HOW THE DISTANCE BETWEEN SUBSPACES IN THE METRIC OF A SPHERICAL OPENING AFFECTS THE GEOMETRIC STRUCTURE OF A SYMMETRIC SPACE


Cite item

Abstract

A relationship is found between the metric of a spherical opening on the space of all subspaces of a symmetric space and some numerical characteristic of the subspace. It is known that, for example, in L1 this characteristic takes only two values (i.e. this is a binary space), while in L2 there are infinitely many values. Using the connection found, the necessary conditions for the binarity of a symmetric space were generalized.

Full Text

Введение
В статье мы изучаем геометрическую структуру симметричных пространств (с.п.), рассматривая сле-
дующую числовую характеристику. Пусть X — с.п., H ⊂ X — его подпространство и
ηX(H) = lim
τ→0
sup
x∈H,∥x∥=1
sup
e⊂[0, 1],μ(e)6τ
∥xχe∥X. (1)
Подпространства с.п. разделяют на два противоположных класса: сильно вложенные, т. е. такие, в
которых сходимость по норме эквивалентна сходимости по мере, и подпространства, содержащие после-
довательности почти дизъюнктных функций (все определения см. в следующем параграфе). Следующие
три простых факта дают некоторое понимание о значениях ηX:
1) если H ⊂ X содержит почти дизъюнктную последовательность, то ηX(H) = 1;
1Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра При-
волжского федерального округа (соглашение № 075-02-2022-878).
24
Страхов С.И. Как расстояние между подпространствами в метрике сферического раствора влияет...
Strakhov S.I. How the distance between subspaces in the metric of a spherical opening affects the geometric structure...
2) если ηX(H) < 1, то H — сильно вложенное подпространство;
3) ηX(H) = 0, если и только если функции единичного шара BH имеют равностепенно непрерывные
нормы, т. е.
lim
τ→0
sup
e⊂[0, 1]:μ(e)6τ
sup
x∈BH
∥xχe∥X = 0.
Обратные импликации к пунктам 1) и 2) не всегда имеют место, более подробно см. [1].
Мы называем с.п. X бинарным, если ηX принимает лишь два значения 0 и 1. В статье [2] показано,
что при p ∈ [1, 2) пространства Лебега Lp бинарны, а при p > 2 характеристика (1) принимает бесконечно
много значений в Lp. Этот результат интересно сравнить с тем фактом, что геометрическая структура
пространства Lp в случае p ∈ [1, 2) сложнее, чем при p > 2. Также стоит отметить, что бинарность Lp
при p ∈ [1, 2) в других терминах и с помощью иной техники доказана в [3, теорема 13].
Более того, в [2] были даны достаточные условия небинарности с.п.: если в с.п. функции Радемахера
эквивалентны стандартному базису l2 и существует нормированная дизъюнктная последовательность
{fi}∞
i=1, для которой выполняется неравенство

∞Σ
i=1
aifi∥X 6 ∥(ai)∥l2 , (2)
где ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , то с.п. X небинарно. Мы обобщим эти достаточные условия: каждому с.п. мож-
но поставить в соответствие два множества пространств последовательностей: первое из них связано с
подпространствами, содержащими последовательности почти дизъюнктных функций, а второе с подпро-
странствами, единичный шар которых имеет равностепенно непрерывные нормы. Если эти множества
пересекаются, то с.п. небинарно.
При доказательстве этого результата мы использовали связь характеристики (1) с так называемой
метрикой раствора на пространстве всех подпространств с.п. X. Для подпространства H ⊂ X значение
ηX(H) сверху и снизу оценивается через расстояния в этой метрике до множества подпространств с
крайними значениями рассматриваемой характеристики (см. неравенство (4)).
1. Предварительные сведения
Банахово пространство X измеримых на [0, 1] функций называется симметричным или перестано-
вочно-инвариантным, если
1) оно идеально, т. е. из |x(t)| 6 |y(t)| для п.в. t ∈ [0, 1], измеримости x и y ∈ X следует: x ∈ X и
∥x∥X 6 ∥y∥X;
2) из равноизмеримости функций x и y, т. е. равенства
μ({t ∈ [0, 1] : |y(t)| > u}) = μ({t ∈ [0, 1] : |x(t)| > u}), ∀u > 0,
где μ(e) — мера Лебега множества e ⊂ R, и y ∈ X вытекает x ∈ X и ∥x∥X = ∥y∥X.
В частности, любая измеримая на [0, 1] функция x(t) равноизмерима со своей невозрастающей непре-
рывной слева перестановкой
x

(t) := inf{u > 0 : μ({s ∈ [0, 1] : |x(s)| > u}) < t}, 0 < t 6 1.
Хорошо известно, что всякое с.п. является промежуточным между L∞ и L1, т.е. L∞ ⊂ X ⊂ L1.
Стандартный пример с.п. — пространство Лебега Lp, p ∈ [1,∞]. Естественным обобщением Lp служат
так называемые пространства Орлича. Функция F : R+ → R называется функцией Орлича, если она
строго возрастает, непрерывна, limt→∞ F(t) = ∞, F(0) = 0 и F(1) = 1. Пространство Орлича LF состоит
из всех измеримых на [0, 1] функций x = x(t) таких, что норма Люксембурга
||x||LF = inf
{
u > 0 :
∫ 1
0
F
(|x(t)|
u
)
dt 6 1
}
конечна. Аналогично вводится понятие пространств Орлича последовательностей lF . Последовательность
вещественных чисел (an)∞
n=1
∈ lF тогда и только тогда, когда
||(an)||lF = inf
{
u > 0 :
∞Σ
n=1
F
(|an|
u
)
6 1
}
< ∞.
В работе мы будем рассматривать лишь сепарабельные с.п. Пространство Орлича LF сепарабельно
тогда и только тогда, когда F ∈ Δ∞
2 , т. е. существует t0 > 0 такое, что для всех t > t0 имеет место
неравенство F(2t) 6 KF(t), для некоторой константы K > 0.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 23–31
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 23–31 25
Ещё одним классическим примером с.п. служат пространства Лоренца. Пусть φ(t) — положительная
непрерывная возрастающая вогнутая функция на [0, 1] такая, что φ(0) = 0. Пространство Лоренца Λp(φ)
состоит из всех измеримых на [0, 1] функций x = x(t) таких, что норма
∥x∥
p(φ) =
(∫1
0
(
x

(t)
)p
dφ(t)
)1
p
< ∞.
Для функции Орлича F определим следующие подмножества пространства C[0, 1]:
E

F,A =
{
G(x) =
F(xy)
F(y)
: y > A > 0
}
, C

F,A = convE∞
F,A,
E

F =

A>0
E

F,A, C

F =

A>0
C

F,A,
где замыкание берётся в C[0, 1]. Как легко видеть, множество C∞
F состоит из выпуклых возрастающих
функций на [0, 1].
С помощью этих множеств изучают геометрическую структуру подпространств пространства LF , по-
рождённых последовательностью дизъюнктных функций, а именно: в сепарабельном пространстве LF
существует последовательность дизъюнктных функций {fn}∞
n=1, которая эквивалентна каноническому
базису пространства Орлича последовательностей lG, если и только если G ∈ C∞
F (см. [4, предложе-
ние 4]).
Если F(t) = tp (случай, когда пространство Орлича совпадает с пространством Лебега Lp), то E∞
F,A =
= E∞
F = C∞
F,A = C∞
F = {tp}. Более того, для произвольной функции Орлича F множество C∞
F всегда
содержит некоторую степенную функцию. Точнее, степенная функция tp ∈ C∞
F , если и только если
p ∈ [α∞
F , β∞
F ], где α∞
F и β∞
F — индексы Орлича — Матушевской, определяемые следующим образом:
α

F = sup
{
p : sup
x,y>1
F(x)yp
F(xy)
< ∞
}
, β

F = inf
{
p : inf
x,y>1
F(x)yp
F(xy)
> 0
}
.
Определение 1. Пусть X — с.п. Последовательность {gn}∞
n=1
⊂ X, ∥gn∥X = 1, называется по-
чти дизъюнктной, если ∥gn − fn∥X → 0 при n → ∞ для некоторой дизъюнктной последовательности
{fn}∞
n=1
⊂ X.
Примером сильно вложенного подпространства служит замкнутая линейная оболочка функций Ра-
демахера [rn]. Напомним, что для n ∈ N функции Радемахера задаются как
rn(t) = sign sin(2nπt), 0 6 t 6 1.
Очевидно, что |rn(t)| 6 1, n = 1, 2, . . . , t ∈ [0, 1] и, следовательно, каждое с.п. X содержит все функции
Радемахера. Из неравенства Хинчина (см., например, [5]) легко вывести, что [rn] сильно вложенное
подпространство, например, во всех Lp, p ∈ [1,∞).
Пусть X — с.п. и R — множество всех замкнутых подпространств из X. Как показано в работе [6],
R — полное метрическое пространство с метрикой
eΘ(H,E) = max
{
sup
h∈SH
ρ(h, SE), sup
f∈SE
ρ(f, SH)
}
,
где H,E — подпространства из X, SH = {x ∈ H : ∥x∥X = 1}, а ρ — стандартное расстояние от элемента
до множества в нормированном пространстве. Если H или E равно {0}, то положим eΘ(H,E) = 2.
Введённую метрику называют сферическим раствором. На R ещё рассматривают и обычный раствор
между подпространствами:
Θ(H,E) = max
{
sup
h∈SH
ρ(h,E), sup
f∈SE
ρ(f,H)
}
,
который не всегда является метрикой на R, но он более удобен в вычислениях, а главное имеют место
неравенства:
eΘ(H,E)
2 6 Θ(H,E) 6 eΘ(H,E). (3)
2. Основные результаты
Следующий результат говорит о том, что характеристика ηX является непрерывной функцией на
(R, eΘ).
26
Страхов С.И. Как расстояние между подпространствами в метрике сферического раствора влияет...
Strakhov S.I. How the distance between subspaces in the metric of a spherical opening affects the geometric structure...
Теорема 1. Пусть X — с.п., H и E — подпространства из X. Тогда

ηX(H) −
ηX(E)

6 eΘ(H,E).
Доказательство. Пусть ηX(H) = α, ηX(E) = β. Из формулы (1) следует, что существуют последо-
вательности {hn}∞
n=1
∈ SH и {en}∞
n=1
⊂ [0, 1], μ(en) → 0 такие, что
α = lim
n→∞
∥hnχen
∥.
По определению сферического раствора имеем
sup
h∈SH
ρ(h, SE) 6 eΘ(H,E),
откуда для всех n = 1, 2, . . .
ρ(hn, SE) 6 eΘ(H,E).
В силу определения инфимума для произвольного ε > 0 существует последовательность {fn}∞
n=1
⊂ SE
такая, что для всех n ∈ N выполняется
∥hn − fn∥ 6 ρ(hn, SE) + ε 6 eΘ(H,E) + ε.
Тогда, применяя неравенство треугольника, идеальность нормы и последнее неравенство, получим
α = lim
n→∞
∥hnχen
∥ = lim
n→∞
∥hnχen + fnχen
− fnχen
∥ 6
6 lim
n→∞
∥fnχen
∥ + lim
n→∞

(
hn − fn
)
χen
∥ 6
6 ηX(E) + lim ∥hn − fn∥ 6 β + eΘ(H,E) + ε.
Аналогично можно получить оценку для β :
β 6 α + eΘ(H,E) + ε,
т. е. для всякого ε > 0
|α − β| 6 eΘ(H,E) + ε.
В силу произвольности ε получаем утверждение теоремы.
Следствие 1. Пусть X — с.п. и E,H,K — подпространства из X. Тогда
ηX(K) − eΘ(K,H) 6 ηX(H) 6 ηX(E) + eΘ(H,E).
В частности, если E1 — подпространство, содержащее почти дизъюнктную последовательность (т. е.
ηX(E1) = 1), а E0 — подпространство, функции единичного шара которого имеют равностепенно непре-
рывные нормы (т. е. ηX(E0) = 0), то для произвольного подпространства H ⊂ X
1 − eΘ(H,E1) 6 ηX(H) 6 eΘ(H,E0). (4)
В [7] показано, что ηX(E) = 0, если E — конечномерное подпространство сепарабельного с.п. X. От-
сюда может возникнуть идея о том, что с помощью конечномерных подпространств, применяя правую
часть неравенства (4), можно получать верхнюю оценку для ηX(H) в случае бесконечномерного подпро-
странства H. Но это невозможно, так как метрика сферического раствора между подпространствами
различных размерностей больше либо равна 1 (см. [8, с. 87]).
Следующая теорема обобщает результат из работы [2], давая более общие достаточные условия неби-
нарности с.п. Мы немного упростили формулировку, а именно теорема остаётся верной, если вместо
пространств последовательностей lG и lF взять банаховы пространства последовательностей с базиса-
ми, удовлетворяющими условиям теоремы.
Теорема 2. Пусть G и F — функции Орлича такие, что lG ⊂ lF и C∥x∥lG > ∥x∥lF для всех x ∈ lG.
Предположим, что в с.п. X существуют базисные последовательности {gn}∞
n=1, {fn}∞
n=1, которые удо-
влетворяют следующим условиям:
1) ηX([gn]) = 0, ∥gn∥ = 1, supp gn ⊂ [0, 1
2 ], n = 1,2, . . . , и существует A > 0 такое, что для всех
βn ∈ R выполняется:
A∥(βn)∥lG 6 ∥
∞Σ
n=1
βngn∥X.
2) {fn}∞
n=1 — последовательность дизъюнктных функций, ∥fn∥ = 1, supp fn ⊂ [ 1
2 , 1], n = 1,2, . . . , и
существует D > 0 такое, что для всех βn ∈ R выполняется:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 23–31
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 23–31 27

∞Σ
n=1
βnfn∥X 6 D∥(βn)∥lF .
Тогда X— небинарное пространство.
Доказательство.
Пусть λ ∈ (0,∞). Построим подпространство Hλ ⊂ X такое, что
λ
1 + λ 6 ηX(Hλ) 6 2λ
DC
A
. (5)
Пусть {fn}∞
n=1, {gn}∞
n=1 — последовательности из условия теоремы. Рассмотрим функции hn = gn +
+ λfn, n = 1, 2, . . . и обозначим
Hλ := [hn].
Так как функции fn, n = 1, 2, . . . , попарно дизъюнктны, то
ηX(Hλ) > lim
n→∞
∥hnχsuppfn

∥hn∥ > lim
n→∞
λ∥fn∥
∥gn∥ + λ∥fn∥ =
λ
1 + λ
.
По теореме 1 и неравенству (3) получим верхнюю оценку через раствор:
ηX(Hλ) 6 2Θ(Hλ, [gn]). (6)
Для того чтобы оценить сверху Θ(Hλ, [gn]), рассмотрим сначала
sup
h∈H,∥h∥=1
ρ(h, [gn]).
Пусть h ∈ SH, т. е. для некоторых βi ∈ R, i = 1, 2 . . .
h :=
∞Σ
i=1
βi(gi + λfi)
и ∥h∥ = 1. Тогда из условия теоремы и идеальности нормы получим
1 = ∥
∞Σ
i=1
βi(gi + λfi)∥ > ∥
∞Σ
i=1
βigi∥ > A∥(βi)∥lG.
В частности, отсюда следует, что функция
Σ∞
i=1 βigi принадлежит [gn]. Тогда из последней оценки вы-
текает:
sup
h∈H,∥h∥=1
ρ(h, [gn]) 6 sup
h∈H,∥h∥=1

∞Σ
i=1
βi(gi + λfi) −
∞Σ
i=1
βigi∥ =
= sup
h∈H,∥h∥=1
∥λ
∞Σ
i=1
βifi∥ 6 sup
h∈H,∥h∥=1
λD∥(βi)∥lF 6
6 sup
h∈H,∥h∥=1
λDC∥(βi)∥lG 6 λ
DC
A
.
Теперь оценим сверху
sup
g∈[gn],∥g∥=1
ρ(g,Hλ).
Пусть
g :=
∞Σ
i=1
βigi,
для некоторых βi ∈ R, i = 1, 2, . . . и ∥g∥ = 1. Заметим, что последовательность коэффициентов {βi}∞
i=1
∈ lG и, значит, функция
Σ∞
i=1 βi(gi + λfi) принадлежит пространству Hλ (напомним, что по условию
lG ⊂ lF ). Более того,
1 = ∥
∞Σ
i=1
βigi∥ > A∥(βi)∥lG > A
C
∥(βi)∥lF .
28
Страхов С.И. Как расстояние между подпространствами в метрике сферического раствора влияет...
Strakhov S.I. How the distance between subspaces in the metric of a spherical opening affects the geometric structure...
Тогда
sup
g∈[gn],∥g∥=1
ρ(g,Hλ) 6 sup
g∈[gn],∥g∥=1

∞Σ
i=1
βigi −
∞Σ
i=1
βi(gi + λfi)∥ =
= sup
g∈[gn],∥g∥=1
∥λ
∞Σ
i=1
βifi∥ 6
6 sup
g∈[gn],∥g∥=1
λD∥(βi)∥lF 6 λ
DC
A
.
Из полученных оценок имеем следующее неравенство:
Θ(Hλ, [gn]) = max
(
sup
h∈H,∥h∥=1
ρ(h, [gn]), sup
g∈[gn],∥g∥=1
ρ(g,Hλ)
)
6 λ
DC
A
,
откуда, в силу (6), следует справедливость правого неравенства в (5). Выбирая нужным образом чис-
ло λ0, получим подпространство Hλ0 такое, что
0 < ηX(Hλ0 ) < 1.
Таким образом, X — небинарное пространство.
Схема доказательства приведённого результата основана на идее из [2]. Там роль последовательности
{gn}∞
n=1 играет система Радемахера, ”перенесённая” на [0, 1
2 ], которая при неограничительных условиях
эквивалентна каноническому базису пространства l2 (см. [5]). Кроме того, требовалось наличие в с.п.
нормированной последовательности дизъюнктных функций {fi}∞
i=1 с условием (2). Отметим, что резуль-
тат из [2] применим к пространствам Лебега Lp и Лоренца Λp(φ), при 2 6 p < ∞, пространствам Орлича
LF с верхним индексом Орлича — Матушевской β∞
F > 2.
В той же работе [2] была доказана бинарность пространства Лебега и Лоренца при p ∈ [1, 2). Для
пространств Орлича случай β∞
F < 2 оставался невыясненным. Только что доказанная теорема позволяет
получить результат об отсутствии бинарности в некоторых пространствах Орлича с верхним индексом
β∞
F < 2. Следующий пример дан С.В. Асташкиным.
Пример 1. Пусть F(t) = tp log
−3
2 (et), t > 1, где p ∈ (1, 2). Легко понять, что tp ∈ E∞
F , и, значит, в LF
существует последовательность дизъюнктных функций {f

n
}∞
n=1, эквивалентная каноническому базису
пространства lp [4, предложение 4].
Заметим, что функция t
−1
p ∈ LF , так как
∫1
0
F(t
−1
p )dt =
∞ ∫
1
1
u log
3
2 (eu)
du < ∞.
Пусть {g

n
}∞
n=1 — последовательность независимых функций, равноизмеримых с t
−1
p . Тогда по теоре-
ме 3.8 из [9] она эквивалентна каноническому базису пространства lp во всяком с.п. X таком, что
LF ⊂ X. В частности, отсюда следует, что подпространство [g

n] сильно вложено в LF . Теперь в каче-
стве последовательностей {fn}∞
n=1 и {gn}∞
n=1 в теореме 2 можно взять следующие:
fn(t) = f

n(2t − 1)χ[ 1
2 ,1](t), 0 < t 6 1,
gn(t) = g

n(2t)χ[0, 1
2 ](t), 0 < t 6 1.
В итоге, применяя теорему 2, получаем, что LF небинарно.
Результаты о бинарности некоторых пространств Орлича содержатся в [1; 10]. В работе [10] доказано,
что, например, полумультипликативные функции Орлича с индексами 1 < α∞
F 6 β∞
F < 2 порождают
бинарные пространства Орлича; в работе [1] показано, что если α∞
F = β∞
F = 1 и в LF выполняется
аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности, то LF бинарно.
В связи с неравенством (4) возникает вопрос: насколько хорошо значение характеристики ηX(H) мож-
но приблизить с помощью растворов. Более точно: если X — небинарное с.п. с η-нормальной структурой,
то имеют ли место следующие равенства:
ηX(H) = 2 inf
E0⊂X
Θ(H,E0), (7)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 23–31
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 23–31 29
ηX(H) = 1 − 2 inf
E1⊂X
Θ(H,E1),
где H — подпространство из X, E0 — подпространство, у которого функции шара имеют равностепенно
непрерывные нормы, а E1 — подпространство, содержащее последовательность дизъюнктных функций.
Нетрудно показать, что такие равенства не всегда имеют место. Действительно, равенство (7) не
выполняется для любого подпространства H ⊂ L2, с ηL2 (H) ∈ (0, 1). Согласно результатам из работы
[11] раствор и сферический раствор для любых подпространств H и E из L2 связаны соотношением
eΘ(H,E) =

2
(
1 −

1 − Θ2(H,E)
)
.
Пусть в L2 существует подпространство H, для которого выполняется равенство (7), т. е. имеет место
равенство
α := ηX(H) = 2Θ(H,E0)
(общий случай, когда инфимум может не достигаться, рассматривается аналогично). Тогда в силу нера-
венства (4)
α 6 eΘ(H,E0) =

2(1 −

1 − α2
4
),
откуда
3 6 α2,
что невозможно.
Отметим, что в L2 раствор связан с оценками норм ортогональных проекторов на подпространства.
А именно по теореме 1 из [12] выполняется следующее равенство:
Θ(H,E) = ∥PH − PE∥,
где PH и PE — ортогональные проекторы на подпространства H и E соответственно. Отсюда теорема 1
в случае X = L2 принимает следующий вид (см. неравенство (3)):
Теорема 3. Пусть H и E — подпространства из L2, а PH и PE — ортогональные проекторы на
эти подпространства соответственно. Тогда
|ηL2 (H) − ηL2 (E)| 6 2∥PH − PE∥.
В заключение применим технику, связанную с характеристикой (1), для доказательства рефлексивности сильно вложенных подпространств.
Предложение 1. Пусть X — с.п. Если подпространство H ⊂ X сильно вложено, то H рефлексивно.
Доказательство. Предположим противное, пусть H — нерефлексивное подпространство. Так как по условию H сильно вложено, то на H сходимость в X и L1-норме эквивалентны. Поэтому H изоморфно подпространству из L1 (более точно, тождественный оператор I : (H, ∥ · ∥X) → (H, ∥ · ∥L1 ) будет изоморфизмом). Заметим, что (H, ∥·∥L1 ) — сильно вложенное подпространство в L1. Свойство рефлексивности пространства инвариантно относительно изоморфизма, и, значит, H — нерефлексивное подпространство в L1.
Как уже говорилось, L1 бинарно, откуда для подпространства H возможны лишь два варианта: ηL1 (H) = 0 или ηL1 (H) = 1. Предположим, что ηL1 (H) = 0. Тогда, по лемме 2 из [13] функции единичного шара подпространства H имеют равностепенно непрерывные нормы в L1, следовательно, по теореме Данфорда — Петтиса этот шар — относительно слабо компактное подмножество в L1. Отсюда H — рефлексивное подпространство L1, что противоречит предположению.
Пусть теперь ηL1 (H) = 1. По [7, теорема II.2] для L1 это условие эквивалентно тому, что H не
содержится в так называемом множестве Кадеца — Пелчинского ML1,ε = {x ∈ L1 : μ(t : |x(t)| > ε∥x∥L1 ) > ε} для всякого ε > 0. Отсюда по теореме Кадеца — Пелчинского (см. [14, теорема 4.1]) H содержит почти дизъюнктную последовательность, что противоречит сильной вложенности H в L1.

×

About the authors

S. I. Strakhov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: www.stepan121@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2905-9124

assistant of the Department of Functional Analysis and Function Theory

Russian Federation

References

  1. Strakhov S.I. On a characteristic of strongly embedded subspaces in symmetric spaces. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25–32. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-2-25-32. EDN: https://www.elibrary.ru/syswca. (In Russ.)
  2. Novikov S.Ya., Semenov E.M., Tokarev E.V. The structure of subspaces of the space _p(ϕ). Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1979, vol. 20, pp. 760–761. Available at: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=42865&option_lang=rus (English; Russian original).
  3. Rosenthal H.P. On subspaces of Lp. Annals of Mathematics, 2nd Ser., 1973, vol. 97, № 2, pp. 344–373. DOI: http://doi.org/10.2307/1970850.
  4. Lindenstrauss J., Tzafriri L. On Orlicz sequence spaces. III. Israel Journal of Mathematics, 1971, vol. 10, no. 3, pp. 368–389. DOI: http://doi.org/10.1007/BF02764715.
  5. Astashkin S.V. The Rademacher system in function spaces. Moscow: Fizmatlit, 2017, 549 p. Available at: https://fireras.su/biblio/?p=16653. (In Russ.)
  6. Berkson E. Some metrics on the subspaces of a Banach space. Pacific Journal of Mathematics, 1963, vol. 13, no. 1, pp. 7–22. DOI: http://doi.org/10.2140/PJM.1963.13.7.
  7. Novikov S.Ya. Geometric properties of symmetric spaces: Candidate’s of Physical and Mathematical Sciences thesis. Voronezh, 1980. (In Russ.)
  8. Gokhberg I.Ts., Krein M.G. Fundamental aspects of defect numbers, root numbers and indexes of linear operators. Uspekhi Mat. Nauk, 1957, vol. 12, issue 2 (74), pp. 43–118. Available at: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7581&option_lang=rus. (In Russ.)
  9. Astashkin S.V. On symmetric spaces containing isomorphic copies of Orlicz sequence spaces. Commentationes Mathematicae, 2016, vol. 56, no. 1, pp. 29–44. DOI: http://doi.org/10.14708/CM.V56I1.1113.
  10. Astashkin S.V. The structure of subspaces in Orlicz spaces between L1 and L2, 2022. DOI: http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.2208.07215.
  11. Nakamoto R. The spherical gap of operators. Linear Algebra and Its Applications, 1997, vol. 251, pp. 89–95. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/0024-3795(95)00697-4.
  12. Ostrovskii M.I. Topologies on the set of all subspaces of a Banach space and related questions of Banach space geometry. Quaestiones Mathematicae, 1994, vol. 17, issue 3, pp. 259–319. DOI: http://doi.org/10.1080/16073606.1994.9631766.
  13. Astashkin S.V.,Strakhov S.I. On Symmetric Spaces With Convergence in Measure on Reflexive Subspaces. Russian Mathematics, 2018, vol. 62, no. 8, pp. 1–8. DOI: http://doi.org/10.3103/S1066369X18080017. EDN: https://www.elibrary.ru/vcdwts. (English; Russian original).
  14. Figiel T., Johnson W.B., Tzafriri L. On Banach lattices and spaces having local unconditional structure, with applications to Lorentz function spaces. Journal of Approximation Theory, vol. 13, issue 4, April 1975, pp. 395–412. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/0021-9045(75)90023-4.

Copyright (c) 2022 Strakhov S.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies