Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods

Full Text

1. Предварительные сведения
1◦. В рамках классической теории гиперупругости (далее — теории простого материала) предпола-
гается, что механический отклик тела определяется упругим потенциалом cW1, который является дей-
ствительнозначной функцией двух аргументов [1]:
W = cW1(X, F(X)). (1.1)
1Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00457).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 27
Здесь X ∈ B — точка отсчетной формы B ⊂ E, т. е. области, представляющей отсчетное положение
тела в физическом пространстве E, а F — градиент деформации, т. е. главная линейная часть отоб-
ражения γ : B → E, характеризующего изменение отсчетной формы. В настоящей статье, наряду с
зависимостью (1.1), используется ее расширенный вариант [2; 3]:
W = cW2(X, F(X), DXF), или W = cW3(X, F(X), M, DXM), (1.2)
где DF есть второй градиент отображения γ, а M — некоторый тензор второго ранга, независимый
от γ. Последние два случая объединены под общим названием: гиперупругие тела с расширенной ки-
нематикой.
Рассуждения, предполагающие расширенную кинематику, можно встретить в работах Пиола [4; 5],
а также в более поздних работах Фойгта [6], Дюгема [7] и братьев Коссера [8]. Вместе с тем основ-
ной интерес к средам с расширенной кинематикой возник в начале второй половины XX века, когда
Эриксеном было показано, что напряженное состояние в жидких кристаллах определяется несиммет-
ричным тензором [9]. Значительный прогресс был достигнут в серии работ Трусделла и Эриксена [10],
Тупина [2; 11], а также Миндлина [12; 13]. В частности, авторами этих работ была установлена взаи-
мосвязь между различными подходами к описанию расширенной кинематики и сформулирован общий
вид определяющих соотношений.
Развитие теории определяющих соотношений и уточнение понятий жидкости и изотропного твер-
дого тела для сред второго градиента было предложено Кроссом в работе [14]. В частности, Кросс
продемонстрировал удобство и элегантность формализма теории 2-струй на многообразиях, позволив-
шего ему получить инвариантные соотношения для групп изотропии, обобщающие соотношения теории
Нолла для сред первого градиента [15; 16].
В начале 80-х годов XX века Айфантис предложил альтернативный подход к описанию расширен-
ной кинематики, когда определяющее соотношение для теории первого градиента дополнялось слага-
емым, содержащим второй градиент и характеристическую константу [17; 18]. Так, в рамках линей-
ного приближения закон Гука модифицировался посредством добавления слагаемого, содержащего ла-
пласиан по пространственным переменным [19]. Благодаря этому удалось осуществить сглаживание ре-
шений классических задач теории упругости в точках разрыва. Например, в работе [20] построено
решение задачи Фламана — Буссинеска на основе предложенного Айфантисом подхода и показано,
что это решение непрерывно и ограничено в точках приложения нагрузок. В работах [19; 20] уста-
новлено, что предложенным методом можно устранить сингулярность тензора деформаций в вершине
трещины.
Гуткин и Айфантис на основе градиентной модели Айфантиса [20] построили решение задачи о
напряженно-деформированном состоянии среды с краевой дислокацией [21], винтовой дислокацией [22]
и показали, что в рамках используемых моделей удается добиться непрерывности тензора деформаций в
ядре дислокации. Добавив в модель Айфантиса слагаемое, содержащее лапласиан напряжений, авторы
работы [23] построили решения задач для сред с дислокациями и дисклинациями и показали, что не
только тензор деформаций непрерывен в ядре дислокации, но и то же самое справедливо и для тензора
напряжений.
В настоящее время теория тел с расширенной кинематикой продолжает развиваться. Рассматрива-
ются связанные модели термоупругости [3] и электроупругости [24; 25], изучается напряженно-деформи-
рованное состояние тел с включениями [26–28], развивается теория определяющих соотношений [29] и
исследуются уравнения равновесия [30]. Представленная статья также рассчитывает внести свой вклад
в это направление. Ее цель — геометрическое моделирование несовместных деформаций в средах с рас-
ширенной кинематикой.
2◦. Несовместные деформации. Теория несовместных деформаций для случая простого матери-
ала достаточно развита и представлена в многочисленных статьях [16; 31–34] и монографиях2 [35–37].
Основной особенностью тела с несовместными деформациями является невозможность целиком до-
стичь состояния, совпадающего с тем, которое было достигнуто малым тестовым образцом из того
же материала (такое состояние далее называется натуральным). Геометрическая идея, лежащая в ос-
нове моделирования несовместных деформаций, заключается в отказе от требования, согласно которо-
му все формы тела должны быть областями евклидова физического пространства: форму, в которой
все тело находится в натуральном состоянии, предлагается искать в пространстве общей аффинной
связности.
Для реализации этой идеи условия совместности локальных деформаций интерпретируются в тер-
минах инвариантов подходящей аффинной связности [38]. Если через H обозначить тензорное поле
второго ранга, представляющее локальные разгрузочные деформации из некоторой промежуточной фор-
мы SR в натуральное состояние, то условие, согласно которому оно будет градиентом некоторого отоб-
2Детальное изложение аспектов геометрической теории приведено в разд 3.
28
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
ражения γ : SR → E, — условие совместности, — имеет вид: curlH = 0. Геометрически последнее
равенство может быть записано в терминах кручения связности Вайценбока [34] как T = 0. Альтер-
нативно определяя специальным способом метрический тензор G по полю H [34], условие совмест-
ности, выражающее евклидовость геометрии, порождаемой этим тензором, можно выразить в терми-
нах равенства нулю кривизны связности Леви-Чивита: R = 0. Таким образом, поля кручения и кри-
визны являются мерами несовместности локальных деформаций. Отличие их от нуля означает несов-
местность деформаций, а соответствующие пространства аффинной связности вмещают натуральную
форму.
Применение геометрических моделей несовместных деформаций весьма разнообразно. Впервые они
были использованы в континуальной теории дефектов [32; 33; 38–41]. В последующем геометрическое мо-
делирование было применено в рамках теории объемного роста [42], теории поверхностного роста [43–49],
а также при математическом моделировании аддитивных процессов [50–54]. Соединение положений тео-
рии относительности и теории роста привело к исследованиям по аккреции массивных тел [55–57]. От-
метим, что, несмотря на единство подходов к описанию непрерывно распределенных дефектов и поверх-
ностного роста, где последний можно интерпретировать как непрерывный процесс записи дефектов [58],
имеются и отличия между ними. В рамках континуальной теории дефектов локальные деформации пред-
полагаются известными из эксперимента. Все, что нужно сделать, — определить меры несовместности.
Однако в рамках процесса роста локальные деформации являются неизвестными полями, требующими
решения дополнительной эволюционной задачи для их определения. Примеры таких задач рассмотрены
в [46; 47; 59–61].
Вместе с тем существует сравнительно мало работ, посвященных проблематике моделирования несов-
местных деформаций для сред с расширенной кинематикой. Можно объяснить это необходимостью ис-
пользовать более сложный математический формализм 2-струй и главных расслоений, нежели тот, что
используется в рамках сред первого градиента. По-видимому, первым систематическим изложением тео-
рии структурно неоднородных тел с расширенной кинематикой можно считать работу Моргана [62],
являющуюся непосредственным обобщением работы Вана [16] для сред первого градиента. Последую-
щие работы написаны в основном Эпштейном, Эльжановски, де Леоном и их соавторами. В частно-
сти, работы [63–65] посвящены моделированию несовместных деформаций в телах второго градиента
(первый потенциал в (1.2)), а работы [66; 67] — моделированию несовместных деформаций в телах
с микроструктурой (второй потенциал в (1.2)). Настоящая работа использует иной подход, позволяю-
щий получить уравнения совместности и неевклидову отсчетную форму. Однако для дальнейшего опи-
сания расширенной кинематики все равно нужно привлекать более тонкие рассуждения, основанные
на формализме 2-струй (случай второго градиента) либо на формализме главных расслоений (случай
микроструктуры).
3◦. Структуры и их синтезирование. Работа использует формализм структур и отображений
между ними. Каждая структура характеризуется упорядоченным набором
X = (X, S1, S2, . . . , Sk), (1.3)
состоящим из множества X — носителя структуры, а также классов и полей S1, . . . , Sk, определяющих
конкретный вид структуры над X. Как правило, объекту S1 соответствует топология над X, а объекту
S2 — гладкая структура над X. Остальные элементы структуры являются геометрическими полями,
как-то: метрикой, связностью и формой объема.
Исходная структура (1.3) определяет последовательность вложенных структур
X = X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xk = X,
где Xi = (X, S1, S2, . . . , Si). Будем говорить, что структура Xi получена из X стиранием элементов
Si+1, . . . , Sk, а X, в свою очередь, синтезированием по Xi и Si+1, . . . , Sk. В работе в основном ис-
пользуется стирание до структуры X2, которая при соответствующей интерпретации S1 и S2 является
гладким многообразием. Операции стирания и синтезирования структур комбинируются, что приводит
к различным структурам, определенным над одним и тем же многообразием.
Если X и Y — различные структуры одного типа, то можно рассматривать отображения между ни-
ми: f : X → Y, которые в рамках теории категорий принято называть морфизмами [68]. Если через
Fi обозначить процедуру стирания структур до i-й подструктуры («стирающий функтор»), то отобра-
жение f индуцирует отображение Fif : Xi → Yi. В рамках работы оно полагается отличным от f.
Используются стандартные соглашения и обозначения для структур, принятые в линейной алгебре и
теории гладких многообразий. Их определение и связанная с ними техника представлены в монографи-
ях [69–71]. В частности, символ Hom(U; V) обозначает векторное пространство линейных отображений
U → V. В свою очередь, символы End(V) = Hom(V; V) и Aut(V) отвечают, соответственно, векторному
пространству линейных операторов на V и группе автоморфизмов.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 29
Символ D обозначает оператор полной производной, а символ ∂i — оператор частной производной
по i-й переменной.
Настоящая статья является первой частью исследовательской работы. В ней определяются исход-
ные структуры, излагаются основные геометрические идеи и демонстрируется их реализация на приме-
ре простого материала. Вторая часть представлена в [72]. В ней излагается методика синтезирования
неевклидовой отсчетной формы для тел второго градиента и тел с микроструктурой.
2. Материальное многообразие и его формы
2.1. Формы и деформации
Геометрическая механика континуума рассматривает тело и физическое пространство как два от-
дельных гладких многообразия, наделенные специфическими геометриями и связанные между собой
гладкими вложениями. Композиция этих вложений определяет диффеоморфизм — деформацию тела.
Настоящая работа следует этой методологии с одним лишь отличием: геометрические структуры, харак-
теризующие тело, его формы и физическое пространство, определены над одним и тем же множеством.
По этой причине для структур, встречающихся в работе, используются детальные обозначения.
4◦. Физическое пространство. Исходная структура представлена трехмерным евклидовым точеч-
ным пространством [69]
E = (E, V, vec, ·), (2.1)
моделирующим физическое пространство, в котором наблюдается деформирование тела. Первый эле-
мент структуры E является континуальным множеством мест, а второй элемент V = (V, R, +V , ·V ) —
трансляционным векторным пространством над3 R, размерности 3. Третий элемент структуры (2.1) яв-
ляется отображением vec : E × E → V , удовлетворяющим аксиомам Вейля:
а) для любых точек x, y, z ∈ E выполняется соотношение Шаля
vec(x, y) + vec(y, z) = vec(x, z),
б) для любой точки x ∈ E и любого вектора v ∈ V существует единственная точка y ∈ E такая, что
vec(x, y) = v.
Значение v = vec(x, y) интерпретируется как вектор с началом в точке x и концом в точке4 y. Наконец,
последний элемент структуры (·) определяет скалярное произведение на V.
Задание скалярного произведения тесно связано с выбором некоторого прямоугольного репера
(o, (ci)3i
=1), в котором o ∈ E — начало отсчета, а (ci)3i
=1 — ортонормированный базис пространства V.
При таком выборе точке o соответствует поле радиус-векторов p : x 7→ vec(o, x), а базис (ci)3i
=1 поз-
воляет определить координаты произвольной точки из E, которые полагаются равными координатам
радиус-вектора этой точки:
если p(x) = xici, то Coor(x) := (xi)3i
=1.
Приходим к отображению Coor : E → R3 — декартовой арифметизации, которое каждой точке про-
странства сопоставляет ее прямоугольные координаты.
Замечание 1. Несмотря на то что в рамках настоящей работы структура (2.1) полагается первич-
ной, в действительности можно встать на более общую точку зрения, согласно которой исходными
являются трехмерное векторное пространство
V = (V, R, +V , ·V ),
некоторый объект o (образно говоря, «божественное присутствие»), и базис (ci)3i
=1 пространства V.
В таком случае первый элемент структуры (2.1) можно определить как образ действия элементов
группы трансляции Trans(3) на объект o, т. е. E = o ▹ Trans(3), а скалярное произведение (·) — из
требования ортонормированности базиса (ci)3i
=1.
5◦. Сопряженное пространство. Для работы с координатами точек и векторов целесообразно ис-
пользовать дополнительную структуру, представленную сопряженным векторным пространством V∗, эле-
менты которого — линейные функционалы ξ : V → R (ковекторы). Свойство рефлексивности сопряжен-
ного пространства исходному [70] позволяет определить операцию действия вектора на ковектор, что
удобно записывать в виде спаривания
⟨ξ, v⟩ = ⟨v, ξ⟩ = ξ(v).
3В нем V — подлежащее множество, а +V : V V ! V и V : R V ! V — операции сложения и умножения на
скаляр соответственно.
4В работе также используется операция сдвига (+) из точки на вектор, определенная следующим образом: если
v = vec(x; y), то y = x + v. В силу аксиомы б) операция сдвига определена однозначно.
30
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
При этом базису (ci)3i
=1 отвечает дуальный ковекторный базис (ci)3i
=1 пространства V∗, определяемый
совокупностью 9 равенств
⟨
ci, cj
⟩
= δij
, i, j = 1, 2, 3, где δij
— символ Кронекера. Использование дуального
базиса позволяет извлечь координаты векторов и точек в соответствии со следующими соотношениями:
V ∋ v = vici 7→ vi =
⟨
ci, v
⟩
∈ R,
E ∋ x = o + xici 7→ xi =
⟨
ci, p(x)
⟩
∈ R, i = 1, 2, 3.
В частности, операцию арифметизации Coor теперь можно задать явно:
Coor : E → R3, Coor(x) =
(⟨
ci, p(x)
⟩)3
i=1
. (2.2)
Замечание 2. Использование координат может ввести в искушение считать («по изоморфизму»)
точки и векторы элементами пространства R3, а линейные операторы — матрицами 3 × 3. Такое
представление ошибочно, поскольку ведет к стиранию различий между точками и векторами: нет
никакого способа сказать, чем является данный кортеж из трех чисел — совокупностью координат
точки или совокупностью координат вектора.
6◦. Физическое пространство как многообразие. Хотя структура (2.1) уже позволяет строить
классическую механику континуума, для целей работы ее недостаточно, поскольку в рамках исследова-
ния предполагается синтезирование неевклидовых пространств, представляющих отсчетную форму. Для
формализации последних удобно использовать язык теории гладких многообразий и аффинных связно-
стей. Вместе с тем структуру пространства аффинной связности можно извлечь из структуры (2.1) и
декартова репера (o, (ci)3i
=1) следующим образом.
Декартова арифметизация (2.2) позволяет определить на множестве E топологию открытых шаров:
TE = {O ⊂ E : множество Coor(O) открыто в R3}.
Кроме того, пара (E, Coor) является картой на множестве E, полностью его покрывающей. Она опре-
деляет единственную гладкую структуру DE, содержащую тривиальный атлас {(E, Coor)}.
Используя введенные топологию и гладкую структуру, приходим к структуре пространства аффин-
ной связности
Egeom = (E, TE, DE, g, ϵ, ∇) (2.3)
над множеством E, производной по отношению к исходной структуре (2.1). Здесь g — метрика, опре-
деленная по базису (ci)3i
=1 в соответствии с теоремой Пифагора:
g = δijci ⊗ cj . (2.4)
В таком случае скалярное произведение (·) — элемент структуры (2.1) — связано с метрикой g равен-
ством u·v = g(u, v).
Пятый элемент структуры (2.3) — элемент объема ϵ [69], определенный равенством ϵ = c1 ∧ c2 ∧ c3,
где ∧ обозначает внешнее произведение5 [70]. Элементы площади, согласованные с исходным элементом
объема, определяются равенствами
s1 = c2 ∧ c3, s2 = c3 ∧ c1, s3 = c1 ∧ c2.
Последний элемент структуры (2.3) — аффинная связность ∇, действующая на векторные поля
u, v : E → V согласованно с евклидовой метрикой (2.4):
∇uv := Dv[u] = ui ∂vj
∂xi cj .
Здесь Dv : E → End(V) — полная производная векторного поля v, т. е. для точки x ∈ E и вектора
h ∈ V выполняется равенство v(x+h) = v(x)+Dxv[h]+o(∥h∥). Покомпонентно Dxv = @vi
@xj
   
x
ci ⊗cj , где
@vi
@xj
   
x
:= Dxvi[cj ].
7◦. Формы. Материальный континуум наблюдается в физическом пространстве в виде форм S ⊂ E,
которые в рамках классической механики полагаются открытыми множествами с регулярной по Келлогу
границей [1; 73]. В настоящем исследовании удобно использовать более детальное описание для форм
в виде структур, подобных (2.3):
S = (S, TE|S, DE|S, g|S, ϵ|S, ∇|S). (2.5)
5Для двух ковекторов ; 2 V их внешнее произведение ^ определяется как
^ =  
  ????  
 :
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 31
Здесь S ⊂ E — непустое открытое множество, являющееся носителем формы, а символ вертикальной
черты с нижним индексом S обозначает сужение элемента исходной структуры (2.3) на S.
Элемент TE|S структуры (2.5) обозначает топологию на S, полученную сужением исходной евкли-
довой топологии TE. Топология TE|S состоит из открытых подмножеств E, лежащих в S, т. е.
TE|S = {O ⊂ S : O ∈ TE}.
Третий элемент структуры DE|S является гладкой структурой на S, полученной сужением исходной
гладкой структуры DE на S. Это гладкая структура, порожденная атласом, состоящим из одной карты
(S, Coor|S). Таким образом, тройка S = (S, TE|S, DE|S) является многообразием размерности 3.
Последние три элемента структуры (2.5) обозначают, соответственно, метрику, элемент объема и связ-
ность, индуцированные метрикой, элементом объема и связностью объемлющего пространства Egeom на
S. Эти поля можно рассматривать как теоретико-множественные сужения полей, заданных на объем-
лющем пространстве6.
Поскольку структура (2.5) весьма тривиальна, в классических руководствах по механике континуума
она детально не определяется. Вместе с тем такое детальное определение необходимо, если в дальней-
шем предполагается модификация части этой структуры. Именно по этой причине мы сочли уместным
привести полный список элементов, составляющих форму S как структуру.
8◦. Деформации. Для идентификации точек, составляющих тело, одна из форм B фиксируется и
объявляется отсчетной. В явном виде отсчетная форма представлена в виде структуры, подобной (2.5):
B = (B, g|B, ϵ|B, ∇|B) , (2.6)
где B — подлежащее многообразие, которое назовем материальным многообразием. Его элементы —
материальные точки — обозначаются заглавными фрактурными символами X, Y, Z и т. д.
Введение отсчетной формы (2.6) сопровождается установлением связей между ней и частью форм
в физическом пространстве E. Каждая такая связь моделируется посредством отображения
χ : B → S, x = χ(X), (2.7)
которое в соответствии с терминологией, принятой в механике континуума [1; 74], назовем деформацией.
Предположим справедливой аксиому непрерывности [75]: 1) отображение χ является обратимым и 2)
отображение χ и обратное к нему
−1
χ непрерывно дифференцируемы необходимое число раз. Иными
словами, отображение χ является диффеоморфизмом между гладкими многообразиями B и S.
Рассмотрим теперь произвольные формы SR, S ⊂ E, связанные с отсчетной формой B деформациями
χR : B → SR и χ : B → S. Здесь форма SR, называемая далее промежуточной, также представлена в
виде структуры
SR = (SR, g|SR, ϵ|SR, ∇|SR), (2.8)
в которой SR — подлежащее многообразие. Переход тела от промежуточной формы (2.8) к актуальной
форме (2.5) определяется композицией
γ := χ ◦ χ
−1
R : SR → S, x = γ(X), (2.9)
которая также характеризует изменение формы и потому для нее по-прежнему используется термин
«деформация». Отметим, что в силу связей, установленных между формами, предполагается, что про-
извольной можно выбрать любую из пар (χR, χ), (χR, γ) и (χ, γ). Третий элемент, соответственно γ,
χ и χR, определяется из композиции (2.9).
Таким образом, в рамках рассуждений, проведенных выше, деформации из отсчетной формы и де-
формации из промежуточной формы не вполне равноправны, поскольку первые используются для иден-
тификации форм, а вторые характеризуют изменение формы. Однако, если раз и навсегда связи между
отсчетной формой и остальными формами установлены, то отсчетную форму можно поменять на любую
из этих форм с сохранением связей. Именно по этой причине отображения (2.7) и (2.9) не различаются
терминологически.
Замечание 3. В настоящей работе используется три вида форм: фиксированная отсчетная фор-
ма (2.6), промежуточная форма (2.8) и актуальная форма (2.5). Отсчетная форма служит про-
странством меток, с помощью которого идентифицируется деформация континуума, а актуальная
форма — та, которую занимает тело в текущий момент. Несмотря на то что в рамках классиче-
ской механики континуума нет необходимости явно выделять промежуточную форму, в работе она
используется как вспомогательная форма для синтезирования неевклидовой геометрии частного вида.
6Такое рассмотрение допустимо в силу канонического изоморфизма [71] TxS
=
vec V между касательным пространством
к S и трансляционным векторным пространством V.
32
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
Деформацию можно задать для любой пары топологически эквивалентных форм S1 и S2. Более того,
возможен случай, когда деформация между рассматриваемыми формами определена не единственным
образом. В этой связи целесообразно говорить о множестве всех деформаций из S1 в S2, для обозначения
которого в работе используется символ Deform (S1; S2). В частности, соотношение Deform (S1; S2) = ∅
означает, что S1 и S2 не являются формами одного тела.
9◦. Координатные представления. В работе, наряду с прямой тензорной записью, интенсивно
используется метод координат, что позволяет привлекать аналитические рассуждения на основе клас-
сического анализа. Остановимся подробнее на тех координатных представлениях деформации, которые
будут играть роль в дальнейшем.
В прямоугольных координатах деформацию γ (2.9) можно представить как отображение
eγd := Coor ◦ γ ◦ Coor
−1|
Coor(SR) : Coor(SR) → Coor(S). (2.10)
Если через (XI )3I
=1 обозначить значения прямоугольных координат точек промежуточной формы SR,
или, что то же самое, элементы открытого множества Coor(SR), то отображение (2.10) можно записать
посредством трех соотношений:
xi = xi(X1, X2, X3), i = 1, 2, 3,
а обратное к нему — в виде соотношений
XI = XI (x1, x2, x3), I = 1, 2, 3.
Наличие пространственных симметрий у форм служит поводом для введения криволинейных коор-
динат, которые могут значительно упростить представление деформации. В общем случае с каждой из
форм SR и S соотнесем свою систему координат и, таким образом, придем к следующим функциям
замены координат:
ψR : OR → Coor(SR), XI = XI (Q1, Q2, Q3), I = 1, 2, 3,
ψ : O → Coor(S), xi = xi(q1, q2, q3), i = 1, 2, 3.
(2.11)
Здесь OR, O ⊂ R3 — открытые множества, элементы которых (упорядоченные тройки) обозначаются
соответственно через (QI )3I
=1 и (qi)3i
=1. Отображения ψR и ψ являются обратимыми и подчиняющимися
требованиям: якобианы
det
[
∂XI
∂QJ
]
и det
[
∂xi
∂qj
]
(2.12)
отличны от нуля в каждой точке множеств OR и O соответственно. Хотя в действительности криво-
линейные координаты могут быть определены на более широких множествах, чем формы SR и S, в
силу локальности дальнейших рассуждений достаточно рассматривать их лишь в точках форм.
Функции замены координат (2.11) позволяют определить карты (SR, σR) и (S, σ) на отсчетной и
актуальной формах. В явном виде координатные отображения σR и σ задаются соотношениями
σR = ψ
−1
R
◦ Coor|SR : SR → OR, QI = QI (X), I = 1, 2, 3,
σ = ψ−1 ◦ Coor|S : S → O, qi = qi(x), i = 1, 2, 3.
(2.13)
В паре карт (SR, σR) и (S, σ) деформация γ имеет представление
eγc := σ ◦ γ ◦ σ
−1
R : OR → O. (2.14)
В координатной форме отображение (2.14) можно записать посредством соотношений
qi = qi(Q1, Q2, Q3), i = 1, 2, 3,
а обратную биекцию как
QI = QI (q1, q2, q3), I = 1, 2, 3.
Связь между отображениями γ и (2.14), а также координатными отображениями (2.13) иллюстрируется
на рис. 2.1.
2.2. Неевклидова отсчетная форма
10◦. Материальное многообразие. В механике континуума определяющие соотношения, связыва-
ющие кинематические поля с физическим откликом тела, получаются для некоторого предварительно
подготовленного тестового образца. Состояние, в котором находится этот тестовый образец, назовем
натуральным. Примером натурального состояния может служить состояние, свободное от напряжений,
однако в работе допускаются и более общие случаи. При этом неявно подразумевается, что части, состав-
ляющие тело, физически неотличимы от тестового образца: выбирая любую часть тела, преобразуя ее в
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 33
Рис. 2.1. Деформация γ и ее представление eγc в криволинейных координатах
Fig. 2.1. Deformation   and its representation e c in curvilinear coordinates
натуральное состояние и подвергая затем разнообразным деформациям, получим то же определяющее
соотношение, что и для исходного тестового образца. Следуя Ноллу, назовем такое тело материально
единообразным [76].
В рамках классической механики континуума предполагается, что отсчетная форма (2.6) целиком
находится в натуральном состоянии, что позволяет применять к ее точкам одно и то же определяю-
щее соотношение. В таком случае деформация является глобальным преобразованием формы, результат
которого можно количественно охарактеризовать, подставив частный вид отображения (2.7) в соответ-
ствующие аргументы определяющего закона. Однако существуют случаи, когда предположение о гло-
бальности натурального состояния неправомерно [77]. Тело с дефектами или тело, полученное в ходе
процесса роста (что тоже можно рассматривать как процесс записи дефектов), могут служить приме-
рами таких случаев.
Вслед за Билби и Кондо [78–80] в настоящей работе предлагается отказаться от требования, согласно
которому отсчетная форма должна быть областью физического пространства. Вместо этого отсчетная
форма определяется в пространстве с некоторой неевклидовой геометрией. Выбор геометрии осуществ-
ляется таким образом, что физические причины отсутствия глобального натурального состояния коди-
руются инвариантами аффинной связности — кручением, кривизной и неметричностью.
Для реализации намеченной цели — синтезирования неевклидовой формы — «сотрем» исходную гео-
метрию с отсчетной формы (2.6), что приведет к материальному многообразию B, лежащему в ее ос-
новании. Следующим шагом на основе специальных рассуждений определим новую геометрию на ма-
териальном многообразии. Откладывая детальное изложение методики построения геометрии на B до
раздела 3 (случай простого материала) и второй части работы ([72]; случаи среды второго градиента
и микроструктуры), рассмотрим в общих чертах структуру полученной неевклидовой формы и отобра-
жений из нее в актуальные формы.
11◦. Геометрия над материальным многообразием. В результате синтезирования неевклидовой
отсчетной формы материальное многообразие B как структура пополняется новыми элементами:
SR = (B, G, μ, ∇). (2.15)
Здесь G — риманова метрика, μ — форма объема, а ∇ — аффинная связность на B. Структура (2.15)
является абстрактным представлением глобальной натуральной формы, а поля G, μ и ∇ зависят от
34
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
физической природы отсутствия глобального натурального состояния тела в евклидовом физическом
пространстве.
12◦. Обобщенные деформации. При переходе от формы (2.6) к материальному многообра-
зию B каждая деформация χ ∈ Deform (B; S) становится отображением κ : B → S. Хотя с
теоретико-множественной точки зрения отображения χ и κ неотличимы друг от друга как отобра-
жения между одними и теми же многообразиями, с геометрической точки зрения это — совершен-
но разные отображения. Действительно, деформация χ переводит точку одного геометрического про-
странства в точку другого геометрического пространства, в то время как отображение κ перево-
дит точку многообразия в точку геометрического пространства. Назовем отображение κ конфигура-
цией [76].
Замечание 4. Как правило, в статьях [16; 32; 76] и монографиях [35; 81] по геометрической механике
континуума под конфигурацией понимается вложение κ : B → E материального многообразия в фи-
зическое пространство. Определение, принятое в настоящей работе, не противоречит стандартному
определению конфигурации, поскольку область прибытия отображения κ : B → S (которая совпадает
с множеством значений S) всегда можно расширить до всего физического пространства, не изме-
няя функционального закона7. Обратно область прибытия отображения κ : B → E можно сузить до
множества значений S и получить конфигурацию в новом смысле.
Удобство определения конфигурации как отображения κ : B → S заключается в 1) преемствен-
ности конфигурации из деформации и 2) возможности непосредственно определить обратное отобра-
жение
−1 κ : S → B.
Если через Conf (B; S) обозначить множество всех конфигураций из материального многообразия B
в форму S, то по построению для него справедливы следующие свойства:
а) каждая конфигурация κ ∈ Conf (B; S) является инъективным отображением, образ которого S —
форма в E,
б) композиция двух конфигураций является деформацией, т. е. если κ1 ∈ Conf (B; S1) и κ2 ∈
∈ Conf (B; S2) — конфигурации, то справедливо включение κ2 ◦
−1 κ 1∈ Deform (S1; S2),
в) если κ ∈ Conf (B; S1) — конфигурация, а γ ∈ Deform (S1; S2) — деформация, то γ ◦κ ∈ Conf (B; S2).
Замечание 5. В отличие от подхода, принятого в настоящем исследовании, Нолл определяет ма-
териальное многообразие как отдельную структуру, вложения которой в физическое пространство
удовлетворяют аксиомам, подобным свойствам а)–в) [76]. В таком случае удается предусмотреть воз-
можные топологические особенности материального многообразия, не проверяя их на формах. Вместе
с тем тело по-прежнему топологически эквивалентно формам, поэтому подход, используемый в ра-
боте, эквивалентен подходу Нолла, отличаясь лишь способом описания.
Переход от материального многообразия к структуре (2.15) неевклидовой отсчетной формы сопро-
вождается переходом от каждой конфигурации κ : B → S к отображению λ : SR → S. Последнее ха-
рактеризует преобразование неевклидовой отсчетной формы в евклидову актуальную форму и потому
в настоящей работе предлагается называть его обобщенной деформацией. С точки зрения теории мно-
жеств отображение λ совершенно неотличимо от исходной деформации χ, однако, при рассмотрении их
как отображений между структурами приходим к совершенно различным геометрическим соответстви-
ям. Связь между деформацией χ, конфигурацией κ и обобщенной деформацией λ иллюстрируется на
рис. 2.2.
Вертикальные стрелки слева обозначают, соответственно, процессы стирания евклидовой геометрии
и синтезирования неевклидовой геометрии. Вместе с тем справа во всех случаях остается одна и та
же актуальная форма S. В ходе стирания геометрии деформация χ переходит в конфигурацию κ, а
в ходе синтезирования геометрии последняя переходит в обобщенную деформацию λ.
7Согласно теории множеств, отображение f : X ! Y определяется как упорядоченная тройка f = (X; Y; F), где
F X Y — функциональное отношение [82]. Здесь X соответствует области определения отображения, Y — области
прибытия отображения, а F — функциональному закону. В рамках такого определения отображение f = (X; Y; F)
и отображение b f = (X; f(X); F), полученное сужением области прибытия исходного отображения до множества значений
f(X), различаются.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 35
Рис. 2.2. Деформация, конфигурация и обобщенная деформация
Fig. 2.2. Deformation, configuration, and generalized deformation
3. Синтезирование неевклидовой отсчетной формы для простого
материала
3.1. Первый градиент деформации
13◦. Метод синтезирования неевклидовой формы. Идея неевклидовой отсчетной формы, изло-
женная в общих чертах в разд. 2.2, реализована в настоящей статье для простого материала, а в [72] —
для сред второго градиента и континуумов с микроструктурой. Несмотря на различное описание ки-
нематики рассмотренных сред, метод синтезирования неевклидовой формы предложен один и тот же:
1) по семейству деформаций определяются кинематические поля — локальные деформации, характери-
зующие локальный переход в натуральное состояние, 2) для локальных деформаций формулируются
условия совместности и 3) условия совместности интерпретируются в дифференциально-геометрических
терминах. В рамках полученной интерпретации материальное многообразие наделяется соответствующей
аффинной связностью, что завершает синтезирование неевклидовой формы.
14◦. Линейное приближение деформации. Несмотря на то что случай простого материала яв-
ляется классическим и разобран в многочисленных работах по геометрической механике континуума
[16; 32; 35; 76], он является простейшим примером, на котором можно продемонстрировать основную
методику настоящего исследования. Помимо этого способ построения неевклидовой отсчетной формы
для тел с расширенной кинематикой использует — наряду со специфическими кинематическими поля-
ми, поле локальных деформаций, которое вводится уже для простого материала. В этой связи уместно
начать изложение именно с последнего случая.
Предположим, что задана функция
SR × End(V) ∋ (X, F) 7→ cW1(X, F) ∈ R, (3.1)
которая с физической точки зрения является упругим потенциалом, определенным относительно фор-
мы SR. Если γ ∈ Deform (SR; S) — произвольная деформация, то в соответствии с принципом локали-
зации первого порядка [74] отклик тела в точке X ∈ SR — плотность упругой энергии — определяется
соотношением
W = cW1(X, F(X)).
Здесь F(X) ∈ End(V), — градиент деформации, т. е. линейное отображение, для которого выполнена
формула Тейлора первого порядка:
γ(X + h) = γ(X) + F(X)[h] + o(∥h∥), (3.2)
где h ∈ V — вектор приращения, удовлетворяющий условию X + h ∈ SR. Из формулы (3.2) вытекает
единственность градиента деформации. Действительно, если v ∈ V, то
F(X)[v] = lim
s→0
vec(γ(X), γ(X + sv))
s
,
36
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
т. е. значение градиента деформации совпадает с производной по направлению. Кроме того, в соот-
ветствии с теоремой о производной обратного отображения [83] линейный оператор F(X) обратим в
каждой точке X ∈ SR и обратный оператор
−1
F(X) является градиентом для обратной деформации
−1
γ
в точке x = γ(X). Последнее свойство градиента деформации интенсивно используется в настоящем
исследовании.
15◦. Представления градиента деформации. Разным координатным представлениям деформа-
ции соответствуют различные представления ее градиента. В случае, когда деформация представлена
в прямоугольных координатах отображением (2.10), градиент F(X) имеет диадное разложение
F(X) =
∂xi
∂XI
    
Coor(X)
ci ⊗ cI . (3.3)
Если с отсчетной формой SR ассоциированы криволинейные координаты (QI )3I
=1, а с актуальной формой
связаны криволинейные координаты (qi)3i
=1, так что деформация в паре этих координатных систем имеет
представление (2.14), то градиент деформации может быть записан в виде
F(X) =
∂qi
∂QI
    
R(X)
ei|
(X)
⊗ EI |X. (3.4)
Здесь (ei)3i
=1 — поле локальных базисов, порожденное координатами (qi)3i
=1, а (EI )3I
=1 — поле дуальных
базисов, отвечающее полю локальных базисов (EI )3I
=1, соответствующему координатам (QI )3I
=1.
Замечание 6. Каждая из систем криволинейных координат (QI )3I
=1 и (qi)3 i=1 определяет соответ-
ствующее представление поля радиус-векторов p:
ep
R := p ◦ σ
−1
R : OR → V, epR(Q1, Q2, Q3) = XI (Q1, Q2, Q3)cI ,
ep
:= p ◦ σ
−1 : O → V, ep(q1, q2, q3) = xi(q1, q2, q3)ci,
где OR, O ⊂ R3 — открытые множества, а σR : SR → OR и σ : S → O — координатные отображе-
ния (2.13). Полям epR и ep, согласно свойствам (2.12), отвечают поля локальных базисов (EI )3I
=1 и
(ei)3i
=1, заданные равенствами
EI =
∂epR
∂QI =
∂XJ
∂QI cJ и ei =
∂ep
∂qi =
∂xj
∂qi cj .
Наконец, поля дуальных базисов (EI )3I
=1 и (ei)3i
=1 определяются поточечно на основе соотношений
⟨
EI , EJ
⟩
= δIJ
, I, J = 1, 2, 3 и
⟨
ei, ej
⟩
= δij
, i, j = 1, 2, 3.
В явном виде
EI =
∂QI
∂XJ cJ и ei =
∂qi
∂xj cj .
Несмотря на то что разложения (3.3) и (3.4) отвечают общему представлению производного отобра-
жения и используют, в действительности, лишь аффинно-топологическую структуру объемлющего про-
странства (2.3), в дальнейших рассуждениях удобно перейти на стандартный формализм евклидовых
тензоров, излагаемый в руководствах по механике континуума [1]. Для этого, используя соответствие
между векторами и ковекторами по изоморфизму, порожденному метрикой (2.4) [70], заменим в разло-
жениях дуальные ковекторные базисы на дуальные векторные базисы8:
F(X) =
∂xi
∂XI
    
Coor(X)
ci ⊗ cI =
∂qi
∂QI
    
R(X)
ei|
(X)
⊗ EI |X. (3.5)
Здесь (cI )3I
=1 и (EI )3I
=1 — дуальные базисы, определенные системами равенств
cI ·cJ = δIJ
и EI ·EJ = δIJ
, I, J = 1, 2, 3.
Разложения такого вида используются в дальнейшем.
3.2. Семейство форм и условие совместности
16◦. Гипотеза локальной разгрузки. Определение натурального состояния является деликатной
проблемой и требует уточнения, по меньшей мере, следующих положений: 1) понятие тестового образца,
2) подготовка тестового образца к определенному начальному состоянию, 3) определяющее соотноше-
ние для тестового образца и 4) аналитическое описание натурального состояния. Рассмотрение этих
8В таком случае тензорное произведение 
 понимается следующим образом. Для векторов u; v 2 V символ u 
 v
обозначает линейный оператор на V, определяемый согласно равенству u 
 v[w] = (v w)u.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 37
положений требует привлечения тонких термодинамических рассуждений и потому выходит за рамки
настоящей работы. Для того чтобы ограничиться аналитическим описанием в смысле классического ана-
лиза, предположим, что a priori задан тензор второго ранга N1 ∈ End(V), который ассоциируется с
откликом тестового образца в натуральном состоянии.
Для формализации идеи локального перехода к натуральному состоянию в работе предлагается сле-
дующая гипотеза локальной разгрузки [84]. Предположим, что задана некоторая промежуточная форма
SR вместе с упругим потенциалом (3.1), и предположим, что каждой точке X ∈ SR этой формы соот-
ветствует деформация γ(X) : SR → S(X) в некоторую форму S(X), такая, что
∂cW1(X, F)
∂F
     
F=F(X)(X)
= N1, (3.6)
где F(X) = Dγ(X) — градиент γ(X). Таким образом, приходим к семейству {γ(X)}X∈SR деформаций и
соответствующему семейству {S(X)}X∈SR форм.
17◦. Синтезирование локальных деформаций. Для каждой деформации γ(X) в произвольной
точке Y ∈ SR ее градиент F(X)(Y ) ∈ End(V) имеет следующие разложения в соответствии с (3.5):
F(X)(Y ) = ^[F(X)] i
I
    
Y
ci ⊗ cI = [F(X)]i
I
   
Y
ei|
(X)(Y )
⊗ EI |Y . (3.7)
Синтезируем теперь по семейству {F(X)}X∈SR градиентов деформации F(X) : SR → End(V) новое поле
H : SR → End(V), значение которого в каждой точке X ∈ SR определяется равенством
H(X) := F(X)(Y )
   
Y =X
. (3.8)
Тогда разложения (3.7) переходят в разложения
H(X) = eH i
I
   
Coor(X)
ci ⊗ cI = Hi
I
  
R(X) ei|
(X)(X)
⊗ EI |X, (3.9)
где компоненты синтезированы по компонентам исходных тензоров:
eH
i
I
   
Coor(X)
= ^[F(X)] i
I
    
X
и Hi
I
  
R(X) = [F(X)]i
I
   
X
.
Назовем тензор (3.8) локальной деформацией в точке X, а поле H, соответственно, полем локальных
деформаций. Предположим далее, что это поле является гладким. По построению, в соответствии с
равенством (3.6), для значений поля H выполнено следующее соотношение:
∀X ∈ SR :
∂cW1(X, F)
∂F
      F=H(X)
= N1. (3.10)
Несмотря на то что второе разложение в (3.9) является наиболее общим, оно обладает следующим
недостатком. Поле базисов X 7→ (ei|
(X)(X))3i
=1 может не порождаться одной координатной системой,
т. е. это поле в общем случае неголономно. Для упрощения дальнейших рассуждений будем в каче-
стве криволинейных координат (qi)3i
=1 выбирать прямоугольные координаты (xi)3i
=1. Тогда придем к
разложению
H(X) = Hi
I
  
R(X) ci ⊗ EI |X, (3.11)
для локальной деформации и разложению
−1
H(X)= [
−1
H]Ii
    
R(X)
EI |X ⊗ ci (3.12)
для обратного к ней отображения9. Здесь
HiJ
[
−1
H]Jj
= δij
и [
−1
H]Ii
HiJ
= δIJ
. (3.13)
Следуя терминологии, предложенной в монографии [35], назовем тензор P(X) :=
−1
H(X) имплантом.
Замечание 7. Столь детальное построение поля H может показаться излишним. Вместе с тем,
если проанализировать тот способ определения H, который принят в континуальной теории дефек-
тов [32; 38; 85], то возникает следующая проблема. В теории дефектов предполагается, что фор-
ма SR самонапряженного кристалла состоит из инфинитезимальных объемов, соединенных упругими
9Отображение существует, поскольку локальная деформация синтезирована по градиенту деформации, а последний
обратим в каждой точке формы.
38
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
связями. При разрыве этих связей объемы, предоставленные самим себе, переходят в натуральное
состояние. Таким образом, натуральное состояние кристалла представлено континуальной совокуп-
ностью разгруженных инфинитезимальных объемов, в то время как локальная деформация перево-
дит инфинитезимальный объем, находящийся в составе формы SR, в тот же объем, но в нату-
ральном состоянии. Но определение инфинитезимального объема и тем более совокупности таких
объемов в рамках континуального приближения требует деликатных рассуждений [45]. Именно по
этой причине в работе предложен иной подход, использующий лишь определенные выше понятия фор-
мы и деформации. В таком случае совокупности инфинитезимальных объемов отвечает континуаль-
ная совокупность локально натуральных форм S(X), а поле H синтезируется по соответствующим
деформациям.
18◦. Восстановление семейства деформаций. Рассмотрим теперь обратную задачу: предполо-
жим, что задано гладкое поле H : SR → End(V) обратимых линейных преобразований, имеющее разложе-
ние (3.11) и удовлетворяющее свойству (3.10). Восстановим по нему семейство деформаций {γ(X)}X∈SR,
которое бы его синтезировало.
С этой целью для фиксированной точки X ∈ SR определим отображение γ(X) : SR → S(X), которое
в паре координатных систем (QI )3I
=1 и (xi)3i
=1 имеет представление
xi(Q1, Q2, Q3) := bi
X + Hi
I
  
R(X) QI , i = 1, 2, 3, (3.14)
где (bi
X)3i
=1 — фиксированная тройка чисел, своя, для каждого выбора X, а (QI )3I
=1 — криволинейные
координаты переменной точки Y ∈ SR. Тогда из линейности представления (3.14) вытекает гладкость
отображения γ(X), а из обратимости матрицы [Hi
I
  
R(X)] — его обратимость. Следовательно, γ(X) —
деформация. Помимо этого
∂xi
∂QI
    
R(Y )
= Hi
I
  
R(X) ,
что, в частности, дает F(X)(X) = H(X). Это означает, что деформация γ(X) является искомой. Воспро-
изведя проделанную процедуру для всех точек X ∈ SR, приходим к семейству деформаций {γ(X)}X∈SR,
синтезирующему H.
Имея в виду полученный результат, каждое гладкое тензорное поле H : SR → End(V), удовлетво-
ряющее свойству (3.10), можно рассматривать как поле локальных деформаций. При необходимости
семейство деформаций {γ(X)}X∈SR можно восстановить за счет представленной выше процедуры.
19◦. Совместность локальных деформаций. Существование глобальной натуральной формы S0
эквивалентно следующему свойству гладкого тензорного поля обратимых линейных преобразований H,
удовлетворяющего соотношению (3.10). Назовем поле H совместным, если существуют форма S0 и де-
формация γ0 ∈ Deform (SR; S0) такая, что Dγ0 = H, т. е. H(X) совпадает в каждой точке X ∈ SR с
градиентом деформации F0(X). В противном случае назовем поле H несовместным.
В случае совместности поля H соотношение (3.10) дает, что
∀X ∈ SR :
∂cW1(X, F)
∂F
     
F=DX 0
= N1,
и форму S0 действительно можно интерпретировать как глобальную натуральную. Таким образом, от-
сутствие у тела глобального натурального состояния эквивалентно несовместности поля локальных де-
формаций.
В рамках классической теории потенциала [73] для совместности поля H необходимо (а в случае
односвязности SR и достаточно) выполнение равенства
curlH = 0, (3.15)
которое, с учетом разложения (3.11), равносильно следующей системе координатных соотношений:
∂JHiK
− ∂KHiJ
= 0, i, J, K = 1, 2, 3. (3.16)
Здесь и далее символ ∂I является сокращенным обозначением для оператора частной производной @
@QI .
Следуя Кренеру [38], возьмем равенства (3.16) в качестве основы для синтезирования геометрии на
материальном многообразии.
3.3. Геометрическая интерпретация условия совместности
20◦. Поле ????. С целью получить геометрическую интерпретацию условия совместности поля локаль-
ных деформаций H представим соотношения (3.16) в эквивалентном виде. Свертка их левой части с
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 39
компонентами поля
−1
H, определенного равенствами (3.12), приводит к следующей совокупности соотно-
шений:
[
−1
H]Ii
∂JHiK
− [
−1
H]Ii
∂KHiJ
= 0, I, J, K = 1, 2, 3. (3.17)
Введем обозначение
????I
JK := [
−1
H]Ii
∂JHiK
, (3.18)
тогда формула (3.17) примет компактный вид
????I
JK
− ????I
KJ = 0, I, J, K = 1, 2, 3. (3.19)
Рассмотрим набор скалярных полей ???? = [????I
JK] более детально.
21◦. Свойства поля ????. Для скалярных полей ????I
JK, определенных равенствами (3.18), справедливо
следующее утверждение:
Предложение 1. Скалярные функции ????I
JK являются коэффициентами некоторой аффинной связности
на многообразии SR, над которым определена форма (2.8).
Доказательство предложения 1 предварим следующими вспомогательными рассуждениями. При пе-
реходе от формы SR к многообразию SR криволинейные координаты (QI )3I
=1, ассоциированные с этой
формой, становятся координатами на этом многообразии, порожденными картой (SR, σR). Обратно лю-
бые локальные координаты на многообразии SR можно рассматривать как криволинейные координаты
на E с учетом естественного вложения10 ιSR : SR ,→ E. Кроме того, используя то же самое вложение,
поля, заданные на многообразии SR, можно рассматривать как поля на форме SR, и обратно поля, за-
данные на форме SR, можно рассматривать как поля на многообразии SR. Далее подобные переходы
между структурами SR и SR для координат и полей в работе явно не оговариваются.
Поскольку компоненты поля локальных деформаций H отнесены к паре координат (QI )3I
=1 и (xi)3 i=1,
они подчиняются более сложному закону преобразования, чем компоненты тензора второго ранга. Вме-
сте с тем, предполагая прямоугольные координаты (xi)3i
=1 фиксированными, можно по-прежнему иметь
дело со стандартным законом преобразования компонент тензора второго ранга. Действительно, пред-
положим, что заданы локальные координаты (QI )3I
=1 и (eQI )3I
=1 на многообразии SR, районы действия
которых имеют непустое пересечение.
Цепное правило дифференцирования, примененное к компонентам градиента деформации F(X) в
точке Y ∈ SR, влечет равенство
^[F(X)] i
J
|Y =
∂QK
∂eQJ
    
eR(Y )
[F(X)]i
K
|Y . (3.20)
Здесь и в дальнейшем компоненты полей, отвечающие координатам (eQI )3I
=1, обозначаются тильдой свер-
ху. В полученном соотношении предполагается, что прямоугольные координаты (xi)3i
=1 фиксированы.
Полагая затем в формуле (3.20) Y = X, приходим к искомому закону преобразования компонент ло-
кальной деформации:
eH
iJ
|eR(X) =
∂QK
∂eQJ
    
eR(X)
HiK
|
R(X). (3.21)
Замечание 8. Формула (3.21) позволяет установить эквивалентность соотношений (3.15) и (3.16),
не привлекая общее представление ротора в криволинейных координатах. Действительно, в прямо-
угольных координатах (XI )3I
=1 равенство (3.15) равносильно совокупности равенств Ai
JK = 0, где
Ai
JK =
∂eH
iK
∂XJ
− ∂eH
iJ
∂XK ,
что вытекает из частного представления ротора в прямоугольных координатах [1]. С другой стороны,
в силу формулы (3.21), приходим к равенствам
eH
iK
= Hi
M
∂QM
∂XK и eH
iJ
= HiL
∂QL
∂XJ ,
дифференцирование которых дает, соответственно,
∂eH
iK
∂XJ = Hi
M
∂2QM
∂XJ∂XK +
∂QM
∂XK
∂Hi
M
∂XJ = Hi
M
∂2QM
∂XJ∂XK +
∂QM
∂XK
∂QL
∂XJ
∂Hi
M
∂XL
и
∂eH
iJ
∂XK = Hi
M
∂2QM
∂XK∂XJ +
∂QM
∂XJ
∂Hi
M
∂XK = Hi
M
∂2QM
∂XK∂XJ +
∂QM
∂XJ
∂QL
∂XK
∂Hi
M
∂XL .
10Вложение определено как X 7! X.
40
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
Используя свойство перестановочности повторных производных и заменяя соответствующим образом
индексы, приходим к соотношению
Ai
JK =
∂QL
∂XJ
∂QM
∂XK
(
∂Hi
M
∂XL
− ∂HiL
∂XM
)
.
Этим доказана равносильность (3.15) и (3.16).
Доказательство предложения 1. Согласно общей теории аффинных связностей [86], достаточно пока-
зать, что поля e????
I
JK, отвечающие координатам (eQI )3I
=1, связаны с полями ????I
JK, соответствующими ко-
ординатам (QI )3I
=1, следующим законом преобразования:
e????
I
JK = ????LS
M
∂eQI
∂QL
∂QS
∂eQJ
∂QM
∂eQK
+
∂eQI
∂QL
∂2QL
∂eQJ∂eQK
. (3.22)
Для этого, используя определение (3.18) полей ????I
JK и закон преобразования (3.21), проделаем следующие
выкладки:
e????
I
JK =
g
[
−1
H]Ii
∂J eH
iK
=
=
∂eQI
∂QL [
−1
H]Li
∂
∂eQJ
(
∂QM
∂eQK
Hi
M
)
=
=
∂eQI
∂QL [
−1
H]Li
∂QS
∂eQJ
∂Hi
M
∂QS
∂QM
∂eQK
+
∂eQI
∂QL [
−1
H]Li
Hi
M
∂2QM
∂eQJ∂eQK
.
Применяя снова определение (3.18), а также вторую из формул (3.13), приходим к формуле (3.22), что
завершает доказательство.
В настоящей работе аффинная связность, соответствующая полям (3.18), обозначается через ????. Ее
основное свойство представлено в следующем утверждении:
Предложение 2. Кривизна связности ???? равна нулю, т. е.
R(????) = 0.
Доказательство. Компоненты кривизны в координатном репере ( @
@QI )3I
=1 определяются по формуле:
RD
ABC = ∂A????DB
C
− ∂B????D
AC + ????E
BC????D
AE
− ????E
AC????DB
E.
Достаточно показать, что RD
ABC = 0. Действительно, согласно определению (3.18) и правилу дифферен-
цирования произведения,
∂A????DB
C = ∂A
(
[
−1
H]Di
∂BHiC
)
= ∂A[
−1
H]Di
∂BHiC
+ [
−1
H]Di
∂A∂BHiC
.
Аналогичным образом получается выражение
∂B????D
AC = ∂B[
−1
H]Di
∂AHiC
+ [
−1
H]Di
∂B∂AHiC
.
В силу теоремы Шварца о перестановочности повторных производных [83], тогда приходим к равенству
∂A????DB
C
− ∂B????D
AC = ∂A[
−1
H]Di
∂BHiC
− ∂B[
−1
H]Di
∂AHiC
. (3.23)
Далее, используя снова формулу (3.18), приходим к следующему соотношению:
????E
BC????D
AE
− ????E
AC????DB
E = [
−1
H]Ei
[
−1
H]DJ
(∂BHiC
∂AHj
E
− ∂AHiC
∂BHj
E). (3.24)
Получим вспомогательное тождество. Для этого продифференцируем по QA второе из тож-
деств (3.13), предварительно заменив I на D и J на E, а индекс суммирования — на j:
Hj
E∂A[
−1
H]Dj
+ [
−1
H]Dj
∂AHj
E = 0,
что влечет
Hj
E∂A[
−1
H]Dj
= −[
−1
H]Dj
∂AHj
E. (3.25)
Домножая обе части полученного равенства на [
−1
H]Ei
и производя суммирование по E, приходим, в силу
первого из равенств (3.13), к соотношению
∂A[
−1
H]Di
= −[
−1
H]Ei
[
−1
H]Dj
∂AHj
E.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 41
Наконец, домножая обе части последнего равенства на ∂BHiC
и суммируя по i, получаем желаемую
формулу:
∂A[
−1
H]Di
∂BHiC
= −[
−1
H]Ei
[
−1
H]Dj
∂BHiC
∂AHj
E.
Используя ее, можно преобразовать равенство (3.23) к виду:
∂A????DB
C
− ∂B????D
AC = −[
−1
H]Ei
[
−1
H]DJ
(∂BHiC
∂AHj
E
− ∂AHiC
∂BHj
E).
Сравнивая теперь полученное соотношение с (3.24), приходим к желаемому заключению, что RD
ABC =
= 0.
Из предложения 2 вытекает, что в случае, когда многообразие SR односвязно, аффинная связность ????
обладает свойством абсолютного параллелизма [87]: параллельный перенос вектора из одной точки мно-
гообразия SR в другую точку того же многообразия не зависит от выбора кривой, соединяющей эти
точки.
Замечание 9. Используя формулу (3.25), полученную в доказательстве предложения 2, можно прий-
ти к эквивалентному представлению для полей ????I
JK:
????I
JK = −[
−1
P ]i
K∂JPI
i , (3.26)
в котором частные производные компонент поля локальных деформаций заменены на частные произ-
водные компонент поля имплантов.
22◦. Условие совместности в терминах кручения. Таким образом, если через T(????) обозначить
кручение связности ???? [86], то условия совместности (3.19) примут окончательную форму:
T(????) = 0, (3.27)
поскольку левая часть (3.19) есть не что иное, как представление кручения в координатном репере.
Этим показано, что поле локальных деформаций H совместно в том и только в том случае, когда
справедливо равенство (3.27).
Замечание 10. Связность ????, коэффициенты которой определяются по формуле (3.18), известна в
литературе как связность Вайценбока [88, 32] и может быть получена иным способом, с помощью
метода подвижного репера. Действительно, определим репер (zi)3i
=1 на многообразии SR в соответ-
ствии с равенствами
zi = PI
i
∂
∂QI , i = 1, 2, 3.
Иными словами, репер (zi)3i
=1 получен действием поля (3.12) на исходный репер (ci)3i
=1. Определим
теперь связность ???? на SR так, чтобы элементы нового репера были взаимно параллельны, т. е.
????zizj = 0, i, j = 1, 2, 3.
Тогда, как можно показать (см., например, в [34]), коэффициентами ???? будут поля (3.18).
Несмотря на геометрическую наглядность этого способа построения связности ????, нужно по-преж-
нему доказывать, что равенства (3.27) являются условиями совместности локальных деформаций. По
этой причине координатный подход, изложенный в основном тексте статьи, представляется более
естественным.
3.4. Неевклидова отсчетная форма
23◦. Материальная метрика. Поле локальных деформаций H позволяет наделить многообразие
SR метрикой G = GIJdQI ⊗ dQJ в соответствии с соотношением
GX(u, v) := H(X)[u]·H(X)[v], (3.28)
определенным в любой точке X ∈ SR и для любых векторов u, v ∈ TXSR. В координатном репере
( @
@QI )3I
=1 компоненты метрики G имеют вид GIJ = δijHi
IHj
J .
К метрике (3.28) можно прийти альтернативным путем, используя метод синтезирования поля. Дей-
ствительно, для каждой точки X ∈ SR определим метрический тензор G(X) согласно равенству:
G(X)
Y (u, v) := F(X)(Y )[u]·F(X)(Y )[v], (3.29)
для любой точки Y ∈ SR. Фактически G(X) является переносом исходной евклидовой метрики (2.4) на
многообразие SR. Теперь определим поле G : X 7→ G(X)|X, что, в силу (3.29), приводит к соотношению
GX(u, v) := F(X)(X)[u]·F(X)(X)[v]. (3.30)
Тогда согласно определению (3.8) локальных деформаций, поле, заданное равенством (3.30), совпадает
с полем, значения которого определяются формулой (3.28).
42
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
Замечание 11. С физической точки зрения поле локальных деформаций переводит инфинитезималь-
ный объем, окружающий точку X ∈ SR, в натуральное состояние. По этой причине метрика G, опре-
деленная равенством (3.28) или (3.30), возвращает метрические образы элементов длины и угла в
натуральном состоянии.
24◦. Структура неевклидовой формы. Связность ????, определенная формулой (3.18), и матери-
альная метрика G, заданная формулой (3.28) или (3.30), а также форма объема μ = dVG, порожденная
материальной метрикой [71], задают на многообразии SR структуру пространства с неевклидовой связ-
ностью:
SR = (SR, G, dVG, ????). (3.31)
Полученное пространство является искомой неевклидовой отсчетной формой, синтезированной по се-
мейству форм {S(X)}X∈SR. Геометрическая характеристика пространства — тензор кручения T(????) —
служит одновременно и мерой несовместности поля локальных деформаций H. Таким образом, в рам-
ках установленного соответствия между несовместными деформациями и геометрией случаю совмест-
ных деформаций отвечает пространство нулевого кручения, т. е. пространство евклидовой связности
???? = ∇|SR.
Замечание 12. Процедура установления соответствия между несовместными деформациями и гео-
метрией, восходящая к работам Кренера [38], аналогична процедуре, предложенной Картаном для по-
строения неевклидовой геометрии [89–91]. Действительно, Картан вывел уравнения структуры ев-
клидова пространства, представленные соотношениями с нулевой правой частью. Вводя независимые
поля — 2-формы кручения и кривизны, Картан заменил нулевые правые части уравнений структу-
ры на эти поля, что привело к пространствам аффинной связности нового типа. Таким образом, в
рамках рассуждений Картана формы кручения и кривизны являются мерами отклонения полученной
геометрии от евклидовой.
С другой стороны, условие совместности локальных деформаций имеет вид (3.27) и геометрически
характеризует евклидову связность. Определяя антисимметричное тензорное поле T0 ̸= 0, заменим
условие совместности на более общее равенство:
T(????) = T0.
Тем самым совершен переход к пространству неевклидовой связности и случаю несовместных дефор-
маций.
Замечание 13. Несмотря на то что промежуточная форма SR (2.8) в общем случае не совпадает с
отсчетной формой B (2.6), выполненных построений достаточно для определения геометрии на мате-
риальном многообразии B. Действительно, формы B и SR связаны некоторой деформацией χR : B → SR,
и геометрия из SR может быть перенесена на B посредством этого отображения.
Вместе с тем в выборе формы SR имеется произвол, поэтому могла бы возникнуть ситуация,
что геометрия на материальном многообразии зависит от этого выбора. Однако, как показано в ра-
боте [34], в действительности такой зависимости нет: две геометрии, перенесенные из различных
промежуточных форм на материальное многообразие, имеют одни и те же инварианты аффинной
связности.
Замечание 14. В континуальной теории дефектов неевклидово пространство (3.31) используется для
формализации глобального натурального состояния кристалла с дислокациями [32; 38; 85]. В таком
случае тензор кручения определяет плотность дислокаций α = αAB @
@QA
⊗ @
@QB с компонентами [74]
αAB = −1
2
ϵACDTBC
D.
Здесь ϵABC = eABC √
det G, где detG — определитель материальной метрики G, а eABC — четность пере-
становки (A, B, C). Наравне с кручением T, тензор плотности дислокаций α может служить мерой
несовместности поля локальных деформаций, поскольку равенство T = 0 эквивалентно равенству α =
= 0.
Замечание 15. Наряду со связностью Вайценбока ???? можно определить связность Леви-Чивита L,
используя материальную метрику (3.28). Коэффициенты связности определяются по классической фор-
муле:
LC
AB =
GCD
2
(∂AGDB + ∂BGAD − ∂DGAB) , (3.32)
где [GAB] = [GAB]−1 — матрица, обратная к матрице метрических коэффициентов GAB =
= G( @
@QA , @
@QB ). В таком случае структура (3.31) заменяется на риманово пространство
SR = (SR, G, dVG, L), (3.33)
характеризующееся тензором кривизны Римана.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 26–53
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 26–53 43
Замечание 16. Для моделирования состояния, вызванного непрерывным распределением точечных де-
фектов, в работах [33; 85; 92] предложено использовать связность Вейля ∇, которая определяется
согласно условиям:
а) связность ∇ симметрична, то есть T = 0,
б) ∇uG = ν(u)G, где ν — наперед заданная 1-форма на SR.
В частности, из условия б) следует, что тензор неметричности Q, определяемый равенством
Q(u, v, w) := G(∇uv, w) + G(v, ∇uw) − u[G(v, w)] (3.34)
и характеризующий несовместность связности с заданной метрикой, равен Q = −ν ⊗ G.
3.5. Пример синтезирования неевклидовой формы
25◦. Семейство деформаций. Для иллюстрации применения метода синтезирования неевклидовой
формы рассмотрим модельный пример. Предположим, что промежуточная форма SR является полым
шаром с внутренним радиусом Ri, внешним радиусом Re и центром в точке o, т. е.
SR = {X ∈ E : Ri < ∥X − o∥ < Re}.
Используя сферическую симметрию формы SR, введем в пространстве E сферические координаты
(r, θ, φ), связанные с прямоугольными координатами (x1, x2, x3) следующими формулами перехода:
x1 = r sin θ cos φ, x2 = r sin θ sin φ, x3 = r cos θ,
где r > 0, θ ∈ [0, π] и φ ∈ [0, 2π]. Координаты, отвечающие точкам формы SR, обозначим символами
(R, , ).
Пусть задано семейство {γ()}
∈]Ri; Re[ деформаций γ() : SR → S(), для которого выполнены сле-
дующие условия:
а) для каждого значения ρ ∈]Ri, Re[ деформация центрально-симметрична. При этом для всех точек
сферы L = {X ∈ E : ∥X − o∥ = ρ} справедливо свойство:
∀X ∈ L :
∂cW1(X, F)
∂F
     
F=DX ()
= N1;
б) в сферических координатах (r, θ, φ) каждая деформация γ() имеет представление
eγ() = (ω(ρ)f0(R), , ), (3.35)
где ω, f0 : [Ri, Re] → R>0 — гладкие функции.
Следовательно, семейство {γ()}
∈]Ri; Re[ является семейством {γ(X)}X∈SR разгрузочных деформаций,
элементы которого, отвечающие точкам на одной сфере, совпадают.
26◦. Синтезирование поля локальных деформаций. С целью определить поле локальных дефор-
маций представим каждую разгрузочную деформацию γ() в виде (2.14), где σR по-прежнему отвечает
сферическим координатам, а σ, напротив, порождается декартовыми координатами. Учитывая (3.35),
приходим к соотношению:
eγ() = (ω(ρ)f0(R) sincos, ω(ρ)f0(R) sinsin, ω(ρ)f0(R) cos ). (3.36)
Дифференцируя представление (3.36) (с учетом того, что ρ — параметр семейства), получаем матрицу
градиента деформации F() = [F()]i
Ici ⊗ EI :
[F()]i
I =


ω(ρ)f′
0(R) sincos ω(ρ)f0(R) coscos −ω(ρ)f0(R) sinsin
ω(ρ)f′
0(R) sinsin ω(ρ)f0(R) cossin ω(ρ)f0(R) sincos
ω(ρ)f′
0(R) cos −ω(ρ)f0(R) sin 0

. (3.37)
В соответствии с формулой (3.8) полагаем в (3.37) R = ρ, т. е.
H(ρ, , ) := F()(R, , )
   
R=
.
В дальнейшем удобно придерживаться привычных обозначений, поэтому вместо ρ будем писать снова R.
Следовательно, поле локальных деформаций H = Hi
Ici ⊗ EI представлено матрицей
[Hi
I ] =


ω(R)f′
0(R) sincos ω(R)f0(R) coscos −ω(R)f0(R) sinsin
ω(R)f′
0(R) sinsin ω(R)f0(R) cossin ω(R)f0(R) sincos
ω(R)f′
0(R) cos −ω(R)f0(R) sin 0

. (3.38)
44
Койфман К.Г. Отсчетная форма тел с расширенной кинематикой. Часть I. Геометрические методы
Koifman K.G. Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods
27◦. Синтезирование геометрии. Используя поле локальных деформаций с матрицей (3.38), опре-
делим материальную метрику в соответствии с (3.28). Ее диадное представление имеет вид
G = [ω(R)f
′
0(R)]2dR ⊗ dR + [ω(R)f0(R)]2d ⊗ d + [ω(R)f0(R) sin ]2d ⊗ d. (3.39)
Здесь (dR, d, d) — координатный корепер, дуальный к координатному реперу ( @
@R, @
@, @
@).
Построим на многообразии SR две геометрии — Римана и Вайценбока. Первая из них порождает-
ся метрикой (3.39); соответствующие коэффициенты связности Леви-Чивита определяются по форму-
лам (3.32) и представлены выражениями (приведены лишь те поля, которые отличны от нуля)
L1
11 = f
′′
0
f′
0
+ !
′
! , L1
22 = −f0(!f
′
0+f0!
′
)
! [f′
0]2 , L1
33 = −f0 sin2 (!f
′
0+f0!
′
)
! [f′
0]2 ,
L2
12 = L2
21 = L3
13 = L3
31 = f
′
0
f0
+ !
′
! ,
L2
33 = −sincos, L3
23 = L3
32 = cot.
(3.40)
Кривизна полученной связности отлична от нуля, что демонстрируется следующим выражением для
скалярной кривизны:
Scal = −2f0f′
0[ω′]2 − 4ω(f0f′
0ω′′ + ω′(2[f′
0]2 − f0f′′
0 ))
f0ω4[f′
0]3 . (3.41)
Формулы (3.39) и (3.40) определяют риманово пространство (3.33) — первый вариант неевклидовой
отсчетной формы. Мера отклонения геометрии от евклидовой характеризуется полем (3.41).
Теперь построим связность Вайценбока. Формула (3.18) в случае (3.38) приводит к следующим со-
отношениям для коэффициентов связности ???? (приведены только ненулевые поля):
????1
11 = f
′′
0
f′
0
+ !
′
! , ????1
22 = −f0
f′
0
,
????1
33 = −f0 sin2
f′
0
, ????2
12 = ????3
13 = f
′
0
f0
+ !
′
! , ????2
21 = ????3
31 = f
′
0
f0
,
????2
33 = −sincos, ????3
23 = ????3
32 = cot.
(3.42)
Компоненты кручения T связности ???? в координатном репере представлены равенствами (приведены
только ненулевые поля):
T2
12 = T3
13 = −T2
21 = −T3
31 =
ω′
ω . (3.43)
Таким образом, соотношения (3.39) и (3.42) приводят к неевклидовой форме (3.31). Меры отклонения этой формы от евклидовой (и одновременно — несовместности локальных деформаций) определяются выражениями (3.43).
Заключение
В статье на примере простого материала продемонстрирован геометрический метод моделирования несовместных деформаций, основанный на представлении мер деформации в терминах кривизны и кручения. Результаты того моделирования согласуются с известными представлениями [32; 33; 38; 85] что в определенном смысле верифицирует их. Во второй части работы [72] этим же методом будут исследованы новые задачи, связанные с расширенной кинематикой.
Благодарности
Автор работы благодарит С.А. Лычева и А.Л. Левитина за обсуждения и критические замечания по содержанию статьи.

About the authors

K. G. Koifman

Author for correspondence.
Email: koifman.konstantin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7891-9995

tutor in mathematics

References

Supplementary files