Reference shape of bodies with finite incompatible deformations

Full Text

Введение

В лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" Риман [1] впервые выдвинул идею $n$ -мерного многообразия, снабженного метрическим тензором. Последний определяет на многообразии дифференциал расстояния между бесконечно близкими элементами, а также вводит на нем специфическое правило параллельного переноса. Спустя время, в конце XIX века, идея Римана нашла свое применение в физике и, в частности, в механике континуума. По-видимому, первым, кто применил неевклидову геометрию в теории упругости, был Бельтрами [2], который сформулировал линейные уравнения баланса в пространстве с неевклидовым метрическим тензором. Появление теории относительности инициировало дальнейшие исследования в механике континуума, в которых рассматривалось движение тела в плоском или искривленном пространстве-времени [3]. Следует отметить, что перенос классических положений механики континуума на релятивистский случай таит в себе ряд принципиальных трудностей, поскольку привычные понятия длины угла и времени зависят от наблюдателя. В частности, определение жесткого движения требует особого подхода, развитого в работах Борна [4; 5] и Герглотца [6] для случая специальной теории относительности и в работе Нордстрёма [7] для случая общей теории относительности. Таким образом, первоначально неевклидовой структурой снабжалось пространство, в котором наблюдалось движение деформируемого континуума.

Позже, в работах Билби [8] и Кондо [9$–$12] была предложена и реализована идея об использовании неевклидовой геометрии для моделирования нелинейно-упругого тела с остаточными напряжениями. Билби и Кондо предполагали физическое пространство евклидовым, а отсчетное состояние тела $—$ неевклидовым. В последующих работах Нолла [13] и Вана [14] была построена математически строгая геометрическая теория тел с остаточными напряжениями, которая получила дальнейшее развитие в работах Можена [15], Марсдена [16] и Эпштейна [17; 18]. В настоящее время исследования, использующие неевклидово описание отсчетного состояния, образуют область, называемую геометрической механикой континуума. Современное состояние исследований в этом направлении отражено в работах зарубежных [19$–$22] и отечественных [23$–$26] школ.

Изучение астрофизических феноменов $—$ аккреции массивных тел [27] и звездотрясений (starquakes) внешней оболочки нейтронных звезд [28] $—$ привело к развитию релятивистской теории упругости, в которой как физическое пространство, так и отсчетное состояние моделируются неевклидовыми многообразиями [29; 30]. Причиной неевклидовости физического пространства являются наличие больших гравитирующих масс и необходимость в этой связи использовать положения общей теории относительности. Причиной же использования неевклидова отсчетного состояния является тот факт, что отсчетное состояние зависит от наблюдателя и то, что релятивистское упругое тело оказывается самонапряженным. В этом проявляется методологическое сходство релятивистской теории упругости и геометрической механики континуума.

Поскольку использование неевклидовых пространств для моделирования отсчетного состояния тела не является общепринятым в механике континуума, дадим необходимые комментарии. В классической теории упругости деформирование тела рассматривается относительно некоторого его привилегированного положения в физическом пространстве $—$ отсчетной формы. Как правило, предполагается, что отсчетная форма состоит из представительных объемов, каждый из которых свободен от напряжений. В линейном приближении существование такой формы характеризуется условиями совместности Сен-Венана, а в нелинейном $—$ равенством нулю тензора кривизны Римана, построенного относительно метрики, индуцированной на отсчетную форму из объемлющего евклидова пространства. Вместе с тем в начале XX века выяснилось, что отсчетная форма, свободная от напряжений, существует далеко не всегда. Теоретическое исследование условий совместности для многосвязных областей, проведенное Вайнгартеном [31] и Вольтерра [32], привело к примерам тел с остаточными напряжениями $—$ дисторсиям Вольтерра.

Далее оказалось, что возникновение остаточных напряжений сопутствует реальному физическому процессу. Открытие периодической атомарной структуры кристаллических тел в 1912 году (эксперименты Лауэ) инициировало многочисленные исследования в физике кристаллов. Одной из проблем, над которой работали исследователи, являлось объяснение экспериментального значения предела текучести кристалла: теоретические вычисления, проведенные Френкелем [33] в 1926 году, дали значения предела текучести, существенно превышающие экспериментальные.

Для объяснения несовпадения теоретических вычислений с экспериментальными данными Орован [34], Тейлор [35; 36] и Поляни [37] в 1934 году независимо друг от друга предложили модель линейного кристаллического дефекта, называемого краевой дислокацией. Предположив, что каждый кристалл содержит большое количество дислокаций, Тейлор смог вычислить предел текучести как напряжение, необходимое для движения дислокации через упругое поле всех других дислокаций. Результат был в согласии с экспериментальными данными.

К середине XX века окончательно сформировалось представление о том, что тела с остаточными напряжениями существуют и предположение о существовании отсчетной формы, свободной от напряжений, является идеализацией. Одним из первых, кто указал на этот факт, был Эккарт [38]. Несколькими годами позже Билби и Кондо предложили определять отсчетную форму в подходящем неевклидовом пространстве [8; 9]. В таком случае деформация интерпретируется как вложение неевклидова многообразия в евклидово физическое пространство $—$ собственная деформация. Кондо показал, что такие собственные деформации полностью характеризуют поля дефектов как внутренних источников напряжений, которые, в свою очередь, могут быть определены правилом параллельного переноса в пространстве, вмещающем отсчетную форму. Они количественно характеризуются соответствующей кривизной и кручением аффинной связности.

В настоящей статье предлагается новый вариант построения неевклидовой отсчетной формы, который позволяет геометрически охарактеризовать несовместность деформаций несколькими альтернативными способами. Первый способ предполагает описание материального многообразия как риманова, кривизна связности на котором определяет меру несовместности деформаций. Второй способ задает на материальном многообразии плоское пространство с ненулевым кручением, инварианты которого также характеризуют меры несовместности деформаций. В рамках третьего способа несовместность определяется неметричностью пространства Вейля. Для задания специфической геометрии на материальном многообразии используются вычисления относительно некоторой напряженной промежуточной формы. Доказывается, что результат $—$ связность и инварианты связности на материальном многообразии не зависят от выбора этой промежуточной формы.

В работе используются следующие обозначения. Символ $\text{Hom}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{V}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначает векторное пространство всех линейных отображений $\mathcal{U}\to \mathcal{V}$, а символ $\text{End}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{Hom}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ векторное пространство линейных операторов $\mathcal{V}\to \mathcal{V}$. Пусть $M$ $—$ гладкое многообразие. Алгебра гладких функций $M\to ℝ$ на нем обозначается символом $C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Касательное пространство к $M$ в точке $p$ обозначается через $T_{p}M$ и в зависимости от ситуации рассматривается либо как класс эквивалентных кривых, либо как пространство дифференцирований скалярных функций. Кокасательное пространство, являющееся векторным пространством, дуальным к $T_{p}M$, обозначается символом $T_p^{\ast }M$. Символ $\text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ означает $C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -алгебру векторных полей на $M$. Если $E\to M$ $—$ векторное расслоение, то $\text{Sec}\left(E\right)$ обозначает $C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -модуль всех его сечений (тензорных полей). Более подробно эти обозначения и связанная с ними техника изложены в руководствах [39$–$41].

Используется общее понятие структуры как упорядоченного набора, состоящего из множества $—$ носителя структуры, и дополнительных элементов, характеризующих эту структуру. Таким образом, если $X$ $—$ множество, а $\text{Struct}$ обозначает объекты, характеризующие структуру на $X$, то структура в целом записывается как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\text{Struct}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

1. Тело и его формы

1.1. Физическое пространство

Геометрическая механика континуума основана на идее, что тело и физическое пространство могут быть формализованы в терминах гладких многообразий, снабженных специфическими метриками и аффинными связностями, а деформация $—$ в виде композиции вложений тела в физическое пространство. Настоящая статья следует этой методологии. Для формализации процедуры построения неевклидовой отсчетной формы, являющейся основной целью настоящей работы, вначале уточним, что понимается под физическим пространством, вмещающим образы тела, и что понимается под самим телом.

Будем полагать, что $\mathcal{E}$ является евклидовым точечным пространством размерности $3$, то есть структурой [42]

$\mathcal{E}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{,}\mathcal{V}\mathrm{,}\text{vec}\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (1)

Здесь $E$ $—$ континуальное множество мест, $\mathcal{V}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}V\mathrm{,}ℝ\mathrm{,}{+}_V\mathrm{,}{\cdot }_V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ трансляционное векторное пространство над^[1] $ℝ$, имеющее размерность $3$, $\text{vec}\mathrm{<mo>:</mo>}E\times E\to V$ $—$ отображение, удовлетворяющее аксиомам:

(a) для любых точек $x\mathrm{,}y\text{\hspace{0.17em}z}\mathrm{,}\in E$ выполняется равенство

$\text{vec(x}\mathrm{,} y)+\text{vec(y}\mathrm{,} z)\text{vec(x}\mathrm{,} z)$

(b) для любой точки x$\in E$ и любого вектора $v\in \mathcal{V}$ существует единственная точка $y\in E$ такая, что $\text{vec(x}\mathrm{,} y)=\mathbf{v}$,

а $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ скалярное произведение на $\mathcal{V}$. Значение $\mathit{v}=\mathrm{vec}(x\mathrm{,} y)$ интерпретируется как вектор с началом в точке x и концом в точке y.

Предположим, что фиксирован некоторый декартов репер $\left(o\mathrm{,}\right({{\mathbf{i}}_k\mathbf{)}}_{k=1}^3$, где $o\in \mathcal{E}$ $—$ начало отсчета, а ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^3$ $—$ ортонормированный базис пространства $\mathcal{V}$. Тогда точке $o$соответствует поле радиус-векторов $\mathbf{p}\mathbf{ }\text{\hspace{0.17em}: x}\mapsto \text{vec(o}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}x)}$, а базис ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^3$ позволяет определить координаты произвольной точки из $E$, которые полагаются равными координатам радиус-вектора этой точки.

Пара $(o\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}(}{{\mathbf{i}}_k\mathbf{)}}_{k=1}^3\text{)}$ в дальнейшем ассоциируется с инерциальной системой отсчета (наличие абсолютного времени неявно предполагается) [43]. За счет операции сопоставления точкам их декартовых координат, осуществляемой парой $(o\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}(}{{\mathbf{i}}_k\mathbf{)}}_{k=1}^3\text{)}$, на множестве $E$ вводятся топология ${\mathcal{T}}_E$ и гладкая структура ${\mathcal{D}}_E$, индуцированные соответствующими топологией и атласом из ${ℝ}^3$. Тем самым приходим к структуре

${\mathcal{E}}_{\text{geom}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E\mathrm{,}g\mathrm{,}\nabla \mathrm{,}\text{e}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (2)

трехмерного геометрического пространства над $E$. Здесь $g$ $—$ евклидова метрика, $\nabla$ $—$ евклидова связность, а $\text{e}$ $—$ форма объема, согласованная с метрикой (тензор Леви-Чивита). Элементы $g$, $\nabla$ и $\text{e}$ структуры (2) выбраны раз и навсегда.

Структура (2) полностью определяется по структуре (1) и в этом смысле может быть названа производной по отношению к последней. Необходимость определения производной геометрической структуры связана с тем, что в дальнейшем предполагается рассматривать на $E$ регионы и стирать с них геометрию, которая изначально индуцирована геометрией объемлющего пространства (2), для последующего определения на этих множествах геометрии более общего вида.

1.2. Тело и евклидовы формы

В рамках классической механики континуума под телом $\mathfrak{B}$ понимается гладкое многообразие меток, которые идентифицируют представительные объемы, наделенные дополнительными атрибутами $—$ массой и зарядом [44; 45]. Поэтому $\mathfrak{B}$ является не просто чистым многообразием, а многообразием, снабженным некоторой мерой [46]. Вместе с тем, поскольку в настоящей работе рассматривается только кинематика самонапряженного тела, будем интерпретировать $\mathfrak{B}$ лишь как гладкое $n$ -мерное многообразие, т. е. как структуру

$\mathfrak{B}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{,}{\mathcal{T}}_B\mathrm{,}{\mathcal{D}}_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3)

в которой $B$ $—$ континуальное множество меток, ${\mathcal{T}}_B$ $—$ топология на этом множестве [47, с.~20], а ${\mathcal{D}}_B$ $—$ гладкая структура на $B$ [39, с.~12--13]. Хотя в общем случае топология и гладкая структура на теле (3) могут быть произвольными, далее будем полагать, что они индуцированы топологией и гладкой структурой образа тела, реализованного в виде подмногообразия пространства (2). Заметим, что размерность тела $n$ может принимать значения $1$, $2$ и $3$. В соответствующем случае будем говорить о материальных кривых, материальных поверхностях и материальных телах. Для обозначения элементов $\mathfrak{B}$ используется фрактурный шрифт: $\mathfrak{p}$, $\mathfrak{q}$, $\mathfrak{r}$.

Тело $\mathfrak{B}$ наблюдается лишь посредством евклидовых форм, то есть образов гладких вложений [39, с.~85] $\varkappa \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ тела $\mathfrak{B}$ в евклидово физическое пространство $\mathcal{E}$. Прилагательное <<евклидова>> использовано здесь для того, чтобы подчеркнуть отличие этих образов тела от более общих, рассматриваемых в рамках неевклидовой геометрии. Следуя терминологии, принятой в механике континуума [44], любое вложение $\varkappa \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ будем называть конфигурацией.

Каждая евклидова форма $\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo>}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ рассматривается как некоторое подмножество физического многообразия ${\mathcal{E}}_{\text{geom}}$, из которого на $\mathcal{S}$ перенесены метрические свойства. В терминах структур последнее означает, что $\mathcal{S}$ является гладким вложенным $n$ -мерным подмногообразием [39, с.~98] физического пространства $\mathcal{E}$ с индуцированной геометрией последнего:

$\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}g{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}\nabla {\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}\text{e}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4)

где $S$ $—$ подлежащее множество формы, а вертикальная черта ${\mathrm{<mo>\#</mo><mo>|</mo>}}_S$ обозначает ограничение объекта $\mathrm{<mo>\#</mo>}$ на множество $S$.

Элемент ${\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$ структуры (4) является топологией на $S$, индуцированной из ${\mathcal{E}}_{\text{geom}}$ [47, с.~49], а класс ${\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$ является гладкой структурой на $S$, порожденной атласом, состоящим из карт срезки (slice charts) [39, с.~101]. Поле $g{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$ определяет риманову метрику на $S$ (в рамках классической дифференциальной геометрии ей соответствует первая основная фундаментальная форма) как обратный образ (pullback) [39, с.~320] $g{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\iota }_S^{\ast }g$ физической метрики относительно канонической инъекции ${\iota }_S\mathrm{<mo>:</mo>}S\rightarrowtail E$, определяемой формулой $x\mapsto x$. В свою очередь, $\nabla {\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$ есть связность Леви-Чивита [48, с.~122--123] на $S$, порожденная полем $g{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$. Наконец, поле $\text{e}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$ является формой объема на $S$, индуцированной формой объема $\text{e}$ физического пространства. Определение последнего поля довольно деликатно и зависит от размерности $n\mathrm{<mo>=</mo>}\dim \mathfrak{B}$. Если $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$, подобно физическому пространству, то многообразие $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всегда ориентируемо, и его форма объема определяется через обратный образ $\text{e}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{<mo>=</mo>}{\iota }_S^{\ast }\text{e}$ [39, с.~383]. В случае же, когда $n\mathrm{<mo><</mo>3}$, обратный образ $3$ -формы на $n$ -мерное подмногообразие дает нуль-форму. Чтобы иметь возможность определить форму объема по римановой метрике [39, с.~389], необходимо наложить ограничение на тело $\mathfrak{B}$, потребовав, чтобы оно было ориентируемым многообразием. Тогда все его формы будут также ориентируемы. В дальнейшем это ограничение неявно подразумевается^[2].

Даже если размерность тела совпадает с размерностью физического пространства, то есть, когда $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$, евклидова форма $\mathcal{S}$ может не совпадать со всем физическим пространством $\mathcal{E}$. Это означает, что соответствующая конфигурация $\varkappa$ не является обратимым отображением, поскольку не для каждого элемента $x\in \mathcal{E}$ имеется прообраз в $\mathfrak{B}$. Чтобы исправить ситуацию, достаточно воспользоваться отображением $\widehat{\varkappa }\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{S}$, определенным равенством $\widehat{\varkappa }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т. е. $\widehat{\varkappa }$ получено из $\varkappa$ сужением области прибытия на образ отображения. Действительно, это отображение является биекцией. Более того, оно является диффеоморфизмом.

Пусть ${\varkappa }_R\mathrm{,}\varkappa \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ $—$ произвольные конфигурации, образами которых являются евклидовы формы ${\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>=</mo>}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo>}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Определим отображения ${\widehat{\varkappa }}_R\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to {\mathcal{S}}_R$ и $\widehat{\varkappa }\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{S}$. Тогда композиция $\gamma \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\widehat{\varkappa }\circ {\widehat{\varkappa }}_R^{-1}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to \mathcal{S}$ характеризует переход от формы ${\mathcal{S}}_R$ к форме $\mathcal{S}$ и в этой связи называется деформацией. Соотношения между телом и его формами, конфигурациями и деформациями иллюстрируются на рис. 1.

Рис. 1.1. Конфигурации и деформации

Fig. 1.1. Configurations and deformations

1.3. Геометрическая структура над телом

Выбор привилегированной формы, геометрия которой в общем случае неевклидова, означает, что тело, будучи носителем этой формы, становится геометрическим пространством. Термин <<геометрический>> подчеркивает, что рассматриваются многообразия, на которых определены правило параллельного переноса и возможность измерять длины, т. е. все то, что позволяет использовать геометрический язык. Альтернативный термин $—$ <<пространство аффинной связности с метрикой>> $—$ в настоящей статье не употребляется в силу его громоздкости. Таким образом, структура (3) пополняется новыми элементами [26]:

${\mathfrak{B}}_{\text{geom}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{,}{\mathcal{T}}_B\mathrm{,}{\mathcal{D}}_B\mathrm{,}\text{G}\mathrm{,}\nabla \mathrm{,}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (5)

где $\text{G}$ $—$ риманова метрика, $\nabla$ $—$ аффинная связность, а $\mu$ $—$ форма объема на $B$. Структура (5) является абстрактным представлением формы, свободной от напряжений; ее элементы $\text{G}$, $\nabla$ и $\mu$ зависят от физической природы несовместности деформаций. В частности, эти поля могут быть неравноправны: одни из них могут быть определены по другим либо по дополнительным физическим полям. Таблица 1.1 иллюстрирует эту ситуацию. Она содержит примеры геометрических пространств, обычно используемых в геометрической механике континуума [20; 21].

Таблица 1.1. Геометрические пространства над $\mathfrak{B}$

Table 1.1. Geometric spaces over $\mathfrak{B}$

В табл. 1.1 столбец <<Базисные поля>> содержит поля, которые предписаны, исходя из тех или иных физических соображений. Эти поля не зависят от структуры геометрии. Последний столбец <<Производные поля>> содержит поля, которые получаются из базисных полей и, возможно, геометрических свойств гладких многообразий. Поясним соответствие между базисными и производными полями более подробно.

Если пространство риманово, то риманова метрика $\text{G}$ является базисным полем. Другие поля из структуры (5) выражаются в терминах метрики: аффинная связность $\nabla$ является связностью Леви-Чивита, а форма объема $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}dV$ определяется равенством $dV\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\det \text{G}}d{\mathfrak{p}}^1\wedge \cdots \wedge d{\mathfrak{p}}^n$. В случае пространства Вайценбока заданы поле $\text{H}$ обратимых линейных преобразований и форма объема $\mu$. Тогда аффинная связность и метрика, являясь производными полями, порождаются полем $\text{H}$. Наконец, аффинная связность пространства Вейля определяется метрикой и $1$ -формой $\nu$.

Геометрия пространств аффинной связности характеризуется тензорными полями кручения $\mathfrak{T}$, кривизны $\Re$ и неметричности $\mathfrak{Q}$. Их соответствия каждому пространству показаны в табл. 1.2, где символ $\circ$ указывает на то, что соответствующее поле всюду равно нулю, а $•$ означает, что поле принимает ненулевые значения.

Таблица 1.2. Соответствие между геометриями и тензорными полями кручения, кривизны и неметричности

Table 1.2. Correspondence between geometries and tensorial fields of torsion, curvature and nonmetricity

1.4. Тело и неевклидовы формы

Рассмотрим более подробно выбор геометрии на теле $\mathfrak{B}$. Очевидным представляется способ, когда геометрия индуцируется из физического пространства $\mathcal{E}$ по некоторой конфигурации $\varkappa \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ посредством обратных образов из евклидовой формы (4). В этом случае

$\text{G}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}^{\ast }g{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}\nabla \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}^{\ast }\nabla {\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}^{\ast }\text{e}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}$

где

${\text{G}}_{\mathfrak{p}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathfrak{p}}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}_{\mathfrak{p}}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\nabla }_{\text{u}}\text{v}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}^{\ast }\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\nabla {\mathrm{<mo>|</mo>}}_S{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\widehat{\varkappa }}_{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\widehat{\varkappa }}_{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>,}$

${\mu }_{\mathfrak{p}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{v}}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\text{v}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{e}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathfrak{p}}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{v}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{T}_{\mathfrak{p}}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{v}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Здесь $\mathfrak{p}\in \mathfrak{B}$ $—$ произвольная точка тела, $\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{,}{\text{v}}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\text{v}}_n\in T_{\mathfrak{p}}\mathfrak{B}$ $—$ произвольные касательные векторы [40, с.~22], null $—$ касательное отображение [40, с.~28] (используется отождествление $T_{\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathcal{E}\cong \mathcal{V}$ по каноническому изоморфизму [39, с.~59]), а ${\widehat{\varkappa }}^{\ast }$, ${\widehat{\varkappa }}_{\ast }$ являются, соответственно, обратным и прямым образами векторных полей [16, с.~67].

Рассмотренный выбор геометрии на теле соответствует случаю классической механики сплошной среды. В ней тело не играет никакой иной роли, кроме как множества меток, а геометрия на нем фиксирована и совпадает с геометрией любой из его евклидовых форм. Определим теперь неевклидову форму [25; 26]

$S\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{,}{\mathcal{T}}_S\mathrm{,}{\mathcal{D}}_S\mathrm{,}{\text{G}}_0\mathrm{,}{\nabla }_0\mathrm{,}{\mu }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (6)

где ${\mathcal{T}}_S$ и ${\mathcal{D}}_S$ являются, соответственно, топологией и гладкой структурой на континуальном множестве $S$, а ${\text{G}}_0$, ${\nabla }_0$, ${\mu }_0$ $—$ произвольными римановой метрикой, аффинной связностью и формой объема на $n$ -мерном многообразии $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{,}{\mathcal{T}}_S\mathrm{,}{\mathcal{D}}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Хотя, с формальной точки зрения, множество $S$, топология ${\mathcal{T}}_S$ и гладкая структура ${\mathcal{D}}_S$ могут быть произвольными, следует иметь в виду, что каждая неевклидова форма может быть получена лишь по евклидовой (ведь только такая форма доступна наблюдениям). По этой причине ограничим общность рассуждений требованием, чтобы (см. формулу (4))

$S\subset \mathcal{E}\mathrm{,}{\mathcal{T}}_S\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}\text{è}{\mathcal{D}}_S\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{.}$

Геометрическая структура формы (6) может не иметь ничего общего с геометрией физического пространства. Для единообразия можно предположить, что любая такая форма является образом вложения ${\varkappa }_R\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to R$, которое мы будем называть обобщенной конфигурацией, тела $\mathfrak{B}$ в некоторое неевклидово пространство $R$, скажем, Римана. В этом случае тело может быть снабжено соответствующей геометрией по формулам

$\text{G}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R^{\ast }{\text{G}}_0\mathrm{,}\nabla \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R^{\ast }{\nabla }_0\mathrm{,}\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R^{\ast }{\mu }_0\mathrm{.}$

Геометрия формы $S$ полностью определяется физической причиной несовместности, поэтому одно и то же многообразие меток может обладать разными геометриями. Как отмечалось ранее, тело становится геометрическим пространством и в рамках теоретических рассуждений само может быть рассмотрено как неевклидова форма [13; 14; 23].

Пусть ${\varkappa }_R\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to R$ $—$ обобщенная конфигурация и пусть $\varkappa \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ $—$ обычная конфигурация. Отображение $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{\varkappa }\circ {\widehat{\varkappa }}_R^{-1}\mathrm{<mo>:</mo>}S\to \mathcal{S}$ из неевклидовой формы $S\mathrm{<mo>=</mo>}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в евклидову форму $\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo>}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на уровне гладких структур^[3] неотличимо от классической деформации. По этой причине будем называть $\lambda$ обобщенной деформацией. Вместе с тем следует иметь в виду, что геометрические структуры над областью отправления и областью прибытия $\lambda$ отличны друг от друга в целом. Это отличие проявляет себя в действиях обратного и прямого образов ${\lambda }^{\ast }$ и ${\lambda }_{\ast }$. Действительно, первое отображение переводит элементы евклидовой структуры из формы $\mathcal{S}$ на форму $S$, а второе, наоборот, переводит элементы неевклидовой структуры из формы $S$ на форму $\mathcal{S}$. Конечно, ограничиваясь сценой гладких многообразий, эти отображения всего лишь преобразуют поля.

В частном случае, когда геометрия формы $S$ совпадает с евклидовой (или, если $n\mathrm{<mo><</mo>3}$, $—$ то с геометрией, индуцированной евклидовой геометрией объемлющего пространства), обобщенная деформация сводится к классической деформации. Следует лишь отождествить $S$ с некоторым подмножеством евклидова пространства, а $\lambda$ $—$ с искажением соответствующей евклидовой формы в другую форму $\mathcal{S}$. В общем же случае, когда форма $S$ неевклидова, можно вложить ее в евклидово пространство размерности большей, чем $3$. Здесь под вложением понимается отображение в такое пространство, в котором геометрия $S$ будет совпадать с геометрией, индуцированной из объемлющего пространства на образ вложения.

Изложенные геометрические идеи могут быть образно интерпретированы в случае размерности $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$, которая соответствует криволинейной упругой мембране. Здесь возможны две точки зрения. Первая из них отвечает могущественному трехмерному наблюдателю в евклидовом пространстве: процесс деформации наблюдается как растяжение и изгиб мембраны в объемлющем пространстве. Вторая точка зрения более ограничительна. Следует отождествить себя с наблюдателем, пребывающем в двумерном мире с неевклидовой геометрией, образованной криволинейной формой мембраны. Геометрически это означает, что такой наблюдатель чувствует лишь внутреннюю геометрию поверхности, ассоциированной с мембраной. Именно второй подход позволяет дать описание <<чистой>> деформации, отбросив те <<фиктивные>> деформации, которые не влияют на состояние тела.

1.5. Пример неевклидовой формы

Проиллюстрируем геометрические идеи на частном примере, основанном на решении задачи об осесимметричной конечной деформации гиперупругой мембраны [49]. Рисунок 2 содержит некоторые результаты численных расчетов с использованием этого решения. Тело $\mathfrak{B}$ изображено в центре нижней части рисунка как открытый диск на евклидовой плоскости с нанесенной на нем координатной сеткой. Этим иллюстрируется, что тело имеет лишь структуру гладкого многообразия и что в рассматриваемом случае эта структура совместна с евклидовой. Физическое пространство, изображенное в правой верхней части рисунка, является двумерным евклидовым многообразием. Оно содержит две плоские евклидовы формы ${\mathcal{S}}_1$ и ${\mathcal{S}}_2$, которые самонапряжены (как и любые другие). Эти формы ощущаются двумерным физическим наблюдателем.

Неевклидова отсчетная форма $S_R$ тела, в которой все представительные объемы находятся в натуральном (т. е. в свободном от напряжений) состоянии, изображена в виде полусферы в левой верхней части рисунка. На нее нанесена сферическая сетка, и форма в целом помещена на сферу, представляющую сферическую (риманову) геометрию пространства, содержащего неевклидову форму. Такой образ может ощущаться трехмерным наблюдателем.

Изменение цветовых оттенков в плоскостях форм ${\mathcal{S}}_1$ и ${\mathcal{S}}_2$ показывает распределение накопленной упругой энергии, связанной с частными вложениями отсчетной формы в физическую плоскость. Все, что может увидеть двумерный физический наблюдатель, $—$ это деформация $\gamma \mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_1\to {\mathcal{S}}_2$ одной самонапряженной формы в другую. Для иллюстрации самонапряженной природы форм на плоскостях, перпендикулярных к ним, построены графики с распределениями главных напряжений Коши, $T_1$, $T_2$ и накопленной упругой энергии $W$.

Рис. 1.2. Вложения неевклидовой отсчетной формы в плоское физическое пространство

Fig. 1.2. Embeddings of non-Euclidean reference shape into planar physical space

Рисунок 2 основан на вычислениях, проведенных в соответствии со статьей [49]. Мембрана, отсчетная форма которой представляет собой полусферу, растягивается и уплощается. Плотность упругой энергии мембраны полагается равной

$W\mathrm{<mo>=</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}W\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\lambda }^2+{\mu }^2+\frac{1}{{\lambda }^2{\mu }^2}-3\right)+\alpha \left({\lambda }^2{\mu }^2+\frac{1}{{\lambda }^2}+\frac{1}{{\mu }^2}-3\right)\mathrm{,}$

что соответствует материалу Муни. Здесь функции $\phi \mapsto \lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \mapsto \mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ являются главными растяжениями, а $\alpha$ $—$ материальной константой. Независимая переменная $\phi$ соответствует азимутальному углу. Результаты напряжений представлены выражениями (соответственно, радиальная и окружная компоненты напряжений)

$T_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\frac{\lambda }{\mu }-\frac{1}{{\lambda }^3{\mu }^3}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\alpha {\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\frac{\mu }{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^3{\mu }^3}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\alpha {\lambda }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Замечание 1. Функции $\phi \mapsto \lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\phi \mapsto \mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ являются решениями системы двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка:

${\lambda }^{\text{'}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\lambda }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^2-{\lambda }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^2{\mu }^2+\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda -\mu \cos \phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^4{\mu }^2-3-\alpha {\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^4{\mu }^2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mu \sin \phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^4{\mu }^2+\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\alpha {\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

${\mu }^{\text{'}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\lambda -\mu \cos \phi }{\sin \phi }$

с начальными условиями $\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }_0$ и $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\mu }_0$.

2. Синтезирование неевклидовой отсчетной формы

2.1. Гипотеза о локальной разгрузке

Натуральное состояние.

Перейдем теперь к реализации идеи неевклидовой отсчетной формы. Для этого, в первую очередь, следует уточнить, что понимается под представительным объемом и его натуральным состоянием.

Пусть ${\mathcal{S}}_R$ $—$ некоторая форма $n$ -мерного тела $\mathfrak{B}$ ( $n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\mathrm{2,}3$ ), наблюдаемая в эксперименте. Ее точки будем обозначать прописными символами $\mathcal{X}$, $\mathcal{Y}$ и т. д. Будем полагать, что при $n\mathrm{<mo><</mo>3}$ на форме ${\mathcal{S}}_R$ задана параметризация (например, для формы, топологически эквивалентной сфере, такая параметризация может быть задана с помощью азимутального и полярного углов). Предполагается, что материал тела простой и гиперупругий [44], т. е. отклик тела на деформацию $\gamma \mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to \mathcal{S}$ в точке $\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R$ определяется значением плотности упругой энергии

$w\mathrm{<mo>=</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{,}{F}_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo>;</mo>}{G}_R\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (1)

Здесь $F_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_{\mathcal{X}}\gamma \in \text{Hom}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>;</mo>}{T}_{\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ касательное отображение [40, с.~28], которое, в соответствии с классическим аналогом, будем называть градиентом деформации^[4] в точке $\mathcal{X}$, а $G_R$ и $G$ $—$ метрические тензоры на формах ${\mathcal{S}}_R$ и $\mathcal{S}$, индуцированные метрикой физического пространства $g$ на них. Представление (1) плотности упругой энергии является наиболее общим и предполагает независимую параметризацию отсчетной и актуальной форм. Возможны следующие частные случаи. 1. Параметризации воспроизводят координаты физического пространства. В этом случае $G_R\mathrm{<mo>=</mo>}G\mathrm{<mo>=</mo>}g$, а координатное представление отображения $T\gamma$ в точке задается некоторой числовой матрицей общего вида. 2. Параметризации согласованы таким образом, что координатное представление $T\gamma$ в любой точке совпадает с единичной матрицей. В последнем случае локальные базисы координатных представлений называются векторными базисами [50]. В дальнейшем зависимости от $G_R$ и $G$ не будут указаны явно.

Соотношение (1) задает плотность упругой энергии, т. е. энергию, отнесенную к единице объема формы ${\mathcal{S}}_R$. Однако само понятие единицы объема требует уточнений. Несмотря на то что с точки зрения математического формализма здесь можно говорить об инфинитезимальном элементе объема, физически мы не можем допустить возможность выбора сколь угодно малого элемента. Для выхода из этого противоречия мы принимаем гипотезу локального термостатического состояния [51], согласно которой представительный объем достаточно мал для того, чтобы считать его инфинитезимальным с точки зрения макроскопического описания, но в то же время достаточно велик для того, чтобы полагать его находящимся в состоянии термостатического равновесия. Принимая эту гипотезу, мы можем локально интерпретировать деформацию как линейное преобразование между соответствующими касательными слоями отсчетной и актуальной форм, то есть как касательное отображение $T_{\mathcal{X}}\gamma$.

Под натуральным состоянием понимается некоторое привилегированное физическое состояние представительного объема. Свободное от напряжений состояние, когда тензор напряжений Коши равен нулю в рассматриваемой точке, может служить примером. С формальной точки зрения предполагается, что натуральное состояние характеризуется некоторым тензором $S$ второго ранга.

Скажем, что деформация ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ преобразует представительный объем, окружающий точку ${\mathcal{X}}_0\in {\mathcal{S}}_R$, в натуральное (или единообразное) состояние, если

${\left.\frac{\partial W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial F}\right|}_{F\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_{\mathcal{Y}}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{X}}_0}}\mathrm{<mo>=</mo>}S\mathrm{.}$

Используя уточненное понятие натурального состояния, теперь можно сформулировать гипотезу, на которой основана классическая механика деформируемого твердого тела: существует деформация ${\gamma }_0\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}_0$ такая, что представительный объем, окружающий каждую точку $\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R$, преобразуется в натуральное состояние, представленное тензором $S$ (одного для всех точек), то есть,

$\forall \mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>:</mo>}{\left.\frac{\partial W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial F}\right|}_{F\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_{\mathcal{X}}{\gamma }_0}\mathrm{<mo>=</mo>}S\mathrm{.}$

Таким образом, евклидова форма ${\mathcal{S}}_0$ состоит из представительных объемов, каждый из которых находится в натуральном состоянии. Это $—$ глобальная натуральная форма.

Формулировка гипотезы о локальной разгрузке.

Заменим классическую гипотезу о существовании глобального натурального состояния гипотезой, которую будем называть гипотезой локальной разгрузки [24; 26]. Пусть $S$ $—$ тензор второго ранга, определяющий натуральное состояние представительного объема. Будем полагать, что существует семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R}$ деформаций ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, каждая из которых, ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, преобразует представительный объем, окружающий точку $\mathcal{X}$, в натуральное состояние, то есть

$\forall \mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>:</mo>}{\left.\frac{\partial W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial F}\right|}_{F\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_{\mathcal{Y}}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{X}}}\mathrm{<mo>=</mo>}S\mathrm{.}$

С экспериментальной точки зрения принятая гипотеза представляется вполне естественной: можно осуществить деформирование тестового образца таким образом, чтобы инфинитезимальная окрестность любой его фиксированной точки оказалась свободной от напряжений. Разумеется, для каждой точки нужно подобрать свою деформацию.

Гипотеза локальной разгрузки иллюстрируется на рис. 3 для некоторых трех точек ${\mathcal{X}}_1$, ${\mathcal{X}}_2$ и ${\mathcal{X}}_3$ из формы ${\mathcal{S}}_R$. Предполагается, что тело является трехмерным многообразием. Ячейки каждого региона изображают представительные объемы; более темные соответствуют представительным объемам в натуральном состоянии. Отображения ${\varkappa }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, и ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\mathrm{2,}3$, являются, соответственно, конфигурациями и деформациями.

Рис. 2.1. Семейство локально-натуральных форм

Fig. 2.1. Family of locally natural shapes

Для каждой точки $\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R$ деформация ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ определяет касательное отображение $F^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}T{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}T{\mathcal{S}}_R\to T{\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Если $\mathcal{Y}\in {\mathcal{S}}_R$ $—$ некоторая точка, которая может не совпадать с $\mathcal{X}$, то обратимое линейное отображение

$F^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{Y}}\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_{\mathcal{Y}}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in \text{Hom}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathcal{Y}}{\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>;</mo>}{T}_{{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{Y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

преобразует представительный объем, окружающий эту точку, в некоторое состояние. Заметим, что последнее не обязательно является натуральным. Вместе с тем, если $\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{X}$, то отображение $F^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{X}}$ преобразует представительный объем $T_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R$ в соответствующий объем, содержащийся в форме ${\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, который на этот раз будет в натуральном состоянии.

Поле локальных деформаций.

Предположим, что тело $\mathfrak{B}$ материально единообразно, то есть состоит из представительных объемов с одинаковыми физическими свойствами [13]. Последнее означает, что, будучи извлеченным из состава тела и приведенным в натуральное состояние, каждый такой представительный объем даст один и тот же отклик на одну и ту же деформацию. Общий для всех образ представительного объема в натуральном состоянии, следуя [18], назовем архетипом.

Для математической формализации архетипа ассоциируем с ним фиксированное семейство ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ попарно ортогональных векторов единичной длины. Здесь $n\mathrm{<mo>=</mo>}\dim \mathfrak{B}$. С физической точки зрения элементы этого семейства определяют кристаллографические направления решетки идеального кристалла. Тогда прообраз семейства ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ в произвольно выделенном представительном объеме, находящемся в составе наблюдаемой формы ${\mathcal{S}}_R$, будет некоторым семейством ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_A{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$, определяющим направления искаженной решетки кристалла. Здесь $\mathcal{X}$ $—$ метка рассматриваемого представительного объема.

Преобразование ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_A{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n\mapsto {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ определяет деформацию представительного объема, переводящую его из текущего состояния в натуральное. Поскольку каждое из семейств ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$, ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_A{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ находится в векторном пространстве $\mathcal{V}$, то эту деформацию можно распространить на однозначно определенное линейное отображение $H_{\mathcal{X}}$, переводящее линейную оболочку, порождаемую репером ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_A{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$, в линейную оболочку, порождаемую репером ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$. Первая линейная оболочка есть всего лишь касательное пространство $T_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R$. Для второй линейной оболочки будем использовать обозначение $\mathcal{U}$. Если через $g_{\mathcal{U}}$ обозначить сужение евклидовой метрики $g$ на $\mathcal{U}$, то окончательно под архетипом будем понимать евклидово векторное пространство $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{U}\mathrm{,}{g}_{\mathcal{U}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где

$\mathcal{U}\subset \mathcal{V}\text{è}{g}_{\mathcal{U}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}g{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{U}}\mathrm{.}$

Соответствующее линейное отображение $H_{\mathcal{X}}\in \text{Hom}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, в свою очередь, будем называть локальной деформацией.

Гипотезу локальной разгрузки в рамках свойства материального единообразия следует дополнить предположением, что для каждой точки $\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R$ евклидово пространство $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}g{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ канонически изометрично^[5] пространству $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{U}\mathrm{,}{g}_{\mathcal{U}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Производя, в соответствии с этим предположением, для каждой точки $\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R$ отождествление $T_{{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\equiv \mathcal{U}$, приходим к линейному отображению

$H_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{F}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{X}}\in \text{Hom}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (2)

которое представляет локальную деформацию. По построению, обратимое линейное отображение $H_{\mathcal{X}}$ преобразует представительный объем, окружающий точку $\mathcal{X}$, в натуральное состояние.

В свою очередь, по отображениям $H_{\mathcal{X}}$ синтезируем глобальное поле следующим образом. Совместно с касательным расслоением $T{\mathcal{S}}_R$ определим тривиальное векторное расслоение над ${\mathcal{S}}_R$, типовым слоем которого будет $\mathcal{U}$, и обозначим это расслоение символом $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_R\mathrm{,}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Таким образом, по построению $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_R\mathrm{,}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\mathcal{S}}_R\times \mathcal{U}$. Теперь определим новое отображение:

$H\mathrm{<mo>:</mo>}T{\mathcal{S}}_R\to T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_R\mathrm{,}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{,}{H}_{\mathcal{X}}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3)

Предполагается, что полученное отображение (3) гладко как отображение между многообразиями. В таком случае, согласно положениям общей теории векторных расслоений, оно является гомоморфизмом векторных расслоений [39, с.~261] над ${\mathcal{S}}_R$. Соответствующее отображение между базами этих расслоений является тождественным отображением. Будем называть отображение $H$ полем локальных деформаций [26].

Если семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R}$ можно выбрать таким образом, что оно состоит из одного элемента ${\gamma }_0\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}_0$, то образ ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является глобальной натуральной формой тела $\mathfrak{B}$. В этом случае отображение $H_{\mathcal{X}}$ может быть отождествлено с касательным отображением $T_{\mathcal{X}}{\gamma }_0$ для каждой точки $\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R$ и локальные деформации называются совместными. В противном случае, когда семейство деформаций не сводится к одному элементу, локальные деформации называются несовместными, то есть линейное отображение $H_{\mathcal{X}}$ не может быть выражено как касательное отображение к некоторой деформации, единой для всех $\mathcal{X}$ [13].

Замечание 2. Тот факт, что расслоение $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_R\mathrm{,}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ было выбрано тривиальным (т. е. тотальное пространство $—$ цилиндр), а отображение $H$ было определено формулой (3), нисколько не умаляет общность дальнейших рассуждений, поскольку в них фигурируют лишь локальные деформации в точке.

Представления поля локальных деформаций.

Поле локальных деформаций $H$ имеет ряд альтернативных представлений. Действительно, во-первых, отображение $H$, будучи синтезированным по линейным отображениям $H_{\mathcal{X}}\in \text{Hom}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, индуцирует семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{H}_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R}$ линейных трансформаций. Предположим, в частности, что $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$. Тогда $\mathcal{U}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{V}$ и $T_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R\cong \mathcal{V}$ (канонический изоморфизм). По этой причине $H_{\mathcal{X}}\in \text{End}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{V}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{H}_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R}$, в свою очередь, сводится к гладкому полю $H\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to \text{End}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{V}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ линейных преобразований. В таком виде $H$ используется в классической теории дефектов [52].

Пусть теперь ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ $—$ локальные координаты на многообразии ${\mathcal{S}}_R$ и пусть ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ $—$ некоторый базис $\mathcal{U}$. Тогда линейное отображение $H_{\mathcal{X}}$ имеет следующее диадное представление:

$H_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo>=</mo>}{H}_B^A{e}_A\otimes d{\mathcal{X}}^B{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{X}}\mathrm{,}$ (4)

где ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d{\mathcal{X}}^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ $—$ поле координатных кореперов. Последнее представление может быть записано в следующей краткой форме:

$H_{\mathcal{X}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_A\otimes H_{\mathcal{X}}^A\mathrm{,}$

в которой

$H_{\mathcal{X}}^A\mathrm{<mo>=</mo>}{H}_B^{A}d{\mathcal{X}}^B{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{X}}\mathrm{,}A\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{,}$

$—$ совокупность $1$ -форм. Это означает, что вместо отображения (3) можно рассматривать $n$ гладких полей $1$ -форм $H^A$, $A\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$. Если базис ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ фиксирован (например, соответствует положению кристаллографических осей в натуральном состоянии), то эти поля позволяют однозначно восстановить отображение $H$.

Замечание об условиях совместности.

С использованием дифференциальных форм совместность локальных деформаций сводится к следующему условию: должны существовать $n$ гладких скалярных функций ${\gamma }^A\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to ℝ$, $A\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$, таких, что

$H^A\mathrm{<mo>=</mo>}d{\gamma }^A\mathrm{,}A\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{.}$

Здесь $d$ $—$ внешний дифференциал [39, с.~365]. Таким образом, необходимым (а в случае, когда форма ${\mathcal{S}}_R$ односвязна) и достаточным условием совместности деформаций являются равенства

$d{H}^A\mathrm{<mo>=</mo>0,}A\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{,}$ (5)

которым, в случае $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$, соответствует классическое условие

$\text{rot}H\mathrm{<mo>=</mo>}0\mathrm{.}$

В общем случае, когда отсчетная форма неодносвязна (например, является полым шаром), достаточные условия могут быть также сформулированы, но равенств (5) уже недостаточно. Необходимо привлекать методы алгебраической топологии, что сделано, например, в работе [53].

2.2.Материальная метрика и связность

Стирание евклидовой геометрии из формы.

Пусть поле (3) локальных деформаций известно. Тогда вместо использования континуального семейства ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R}$ локально единообразных форм можно синтезировать новую глобально единообразную форму с неевклидовой геометрией. Для этого будем исходить из формы ${\mathcal{S}}_R$ и первым шагом <<сотрем>> с нее геометрию. Полученное многообразие будет обозначаться через $M_R$, то есть $M_R\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_R\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В таком случае точки формы ${\mathcal{S}}_R$ становятся всего лишь точками многообразия и по этой причине, чтобы отличать многообразие $M_R$ от геометрического пространства ${\mathcal{S}}_R$, будем обозначать точки $M_R$ символами вида $X$, $Y$ и $Z$. Отличие структуры ${\mathcal{S}}_R$ от $M_R$ можно подчеркнуть в явном виде, определив отображение (каноническую инъекцию) ${\iota }_{M_R}\mathrm{<mo>:</mo>}{M}_R\rightarrowtail \mathcal{E}$, $X\mapsto \mathcal{X}$. Здесь $X$ обозначает точку из $M_R$, а символ $\mathcal{X}$, обозначающий элемент ${\mathcal{S}}_R$, представляет точно такую же точку, но рассматриваемую в пространстве $\mathcal{E}$.

После <<стирания>> геометрии с формы ${\mathcal{S}}_R$ касательные пространства к ней также изменяют свои атрибуты. Действительно, если $T_{\mathcal{X}}{\mathcal{S}}_R$ $—$ касательное пространство к ${\mathcal{S}}_R$, то оно автоматически снабжается скалярным произведением, индуцированным из евклидова векторного пространства $\mathcal{V}$, и, таким образом, рассматривается как подпространство последнего. Вместе с тем касательное пространство к $M_R$ не имеет никакой дополнительной структуры. Чтобы подчеркнуть это, тензорные поля на $M_R$ обозначаются как $\text{P}$, $\text{Q}$, и $\text{R}$. В частности, поле (3) обозначается символом $\text{H}$. В явном виде отображение $\text{H}\mathrm{<mo>:</mo>}T{M}_R\to$ $\to T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{S}}_R\mathrm{,}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется равенством

${\text{H}}_X\mathrm{<mo>=</mo>}{H}_{\mathcal{X}}\circ p_X\mathrm{,}$

где $\mathcal{X}\mathrm{<mo>=</mo>}{\iota }_{M_R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $p_X\mathrm{<mo>:</mo>}{T}_{\mathcal{X}}{M}_R\to \mathcal{V}$ изоморфизм на свой образ, такой, что

$\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^A{\partial }_A{\mathrm{<mo>|</mo>}}_X\mapsto u\mathrm{<mo>=</mo>}{p}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^A{e}_A{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathcal{X}}\mathrm{.}$

Таким образом, $\text{H}$ играет точно такую же роль, как его евклидов аналог, поле локальных деформаций $H$, но определен на многообразии, очищенном от какой-либо геометрии.

Замечание 3. С общетеоретической точки зрения нет необходимости извлекать подлежащее многообразие из-под некоторой формы, поскольку общее для всех форм многообразие $\mathfrak{B}$ было определено заранее. Вместе с тем, особенно в частных задачах, можно явно описать лишь формы, поскольку только они наблюдаемы. Процедура <<стирания>> геометрии с формы есть фактически способ восстановить многообразие $\mathfrak{B}$ и затем построить на нем геометрию. Таким образом, в действительности речь по-прежнему идет о теле.

Материальная метрика.

Все, что имеется на данный момент, $—$ поле $\text{H}$ локальных деформаций. Оно трансформирует каждый представительный объем в натуральное состояние, где измерения проводятся посредством метрического тензора $g_{\mathcal{U}}$. Построим обратный образ этой метрики на многообразие $M_R$ и, таким образом, снабдим инфинитезимальные волокна в $M_R$ мерами, которые они имеют в натуральном состоянии. В явном виде определим тензорное поле $\text{G}\in \text{Sec}\left(T^{\ast }{M}_R\otimes T^{\ast }{M}_R\right)$ равенством [13]:

$\forall X\in M_R\forall \text{u}\mathrm{,}\text{v}\in T_X{M}_R\mathrm{<mo>:</mo>}{\text{G}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{g}_{\mathcal{U}}\left({\text{H}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{\text{H}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right)\mathrm{.}$ (6)

Будем называть риманову метрику $\text{G}$ материальной метрикой. В координатном репере, компоненты $\text{G}$ имеют вид ${\text{G}}_{AB}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_{CD}{\text{H}}_A^C{\text{H}}_B^D$, где ${\text{H}}_B^A$ $—$ коэффициенты разложения (4), имеющего в нынешних обозначениях вид ${\text{H}}_X\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{H}}_B^A{e}_A\otimes d{X}^B{\mathrm{<mo>|</mo>}}_X$, а $g_{CD}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_C\text{}\cdot \text{}{e}_D$ $—$ компоненты метрики $g_{\mathcal{U}}$.

К определению (6) материальной метрики можно подойти иным способом [23]. Рассмотрим семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R}$. По нему можно определить новое семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{X\in M_R}$, где отображения ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{M}_R\to \mathcal{E}$ связаны с деформациями ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to \mathcal{E}$ соотношениями ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\circ {\iota }_{M_R\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{S}}_R}$. Здесь ${\iota }_{M_R\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{S}}_R}\mathrm{<mo>:</mo>}{M}_R\rightarrowtail {\mathcal{S}}_R$ $—$ каноническая инъекция, которая отображает точку $X$ в ту же самую точку $\mathcal{X}$, но в пространстве с геометрией.

Каждое отображение ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ определяет метрику ${\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ как обратный образ, ${\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\ast }g$:

$\forall Y\in M_R\forall \text{u}\mathrm{,}\text{v}\in T_Y{M}_R\mathrm{<mo>:</mo>}{\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{T}_Y{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cdot T_Y{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Тензорное поле ${\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ задает метрическую структуру на $M_R$, индуцированную из физического пространства. Теперь пусть $\text{G}$ $—$ тензорное поле второго ранга, такое, что $\text{G}\mathrm{<mo>:</mo>}X\mapsto {\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_X$. Это поле и есть в точности (6).

Таким образом, материальная метрика может быть синтезирована по семейству ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{X\in M_R}$. Образно говоря, метрическая структура над $M_R$ может быть получена путем перебора элементов семейства ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{\mathcal{X}\in {\mathcal{S}}_R}$ и извлечения соответствующей метрической структуры (скалярного произведения) из каждого. Иными словами, различные метрические структуры синтезируются в одну глобальную, неевклидову, структуру.

Материальная связность.

Синтезировав материальную метрику, приходим к структуре $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{,}\text{G}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ риманова многообразия, которое почти является искомой глобально единообразной формой тела. Чтобы завершить построение этой формы, осталось добавить еще одну составляющую $—$ аффинную связность. Действительно, чтобы записать уравнения баланса на $M_R$, равно как и отразить конкретную физическую природу несовместности, необходимо установить некоторое правило параллельного перенесения, которое как раз и определяется аффинной связностью. По определению, аффинная связность $—$ это отображение $\nabla \mathrm{<mo>:</mo>}\text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mapsto {\nabla }_{\text{u}}\text{v}$, которое удовлетворяет следующим аксиомам [54, 55]:

$\forall \text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{,}\text{w}\in \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\nabla }_{\text{u}+\text{v}}\text{w}\mathrm{<mo>=</mo>}{\nabla }_{\text{u}}\text{w}+{\nabla }_{\text{v}}\text{w}$;

$\forall \text{u}\mathrm{,}\text{v}\in \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall f\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\nabla }_{f\text{u}}\text{v}\mathrm{<mo>=</mo>}f{\nabla }_{\text{u}}\text{v}$;

$\forall \text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{,}\text{w}\in \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\nabla }_u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}+\text{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\nabla }_{\text{u}}\text{v}+{\nabla }_{\text{u}}\text{w}$;

$\forall \text{u}\mathrm{,}\text{v}\in \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall f\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\nabla }_{\text{u}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f{\nabla }_{\text{u}}\text{v}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{v}$.

Здесь символ $\text{u}f$ обозначает действие векторного поля $\text{u}$, рассматриваемого как дифференцирование, на скалярное поле $f$.

Пусть ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ $—$ локальный репер касательного расслоения $T{M}_R$, то есть совокупность гладких векторных полей ${\text{e}}_A\mathrm{<mo>:</mo>}U\to T{M}_R$, $A\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$, заданных на открытом множестве $U\subset M_R$, такая, что в каждой точке $X\in U$ упорядоченный набор ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_A{\mathrm{<mo>|</mo>}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ является базисом касательного пространства $T_X{M}_R$. Для любых $A\mathrm{,}B\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$, ковариантная производная ${\nabla }_{{\text{e}}_A}{\text{e}}_B$ является векторным полем, заданным на $U$. По этой причине ее тоже можно разложить по локальному реперу ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$: ${\nabla }_{{\text{e}}_A}{\text{e}}_B\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_A^C{}_B{\text{e}}_C$. Коэффициенты разложения $—$ $n^3$ скалярных полей ${\Gamma }_A^C{}_B\mathrm{<mo>:</mo>}U\to ℝ$ $—$ называются коэффициентами связности. Если они известны, то для произвольных векторных полей $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{u}}^A{\text{e}}_A$ и $\text{v}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{v}}^B{\text{e}}_B$, используя аксиомы связности, можно получить выражение

${\nabla }_{\text{u}}\text{v}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{u}}^A\left({\text{e}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{v}}^C\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\text{v}}^B{\Gamma }_A^C{}_B\right){\text{e}}_C$

для ковариантной производной.

Для дальнейших рассуждений необходимо иметь общий закон преобразования коэффициентов связности. Пусть ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\vartheta }^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ $—$ локальный репер и дуальный к нему корепер, определенные на открытом множестве $U\subset M_R$, которое одновременно является координатной областью некоторой карты. Предположим, что на том же множестве $U$ определены другие локальный репер ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\text{e}}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ и корепер ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\vartheta }}^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$, связанные с предыдущими репером и корепером гладким полем невырожденных $n\times n$ -матриц $\Omega \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\Omega }_B^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}U\to \text{GL}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo>;</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

${\tilde{\text{e}}}_A\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }_A^B{\text{e}}_B\mathrm{,}{\tilde{\vartheta }}^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\mho }_B^A{\vartheta }^B\mathrm{,}$

где $\mho \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\mho }_B^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\Omega }^{-1}$. Обозначим соответствующие коэффициенты связности через ${\Gamma }_A^C{}_B$ и ${\tilde{\Gamma }}_A^C{}_B$, то есть

${\nabla }_{{\text{e}}_A}{\text{e}}_B\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_A^C{}_B{\text{e}}_C\mathrm{,}\text{è}{\nabla }_{{\tilde{\text{e}}}_A}{\tilde{\text{e}}}_B\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\Gamma }}_A^C{}_B{\tilde{\text{e}}}_C\mathrm{.}$

Если ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{X^A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ $—$ координатный репер на $U$, то ${\text{e}}_A\mathrm{<mo>=</mo>}{\Psi }_A^B{\partial }_{X^B}$, где $\Psi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\Psi }_B^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}U\to \text{GL}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo>;</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ однозначно определенное гладкое поле $n\times n$ матриц. Тогда справедливо следующее соотношение [23]:

${\tilde{\Gamma }}_B^A{}_C\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_Q^P{}_R{\mho }_P^A{\Omega }_B^Q{\Omega }_C^R+{\Psi }_Q^R{\mho }_P^A{\Omega }_B^Q{\partial }_{X^R}{\Omega }_C^P\mathrm{.}$ (7)

Формула (7) определяет закон преобразования коэффициентов связности в том случае, когда неголономный (т. е. некоординатный) репер заменяется на другой неголономный репер. Если же исходный репер ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ является голономным, то есть ${\Psi }_B^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_B^A$, то соотношение (7) упрощается:

${\tilde{\Gamma }}_B^A{}_C\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_Q^P{}_R{\mho }_P^A{\Omega }_B^Q{\Omega }_C^R+{\mho }_P^A{\Omega }_B^Q{\partial }_{X^Q}{\Omega }_C^P\mathrm{.}$ (8)

Наконец, когда оба локальных репера ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\text{e}}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ голономны, то тогда речь идет о преобразовании координат. В таком случае ${\Omega }_B^A\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial X^A}{\partial {\tilde{X}}^B}$, где координаты ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ порождают репер ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$, а координаты ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{X}}^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$ порождают репер ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\text{e}}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n$. Выражение (8) сводится к соотношению

${\tilde{\Gamma }}_B^A{}_C\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial {\tilde{X}}^A}{\partial X^P}\frac{\partial X^Q}{\partial {\tilde{X}}^B}\frac{\partial X^R}{\partial {\tilde{X}}^C}{\Gamma }_Q^P{}_R+\frac{\partial {\tilde{X}}^A}{\partial X^P}\frac{{\partial }^2{X}^P}{\partial {\tilde{X}}^B\partial {\tilde{X}}^C}\mathrm{.}$ (9)

Даже при $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$ коэффициенты связности ${\Gamma }_B^A{}_C$, равные нулю в декартовых координатах, могут быть отличны от нуля в криволинейных координатах. Вместе с тем в обоих случаях связность одна и та же $—$ евклидова. По этой причине коэффициенты связности не подходят в качестве индикаторов неевклидовой природы пространства. Для этой цели используются тензорные поля кручения $\mathfrak{T}\mathrm{<mo>:</mo>}\text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, кривизны $\Re \mathrm{<mo>:</mo>}\text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и неметричности $\mathfrak{Q}\mathrm{<mo>:</mo>}\text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определяемые, соответственно, формулами [48; 54; 56]

$\mathfrak{T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\nabla }_{\text{u}}\text{v}-{\nabla }_{\text{v}}\text{u}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}$ (10)

$\Re \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{w}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\nabla }_{\text{u}}\mathrm{,}{\nabla }_{\text{v}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\text{w}-{\nabla }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\text{w}\mathrm{<mo>;</mo>}$ (11)

$\mathfrak{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{,}\text{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nabla }_{\text{u}}\text{v}\mathrm{,}\text{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\text{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{,}{\nabla }_{\text{u}}\text{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{,}\text{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (12)

Здесь^[6] $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\nabla }_{\text{u}}\mathrm{,}{\nabla }_{\text{v}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ коммутаторы,