About systems of vectors and subspaces in finite dimensional space recovering vectorsignal

Full Text

1. Восстановление по модулям измерений

Во многих прикладных исследованиях возникает задача восстановления неизвестного вектор-сигнала $x\in {ℍ}^D$ ( ${ℍ}^D$ обозначает $D$ -мерное евклидово или унитарное пространство) с помощью набора измерительных векторов $\Phi \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\phi }_k{\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$, когда доступны лишь результаты измерений этого сигнала в виде модулей скалярных произведений $\mathrm{<mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_k⟩\mathrm{<mo>|</mo>}$.

Определение 1.1. Набор векторов $\Phi \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\phi }_k{\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ восстанавливает вектор-сигнал по модулям измерений (ВМИ), если для любых $x\mathrm{,}y\in {ℍ}^D$, таких, что $\mathrm{<mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_k⟩\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}⟨y\mathrm{,}{\phi }_k⟩\mathrm{<mo>|</mo>}$ для всех $k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$ имеем $x\mathrm{<mo>=</mo>}cy\mathrm{,}$ где $\mathrm{<mo>|</mo>}c\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}$.

Это определение также может быть сформулировано в виде свойства инъективности (с точностью до унимодулярного множителя) нелинейного оператора $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_k⟩{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$

Определение 1.2. Набор векторов ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\phi }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ в ${ℍ}^D$ обладает свойством альтернативной полноты ( АП), если для каждого подмножества $T\subseteq \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ по крайней мере, одно из множеств ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\phi }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\in T}$ или ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\phi }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\in T^C}$ полно в ${ℍ}^D$.

Известно [1], что в ${ℝ}^D$ свойства ВМИ и АП оказываются эквивалентными. В ${ℂ}^D$ свойство АП является необходимым, но недостаточным для выполнения свойства ВМИ [1].

Для линеаризации задачи вводится оператор суперанализа $A$, определенный на пространстве самосопряженных матриц ${ℍ}^{D\times D}$ равенством

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}AH\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{⟨H\mathrm{,}{\phi }_k{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}⟩}_{HS}\mathrm{<mo>=</mo>}tr\left[{\phi }_k{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\right]\mathrm{,}$ (1)

где $HS$ $—$ скалярное произведение Гильберта $—$ Шмидта.

В силу линейности скалярного произведения по первому аргументу $A$ является линейным оператором, и

$\left(Ax{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{⟨x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{\phi }_k{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}⟩}_{HS}\mathrm{<mo>=</mo>}tr\left[{\phi }_k{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}tr\left[{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\phi }_k\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\phi }_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\left|⟨x\mathrm{,}{\phi }_k⟩\right|}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2)

Переход от нелинейного оператора $\mathcal{A}$ к линейному оператору $A$ называют <<подъемом фазы>> (в англоязычной литературе phase lift). Таким образом, $xmod\mathbb{T}$ <<поднимается>> до $x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}$ что позволяет линеаризовать оператор $\mathcal{A}$ за счет увеличения размерности пространства $—$ области определения.

Теорема 1.3. Оператор $\mathcal{A}$ не является инъективным тогда и только тогда, когда ядро оператора $A$ содержит матрицы, ранг которых равен 1 или 2. (В [2] эта теорема доказана для пространства ${ℂ}^D$ ).

Доказательство. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Rightarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Если оператор $\mathcal{A}$ не является инъективным, то

$\exists x\ne y\in {ℂ}^D\mathrm{<mo>/</mo>}\mathbb{T}\mathrm{<mo>:</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\iff Ax{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}Ay{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\Rightarrow x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}-y{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \ker A\mathrm{.}$

$rank\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}-y{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, когда $x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ и $y{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ либо линейно зависимы, либо один и только один из них нулевой. В случае, когда они линейно независимы, $rank\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}-y{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2.}$

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Leftarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$rankH=1$.

Пусть $H\in \ker A$. Тогда существует $x\ne 0\in {ℂ}^D\mathrm{<mo>/</mo>}\mathbb{T}$ такой, что $H\mathrm{<mo>=</mo>}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$. $AH\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. В то же время $\left(Ax{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Таким образом $\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Однако $x\cancel{\equiv }0$ mod $\mathbb{T}$, таким образом получили, что оператор $\mathcal{A}$ отображает два различных вектора: один нулевой и один ненулевой в нулевое значение, следовательно, не является инъективным.

В пространстве ${ℝ}^D$ из равенства rank $H$ = 1 может не следовать существования $x\ne 0\in {ℝ}^D\mathrm{<mo>/</mo><mo>\{</mo>}\pm \mathrm{1<mo>\}</mo>}$ такого, что $H\mathrm{<mo>=</mo>}x{x}^T$. Такой $x$ не существует, если на главной диагонали $H$ стоят отрицательные элементы. Однако в таком случае можно рассмотреть $-H\in \ker A$, откуда в силу линейности $A$ следует, что $H\in \ker A$.

$rankH=2$.

Пусть $H\in \ker A$. Тогда согласно спектральной теореме для самосопряженных матриц существуют ортонормированные $u_1\mathrm{,}{u}_2\in {ℂ}^D$ и ненулевые значения ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2$ такие, что $H\mathrm{<mo>=</mo>}U\Lambda U^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_1{u}_1{u}_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}+{\lambda }_2{u}_2{u}_2^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ [10]. Следовательно,

$AH\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{⟨H\mathrm{,}{\phi }_k{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}⟩}_{HS}\mathrm{<mo>=</mo>}{⟨{\lambda }_1{u}_1{u}_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}+{\lambda }_2{u}_2{u}_2^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{\phi }_k{\phi }_k^{\mathrm{<mo>*</mo>}}⟩}_{HS}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_1\mathrm{<mo>|</mo>}⟨u_1\mathrm{,}{\phi }_k⟩{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+{\lambda }_2\mathrm{<mo>|</mo>}⟨u_2\mathrm{,}{\phi }_k⟩{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{.}$

Взяв $x\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\mathrm{<mo>|</mo>}{\lambda }_1\mathrm{<mo>|</mo>}}{u}_1$ и $y\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\mathrm{<mo>|</mo>}{\lambda }_2\mathrm{<mo>|</mo>}}{u}_2$, заметим, что $y\cancel{\equiv }x$ mod $\mathbb{T}$, поскольку они ненулевые и ортогональные.

Пусть ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ одного знака, тогда для любого $n$ выполняется равенство $\mathrm{<mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_k⟩{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}⟨y\mathrm{,}{\phi }_k⟩{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>0}$, отсюда $\mathrm{<mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_k⟩{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}⟨y\mathrm{,}{\phi }_k⟩{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>0}$, следовательно, $\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и оператор $\mathcal{A}$ не инъективен.

Теперь предположим, что ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ имеют разные знаки, тогда $x{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}-y{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_1{u}_1{u}_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}+{\lambda }_2{u}_2{u}_2^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}H\in \ker A$. Cледовательно, $\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Ax{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}Ay{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и оператор $\mathcal{A}$ не инъективен.

2. Задача о минимальном количестве измерительных векторов

На данный момент до сих пор остается нерешенным в общем случае вопрос о том, каково минимальное количество $N\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ измерительных векторов ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\phi }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\mathrm{,}$ обладающих свойством (ВМИ) в ${ℍ}^D$?

Определение 2.1. Спарком системы векторов $\Phi$ называется наименьшее количество линейно зависимых векторов этой системы.

Спарк системы векторов можно определить формально, расположив векторы ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\phi }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ в виде столбцов $D\times N$ -матрицы $\Phi \mathrm{,}$ и воспользоваться обозначением $\parallel x{\parallel }_0$ для количества ненулевых координат вектора $x\mathrm{.}$

При таком подходе

$spark\text{F}\min \left\{\parallel \mathbf{x}{\parallel }_0\mathbf{x}\in {ℝ}^N\backslash \left\{0\right\} такие что \text{F}\mathbf{x}\mathbf{0}\right\}\mathrm{.}$

Ответ на вопрос о минимальном количестве измерительных векторов, обладающих свойством ВМИ, в вещественном случае хорошо известен. Оказывается, что для ${ℝ}^D$ минимальное количество таких векторов оказывается равным $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}D-1$, причем для того, чтобы система из $2D-1$ измерительных векторов в ${ℝ}^D$ обладала свойством ВМИ, необходимо и достаточно, чтобы она имела полный спарк.

В вопросе поиска минимального количества $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ измерительных векторов, обладающих свойством ВМИ в пространстве ${ℂ}^D$, на данный момент имеются следующие результаты.

1) Для любого $D\ge \mathrm{2,}$ $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 4D-4$ [3].

2) Если $D{\mathrm{<mo>=</mo>2}}^k+1$ для целого неотрицательного $k\mathrm{,}$ то $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>4}D-4$ [4].

3) В ${ℂ}^4$ Vinzant [5] нашла 11 векторов, обеспечивающих ВМИ. На данный момент пространство ${ℂ}^4$ является единственным, в котором найден набор векторов, обеспечивающих ВМИ с их числом $N\mathrm{<mo><</mo>4}D-4$.

Кроме определения числа $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ведутся поиски числа $\mathcal{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ такого, что если $N\le \mathcal{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то ни один сигнал $x\in {ℂ}^D$ не может быть однозначно восстановлен (с точностью до унимодулярного множителя) по набору $\mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_1⟩\mathrm{<mo>|</mo>,}\dots \mathrm{,<mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_N⟩\mathrm{<mo>|</mo><mo>\}</mo>,}$ т. е. для любого $x\in {ℂ}^D$ найдется $y\in {ℂ}^D\mathrm{,}x\ne hy$ ни для какого $h\in \mathbb{T}\mathrm{,}$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}⟨x\mathrm{,}{\phi }_n⟩\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}⟨y\mathrm{,}{\phi }_n⟩\mathrm{<mo>|</mo>,}n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$

В [6] показано, что $\mathcal{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 4D-4-2s_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ где $s_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначает количество единиц в двоичном представлении числа $D-1.$ Для $D\mathrm{<mo>=</mo>4}$ получаем $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge \mathrm{8,}$ оставляя возможность уменьшать число $11$ в примере Vinzant.

В таблице приведем значения чисел $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathcal{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $2\le D\le 10$.

Таблица. Зависимость $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathcal{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ от $D$

Table. Dependence of $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ and $\mathcal{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ on $D$

Таким образом, например, для пространства ${ℂ}^6$ о количестве векторов, допускающих ВМИ, на данный момент известно лишь то, что оно не менее 16 и не превосходит 20. Попытка проверить хотя бы один случайный набор из 19 векторов в ${ℂ}^6$ на обладание свойством ВМИ методом, описанным Винзант в своей статье, требует вычислительных мощностей, значительно превосходящих мощности математических пакетов, которые использовались при проверке ее набора из 11 векторов в ${ℂ}^4$, и, по всей видимости, требует иных подходов.

3. Восстановление по нормам проекций

Некоторые прикладные задачи приводят к задаче восстановления сигнала по нормам его проекций на подпространства, например, проблема близнецов в кристаллографии.

Определение 3.1. Семейство подпространств ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ в ${ℍ}^D$ с соответствующими ортопроекторами ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ восстанавливает по нормам векторов (ВНП), если для произвольных $x,y\in {ℍ}^D$ таких, что $\parallel P_{k}x\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\parallel P_{k}y\parallel$ для всех $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}N$, имеем $x\mathrm{<mo>=</mo>}cy$, где $\mathrm{<mo>|</mo>}c\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}$ [7].

Это определение также может быть сформулировано в виде свойства инъективности (с точностью до унимодулярного множителя) нелинейного оператора:

$\mathcal{A}\mathrm{<mo>:</mo>}{ℍ}^D\mathrm{<mo>/</mo>}\mathbb{T}\to {ℝ}^N\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\parallel P_{k}x{\parallel }^2\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$

Определим вещественное $D^2$ -мерное пространство ${ℍ}^{D\times D}$ самосопряженных $D\times D$ -матриц. Для набора проекций ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\subset {ℝ}^D$ c соответствующими проекторами $P_k$ введем оператор супер-анализа $A\mathrm{<mo>:</mo>}{ℍ}^{D\times D}\to {ℝ}^N\mathrm{<mo>:</mo>}$.

Обозначим через ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\phi }_{k\mathrm{,}j}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{J_k}$ ортонормированный базис подпространства $\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и введем линейный оператор суперанализа аналогично тому, как это было сделано выше:

$\left(Ax{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{⟨x{x}^T\mathrm{,}{P}_k⟩}_{HS}\mathrm{<mo>=</mo>}tr\left[x{x}^T{P}_k\right]\mathrm{<mo>=</mo>}tr\left[x{x}^T{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{J_k}}{\phi }_{k\mathrm{,}j}{\phi }_{k\mathrm{,}j}^T\right]\mathrm{<mo>=</mo>}$ (1)

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{J_k}}{\phi }_{k\mathrm{,}j}^{T}x{x}^T{\phi }_{k\mathrm{,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{J_k}}\left|⟨x\mathrm{,}{\phi }_{k\mathrm{,}j}⟩\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel P_{k}x{\parallel }^2\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2)

При этом оператор $\mathcal{A}$ так же, как и в случае ВМИ, не является инъективным тогда и только тогда, когда ядро оператора $A$ содержит матрицы, ранг которых равен 1 или 2. Этот результат известен и сформулирован в [3] для ${ℝ}^D$. Аналогичный результат в ${ℂ}^D$ неизвестен.

4. Задача о минимальном количестве восстанавливающих подпространств

Подобно вопросу о минимальном количестве векторов, допускающих ВМИ, ставится вопрос о минимальном количестве $N\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ подпространств ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_j\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\mathrm{,}$ обеспечивающих ВНП в ${ℍ}^D$. В настоящий момент получены некоторые результаты для вещественного пространства ${ℝ}^D\mathrm{.}$ Теорема 4.1. Для любого набора чисел $1\le r_k\le D-\mathrm{1,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,2}D-\mathrm{1,}$ существуют подпространства ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{2D-1}$ в ${ℝ}^D\mathrm{,}$ обеспечивающие ВНП, причем $\dim W_k\mathrm{<mo>=</mo>}{r}_k$ [7].

Из вышеприведенной теоремы следует, что в ${ℝ}^D$ $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 2D-1.$

В [8] построено $\mathrm{6<mo>=</mo>2}\cdot 4-2$ двумерных подпространств пространства ${ℝ}^4\mathrm{,}$ обеспечивающих (ВНП).

Как показывает следующая теорема, дальнейшее уменьшение числа $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ невозможно.

Теорема 4.2. Пусть ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ $–$ подпространства ${ℝ}^D$ с соответствующими ортопроекторами ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\mathrm{.}$

Следующие утверждения эквивалентны:

1) подпространства ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ обеспечивают ВНП;

2) для любого $0\ne x\in {ℝ}^D$ семейство векторов ${\left\{P_{k}x\right\}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ полно в ${ℝ}^D\mathrm{,}$ т. е. $\text{span}\left({\left\{P_{k}x\right\}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{ℝ}^D\mathrm{.}$

Доказательство теоремы приведено в [4]. В рамках данной статьи опустим его, рассмотрев более подробно следующую теорему, для доказательства которой необходимо использование теоремы 4.2.

Теорема 4.3. В пространстве ${ℝ}^D$ $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 2D-2$ [9].

Доказательство. Покажем, что для ВНП в ${ℝ}^D$ требуется не менее $2D-2$ гиперплоскостей. Предположим, что возможно ВНП с $N\le 2D-3$ гиперплоскостями ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\mathrm{.}$ Выберем вектор $0\ne x\in {\cap }_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{D-1}{W}_k$ так, чтобы $P_{k}x\mathrm{<mo>=</mo>}x$ для $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}D-1.$ Рассмотрим семейство векторов ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_{k}x\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>\}</mo>}\cup {\mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_{k}x\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>}D}^N\mathrm{.}$ Общее количество таких векторов $\le 1+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}D-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D-\mathrm{1,}$ так что ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_{k}x\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ не полно в ${ℝ}^D\mathrm{,}$ что противоречит теореме 4.2. Можно показать, что для каждого семейства подпространств ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N\mathrm{,}$ восстанавливающих по нормам проекторов в ${ℝ}^D\mathrm{,}$ найдутся гиперплоскости ${W^{\prime }}_k\supset W_k\mathrm{,}$ которые также восстанавливают по нормам проекторов. Следовательно, $N\ge 2D-2.$

Таким образом, в пространстве ${ℝ}^D$ минимальное количество восстанавливающих подпространств равно $2D-2$ или $2D-1$, однако на данный момент построен только один пример в виде шести двумерных подпространств, обеспечивающих ВНП в ${ℝ}^4$. Кроме $D\mathrm{<mo>=</mo>4}$ неизвестен пример ни для одного пространства ${ℝ}^D$, для которых реализуется значение $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}D-2.$

Для комплексного пространства ${ℂ}^D$ в настоящий момент минимальное количество подпространств, обеспечивающее ВНП, неизвестно.

Выводы

В данной статье было показано, что в евклидовом пространстве свойства восстановления по модулям измерений, альтернативной полноты и отсутствия матриц ранга 1 или 2 в ядре оператора $A$ являются эквивалентными. В унитарном пространстве свойство набора векторов восстанавливать вектор-сигнал по модулям измерений является эквивалентным только свойству отсутствия матриц ранга 1 или 2 в ядре оператора $A$, свойство альтернативной полноты является необходимым, но недостаточным для выполнения первых двух.

Также показано, что в евклидовом пространстве свойство набора подпространств восстанавливать вектор-сигнал по нормам проекций может быть охарактеризовано свойствами ядра оператора $A\mathrm{.}$ Предметом дальнейшего исследования является вопрос о том, являются ли эти свойства эквивалентными в унитарном пространстве.

Проанализированы имеющиеся результаты в отношении минимального количества векторов, допускающих ВМИ, и минимального количества подпространств, допускающих ВНП. Для пространств размерности, не превосходящей 10, приведена таблица, содержащая сведения о минимальном количестве векторов, допускающих ВМИ. Для некоторых подпространств это количество оказывается точно известным, в то время как для других известны лишь границы, в которых оно находится.

About the authors

Ilia M. Izbiakov

Author for correspondence.
Email: iliya-izbyakov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3358-966X

post-graduate student of the Department of Information Security

References

Supplementary files