General theory of orthotropic shells. Part II

Full Text

1. Предварительные сведения

Комплексное представление уравнений общей теории изотропных оболочек впервые было сделано В.В. Новожиловым в [1]. Представление уравнений в комплексной форме позволило существенно упростить решение задачи: сократить вдвое число неизвестных и порядок системы дифференциальных уравнений. Попытка построения аналогичного комплексного представления исходных дифференциальных уравнений ортотропных оболочек натолкнулась на следующую трудность: появление комплексно-сопряженных неизвестных функций, что не позволило сократить число и порядок исходной системы дифференциальных уравнений. Несмотря на указанную трудность, эта запись позволяет более компактно представить уравнения, а в некоторых случаях имеется возможность вычислить комплексно-сопряженную функцию. В случае осесимметричной деформации эта функция обращается в нуль, а в других случаях влиянием комплексно-сопряженной функции можно пренебречь.

2. Постановка задачи

Рассмотрим кратко (более подробно приведено в первой части статьи) комплексное преобразование исходных уравнений общей теории ортотропных оболочек (более общее преобразование сделано Артюхиным Ю.П. для многослойной оболочки, составленной из произвольного числа ортотропных слоев [2], а также в [3]). Пусть тонкая ортотропная оболочка постоянной толщины испытывает упругие деформации, малые углы поворота и прогибы. Оси ортотропии параллельны координатным линиям кривизны ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$. Считаем справедливыми гипотезы Кирхгофа $—$ Лява. Положительными направлениями для тангенциальных усилий (растяжения/сжатия и сдвига) $T_j$, $S$ и моментов (изгибающих и крутящего) $M_j$, $H$ считаются направления, принятые в монографии [1].

Из преобразованных уравнений равновесия и совместности деформаций следует аналогия [1]:

$\begin{array}{c}{T}_1\leftrightarrow {\kappa }_2\mathrm{<mo>;</mo>}{T}_2\leftrightarrow {\kappa }_1\mathrm{<mo>;</mo>}S\leftrightarrow -\tau \mathrm{<mo>;</mo>}\\ M_1\leftrightarrow -{\epsilon }_2\mathrm{<mo>;</mo>}{M}_2\leftrightarrow -{\epsilon }_1\mathrm{<mo>;</mo>}H\leftrightarrow \frac{\omega }{2}\mathrm{,}\end{array}$

где ${\epsilon }_j$, $\omega$ $—$ тангенциальные, а ${\kappa }_j$, $\tau$ $—$ изгибные деформации.

Согласно преобразованиям и введению комплексных усилий

null

где соотношения упругости для ортотропных оболочек имеют вид [4]:

$\begin{array}{c}{T}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{B}_1\left({\epsilon }_1+{\nu }_2{\epsilon }_2\right)\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0.0}pt\mathrm{<mo>*</mo>0.0}\begin{array}{c}\leftarrow \\ \mathrm{1,2}\\ \to \end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}S\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{G}h\omega \mathrm{<mo>;</mo>}\\ M_1\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_1\left({\kappa }_1+{\nu }_2{\kappa }_2\right)\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0.0}pt\mathrm{<mo>*</mo>0.0}\begin{array}{c}\leftarrow \\ \mathrm{1,2}\\ \to \end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}H\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\tilde{G}{h}^3\mathrm{<mo>/</mo>6}\right)\tau \mathrm{,}\end{array}$

где $B_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{E_{1}h}{1-{\nu }_1{\nu }_2}$, $D_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{E_1{h}^3}{12\left(1-{\nu }_1{\nu }_2\right)}$, $\tilde{G}$ $—$ модуль сдвига; $h$ $—$ толщина; $E_j$, ${\nu }_j$ $—$ модули упругости и коэффициенты Пуассона $j$ -го направления; $\overline{\tilde{T}}$, $\overline{\tilde{S}}$ $—$ комплексно-сопряженные величины, получим [2]:

$\begin{array}{c}{L}_1\left({\tilde{T}}_1\mathrm{,}{\tilde{T}}_2\mathrm{,}\tilde{S}\right)+\frac{ic}{R_1}\left[\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}{A}_2\left(\lambda {\tilde{T}}_1+{\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_1\right)-\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}\left(\delta {\tilde{T}}_1+\lambda {\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_2\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}-A_1{A}_2{q}_1\mathrm{<mo>;</mo>1}mm\\ L_2\left({\tilde{T}}_2\mathrm{,}{\tilde{T}}_1\mathrm{,}\tilde{S}\right)+\frac{ic}{R_2}\left[\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}{A}_1\left(\delta {\tilde{T}}_1+\lambda {\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_2\right)-\frac{\partial A_1}{\partial {\alpha }_2}\left(\lambda {\tilde{T}}_1+{\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_1\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}-A_1{A}_2{q}_2\mathrm{<mo>;</mo>1}mm\\ \frac{{\tilde{T}}_1}{R_1}+\frac{{\tilde{T}}_2}{R_2}-\frac{ic}{A_1{A}_2}\left\{\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\frac{1}{A_1}\left[\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}{A}_2\left(\lambda {\tilde{T}}_1+{\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_1\right)-\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}\left(\delta {\tilde{T}}_1+\lambda {\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_2\right)\right]+\right.\\ \left.+\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\frac{1}{A_2}\left[\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}{A}_1\left(\delta {\tilde{T}}_1+\lambda {\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_2\right)-\frac{\partial A_1}{\partial {\alpha }_2}\left(\lambda {\tilde{T}}_1+{\tilde{T}}_2+\epsilon {\overline{\tilde{T}}}_1\right)\right]\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_3\mathrm{,}\end{array}$ (1)

где $L_1\left(T_1\mathrm{,}{T}_2\mathrm{,}S\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial A_2{T}_1}{\partial {\alpha }_1}+\frac{\partial A_{1}S}{\partial {\alpha }_2}+\frac{\partial A_1}{\partial {\alpha }_2}S-\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}{T}_2$; $A_j$ $—$ коэффициенты Ляме; $R_j$ $—$ радиусы кривизны; $q_j$, $q_3$ $—$ касательные и нормальная нагрузки, а безразмерные коэффициенты $\delta$, $\lambda$, $\epsilon$, $K$ полностью определяют упругие свойства материала:

$\delta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{E_2}{E_1}\mathrm{<mo>;</mo>}K\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{12\left(1-{\nu }_1{\nu }_2\right)\delta }\mathrm{<mo>;</mo>}\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{E_2}{4\tilde{G}}+\frac{\tilde{G}\left(1-{\nu }_1{\nu }_2\right)}{E_1}\mathrm{<mo>;</mo>}\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{E_2}{4\tilde{G}}-\frac{\tilde{G}\left(1-{\nu }_1{\nu }_2\right)}{E_1}-{\nu }_2\mathrm{.}$

Для изотропного материала эти параметры равны:

$\delta \mathrm{<mo>=</mo>}\lambda \mathrm{<mo>=</mo>1<mo>;</mo>}\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}K\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{12\left(1-{\nu }^2\right)}\mathrm{.}$

Если допустить, что для ортотропного материала между модулем сдвига и модулями упругости существует связь

$\tilde{G}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{G}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{E_1{E}_2}}{2\left(1+\sqrt{{\nu }_1{\nu }_2}\right)}\mathrm{,}$

то $\delta \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }^2$; $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0}$; $K\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{12\left(1-{\nu }_1{\nu }_2\right)}\lambda$ и задача путем аффинного преобразования координат может быть сведена к задаче деформирования изотропной оболочки. В этом случае решение будет зависеть только от отношения модулей $\delta \mathrm{<mo>=</mo>}{E}_2\mathrm{<mo>/</mo>}{E}_1$. Такое решение может давать неплохие результаты, если сдвиговая деформация мало влияет на другие искомые характеристики интегрального типа.

3. Пологие оболочки

Рассмотрим изгиб пологой оболочки нормальной нагрузкой $q_3\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\alpha }_2\right)$. В этом случае в первых двух уравнениях (1) можно пренебречь членами уравнения с множителями $\mathrm{1<mo>/</mo>}{R}_j$ по сравнению с остальными (главными). Упрощенные таким образом два уравнения удовлетворим с помощью комплексной функции усилий [1]:

$\begin{array}{c}{\tilde{T}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{A_2}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\left(\frac{1}{A_2}\frac{\partial \tilde{F}}{\partial {\alpha }_2}\right)-\frac{1}{A_1^2{A}_2}\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}\frac{\partial \tilde{F}}{\partial {\alpha }_1}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0.0}pt\mathrm{<mo>*</mo>0.0}\begin{array}{c}\leftarrow \\ \mathrm{1,2}\\ \to \end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}\\ \tilde{S}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left[\frac{A_2}{A_1}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\left(\frac{1}{A_2^2}\frac{\partial \tilde{F}}{\partial {\alpha }_2}\right)+\frac{A_1}{A_2}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\left(\frac{1}{A_1^2}\frac{\partial \overline{\tilde{F}}}{\partial {\alpha }_1}\right)\right]\mathrm{<mo>;</mo>}\tilde{F}\mathrm{<mo>=</mo>}F-i\mu w\mathrm{,}\end{array}$ (1)

где $F$ $—$ вещественная функция усилий; $w$ $—$ прогиб.

Вводя усилия (1) в третье уравнение (1), получим:

$\begin{array}{c}\frac{ic}{A_1{A}_2}\left\{\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\frac{A_2}{A_1}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}{\nabla }_1^2\tilde{F}+\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\frac{A_1}{A_2}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}{\nabla }_2^2\tilde{F}+\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\left[\frac{1}{A_1}\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}\left({\nabla }_1^2\tilde{F}-{\nabla }_2^2\tilde{F}\right)\right]+\right.1mm\\ \left.+\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\left[\frac{1}{A_2}\frac{\partial A_1}{\partial {\alpha }_2}\left({\nabla }_2^2\tilde{F}-{\nabla }_1^2\tilde{F}\right)\right]+\epsilon {\nabla }_3^4\overline{\tilde{F}}\right\}-D\left(\tilde{F}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_3\mathrm{,}\end{array}$ (2)

где

$\begin{array}{c}{\nabla }_1^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{A_1{A}_2}\left\{\lambda \left[\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}\left(\frac{1}{A_1}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\right)+A_1\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\left(\frac{1}{A_2}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\right)\right]+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0.0}pt\mathrm{<mo>*</mo>0.0}\begin{array}{c}\leftarrow \\ \mathrm{1,2}\\ \to \end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\\ {\nabla }_2^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{A_1{A}_2}\left\{\lambda \left[\frac{\partial A_1}{\partial {\alpha }_2}\left(\frac{1}{A_2}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\right)+A_2\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\left(\frac{1}{A_1}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\right)\right]+\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0.0}pt\mathrm{<mo>*</mo>0.0}\begin{array}{c}\leftarrow \\ \mathrm{1,2}\\ \to \end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\\ {\nabla }_3^4\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\frac{1}{A_1}\left\{\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\left[\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\left(\frac{1}{A_2}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\right)+\frac{1}{A_1^2}\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\right]-\frac{1}{A_1}\frac{\partial A_2}{\partial {\alpha }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0.0}pt\mathrm{<mo>*</mo>0.0}\begin{array}{c}\leftarrow \\ \mathrm{1,2}\\ \to \end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right\}+\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\frac{1}{A_2}\mathrm{<mo>\{</mo>0.0}pt\mathrm{<mo>*</mo>0.0}\begin{array}{c}\leftarrow \\ \mathrm{1,2}\\ \to \end{array}\mathrm{<mo>\}</mo><mo>;</mo>}\\ D\left(\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{A_1{A}_2}\left[\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\left(\frac{A_2}{R_2{A}_1}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_1}\right)+\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\left(\frac{A_1}{R_1{A}_2}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_2}\right)\right]\mathrm{.}\end{array}$

 

4. Осесимметричная деформация пологой сферической оболочки

Для решения многих задач теории круглых пластин, сферических и конических оболочек вращения эффективно используются гипергеометрические функции.

Плодотворность привлечения для указанной цели теории гипергеометрических функций объясняется тем, что разрешающие дифференциальные уравнения при определенных профилях пластин и законах изменения кривизны оболочек вращения, имеющих практическое значение, приводятся к хорошо изученным гипергеометрическим уравнениям. В то же время использование многочисленных соотношений между этими функциями дает возможность существенно улучшать решения: усиливать сходимость и сокращать число рядов, подлежащих суммированию $—$ операции с успехом реализуемые, например, в пакете символьной математики WolframMathematica [6; 7]. Ниже приведены результаты по применению гипергеометрических функций в теории оболочек.

4.1. Сферическая оболочка под действием сосредоточенной кольцевой нагрузки

 

Рисунок 4.1. Сферическая оболочка под действием сосредоточенной кольцевой нагрузки

Fig. 4.1. Spherical shell under the action of concentrated annular load

 

Рассмотрим случай осесимметричной деформации пологой сферической оболочки под действием сосредоточенной кольцевой нагрузки вида [7] (рис. 1):

$q_3\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{P}{2\pi \rho }\delta \left(\rho -t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-q\delta \left(\rho -t\right)\mathrm{,}$

где $t$ $—$ точка приложения кольцевой сосредоточенной нагрузки, а $\delta \left(\rho -t\right)$ обобщенная $\delta$ -функция Дирака.

Из уравнения равновесия в комплексной форме (2) в силу осевой симметрии задачи получим:

$\frac{d^4\tilde{F}}{d{\rho }^4}+\frac{2}{\rho }\frac{d^3\tilde{F}}{d{\rho }^3}+{\nu }^2\left(-\frac{1}{{\rho }^2}\frac{d^2\tilde{F}}{d{\rho }^2}+\frac{1}{{\rho }^3}\frac{d\tilde{F}}{d\rho }\right)+i{a}^2\left(\frac{d^2\tilde{F}}{d{\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{d\tilde{F}}{d\rho }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{iP}{2\pi c\rho }\delta \left(\rho -t\right)\mathrm{.}$ (1)

Уравнение (1) может быть приведено к виду:

$\frac{d}{d\rho }\left[\rho \left({\Delta }_{\nu }+i{a}^2\right)\right]\tilde{f}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{iP}{2\pi c}\delta \left(\rho -t\right)\mathrm{,}$ (2)

где дифференциальный оператор представим в виде:

${\Delta }_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d^2}{d{\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{d}{d\rho }-\frac{n^2}{{\rho }^2}\mathrm{<mo>;</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d\tilde{F}}{d\rho }\mathrm{.}$

Однородное дифференциальное уравнение, которое ставится в соответствие неоднородному уравнению (2), есть не что иное, как дифференциальное уравнение Бесселя, решениями которого являются модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно $\left(I_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)\mathrm{,}K\left(i\sqrt{i}\rho a\right)\right)$.

Проинтегрировав однородное уравнение, найдем решение уравнения вида:

$\left({\Delta }_{\nu }+i{a}^2\right)\tilde{f}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{c}{\rho }\mathrm{.}$ (3)

Для получения фундаментальных решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами прекрасно себя зарекомендовал метод интегрального преобразования Ханкеля [8$–$10].

Трансформанта (изображение, образ) ${\tilde{f}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\left(s\right)$ функции (оригинала, прообраза) $\tilde{f}\left(\rho \right)$ интегрального преобразования Ханкеля определяется соотношением вида: ${\tilde{f}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\left(s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}\tilde{f}\left(\rho \right)\rho J_{\nu }\left(\rho s\right)d\rho$, где $J_{\nu }\left(z\right)$ $—$ цилиндрическая функция Бесселя первого рода $\nu$ -го порядка.

Для восстановления оригиналов по известным трансформантам вводят в рассмотрение формулу обращения интегрального преобразования Ханкеля: $\tilde{f}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{\tilde{f}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\left(s\right)s{J}_{\nu }\left(\rho s\right)ds$.

Восстановление оригиналов по известным трансформантам осуществляем с помощью таблиц интегралов [10; 11].

Применив к (3) интегральное преобразование Ханкеля и воспользовавшись таблицами интегралов [10; 11], получим следующее выражение для трансформанты интегрального преобразования:

${\tilde{f}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\left(s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{s\left(s^2-i{a}^2\right)}\mathrm{.}$ (4)

Применив к (4) формулу обращения интегрального преобразования Ханкеля и воспользовавшись таблицами интегралов [10; 11], после ряда преобразований, используя свойства $\Gamma$ -функций [8; 9], получим:

$\begin{array}{c}\tilde{f}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\left\{{\frac{\rho }{\left({\nu }^2-1\right)}}_1{F}_2\left(\left\{1\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\left\{\frac{3+\nu }{2}\mathrm{,}\frac{3-\nu }{2}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{{\rho }^2{a}^2}{4}\right)+\right.\\ \left.+\underset{¯}{{\frac{\pi {\rho }^{\nu }{a}^{\nu -1}{e}^{3\pi i\left(\nu -1\right)\mathrm{<mo>/</mo>4}}}{2^{\nu +1}\Gamma \left(\nu +1\right)\cos \frac{\pi \nu }{2}}}_1{F}_2\left(\left\{\frac{\nu +1}{2}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\left\{\frac{\nu +1}{2}\mathrm{,}\nu +1\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{{\rho }^2{a}^2}{4}\right)}\right\}\mathrm{.}\end{array}$ (5)

Аналогичная процедура в пакете символьной математики WolframMathematica [5; 6] дает оригинал интегрального преобразования Ханкеля следующего вида:

$\tilde{f}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\left\{{\frac{\rho }{\left({\nu }^2-1\right)}}_1{F}_2\left(\left\{1\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\left\{\frac{3+\nu }{2}\mathrm{,}\frac{3-\nu }{2}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{{\rho }^2{a}^2}{4}\right)+\underset{¯}{\frac{\pi {\left(-1\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>4}}}{2a\cos \frac{\pi \nu }{2}}{I}_{\nu }\left(-{\left(-1\right)}^{\mathrm{3<mo>/</mo>4}}\rho a\right)}\right\}\mathrm{,}$ (6)

где ${}_1{F}_2\left(\left\{a\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\left\{{\beta }_1\mathrm{,}{\beta }_2\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\gamma \right)$ $—$ частный случай обобщенного гипергеометрического ряда с параметрами $1$ и $2$; $\Gamma \left(x\right)$ $—$ гамма-функция; $I_{\nu }\left(z\right)$ $—$ модифицированная функция Бесселя первого рода $\nu$ -го порядка.

В результате анализа полученных соотношений оказалось, что подчеркнутые члены уравнений в (5) и (6) с машинной точностью совпадают и, кроме того, являются решением однородного дифференциального уравнения, которое поставлено в соответствие неоднородному уравнению (2). В силу вышесказанного подчеркнутые члены уравнений из дальнейшего рассмотрения исключаем.

Введем обозначение:

$\stackrel{⌣}{G}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\frac{\rho }{\left({\nu }^2-1\right)}}_1{F}_2\left(\left\{1\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}\left\{\frac{3+\nu }{2}\mathrm{,}\frac{3-\nu }{2}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{{\rho }^2{a}^2}{4}\right)\mathrm{.}$ (7)

Из [11] следует, что введенная в рассмотрение функция есть не что иное, как функция Ломмеля $S_{\mathrm{0,}\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)$.

Таким образом, решение дифференциального уравнения (1) примет вид:

$\tilde{F}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_1+{\tilde{C}}_2{\displaystyle \int }{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)d\rho +{\tilde{C}}_3{\displaystyle \int }{K}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)d\rho +{\tilde{C}}_4{\displaystyle \int }\stackrel{⌣}{G}\left(\rho \right)d\rho \mathrm{,}$ (8)

где ${\tilde{C}}_j$, $\left(j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,4}}\right)$ $—$ произвольные комплексные постоянные.

Проинтегрировав уравнение (2) и применив интегральное преобразование Ханкеля, найдем его частное решение:

$\left({\Delta }_{\nu }+i{a}^2\right)\tilde{f}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{iP}{2\pi c}\frac{H\left(\rho -t\right)}{\rho }\mathrm{,}$ (9)

где $H\left(\rho -t\right)$ $—$ функция Хевисайда.

Следуя методике [12], предварительно найдем решение дифференциального уравнения следующего вида (фундаментальное решение):

$\left({\Delta }_{\nu }+i{a}^2\right)\Phi \mathrm{<mo>=</mo>}\delta \left(\rho -{\rho }_0\right)\mathrm{.}$ (10)

Применим к (10) интегральное преобразование Ханкеля, в результате чего получим следующее выражение для трансформанты:

${\Phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\left(s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\rho }_0{J}_{\nu }\left({\rho }_{0}s\right)}{s^2-i{a}^2}\mathrm{.}$ (11)

Применим к (11) формулу обращения интегрального преобразования Ханкеля:

$\Phi \left(\rho \mathrm{,}{\rho }_0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-{\rho }_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}\frac{s{J}_{\nu }\left(\rho s\right)J_{\nu }\left({\rho }_{0}s\right)}{s^2-i{a}^2}ds\mathrm{.}$ (12)

Интеграл в (12) является табличным [11] и имеет вид:

null (13)

В соответствии со свойством фундаментального решения для истинной нагрузки имеем следующее решение:

${\tilde{f}}_{\mathrm{<mo>÷</mo><mi>à</mi><mi>ñ</mi><mi>ò</mi>}}\left(\rho \mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{iP}{2\pi c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{b}{\int }}}\frac{H\left({\rho }_0-t\right)}{{\rho }_0}\Phi \left(\rho \mathrm{,}{\rho }_0\right){\rho }_{0}d{\rho }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{iP}{2\pi c}{\displaystyle \underset{t}{\overset{b}{\int }}}\Phi \left(\rho \mathrm{,}{\rho }_0\right)d{\rho }_0\mathrm{.}$ (14)

В области $\rho \mathrm{<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>}{\rho }_0$, очевидно, нужно использовать верхнюю формулу в (13):

${\tilde{f}}_{\mathrm{<mo>÷</mo><mi>à</mi><mi>ñ</mi><mi>ò</mi>}}\left(\rho \mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{iP}{2\pi c}{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right){\displaystyle \underset{t}{\overset{b}{\int }}}{\rho }_0{K}_{\nu }\left(i\sqrt{i}{\rho }_{0}a\right)d{\rho }_0\mathrm{.}$ (15)

В случае $\rho \mathrm{<mo>></mo>}t$ интеграл приходится разбивать на два (т. к. имеют место два варианта $t\mathrm{<mo><</mo>}\rho \mathrm{<mo><</mo>}{\rho }_0$ и $t\mathrm{<mo><</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo><</mo>}\rho$ ) и использовать обе формулы соотношения (13):

${\tilde{f}}_{\mathrm{<mo>÷</mo><mi>à</mi><mi>ñ</mi><mi>ò</mi>}}\left(\rho \mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{iP}{2\pi c}\left(K_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right){\displaystyle \underset{t}{\overset{\rho }{\int }}}{\rho }_0{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}{\rho }_{0}a\right)d{\rho }_0+I_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right){\displaystyle \underset{\rho }{\overset{b}{\int }}}{\rho }_0{K}_{\nu }\left(i\sqrt{i}{\rho }_{0}a\right)d{\rho }_0\right)\mathrm{.}$ (16)

Добавив к выражениям (15) и (16) слагаемое, только знаком отличающееся от (15), и интегрируя полученное выражение по переменной $\rho$, получим:

${\tilde{F}}_{\mathrm{<mo>÷</mo><mi>à</mi><mi>ñ</mi><mi>ò</mi>}}\left(\rho \mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{iP}{2\pi c}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}\rho \mathrm{<mo><</mo>}t\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ {\displaystyle \underset{t}{\overset{\rho }{\int }}}\left(K_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right){\displaystyle \underset{t}{\overset{\rho }{\int }}}{\rho }_0{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}{\rho }_{0}a\right)d{\rho }_0-\right.\hfill \\ \left.-I_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right){\displaystyle \underset{t}{\overset{\rho }{\int }}}{\rho }_0{K}_{\nu }\left(i\sqrt{i}{\rho }_{0}a\right)d{\rho }_0\right)d\rho \mathrm{,}\rho \mathrm{<mo>></mo>}t\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$ (17)

Очевидно, что во всей исследуемой области получим выражение вида:

$\begin{array}{c}{\tilde{F}}_{\mathrm{<mo>÷</mo><mi>à</mi><mi>ñ</mi><mi>ò</mi>}}\left(\rho \mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{iP}{2\pi c}{\displaystyle \underset{t}{\overset{\rho }{\int }}}\left(K_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right){\displaystyle \underset{t}{\overset{\rho }{\int }}}{\rho }_0{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}{\rho }_{0}a\right)d{\rho }_0-\right.\\ \left.-I_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right){\displaystyle \underset{t}{\overset{\rho }{\int }}}{\rho }_0{K}_{\nu }\left(i\sqrt{i}{\rho }_{0}a\right)d{\rho }_0\right)ds\cdot H\left(\rho -t\right)\mathrm{.}\end{array}$ (18)

В результате найдем следующее представление для общего решения неоднородного уравнения (1):

$\tilde{F}\left(\rho \mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_1+{\tilde{C}}_2{\displaystyle \int }{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)d\rho +{\tilde{C}}_3{\displaystyle \int }{K}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)d\rho +{\tilde{C}}_4{\displaystyle \int }\stackrel{⌣}{G}\left(\rho \right)d\rho +{\tilde{F}}_{\mathrm{<mo>÷</mo><mi>à</mi><mi>ñ</mi><mi>ò</mi>}}\left(\rho \mathrm{,}t\right)\mathrm{.}$ (19)

При кривизне сферической оболочки вращения равной нулю (т. е. сферическая оболочка вырождается в круглую пластину) и отделении мнимой части общего решения уравнения (19) прогиб ортотропной пластины, находящейся под действием кольцевой сосредоточенной нагрузки $P$, при произвольных граничных условиях принимает вид:

$\begin{array}{c}w\left(\xi \mathrm{,}{\xi }_0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{C}_1+C_2{\xi }^{1+\nu }+C_3{\xi }^{1-\nu }+C_4{\xi }^2+\\ +\frac{P{b}^2}{4\pi \nu \left({\nu }^2-1\right){\xi }_0{D}_1}\left[\nu {\xi }_0\left({\xi }_0^2-{\xi }^2\right)+{\xi }_0^{2-\nu }{\xi }^{1+\nu }-{\xi }_0^{2+\nu }{\xi }^{1-\nu }\right]H\left(\xi -{\xi }_0\right)\mathrm{<mo>;</mo>}\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\rho }{b}\mathrm{<mo>;</mo>}{\xi }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{t}{b}\mathrm{<mo>;</mo>}0\le \xi \le \mathrm{1,}\end{array}$ (20)

который совпадает при ${\xi }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{t}{b}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ с представлением, полученным в [13].

В случае приложения сосредоточенной нагрузки в полюсе сферической оболочки общее решение неоднородного уравнения (2) имеет вид (19) при $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Рассмотрим граничные условия, соответствующие скользящей заделке контура:

$w\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dw}{d\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_1\mathrm{<mo>=</mo>0}\mathrm{<mi>ï</mi><mi>ð</mi><mi>è</mi>}\rho \mathrm{<mo>=</mo>}b\mathrm{,}$ (21)

которые можно сформулировать для искомой комплексной функции усилий следующим образом:

$\tilde{F}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d\tilde{F}}{d\rho }\mathrm{<mo>=</mo>0}\mathrm{<mi>ï</mi><mi>ð</mi><mi>è</mi>}\rho \mathrm{<mo>=</mo>}b\mathrm{.}$ (22)

Кроме того, потребуем конечность искомых функций в центре:

${\tilde{C}}_3\mathrm{<mo>=</mo>0,}{\tilde{C}}_4\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (23)

Остальные постоянные определим из (21):

null (24)

В результате подстановки (24) в (19) получим следующее выражение:

$\begin{array}{c}\tilde{F}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}F-i\mu w\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{iP}{2\pi c}\left(Q\left(b\right)-\frac{\stackrel{⌣}{G}\left(b\right)P_{\nu }\left(bai\sqrt{i}\right)}{I_{\nu }\left(bai\sqrt{i}\right)}+\frac{\stackrel{⌣}{G}\left(b\right)}{I_{\nu }\left(bai\sqrt{i}\right)}{\displaystyle \int }{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)d\rho -{\displaystyle \int }\stackrel{⌣}{G}\left(\rho \right)d\rho \right)\mathrm{<mo>;</mo>}\\ w\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\mu }\text{Im}\left(\tilde{F}\left(\rho \right)\right)\mathrm{.}\end{array}$ (25)

В результате преобразований выражение для прогиба примет вид:

$w\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{P}{2\pi \mu c}\text{Im}\left\{i\left({\displaystyle \underset{\rho }{\overset{b}{\int }}}\stackrel{⌣}{G}\left(\rho \right)d\rho +\frac{\stackrel{⌣}{G}\left(b\right)}{I_{\nu }\left(bai\sqrt{i}\right)}{\displaystyle \underset{b}{\overset{\rho }{\int }}}{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)d\rho \right)\right\}\mathrm{.}$ (26)

 

Входящая в (26) константа $\mu \cdot c\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_1$ $—$ жесткость в меридиональном направлении.

Интегралы, входящие в (26), легко вычисляются через гипергеометрические функции.

Вводя обозначения $k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{b^2}{Rh}$; $\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\rho }{b}$; $\overline{w}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{w}{h}$; $\overline{P}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{P{b}^2}{E_1{h}^4}$ и вычислив с помощью пакета символьной математики WolframMathematica [5; 6] входящие в (26) интегралы от гипергеометрических функций, которые также выражаются через гипергеометрические функции, получим выражение для распределения относительного прогиба $\overline{w}\left(\xi \right)$. Эпюра относительного прогиба под действием силы в полюсе на основе (26) вычисляется по следующей формуле:

$\begin{array}{c}\overline{w}\left(\xi \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{6\left(1-{\nu }_1{\nu }_2\right)\overline{P}}{\pi \left(n^2-1\right)}\text{Re}\left\{A\left[{\xi }^{n+1}{}_1{F}_2\left(\frac{n+1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\frac{n+3}{2}\left(n+1\right)\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{i}{4}{k}_n^2{\xi }^2\right){-}_1{F}_2\left(\frac{n+1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\frac{n+3}{2}\left(n+1\right)\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{i}{4}{k}_n^2\right)\right]+\right.\\ \left.+\frac{1}{2}\left[{}_2{F}_3\left(\mathrm{1,1<mo>;</mo>2,}\frac{3-n}{2}\mathrm{,}\frac{3+n}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{i}{4}{k}_n^2\right)-{\xi }^2{}_2{F}_3\left(\mathrm{1,1<mo>;</mo>2,}\frac{3-n}{2}\mathrm{,}\frac{3+n}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}-\frac{i}{4}{k}_n^2{\xi }^2\right)\right]\right\}\mathrm{,}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4.26}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

где

$A=\frac{a_1}{a_2},a_1={\frac{k_n^n{\left(1+i\right)}^n{2}^{\left(-3n/2\right)}}{\Gamma \left(n+1\right)}}_1{F}_2\left(1;\frac{3-n}{2},\frac{3+n}{2};-\frac{i}{4}{k}_n^2\right),a_2=J_n\left(\sqrt{i}{k}_n\right).$

Комплексные усилия и моменты могут быть найдены по формулам:

${\tilde{T}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \tilde{F}}{\partial \rho }\mathrm{<mo>;</mo>}{\tilde{T}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\partial }^2\tilde{F}}{\partial {\rho }^2}\mathrm{<mo>;</mo>}{\tilde{M}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}ic\left({\tilde{T}}_2-{\nu }_2{\overline{\tilde{T}}}_1\right)\mathrm{<mo>;</mo>}{\tilde{M}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}ic\delta \left({\tilde{T}}_1-{\nu }_1{\overline{\tilde{T}}}_2\right)\mathrm{.}$ (27)

Подставив в (27) представление для комплексной функции усилий, получим:

$\begin{array}{c}{\tilde{T}}_1\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{iP}{2\pi c\rho }\left(\frac{\stackrel{⌣}{G}\left(b\right)}{I_{\nu }\left(bai\sqrt{i}\right)}{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)-\stackrel{⌣}{G}\left(\rho \right)\right)\mathrm{<mo>;</mo>}\\ {\tilde{T}}_2\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{iP}{2\pi c}\left(\frac{\stackrel{⌣}{G}\left(b\right)}{I_{\nu }\left(bai\sqrt{i}\right)}\frac{d{I}_{\nu }\left(i\sqrt{i}\rho a\right)}{d\rho }-\frac{d\stackrel{⌣}{G}\left(\rho \right)}{d\rho }\right)\mathrm{.}\end{array}$ (28)

Осуществив отделение действительной и мнимой частей, получим:

$M_1\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left(ic\left({\tilde{T}}_2-{\nu }_2{\overline{\tilde{T}}}_1\right)\right)\mathrm{<mo>;</mo>}{M}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left(ic\delta \left({\tilde{T}}_1-{\nu }_1{\overline{\tilde{T}}}_2\right)\right)\mathrm{.}$ (29)

Введем в рассмотрение следующие безразмерные величины:

$n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{E_2}{E_1}\mathrm{<mo>;</mo>}{k}_n\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{k}\sqrt[4]{\left(1-{\nu }_1^{2}n\right)n}\mathrm{.}$ (30)

Рассмотрим несколько композитных материалов (однонаправленные композиты на основе эпоксидной смолы) [14] с преобладающей жесткостью армирования волокон по радиусу:

$•$ углепластик (волокна AS);

$•$ стеклопластик (Е-волокна);

$•$ органопластик (кевлар-49);

$•$ углепластик (волокна IM6);

$•$ материал, по свойствам близкий к изотропному.

Механические характеристики приведенных материалов следующие:

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>0,064}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,3}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,019}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>0,235}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,26}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,061}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>0,072}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,33}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,024}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>0,056}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,32}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,018}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>0,98}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,3}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,294}$.

Изменим направления армирования материалов. В этом случае необходимо заменить индексы $1\leftrightarrow 2$.

В случае преобладающей жесткости армирования волокон по окружности получаем:

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>15,625}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,019}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,3}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>4,258}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,061}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,26}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>13,818}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,024}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,33}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>18,018}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,018}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,32}$;

$•$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,02}$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,294}$, ${\nu }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,3}$.

Исследуем распределения прогибов в пластинке (сферической оболочке с кривизной $k\to 0$ ) в зависимости от преобладающей жесткости волокон композитных материалов. Начнем со случая преобладающей жесткости волокон по радиусу. В табл. 4.1 приведены относительные прогибы в полюсе сферической оболочки ${\overline{w}}_{\text{max}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{w\left(0\right)E_1{h}^3}{P{b}^2}$ при $k\to 0$ для рассматриваемых материалов, вычисленные по формуле (4.26a).

Теперь рассмотрим случай преобладающей жесткости армирования волокон по окружности. В табл. 4.2 приведены относительные прогибы в полюсе сферической оболочки при $k\to 0$ для рассматриваемых материалов.

 

Таблица 4.1. Относительные прогибы в полюсе сферической оболочки при $k\to 0$ для рассматриваемых материалов с преобладающей жесткостью армирования волокон по радиусу

Table 4.1. Relative deflections at the pole of spherical shell at $k\to 0$ for considered materials with predominant hardness of fiber reinforcement along the radius

$№$ материала	$n$	$-{\overline{w}}_{\text{max}}$	$-{\overline{w}}_{\text{max}}$ изотропной пластинки
1	$\mathrm{0,064}$	$\mathrm{0,8386}$	$n\mathrm{<mo>=</mo>1}$
2	$\mathrm{0,235}$	$\mathrm{0,6163}$	$\overline{w}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3\left(1-{\nu }^2\right)}{4\pi }$ при $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0,3}$
3	$\mathrm{0,072}$	$\mathrm{0,8238}$
4	$\mathrm{0,056}$	$\mathrm{0,8523}$
5	$\mathrm{0,98}$	$\mathrm{0,2221}$	$\mathrm{0,2172}$

 

Таблица 4.2. Относительные прогибы в полюсе сферической оболочки при $k\to 0$ для рассматриваемых материалов с преобладающей жесткостью армирования волокон по окружности

Table 4.2. Relative deflections at the pole of a spherical shell at $k\to 0$ for the considered materials with a dominant stiffness fiber reinforcement along the radius

$№$ материала	$n$	$-{\overline{w}}_{\text{max}}$	$-{\overline{w}}_{\text{max}}$ изотропной пластинки
1	$\mathrm{15,6}$	$\mathrm{0,003435}$	$\overline{w}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3\left(1-{\nu }^2\right)}{4\pi }$ при $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0,3}$
2	$\mathrm{4,3}$	$\mathrm{0,034000}$
3	$\mathrm{13,8}$	$\mathrm{0,004315}$
4	$\mathrm{18,02}$	$\mathrm{0,002625}$
5	$\mathrm{1,02}$	$\mathrm{0,213300}$	$\mathrm{0,2172}$

 

На рис. 4.2 пунктирной линией показана кривая распределения прогиба для материала, близкого к изотропному (материал $№$5), а штрих-пунктирной $—$ для материала $№$2. Из рис. 2 следует, что для случая преобладающей жесткости армирования волокон, направленных по радиусу, наибольшую жесткость обеспечивает изотропный материал, а в случае криволинейной ортотропии $—$ материал с максимальным $n$, то есть материал $№$2.

На рис. 3 пунктирной линией показана кривая распределения прогиба для материала, близкого к изотропному (материал $№$5), а непрерывная кривая с точками $—$ для материала $№$4. Из рис. 3 следует, что для случая преобладающей жесткости волокон, направленных по окружности, наибольшую жесткость обеспечивает криволинейно-ортотропный материал с максимальным $n$, то есть материал $№$4.

В табл. 4.3 приведены результаты для оболочки при $k\ne 0$, вычисленные по формуле (4.26а) из материала $№$5, близкого к изотропному, с преобладающей жесткостью армирования по радиусу в сравнении с результатами [15].

В таблице 4.4 приведены результаты для оболочки из материала $№$5, близкого к изотропному, с преобладающей жесткостью армирования по окружности в сравнении с результатами [15].

Сравнение результатов в табл. 4.3 и 4.4 свидетельствует о достоверности формулы (4.26а).

На рис. 4 приведены графики распределения прогибов при $k\mathrm{<mo>=</mo>10}$ для материала $№$2 при изменении направления армирования волокон. Непрерывная линия соответствует преобладающему армированию по радиусу, а пунктирная линия $—$ по окружности.

Как и следовало ожидать, шпангоутное армирование улучшает жесткостные свойства конструкции в сравнении со стрингерным армированием.

На рис. 5 показано изменение максимального прогиба при смене направления армирования волокон для материала $№$2 в зависимости от кривизны. Непрерывная линия соответствует преобладающему армированию по радиусу, а пунктирная линия $—$ по окружности. Видно, что в случае армирования по радиусу линия на рис. 5 является существенно нелинейной.

 

Рисунок 4.2. Распределение относительного прогиба в полюсе сферической оболочки при $k\to 0$ для рассматриваемых материалов с преобладающей жесткостью армирования волокон по радиусу 

Fig. 4.2. Relative deflection distribution in the pole of a spherical shell as $k\to 0$ for viewed materials with a predominant hardness of fiber reinforcement along the radius

 

Рисунок 4.3. Распределение относительного прогиба в полюсе сферической оболочки при $k\to 0$ для рассматриваемых материалов с преобладающей жесткостью армирования волокон по окружности 

Fig. 4.3. Relative deflection distribution in the pole of a spherical shell as $k\to 0$ for viewed materials with a predominant hardness of fiber reinforcement around the circumference

 

Таблица 4.3. Прогибы в полюсе сферической оболочки при $k\ne 0$ для рассматриваемых материалов с преобладающей жесткостью армирования волокон по радиусу

Table 4.3. Deflections at the pole of a spherical shell at $k\ne 0$ for the considered materials with predominant stiffness of fiber reinforcement along the radius

$k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{b^2}{Rh}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$\overline{P}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{P{b}^2}{E_1{h}^4}$	$\mathrm{0,375}\pi$					$\mathrm{0,75}\pi$
По предложенной методике при $n\mathrm{<mo>=</mo>0,98}$	$\mathrm{0,250}$	$\mathrm{0,221}$	$\mathrm{0,187}$	$\mathrm{0,155}$	$\mathrm{0,128}$	$\mathrm{0,214}$	$\mathrm{0,182}$	$\mathrm{0,156}$	$\mathrm{0,137}$	$\mathrm{0,121}$
Данные из [15] при $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$	$\mathrm{0,249}$	$\mathrm{0,228}$	$\mathrm{0,194}$	$\mathrm{0,160}$	$\mathrm{0,131}$	$\mathrm{0,227}$	$\mathrm{0,188}$	$\mathrm{0,160}$	$\mathrm{0,138}$	$\mathrm{0,121}$

 

Таблица 4.4. Прогибы в полюсе сферической оболочки при $k\ne 0$ для рассматриваемых материалов с преобладающей жесткостью армирования волокон по окружности 

Table 4.4. Deflections at the pole of a spherical shell at $k\ne 0$ for the considered materials with predominant stiffness of fiber reinforcement around the circumference

$k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{b^2}{Rh}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$\overline{P}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{P{b}^2}{E_1{h}^4}$	$\mathrm{0,375}\pi$					$\mathrm{0,75}\pi$
По предложенной методике при $n\mathrm{<mo>=</mo>1,02}$	$\mathrm{0,240}$	$\mathrm{0,213}$	$\mathrm{0,180}$	$\mathrm{0,150}$	$\mathrm{0,124}$	$\mathrm{0,208}$	$\mathrm{0,177}$	$\mathrm{0,152}$	$\mathrm{0,133}$	$\mathrm{0,118}$
Данные из [15] при $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$	$\mathrm{0,249}$	$\mathrm{0,228}$	$\mathrm{0,194}$	$\mathrm{0,160}$	$\mathrm{0,131}$	$\mathrm{0,227}$	$\mathrm{0,188}$	$\mathrm{0,160}$	$\mathrm{0,138}$	$\mathrm{0,121}$

 

Рисунок 4.4. Распределение относительных прогибов при $\mathit{k}$=10 для материала $№$2 при изменении направления армирования волокон 

Fig. 4.4. Relative deflection distribution at $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ for material No. 2 when changing the fiber reinforcement boards

 

Рисунок 4.5. Изменение максимального относительного прогиба при смене направления армирования волокон для материала №2 в зависимости от кривизны

Fig. 4.5. Change in the maximum relative deflection when changing the direction of fiber reinforcement for material No. 2 depending on the curvature

 

Рисунок 4.6. Эпюры приведенных усилий в радиальном и окружном направлениях при $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ для материала $№$2 (с преобладающей жесткостью армирования по окружности)

Fig. 4.6. Diagrams of reduced forces in the radial and circumferential directions at $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ for material No. 2 (with the prevailing stiffness of the reinforcement along the circumference)

 

Рисунок 4.7. Эпюры приведенных моментов в радиальном и окружном направлениях при $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ для материала $№$2 (с преобладающей жесткостью армирования по окружности)

Fig. 4.7. Diagrams of the reduced moments in the radial and circumferential directions at $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ for material No. 2 (with the prevailing stiffness of the reinforcement along the circumference)

 

Введем в рассмотрение безразмерные усилия и моменты

${\overline{T}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2\pi c\left(n^2-1\right)T_i}{P}\mathrm{<mo>;</mo>}{\overline{M}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2\pi \left(n^2-1\right)M_i}{P}\mathrm{<mo>;</mo>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

Для материала $№$2 (с преобладающей жесткостью армирования по окружности) на рис. 6$–$7 построены эпюры усилий и моментов в радиальном и окружном направлениях при $k\mathrm{<mo>=</mo>10}$.

На рис. 8$–$9 для материала $№$2 (с преобладающей жесткостью армирования по радиусу) построены эпюры усилий и моментов в радиальном и окружном направлениях при $k\mathrm{<mo>=</mo>10}$.

 

Рисунок 4.8. Эпюры приведенных усилий в радиальном и окружном направлениях при $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ для материала $№$2 (с преобладающей жесткостью армирования по радиусу)

Fig. 4.8. Diagrams of reduced forces in the radial and circumferential directions at $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ for material No. 2 (with the prevailing stiffness of the reinforcement along the radius)

 

Рисунок 4.9. Эпюры приведенных моментов в радиальном и окружном направлениях при $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ для материала $№$2 (с преобладающей жесткостью армирования по радиусу)

Fig. 4.9. Diagrams of the reduced moments in the radial and circumferential directions at $\mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{10}$ for material No. 2 (with the prevailing stiffness of the reinforcement along the radius)

 

Из рис. 6$–$9 следует, что в оболочке с преобладающими жесткостными свойствами в меридиональном направлении над жесткостными свойствами в окружном направлении в полюсе наблюдается концентрация напряжений и величина их не ограничена; в обратном случае в окрестности приложенной нагрузки оболочка ведет себя как круглая криволинейно-ортотропная пластина, находящаяся в условиях чистого изгиба, причем <<кольца жесткости>>, которыми обладает в этом случае оболочка, полностью гасят краевой эффект, не давая ему распространяться до полюса.

Выводы

В статье было продолжено исследование методики использования комплексного представления уравнений общей теории ортотропных оболочек, которая позволила в комплексной форме существенно сократить число неизвестных функций и порядок системы дифференциальных уравнений, даже несмотря на появление комплексно-сопряженных неизвестных функций. Несмотря на это, предложенная методика позволила более компактно представить уравнения, а в некоторых случаях появилась возможность даже вычислить комплексно-сопряженную функцию. В случае осесимметричной деформации эта функция обращается в нуль, а в других случаях влиянием комплексно-сопряженной функции можно пренебречь, поэтому для указанных случаев были исследованы пологие ортотропные сферические оболочки вращения под действием кольцевой нагрузки в условиях различного преобладания жесткости армирования волокон. В предельном случае были получены результаты и для изотропной оболочки.

About the authors

Peter G. Velikanov

Kazan (Volga Region) Federal University; Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev-KAI

Email: pvelikanov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0845-2880

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of the Department of Theoretical Mechanics; Assistant Professor of the Department of Jet Engines and Power Plants

Russian Federation, Kazan; Kazan

Yuri P. Artyukhin

Kazan (Volga Region) Federal University

Author for correspondence.
Email: ArtukhinYP@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6243-9145

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Theoretical Mechanics

Russian Federation, Kazan

References

Supplementary files