How the distance between subspaces in the metric of a spherical opening affects the geometric structure of a symmetric space

Full Text

Введение

В статье мы изучаем геометрическую структуру симметричных пространств (с.п.), рассматривая следующую числовую характеристику. Пусть $X$ — с.п., $H\subset X$ — его подпространство и

${\eta }_{X}H=\underset{\tau \to 0}{lim}\underset{x\in H\mathrm{,}\parallel x\parallel }{sup}\underset{=1 e\subset [0;1],\mu \left(e\right)\le \tau }{sup}\parallel x{\chi }_e\parallel x$ (1)

Подпространства с.п. разделяют на два противоположных класса: сильно вложенные, т. е. такие, в которых сходимость по норме эквивалентна сходимости по мере, и подпространства, содержащие последовательности почти дизъюнктных функций (все определения см. в следующем параграфе). Следующие три простых факта дают некоторое понимание о значениях ${\eta }_X$:

1) если $H\subset X$ содержит почти дизъюнктную последовательность, то ${\eta }_X\left(H\right)=1$

2) если ${\eta }_X\left(H\right)<1$ то $H$ — сильно вложенное подпространство;

3) ${\eta }_X\left(H\right)=0$, если и только если функции единичного шара $B_H$ имеют равностепенно непрерывные нормы, т. е.

$\underset{\tau \to 0 }{lim}\underset{e\subset [0;1]:\mu \left(e\right)\le \tau }{sup}\underset{x\in B_H}{sup}\parallel x{\chi }_e{\parallel }_X=0.$

Обратные импликации к пунктам 1) и 2) не всегда имеют место, более подробно см. [1].

Мы называем с.п. $X$ бинарным, если ${\eta }_X$ принимает лишь два значения 0 и 1. В статье [2] показано, что при $p\in [1;2)$ пространства Лебега $L_p$ бинарны, а при $p>2$ характеристика (1) принимает бесконечно много значений в $L_p$. Этот результат интересно сравнить с тем фактом, что геометрическая структура пространства $L_p$ в случае $p\in [1;2)$ сложнее, чем при $p\ge 2$. Также стоит отметить, что бинарность $L_p$ при $p\in [1;2)$ в других терминах и с помощью иной техники доказана в [3, теорема 13].

Более того, в [2] были даны достаточные условия небинарности с.п.: если в с.п. функции Радемахера эквивалентны стандартному базису $l_2$ и существует нормированная дизъюнктная последовательность ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$, для которой выполняется неравенство

$\parallel \sum _{i=1}^{\infty }{a}_i{f}_i{\parallel }_X\le \parallel \left(a_i\right){\parallel }_{l_2}$, (2)

где $a_i\in ℝ\mathrm{,}$ $i=1,2\dots \mathrm{,}$  то с.п. $X$ небинарно. Мы обобщим эти достаточные условия: каждому с.п. можно поставить в соответствие два множества пространств последовательностей: первое из них связано с подпространствами, содержащими последовательности почти дизъюнктных функций, а второе с подпространствами, единичный шар которых имеет равностепенно непрерывные нормы. Если эти множества пересекаются, то с.п. небинарно.

При доказательстве этого результата мы использовали связь характеристики (1) с так называемой метрикой раствора на пространстве всех подпространств с.п. $X$. Для подпространства $H\subset X$ значение ${\eta }_X\left(H\right)$ сверху и снизу оценивается через расстояния в этой метрике до множества подпространств с крайними значениями рассматриваемой характеристики (см. неравенство (4)).

1. Предварительные сведения

Банахово пространство $X$ измеримых на $[0;1]$ функций называется симметричным или перестановочно-инвариантным, если

1) оно идеально, т. е. из $\left|x\right(t\left)\right|⩽\left|y\right(t\left)\right|$ для п.в. $t\in [0;1]$ измеримости $x$ и $y\in X$ следует: $x\in X$ и $\parallel x{\parallel }_X⩽\parallel y{\parallel }_X$;

2) из равноизмеримости функций $x$ и $y\mathrm{,}$ т. е. равенства

$\mu \left(\right\{t\in [0;1]:\left|y\right(t\left)\right|>u\left\}\right)=\mu \left(\right\{t\in [0;1]:\left|x\right(t\left)\right|>u\left\}\right), \forall u>0$                   

где $\mu \left(e\right)$ — мера Лебега множества $e\subset ℝ\mathrm{,}$ и $y\in X$ вытекает $x\in X$ и $\parallel x{\parallel }_X=\parallel y{\parallel }_X$.

В частности, любая измеримая на $[0;1]$ функция $x\left(t\right)$ равноизмерима со своей невозрастающей непрерывной слева перестановкой

$x*\left(t\right):=\inf \{u\ge 0: \mu (\{s\in [0;1]:|x\left(s\right)|>u\})<t\}, 0<t\le 1.$                     

Хорошо известно, что всякое с.п. является промежуточным между $L_{\infty }$ и $L_1\mathrm{,}$ т.е. $L_{\infty }\subset X\subset L_1\mathrm{.}$

Стандартный пример с.п. — пространство Лебега $L_p\mathrm{,}$ $p\in [1;\infty )$. Естественным обобщением $L_p$ служат так называемые пространства Орлича. Функция $F:{ℝ}_{+}\to ℝ$ называется функцией Орлича, если она строго возрастает, непрерывна, ${\lim }_{t\to \infty }F\left(t\right)=\infty \mathrm{,}$ $F\left(0\right)=0$ и $F\left(1\right)=1$. Пространство Орлича $L_F$ состоит из всех измеримых на $[0;1]$ функций $x=x\left(t\right)$ таких, что норма Люксембурга

$\parallel x{\parallel }_{L_F}=\inf \{u>0:{\int }_0^{1}F\left(\frac{\left|x\right(t\left)\right|}{u}\right)dt\le 1\}$

конечна. Аналогично вводится понятие пространств Орлича последовательностей $l_F$. Последовательность вещественных чисел ${\left(a_n\right)}_{n=1}^{\infty }\in l_F$ тогда и только тогда, когда

$\parallel \left(a_n\right){\parallel }_{l_F}=\inf \{u>0:\sum _{n=1}^{\infty }F(\frac{\left|a_n\right|}{u})\le 1\}<\infty$

В работе мы будем рассматривать лишь сепарабельные с.п. Пространство Орлича $L_F$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $F\in {\Delta }_2^{\infty }$, т. е. существует $t_0>0$ такое, что для всех $t>t_0$ имеет место неравенство $F\left(2t\right)\le KF\left(t\right)$, для некоторой константы $K>0$

Ещё одним классическим примером с.п. служат пространства Лоренца. Пусть $\phi \left(t\right)$ — положительная непрерывная возрастающая вогнутая функция на $[0;1]$ такая, что $\phi \left(0\right)=0.$ Пространство Лоренца ${\Lambda }_p\left(\phi \right)$ состоит из всех измеримых на $[0;1]$ функций $x=x\left(t\right)$ таких, что норма

$\parallel x{\parallel }_{{\Lambda }_p\left(\phi \right)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(x*(t\left)\right)}^{p}d\phi {\left(t\right))}^{\frac{1}{p}}<\infty$

Для функции Орлича $F$ определим следующие подмножества пространства $C[0;1]$:

$E_{A,F}^{\infty }$ $=\overline{\left\{G\right(x)=\frac{F\left(xy\right)}{F\left(y\right)}:y>A>0\}}$

$C_{F,A}^{\infty }=\overline{conv{E}_{F,A}^{\infty }}$

$E_F^{\infty }=\underset{A>0}{\cap }{E}_{F\mathrm{,}A}^{\infty }\mathrm{,} C_F^{\infty }=\underset{A>0}{\cap }{C}_{F\mathrm{,}A}^{\infty }\mathrm{,}$

где замыкание берётся в $C[0;1].$ Как легко видеть, множество $C_F^{\infty }$ состоит из выпуклых возрастающих функций на $[0;1].$

С помощью этих множеств изучают геометрическую структуру подпространств пространства $L_F\mathrm{,}$ порождённых последовательностью дизъюнктных функций, а именно: в сепарабельном пространстве $L_F$ существует последовательность дизъюнктных функций ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$, которая эквивалентна каноническому базису пространства Орлича последовательностей $l_G$, если и только если $G\in C_F^{\infty }$ (см. [4, предложение 4]).

Если $F\left(t\right)=t^p$ (случай, когда пространство Орлича совпадает с пространством Лебега $L_p$), то $E_{F\mathrm{,}A}^{\infty }=E_F^{\infty }=C_{F\mathrm{,}A}^{\infty }=C_F^{\infty }=t^p$. Более того, для произвольной функции Орлича $F$ множество $C_F^{\infty }$ всегда содержит некоторую степенную функцию. Точнее, степенная функция $t^p\in C_F^{\infty }\mathrm{,}$ если и только если $p\in \left[{\alpha }_F^{\infty }\mathrm{,}{\beta }_F^{\infty }\right]$, где ${\alpha }_F^{\infty }$ и ${\beta }_F^{\infty }$ — индексы Орлича — Матушевской, определяемые следующим образом:

 ${\alpha }_F^{\infty }$$=\sup \{p:\underset{x\mathrm{,}y\ge 1}{sup}\frac{F\left(x\right)y^p}{F\left(xy\right)}<\infty \}, {\beta }_F^{\infty }=\inf \{p:\underset{x\mathrm{,}y\ge 1}{inf}\frac{F\left(x\right)y^p}{F\left(xy\right)}>0\}$

Определение 1. Пусть $X$ — с.п. Последовательность $\{{g_n\}}_{n=1}^{\infty }\subset X$, $\parallel g_n{\parallel }_X=1$ называется почти дизъюнктной, если $\parallel g_n-f_n{\parallel }_X\to 0$ при $n\to \infty$ для некоторой дизъюнктной последовательности ${\{f_n\}}_{n=1}^{\infty }\subset X\mathrm{.}$

Примером сильно вложенного подпространства служит замкнутая линейная оболочка функций Радемахера $\left[r_n\right]$. Напомним, что для $n\in \mathbb{N}$ функции Радемахера задаются как

$r_n\left(t\right)=sign\sin \left(2^n\pi t\right), 0\le t\le 1.$

Очевидно, что $\left|r_n\right(t\left)\right|\le 1$, $n=1,2,\dots \mathrm{,}$ $t\in [0;1]$ и, следовательно, каждое с.п. $X$ содержит все функции Радемахера. Из неравенства Хинчина (см., например, [5]) легко вывести, что $\left[r_n\right]$ сильно вложенное подпространство, например, во всех $L_p\mathrm{,}$ $p\in [1;\infty )$

Пусть $X$ — с.п. и $\Re$ — множество всех замкнутых подпространств из $X$. Как показано в работе [6], $\Re$ — полное метрическое пространство с метрикой

$\widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}E)=\max \{\underset{h\in S_H}{sup}\rho \left(h\mathrm{,}{S}_E),\underset{f\in S_E}{sup}\rho \right(f\mathrm{,}{S}_H\left)\right\},$

где $H\mathrm{,}E$ — подпространства из $X$, $S_H=\{x\in H:\parallel x{\parallel }_X=1\}$, а $\rho$ — стандартное расстояние от элемента до множества в нормированном пространстве. Если $H$ или $E$ равно $\left\{0\right\}$, то положим $\widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}E)=2$. Введённую метрику называют сферическим раствором. На $\Re$ ещё рассматривают и обычный раствор между подпространствами:

$\Theta \left(H\mathrm{,}E\right)=\max \left\{\underset{h\in S_H}{sup}\rho \right(h\mathrm{,}E),\underset{f\in S_E}{sup}\rho (f\mathrm{,}H\left)\right\}$

который не всегда является метрикой на $\Re$, но он более удобен в вычислениях, а главное имеют место неравенства:

$\frac{\widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}E)}{2}\le \Theta \left(H\mathrm{,}E\right)\le \tilde{\Theta }\left(H\mathrm{,}E\right)$ (3)

2. Основные результаты

Следующий результат говорит о том, что характеристика ${\eta }_X$ является непрерывной функцией на $(\Re \mathrm{,}\widetilde{\Theta )}$

Теорема 1. Пусть $X$ — с.п., $H$ и $E$ — подпространства из $X$. Тогда

$\left|{\eta }_X\right(H)-{\eta }_X(E\left)\right|\le \widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}E)$

Доказательство. Пусть ${\eta }_X\left(H\right)=\alpha \mathrm{,}$ ${\eta }_X\left(E\right)=\beta$. Из формулы (1) следует, что существуют последовательности ${\left\{h_n\right\}}_{n=1}^{\infty }=\in S_H$ и ${\left\{e_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\subset [0;1]$, $\mu \left(e_n\right)\to 0$ такие, что

$\alpha =\underset{n\to \infty }{lim}\parallel h_n{\chi }_{e_n}\parallel \mathrm{.}$

По определению сферического раствора имеем

$\underset{h\in S_H}{sup}\rho \left(h\mathrm{,}{S}_E\right)\le \widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}E)$

откуда для всех $n=1,2\dots$

$\rho \left(h_n\mathrm{,}{S}_E\right)\le \tilde{\Theta }\left(H\mathrm{,}E\right)$

В силу определения инфимума для произвольного $\epsilon >0$ существует последовательность ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\subset S_E$ такая, что для всех $n\in \mathbb{N}$ выполняется

$\parallel h_n-f_n\parallel \le \rho \left(h_n\mathrm{,}{S}_E\right)+\epsilon \le \tilde{\Theta }\left(H\mathrm{,}E\right)+\epsilon \mathrm{.}$

Тогда, применяя неравенство треугольника, идеальность нормы и последнее неравенство, получим

 $\alpha =\underset{n\to \infty }{lim}\parallel h_n{\chi }_{e_n}\parallel =\underset{n\to \infty }{lim}\parallel h_n{\chi }_{e_n}+f_n{\chi }_{e_n}-f_n{\chi }_{e_n}\parallel \le$

$\le \underset{n\to \infty }{lim}\parallel f_n{\chi }_{e_n}\parallel +\underset{n\to \infty }{lim}\parallel (h_n-f_n){\chi }_{e_n}\parallel \le$

$\le {\eta }_X\left(E\right)+\lim \parallel h_n-f_n\parallel \le \beta +\tilde{\Theta }\left(H\mathrm{,}E\right)+\epsilon \mathrm{.}$

Аналогично можно получить оценку для $\beta$

 $\beta \le \alpha +\tilde{\Theta }\left(H\mathrm{,}E\right)+\epsilon \mathrm{,}$

т. е. для всякого $\epsilon >0$

$|\alpha -\beta |\le \tilde{\Theta }\left(H\mathrm{,}E\right)+\epsilon \mathrm{.}$

В силу произвольности $\epsilon$ получаем утверждение теоремы.

Следствие 1. Пусть $X$ — с.п. и $E\mathrm{,}H\mathrm{,}K$ — подпространства из $X$. Тогда

${\eta }_X\left(K\right)-\tilde{\Theta }\left(K\mathrm{,}H\right)\le {\eta }_X\left(H\right)\le {\eta }_X\left(E\right)+\widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}E)$

В частности, если $E_1$ — подпространство, содержащее почти дизъюнктную последовательность (т. е. ${\eta }_X\left(E_1\right)=1$), а $E_0$ — подпространство, функции единичного шара которого имеют равностепенно непрерывные нормы (т. е. ${\eta }_X\left(E_0\right)=0$), то для произвольного подпространства $H\subset X$

$1-\widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}{E}_1)\le {\eta }_X(H)\le \tilde{\Theta }(H\mathrm{,}{E}_0) (4)$

В $Nov-80$ показано, что ${\eta }_X\left(E\right)=0$, если $E$ — конечномерное подпространство сепарабельного с.п. $X$. Отсюда может возникнуть идея о том, что с помощью конечномерных подпространств, применяя правую часть неравенства (4), можно получать верхнюю оценку для ${\eta }_X\left(H\right)$ в случае бесконечномерного подпространства $H$. Но это невозможно, так как метрика сферического раствора между подпространствами различных размерностей больше либо равна 1 (см. [8, с. 87]).

Следующая теорема обобщает результат из работы [2], давая более общие достаточные условия небинарности с.п. Мы немного упростили формулировку, а именно теорема остаётся верной, если вместо пространств последовательностей $l_G$ и $l_F$ взять банаховы пространства последовательностей с базисами, удовлетворяющими условиям теоремы.

Теорема 2. Пусть $G$ и $F$ — функции Орлича такие, что $l_G\subset l_F$ и $C\parallel x{\parallel }_{l_G}\ge \parallel x{\parallel }_{l_F}$ для всех $x\in l_G\mathrm{.}$ Предположим, что в с.п. $X$ существуют базисные последовательности ${\left\{g_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\mathrm{,}$ ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) ${\eta }_X\left(\right[g_n\left]\right)=0$, $\parallel g_n\parallel =1$, $supp g_n\subset [0;\frac{1}{2}]$  n = 1,2,..., и существует $A>0$ такое, что для всех ${\beta }_n\in ℝ$ выполняется:

$A\parallel \left({\beta }_n\right){\parallel }_{l_G}\le \parallel \sum _{n=1}^{\infty }{\beta }_n{g}_n{\parallel }_X\mathrm{.}$

2) ${\left(f_n\right)}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность дизъюнктных функций, $\parallel f_n\parallel =1$, $supp f_n\subset [\frac{1}{2};1]$, n = 1,2,..., и существует $D>0$ такое, что для всех ${\beta }_n\in ℝ$ выполняется:

$\parallel \sum _{n=1}^{\infty }{\beta }_n{f}_n{\parallel }_X\le D\parallel \left({\beta }_n\right){\parallel }_{l_F}\mathrm{.}$

Тогда $X$ — небинарное пространство.

Доказательство.

Пусть $\lambda \in \infty$. Построим подпространство $H_{\lambda }\subset X$ такое, что

$\frac{\lambda }{1+\lambda }\le {\eta }_X\left(H_{\lambda }\right)\le 2\lambda \frac{DC}{A}$ (5)

Пусть $\{{f_n\}}_{n=1}^{\infty }$, ${\left\{g_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ — последовательности из условия теоремы. Рассмотрим функции $h_n=g_n+\lambda f_n$, $n=1,2\dots$ и обозначим

$H_{\lambda }:=\left[h_n\right]$

Так как функции $f_n$, $n=1,2,\dots \mathrm{,}$ попарно дизъюнктны, то

${\eta }_X\left(H_{\lambda }\right)$ $\ge \underset{n\to \infty }{lim}\frac{\parallel h_n{\chi }_{supp{f}_n}\parallel }{\parallel h_n\parallel }\ge \underset{n\to \infty }{lim}\frac{\lambda \parallel f_n\parallel }{\parallel g_n\parallel +\lambda \parallel f_n\parallel }=\frac{\lambda }{1+\lambda }$

По теореме 1 и неравенству (3) получим верхнюю оценку через раствор:

${\eta }_X\left(H_{\lambda }\right)\le 2\Theta (H_{\lambda },[g_n\left]\right)$

Для того чтобы оценить сверху $\Theta (H_{\lambda },[g_n\left]\right)$, рассмотрим сначала

$\underset{h\in H_{\lambda }\mathrm{,}\parallel h\parallel =1}{sup}\rho (h,[g_n\left]\right)$

Пусть $h\in S_{H_{\lambda }}$, т. е. для некоторых ${\beta }_i\in ℝ\mathrm{,}$ $i=1,2,\dots$

$h:=\sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i(g_i+\lambda f_i)$                                                    

и $\parallel h\parallel =1$. Тогда из условия теоремы и идеальности нормы получим

$1=\parallel \sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i(g_i+\lambda f_i)\parallel \ge \parallel \sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i{g}_i\parallel \ge A\parallel \left({\beta }_i\right){\parallel }_{l_G}\mathrm{.}$

В частности, отсюда следует, что функция ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\beta }_i{g}_i$ принадлежит $\left[g_n\right]$. Тогда из последней оценки вытекает:

 $\underset{h\in H_{\lambda }\mathrm{,}\parallel h\parallel =1}{sup}\rho (h,[g_n\left]\right)\le$$\underset{h\in H_{\lambda }\mathrm{,}\parallel h\parallel =1}{sup}\parallel \sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i(g_i+\lambda f_i)-\sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i{g}_i\parallel =$

$=\underset{h\in H_{\lambda }\mathrm{,}\parallel h\parallel =1}{sup}\parallel \lambda \sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i{f}_i\parallel \le \underset{h\in H_{\lambda }\mathrm{,}\parallel h\parallel =1}{sup}\lambda D\parallel \left({\beta }_i\right){\parallel }_{l_F}\le$

$\le \underset{h\in H_{\lambda }\mathrm{,}\parallel h\parallel =1}{sup}\lambda DC\parallel \left({\beta }_i\right){\parallel }_{l_G}\le \lambda \frac{DC}{A}\mathrm{.}$

Теперь оценим сверху

$\underset{g\in \left[g_n\right],\parallel g\parallel =1}{sup}\rho \left(g\mathrm{,}{H}_{\lambda }\right)$

Пусть

$g:=\sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i{g}_i\mathrm{,}$

для некоторых ${\beta }_i\in ℝ$, $i=1,2,\dots$ и $\parallel g\parallel =1$. Заметим, что последовательность коэффициентов $\{{{\beta }_i\}}_{i=1}^{\infty }\in l_G$ и, значит, функция ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\beta }_i(g_i+\lambda f_i)$ принадлежит пространству $H_{\lambda }$ (напомним, что по условию $l_G\subset l_F$). Более того,

$1=\parallel \sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i{g}_i\parallel \ge A\parallel \left({\beta }_i\right){\parallel }_{l_G}\ge \frac{A}{C}\parallel \left({\beta }_i\right){\parallel }_{l_F}\mathrm{.}$

Тогда

 $\underset{g\in \left[g_n\right],\parallel g\parallel =1}{sup}\rho \left(g\mathrm{,}{H}_{\lambda }\right)$$\le \underset{g\in \left[g_n\right],\parallel g\parallel =1}{sup}\parallel \sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i{g}_i-\sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i(g_i+\lambda f_i)\parallel =$

$=\underset{g\in \left[g_n\right],\parallel g\parallel =1}{sup}\parallel \lambda \sum _{i=1}^{\infty }{\beta }_i{f}_i\parallel \le$

$\le \underset{g\in \left[g_n\right],\parallel g\parallel =1}{sup}\lambda D\parallel \left({\beta }_i\right){\parallel }_{l_F}\le \lambda \frac{DC}{A}\mathrm{.}$

Из полученных оценок имеем следующее неравенство:

$\Theta (H_{\lambda },[g_n\left]\right)=$ $max\left(\underset{h\in H_{\lambda }\mathrm{,}\parallel h\parallel =1}{sup}\rho \right(h,\left[g_n\left]\right),\underset{g\in \left[g_n\right],\parallel g\parallel =1}{sup}\rho \right(g\mathrm{,}{H}_{\lambda }\left)\right)\le \lambda \frac{DC}{A}\mathrm{,}$

откуда, в силу (6), следует справедливость правого неравенства в (5). Выбирая нужным образом число ${\lambda }_0$, получим подпространство $H_{{\lambda }_0}$ такое, что

$0<{\eta }_X\left(H_{{\lambda }_0}\right)<1$

Таким образом, $X$ — небинарное пространство.

Схема доказательства приведённого результата основана на идее из [2]. Там роль последовательности ${\left\{g_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ играет система Радемахера, ”перенесённая” на $[0;\frac{1}{2}]$, которая при неограничительных условиях эквивалентна каноническому базису пространства $l_2$ (см. [5]). Кроме того, требовалось наличие в с.п. нормированной последовательности дизъюнктных функций ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ с условием (2). Отметим, что результат из [2] применим к пространствам Лебега $L_p$ и Лоренца ${\Lambda }_p\left(\phi \right)$ при $2\le p<\infty \mathrm{,}$ пространствам Орлича $L_F$ с верхним индексом Орлича — Матушевской ${\beta }_F^{\infty }\ge 2.$

В той же работе [2] была доказана бинарность пространства Лебега и Лоренца при $p\in [1;2)$. Для пространств Орлича случай ${\beta }_F^{\infty }<2$ оставался невыясненным. Только что доказанная теорема позволяет получить результат об отсутствии бинарности в некоторых пространствах Орлича с верхним индексом ${\beta }_F^{\infty }<2$. Следующий пример дан С.В. Асташкиным.

Пример 1. Пусть $F\left(t\right)=t^p{\log }^{-\frac{3}{2}}\left(et\right), t\ge \mathrm{1,}$ где $p\in (1;2)$. Легко понять, что $t^p\in E_F^{\infty }\mathrm{,}$ и, значит, в $L_F$ существует последовательность дизъюнктных функций ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$, эквивалентная каноническому базису пространства $l_p$ [4, предложение 4].

Заметим, что функция $t^{-\frac{1}{p}}\in L_F\mathrm{,}$ так как

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}F\left(t^{-\frac{1}{p}}\right)dt=\underset{1}{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{u{{\displaystyle \log }}^{\frac{3}{2}}\left(eu\right)}du<\infty \mathrm{.}$

Пусть $\{{g_n^{\text{'}}\}}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность независимых функций, равноизмеримых с $t^{-\frac{1}{p}}\mathrm{.}$ Тогда по теореме 3.8 из [9] она эквивалентна каноническому базису пространства $l_p$ во всяком с.п. $X$ таком, что $L_F\subset X$. В частности, отсюда следует, что подпространство $\left[g_n^{\text{'}}\right]$ сильно вложено в $L_F\mathrm{.}$ Теперь в качестве последовательностей ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ и ${\left\{g_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ в теореме 2 можно взять следующие:

$f_n\left(t\right)=f_n^{\text{'}}(2t-1){\chi }_{[\frac{1}{2},1]}\left(t\right), 0<t\le \mathrm{1,}$

$g_n\left(t\right)=g_n^{\text{'}}\left(2t\right){\chi }_{[0;\frac{1}{2}]}\left(t\right), 0<t\le 1$

В итоге, применяя теорему 2, получаем, что $L_F$ небинарно.

Результаты о бинарности некоторых пространств Орлича содержатся в [1; 10]. В работе [10] доказано, что, например, полумультипликативные функции Орлича с индексами $1<{\alpha }_F^{\infty }\le {\beta }_F^{\infty }<2$ порождают бинарные пространства Орлича; в работе [1] показано, что если ${\alpha }_F^{\infty }={\beta }_F^{\infty }=1$ и в $L_F$ выполняется аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности, то $L_F$ бинарно.

В связи с неравенством (4) возникает вопрос: насколько хорошо значение характеристики ${\eta }_X\left(H\right)$ можно приблизить с помощью растворов. Более точно: если $X$ — небинарное с.п. с $\eta$-нормальной структурой, то имеют ли место следующие равенства:

${\eta }_X\left(H\right)=2\underset{E_0\subset X}{inf}\Theta \left(H\mathrm{,}{E}_0\right)$

где $H$ — подпространство из $X$, $E_0$ — подпространство, у которого функции шара имеют равностепенно непрерывные нормы, а $E_1$ — подпространство, содержащее последовательность дизъюнктных функций.

Нетрудно показать, что такие равенства не всегда имеют место. Действительно, равенство (7) не выполняется для любого подпространства $H\subset L_2$, с ${\eta }_{L_2}\left(H\right)\in (0,1)$. Согласно результатам из работы [11] раствор и сферический раствор для любых подпространств $H$ и $E$ из $L_2$ связаны соотношением

$\widetilde{\Theta (}H\mathrm{,}E)=\sqrt{2(1-\sqrt{1-{\Theta }^2\left(H\mathrm{,}E\right)})}\mathrm{.}$

Пусть в $L_2$ существует подпространство $H$, для которого выполняется равенство (7), т. е. имеет место равенство

 $\alpha :={\eta }_X\left(H\right)=2\Theta \left(H\mathrm{,}{E}_0\right)$

(общий случай, когда инфимум может не достигаться, рассматривается аналогично). Тогда в силу неравенства (4)

$\alpha \le \tilde{\Theta }\left(H\mathrm{,}{E}_0\right)=\sqrt{2(1-\sqrt{1-\frac{{\alpha }^2}{4}})}\mathrm{,}$

откуда

$3\le {\alpha }^2\mathrm{,}$

что невозможно.

Отметим, что в $L_2$ раствор связан с оценками норм ортогональных проекторов на подпространства. А именно по теореме 1 из [12] выполняется следующее равенство:

$\Theta \left(H\mathrm{,}E\right)=\parallel P_H-P_E\parallel \mathrm{,}$

где $P_H$ и $P_E$ — ортогональные проекторы на подпространства $H$ и $E$ соответственно. Отсюда теорема 1 в случае $X=L_2$ принимает следующий вид (см. неравенство (3)):

Теорема 3. Пусть $H$ и $E$ — подпространства из $L_2$, а $P_H$ и $P_E$ — ортогональные проекторы на эти подпространства соответственно. Тогда

$\left|{\eta }_{L_2}\right(H)-{\eta }_{L_2}(E\left)\right|\le 2\parallel P_H-P_E\parallel \mathrm{.}$

В заключение применим технику, связанную с характеристикой (1), для доказательства рефлексивности сильно вложенных подпространств.

Предложение 1. Пусть $X$ — с.п. Если подпространство $H\subset X$ сильно вложено, то $H$ рефлексивно.

Доказательство. Предположим противное, пусть $H$ — нерефлексивное подпространство. Так как по условию $H$ сильно вложено, то на $H$ сходимость в $X$ и $L_1$-норме эквивалентны. Поэтому $H$ изоморфно подпространству из $L_1$ (более точно, тождественный оператор $I:(H\mathrm{,}\parallel \cdot {\parallel }_X)\to (H\mathrm{,}\parallel \cdot {\parallel }_{L_1})$ будет изоморфизмом). Заметим, что $(H\mathrm{,}\parallel \cdot {\parallel }_{L_1})$ — сильно вложенное подпространство в $L_1\mathrm{.}$ Свойство рефлексивности пространства инвариантно относительно изоморфизма, и, значит, $H$ — нерефлексивное подпространство в $L_1\mathrm{.}$

Как уже говорилось, $L_1$ бинарно, откуда для подпространства $H$ возможны лишь два варианта: ${\eta }_{L_1}\left(H\right)=0$ или ${\eta }_{L_1}\left(H\right)=1$. Предположим, что ${\eta }_{L_1}\left(H\right)=0$. Тогда, по лемме 2 из [13] функции единичного шара подпространства $H$ имеют равностепенно непрерывные нормы в $L_1$, следовательно, по теореме Данфорда — Петтиса этот шар — относительно слабо компактное подмножество в $L_1.$ Отсюда $H$ — рефлексивное подпространство $L_1\mathrm{,}$ что противоречит предположению.

Пусть теперь ${\eta }_{L_1}\left(H\right)=1$. По [7, теорема II.2] для $L_1$ это условие эквивалентно тому, что $H$ не содержится в так называемом множестве Кадеца — Пелчинского

$M_{L_1\mathrm{,}\epsilon }=\{x\in L_1:\mu (t:\left|x\right(t\left)\right|\ge \epsilon \parallel x{\parallel }_{L_1})\ge \epsilon \}$

для всякого $\epsilon >0.$ Отсюда по теореме Кадеца — Пелчинского (см. [14, теорема 4.1]) $H$ содержит почти дизъюнктную последовательность, что противоречит сильной вложенности $H$ в $L_1\mathrm{.}$

About the authors

Stepan I. Strakhov

Author for correspondence.
Email: www.stepan121@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2905-9124

assistant of the Department of Functional Analysis and Function Theory

References

Supplementary files