
Подстановка соотношений [1, (3.40)] и (2.41) в общую формулу (2.33) приводит к следующим выра-
жениям для коэффициентов связности Δ:
Δ1
11 =
f′′
0
f′
0
+ 2
ω′
ω
, Δ1
22 = −f0(ωf′
0 + f0ω′)
ω[f′
0]2 , Δ1
33 = −f0(ωf′
0 + f0ω′) sin2 Θ
ω[f′
0]2 ,
Δ2
12 = Δ3
13 =
f′
0
f0
+ 2
ω′
ω
, Δ2
21 = Δ3
31 =
f′
0
f0
+
ω′
ω
,
Δ2
33 = −sinΘcosΘ, Δ3
23 = Δ3
32 = cotΘ.
(2.42)
Кручение связности Δ совпадает с кручением связности Γ и представлено выражениями [1, формула
(3.43)]. Помимо этого, в рамках рассматриваемой модельной задачи кривизна связности Δ совпадает
с кривизной связности Леви-Чивита L. В частности, скалярная кривизна представлена выражением [1,
формула (3.41)]. Наконец, тензор неметричности связности Δ [1, формула (3.34)] характеризуется сле-
дующими компонентами:
Q111 = 2ωω
′
[f
′
0]2, Q122 = 2ωω
′
f2
0 , Q133 = 2ωω
′
f2
0 sin2 Θ.
Соотношения [1, (3.39)] и (2.42) определяют неевклидову форму (2.37) частного вида. Мера несов-
местности деформаций, представленная тензором D, одновременно характеризует отклонение геометрии
от евклидовой.
3. Синтезирование неевклидовой отсчетной формы для среды
с микроструктурой
3.1. Микроморфный континуум
18◦. Деформации. В заключение рассмотрим микроморфный континуум — среду, точки кото-
рой, наряду с трансляционными степенями свободы, имеют дополнительные степени свободы, т. е.
обладают внутренней структурой. Деформация континуума представлена парой (γ, M), где γ ∈
66
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
Deform (SR; S) — макродеформация, соответствующая деформации в рамках теории простого матери-
ала, а M : SR → End(V) — микродеформация, являющаяся полем обратимых линейных отображений,
характеризующим изменение внутренней структуры частиц среды. Предположим, что упругий потенци-
ал относительно промежуточной формы SR представлен отображением [23]
SR × End(V) × End(V) × Hom(V; End(V)) ∋ (X, F, M1, M2) 7→ cW3(X, F, M1, M2) ∈ R. (3.1)
Тогда отклик тела в точке X ∈ SR характеризуется равенством
W = cW3(X, F(X), M(X), DXM),
где F(X) = DXγ — градиент макродеформации γ в точке X. Отметим, что в частном случае, если
положить M = F, то придем к среде второго градиента.
19◦. Координатное представление деформаций. В паре криволинейных координат (QI )3I
=1 и
(qi)3i
=1, ассоциированных с формами SR и S соответственно, градиент макродеформации F представ-
лен разложением [1, (3.4)]. Аналогичным образом в виде двухточечного разложения представим мик-
родеформацию M:
M(X) = Mi
I
  
X ei|
(X)
⊗ EI |X.
Тогда, в соответствии с формулой (2.3), для градиента DXM справедливо разложение
DXM =
{
∂KMiJ
  
R(·) +MlJ
Fj
K
q
Γi
jl
   
(·)
−MiL
Q
ΓL
KJ
}    
X
ei|
(X)
⊗ EJ |X ⊗ EK|X.
В дальнейшем в качестве координат (qi)3i
=1 выбираются прямоугольные координаты (xi)3i
=1.
Замечание 2. Тело с микроструктурой деформируется более сложным образом, чем простой мате-
риал. Как и в случае последнего, деформация тела с микроструктурой сопровождается изменением
формы, т. е. области физического пространства, занимаемой телом. Это изменение определяется
отображением γ. Однако (и в этом состоит отличие от простого материала) наряду с изменением
формы меняются и положения элементов внутри микроструктуры [24], моделируемой касательным
пространством к SR в рамках первого приближения. Именно поэтому, независимо от γ, задано двух-
точечное тензорное поле M, определяющее изменение положений элементов микроструктуры.
3.2. Семейство форм и условие совместности
20◦. Гипотеза локальной разгрузки. В случае микроморфного континуума гипотеза локаль-
ной разгрузки принимается в следующем виде. Пусть фиксированы тензоры N1 ∈ End(V) и N2 ∈
∈ Hom(V; End(V)), и пусть выбрана промежуточная форма SR вместе с упругим потенциалом (3.1).
Далее предположим, что определено семейство пар {(γ(X), M(X))}X∈SR, состоящих из макродеформа-
ций γ(X) : SR → S(X) и микродеформаций M(X) : SR → End(V), такое, что в любой точке X ∈ SR
выполнено условие
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂F
     
F=F(X)(X);M1=M(X)(X); M2=DXM(X)
= N1,
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂M2
     
F=F(X)(X);M1=M(X)(X); M2=DXM(X)
= N2.
(3.2)
Здесь F(X) = Dγ(X) — градиент макродеформации γ(X).
21◦. Синтезирование локальных макродеформаций и микродеформаций. Опираясь на опре-
деление [1, (3.8)], синтезируем поле локальных макродеформаций H : SR → End(V). В каждой точке
X ∈ SR локальная макродеформация H(X) имеет разложение [1, (3.11)], совпадающее с разложением
локальной деформации в случае среды первого градиента.
По семейству {M(X)}X∈SR синтезируем новые тензорные поля. Прежде всего, положим
A(X) :=M(X)(X), X ∈ SR. (3.3)
Совокупности обратимых тензоров A(X) отвечает поле A : SR → End(V), которое будем полагать
гладким. В координатном представлении,
A = Ai
Ici ⊗ EI . (3.4)
Далее, синтезируем тензор третьего ранга
B(X) := DYM(X)
   
Y =X
, X ∈ SR
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 67
и назовем его локальной микродеформацией. Приходим к полю B : SR → Hom(V; End(V)), которое
также предположим гладким. Отметим, что в отличие от второго градиента макродеформации γ, это
поле в общем случае не является симметричным по нижним индексам. Формула (2.3) влечет следующее
представление для B(X), подобное (2.12):
B(X) =
{
SiK
J
  
R(·)
− HiL
  
R(·)
Q
ΓL
KJ
}   
X
ci ⊗ EJ |X ⊗ EK|X, (3.5)
в котором, однако, величины
SiK
J
  
R(X) := ∂K[M(X)]i
J
   
R(X)
(3.6)
уже несимметричны по нижним индексам.
Таким образом, локальная разгрузка микроморфной среды характеризуется тройкой тензорных полей
(H, A, B), определяемых разложениями [1, (3.11)], (3.4) и (3.5). При фиксированных криволинейных
координатах (QI )3I
=1 им соответствует поле матриц X 7→
(
[Hi
I
  
R(X)], [Ai
I
  
R(X)], [SiJ
K
  
R(X)]
)
,
где
det[Hi
I
  
R(X)] ̸= 0,
det[Ai
I
  
R(X)] ̸= 0,
SiK
J
  
R(X)
̸= SiJ
K
  
R(X) , X ∈ SR.
Кроме того, в соответствии с (3.2) выполнено свойство:
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂F
     
F=H(X);M1=A(X); M2=B(X)
= N1,
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂M2
     
F=H(X);M1=A(X); M2=B(X)
= N2
(3.7)
во всех точках X ∈ SR.
22◦. Совместность локальных деформаций. Назовем тройку (H, A, B) тензорных полей, обла-
дающих свойством (3.7), совместной, если 1) существует деформация γ0 ∈ Deform (SR; S0) из промежу-
точной формы SR в некоторую форму S0, для которой выполнено равенство H = Dγ0, и 2) существует
поле обратимых линейных преобразований M0 : SR → End(V) такое, что A =M0 и B = DM0. В этом
случае для пары (γ0, M0) выполняется свойство
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂F
     
F=DX 0;M1=M0(X); M2=DXM0
= N1,
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂M2
     
F=DX 0;M1=M0(X); M2=DXM0
= N2,
вытекающее из (3.7), и потому форма S0 является глобальной натуральной.
Как и в случае среды второго градиента, если тройка (H,A,B) совместна, то, в частности, совместно
поле локальных деформаций H. Потенциал [1, (3.1)], относительно которого определяется натуральное
состояние, индуцирован из cW3:
cW1(X, F) := cW3(X, F, A(X), B(X)).
Однако из совместности H в общем случае не вытекает совместность всей тройки (H, A, B). Подобно
среде второго градиента, можно соответствующим образом расширить терминологию.
На основании условий 1) и 2), условие совместности для среды с микроморфной кинематикой можно
представить в виде совокупности равенств:
curlH = 0,
DA = B.
В координатной форме, согласно [1, (3.11)], (3.4) и (3.5),
∂JHiK
− ∂KHiJ
= 0, (3.8)
∂JAi
K
− SiJ
K = 0, i, J, K = 1, 2, 3. (3.9)
Заметим, что в отличие от случая второго градиента полученные соотношения независимы.
68
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
3.3. Геометрическая интерпретация условия совместности
23◦. Поля Σ и Λ. Выполним следующее преобразование условия совместности (3.8)–(3.9). Поскольку
матричные поля [Hi
I ] и [Ai
I ] обратимы, домножим обе части равенства (3.8) на [
−1
H]Ii
, а обе части (3.9) —
на [
−1
A]Ii
, произведя в обоих случаях суммирование по i. Тем самым придем к следующей совокупности
соотношений, эквивалентных исходным:
[
−1
H]Ii
∂JHiK
− [
−1
H]Ii
∂KHiJ
= 0,
[
−1
A]Ii
∂JAi
K
− [
−1
A]Ii
SiJ
K = 0, i, J, K = 1, 2, 3.
(3.10)
Задавая поля ΓI
JK по формуле [1, формула (3.18)] и вводя новые поля ΣI
JK по формуле, аналогич-
ной [1, формула (3.18)],
ΣI
JK := [
−1
A]Ii
∂JAi
K, (3.11)
и поля ΛI
JK по аналогии с (2.19) как
ΛI
JK := [
−1
A]Ii
SiJ
K, (3.12)
можно переписать равенства (3.10) в лаконичном виде:
ΓI
JK
− ΓI
KJ = 0,
ΣI
JK
− ΛI
JK = 0, i, J, K = 1, 2, 3.
(3.13)
24◦. Кручение и тензор неоднородности. Каждое из полей ΓI
JK, ΣI
JK и ΛI
JK задает связность
на SR. Действительно, для первого поля это уже было установлено при рассмотрении среды первого
градиента; второе поле рассматривается аналогично. В случае третьего поля можно дословно повторить
доказательство предложения 1. Отметим, что, в отличие от своего аналога из теории второго градиента,
поля (3.12) несимметричны.
Таким образом, равенства (3.13) можно записать как
T(Γ)I
JK = 0,
DI
JK = 0, i, J, K = 1, 2, 3,
(3.14)
где T(Γ) — кручение связности Γ, а
D := Σ − Λ (3.15)
— аналог тензора неоднородности. Тем самым показано, что в случае микроморфного континуума меры
несовместности представлены независимыми полями кручения T(Γ) и неоднородности D.
Тензор неоднородности D не симметричен по нижним индексам, а его антисимметричная часть с
компонентами (2.30) пропорциональна разности кручений связностей Σ и Λ. Действительно,
DIJ
K = ΣI
JK
− ΛI
JK =
= ΣI
JK
− ΣI
KJ + ΣI
KJ
− ΛI
JK =
= T(Σ)I
JK + ΣI
KJ
− ΛI
JK =
= T(Σ)I
JK + ΣI
KJ
− ΛI
KJ + ΛI
KJ
− ΛI
JK =
= T(Σ)I
JK
− T(Λ)I
JK + DIK
J ,
что и приводит к равенству
2DI
[JK] = T(Σ)I
JK
− T(Λ)I
JK.
3.4. Неевклидова отсчетная форма
25◦. Материальная связность. Связности Вайценбока Γ [1, формула (3.18)], Леви-Чивита L
[1, формула (3.32)], и новые связности Σ (3.11), Λ (3.12) служат примерами материальных связностей
на SR, каждой из которых отвечает своя неевклидова отсчетная форма. Наряду с этим, можно рас-
сматривать и комбинации этих связностей. Примером может служить связность Δ, заданная формулой
Δ := L + D, (3.16)
аналогичной (2.33). В явном виде, принимая во внимание формулу (3.15), а также определения (3.11)
и (3.12), получаем выражение
ΔI
JK =
GIS
2
(∂JGSK + ∂KGJS − ∂SGJK) + [
−1
A]Ii
(
∂JAi
K
− SiJ
K
)
. (3.17)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 69
Кручение связности Δ определяется равенством
T(Δ) = T(Σ) − T(Λ),
а кривизна в общем случае отлична от нуля.
Альтернативную связность на SR можно получить, если вместо связности Леви-Чивита L исполь-
зовать связность Вайценбока Γ. Действительно, положим
eΔ
:= Γ + D. (3.18)
По форме построенная связность напоминает связность (2.35), однако, если раскрыть определения вхо-
дящих в нее полей, то выражение для ее коэффициентов имеет иной вид:
eΔ
I
JK = [
−1
H1]Ii
∂JHiK
+ [
−1
A]Ii
(
∂JAi
K
− SiJ
K
)
. (3.19)
Кручение связности (3.18) определяется формулой
T( eΔ) = T(Γ) + T(Σ) − T(Λ).
Заметим, что если локальные деформации совместны (т. е. выполнены равенства (3.14)), то связ-
ность, определяемая формулой (3.16) (или (3.18)), является евклидовой. Поэтому она также может быть
полезна для моделирования несовместных деформаций, возникающих в средах с дефектами.
Замечание 3. В частном случае, когда микродеформация полагается равной градиенту деформации,
теория среды с микроструктурой сводится к теории среды второго градиента. Тогда формула (3.17)
переходит в формулу (2.34), а формула (3.19) — в формулу (2.36).
26◦. Структура неевклидовой формы. Связность Δ (3.16), материальная метрика G [1, форму-
ла (3.28)], и соответствующая метрике форма объема μ = dVG вводят на многообразии SR структуру
пространства с неевклидовой связностью:
SR = (SR, G, dVG, Δ). (3.20)
Пространство SR является примером неевклидовой отсчетной формы над материальным многообразием,
соответствующей континууму с микроструктурой.
Если вместо материальной связности (3.16) использовать связность (3.18), то придем к альтернатив-
ному представлению неевклидовой формы:
eS
R = (SR, G, dVG, eΔ). (3.21)
Как и форма (3.20), синтезированная форма (3.21) в равной степени пригодна для моделирования гло-
бального натурального состояния тела с микроструктурой. Выбор определенной формы требует иных
соображений, выходящих за рамки статьи.
3.5. Расширенное описание для тела с микроструктурой
27◦. Материальное и физическое расслоения. В силу наличия дополнительного тензорного по-
ля M, не связанного с преобразованием форм γ, кинематика сред с микроструктурой отличается от
кинематики простого материала и сред второго градиента. В этой связи целесообразно поставить вопрос
о том, можно ли, поменяв соответствующим образом описание форм, представить деформацию среды
с микроструктурой как изменение форм, понимаемых в расширенном смысле. Ответ на этот вопрос
положительный.
Действительно, естественным формализмом, пригодным для построения расширения форм, является
теория расслоений, восходящая к работам Фельдбау, Эресманна и Стинрода14 [27–29]. В рамках этого
формализма над отсчетной формой B и физическим пространством E выстраиваются тотальные про-
странства локально тривиальных расслоений с одним и тем же типовым слоем F. В явном виде эти
расслоения определены структурами [30]
ξB = (B, B, πB, F) (3.22)
— материальное расслоение и
ξE = (E, E, πE , F) (3.23)
— физическое расслоение, где B и E — гладкие многообразия, представляющие тотальные пространства
расслоений, а πB : B → B и πE : E → E — гладкие сюръективные отображения. Многообразие F —
общий элемент структур ξB и ξE — представляет типовой слой расслоения.
14По-видимому, первое определение расслоения было дано в работе Уитни [25], хотя частные случаи использовались
и ранее, например, Зейфертом [26].
70
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
Предполагается, что расслоения (3.22) и (3.23) локально тривиальны. Это означает (случай расслое-
ния ξE идентичен рассмотренному далее), что для любой точки X ∈ B существуют окрестность U в B и
диффеоморфизм Φ : π
−1
B (U) → U ×F, называемый локальной тривиализацией, такие, что prU
◦ Φ = πB,
где prU : U × F → U — проекция декартова произведения на первый сомножитель. Таким образом,
локально диффеоморфизм Φ должен иметь представление Φ(p) = (πB(p), φ(p)) для некоторого гладко-
го отображения φ : π
−1
B (U) → F, свойства которого зависят от частного вида расслоения. Примеры
материальных расслоений и их физическую интерпретацию можно найти в работе [31].
28◦. Дополненные деформации. Тотальные пространства B и E расслоений (3.22) и (3.23) над
отсчетной формой B и физическим пространством E определяют дополненную отсчетную форму и до-
полненное физическое пространство соответственно. Каждой форме S ⊂ E соответствует дополненная
форма S ⊂ E, определяемая как прообраз S = π
−1
E (S).
Дополненная деформация определяется как отображение κ : B → S, удовлетворяющее свойству
χ ◦ πB = πE ◦ κ, где χ : B → S — классическая деформация. Таким образом, в специально подобран-
ных локальных координатах на тотальных пространствах можно записать
eκ(Q1, Q2, Q3; f1, . . . , fm) = (eχ(Q1, Q2, Q3); τ (Q1, Q2, Q3; f1, . . . , fm)).
Здесь (QI )3I
=1 — локальные координаты на форме B, а (fa)m
a=1 — локальные координаты на типовом
слое F. Тильдами сверху обозначены координатные представления соответствующих отображений. Отоб-
ражение τ : R3+m → Rm определяет тип микроструктуры.
В рамках описания микроструктуры, используемого в настоящей работе, в качестве расслоений (3.22)
и (3.23) достаточно выбрать касательные расслоения. Несмотря на их тривиальность в случае трехмер-
ных тел, они перестают быть тривиальными при рассмотрении материальных поверхностей. При таком
выборе представление дополненной деформации есть не что иное, как пара [31] (γ, M). Этим получен
желаемый результат: формализм касательных расслоений позволяет интерпретировать пару (γ,M) как
одно точечное отображение между касательными пространствами.
Использование формализма расслоений приводит к необходимости модифицировать геометрический
язык для описания неевклидовой отсчетной формы. Вместо теории аффинных связностей применяется
более общая теория связностей на расслоениях. Подробно этот вопрос рассмотрен в работе [32].
3.6. Пример синтезирования неевклидовой формы
29◦. Семейство деформаций. Завершим основные построения настоящего раздела модельным при-
мером. Предположим, что промежуточная форма SR является полым шаром (2.39) и, что на ней задано
семейство {(γ(), M())}
∈]Ri; Re[, состоящее из макродеформаций γ() : SR → S() и микродеформаций
M() : SR → End(V). Это семейство подчиняется следующим условиям:
а) для любого ρ ∈]Ri, Re[ макродеформация γ() является центрально-симметричной и имеет представ-
ление [1, (3.35)] в сферических координатах (r, θ, φ);
б) для каждого ρ ∈]Ri, Re[ микродеформация M()(X) в точках X сферы L = {X ∈ E : ∥X −o∥ = ρ}
является поворотом материальных элементов вокруг базисного вектора ER(X) на угол τ (ρ);
в) для всех точек сферы L справедливы соотношения:
∀X ∈ L :
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂F
     
F=DX (); M1=M()(X); M2=DXM()
= N1,
∀X ∈ L :
∂cW3(X, F, M1, M2)
∂M2
     
F=DX (); M1=M()(X); M2=DXM()
= N2.
Явный вид тензора M()(X), задающего поворот вокруг оси, определяемой единичным вектором k =
= ER(X), на угол τ (ρ), может быть определен в соответствии с формулой Родрига [33; 34]. Относительно
диадного базиса ci ⊗ cj тензор M()(X) представлен матрицей
[M()(X)]d = E + (sin τ (ρ))K + (1 − cos τ (ρ))K.K,
где E — единичная матрица, а
K =


0 −k3 k2
k3 0 −k1
−k2 k1 0


Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 54–76
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 54–76 71
— матрица, составленная из компонент вектора k = kici. Тогда матрица M()(X) относительно смешан-
ного диадного базиса ci ⊗ EI определяется по формуле
[M()(X)] = [M()(X)]d.T,
где T — матрица перехода от базиса (ci)3i
=1 к базису (ER, E, E) в точке X.
Окончательно
[M()]i
J =
2
4
sincos R(coscoscos () ???? sinsin ()) ????Rsin (cos () sin + coscossin ())
sinsin R(coscos () sin + cossin ()) Rsin (coscos () ???? cossinsin ())
cos ????Rcos () sin Rsin2 sin ()
3
5 :
(3.24)
30◦. Синтезирование поля локальных деформаций. Поле H локальных макродеформаций опре-
делено в [1] и представлено формулой [1, (3.38)]. Осталось определить поля A и B, соответствующие
локальным микродеформациям. Первое из них синтезируется по формуле (3.3). Полагая в (3.24) R = ρ
и заменяя затем все переменные ρ на R, получаем
[Ai
J ] =
2
4
sincos R(coscoscos (R) ???? sinsin (R)) ????Rsin (cos (R) sin + coscossin (R))
sinsin R(coscos (R) sin + cossin (R)) Rsin (coscos (R) ???? cossinsin (R))
cos ????Rcos (R) sin Rsin2 sin (R)
3
5 :
(3.25)
Для синтезирования поля B требуется еще определить скалярные поля SiJ
K в соответствии с (3.6).
С этой целью получим гиперматрицу [∂K[M()]i
J ], дифференцируя элементы матрицы (3.24). В резуль-
тате придем к следующим матрицам:
[@K[M()]1
J ] =
2
4
0 cosΘcosΦcos () ???? sinΦsin () ????sin Θ(cos () sinΦ + cosΘcosΦsin ())
cosΘcosΦ ????RcosΦcos () sinΘ ????R(cosΘcos () sinΦ + cos 2Θ cosΦsin ())
????sinΘsinΦ ????R(cosΘcos () sinΦ + cosΦsin ()) Rsin Θ(cosΘsinΦsin () ???? cosΦcos ())
3
5;
[@K[M()]2
J ] =
2
4
0 cosΘcos () sinΦ + cosΦsin () sin Θ(cosΦcos () ???? cosΘsinΦsin ())
cosΘsinΦ ????Rcos () sinΘsinΦ R(cosΘcosΦcos () ???? cos 2Θ sinΦsin ())
cosΦsinΘ R(cosΘcosΦcos () ???? sinΦsin ()) ????Rsin Θ(cos () sinΦ + cosΘcosΦsin ())
3
5;
[@K[M()]3
J ] =
2
4
0 ????cos () sinΘ sin2 Θsin ()
????sinΘ ????RcosΘcos () Rsin 2Θ sin ()
0 0 0
3
5:
Из них при ρ = R вытекают представления для искомых функций:
[S1K
J ] =
2
4
0 cosΘcosΦcos (R) ???? sinΦsin (R) ????sin Θ(cos (R) sinΦ + cosΘcosΦsin (R))
cosΘcosΦ ????RcosΦcos (R) sinΘ ????R(cosΘcos (R) sinΦ + cos 2Θ cosΦsin (R))
????sinΘsinΦ ????R(cosΘcos (R) sinΦ + cosΦsin (R)) Rsin Θ(cosΘsinΦsin (R) ???? cosΦcos (R))
3
5;
[S2K
J ] =
2
4
0 cosΘcos (R) sinΦ + cosΦsin (R) sin Θ(cosΦcos (R) ???? cosΘsinΦsin (R))
cosΘsinΦ ????Rcos (R) sinΘsinΦ R(cosΘcosΦcos (R) ???? cos 2Θ sinΦsin (R))
cosΦsinΘ R(cosΘcosΦcos (R) ???? sinΦsin (R)) ????Rsin Θ(cos (R) sinΦ + cosΘcosΦsin (R))
3
5 ; (3.26)
[S3K
J ] =
2
4
0 ????cos (R) sinΘ sin2 Θsin (R)
????sinΘ ????RcosΘcos (R) Rsin 2Θ sin (R)
0 0 0
3
5:
31◦. Синтезирование геометрии. Поскольку метрический тензор G, связность Леви-Чивита L и
связность Вайценбока Γ определяются по полю локальных макродеформаций H, то их выражения из-
вестны и представлены формулами [1, (3.39), (3.40), (3.42)] соответственно. Новыми являются выражения
для связностей Σ, Λ и результирующей связности Δ.
Коэффициенты связности Σ определяются в соответствии с общей формулой (3.11). Принимая во
внимание выражение (3.25) для поля A, приходим к равенствам (приведены только те функции, которые
отличны от нуля)
Σ1
22 = −Rcos τ (R), Σ1
23 = RsinΘsin τ (R), Σ1
32 = −RsinΘsin τ (R),
Σ1
33 = −Rcos τ (R) sin2 Θ, Σ2
12 = Σ3
13 = 1
R, Σ2
13 = −sinΘτ ′(R),
Σ2
21 =
cos τ (R)
R
, Σ2
31 =
sinΘsin τ (R)
R
, Σ2
33 = −cosΘsinΘ,
Σ3
12 = cscΘτ ′(R), Σ3
21 = −cscΘsin τ (R)
R
, Σ3
23 = Σ3
32 = cotΘ, Σ3
31 =
cos τ (R)
R
.
(3.27)
Из представленных выражений следует, что связность Σ несимметрична, т. е. обладает ненулевым кру-
чением. Отметим, что последнее отлично от кручения связности Γ.
72
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть II. Второй градиент и микроструктура
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part II. Second gradient and microstructure
Связность Λ определяется согласно формуле (3.12). Учитывая соотношение (3.25) для поля A и
формулу (3.26), определяющую частный вид полей SiJ
K, получаем следующие соотношения:
Λ1
22 = −Rcos τ (R), Λ1
23 = RsinΘsin τ (R), Λ1
32 = −RsinΘsin τ (R),
Λ1
33 = −Rcos τ (R) sin2 Θ, Λ2
12 = Λ3
13 =
1
R
,
Λ2
21 =
cos τ (R)
R
, Λ2
31 =
sinΘsin τ (R)
R
, Λ2
33 = −cosΘsinΘ,
Λ3
21 = −cscΘsin τ (R)
R
, Λ3
23 = Λ3
32 = cotΘ, Λ3
31 =
cos τ (R)
R
.
(3.28)
Несмотря на то что большинство соответствующих коэффициентов связностей Σ и Λ совпадает, между
ними все же есть отличные друг от друга. Например, Λ2
13 = 0, в то время как Σ2
13 = −sinΘτ ′(R).
Мера отличия связностей друг от друга представлена тензором неоднородности (3.15), отличные от
нуля компоненты которого, в соответствии с (3.27) и (3.28), имеют вид:
D2
13 = −sinΘτ
′
(R), D3
12 = cscΘτ
′
(R). (3.29)
Следовательно, с учетом выражений [1, (3.43)] для кручения связности Γ условия совместности (3.14)
локальных деформаций в рассматриваемом модельном случае имеют вид
ω
′
= 0 и τ
′
= 0.
Подстановка соотношений [1, (3.40)] для коэффициентов связности Леви-Чивита и равенств (3.29) в
общую формулу (3.16) приводит к следующим выражениям для коэффициентов связности Δ:
Δ1
11 =
ω′
ω
+
f′′
0
f′
0
, Δ1
22 = −f0(ωf′
0 + f0ω′)
ω[f′
0]2 , Δ1
33 = −f0 sin2 Θ(ωf′
0 + f0ω′)
ω[f′
0]2 ,
Δ2
12 = Δ2
21 = Δ3
13 = Δ3
31 =
ω′
ω
+
f′
0
f0
, Δ2
13 = −sinΘτ
′
(R), Δ2
33 = −cosΘsinΘ,
Δ3
12 = cscΘτ ′(R), Δ3
23 = Δ3
32 = cotΘ.
(3.30)
Кручение связности Δ отлично от нуля и представлено следующими компонентами:
T2
13 = −T2
31 = −sinΘτ
′
(R), T3
12 = −T3
21 = cscΘτ
′
(R).
Кривизна связности Δ также отлична от нуля. В частности, скалярная кривизна имеет вид [1, (3.41)].
Неметричность равна нулю.
Формулы [1, (3.39)] и (3.30) определяют неевклидову форму (3.20). Меры несовместности деформа-
ций, представленные полем кручения связности Γ и тензором неоднородности D, одновременно харак-
теризуют отличие геометрии от евклидовой.
Заключение
Геометрический метод, изложенный в статье [1], обобщен в настоящей работе на тела с расширенной
кинематикой. Показано, что благодаря дополнительным полям Ai
I и SiJ
K, определяемым спецификой рас-
ширенной кинематики, в таких телах имеется больше вариантов для синтезирования геометрии. Сводка
результатов представлена в таблице. Ее строки содержат ссылки на явные представления материаль-
Таблица
Различные материальные связности
Table
Various material connections
Γ L Σ Λ Δ eΔ
Простой материал [1, (3.18)] [1, (3.32)] - - - -
Второй градиент [1, (3.18)] [1, (3.32)] - (2.19) (2.34) (2.36)
Микроструктура [1, (3.18)] [1, (3.32)] (3.11) (3.12) (3.17) (3.19)
ных связностей. Во всех трех случаях кинематики, рассмотренных в работе, связности Вайценбока Γ и Леви-Чивита L вычисляются по одним и тем же формулам. Связности Σ и Λ могут быть определены лишь для тел с расширенной кинематикой, поскольку вычисление их коэффициентов требует знания дополнительных полей Ai I и SiJ K. Наконец, связности Δ и eΔ служат расширениями связностей Леви-Чивита и Вайценбока. В рамках физических приложений они могут быть полезны для геометрического моделирования тел с дислокациями и дисклинациями, поскольку их кручение и кривизна — плотности дислокаций и дисклинаций, — отличны от нуля.
Благодарности
Автор работы благодарит С.А. Лычева и А.Л. Левитина за обсуждения и критические замечания по содержанию статьи.

About the authors

K. G. Koifman

Author for correspondence.
Email: koifman.konstantin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7891-9995

tutor in mathematics

References

Supplementary files