Influence of high-order terms in the solution generalizing the approach of M. Williams, taking into accounr the anisotropy of the material

Full Text

Введение

Многопараметрический анализ полей напряжений является важным аспектом исследований в современной механике разрушения. Этим вопросам посвящается большое количество исследований [2–10]. В статье Неджети с соавторами [1] изучено напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины дефекта и приведено двучленное разложение механических полей. Авторы сфокусировали свое внимание на влиянии Т-напряжений, на целостное описание поля напряжений у вершины острой трещины. Однако научным сообществом принято представление о важной роли следующих за Т-напряжением слагаемых. Во многих статьях [2–10] было показано, что с увеличением расстояния от кончика дефекта эффект влияния высших приближений усиливается. Данная статья может рассматриваться продолжением работы Неджети и соавторов. В настоящей работе реализована попытка учесть высшие приближения в асимптотическом разложении механических полей, индуцированных трещиной в анизотропной пластине с кубической кристаллической решеткой.

1  Математическая постановка задачи

Рассмотрим задачу о плоском напряженном состоянии σ₃₃ = σ₂₃ = σ₁₃ = 0 в пластине из анизотропного материала. Тогда обобщенный закон Гука имеет вид:

$\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{c}\end{array}{S}_{11}& S_{12}& S_{16}& \\ \begin{array}{c}\end{array}{S}_{12}& S_{22}& S_{26}& \\ \begin{array}{c}\end{array}{S}_{16}& S_{26}& S_{66}& \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]$,                                                                 (1.1)

где ε_ij, σ_ij  – компоненты тензоров деформации и напряжений, S_ij  — тензор податливости.

Зависимость деформации от смещения в плоскости описывается следующим соотношением, где и и v — смещения в направлениях  x₁ и x₂: 

${\epsilon }_{11}=\frac{\partial u}{\partial x_1}\mathrm{,} {\epsilon }_{22}=\frac{\partial v}{\partial x_2}\mathrm{,} {\epsilon }_{12}=\frac{\partial u}{\partial x_2}+\frac{\partial v}{\partial x_1}\mathrm{.}$                                                             (1.2)

Деформации удовлетворяют условию совместности:

$\frac{{\partial }^2{\epsilon }_{11}}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2{\epsilon }_{22}}{\partial x_1^2}-\frac{{\partial }^2{\epsilon }_{12}}{\partial x_1\partial x_2} =0$,                                                                            (1.3)

Представим напряжения через функции Эри:

${\sigma }_{11}=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x_2^2}\mathrm{,}{\sigma }_{22}=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x_1^2}\mathrm{,}{\sigma }_{12}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x_1\partial x_2}\mathrm{.}$                                                              (1.4)

Тогда, подставляя напряжения в уравнение совместности (3) и используя обобщенный закон Гука, заданный уравнением (1), получим следующее соотношение:

 $S_{22}\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x_1^4}-2S_{26}\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x_1^3\partial x_2}+(2S_{12}+S_{66})\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x_1^2\partial x_2^2}-2S_{16}\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x_1\partial x_2^3}+S_{11}\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x_2^4}=0$             (1.5)

Для решения уравнения совместности используется общее решение в виде комплекского потенциала  ϕ = ϕ(z) с комплексной переменной z = x₁ + µx₂. Подставляя это общее решение в уравнение (1.5), получим характеристическое уравнение:
 получим характеристическое уравнение:

 $S_{11}{\mu }^4-2S_{16}{\mu }^3+(2S_{12}+S_{66}){\mu }^2-2S_{26}\mu +S_{22}=0$                                                      (1.6)

Получившееся уравнение определяет зависимость решения от материальных констант. Корни этого характеристического уравнения показывают влияние упругой анизотропии на решение плоской задачи теории упругости.

В данной статье будем опираться на результаты молекулярно-динамического исследования свойств материала, проведенного в пакете LAMMPS. В статье [11] были получены значения упругих модулей для материалов с кубической сингонией. Воспользуемся тензором упругих модулей ГЦК-меди, описанной потенциалом погруженного атома:

$\left(\begin{array}{cccccc}162& 115& 115& 0& 0& 0\\ 115& 162& 115& 0& 0& 0\\ 115& 115& 162& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 81& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 81& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 81\end{array}\right)\mathrm{,}$                                                              (1.7)

где значения представлены в ГПа.

Для тензора упругих модулей (1.7) были получены следующие корни характеристического уравнения (1.6):

 µ₁ = 0.708728 + 0.705482i, µ₂ = −0.708728 + 0.705482i, µ₃ = ${\overline{\mathit{\mu }}}_1$, µ₄ = ${\overline{\mathit{\mu }}}_2$               (1.8)

Асимптотическое разложение полей напряжений, учитывающее анизотропию материала, подробно описанное в статье [1], имеет вид:

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]Re\left(\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\frac{i^{{\left(n+1\right)}^2}}{{\mu }_1-{\mu }_2}{r}^{\frac{n}{2}-1}\left[\begin{array}{c}{\mu }_2^2{\mu }_1^{\frac{{\displaystyle {(-1)}^{n+1}+1}}{{\displaystyle 2}}}{(cos\theta +{\mu }_{2}sin\theta )}^{\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle 2}}-1}-{\mu }_1^2{\mu }_2^{\frac{{\displaystyle {(-1)}^{n+1}+1}}{{\displaystyle 2}}}{(cos\theta +{\mu }_{1}sin\theta )}^{\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle 2}}-1}\\ {\mu }_1^{\frac{{\displaystyle {(-1)}^{n+1}+1}}{{\displaystyle 2}}}{(cos\theta +{\mu }_{2}sin\theta )}^{\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle 2}}-1}-{\mu }_2^{\frac{{\displaystyle {(-1)}^{n+1}+1}}{{\displaystyle 2}}}{(cos\theta +{\mu }_{1}sin\theta )}^{\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle 2}}-1}\\ -({\mu }_2{\mu }_1^{\frac{{\displaystyle {(-1)}^{n+1}+1}}{{\displaystyle 2}}}{(cos\theta +{\mu }_{2}sin\theta )}^{\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle 2}}-1}-{\mu }_1{\mu }_2^{\frac{{\displaystyle {(-1)}^{n+1}+1}}{{\displaystyle 2}}}{(cos\theta +{\mu }_{1}sin\theta )}^{\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle 2}}-1})\end{array}\right]\right)+$

                                                                                                                                    (1.9)

$+2Re\left(\sum _{n=1}^{\infty }{B}_n\frac{i^{{\left(n+1\right)}^2}}{{\mu }_1-{\mu }_2}{r}^{\frac{n}{2}-1}\left[\begin{array}{c}{\mu }_2^2{\mu }_1^{\frac{{(-1)}^n+1}{2}}{(cos\theta +{\mu }_{2}sin\theta )}^{\frac{n}{2}-1}-{\mu }_1^2{\mu }_2^{\frac{{(-1)}^n+1}{2}}{(cos\theta +{\mu }_{1}sin\theta )}^{\frac{n}{2}-1}\\ {\mu }_1^{\frac{{(-1)}^n+1}{2}}{(cos\theta +{\mu }_{2}sin\theta )}^{\frac{n}{2}-1}-{\mu }_2^{\frac{{(-1)}^n+1}{2}}{(cos\theta +{\mu }_{1}sin\theta )}^{\frac{n}{2}-1}\\ -\left({\mu }_2{\mu }_1^{\frac{{(-1)}^n+1}{2}}{(cos\theta +{\mu }_{2}sin\theta )}^{\frac{n}{2}-1}-{\mu }_1{\mu }_2^{\frac{{(-1)}^n+1}{2}}{(cos\theta +{\mu }_{1}sin\theta )}^{\frac{n}{2}-1}\right)\end{array}\right]\right)\mathrm{,}$

где A_n , B_n  – амплитудные множители поля напржений.

Приведем амплитудные множители в случае бесконечной анизотропной пластины с центральной трещиной, подвергнутой одноосному нагружению:

$A_1\frac{\sqrt{2a}}{4}\sigma si{n}^2\alpha \mathrm{,}{B}_1\frac{\sqrt{2a}}{4}\sigma sin\alpha cos\alpha \mathrm{,}$

$A_2=\frac{\sigma }{2Im({\mu }_1+{\mu }_2)}\left[co{s}^2\alpha +Re{\left({\mu }_1\mu \right)}_{2}si{n}^2\alpha +\lambda Re({\mu }_1+{\mu }_2)\right]\mathrm{,}$  $B_2=\frac{\sigma Re({\mu }_1+{\mu }_2)}{2Im\left({\mu }_1{\mu }_2\right)}\left[sin\alpha cos\alpha -\lambda \right]\mathrm{,}$

$A_3=\frac{3}{8\sqrt{2a}}\sigma si{n}^2\alpha \mathrm{,}{B}_3=\frac{3}{8\sqrt{2a}}\sigma sin\alpha cos\alpha \mathrm{,}$

$A_{2n+2}=B_{2n+2}=0,n=1, 2, 3,....$

$A_{2n+3}=\frac{{(-1)}^{n+1}\sigma si{n}^2\alpha }{8{\left(2a\right)}^{n+\frac{1}{2}}}\left[-4\times \frac{1\times 3\times 5\times ...(2n-1)}{2\times 4\times 6\times \mathrm{...2}n}+\frac{3\times 5\times 7\times ...(2n+1)}{4\times 6\times 8\times ...(2n+2)}\right]\mathrm{,}n= 1, 2, 3,...$

$B_{2n+3}=\frac{{(-1)}^{n+1}\sigma sin\alpha \cos \alpha }{8{\left(2a\right)}^{n+\frac{1}{2}}}\left[-4\times \frac{1\times 3\times 5\times ...(2n-1)}{2\times 4\times 6\times \mathrm{...2}n}+\frac{3\times 5\times 7\times ...(2n+1)}{4\times 6\times 8\times ...(2n+2)}\right]\mathrm{,}n= 1, 2, 3,...$

где λ – константа, относящаяся к вращению тела как абсолютно твердого (исследование проводилось при λ = 0), α – угол наклона трещины, a – половина длины трещины, σ –  прикладываемая к пластине нормальная нагрузка.

2  Результаты исследования

Проведем исследование при приложении к пластине одноосного нагружения σ = 50 ГПа на различных обезразмеренных половиной длины трещины a = 20 Å расстояниях от вершины дефекта при угле наклона α = 0. Такие значения нагрузки и длины дефекта обусловлены дальнейшим направлением исследований, связанным со сравнением полей напряжений на наноскопическом уровне с представленным в статье Неджети и соовторов [1] аналитическим решением для анизотропных материалов.

Рассмотрим зависимости σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ от полярного угла θ при удержании различного количества слагаемых на безразмерных расстояних $\frac{r}{\alpha }=\overline{r}$ = 0.1, 0.5, 1.0, 1.25. На рисунах 2.1–2.4 кривые, обозначенные цифрой 1, показывают распределение компонент тензора напряжений  при одночленном асимптотическом обобщенном разложении Уильямса, кривая 2 при двучленном разложении и так далее до 7 слагаемого. Также визуализируется разложение при удержании 50 слагаемых, которое мы будем считать точным решением поставленной задачи.

Помимо визуальной оценки найдем средние абсолютные и относительные погрешности. Для каждой компоненты тензора напряжений разобьем отрезок  θ от −π до π на 500 точек и определим средние отклонения от асимптотического разложения при удержании 50 слагаемых по следующим формулам:

${\Delta }_{{\sigma }_{ij}}=\frac{{\displaystyle \sum _k^{500}{\overline{)\sigma }}_{ij}^{k\mathrm{,}n}-{\sigma }_{ij}^{k\mathrm{,50}}\overline{)}}}{500}\mathrm{,}{\delta }_{{\sigma }_{ij}}=\frac{{\displaystyle \sum _k^{500}{\overline{)\sigma }}_{ij}^{k\mathrm{,}n}-{\sigma }_{ij}^{k\mathrm{,50}}\overline{)}\overline{)/}{\sigma }_{ij}^{k\mathrm{,50}}\overline{)}}}{500}100\%$                                                 (2.10)

где ${\sigma }_{ij}^{k\mathrm{,}n}$ – компонента тензора напряжений ${\sigma }_{ij}$ при значении полярного угла θ = θ_k при удержании в асимптотическом разложении  слагаемых.

В табл. 2.1 – 2.8 приведены средние абсолютные и относительные отклонения кривых N = 1..7 от кривой N = 50. По данным таблицам можно понять, что для достижения результата требуемой точности при большем удалении от вершины острой трещины необходимо учитывать большее количество регулярных слагаемых. 

 

Рис. 2.1. Угловые распределения σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ при удержании различного количества слагаемых в обобщенном асимптотическом решении на расстоянии r¯ = 0.1

Fig. 2.1. Angular distributions  σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ for different numbers of terms in the generalized asymptotic solution at a distance r¯  = 0:1

 

Таблица 2.1. Средние абсолютные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 0.1

Table 2.1. Average absolute deviations of the asymptotic expansion of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from the expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 0.1

Кол-во слагаемых	∆σ11 , ГПа	∆σ12, ГПа	∆σ22, ГПа
n = 1	43.66	1.80	3.52
n = 2	6.34	1.80	3.52
n = 3	0.14	0.10	0.07
n = 4	0.14	0.10	0.07
n = 5	1,28∙10-3	1,26∙10-3	1,21∙10-3
n = 6	1,28∙10-3	1,26∙10-3	1,21∙10-3
n = 7	1,26∙10-5	1,14∙10-5	1,32∙10-5

 

Таблица 2.2. Средние относительные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 0.1

Table 2.2. Average relative deviations of the asymptotic expansions of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from the expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 0.1

Кол-во слагаемых	δσ11 , %	δσ12, %	δσ22, %
n = 1	1891.76	14.92	3.59
n = 2	339.10	14.92	3.59
n = 3	5.67	1.21	0.47
n = 4	5.67	1.21	0.47
n = 5	0.05	0.02	0.01
n = 6	0.05	0.02	0.01
n = 7	4.60 · 10-4	4.05 · 10-4	1.57 · 10-4

 

Рис. 2.2. Угловые распределения σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ при удержании различного количества слагаемых в обобщенном асимптотическом решении на расстоянии $\overline{\mathit{r}}$ = 0.5

Fig.2. Angular distributions  σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ for different numbers of terms in the generalized asymptotic solution at a distance $\overline{\mathit{r}}$ = 0:5

 

Таблица 2.3. Средние абсолютные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 0.5

Table 2.3. Average absolute deviations of the asymptotic expansion of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 0.5

Кол-во слагаемых	∆σ11 , ГПа	∆σ12, ГПа	∆σ22, ГПа
n = 1	35.21	3.11	7.27
n = 2	14.78	3.11	7.27
n = 3	1.55	1.13	0.77
n = 4	1.55	1.13	077
n = 5	0.07	0.07	0.07
n = 6	0.07	0.07	0.07
n = 7	3.50 · 10-3	3.22 · 10-3	3.69 · 10-3

 

Таблица 2.4. Средние относительные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 0.5

Table 2.4. Average relative deviations of the asymptotic expansions of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 0.5

Кол-во слагаемых	δσ11 , %	δσ12, %	δσ22, %
n = 1	465.88	54.23	13.28
n = 2	230.14	54.23	13.28
n = 3	19.28	19.67	1.70
n = 4	19.28	19.67	1.70
n = 5	0.89	1.11	0.21
n = 6	0.89	1.11	0.21
n = 7	0.05	0.05	0.02

 

Рис. 2.3. Угловые распределения σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ при удержании различного количества слагаемых в обобщенном асимптотическом решении на расстоянии r¯ = 1.0

Fig.2.3. Angular distributions  σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ for different numbers of terms in the generalized asymptotic solution at a distance r¯ = 1:0

 

Таблица 2.5. Средние абсолютные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 1.0

Table 2.5. Average absolute deviations of the asymptotic expansion of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 1.0

Кол-во слагаемых	∆σ11 , ГПа	∆σ12, ГПа	∆σ22, ГПа
n = 1	27.90	2.72	9.37
n = 2	22.10	2.72	9.37
n = 3	4.47	3.28	2.01
n = 4	4.47	3.28	2.01
n = 5	0.41	0.41	0.39
n = 6	0.41	0.41	0.39
n = 7	0.04	0.04	0.04

 

Таблица 2.6. Средние относительные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 1.0

Table 2.6. Average relative deviations of the asymptotic expansions of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 1.0

Кол-во слагаемых	δσ11 , %	δσ12, %	δσ22, %
n = 1	1110.08	115.09	21.58
n = 2	998.25	115.09	21.58
n = 3	152.77	118.64	4.30
n = 4	152.77	118.64	4.30
n = 5	8.66	13.01	1.36
n = 6	8.66	13.01	1.36
n = 7	1.51	0.98	0.31

 

Рис. 2.4. Угловые распределения σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ при удержании различного количества слагаемых в обобщенном асимптотическом решении на расстоянии r¯ = 1.25

Fig.2.4. Angular distributions  σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂ for different numbers of terms in the generalized asymptotic solution at a distance r¯ = 1.25

 

Таблица 2.7. Средние абсолютные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 1.25

Table 2.7. Average absolute deviations of the asymptotic expansion of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from the expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 1.25

Кол-во слагаемых	∆σ11 , ГПа	∆σ12, ГПа	∆σ22, ГПа
n = 1	24.57	2.11	10.06
n = 2	25.42	2.11	10.06
n = 3	6.31	4.65	2.67
n = 4	6.31	4.65	2.67
n = 5	0.73	0.73	0.68
n = 6	0.73	0.73	0.68
n = 7	0.09	0.09	0.09

 

Таблица 2.8. Средние относительные отклонения асимптотических разложений компонент тензора напряжений, содержащих n = 1..7 слагаемых, от разложения при удержании n = 50 слагаемых на безразмерном расстоянии 1.25

Table 2.8. Average relative deviations of the asymptotic expansions of the tensor components of voltages containing n = 1..7 terms, from the expansion when holding n = 50 terms at dimensionless distance 1.25

Кол-во слагаемых	δσ11 , %	δσ12, %	δσ22, %
n = 1	1535.34	76.01	25.03
n = 2	2424.37	76.01	25.03
n = 3	664.48	129.54	5.76
n = 4	664.48	129.54	5.76
n = 5	46.65	20.24	2.60
n = 6	46.65	20.24	2.60
n = 7	5.09	3.26	0.74

 

Выводы

По приведенным результатам видно, что при увеличении количества удерживаемых слагаемых высокого порядка малости уменьшаются абсолютные и относительные погрешности, а также при увеличении расстояния от кончика дефекта необходимо удерживать большее количество слагаемых в обобщенном асимптотическом разложении поля напряжений в окрестности вершины трещины для достижения необходимой точности. Данный анализ был проведен для понимания того, сколько слагаемых нужно удерживать в представленном аналитическом решении при сравнении его с результатами молекулярно-динамического моделирования полей напряжений пластины с центральной трещиной, что является дальнейшим направлением исследований.

 

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

About the authors

Karina A. Mushankova

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: karinamushankova@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6081-1169

Master of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, 443086

Larisa V. Stepanova

Samara National Research University

Email: stepanovalv2015@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6693-3132

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, head of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, 443086

References

Supplementary files