Influence of the process of damage accumulation on the asymptotic behavior of stress fields under creep conditions of a sample with a central crack

Full Text

Введение
Проектирование и создание изделий, обладающих хорошей надежностью и работоспособностью, яв-
ляются неотъемлемым требованием в машиностроении и промышленности [1; 2]. Элементы авиацион-
ных конструкций, электростанций, тепловых и газовых турбин, детали автомобильной промышленности
обычно подвергаются мехаическим нагрузкам при высокой температуре. В этой неблагоприятной среде
скорость деградации механических свойств материала возрастает из-за комбинированного воздействия
механической и температурной нагрузки. Поэтому несомненно актуальным является изучение влияния
таких неблагоприятных условий на компоненты для обеспечения их безопасности и долговечности. Пра-
вильный выбор материала или их совокупности позволяет достичь высоких прочностных и эксплуатаци-
онных характеристик изготавливаемых деталей или конструкций. Так, например, в авиационной отрасли
для создания высоконагруженных деталей используются алюминиевые и титановые сплавы, а для сни-
жения веса и продления срока эксплуатации — композитные материалы [3].
Положения и представления континуальной механики поврежденности являются одними из совре-
менных авторитетных подходов, которые привлекают внимание исследователей к изучению разрушения
в условиях ползучести посредством учета влияния накопления повреждений [4; 5]. Основы контину-
альной механики поврежденности были заложены Л.М. Качановым и Ю.Н. Работновым, впоследствии
она сформировалась в самостоятельную область механики [4; 5] и вобрала в себя основополагающие
концепции [6–8] и новые результаты [9–14].
В настоящее время особый интерес представляют исследования деформационного поведения новых
материалов, подверженных сложным температурно-механическим видам нагружения [15; 16]. Проведе-
ние натурных испытаний и экспериментов не позволяет в полной мере получить данные о механизмах
деформации и изменении внутренней структуры материала в условиях активного нагружения, так как
большинство экспериментальных методик основано на анализе состояния структуры материала только
после снятия всех внешних нагрузок [17]. Исходя из этого, в дополнение к эксперименту важным инстру-
ментом в изучении поведения материалов становится использование цифровых расчетных моделей. Со-
здание таких моделей осуществляется с помощью расчетных программных комплексов (Computer-Aided
Engineering), в основе которых лежат численные методы и методы конечно-элементного моделирования
[8; 11–14; 18–21].
Ввиду ограниченности вычислительных мощностей долгое время расчеты производились на основе
упрощенных физических моделей материалов, которые не учитывали их реальные свойства (нелиней-
ные, термические, анизотропия и т. п.). Сегодня стремительное развитие информационных и компью-
терных технологий открыло большие возможности для моделирования сложных процессов и позволило
применять на практике разнообразные теоретические исследования, которые создавались не одно десяти-
летие известными учеными [11–14]. Современные расчетные программные комплексы как иностранные
(ANSYS, Siemens Simcenter 3D, Simulia ABAQUS), так и отечественные (ЛОГОС [22], APM WinMachine
[23], FIDESYS [24]) содержат достаточно широкую базу данных о материалах и законах их поведения, а
также обладают инструментом для внедрения пользовательских подпрограмм и модулей. Они представ-
ляют собой мощный инструмент для инженеров и исследователей в области механики твердого тела,
биомеханики, строительной механики и материаловедения. В частности, с помощью пользовательской
подпрограммы UMAT (Simulia ABAQUS) [25; 26] можно инкорпорировать в расчет собственную модель
поведения материала. Таким образом, объединение возможностей современных расчетных комплексов с
теоретическими знаниями позволяет создавать новые методики для оценки напряженно-деформирован-
ного состояния изделий с использованием реальных свойств материалов.
В представленной работе анализируются результаты, полученные для пластины с центральной тре-
щиной, рассчитанные с помощью созданной пользовательской подпрограммы UMAT программного ком-
плекса Simulia ABAQUS. В основе данной подпрограммы лежат определяющие соотношения, описываю-
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 7–25
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 7–25 9
щие изотропное поведение материала в условиях ползучести, включающие в себя скалярную величину —
параметр сплошности, определяющий процесс накопления повреждений. В работе построены распреде-
ления полей напряжения на продолжении трещины с учетом процесса накопления повреждений в ма-
териале, определены асимптотики напряжений и сплошности в областях установившейся ползучести и
в областях чисто упругого поведения материала.
1. Понятие ползучести материалов и процесса накопления
повреждений
Появление трещин и разрушение конструкций во многих случаях вызваны явлением ползучести, где
под термином «ползучесть» понимается процесс нарастания остаточной деформации во времени при по-
стоянном значении нагрузки [27]. В технической литературе часто встречается термин «вязкоупругость»,
что является аналогом эффекта ползучести [28]. Так, например, обрушение Всемирного торгового цен-
тра было связано с ползучестью в условиях высоких температур [29]. Ползучесть эпоксидного анкерного
клея стала причиной разрушения потолка туннеля Big Dig в Бостоне, штат Массачусетс, которое про-
изошло в июле 2006 года [30]. В газотурбинных двигателях, где температура может достигать значений
более чем 1000 ◦C, могут возникать деформации ползучести даже в турбинных лопатках, изготовлен-
ных из высокопрочных сплавов. Исходя из этого, для анализа напряженно-деформированного состояния
детали или конструкции важно учитывать эффект ползучести.
Так как процесс накопления деформаций ползучести происходит в течение достаточно большого диа-
пазона времени, то экспериментальные тесты материала и натурные испытания в реальных условиях экс-
плуатации могут быть нереализуемыми и достаточно дорогостоящими, поэтому при решении подобных
задач актуально использование расчетных программных комплексов. Для описания ползучести обычно
используется закон зависимости скорости деформации "_c от напряжения , времени t и температуры T:
"_c = f(; t; T): (1.1)
При действии постоянной нагрузки для большинства материалов можно выделить три стадии ползу-
чести. На первой стадии, которая наблюдается в течение достаточно небольшого промежутка времени,
происходит уменьшение скорости деформации ползучести со временем, на второй стадии скорости де-
формации ползучести приобретают постоянные значения, и уже на третьей стадии наблюдается быстрое
увеличение скорости деформации до значений, при которых происходит полное разрушение материала.
Особый интерес представляет вторая стадия ползучести, или стадия установившейся ползучести.
Предполагается, что на стадии установившейся ползучести существует зависимость между скоростью
деформаций ползучести "_c и напряжением , которая носит название степенного закона Нортона —
Бейли и имеет вид:
"_c = Bn; (1.2)
где B — постоянная материала, показатель степени n — постоянная материала, значение которой, на-
пример для сталей, находится в диапазоне от 3 до 8 (для чистых металлов значение данного показателя
равно примерно 4) [31].
При проведении инженерных расчетов на статическую прочность и долговечность вводят некоторые
допущения, одним из которых является идеализация материала и использование только его упругих
свойств. В реальности в любом материале, сплаве на микроструктурном уровне присутствуют дефекты,
наличие которых существенно влияет на прочностные характеристики, образование и рост трещин и
тем самым — на ресурс изделия.
Для описания процесса накопления повреждений добавляется в определяющие соотношения поведе-
ния материала скалярная величина 1 >   > 0. Такая математическая модель поведения материала была
представлена в работах Качанова — Работнова [32–34]:
"_c
ij =
3
2
B
(
e
 
)n−1 sij
 
;
d 
dt
= −A
(
e
 
)m
; (1.3)
где "_c
ij — компоненты тензора скоростей деформации ползучести, B; A; n;m – материальные константы,
  — скалярная величина, описывающая поврежденность материала, e =
√
3sijsij=2 — интенсивность
касательных напряжений.
Для решения задач с применением модели материала, наиболее приближенной к реальности и учиты-
вающей процессы накопления повреждений (1.3), была разработана пользовательская процедура UMAT
программного комплекса Simulia ABAQUS [25; 26]. Подпрограмма UMAT написана с использованием
10
Быкова Ю.С., Степанова Л.В. Влияние процесса накопления повреждений на асимптотическое поведение полей...
Bykova Y.S., Stepanova L.V. Influence of the process of damage accumulation on the asymptotic behavior of stress fields...
языка программирования FORTRAN, программ Parallel Studio, Visual Studio, а также настроенной ком-
пиляцией кода между ними и расчетным программным комплексом Simulia ABAQUS [25]. Основные эле-
менты кода, параметры и функции пользовательских подпрограмм различного вида хорошо представле-
ны в руководстве для пользователя программного комплекса Simulia ABAQUS. Созданная подпрограмма
UMAT задается в модуле Jobs меню General → UserSubroutinefile. Константы материала, определенные
в коде программы через параметры PROPS(), задаются в модуле Material → UserMaterial [25; 26].
2. Задача об одноосном растяжении плоскости с горизонтальным
дефектом в условиях ползучести
2.1. Постановка задачи
Z
Y
X
X
Y
Z X
Y
Z
Рис. 2.1. Модель пластины с закругленным вырезом: геометрия, приложенная нагрузка
и конечно-элементная сетка
Fig. 2.1. Model of a plate with a rounded crack: geometry, applied load and finite element mesh
Анализ влияния процесса накопления повреждений на напряженно-деформированное состояние тела
был выполнен для конечно-элементной модели пластины с дефектом в виде трещины, подверженной
одноосному растяжению усилием P = 10 МПа.
На рис. 2.1 представлена исследуемая пластина и приложенные на нее граничные условия. Геомет-
рические параметры рассматриваемой модели следующие: длина и ширина пластины — 100 мм; длина
выреза и его радиус, соответственно, 10 и 0.001 мм. Пластина изготовлена из материала, определяе-
мого следующими материальными постоянными: модуль упругости (модуль Юнга) E = 121000 МПа и
коэффициент Пуассона = 0:34. Ползучесть моделируется с помощью степенного закона Нортона —
Бейли (1.3), который был описан пользовательской подпрограммой UMAT. Сеточная модель построена
на основе геометрии, представленной на рис. 2.1, и выполнена преимущественно квадратными элемента-
ми первого порядка. Количество элементов на четверть окружности у основания выреза — 16, размер
которых равен 0.0002 мм.
В рамках выполненной работы была проведена серия расчетов со значениями материальных констант
B и n согласно табл. 2.1. Используемые значения постоянных материала, которые были получены в
ходе натурных испытаний образцов, представлены в работе [31].
Таблица 2.1
Материальные константы
Table 2.1
Material constants
№ материала Модуль Юнга,
E, МПа
Kоэффициент
Пуассона,
n m B,
(H=мм2)−n(ч)−1
1 121000 0.34 5 3.5 2:2 · 10−17
2 121000 0.34 7 4.9 1:9 · 10−22
3 121000 0.34 9 6.3 1:6 · 10−27
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 7–25
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 7–25 11
Расчеты выполнялись на временном интервале от 1 ч до 10 000 ч с шагом по времени в 500 ч
для каждой из трех моделей материала согласно табл. 2.1. Для анализа результатов были выбраны
следующие временные расчетные точки: 2 000 ч, 4 000 ч, 6 000 ч, 8 000 ч и 10 000 ч.
2.2. Верификация пользовательской подпрограммы UMAT
Для оценки возможности использования созданной пользовательской подпрограммы UMAT и кор-
ректности ее работы на первом этапе была проведена ее верификация, которая заключается в проведе-
нии серии сравнительных расчетов. Конечно-элементная модель пластины была рассчитана с матери-
алом, входящим в стандартную библиотеку программного комплекса Simulia ABAQUS (модель № 1),
и с тем же самым материалом, но описанным с помощью подпрограммы UMAT (модель № 2). В прове-
денных вычислениях не учтен эффект накопления повреждений, поскольку в стандартной библиотеке
такого свойства не предусмотрено.
U, Magnitude
0.0003
0.0005
0.0006
0.0008
0.0010
0.0011
0.0013
0.0015
0.0016
0.0018
0.0020
0.0021
0.0023
0.0025
0.0027
0.0028
0.0030
0.0032
0.0033
0.0035
0.0037
0.0038
0.0040
0.0042
0.0043
U, U1
−0.0014
−0.0013
−0.0012
−0.0011
−0.0010
−0.0008
−0.0007
−0.0006
−0.0005
−0.0004
−0.0002
−0.0001
−0.0000
0.0001
0.0002
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0010
0.0011
0.0012
0.0013
0.0014
U, U2
−0.0043
−0.0039
−0.0035
−0.0032
−0.0028
−0.0025
−0.0021
−0.0018
−0.0014
−0.0011
−0.0007
−0.0004
−0.0000
0.0004
0.0007
0.0011
0.0014
0.0018
0.0021
0.0025
0.0028
0.0032
0.0035
0.0039
0.0043
Рис. 2.2. Распределение полей перемещений: полное смещение, смещение в горизонтальном
направлении, смещение в вертикальном направлении
Fig. 2.2. Distribution of displacement fields: total displacement, horizontal displacement, vertical displacement
(Avg: 75%)
S, Mises
34.42
67.08
99.73
132.38
165.03
197.68
230.34
262.99
295.64
328.29
360.94
393.60
426.25
458.90
491.55
524.21
556.86
589.51
622.16
654.81
687.47
720.12
752.77
785.42
(Avg: 75%)
S, S11
11.19
32.56
53.94
75.31
96.68
118.06
139.43
160.81
182.18
203.55
224.93
246.30
267.68
289.05
310.42
331.80
353.17
374.55
395.92
417.29
438.67
460.04
481.42
502.79
(Avg: 75%)
S, S22
32.13
67.52
102.91
138.30
173.68
209.07
244.46
279.85
315.23
350.62
386.01
421.40
456.78
492.17
527.56
562.95
598.33
633.72
669.11
704.50
739.89
775.27
810.66
846.05
Рис. 2.3. Распределение полей напряжений: интенсивность напряжений, компонента 11,
компонента 22
Fig. 2.3. Stress field distribution: stress intensity, 11 component, 22 component
Верификация полученных результатов основана на сравнении полей перемещений и эквивалентных
напряжений двух моделей (модель № 1 и модель № 2), которые оказались абсолютно идентичными
как по числовым значениям, так и по распределению изопараметрических контуров. Результаты расче-
тов приведены на рис. 2.2, 2.3. Таким образом, достоверность написанной пользовательской процедуры
UMAT была проверена и подтверждена сравнительными расчетами.
3. Исследование асимптотического поведения полей напряжений
22(x; y = 0) без учета и с учетом процесса аккумуляции
повреждений
Функционал созданной пользовательской подпрограммы UMAT, описывающей поведение материала в
условиях ползучести и верифицированной проверочными расчетами, был расширен с помощью введения
соотношений, учитывающих процесс накопления повреждений (1.3). В результате выполненных серий
расчетов исследованы поля эквивалентных напряжений в окрестности вершины трещины в условиях
ползучести. На рис. 3.1 изображен путь, вдоль которого приведены распределения компоненты тензора
напряжений 22(x; y = 0), длина которого равна 1.05 мм.
12
Быкова Ю.С., Степанова Л.В. Влияние процесса накопления повреждений на асимптотическое поведение полей...
Bykova Y.S., Stepanova L.V. Influence of the process of damage accumulation on the asymptotic behavior of stress fields...
Рис. 3.1. Выборка узлов конечно-элементной модели для построения распределения напряжений
22(x; y = 0)
Fig. 3.1. Sampling of finite element model nodes for constructing stress distribution 22(x; y = 0)
Рис. 3.2. Расчет без учета эффекта накопления повреждений для n = 5: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне ползучести
Fig. 3.2. Computation without taking into account the effect of damage accumulation for n = 5: distribution of
the stress tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the creep zone
Представим результаты расчетов без учета процесса накопления повреждений. На графиках
рис. 3.2–3.4 отображены значения компонент тензора напряжений 22 в двойных логарифмических ко-
ординатах вдоль назначенного пути для моментов времени 2 000 ч, 4 000 ч, 6 000 ч, 8 000 ч и 10 000 ч
для n = 5, n = 7 и n = 9. Различными символами обозначены распределения полей напряжений 22 для
различных временных точек. Для каждого представленного графика на рис. 3.2–3.4 в зоне ползучести
построены прямые сплошные линии-асимптотики, которые аппроксимируют значения компоненты тен-
зора напряжений 22 для каждого расчетного момента. Полученные средние значения коэффициента
наклона этих прямых равны значению −1=(1 + n) для соответствующего n. Так, для n = 5 значение
коэффициента наклона прямых находится в диапазоне 0.165 – 0.167, для n = 7: 0.123 – 0.126 и для
n = 9: 0.098–0.106. Стоит отметить, что 22 и r являются безразмерными величинами напряжений и
расстояния, отнесенными соответственно к 1 МПа и 1 мм.
В зоне упругого поведения материала также выстраиваются прямые сплошные линии — классические
асимптотики в линейной механике, коэффициент наклона которых равен −1=2. Поведение полученных
асимптотик представлено на графиках рис. 3.5–3.7.
Используя данные графики, легко определить зоны ползучести и упругости, размеры которых зави-
сят от времени расчета. Чем больше время расчета, время приложения нагрузки на образец, тем больше
становится зона ползучести, и при этом наблюдается уменьшение зоны упругости. Также эти зоны лег-
ко можно определить с помощью визуализации деформаций ползучести из МКЭ-расчета. На рис. 3.8
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 7–25
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 7–25 13
Рис. 3.3. Расчет без учета эффекта накопления повреждений для n = 7: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне ползучести
Fig. 3.3. Computation without taking into account the effect of damage accumulation for n = 7: distribution of
the stress tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the creep zone
Рис. 3.4. Расчет без учета эффекта накопления повреждений для n = 9: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне ползучести
Fig. 3.4. Computation without taking into account the effect of damage accumulation for n = 9: distribution of
the stress tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the creep zone
обозначены точками границы зоны ползучести для двух временных расчетных точек: 500 ч и 10 000 ч.
Для расчета в 500 часов размер зоны ползучести равен 0.0064 мм, для 10 000 часов — 0.0087 мм.
В результате конечно-элементных расчетов можно сделать вывод, что представленные асимптоти-
ки для зон ползучести и упругости соответствуют аналитическим решениям. Таким образом, можно
14
Быкова Ю.С., Степанова Л.В. Влияние процесса накопления повреждений на асимптотическое поведение полей...
Bykova Y.S., Stepanova L.V. Influence of the process of damage accumulation on the asymptotic behavior of stress fields...
Рис. 3.5. Расчет без учета эффекта накопления повреждений для n = 5: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне упругости
Fig. 3.5. Computation without taking into account the effect of damage accumulation for n = 5: distribution of
the stress tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the elastic zone
Рис. 3.6. Расчет без учета эффекта накопления повреждений для n = 7: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне упругости
Fig. 3.6. Computation without taking into account the effect of damage accumulation for n = 7: distribution of
the stress tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the elastic zone
сделать заключение, что независимо от формы трещины на расстоянии, характерном протяжению зо-
ны ползучести, строятся асимптотики Хатчинсона — Райса — Розенгрена.
Большой интерес вызывает вопрос, возможно ли получить асимптотическое поведение в зонах ползу-
чести и упругости при введении в определяющие соотношения поведения материала эффекта накопления
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 7–25
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 7–25 15
Рис. 3.7. Расчет без учета эффекта накопления повреждений для n = 9: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне упругости
Fig. 3.7. Computation without taking into account the effect of damage accumulation for n = 9: distribution of
the stress tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the elastic zone
(Avg: 75%)
SDV17
+8.869e−04
+2.344e−03
+3.801e−03
+5.259e−03
+6.716e−03
+8.173e−03
+9.630e−03
+1.109e−02
+1.254e−02
+1.400e−02
+1.546e−02
+1.692e−02
+1.837e−02
+1.983e−02
+2.129e−02
+2.275e−02
+2.420e−02
+2.566e−02
+2.712e−02
+2.857e−02
+3.003e−02
+3.149e−02
+3.295e−02
+3.440e−02
(Avg: 75%)
SDV17
+3.356e−03
+7.359e−03
+1.136e−02
+1.536e−02
+1.937e−02
+2.337e−02
+2.737e−02
+3.137e−02
+3.538e−02
+3.938e−02
+4.338e−02
+4.738e−02
+5.138e−02
+5.539e−02
+5.939e−02
+6.339e−02
+6.739e−02
+7.140e−02
+7.540e−02
+7.940e−02
+8.340e−02
+8.741e−02
+9.141e−02
+9.541e−02
Рис. 3.8. Деформации ползучести. Границы зон ползучести (слева — расчет 500 ч, справа — расчет
10 000 ч)
Fig. 3.8. Creep strains. Boundaries of creep zones (left — computation for 500 h, right — computation
for 10 000 h)
повреждений. Проведя аналогичные вычисления с пользовательской процедурой UMAT с описанными
процессами накопления повреждений, построены графики распределения поля напряжений для различ-
ных временных точек, которые представлены на рис. 3.10–3.12. Анализируя полученные графики, можно
сделать вывод, что в расчетах с учетом эффекта накопления повреждений также присутствуют асимп-
тотики в зоне ползучести. Наклон этих прямых отличается от тех, что получены в расчетах без учета
данного процесса. В табл. 3.1 приведено сравнение коэффициентов наклона для двух типов расчета, из
которого следует, что процесс накопления повреждений меняет асимптотику напряжений в окрестности
вершины трещины.
Поле напряжений в упругой зоне для расчета с учетом повреждений сохраняет асимптотику, обрат-
но пропорциональную корню из расстояния от кончика трещины. Данное асимптотическое поведение
изображено на рис. 3.13 для расчета с материальной постоянной n = 7.
Рассмотрев поведение полей напряжений у вершины трещины, стоит перейти к анализу введенной
величины — сплошности. На рис. 3.9 показаны картины распределения параметра сплошности материала
с постоянной n = 7 по пути, указанном на рис. 3.1 с течением времени.
16
Быкова Ю.С., Степанова Л.В. Влияние процесса накопления повреждений на асимптотическое поведение полей...
Bykova Y.S., Stepanova L.V. Influence of the process of damage accumulation on the asymptotic behavior of stress fields...
Таблица 3.1
Сравнение коэффициентов наклона прямых (асимптотик)
Table 3.1
Comparison of slope coefficients (asymptotic)
Материальная
постоянная n
Коэффициент наклона (без учета
повреждений)
Коэффициент наклона (с учетом
повреждений)
5 от -0.165 до -0.167 от -0.130 до -0.140
7 от -0.123 до -0.126 от -0.114 до -0.118
9 от -0.098 до -0.106 от -0.086 до -0.087
(Avg: 75%)
SDV22
+9.605e−01
+9.622e−01
+9.640e−01
+9.657e−01
+9.674e−01
+9.691e−01
+9.708e−01
+9.725e−01
+9.743e−01
+9.760e−01
+9.777e−01
+9.794e−01
+9.811e−01
+9.828e−01
+9.846e−01
+9.863e−01
+9.880e−01
+9.897e−01
+9.914e−01
+9.931e−01
+9.949e−01
+9.966e−01
+9.983e−01
+1.000e+00
(Avg: 75%)
SDV22
+9.344e−01
+9.372e−01
+9.401e−01
+9.429e−01
+9.458e−01
+9.486e−01
+9.515e−01
+9.543e−01
+9.572e−01
+9.600e−01
+9.629e−01
+9.658e−01
+9.686e−01
+9.715e−01
+9.743e−01
+9.772e−01
+9.800e−01
+9.829e−01
+9.857e−01
+9.886e−01
+9.914e−01
+9.943e−01
+9.971e−01
+1.000e+00
(Avg: 75%)
SDV22
+9.163e−01
+9.200e−01
+9.236e−01
+9.273e−01
+9.309e−01
+9.345e−01
+9.382e−01
+9.418e−01
+9.455e−01
+9.491e−01
+9.527e−01
+9.564e−01
+9.600e−01
+9.637e−01
+9.673e−01
+9.709e−01
+9.746e−01
+9.782e−01
+9.818e−01
+9.855e−01
+9.891e−01
+9.928e−01
+9.964e−01
+1.000e+00
(Avg: 75%)
SDV22
+9.040e−01
+9.082e−01
+9.124e−01
+9.166e−01
+9.207e−01
+9.249e−01
+9.291e−01
+9.333e−01
+9.374e−01
+9.416e−01
+9.458e−01
+9.500e−01
+9.542e−01
+9.583e−01
+9.625e−01
+9.667e−01
+9.709e−01
+9.750e−01
+9.792e−01
+9.834e−01
+9.876e−01
+9.917e−01
+9.959e−01
+1.000e+00
(Avg: 75%)
SDV22
+8.945e−01
+8.991e−01
+9.037e−01
+9.083e−01
+9.129e−01
+9.175e−01
+9.220e−01
+9.266e−01
+9.312e−01
+9.358e−01
+9.404e−01
+9.450e−01
+9.496e−01
+9.542e−01
+9.588e−01
+9.634e−01
+9.680e−01
+9.726e−01
+9.772e−01
+9.818e−01
+9.864e−01
+9.910e−01
+9.956e−01
+1.000e+00
(Avg: 75%)
SDV22
+8.866e−01
+8.915e−01
+8.965e−01
+9.014e−01
+9.063e−01
+9.113e−01
+9.162e−01
+9.212e−01
+9.261e−01
+9.310e−01
+9.360e−01
+9.409e−01
+9.459e−01
+9.508e−01
+9.557e−01
+9.607e−01
+9.656e−01
+9.705e−01
+9.755e−01
+9.804e−01
+9.854e−01
+9.903e−01
+9.952e−01
+1.000e+00
Рис. 3.9. Распределение параметра сплошности c течением времени: 500 ч, 2 000 ч, 4 000 ч, 6 000 ч,
8 000 ч, 10 000 ч
Fig. 3.9. Distribution of the continuity parameter over time: 500 h, 2 000 h, 4 000 h, 6 000 h, 8 000 h, 10 000 h
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 7–25
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 7–25 17
Рис. 3.10. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 5: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне ползучести
Fig. 3.10. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 5: distribution of the stress
tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the creep zone
Рис. 3.11. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 7: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне ползучести
Fig. 3.11. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 7: distribution of the stress
tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the creep zone
18
Быкова Ю.С., Степанова Л.В. Влияние процесса накопления повреждений на асимптотическое поведение полей...
Bykova Y.S., Stepanova L.V. Influence of the process of damage accumulation on the asymptotic behavior of stress fields...
Рис. 3.12. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 9: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне ползучести
Fig. 3.12. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 9: distribution of the stress
tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the creep zone
Рис. 3.13. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 7: распределение компоненты
тензора напряжений 22 для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне упругости
Fig. 3.13. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 7: distribution of the stress
tensor component 22 for selected design points. Asymptotic behavior in the elastic zone
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 7–25
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 4, pp. 7–25 19
Рис. 3.14. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 7: распределение сплошности  
для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне I
Fig. 3.14. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 7: distribution of continuity
  for selected design points. Asymptotic behavior in zone I
Рис. 3.15. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 9: распределение сплошности  
для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне I
Fig. 3.15. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 9: distribution of continuity
  for selected design points. Asymptotic behavior in zone I
Для параметра сплошности   также построены графики в двойных логарифмических координатах,
изображенные на рис. 3.14–3.17, которые построены для двух значений материальной константы n = 7
и n = 9. Представленные графики показывают наличие асимптотик двух типов:   ∼ r  и (1− ) ∼ r ,
где асимптотика вида   ∼ r  реализуется в достаточно узкой области (зона I) согласно рис. 3.14, 3.15.
20
Быкова Ю.С., Степанова Л.В. Влияние процесса накопления повреждений на асимптотическое поведение полей...
Bykova Y.S., Stepanova L.V. Influence of the process of damage accumulation on the asymptotic behavior of stress fields...
Рис. 3.16. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 7: распределение сплошности
1 −   для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне II
Fig. 3.16. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 7: distribution of continuity
1 ????   for selected design points. Asymptotic behavior in zone II
Рис. 3.17. Расчет с учетом эффекта накопления повреждений для n = 9: распределение сплошности
1 −   для выбранных расчетных точек. Асимптотика в зоне II
Fig. 3.17. Computation taking into account the effect of damage accumulation for n = 9: distribution of continuity
1 ????   for selected design points. Asymptotic behavior in zone II
Особый интерес вызывают асимптотики вида (1 −  ) ∼ r , которые выстраиваются на тех же расстояниях, что и асимптотики полей напряжений в зоне ползучести (зона II), и требуют дальнейшего изучения.
Заключение
В данной статье представлен конечно-элементный анализ модели пластины с центральным разрезом в 2D-постановке, подверженной одноосному растяжению и работающей в условиях ползучести с учетом процесса накопления повреждений. Определяющие соотношения поведения материала были применены с помощью пользовательской подпрограммы UMAT программного комплекса Simulia Abaqus, которая была верифицирована сравнительными расчетами. Результаты данных расчетов дают возможность оценить поля напряжений у вершины дефекта для разных временных интервалов приложения нагрузки на данный образец и для различных материальных постоянных. В программном пакете системы компьютерной алгебры Maple были построены асимптотики полей напряжений для двух типов расчета: без учета эффекта накопления повреждений в образце и с учетом данного эффекта. Результат показал, что в зонах ползучести и упругости в расчетах без учета эффекта повреждений полученные асимптотики соотносятся с известными аналитическими решениями, в то время как в расчетах с учетом процесса накопления повреждений для зоны ползучести такого не наблюдается, асимптотический характер поведения напряжений сохраняется. Особый интерес представляет дальнейшее изучение параметра сплошности, обладающего асимптотическим поведением. Предложенная процедура может проложить путь к построению аналитического решения краевой задачи и позволить определить структуру асимптотического разложения решения задачи [35; 36].
Авторы выражают благодарность Российскому научному фонду за финансовую поддержку исследования, научный проект № 21-11-00346.

About the authors

Y. S. Bykova

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: karinamushankova@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-7347-8553

assistant lecturer of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

L. V. Stepanova

Samara National Research University

Email: stepanovalv2015@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6693-3132

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, head of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files