On group characterization by numbers of conjugate classes

Full Text

1. Постановка задачи

Основные понятия и цитируемые факты можно найти в [1; 2; 6; 8; 11].

В современных исследованиях по теории групп актуальными являются проблемы распознавания групп по некоторым условиям. Здесь возможны разные подходы. В исследованиях математиков В.Д. Мазурова, Д.О. Ревина, М.А. Гречкосеевой и других исследуется проблема распознавания группы по ее спектру-множеству $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порядков ее элементов [4; 8; 9]. В работах И.Б. Горшкова, Н.В. Масловой исследуется распознавание по графу Грюнберга $—$ Кегеля [5]. В работе В.В. Паньшина изучается распознавание групп по множеству размеров классов сопряженности [10].

В этой статье мы расскажем о распознавании еще по по одному множеству. Эти исследования начаты в работе автора [3]. Пусть $G$ $—$ конечная группа, $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ количество классов сопряженных элементов, на которые распределяются элементы порядка $n$ в группе $G\mathrm{.}$ Если в группе нет элементов порядка $n\mathrm{,}$ то $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ Мы расскажем об исследованиях проблемы распознавания по множеству $\mathrm{<mo>\{</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>,}$ которое для краткости обозначим через $ncl\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Если группы распознаваемы по спектру, то они распознаются и по множеству $ncl\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ однако групп, распознаваемых по множеству $ncl\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ больше. В ряде случаев для распознавания группы нет необходимости указывать все это множество и даже предварительно указывать порядок группы.

Число $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ всегда. Мы это значение далее указывать не будем.

Выделяются три основных вопроса:

1. Когда группа $G$ определяется множеством $ncl\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ однозначно?

2. Какие группы имеют одни и те же множества $ncl\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$?

3. Какие группы можно определить частичными условиями на числа $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$?

Теорема 7.3. цитируется по книге [2]. Остальные теоремы статьи являются новыми.

2. Абелевы группы 

Лемма 2.1.

${\displaystyle {\sum }_{n\in N}}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}G\mathrm{<mo>|</mo>}$ в том и только том случае, когда $G$ $—$ абелева группа.

Доказательство.

Это легко следует из того факта, что $\mathrm{<mo>|</mo>}{g}^G\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1<mi>\; </mi><mi>\; </mi>}\forall g\in G\iff G$ $—$ абелева группа.

Теорема 2.2.

Абелева группа однозначно распознается по множеству $ncl\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ если указан ее порядок.

Доказательство.

Сначала мы проверим выполнение условие леммы 2.1, а затем достаточно показать, что однозначно определяется силовская $p$ -подгруппа для каждого простого числа $p\mathrm{.}$

$G\cong \underset{m_1}{\underbrace{Z_p\times \mathrm{...}\times Z_p}}\times \underset{m_2}{\underbrace{Z_{p^2}\times \mathrm{...}\times Z_{p^2}}}\mathrm{...}\times \underset{m_s}{\underbrace{Z_{p^s}\times \mathrm{...}\times Z_{p^s}}}\mathrm{,}$

$m_k$ могут быть равны 0.

Тогда

$c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^{m_1+\mathrm{...}+m_s}-\mathrm{1,}$

$c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^2\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^{m_1+2m_2+2m_3+\mathrm{...}+2m_s}-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{1,}$

$c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^3\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^{m_1+2m_2+3m_3+\mathrm{...}+3m_s}-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^2\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{1,}$

$⋮$

$c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^k\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^{m_1+2m_2+\dots +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{m}_3+k{m}_3+\dots +k{m}_s}-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{k-1}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{k-2}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\dots -\mathrm{1,}$

$c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^s\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^{m_1+2m_2+\dots +s{m}_s}-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{s-1}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{s-2}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\dots -1.$

Отсюда получаем 

$m_1+\dots +m_s\mathrm{<mo>=</mo>}lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{1,}$

$m_1+2m_2\dots +2m_s\mathrm{<mo>=</mo>}lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^2\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{1,}$

$⋮$

$m_1+2m_2+3m_3\dots +3m_s\mathrm{<mo>=</mo>}lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^3\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^2\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{1,}$

$m_1+2m_2+\dots +s{m}_s\mathrm{<mo>=</mo>}lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^s\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{s-1}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots +lo{g}_{p}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{1,}$

$m_k$ находятся однозначно. 

3. Группы порядков 8, $\mathrm{<mi>\; </mi>}p\mathrm{,<mi>\; </mi>}{p}^2\mathrm{,<mi>\; </mi>}pq\mathrm{,<mi>\; </mi>}{p}^3$

Здесь $p\mathrm{,<mi>\; </mi>}q$ $—$ различные нечетные простые числа.

Теорема 3.1.

Группы порядков 8, $\mathrm{<mi>\; </mi>}p\mathrm{,<mi>\; </mi>}{p}^2\mathrm{,<mi>\; </mi>}pq\mathrm{,<mi>\; </mi>}{p}^3$ однозначно определяются указанием порядков и множествами $ncl\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, указанными в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Table 1

Таблица 2

Table 2

Доказательство.

Эти данные получаются прямыми вычислениями. Мы используем известные данные о генетическом коде этих групп, взятые из книги [11]. Мы видим, что эти множества различны.

4. Группы порядков $\mathrm{<mi>\; </mi>}{p}^n\mathrm{,}n\ge \mathrm{4,}$ с условием $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{n-1}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ 

Теорема 4.1.

Группы порядков $\mathrm{<mi>\; </mi>}{p}^n\mathrm{,}n\ge \mathrm{4,}$ с условием $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{n-1}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ однозначно определяются порядком и частичными условиями на числа $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ указаны в табл. 3 (для нечетных p) и табл. 4 (для p=2).

Таблица 3

Table 3

Таблица 4

Table 4

Доказательство.

Условия на числа $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ находятся явными вычислениями из генетических кодов, приведенных в [11].

5. Группы $Z_p$ и $D_p$

В этом и следующем параграфах мы докажем несколько утверждений, в которых группа однозначно определяется частичными условиями на $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ без указания порядка группы.

Теорема 5.1.

Пусть $p$ $—$ простое число. Тогда условия $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}p-\mathrm{1,<mi>\; </mi>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,<mi>\; </mi>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mi>\; </mi>}\forall \mathrm{<mi>\; </mi>}n\ne \mathrm{1,<mi>\; </mi>}p\mathrm{,}$ выполняются в том и только том случае, когда $G\cong Z_p\mathrm{.}$

Доказательство.

В этой группе имеются элементы только порядка 1 и $p\mathrm{.}$ Имеется, по крайней мере, $p-1$ класс сопряженных элементов, эти классы образованы центральными элементами порядка $p\mathrm{.}$ Но больше классов для таких элементов нет. Получим, $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cong Z_p\cong G\mathrm{.}$

Пусть далее $p$ $—$ нечетное простое число.

Теорема 5.2.

Условия $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{p-1}{2}\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,<mi>\; </mi>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mi>\; </mi>}\forall \mathrm{<mi>\; </mi>}n\ne \mathrm{1,<mi>\; </mi>2,<mi>\; </mi>}p\mathrm{,}$ выполняются в том и только том случае, когда $G\cong D_p\mathrm{.}$

Доказательство.

$\mathrm{<mo>|</mo>}G{\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>2}}^k\cdot p^l\mathrm{.}$

В нашем случае $G_2$ абелева, так как любая группа экспоненты 2 абелева, в группе нет элементов порядка $2p\mathrm{.}$ Нет элементов порядка $2p$ и в фактор-группе $G\mathrm{<mo>/</mo>}{G}^{\prime }\mathrm{.}$

Поэтому если $ord\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}$ , то $\mathrm{<mo>|</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>2}}^k\mathrm{.}$

$\mathrm{<mo>|</mo>}{g}^G\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}{p}^l\mathrm{.}$

Возникают две возможности : $G^{\prime }\cong G_p$ или $G^{\prime }\supseteq G_2\mathrm{,}$ так как $G^{\prime }$ целиком содержит или не содержит $G_2\mathrm{,}$ так как она является нормальной подгруппой, а элементы порядка 2 образуют один класс сопряженных элементов.

Случай 1. $G^{\prime }\cong G_p$

$\mathrm{<mo>|</mo>}G\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{G}_p\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{g}^G\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}{p}^l+p^l\mathrm{<mo>=</mo>2}{p}^l\mathrm{,}$

$ord\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2.}$ Получаем $k\mathrm{<mo>=</mo>1.}$

Пусть $h\in Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{G}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}ord\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}p\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mo>|</mo>}{h}^G\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>2.}$ Существуют $\frac{p-1}{2}$ классов сопряженных элементов, которые состоят из элементов $h\mathrm{,...}{h}^{p-1}\mathrm{.}$ Все классы сопряженных элементов мы перебрали, для других элементов порядка $p$ больше нет места. Получаем, что $\mathrm{<mo>|</mo>}G\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>2}p\mathrm{.}$

Таким образом, $G\cong D_p\mathrm{,}$ так как $G$ $—$ неабелева группа.

Случай 2. $G^{\prime }\supseteq G_2$

В этом случае $\mathrm{<mo>|</mo>}G\mathrm{<mo>/</mo>}{G}^{\prime }\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}{p}^k\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi>0<mo><</mo>}k\le l\mathrm{.}$

Тогда

$p^k\le \frac{p-1}{2}+\mathrm{2<mo>=</mo>}\frac{p+3}{2}\mathrm{.}$

Это невозможно.

6. Группа $A_4$

Теорема 6.1.

Условия $c\left(\mathrm{3,}G\right)=c\left(\mathrm{1,}G\right)=c\left(\mathrm{2,}G\right)=c(n,G)=\forall n\ne$ выполняются в том и только том случае, когда $G\cong A_4.$

Доказательство.

В группе 4 класса сопряженных классов группа $G$ неабелева и разрешима.

Случай 1. $G^{\text{'}}\cong G_2,G/G^{\text{'}}\cong Z_3.$

$\left|G\right|=3\cdot 2^l.$

В этом случае $G/G^{\text{'}}$ является степенью числа 3, но не может быть больше 3, так как $G/G^{\text{'}}$ $—$ это количество одномерных передставлений, а оно не превосходит 4 в нашей ситуации.

Если $ord\left(g\right)=\mathrm{2,}$ то $\left|g^G\right|=\mathrm{3,}$ так как $Z\left(g\right)=G_2.$

$2^l-1=3, l=2.$

$\left|G\right|=12.$

$G\cong A_4.$

Случай 2. $G^{\text{'}}\cong G_3,G/G^{\text{'}}\cong Z_2.$

Группа неабелева, все ее представления не могут быть одномерными, поэтому если $G^{\text{'}}\cong G_3,$ то $G/G^{\text{'}}\cong Z_2.$

$\left|G\right|=2\cdot 3^m.$

$S_3$ не удовлетворяет условию на классы сопряженных элементов, поэтому $m\ge 2.$

Пусть $h,h^2\in Z\left(G_3\right)ord\left(h\right)=ord\left(h^2\right)=3.$

$\left|h^G\right|=\left|{\left(h^2\right)}^G\right|=2.$

Если $h$ и $h^2$ не сопряжены, то $\left|G_3\right|=5$, а это невозможно.

Если эти элементы сопряжены, то рассмотрим элемент третьего порядка $f$, который с ними не сопряжен, в классе $f^G$ содержатся все оставшиеся элементы порядка 3.

$\left|f^G\right|=3^m-3$ делит $2\cdot 3^m\mathrm{.}$

$3^{m-1}-1|2.$ Получаем $\left|G\right|$ = 18. Но группы порядка 18 не удовлетворяют заявленному условию на классы сопряженных элементов.

Случай 3. $G/G^{\text{'}}\cong Z_3{G}^{\text{'}}\ne G_3{G}^{\text{'}}\ne G_2.$

$\left|G\right|=2^l\cdot 3^m.$

Один класс сопряженных элементов порядка 3 лежит в $G^{\text{'}},$ а другой $—$ нет.

Пусть $h\notin G^{\text{'}}ord\left(h\right)=3.$

$\left|h^G\right|=2^l\cdot 3^m-2^l\cdot 3^{m-1}=2^{l+1}\cdot 3^{m-1}.$

$\left|h^G\right|$ делит $2^l\cdot 3^m.$ Получаем противоречие.

7. Группы с одинаковым $ncl\left(G\right)$

Пример 7.1.

$G\cong <a,b,c:a^5=b^5=c^4=e,$

$c^{-1}ac=a^2{c}^{-1}bc=b^{2}ab=ba>,$

$H\cong <a,b,c:a^5=b^5=c^4=e,$

$c^{-1}ac=a^2{c}^{-1}bc=b^{3}ab=ba>.$

Эти группы имеют одинаковые множества $ncl\left(G\right)$,

$c\left(2\right)=c\left(4\right)=c\left(5\right)=6.$

Однако эти группы неизоморфны. В группе $H$ можно найти такие элементы порядков 5 и 4, которые порождают всю группу. Например, это элементы $ab$ и $c\mathrm{.}$ В группе $G$ таких элементов нет. Любая пара элементов, где один пятого, а другой четвертого порядка, порождает группу порядка 20.

Пример 7.2.

Пусть $p$ $—$ нечетное простое число,

$l=1+pm=1-p.$

$G_1\cong <a,b,c:a^{p^2}=b^{p^2}=c^p=e,$ $c^{-1}ac=a^l{c}^{-1}bc=b^{l}ab=ba>,$

$G_2\cong <a,b,c:a^{p^2}=b^{p^2}=c^p=e,$ $c^{-1}ac=a^l{c}^{-1}bc=b^{m}ab=ba>.$

$\left|G_1\right|=\left|G_2\right|=p^5,$

$c(p,G)=c(p,H)=p^2+p-c(p^2,G)=c(p^2,H)=2p^3-p^2-2p+1.$

Рассмотрим группу $G_1\mathrm{.}$ Центр этой группы $Z\left(G_1\right)=<a^p>\times <b^p>.$

Рассмотрим подгруппу $H=<a>\times <b>.$ В $H$ имеется $p^4-p^2$ элементов $p^2\mathrm{.}$ Каждый класс содержит $p$ элементов. Возникает $p^3-p$ классов. Вне $H$ имеется $(p^4-p^2)(p-1)$ элементов порядка $p^2\mathrm{.}$ Централизатор каждого такого элемента имеет порядок $p^3\mathrm{,}$ индекс централизатора равен $p^2\mathrm{.}$ Вне $H$ лежит $(p^2-1)(p-1)$ классов, состоящих из элементов порядка $p^2\mathrm{.}$ Итак, $c(p^2,G)=2p^3-p^2-2p+1.$ В $H$ имеется $p^2-1$ элементов $p\mathrm{.}$ Каждый класс состоит из одного элемента. Вне $H$ имеется $p^3$ элементов порядка $p\mathrm{.}$ Централизатор каждого такого элемента имеет порядок $p^3\mathrm{,}$ индекс централизатора равен $p^2\mathrm{.}$ Возникает $p$ классов. Итак, $c(p,G)=p^2+p-1.$

Во второй группе есть подгруппа порядка $p^4\mathrm{,}$ порожденная элементом порядка $p^2$ и элементом порядка $p\mathrm{.}$ Эта подгруппа является прямым произведением метациклической группы и циклической группы. В первой группе такой подгруппы нет. Любой элемент порядка $p^2$ и элемент порядка $p\mathrm{,}$ который не является степенью первого, порождают подгруппу порядка $p^3$.

В монографии [2] на странице 307 приводится следующая теорема.

Теорема 7.3.

Пусть группа $G$ равна прямому произведению $G_1\times G_2$ своих подгрупп $G_1$ и $G_2\mathrm{.}$ Тогда, если $C_1$ $—$ класс сопряженных элементов группы $G_1\mathrm{,}$ а $C_2$ $—$ класс сопряженных элементов группы $G_2\mathrm{,}$ то всевозможные произведения вида $g_1{g}_2\mathrm{,}$ где $g_1\in G_1{g}_2\in G_2\mathrm{,}$ образуют класс сопряженных элементов самой группы $G\mathrm{,}$ и обратно, каждый класс сопряженных элементов группы $G$ получается таким образом.

Из нее сразу следует

Утверждение 7.4.

Если $ncl\left(G\right)=ncl\left(H\right)F$ $—$ некоторая группа, то

$ncl(G\times F)=ncl(H\times F).$

Поэтому рассматривать неизоморфные группы с одинаковыми множествами $ncl\left(G\right)$ следует с точностью до умножения на одинаковый прямой множитель. Интересно исследовать, насколько схожей является структура групп с одинаковым $ncl\left(G\right).$ Например, если группа $G$ является полупрямым произведением подгруппы $H$ и фактора $G/H=F,$ то верно ли это для всех групп с таким же множеством $ncl\left(G\right)?$ Во всех известных примерах это так.

Выводы

Таким образом, в статье показывается, что изучение структуры группы по множеству $ncl\left(G\right)$ является актуальной проблемой, так как группы многих типов могут быть определены этим множеством однозначно, и в любом случае знание этого множества является хорошей стартовой площадкой для ее изучения.

About the authors

Galina V. Voskresenskaya

Author for correspondence.
Email: galvosk@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6288-5372

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Algebra and Geometry

References

Supplementary files