GENERAL THEORY OF ORTHOTROPIC SHELLS. PART I


Cite item

Abstract

Modern mechanical engineering sets the tasks of calculating thin-walled structures that simultaneously combine sometimes mutually exclusive properties: lightness and economy on the one hand and high strength and reliability on the other. In this regard, the use of orthotropic materials and plastics seems quite justified.
The article demonstrates the complex representation method of the equations of the orthotropic shells general theory, which allowed in a complex form to significantly reduce the number of unknowns and the order of the system of differential equations. A feature of the proposed technique for orthotropic shells is the appearance of complex conjugate unknown functions. Despite this, the proposed technique allows for a more compact representation of the equations, and in some cases it is even possible to calculate a complex conjugate function. In the case of axisymmetric deformation, this function vanishes, and in other cases the influence of the complex conjugate function can be neglected.

Verification of the correctness of the proposed technique was demonstrated on a shallow orthotropic spherical shell of rotation under the action of a distributed load. In the limiting case, results were obtained for an isotropic shell as well.

Full Text

1. Предварительные сведения
Комплексное представление уравнений общей теории изотропных оболочек было сделано В.В. Ново-
жиловым [1]. Представление уравнений в комплексной форме позволило сократить вдвое число неизвест-
ных и порядок системы дифференциальных уравнений. Попытка построения аналогичного комплексного
представления исходных дифференциальных уравнений ортотропных оболочек натолкнулась на следую-
щую трудность: появление комплексно-сопряженных неизвестных функций, что не позволило сократить
число и порядок исходной системы дифференциальных уравнений. Но тем не менее эта запись позво-
ляет более компактно представить уравнения, а в некоторых случаях имеется возможность вычислить
комплексно-сопряженную функцию. В случае осесимметричной деформации эта функция обращается
в нуль, а в других случаях влиянием комплексно-сопряженной функции можно пренебречь.
2. Постановка задачи
Рассмотрим комплексное преобразование исходных уравнений общей теории ортотропных оболо-
чек (более общее преобразование сделано Ю.П. Артюхиным для многослойной оболочки, составленной
из произвольного числа ортотропных слоев [2], а также в [3]). Пусть тонкая ортотропная оболочка по-
стоянной толщины испытывает упругие деформации, малые углы поворота и прогибы. Оси ортотропии
параллельны координатным линиям кривизны 1, 2. Считаем справедливыми гипотезы Кирхгофа —
Лява. Положительными направлениями для тангенциальных усилий (растяжения/сжатия и сдвига) Tj ,
S и моментов (изгибающих и крутящего) Mj , H считаются направления, принятые в монографии [1].
Уравнения равновесия малого элемента оболочки в линиях кривизны 1, 2 имеют следующий
вид [1]:
L1 (T1; T2; S) + A1A2N1
R1
+ A1A2q = 0;
(←
1→; 2
)
;
1
A1A2
(
@A2N1
@1
+ @A1N2
@2
)
− T1
R1
− T2
R2
+ q3 = 0;
L1 (M1;M2;H) − A1A2N1 = 0;
(←
1→; 2
)
;
(2.1)
где L1 (T1; T2; S) = @A2T1
@1
+ @A1S
@2
+ @A1
@2
S − @A2
@1
T2; Aj — коэффициенты Ляме; Nj — перерезывающие си-
лы; Rj — радиусы кривизны; qj , q3 — касательные и нормальная нагрузки; Lj (Mj ;M3−j ;H), (j = 1; 2) —
операторы, имеющие структуру операторов Lj (Tj ; T3−j ; S), в которых вместо Tj , T3−j , S поставлены
соответственно Mj , M3−j , S. Символ

1→; 2 означает, что последующее выражение получается из преды-
дущего путем перестановки индексов.
Шестое уравнение равновесия удовлетворяется тождественно с погрешностью, не превышающей по-
грешности исходных гипотез.
К уравнениям (2.1) следует добавить три уравнения совместности деформаций ("j , ! — тангенци-
альные, j , — изгибные деформации):
L1 (2; 1;− ) + 1
R1
L1
(
−"2;−"1; !
2
)
+ A1
R1
@(!=2)
@2
+ !
R2
@A1
@2
= 0;
(←
1→; 2
)
;
1
A1A2
[
@
@1
1
A1
L1
(
"2; "1;−!
2
)
+ @
@2
1
A2
L2
(
"1; "2;−!
2
)]
+ 2
R1
+ 1
R2
= 0:
(2.2)
Исключим из первых трех уравнений равновесия перерезывающие силы Nj . В соответствующих двух
уравнениях совместности деформаций (2.2) опустим часть несущественных (подчеркнутых) членов по-
рядка h=R (h — толщина; R — наименьший радиус кривизны оболочки) по сравнению с 1. Тогда из пре-
образованных уравнений равновесия (2.1) и совместности деформаций (2.2) следует аналогия [1]:
T1 ↔ 2; T2 ↔ 1; S ↔ − ;
M1 ↔ −"2; M2 ↔ −"1; H ↔ !
2 :
(2.3)
48
Великанов П.Г., Артюхин Ю.П. Общая теория ортотропных оболочек. Часть I
Velikanov P.G., Artyukhin Y.P. General theory of orthotropic shells. Part I
Соотношения упругости для ортотропных оболочек имеют вид [4]:
T1 = B1 ("1 + 2"2) ;
(←
1→; 2
)
; S = e Gh!;
M1 = D1 (1 + 22) ;
(←
1→; 2
)
; H =
(
e Gh3=6
)
;
(2.4)
где B1 = E1h
1−12 , D1 = E1h3
12(1−12) , eG
— модуль сдвига; Ej , j — модули упругости и коэффициенты Пуас-
сона j-го направления.
Вводя следующие комплексные величины
e T1 = T1 − i2;
(←
1→; 2
)
; eS = S + i; i =

−1;
fM1 = M1 + i"2;
(←
1→; 2
)
; eH
= H − i (!=2) ; = h2

E1E2
12(1−12) ;
(2.5)
можно (2.4) представить следующим образом:
fM1 = ic
(
e T2 − 2 e T1
)
; fM2 = ic
(
e T1 − 1 e T2
)
; eH
= −ic
[
eS + (" + 2) eS
]
; c = h=K: (2.6)
Здесь e T1, eS — комплексно-сопряженные величины.
Безразмерные величины , , ", K полностью определяют упругие свойства материала:
=
E2
E1
; K =

12 (1 − 12) ; =
E2
4eG
+
eG
(1 − 12)
E1
; " =
E2
4eG

eG
(1 − 12)
E1
− 2: (2.7)
Для изотропного материала эти параметры равны:
= = 1; " = 0; K =

12 (1 − 2): (2.8)
Если допустить, что для ортотропного материала между модулем сдвига и модулями упругости су-
ществует связь
eG
= eG
0 =

E1E2
2
(
1 +

12
) ; (2:8′)
то = 2; " = 0; K =

12 (1 − 12), и задача путем аффинного преобразования координат может быть
сведена к задаче деформирования изотропной оболочки. В этом случае решение будет зависеть только
от отношения модулей = E2=E1. Такое решение может давать неплохие результаты, если сдвиговая
деформация мало влияет на другие искомые характеристики интегрального типа.
Для дальнейших преобразований в статических уравнениях с коэффициентами 1=Rj используются
моменты, выраженные через изменения кривизн, а в геометрических уравнениях аналогичные слагаемые
с тангенциальными деформациями выражаются в соответствии с (2.4) через усилия.
Кроме того, в этих малых членах уравнений применяются приближенные равенства:
@A1S
@2
+ @A1
@2
S ≈ −@A2T1
@1
+ @A2
@1
T2;
(←
1→; 2
)
;
@A1
@2
+ @A1
@2
≈ @A22
@1
− @A2
@1
1;
(←
1→; 2
)
:
Такая замена внесет в уравнения погрешность порядка не более (h=R)2 по сравнению с единицей (для
грузового члена уравнения погрешность порядка h=R). Итак, согласно этим преобразованиям и введения
комплексных усилий (2.5), получим [2]:
L1
(
e T1; e T2; eS
)
+ ic
R1
[
@
@1
A2
(
e T1 + e T2 + " e T1
)
− @A2
@1
(
e T1 + e T2 + " e T2
)]
= −A1A2q1;
L2
(
e T2; e T1; eS
)
+ ic
R2
[
@
@2
A1
(
e T1 + e T2 + " e T2
)
− @A1
@2
(
e T1 + e T2 + " e T1
)]
= −A1A2q2;
e T1
R1
+
e T2
R2
− ic
A1A2
{
@
@1
1
A1
[
@
@1
A2
(
e T1 + e T2 + " e T1
)
− @A2
@1
(
e T1 + e T2 + " e T2
)]
+
+ @
@2
1
A2
[
@
@2
A1
(
e T1 + e T2 + " e T2
)
− @A1
@2
(
e T1 + e T2 + " e T1
)]}
= q3:
(2.9)
Полагая в уравнениях (2.9) = = 1; " = 0, что соответствует случаю изотропной оболочки, получим
уравнения, приведенные В.В. Новожиловым в [1]. Комплексные уравнения для ортотропных оболочек,
полученные в [5], при переходе к изотропии отличаются некоторыми малыми членами от уравнений,
приведенных в [1].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 46–54
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 46–54 49
3. Пологие оболочки
Рассмотрим изгиб пологой оболочки нормальной нагрузкой q3 (1; 2). В этом случае в первых двух
уравнениях (2.9) можно пренебречь членами уравнения с множителями 1=Rj по сравнению с остальны-
ми (главными). Упрощенным таким образом двум уравнениям удовлетворим с помощью комплексной
функции усилий [1]:
e T1 = − 1
A2
@
@2
(
1
A2
@ e F
@2
)
− 1
A21
A2
@A2
@1
@ e F
@1
;
(←
1→; 2
)
;
eS = 1
2
[
A2
A1
@
@1
(
1
A22
@ e F
@2
)
+ A1
A2
@
@2
(
1
A21
@ e F
@1
)]
; e F = F − iw;
(3.1)
где F — вещественная функция усилий; w — прогиб.
Вводя усилия (3.1) в третье уравнение (2.9), получим:
ic
A1A2
{
@
@1
A2
A1
@
@1
∇21
e F + @
@2
A1
A2
@
@2
∇22
e F + @
@1
[
1
A1
@A2
@1
(
∇21
e F − ∇22
e F
)]
+
+ @
@2
[
1
A2
@A1
@2
(
∇22
e F − ∇21
e F
)]
+ "∇43
e F
}
− D
(
e F
)
= q3;
(3.2)
где
∇21
= 1
A1A2
{

[
@A2
@1
(
1
A1
@
@1
)
+ A1
@
@2
(
1
A2
@
@2
)]
+
[←
1→; 2
]}
;
∇22
= 1
A1A2
{

[
@A1
@2
(
1
A2
@
@2
)
+ A2
@
@1
(
1
A1
@
@1
)]
+
[←
1→; 2
]}
;
∇43
= @
@1
1
A1
{
@
@1
[
@
@2
(
1
A2
@
@2
)
+ 1
A21
@A2
@1
@
@1
]
− 1
A1
@A2
@1
[←
1→; 2
]}
+ @
@2
1
A2
{←
1→; 2
}
;
D( ) = 1
A1A2
[
@
@1
(
A2
R2A1
@
@1
)
+ @
@2
(
A1
R1A2
@
@2
)]
:
Пологие оболочки, прямоугольные в плане, отнесем к декартовой системе координат 1 = x, 2 = y.
Поэтому A1 = A2 = 1 и уравнение (3.2) примет вид:
ic
(
@4 e F
@x4 + 2
@4 e F
@x2@y2 +
@4 e F
@y4 + 2"
@4 e F
@x2@y2
)
− ∇2
k
e F = q3; (3.3)
где ∇2
k = k2
@2
@x2 + k1
@2
@y2 ; kj = 1
Rj .
Уравнение (3.3) не отличается от уравнения, приведенного в [5].
4. Пологие оболочки вращения
Пусть оболочка получена вращением полого меридиана вокруг полюса. Причем оболочка обладает
криволинейной ортотропией: вдоль меридиана и по окружности. Полюс является особой точкой и может
быть исключен из рассмотрения. Уравнения равновесия такой оболочки в комплексной форме, отнесен-
ной к полярным координатам , , можно получить из (3.2), полагая 1 = ; 2 = ; A1 = 1; A2 = .
(
@2
@2 +
2

@
@
)
∇21
e F +
(
1
2
@2
@2
− 1

@
@
)
∇22
e F +
i
c
∇2
R
e F + "
(
1

@2
@2
1

@2
@2 +
1
2
@4
@2@2
)
e F = −i
c
q3; (4.1)
где
∇21
=
@2
@2 +
(
1

@
@
+
1
2
@2
@2
)
; ∇22
=
@2
@2 +
(
1

@
@
+
1
2
@2
@2
)
; ∇2
R =
1

[
@
@
(

R2
@
@
)
+
@
@
(
1
R1
@
@
)]
:
Связь между комплексными усилиями и комплексной функцией усилий e F осуществляется следую-
щими соотношениями:
e T1 = − 1
2
@2 e F
@2
− 1

@ e F
@
; e T2 = −@2 e F
@2 ; eS =
1
2
[

@
@
(
1
2
@ e F
@
)
+
1

@2 e F
@@
]
: (4.2)
Уравнения (4.1) и соотношения (4.2) справедливы для общего случая деформации оболочки. Для
осесимметричной деформации члены уравнения с комплексно-сопряженной функцией e F пропадают.
5. Осесимметричная деформация пологой сферической оболочки
Для решения многих задач теории круглых пластин, сферических и конических оболочек вращения
эффективно используются гипергеометрические функции.
50
Великанов П.Г., Артюхин Ю.П. Общая теория ортотропных оболочек. Часть I
Velikanov P.G., Artyukhin Y.P. General theory of orthotropic shells. Part I
Плодотворность привлечения для указанной цели теории гипергеометрических функций объясняется
тем, что разрешающие дифференциальные уравнения при определенных профилях пластин и законах
изменения кривизны оболочек вращения, имеющих практическое значение, приводятся к хорошо изу-
ченным гипергеометрическим уравнениям. В то же время использование многочисленных соотношений
между этими функциями дает возможность существенно улучшать решения: усиливать сходимость и со-
кращать число рядов, подлежащих суммированию — операции с успехом реализуемые, например, в па-
кете символьной математики WolframMathematica [6; 7]. Ниже приведены результаты по применению
гипергеометрических функций в теории оболочек.
5.1. Сферическая оболочка под действием распределённой нагрузки
Из уравнения равновесия в комплексной форме (4.1) в силу осевой симметрии задачи получим:
d4 e F
d4 +
2

d3 e F
d3 + n2
(
− 1
2
d2 e F
d2 +
1
3
d e F
d
)
+ ia2
(
d2 e F
d2 +
1

d e F
d
)
= −i
c
q3 () : (5.1)
Здесь n = = = E2
E1 ; a2 = 1
cR ; c = √ h
12(1−12)
.
Рассмотрим пологую сферическую оболочку под действием равномерно распределенной нагрузки
q3 = −q = const = −q

:
Представим уравнение (5.1) в следующем виде:
d
d
{

[
d2 e f
d2 +
1

d e f
d
+
(
ia2 − n2
2
)
e f
]}
= e C; (5.2)
где e f = d e F
d ; e C = iq
c .
Найдем решение однородного уравнения (5.2). Так как выражение в прямых скобках есть уравнение
Бесселя, то двумя частными решениями однородного уравнения (5.2) будут функции Бесселя первого
и второго рода Jn
(√
ia
)
и Yn
(√
ia
)
. Третье частное решение однородного уравнения получим, инте-
грируя (5.2) при e C = 0:
d2 e f
d2 +
1

d e f
d
+
(
ia2 − n2
2
)
e f =
C

: (5.3)
Полагая в (5.3) C =

ia и делая замену переменной z =

ia, приведем (5.3) к виду:
d2 e f
dz2 +
1
z
d e f
dz
+
(
1 − n2
z2
)
e f =
1
z
: (5.4)
Частным интегралом уравнения (5.4) является функция Ломмеля s0;n (z) [8]. Функции Jn (z), Yn (z),
s0;n (z) оказываются линейно независимыми [9] и их можно использовать для построения общего реше-
ния однородного уравнения (5.2).
Для определения частного решения уравнения (5.2) проинтегрируем его по :
d2 e f
d2 +
1

d e f
d
+
(
ia2 − n2
2
)
e f =
e C
2
: (5.5)
Уравнению (5.5), когда правая часть представляет любую степенную функцию от , удовлетворяет
функция Ломмеля Sm;n (z):
w
′′
+
w′
z
+
(
1 − n2
z2
)
w = zm−1: (5.6)
Поэтому частным решением уравнения (5.5), а следовательно уравнения (5.2), будет функция Ломме-
ля S2;n (z). Функция Ломмеля связана с обобщенной гипергеометрической функцией, которая успешно
табулирована в пакете WolframMathematica [6; 7] и вычисляется как обычная тригонометрическая функ-
ция:
sm;n (z) =
zm+1
[
(m + 1)2 − n2
] 1F2
[
{1} ;
{
m − n + 3
2
;
m + n + 3
2
}
;−z2
4
]
: (5.7)
Следовательно, общее решение уравнения (5.1) для равномерной нагрузки примет вид:
e F () = e C1 + e C2

Jn (z) d + e C3

Yn (z) d + e C4

s0;n (z) d − iq
2
cR2

s2;n (z) dz: (5.8)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 46–54
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 46–54 51
Рассмотрим теперь пологую сферическую оболочку под действием неравномерной нагрузки.
На оболочку действует неравномерное давление
q3 () = −q

(
1 + a1 + a22 + : : : + all)
= −q

f () ; (5.9)
где f () — полином степени l, f () =
Σl
k=0
akk, a0 = 1, =
b , другие коэффициенты ak — заданы, b —
радиус плана оболочки.
При l = 0 получим предыдущий случай равномерного нагружения. Для нашего случая (5.9) уравне-
ние (5.5) при = √z
ia примет вид:
e f
′′
(z) +
1
z
e f

(z) +
(
1 − n2
z2
)
e f (z) =
e C
(√
ia
)3
Σl
k=0
ak
(k + 2)
zk+1
(√
ig
)k ; (5.10)
где
g = ab = 4

12 (1 − 12)

KR; KR =
b2
Rh
: (5.11)
Сменим немой индекс суммирования k на m из условия k + 1 = m − 1. Откуда k = m − 2, и сумму
перепишем следующим образом:
Σl
k=0
ak
(k + 2)
zk+1
(√
ig
)k =
Σl+2
m=2
am−2
m
zm−1
(√
ig
)m−2 : (5.12)
Из (5.6), (5.10) и (5.12) следует частное решение для нагрузки (5.9):
fq (z) =
e C
(√
ia
)3
Σl+2
m=2
am−2
m
(√
ig
)m−2 sm;n (z) =
e C
(√
ia
)3 fl;n (z) :
Окончательно общий интеграл для неравномерного поперечного давления примет вид:
e F () = e C1 + e C2

0
Jn (z) d + e C3

0
Yn (z) d + e C4

0
s0;n (z) d +

0
fq (z) dz: (5.13)
Для оболочки без отверстия в полюсе постоянные
e C3 = e C4 = 0:
В случае скользящего защемленного контура
e F (b) =
d e F (b)
d
= 0;
получим решение вида:
e F = F − iw =
e C
(√
ia
)3


fl;n
(√
ig
)
Jn
(√
ig
)
∫b

Jn (z) d −
∫b

fl;n (z) d

: (5.14)
Бесселевы и гипергеометрические функции представляют собой сходящиеся ряды, поэтому легко ин-
тегрируются:
(; n; g) =

Jn
(√
ig
)
d =
(√
ig
2
)n

???? (n + 2) 1F2
{{
n + 1
2
}
;
{
n + 1;
n + 3
2
}
;−i
(
g
2
)2
}
;
Sm;n (; g) =

Sm;n
(√
ig
)
d =
=

(√
ig
)m+1
(m + 2)
[
(m + 1)2 − n2
] 2F3
{{
1; 1 +
m
2
}
;
{
2 +
m
2
;
3 + m + n
2
;
3 + m − n
2
}
;−i
(
g
2
)2
}
:
Выделяя мнимую часть уравнения (5.14) с учетом введенных обозначений интегралов, найдем прогиб:
ew () = 1
g3 Im
[
i3=2
{
fl;n(

ig)
Jn(

ig)
[ (1; n; g) − (; n; g)] −
lΣ+2
m=2
am????2
m(

ig)m????2 [Sm;n (1; g) − Sm;n (; g)]
}]
;
ew = wD1
qb4 :
(5.15)
52
Великанов П.Г., Артюхин Ю.П. Общая теория ортотропных оболочек. Часть I
Velikanov P.G., Artyukhin Y.P. General theory of orthotropic shells. Part I
При l = 0, что соответствует равномерному давлению, сумма превращается в один член ряда,
а m = 2:
f0;n
(√
ig
)
=
1
2
s2;n
(√
ig
)
; Sm;n (; g)|
m=2 = S2;n (; g) :
В этом случае безразмерный прогиб
ew () =
1
2g3 Im
[
i3=2
{
s2;n
(√
ig
)
Jn
(√
ig
) [ (1; n; g) − (; n; g)] − [S2;n (1; g) − S2;n (; g)]
}]
; (5.16)
а прогиб в вершине оболочки вычисляется по формуле:
ew (0) =
1
2g3 Im
[
i3=2
{
s2;n
(√
ig
)
Jn
(√
ig
) (1; n; g) − S2;n (1; g)
}]
: (5.17)
Рассмотрим несколько композитных материалов (однонаправленные композиты на основе эпоксидной
смолы) [10] с преобладающей жесткостью армирования волокон по радиусу:
1) углепластик (волокна AS);
2) стеклопластик (Е-волокна);
3) органопластик (кевлар-49);
4) углепластик (волокна IM6);
5) материал, по свойствам близкий к изотропному.
Механические характеристики приведенных в [10] материалов следующие:
1) n = 0;064, 1 = 0;3, 2 = 0;019;
2) n = 0;235, 1 = 0;26, 2 = 0;061;
3) n = 0;072, 1 = 0;33, 2 = 0;024;
4) n = 0;056, 1 = 0;32, 2 = 0;018;
5) n = 0;98, 1 = 0;3, 2 = 0;294.
Достоверность формул (5.16) и (5.17) исследуем на примере расчета сферической оболочки, изготовленной из материала со свойствами, близкими к изотропному (материал № 5) [10], для параметра кривизны KR = 1.
Согласно (5.17) для этого материала и кривизны ew (0) = −0;01507. Сопоставим этот результат с численным значением прогиба w (0) =
q изотропной сферической оболочки в [11], вычисленным методом
конечных разностей (МКР), где = w(0)
h ; q = qb4
E1h4 для такого же параметра кривизны. При = 0;124
и q = 0;75 в [11] значение ew (0) = w(0)
12(1−12) = −0;01511, что отличается на 0;3 % от приведенного в на-
стоящей статье значения, вычисленного по формуле (5.17).
Расположим волокна сферической оболочки, изготовленной из композитного материала (материал № 4) [10], сначала вдоль радиуса сферической оболочки, а затем — по окружности. В первом случае жесткость оболочки уменьшится вдвое ew (0) = −0;03808, а во втором случае увеличится на два порядка ew (0) = −0;0003125, по сравнению с изотропией.
Выводы
В статье была исследована методика использования комплексного представления уравнений общей теории ортотропных оболочек, которая позволила существенно сократить число неизвестных и порядок системы дифференциальных уравнений, даже несмотря на появление комплексно-сопряженных неизвестных функций. Несмотря на это, предложенная методика позволила более компактно представить уравнения, а в некоторых случаях появилась возможность даже вычислить комплексно-сопряженную функцию. В случае осесимметричной деформации эта функция обращается в нуль, а в других случаях влиянием комплексно-сопряженной функции можно пренебречь, поэтому для указанных случаев были исследованы пологие ортотропные сферические оболочки вращения под действием различных нагрузок.
В предельном случае были получены результаты и для изотропной оболочки. 

×

About the authors

P. G. Velikanov

Kazan (Volga Region) Federal University;
Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev-KAI

Author for correspondence.
Email: pvelikanov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0845-2880

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of the Department of Theoretical Mechanics; assistant professor of the Department of Jet Engines and Power Plants

Russian Federation, 18, Kremlevskaya Street, Kazan, 420008,Russian Federation; 10, K. Marx Street, Kazan, 420111, Russian Federation

Y. P. Artyukhin

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: ArtukhinYP@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6243-9145

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of
Theoretical Mechanics

Russian Federation, 18, Kremlevskaya Street, Kazan, 420008, Russian Federation

References

  1. Novozhilov V.V. Theory of thin shells. Moscow: Sudpromgiz, 1962, 431 p. Available at: https://bookree.org/reader?file=661745. (in Russ.)
  2. Artyukhin Y.P. Calculation of single-layer and multilayer orthotropic shells for local loads. Research on the theory of plates and shells. Kazan: Izd.-vo KGU, 1966, issue 4, pp. 91–110. Available at: http://mi.mathnet.ru/kutpo593. (in Russ.)
  3. Artyukhin Y.P., Velikanov P.G. Effect of local loads on orthotropic spherical and conical shells of rotation. In: Analytical mechanics, stability and motion control: materials of the All-Russian seminar. Kazan: Izd.-vo KGU, 2008, pp. 22–23. Available at: https://repository.kpfu.ru/?p_id=9408. (In Russ.)
  4. Ambartsumyan S.A. General theory of anisotropic shells. Moscow: Fizmatgiz, 1961, 384 p. Available at: https://bookree.org/reader?file=438699. (In Russ.)
  5. Stanescu K., Vissarion V. Static-geometric analogy for thin elastic shells with orthotropy of the material and its application to the calculation of flat shells and cylindrical shells of circular cross-section. Revue de Mechanique Appliquee (RPR), 1958, vol. 3, no. 1. (In Russ.)
  6. Artyukhin Yu.P., Guryanov N.G., Kotlyar L.M. The Mathematics 4.0 system and its applications in mechanics: textbook. Kazan: Kazanskoe matematicheskoe obshchestvo. Izd-vo KamPI, 2002, 415 p. Available at: https://repository.kpfu.ru/?p_id=53958. (In Russ.)
  7. Velikanov P.G. Fundamentals of work in the Mathematics system: laboratory workshop. Kazan: Izd-vo Kazanskogo gos. tekhn. un-ta, 2010, 40 p. Available at: https://elibs.kai.ru/_docs_file/806166/HTML/. (In Russ.)
  8. Gradstein I.S., Ryzhik I.M. Tables of integrals, sums of series and products. Moscow: Nauka, 1971, 1108 p. Available at: http://www.vixri.ru/?p=991. (In Russ.)
  9. Guryanov N.G., Tyuleneva O.N. Orthotropic plates and flat shells. Theory, methods of solving boundary value problems. Kazan: KGU, 2002, 112 p. (In Russ.)
  10. Matthews F., Rollings R. Composite materials. Mechanics and technology. Moscow: Tekhnosfera, 2004, 408 p. Available at: https://www.technosphera.ru/lib/book/89?read=1. (In Russ.)
  11. Kornishin M.S., Isanbayeva F.S. Flexible plates and panels. Moscow: Nauka, 1968, 260 p. (In Russ.)

Copyright (c) 2022 Velikanov P.G., Artyukhin Y.P.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies