Dynamics of an energy harvester with hysteresis friction

Full Text

Введение

Современные преобразователи-запасатели энергии создаются на основе достижений физики, химии, материаловедения, электроники и теории управления. В такого рода устройствах происходит преобразование механической энергии, как правило, кинетической энергии колеблющегося тела, в электрическую форму энергии. Один из важнейших способов преобразования энергии основан на прямом пьезоэлектрическом эффекте, заключающемся в возникновении поляризации диэлектрического образца под действием механических напряжений. Пьезоэлектрические материалы характеризуются нелинейной зависимостью между приложенным механическим напряжением и создаваемым электрическим полем [1; 2].

С одной стороны, относительно небольшие механические напряжения приводят к линейному отклику электрических характеристик пьезоэлектрического образца. С другой стороны, в практической задаче конструирования преобразователей-запасателей энергии, как правило, достигаются значения внешнего воздействия, превышающее порог линейного отклика. Таким образом, возникает гистерезисная зависимость напряжения, заряда и других электрических характеристик от динамических параметров механической подсистемы [3; 4].

Петля гистерезиса возникает при рассмотрении зависимости поляризации сегнетоэлектрического образца от приложенного электрического поля, причем в переменном поле параметры петли существенно зависят от частоты изменения поля. Также гистерезисная связь проявляется на вольт-фарадных характеристиках некоторых сегнетоэлектрических пленок, т. е. в зависимостях емкости от приложенного к образцу напряжения [5; 6]. Интересно, что образцы сегнетоэлектрических пленок, напылённые на кремниевые пластины p - и n - типа проводимости, отличаются направлением обхода петли (по часовой стрелке и против часовой стрелки соответственно).

Моделирование динамики систем с гистерезисом представляет собой сложную математическую задачу, привлекающую внимание многих исследователей. Применяются как конструктивные модели — неидеальное реле, преобразователь Прейзаха, модель Ишлинского [7; 9–12], так и феноменологические — модель Боука–Вена, Айвана, Дьюема и др. [13; 14]. Среди конструктивных моделей гистерезисных нелинейностей важную роль играет преобразователь Прейзаха [15–17]. Первоначально эта модель была сформулирована для описания свойств ферромагнитных материалов [18], позже была доказана ее применимость к широкому спектру явлений из различных научно-практических задач [19; 20]. Модель Прейзаха хорошо зарекомендовала себя для аналитического описания наблюдаемых свойств ферромагнитных и сегнетоэлектрических материалов. Известны многочисленные технические приложения — модели накопителей энергии, других систем, использующих пьезоэффект, модели систем с долговременной памятью. Также известны результаты применения преобразователя Прейзаха в биологии и медицине, а также экономике [8].

Основу модели Прейзаха составляет нелинейный преобразователь, представляющий собой континуальную систему реле, соединенных параллельно. Выходом преобразователя Прейзаха Γ[u(t)] (где u(t) — непрерывная функция времени) считают функцию x(t), значение которой в каждый момент времени определяется, как и для всех гистерезисных преобразователей, не только значением входа u(t), но и всей предысторией.

1. Гистерезисные зависимости в модели преобразователя-запасателя энергии

При практической реализации конструирования запасателей энергии, как правило, имеют место гистерезисные зависимости различного вида как в механической подсистеме, так и электромагнитной природы. В настоящем разделе рассматривается электромеханическая система запасателя энергии с гистерезисным демпфированием, иными словами, предполагается, что трение в механической подсистеме подчиняется гистерезисному закону (рис. 1.1).

 

Рис.1.1. Преобразователь-запасатель энергии, механически связанный c классическим осциллятором посредством гистерезисного звена

Fig. 1.1. Energy harvester mechanically connected to a classical oscillator by means of a hysteresis link

 

Рассмотрим простую модель преобразователя-запасателя энергии в виде перевернутого математического маятника, закрепленного на легкой горизонтальной платформе. Маятник соединен механической связью с одной из обкладок сегнетоэлектрического конденсатора, который включен в замкнутую электрическую цепь (рис. 1.2).

 

Рис.1.2. Математический маятник, связанный с пьезоэлектрическим генератором

Fig. 1.2. Mathematical pendulum associated with a piezoelectric generator

 

Платформа P может перемещаться в горизонтальном направлении. Угол отклонения маятника относительно вертикали равен φ(t), координата платформы — u(t). Длина маятника равна l, масса его груза равна m.

Пьезоэлектрический материал, образующий конденсатор с емкостью C, включен в электрическую цепь с внешней нагрузкой R. Напряжение на нагрузке обозначим через V(t).

Рассматриваемая динамическая система описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (первое из которых есть уравнение движения груза m под действием сил механического происхождения и силы инерции, второе — баланс токов в электрической цепи)

$\left\{\begin{array}{l}ml\ddot{\phi }+cl\dot{\phi }+\dot{u}-mg\sin \phi +A V-m\ddot{u}\mathrm{,}\\ C\dot{V}+\frac{V}{R}B l\dot{\phi }+\dot{u}\end{array}\right.$                                                              (1.1)

Точкой над символом здесь и далее будем обозначать производную по времени t.

При небольших отклонениях маятника от положения равновесия sinφ ∼ φ получаем:

$\begin{array}{l}\ddot{\phi }+{\gamma }_0\dot{\phi }-{\omega }_0^2\phi +\frac{A}{ml}V-\frac{1}{l}\ddot{u}-2\frac{{\gamma }_0}{l}\dot{u}\mathrm{,}\\ \dot{V}+\frac{1}{RC}V-\frac{Bl}{2C}\dot{\phi }\frac{B}{C}\dot{u}\mathrm{,}\end{array}$                                                                    (1.2)

здесь γ_₀ = c/(2m), ${\omega }_0^2$ = g/l, A и B — параметры связи механической и электрической подсистем.

1.1 Система с гистерезисным трением в рамках модели Прейзаха

На рис. 1 схематически представлена модель преобразователя-запасателя энергии, основанного на классическом осцилляторе m, связанного с электрической подсистемой посредством гистерезисного демпфирующего звена. Внешнее воздействие определялось посредством периодической силы F_ext = K sin(Ωτ), приложенной к m.

В настоящем разделе гистерезисный преобразователь введем с помощью подхода, развитого М. А. Красносельским и А. В. Покровским [7]. В рамках указанного подхода гистерезисный преобразователь трактуется как оператор, определенный на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношениями: “вход–состояние” и “состояние–выход”.

Обозначим через R[α, β, x₀, t₀] гистерезисный преобразователь, отвечающий неидеальному реле с пороговыми числами α и β, где x_₀ ∈ {0, 1} — начальное состояние преобразователя, t_₀ — начальный момент времени. Пространством состояний неидеального реле является двухэлементное множество {0,1}. Входом системы является непрерывная при t ≥ t_₀ функция u(t), выходом — ступенчатая функция x(t), определяемая соотношением:

$x\left(t\right) = R[\alpha \mathrm{,} \beta \mathrm{,} x_0\mathrm{,} t_0]ut$,                                                                                      (1.3)

Заметим, что начальное состояние x₀ преобразователя должно удовлетворять условию:

$x_0\left\{\begin{array}{l}0, если u\left(0\right)⩽\alpha \mathrm{,}\\ 1, если u\left(0\right)⩾\beta \mathrm{.}\end{array}\right.$                                                                                          (1.4)

В случае выполнения неравенств α ≤ u(0) ≤ β величина x_₀ может принимать любое значение из множества {0,1}. Значения выхода x(t) при непрерывном входе u(t) для t ∈ (t_₀, ∞) при каждом t = τ определяются согласно правилу:

$R\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{x}_0\mathrm{,}{t}_{0}u\tau \left\{\begin{array}{l}{x}_0\mathrm{,} если \forall t\in \left[t_0\mathrm{,}\tau \right]: [\alpha <u(t)<\beta ]\\ \mathrm{1,} если \exists t^{\text{'}}\in \left[t_0\mathrm{,}\tau \right):u{t}^{\text{'}})⩾\beta \wedge \forall t\in [t^{\text{'}}\mathrm{,}\tau ]: [u\left(t\right)>\alpha \left]\right\}\\ \mathrm{0,} если \exists t^{\text{'}}\in \left[t_0\mathrm{,}\tau \right):u\left(t^{\text{'}}\right)⩽\alpha \wedge \forall t\in \left[t^{\text{'}}\mathrm{,}\tau \right]: \left[u\right(t)<\beta ]\}\end{array}\right.$             (1.5)

Будем говорить, что реле включено, если выход равен единице, и что реле находится в выключенном состоянии в противном случае.

Примечание. Заметим, что выбор элементов двухэлементного множества $\mathbb{B}$ может быть произведен и другим способом, например, как {-0.1}. За исключением абсолютных значений выхода реле, определение (5) и свойства неидеального реле не изменятся. Легко видеть, что биективное отображение f:[-1.1]→[0.1], заданное согласно правилу f(x) = (1+x)/2, делает выбор конкретных значений элементов $\mathbb{B}$ полностью эквивалентным.

Рассмотрим набор из N неидеальных реле, занумерованных индексом j, где 1 ≤  j ≤ N . Система реле ℛ_N, соединенных параллельно, схематично представлена на рис. 1.3. Выход определяется естественным образом как взвешенная сумма выходов, получаемых от каждого из индивидуальных реле:

 ${\mathcal{R}}_N\left[\left\{x_0^{\left(0\right)}\mathrm{,} x_0^{\left(1\right)}\mathrm{,} \dots \mathrm{,} x_0^{\left(N\right)}\right\}\mathrm{,} t_0\right] u\left(t\right) = \sum _{j\mathit{=}\mathit{1}}^N{\mu }_{j}R\left[{\alpha }_j\mathrm{,} {\beta }_j\mathrm{,} x_0^j\mathrm{,} t_0\right]u\left(t\right)$                         (1.6)

где $\left\{x_0^{\left(0\right)}\mathrm{,}{x}_0^{\left(1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_0^{\left(N\right)}\right\}$ — множество начальных состояний конечной системы реле.

 

Рис. 1.3. Параллельное соединение N экземпляров реле Rj[α, β, x₀, t₀], взятых с весами γ_j > 0, где j = 1, . . . , N

Fig. 1.3. Parallel connection of N relay instances R_j[α, β, x₀, t₀], taken with weights γ_j > 0, where j = 1, . . . , N

 

Определение такой системы реле основано на реализации трехэтапной конструкции. На первом шаге выход системы определим на монотонных входах , на втором шаге с помощью полугруппового тождества на кусочно-монотонных входах, затем на третьем этапе выполним переход к произвольным непрерывным входам.

Справедливо свойство монотонности конечной системы неидеальных реле относительно функции входа u(t), что является непосредственным следствием линейности конструкции (6) и монотонности по входу одного гистерона. Система не является управляемой, как легко видеть в частном случае двух неидеальных реле.

В самом деле, параллельное соединение двух реле  R_₁[α_₁, β_₁, x_₀^₍₁₎, t_₀] и R_₂[α_₂, β_₂, x_₀^₍²^₎, t_₀],

где  β_₁.₂ = α_₁.₂ + ε (при условии 0 < ε < |β − α|), x^₍₀₎ = 1, x^₍₁₎ = 0, характеризуется следующим поведением: легко видеть, что для любых допустимых входов u(t) справедлива импликация

 (R_₁[α_₁, β_₁, x_₀^₍₁₎, t_₀] u(t) = 1) ⇒ R_₂[α_₂, β_₂, x_₀^₍²^₎, t_₀] = 1,                                               (1.7)

т. е. событие “первое реле выключено, а второе — включено” является невозможным.

Преобразователь Прейзаха является континуальным аналогом семейства неидеальных реле, соединенных параллельно. Пространство состояний этого преобразователя состоит из пар {u(t), z(α, β, t)}, 

где u(t) — значение входа в момент времени t,  а  z(α, β, t) — характеристическая функция подмножества полуплоскости α < β, принимающая значения 0,1. Входно-выходные соответствия оператора Прейзаха определяются соотношениями: вход-состояние

$z(\alpha , \beta , t) = R [\alpha , \beta , z_0 , t_0] u\left(t\right),$                                                              (1.8)

где  z_₀ = z(α, β, t_₀) и состояние-выход

$\mathbf{\Gamma }\left[z\right(\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}t) u(t_0), t_0] u\left(t\right)$$\underset{\alpha <\beta }{=\int }\int$$z(\alpha \mathrm{,} \beta \mathrm{,} t) \text{d}\alpha \text{d}\beta \mathrm{.}$                                  (1.9)

Указанный преобразователь широко применяется для формализации различных гистерезисных зависимостей, его свойства, а также различные приложения можно найти, например, в [21].

Будем предполагать, что носитель меры преобразователя Прейзаха ограничен, и, следовательно, пространство состояний состоит из характеристических функций, носитель которых содержится на ограниченных множествах.

Результаты численного решения представленной на рис. 1 системы (в обезразмеренном виде) с гистерезисным трением в рамках модели Прейзаха

$\left\{\begin{array}{l}\ddot{\phi }+H\mathrm{\Gamma }\phi \left(\tau \right)+{\omega }^2\phi +v = K\sin \left(\mathrm{\Omega }\tau \right)\\ \dot{v}+v-\sigma \dot{\phi } = 0\end{array}\right.$                                                (1.10)

где H — коэффициент, характеризующий <<влияние>> гистерезисного трения. Численные эксперименты при значениях коэффициента  H ∈ {0, 0.5, 1.0, 8.0} представлены на рис. 1.4–1.7. В расчетах в качестве носителя меры преобразователя Прейзаха было выбрано множество [−1, 1] × [−1, 1], количество элементарных гистеронов равно 20 100.

 

Рис. 1.4. Зависимость динамических переменных от безразмерного времени и фазовые портреты в условиях отсутствия гистерезисного слагаемого. Значения параметров σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0, H = 0. Начальные условия φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ), Ω = 1.3; b — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 1.3; c — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ), Ω = 5.0; d — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 5.0

Fig. 1.4. The dependence of dynamic variables on dimensionless time and phase portraits in the absence of a hysteresis term. Parameter values σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0, H = 0. Initial conditions φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ), Ω = 1.3; b — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 1.3; c — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ), Ω = 5.0; d — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 5.0

 

Рис. 1.5. Зависимость динамических переменных от безразмерного времени и фазовые портреты при H = 0.5. Значения параметров σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0. Начальные условия φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ) при Ω = 1.3; b — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 1.3; c — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ) при Ω = 5.0; d — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 5.0

Fig. 1.5. The dependence of dynamic variables on dimensionless time and phase portraits at H = 0.5. Parameter values σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0. Initial conditions φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ) at Ω = 1.3; b — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 1.3; c — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ) at Ω = 5.0; d — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 5.0

 

Рис. 1.6. Зависимость динамических переменных от безразмерного времени и фазовые портреты при H = 1.0. Значения параметров σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0. Начальные условия φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ) при Ω = 1.3; b — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 1.3; c — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ) при Ω = 5.0; d — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 5.0

Fig. 1.6. The dependence of dynamic variables on dimensionless time and phase portraits at H = 1.0. Parameter values σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0. Initial conditions φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ) at Ω = 1.3; b — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 1.3; c — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ) at Ω = 5.0; d — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 5.0

 

Рис. 1.7. Зависимость динамических переменных от безразмерного времени и фазовые портреты при H = 8.0. Значения параметров σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0. Начальные условия φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ) при Ω = 1.3; b — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 1.3; c — угол отклонения маятника φ(τ) и напряжение v(τ) при Ω = 5.0; d — фазовый портрет колебаний маятника ψ(φ) при Ω = 5.0

Fig. 1.7. The dependence of dynamic variables on dimensionless time and phase portraits at H = 8.0. Parameter values σ = 1.5, ω = 1.2, K = 2.0. Initial conditions φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0: a — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ) at Ω = 1.3; b — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 1.3; c — angle of deflection of the pendulum φ(τ) and voltage v(τ) at Ω = 5.0; d — phase portrait of pendulum oscillations ψ(φ) at Ω = 5.0

 

Из графиков видно, что в области частот Ω ≫ ω амплитуда колебаний меньше, чем в резонансном случае Ω ≃ ω. При относительно больших значениях H (H=8) длительность переходного процесса, приводящего к установившимся колебаниям, увеличивается. Сравнение мощности внешнего возбуждения P_ext и мощности, передаваемой гистерезисным звеном системы, представлено в таблице.

 

Таблица. Мощность внешнего возбуждения и передаваемая мощность в случае гистерезисного звена в рамках модели Прейзаха

Table. Power of external excitation and transmitted power in the case of hysteresis link within the framework of the Prezah model

Значения параметров системы	Мощность внешнего возбуждения Pext	Мощность, передаваемая гистерезисным звеном S/T	Электрическая мощность Pavr	Отношение Pavr/Pext
K = 1.0, Ω=1.8, ω=1.2,  H=1.0	0.232048	0.193251	1.9193589	8.27139
K = 1.0, Ω=1.9, ω=1.2,  H=1.0	0.272911	0.203482	1.3663276	5.0065
K = 1.0, Ω=2.0, ω=1.2,  H=1.0	0.31831	0.133638	0.76924010	2.41664
K = 2.0, Ω = 1.7,  ω=1.2,  H=1.0	0.781928	0.181108	7.84558034	10.0336
K = 2.0, Ω=1.8,  ω=1.2, H=1.0	0.928192	0.196008	6.20816887	6.68845
K = 2.0, Ω=1.9,  ω=1.2,  H=1.0	1.09164	0.205938	4.12163400	3.77563

 

На рис. 1.8 представлена гистерезисная кривая в координатах (φ, Γφ). Из рисунка видно, что после нескольких циклов колебаний достигается установивший режим.

 

Рис. 1.8. Зависимость Γφ от φ при значениях параметров K = 2.0, ω = 1.2, Ω = 5.0, σ = 1.5, H = 2.5. Начальные условия: φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0

Fig. 1.8. Dependence of the Γφ on φ at K = 2.0, ω = 1.2, Ω = 5.0, σ = 1.5, H = 2.5. Initial conditions: φ(0) = 1, ψ(0) = 0, σ(0) = 0

 

Заключение

В статье исследована модель преобразователя-запасателя энергии с гистерезисным вязким трением. Механической частью системы является обратный маятник, гистерезисное вязкое трение присутствует в передаточном механическом звене. Исследованы зависимости динамических параметров, в частности, угла отклонения маятника и напряжения на нагрузке, а также фазовых портретов от значения коэффициента, характеризующего влияние гистерезисного трения. С использованием конструктивной модели Прейзаха продемонстрирована роль нелинейных эффектов.

 

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

About the authors

Sergei V. Borzunov

Voronezh State University

Email: sborzunov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5099-9655

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Digital Technologies

Russian Federation, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

Olga O. Reshetova

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: tribunskih1993@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8257-7836

associate professor of the Department of Digital Technologies

Russian Federation, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

References

Supplementary files