Properties of measures on ”stable” boolean algebras

Full Text

Введение

Для конечно-аддитивных мер аналогом неатомичности выступает строгая непрерывность. Известен ряд интересных результатов в различных направлениях для конечно-аддитивных мер, обладающих одновременно строгой непрерывностью и исчерпываемостью, см., например, [1–4]. Легко заметить, что строго непрерывная конечно-аддитивная мера $\mu \mathcal{A}\to G$, где $\mathcal{A}$ — булева алгебра и $G$ — топологическая абелева группа с квазинормой, является ограниченной. Если при этом $G$ является, например, банаховым пространством, не содержащим $c_o$, то $\mu$ необходимо будет исчерпывающей [5, гл.I, §4, теорема 2]. Следующий пример показывает, что также существуют строго непрерывные конечно-аддитивные меры без свойства исчерпываемости.

 Пример 1. Пусть $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств $\left[0;+\infty \right]$, $\lambda$ — мера Лебега, $A_n=[n-1;n)$, $n\in \mathbb{N}$. Определим конечно-аддитивную меру $\mu :\mathcal{A}\to l_{\infty }$, полагая $\mu \left(E\right)={\left\{\lambda \right(E\cap A_n\left)\right\}}_n$, $E\in \mathcal{A}$. Очевидно, ${\left\{A_n\right\}}_n$ — дизъюнктная последовательность в $\mathcal{A}$ с $\parallel \mu \left(A_n\right)\parallel =1$, $n\in \mathbb{N}$. Значит, $\mu$ не является исчерпывающей. Вместе с тем $\mu$ строго непрерывна. Действительно, разобьем $A_n$ на $k$ дизъюнктных промежутков $\{{A_{ni}\}}_{i=1}^k$ длины $1/k$, $n\in \mathbb{N}$. Положим $E_i=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{A}_{ni}$, $i\in \overline{1;k}$. Очевидно, $\underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{E}_i=[0;+\infty )$ и $\widetilde{\mu [}\mathcal{A}\left]\right(E_i)=1/k$, $i\in \overline{1;k}$.

В данной статье нас прежде всего интересуют условия, при которых последовательность конечно-аддитивных мер будет равномерно строго непрерывной. При этом, в отличие от работы [2], мы стремимся отказаться от требования равномерной исчерпываемости последовательности мер и даже от исчерпываемости самих мер (см. раздел 2), что оправдано примерами 1 и 2. Вместе с тем пришлось наложить дополнительные условия на алгебры, выступающие в качестве областей определения мер. Это привело нас к понятию $\mathcal{ERD}$-устойчивых алгебр (см. определение 2). ” Устойчивые” алгебры представляют собой широкий класс, который содержит, например, алгебры с SIP^[1] и алгебры ${\Gamma }_{\nu }$ (при определенных условиях на $\nu$). Рассмотрение ” устойчивых” алгебр оказалось продуктивным не только в связи с равномерной строгой непрерывностью мер, но и в связи с равномерной ограниченностью мер (см. раздел 6).

1. Основные определения и предварительные сведения

Далее всюду $\mathcal{A}$ — булева алгебра с единицей $e$ и нулем $o$. Семейство элементов ${\left\{a_t\right\}}_{t\in T}\subset \mathcal{A}$ называем дизъюнктным, если $a_i\wedge a_j=o$ при $i\ne j$.

Определение 1. Последовательность $\mathcal{E}={\left\{{\mathcal{E}}_n\right\}}_n$, где ${\mathcal{E}}_n{\left\{e_i^n\right\}}_{i=1}^{k_n}\subset \mathcal{A}$ и $\underset{i=1}{\overset{k_n}{}}{e}_i^n=e$, будем называть системой в $\mathcal{A}$.

Определение 2. Пусть $\mathcal{E}$ — некоторая система в $\mathcal{A}$, пусть $\mathcal{R}$ и $\mathcal{D}$ — некоторые классы элементов $\mathcal{A}$. Алгебру $\mathcal{A}$ назовем $\mathcal{ERD}$-устойчивой при выполнении следующего условия: если ${\left\{b_n\right\}}_n$ такая дизъюнктная последовательность в $\mathcal{R}$, что если для любого $n$ существует $e_i^n\in {\mathcal{E}}_n$ такое что $b_k\le e_i^n$ при всех $k\ge n$, то для любого бесконечного множества $M\subset \mathbb{N}$ существуют элемент $d\in \mathcal{D}$ и бесконечное множество $P\subset M$, для которых $b_k\le d$ при всех $k\in P$ и $b_k\wedge d=o$ для всех $k\in \mathbb{N}\backslash P$.

Алгебру $\mathcal{A}$, обладающую SIP [6], можно рассматривать как $\mathcal{ERD}$-устойчивую, где $\mathcal{R}=\mathcal{D}=\mathcal{A}$ и ${\mathcal{E}}_n=\left\{e\right\}$ для всех $n\in \mathbb{N}$.

Далее будем рассматривать функции, определенные на $\mathcal{A}$, со значениями в топологической абелевой группе $G$; буквами $V$, $U$, $W$ обозначаем симметричные окрестности нуля в $G$; полагаем $nU=\underset{n}{\underbrace{U+\dots +U}}$.

Функцию $\mu :\mathcal{A}\to G$ называем:

– конечно-аддитивной мерой, если $\mu (a\vee b)=\mu \left(a\right)+\mu \left(b\right)$ для любой пары дизъюнктных элементов $a$ и $b$ из $\mathcal{A}$;

– счетно-аддитивной мерой, если $\mu \left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}{a}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(a_n\right)$ для любой дизьюнктной последовательности ${\left\{a_n\right\}}_n$ из $\mathcal{A}$ с $\underset{n=1}{\overset{\infty }{V}}{a}_n\in \mathcal{A}$.

Всюду в дальнейшем считаем все рассматриваемые функции из $\mathcal{A}$ в $G$ как минимум конечно-аддитивными мерами.

Определение 3. Пусть $\mu :\mathcal{A}\to G$ и $\mathcal{F}$ — некоторый класс элементов $\mathcal{A}$, содержащий $o$. Для элемента $a\in \mathcal{A}$ полагаем

$\widetilde{\mu [}\mathcal{F}\left]\right(a)=\{\mu \left(b\right):a\ge b\in \mathcal{F}\}$                                         

Если $G$ — таг с квазинормой $|\cdot |$, то полагаем

$\widetilde{\mu [}\mathcal{F}\left]\right(a)=\sup \{\left|\mu \right(b\left)\right|:a\ge b\in \mathcal{F}\}$                                     

Под квазинормой понимаем функционал $|\cdot |:G\to [0;+\infty )$, где $\left|O_G\right|=0$, $|-x|=\left|x\right|$ и $|x+y|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ для любых $x\mathrm{,}y\in G$.

Определение 4. Пусть $\mathcal{R}$ и $\mathcal{D}$ — некоторые классы элементов $\mathcal{A}$, причем $o∍\mathcal{R}\subset \mathcal{D}\subset \mathcal{A}$. Функцию $\mu :\mathcal{A}\to G$ назовем $\mathcal{RD}$-монотонной, если для любой окрестности $U$существует такая окрестность $W\subset U$, что если $r\in \mathcal{R}$ и $\tilde{\mu }\left[\mathcal{R}\right]\left(r\right)\subset W$, то $\widetilde{\mu [}\mathcal{D}\left]\right(r)\subset U$.

Ясно, что это свойство выполняется, если $\mathcal{R}=\mathcal{D}$ или, например, если $\mu$ неотрицательная и монотонная на $\mathcal{D}$.

Определение 5. Пусть $\mathcal{R}$ — некоторый класс элементов $\mathcal{A}$, содержащий $o$. Семейство ${\left\{{\mu }_t\right\}}_{t\in T}$, ${\mu }_t:\mathcal{A}\to G$ называем равномерно строго $\mathcal{R}$-непрерывным на элементе $r\in \mathcal{R}$, если для любой окрестности $U$ существует дизъюнктный набор ${\left\{r_i\right\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{R}$ с $\underset{i=1}{\overset{n}{V}}{r}_i=r$ и ${\tilde{\mu }}_t\left[\mathcal{R}\right]\left(r_i\right)\subset U$ для всех $i\in \overline{1;n}$ и $t\in T$.

Если приведенное условие выполняется для любого элемента $r\in \mathcal{R}$ ^[2], то семейство $\{{{\mu }_t\}}_{t\in T}$ называем равномерно строго $\mathcal{R}$-непрерывным. Если речь идет об одной функции, то в определениях опускаем слово ”равномерно”. Заметим, что выражение ”$\mu$ строго $\mathcal{A}$-непрерывна” означает то же, что и часто используемое в литературе ”$\mu$ строго непрерывна”^[3].

Очевидно, что если $G$ — хаусдорфова таг и $\mu :\mathcal{A}\to G$ строго $\mathcal{A}$-непрерывна, то $\mu$ неатомическая (т. е. для любого $a\in \mathcal{A}$ с $\mu \left(a\right)\ne 0$ существует элемент $b\in \mathcal{A}$ такой что $b\le a$ и $0\ne \mu \left(b\right)\ne \mu \left(a\right)$). Если же $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра и $\mu$ — счетно-аддитивная мера со свойством (С) (т. е. любое дизъюнктное семейство элементов ненулевой меры не более чем счетно, например, когда $G$ — линейное нормированное пространство), то верно и обратное утверждение [7, предложение 2].

Всюду в дальнейшем $X$ — хаусдорфово топологическое пространство, $\tau \left(X\right)$ и $\mathcal{C}\left(X\right)$ — классы его открытых и замкнутых подмножеств, $\mathcal{B}\left(X\right)$ — борелевская $\sigma$-алгебра $X$ (можем опускать обозначение пространства, если это не вызывает недоразумений). Напомним, что $\mu :\mathcal{B}\to G$ называется регулярной, если для любого множества $E\in \mathcal{B}$ и любой окрестности $U$ в $G$ существует такое $C\in \mathcal{C}$, что $C\subset E$ и $\tilde{\mu }\left[\mathcal{B}\right](E\backslash C)\subset U$. Если $C$ можно выбрать компактным, то $\mu$ называют радоновой. Говорят, что $\mu$ диффузная, если $\mu \left(\right\{x\left\}\right)=0$ для всех $x\in X$. Нетрудно показать, что для счетно-аддитивной меры $\mu :\mathcal{B}\to G$, регулярной, если $X$ со счетной базой, или радоновой в общем случае, условия диффузности, неатомичности и строгой $\mathcal{B}$-непрерывности эквивалентны (при условии, что таг $G$ хаусдорфова).

Говорим, что последовательность $\{{{\mu }_n\}}_n$, ${\mu }_n:\mathcal{D}\to G$, поточечно фундаментальна (поточечно сходится) на классе $\mathcal{D}$, если для любого элемента $a\in \mathcal{D}$ последовательность ${\left\{{\mu }_n\right(a)\}}_n$ фундаментальна (соответственно, сходится) в $G$.

Семейство ${\left\{{\mu }_t\right\}}_{t\in T}$, ${\mu }_t:\mathcal{A}\to G$ называют равномерно исчерпывающим (равномерно непрерывным сверху в нуле) на $\mathcal{A}$, если для любой дизъюнктной последовательности ${\{a_n\}}_n\subset \mathcal{A}$ (для любой ${\left\{a_n\right\}}_n\subset \mathcal{A}$ с $a_n\searrow o$) имеем: для любой окрестности $U$ найдется $k$ такое, что ${\mu }_t\left(a_n\right)\in U$ для всех $n>k$ и $t\in T$. В случае одной функции в этих определениях опускаем слово ”равномерно”.

Далее ограниченные множества будем рассматривать только в таг с квазинормой и понимать под ограниченностью ограниченность по квазинорме.

Семейство ${\left\{{\mu }_t\right\}}_{t\in T}$, ${\mu }_t:\mathcal{A}\to G$, называем поточечно ограниченным на $\mathcal{A}$, если для любого $a\in \mathcal{A}$ множество $\left\{{\mu }_t\right(a):t\in T\}$ ограничено; называем равномерно ограниченным на $\mathcal{A}$, если множество $\left\{{\mu }_t\right(a):a\in \mathcal{A}\mathrm{,}t\in T\}$ ограничено.

Приведем некоторые известные факты^[4] (напомним, что всюду как минимум $\mu :\mathcal{A}\to G$ — конечно-аддитивная мера, $\mathcal{A}$ — булева алгебра, $G$ — таг и, если речь идет об ограниченности, то с квазинормой).

(R1) Если $\mu :\mathcal{A}\to G$ исчерпывающая, то она ограниченная. Для $\mu :\mathcal{A}\to ℝ$ верно и обратное утверждение.

(R2) Непрерывная сверху в нуле $\mu :\mathcal{A}\to G$ счетно-аддитивна.

(R3) Если $\mu :\mathcal{A}\to G$ — счетно-аддитивная мера, то она непрерывна сверху в нуле, если при этом $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, то $\mu$ будет также исчерпывающей.

(R4) Пусть ${\mu }_t:\mathcal{A}\to G$ исчерпывающие и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра; тогда если семейство ${\left\{{\mu }_t\right\}}_{t\in T}$ поточечно ограничено, то оно равномерно ограничено.

(R5) Пусть семейство ${\left\{{\mu }_t\right\}}_{t\in T}$, ${\mu }_t:\mathcal{A}\to G$, равномерно исчерпывающее. Тогда для любых дизъюнктной последовательности ${\left\{a_n\right\}}_n\subset \mathcal{A}$ и окрестности $U$ существует такое $n_0$, что для любого $k$ имеем ${\tilde{\mu }}_t\left[\mathcal{A}\right]\left(\underset{n=n_0}{\overset{n_0+k}{}}{a}_n\right)\subset U$ сразу для всех $t\in T$. Если к тому же ${\mu }_t$ непрерывны сверху в нуле, то для любой последовательности $\{{a_n\}}_n\subset \mathcal{A}$ с $a_n\searrow o$ имеем ${\tilde{\mu }}_t\left[\mathcal{A}\right]\left(a_n\right)\to 0$ при $n\to \infty$ равномерно относительно $t\in T$.

(R6) Пусть ${\mu }_n:\mathcal{A}\to G$ исчерпывающие и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра; тогда если последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно фундаментальна, то она равномерно исчерпывающая. Если к тому же ${\mu }_n$ непрерывны сверху в нуле, то (в силу (R5)) последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ равномерно непрерывна сверху в нуле.

(R7) Пусть семейство ${\left\{{\mu }_t\right\}}_{t\in T}$, ${\mu }_t:\mathcal{A}\to G$, сконденсировано на алгебре $\mathcal{R}\subset \mathcal{A}$ (то есть для любых элемента $a\in \mathcal{A}$, окрестности $U$ и набора ${\left\{{\mu }_{t_i}\right\}}_{i=1}^n$ существует элемент $r\in \mathcal{R}$ такой, что ${\tilde{\mu }}_{t_i}\left[\mathcal{A}\right]\left(a\Delta r\right)\subset U$ для всех $i\in \overline{1;n}$). Тогда из равномерной исчерпываемости семейства $\{{{\mu }_t\}}_{t\in T}$ на $\mathcal{R}$ следует его равномерная исчерпываемость на $\mathcal{A}$.

2. Основные результаты о равномерной строгойнепрерывности мер

Теорема 1. Пусть ${\mu }_n:\mathcal{A}\to G$ — конечно-аддитивные меры, $n\in \mathbb{N}$. Пусть алгебра $\mathcal{A}$ является $\mathcal{ERD}$-устойчивой и выполняются следующие условия: (а) $\mathcal{R}$ — некоторая подалгебра $\mathcal{A}$ и $\mathcal{R}\subset \mathcal{D}\subset \mathcal{A}$; (б) если $r\in \mathcal{R}$ и $d\in \mathcal{D}$, то $r\wedge d\in \mathcal{D}$ ^[5]; (в) $\mathcal{E}$ — некоторая система в $\mathcal{R}$. Далее, пусть каждая ${\mu }_n$ строго $\mathcal{R}$-непрерывна и $\mathcal{RD}$-монотонна.

Тогда если последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно фундаментальна на $\mathcal{D}$, то она равномерно строго $\mathcal{R}$-непрерывна.

Доказательство. Зафиксируем некоторую окрестность $U$ в $G$. Положим $V=5U$. В процессе доказательства будем использовать следующее рабочее определение: элемент $r\in \mathcal{R}$ обладает свойством $(*)$, если для любого дизъюнктного набора ${\left\{r_i\right\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{R}$ с $\underset{i=1}{\overset{n}{V}}{r}_i=r$ найдутся такие ${\mu }_n$ и $r_i$, что ${\tilde{\mu }}_n\left[\mathcal{R}\right]\left(r_i\right)\cancel{\subset }V$.

Легко заметить, что если $r\in \mathcal{R}$ обладает свойством $(*)$, то в любом наборе $\{{p_i\}}_{i=1}^k\subset \mathcal{R}$ с $\underset{i=1}{\overset{k}{V}}{p}_i=r$ найдется элемент $p_i$, тоже обладающий этим свойством.

Предположим, что элемент $e$ обладает свойством $(*)$. Тогда некоторый элемент семейства $\{e_i^1\wedge e_j^2, i\in \overline{1;k_1}\mathrm{,} j\in \overline{1;k_2}\}$ тоже обладает этим свойством. Обозначим его $a_1$. Заметим, что $a_1\in \mathcal{R}$, и в каждом из наборов ${\mathcal{E}}_1$ и ${\mathcal{E}}_2$ найдутся элементы, мажорирующие $a_1$.

Поскольку $a_1$ обладает свойством $(*)$, то существуют функция ${\mu }_{n_1}$ и элемент $c\in \mathcal{R}$ такие, что $c\le a_1$ и ${\mu }_{n_1}\left(c\right)\notin 4U$. Положим ${\nu }_1={\mu }_{n_1}$.

$\nabla$ Так как функция ${\nu }_1$ является $\mathcal{RD}$-монотонной, то найдется такая окрестность $W\subset U$, что если $b\in \mathcal{R}$ и ${\tilde{\nu }}_1\left[\mathcal{R}\right]\left(b\right)\subset W$, то ${\tilde{\nu }}_1\left[\mathcal{D}\right]\left(b\right)\subset U$.

Поскольку функция ${\nu }_1$ строго $\mathcal{R}$-непрерывна, то существует дизъюнктный набор $\{r_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}_k\mathrm{,}{r}_{k+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}_n\}\subset \mathcal{R}$ такой, что $\underset{i=1}{\overset{k}{V}}{r}_i=c$, $\underset{i=k+1}{\overset{n}{V}}{r}_i=a_1\backslash c$ и ${\tilde{\nu }}_1\left[\mathcal{R}\right]\left(r_i\right)\subset W$ для всех $i\in \overline{1;n}$.

Так как $a_1$ обладает свойством $(*)$, то в указанном наборе найдется элемент $r_l$, тоже обладающий этим свойством. Обозначим его $q$. Очевидно, ${\tilde{\nu }}_1\left[\mathcal{D}\right]\left(q\right)\subset U$. Если оказалось, что $q\le c$, то полагаем $b_1=c\backslash q$; если же $q\le a_1\backslash c$, то полагаем $b_1=c$. В любом случае ${\nu }_1\left(b_1\right)\notin 3U$ и $q$ обладает свойством $(*)$.

Очевидно, среди элементов семейства $\{q\wedge e_i^3\wedge e_j^4\mathrm{,} i\in \overline{1;k_3}\mathrm{,} j\in \overline{1;k_4}\}$ найдется элемент, обладающий свойством $(*)$. Обозначим его $a_2$. $\Delta$

Итак, имеем следующее:

$a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}{b}_1\in \mathcal{R}$, $a_1\ge a_2$, $b_1\le a_1\backslash a_2$, элемент $a_1$ мажорируется некоторым элементом из ${\mathcal{E}}_1$ и некоторым элементом из ${\mathcal{E}}_2$, элемент $a_2$ мажорируется некоторым элементом из ${\mathcal{E}}_3$ и некоторым элементом из ${\mathcal{E}}_4$;

${\nu }_1={\mu }_{n_1}$, ${\nu }_1\left(b_1\right)\notin 3U$, ${\tilde{\nu }}_1\left[\mathcal{D}\right]\left(a_2\right)\subset U$;

элемент $a_2$ обладает свойством $(*)$.

Рассмотрим $a_2$ вместо $a_1$ и т. д. Допустим, что на $m$-м шаге получили элементы $a_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_m\mathrm{,}{a}_{m+1}\mathrm{,}{b}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{b}_m\in \mathcal{R}$ и функции ${\nu }_1={\mu }_{n_1}$, ${\nu }_i={\mu }_{n_i}-{\mu }_{n_i^{\text{'}}}$, где $i\in \overline{2;m}$, $n_1<n{\text{'}}_2^{}<n_2<\dots <n_m^{\text{'}}<n_m$ такие, что:

– для всех $i\in \overline{1;m}$ справедливы неравенства

(C1) $a_i\ge a_{i+1}\mathrm{,} b_i\le a_i\backslash a_{i+1}$;

– для всех $i\in \overline{1;m+1}$

(C2) $a_i$ мажорируется некоторым элементом из ${\mathcal{E}}_{2i-1}$ и некоторым элементом из ${\mathcal{E}}_{2i}$;

– для всех $i\in \overline{2; m}$ выполняется

(C3) ${\nu }_i\left({\vee }_{j\in J}{b}_j\right)\in U$, где $J\subset \overline{1; i-1}$;

– для всех $i\in \overline{1; m}$ выполняется

(C4) ${\nu }_i\left(b_i\right)\notin 3U$;

– для всех $i\in \overline{1; m}$ справедливо включение

(C5) ${\tilde{\nu }}_i\left[\mathcal{D}\right]\left(a_{i+1}\right)\subset U$;

(C6) элемент $a_{m+1}$ обладает свойством $(*)$.

Сделаем $(m+1)$-й шаг. В силу поточечной фундаментальности последовательности ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ на $\mathcal{D}$ (тем более на $\mathcal{R}$), существует такой номер $n_{m+1}^{\text{'}}>n_m$, что если $p>n_{m+1}^{\text{'}}$ и $J\subset \overline{1; m}$, то

$({\mu }_p-{\mu }_{n_{m+1}^{\text{'}}})\left(\underset{j\in J}{}{b}_j\right)\in U\mathrm{.}$                                             

Теперь докажем, что найдутся номер $n_{m+1}>n_{m+1}^{\text{'}}$ и элемент $c\in \mathcal{R}$ такие, что $c\le a_{m+1}$ и

$({\mu }_{n_{m+1}}-{\mu }_{n_{m+1}^{\text{'}}})\left(c\right)\notin 4U\mathrm{.}$                                                

Из определения 5 очевидно, что конечное семейство строго $\mathcal{R}$-непрерывных функций будет равномерно строго $\mathcal{R}$-непрерывным. Значит, существует дизъюнктный набор $\{r_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}_k\}\subset \mathcal{R}$ с $\underset{i=1}{\overset{k}{V}}{r}_i=a_{m+1}$ и ${\tilde{\mu }}_j\left[\mathcal{R}\right]\left(r_i\right)\subset U$ для всех $i\in \overline{1; k}$ и $j\in \overline{1; n_{m+1}}\mathrm{.}$ Предположим, что не существует искомых номера $n_{m+1}$ и элемента $c$. Тогда если $p>n_{m+1}^{\text{'}}$, $a\in \mathcal{R}$ и $a\le r_i$, где $i\in \overline{1;k}$, то

${\mu }_p\left(a\right)=({\mu }_p-{\mu }_{n_{m+1}^{\text{'}}})\left(a\right)+{\mu }_{n_{m+1}^{\text{'}}}\left(a\right)\in 4U+U=V\mathrm{.}$                            

Получили противоречие тому, что элемент $a_{m+1}$ обладает свойством $(*)$.

Положим ${\nu }_{m+1}={\mu }_{n_{m+1}}-{\mu }_{n_{m+1}^{\text{'}}}\mathrm{.}$ Итак, ${\nu }_{m+1}\left(c\right)\notin 4U$.

Теперь дословно повторим текст, окруженный знаками $\nabla$ и $\Delta$, заменяя соответственно $a_1$, ${\nu }_1$, $b_1$, $e_i^3$, $e_j^4$, $k_3$, $k_4$, $a_2$ на $a_{m+1}$, ${\nu }_{m+1}$, $b_{m+1}$, $e_i^{2m+1}$, $e_j^{2m+2}$, $k_{2m+1}$, $k_{2m+2}$, $a_{m+2}$.

Продолжив процесс до бесконечности, получим убывающую последовательность ${\left\{a_i\right\}}_i$ и дизъюнктную последовательность ${\left\{b_i\right\}}_i$ в $\mathcal{R}$, а также последовательность функций $\{{{\nu }_i\}}_i$ такие, что выполняются условия (C1)–(C5) и ${\nu }_1={\mu }_{n_1}$, ${\nu }_i={\mu }_{n_i}-{\mu }_{n_i^{\text{'}}}$, где $i\in \overline{2; \infty }$ и $n_1<n_2^{\text{'}}<n_2<\dots <n_i^{\text{'}}<n_i<\dots$.

$\nabla \nabla$Положим $h_i=(a_i\backslash a_{i+1})\backslash b_i$, $i\in \overline{1;\infty }$. Рассмотрим дизъюнктную последовательность $(b_1\mathrm{,}{h}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{b}_i\mathrm{,}{h}_i\mathrm{,}\dots )$ в $\mathcal{R}$. Все ее элементы, начиная с $n$-го по счету, мажорируются некоторым элементом из ${\mathcal{E}}_n$.

По определению 2 найдутся элемент $d\in \mathcal{D}$ и подпоследовательность ${\left\{b_{i_p}\right\}}_{p=1}^{\infty }$ такие, что $b_{i_p}\le d$ для всех $p\in \mathbb{N}$, $d\wedge b_j=o$ для $j\in \mathbb{N}$ и $j\ne i_p$, $d\wedge h_i=o$ для всех $i\in \mathbb{N}$.

Положим $z=d\wedge a_1$. Очевидно, $z\in \mathcal{D}$, $z\le a_1$ и $z$ обладает всеми указанными выше свойствами элемента $d$.

Положим $x_k=\underset{p=1}{\overset{k-1}{V}}{b}_{i_p}$, $y_k=z\backslash \underset{p=1}{\overset{k}{V}}{b}_{i_p}$, $k\in \overline{2;\infty }$. Заметим, что $x_k\in \mathcal{A}$ и $y_k\in \mathcal{D}$. Имеем $z=x_k\vee b_{i_k}\vee y_k$. Тогда

${\nu }_{i_k}\left(z\right)={\nu }_{i_k}\left(x_k\right)+{\nu }_{i_k}\left(b_{i_k}\right)+{\nu }_{i_k}\left(y_k\right)$ (2.1)

Далее, $y_k\le a_1$ и $y_k$ дизъюнктен со всеми $b_1$, $h_1$, ..., $b_{i_k}$, $h_{i_k}$. Тогда $y_k\le a_{i_k+1}$. В силу условия (C5) получаем ${\nu }_{i_k}\left(y_k\right)\in U$. $\Delta \Delta$

В силу условия (C3) имеем ${\nu }_{i_k}\left(x_k\right)\in U$. Теперь, используя условие (C4) и равенство (1), получаем ${\nu }_{i_k}\left(z\right)\notin U$ для всех $k\in \overline{2;\infty }$, что противоречит поточечной фундаментальности последовательности ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ на $\mathcal{D}$.

Значит, элемент $e$ не обладает свойством $(*)$. В силу произвольности окрестности $U$ последовательность $\{{{\mu }_n\}}_n$ равномерно строго $\mathcal{R}$-непрерывна на элементе $e$. Теорема доказана.

Полагая $\mathcal{R}=\mathcal{D}=\mathcal{A}$ и ${\mathcal{E}}_n=\left\{e\right\}$, $n\in \mathbb{N}$, из теоремы 1 сразу получаем следующее утверждение.

 Теорема 2. Пусть ${\mu }_n:\mathcal{A}\to G$ — конечно-аддитивные меры, каждая из которых строго $\mathcal{A}$-непрерывна, $n\in \mathbb{N}$. Пусть алгебра $\mathcal{A}$ обладает SIP (например, $\sigma$-алгебра). Тогда если последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно фундаментальна на $\mathcal{A}$, то она равномерно строго $\mathcal{A}$-непрерывна. Если к тому же ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно сходится на $\mathcal{A}$ к функции $\mu$, то $\mu$ будет конечно-аддитивной строго $\mathcal{A}$-непрерывной мерой.

Рассматриваемая далее алгебра множеств ${\Gamma }_{\nu }$ изучается подробно в разделе 3.

 Теорема 3. Пусть ${\mu }_n:{\Gamma }_{\nu }\to G$ — конечно-аддитивные меры, каждая из которых строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывна, $n\in \mathbb{N}$. Здесь $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — регулярная строго $\mathcal{B}$-непрерывная конечно-аддитивная мера, $X$ — нормальное пространство (например, $\nu$ — мера Лебега на прямоугольнике $X={[0;1]}^k$, $k\in \mathbb{N}$, и ${\Gamma }_{\nu }$ — алгебра борелевских измеримых по Жордану подмножеств $X$). Тогда если последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно фундаментальна на ${\Gamma }_{\nu }$, то она равномерно строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывна. Если к тому же ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно сходится на ${\Gamma }_{\nu }$ к $\mu$, то $\mu$ будет конечно-аддитивной строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывной мерой.

 Доказательство. По теореме 5 алгебра ${\Gamma }_{\nu }$ удовлетворяет условию (4) из раздела 3. Остается применить теорему 1.

Для конечного набора $\mathcal{H}={\left\{E_i\right\}}_{i=1}^n$ подмножеств некоторого метрического пространства через $diam\mathcal{H}$ обозначим наименьший из диаметров множеств $E_i$ (диаметр пустого множества считаем равным 0).

 Теорема 4. Пусть $X$ — метрическое пространство, $\mathcal{R}$ и $\mathcal{A}$ — некоторые алгебры его подмножеств, $\mathcal{R}\subset \mathcal{A}$; пусть $\mathcal{R}$ содержит некоторую систему $\mathcal{E}={\left\{{\mathcal{E}}_n\right\}}_n$ с $diam{\mathcal{E}}_n\to 0$ при $n\to \infty$ (например, как в теореме 9, $X={[0;1]}^k$ с евклидовой метрикой, $k\in \mathbb{N}$, $\mathcal{A}=\mathcal{B}\left(X\right)$, $\mathcal{R}$ — алгебра конечных объединений прямоугольников из $\mathcal{B}$). Пусть ${\mu }_n:\mathcal{A}\to G$ — счетно-аддитивные меры, каждая из которых строго $\mathcal{R}$-непрерывна, $n\in \mathbb{N}$. Далее, пусть последовательность $\{{{\mu }_n\}}_n$ поточечно фундаментальна на классе $\mathcal{D}$, где

$\mathcal{D}=\{\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_n: E_n\in \mathcal{R}\mathrm{,} diam\underset{i=n}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_i\to \mathrm{0,} n\to \infty \}$                              

Тогда последовательность $\{{{\mu }_n\}}_n$ равномерно строго $\mathcal{R}$-непрерывна.

Доказательство. Очевидно, условие (б) теоремы 1 выполнено.

Пусть $\mathcal{E}={\left\{{\mathcal{E}}_n\right\}}_n$ — система в $\mathcal{R}$, о которой говорится в условии теоремы 4, и ${\mathcal{E}}_n={\left\{E_i^n\right\}}_{i=1}^{k_n}$. Далее, пусть ${\left\{F_n\right\}}_n\subset \mathcal{R}$ и для любого $n$ существует такое $E_i^n\in {\mathcal{E}}_n$, что $\underset{k=n}{\overset{\infty }{\cup }}{F}_k\subset E_i^n$. Тогда $diam\underset{k=n}{\overset{\infty }{\cup }}{F}_k\le diam{E}_i^n\le diam{\mathcal{E}}_n\to 0$, $n\to \infty$. Очевидно, $\underset{n\in J}{\cup }{F}_n\in \mathcal{D}$ для любого $J\subset \mathbb{N}$. Согласно определению 2 алгебра $\mathcal{A}$ является $\mathcal{ERD}$-устойчивой.

Покажем, что любая счетно-аддитивная мера $\mu :\mathcal{A}\to G$ будет $\mathcal{RD}$-монотонной. Пусть $2W\subset U$, где $W$ и $U$ — окрестности в $G$. Далее, пусть $E\in \mathcal{R}$, $\tilde{\mu }\left[\mathcal{R}\right]\left(E\right)\subset W$ и $E\supset D\in \mathcal{D}$. Представим $D=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{R}_n$, где ${\left\{R_n\right\}}_n$ — дизъюнктная последовательность в $\mathcal{R}$. В силу (R3) найдется $k$ такое, что $\mu \left(\underset{n=k+1}{\overset{\infty }{\cup }}{R}_n\right)\in W$. Имеем $\mu \left(D\right)=\mu \left(\underset{n=1}{\overset{k}{\cup }}{R}_n\right)+\mu \left(\underset{n=k+1}{\overset{\infty }{\cup }}{R}_n\right)\in 2W\subset U$. Итак, $\tilde{\mu }\left[\mathcal{D}\right]\left(E\right)\subset U$. Значит, каждая ${\mu }_n$ является $\mathcal{RD}$-монотонной. Применим теорему 1.

Замечание 1. Теорема 4 будет верна, если вместо счетно-аддитивных мер со значениями в $G$ рассматривать неотрицательные конечно-аддитивные меры. В этом случае доказательство остается прежним, за исключением доказательства $\mathcal{RD}$-монотонности ${\mu }_n$: она будет следовать из монотонности ${\mu }_n$ на $\mathcal{A}$.

3. Некоторые свойства мер на алгебре ${\Gamma }_{\nu }$

Всюду в дальнейшем предполагаем, что $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ является как минимум конечно-аддитивной мерой. Мы будем использовать такие ее очевидные свойства, как монотонность, конечная полуаддитивность (т. е. $\nu (E\cup F)\le \nu \left(E\right)+\nu \left(F\right)$ для любых $E\mathrm{,}F\in \mathcal{B}$), исчерпываемость на $\mathcal{B}$ и свойство (С).

Определим

${\Gamma }_{\nu }=\{E\in \mathcal{B}: \nu (\partial E)=0\}$                                              

где $\partial E$ — граница $E$, т. е. $\partial E=\overline{E}\backslash E^{\circ }$, где $\overline{E}$ — замыкание и $E^{\circ }$ — внутренность $E$.

Предложение 1. ${\Gamma }_{\nu }$ является подалгеброй $\mathcal{B}$, обладающей свойством (P): если $E_n\mathrm{,}{F}_n\in {\Gamma }_{\nu }$, ${\lim }_n\nu \left(F_n\right)=0$, $\underset{i=n}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_i\subset F_n$ при $n\in \mathbb{N}$, то $\underset{m=1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_{n_m}\in {\Gamma }_{\nu }$ для любой подпоследовательности ${\left\{E_{n_m}\right\}}_m$.

Если, кроме того, $X$ — нормальное пространство, то алгебра ${\Gamma }_{\nu }$ обладает также свойством (S): если $C\in \mathcal{C}$, $Q\in \tau$, $C\subset Q$, то существуют множества $Q_0\in \tau \cap {\Gamma }_{\nu }$ и $C_0\in \mathcal{C}\cap {\Gamma }_{\nu }$ такие, что $C\subset Q_0\subset C_0\subset Q$.

Отсюда, в частности, следует, что ${\Gamma }_{\nu }$ содержит базу топологии $\tau \left(X\right)$ ^[6].

Доказательство. Напомним, что для любых множеств $E$ и $F$ в $X$ выполняется $\partial E=\partial (X\backslash E)$ и $\partial (E\cup F)\subset \partial E\cup \partial F$. Теперь, используя монотонность и конечную полуаддитивность $\nu$, легко показать, что ${\Gamma }_{\nu }$ является алгеброй.

Положим $E=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_n$. Имеем $\overline{E}=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{\overline{E}}_i\cup (\underset{i=n+1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_i)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{\overline{E}}_i\cup {\overline{F}}_{n+1}$ и $E^{\circ }\supset \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{E}_i^{\circ }$. Поэтому $\partial E\subset (\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{\overline{E}}_i\cup {\overline{F}}_{n+1})\backslash \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{E}_i^{\circ }\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}\partial E_i{\overline{\cup F}}_{n+1}$. Тогда $\nu (\partial E)\le \nu \left({\overline{F}}_{n+1}\right)=\nu F_{n+1}\to 0$, $n\to \infty$. Значит, $\nu (\partial E)=0$ и $E\in {\Gamma }_{\nu }$. Доказанное применимо к любой подпоследовательности ${\left\{E_{n_m}\right\}}_m$. Свойство (P) доказано.

По лемме Урысона в нормальном пространстве существует непрерывная функция $f:X\to [0;1]$ такая, что $f\left(x\right)=0$ при $x\in C$ и $f\left(x\right)=1$ при $x\in X\backslash Q$. Очевидно, $\left\{f^{-1}\right(\alpha ):\alpha \in (0;1\left)\right\}$ — дизъюнктное семейство замкнутых множеств. Тогда множество таких $\alpha \in (0;1)$, для которых $\nu \left(f^{-1}\right(\alpha \left)\right)\ne 0$, не более чем счетное. Значит, существует ${\alpha }_0\in (0;1)$ такое, что $\nu \left(f^{-1}\right({\alpha }_0\left)\right)=0$.

Положим $Q_0=f^{-1}\left(\right[0;{\alpha }_0\left)\right)$ и $C_0={\overline{Q}}_0$. Ясно, что $Q_0\in \tau$, $C_0\in \mathcal{C}$, $C\subset Q_0\subset C_0\subset f^{-1}\left(\right[0;{\alpha }_0\left]\right)\subset Q$. Далее, $\partial C_0\subset \partial Q_0\subset f^{-1}\left({\alpha }_0\right)$. Теперь очевидно, что $Q_0\mathrm{,}{C}_0\in {\Gamma }_{\nu }$. Свойство (S) доказано.

Предложение 2. Пусть $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — счетно-аддитивная мера. Пусть ${\left\{E_n\right\}}_n$ — дизъюнктная последовательность в ${\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_n\in {\Gamma }_{\nu }$.

Тогда если $E_n\supset P_n\in {\Gamma }_{\nu }$, то $\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{P}_n\in {\Gamma }_{\nu }$.

Доказательство. Положим $F_i=\underset{n=i}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_n$, $i\in \mathbb{N}$. Имеем ${\Gamma }_{\nu }∍F_i\searrow \text{Ø}$. В силу (R3) ${\lim }_i\nu \left(F_i\right)=0$. Остается использовать свойство (P).

Предложение 3. Пусть $X$ — нормальное пространство и $\mu :\mathcal{B}\left(X\right)\to G$ — конечно-аддитивная регулярная мера. Тогда следующие условия эквивалентны:

$\left(\beta \right) \mu$ строго $\mathcal{B}$-непрерывна;

$\left(\gamma \right) \mu$ строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывна

Доказательство. $\left(\beta \right)\Rightarrow \left(\gamma \right)$ Пусть $V$ и $W$ — окрестности в $G$ и $2V\subset W$. Так как $\mu$ строго $\mathcal{B}$-непрерывна, то существует дизъюнктный набор $\{{B_i\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{B}$ с $\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{B}_i=X$ и $\tilde{\mu }\left[\mathcal{B}\right]\left(B_i\right)\subset V$, $i\in \overline{1;n}$. Найдем окрестность $U$ в $G$ такую, что $nU\subset V$. Из конечной аддитивности и регулярности $\mu$ сразу следует существование множеств $C_i\in \mathcal{C}$ и $Q_i\in \tau$ таких, что $C_i\subset B_i\subset Q_i$ и $\tilde{\mu }\left[\mathcal{B}\right](Q_i\backslash C_I)\subset U$, $i\in \overline{1;n}$. Далее, в силу свойства (S) найдутся такие $E_i\in {\Gamma }_{\nu }$, что $C_i\subset E_i\subset Q_i$, $i\in \overline{1;n}$. Положим $E_0=X\backslash \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{E}_i$. Очевидно, $E_i\in {\Gamma }_{\nu }$ при $i\in \overline{0;n}$, $\underset{i=0}{\overset{n}{\cup }}{E}_i=X$, $\widetilde{\mu [}{\Gamma }_{\nu }\left]\right(E_i)\subset \tilde{\mu }[\mathcal{B}\left]\right(E_i)\subset V+U\subset W$ при $i\in \overline{1;n}$ и $\tilde{\mu }\left[{\Gamma }_{\nu }\right]\left(E_0\right)\subset \tilde{\mu }\left[\mathcal{B}\right]\left(E_0\right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}\widetilde{\mu [}\mathcal{B}\left]\right(U_i\backslash C_i)\subset nU\subset W$. Без ограничения общности можно считать, что $E_i\cap E_j=\text{Ø}$ при $i\ne j$.

$\left(\gamma \right)\Rightarrow \left(\beta \right)$ Пусть $V$ и $W$ — окрестности в $G$ и $3V\subset W$. Существует дизъюнктный набор ${\left\{E_i\right\}}_{i=1}^m\subset {\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}{E}_i=X$ и $\widetilde{\mu [}{\Gamma }_{\nu }\left]\right(E_i)\subset V$, $i\in \overline{1;m}$.

Зафиксируем $i\in \overline{1;m}$. Пусть $\mathcal{B}∍B\subset E_i$. Так как $\mu$ регулярна, то существуют $C\in \mathcal{C}$ и $Q\in \tau$ такие, что $C\subset B\subset Q$ и $\tilde{\mu }\left[\mathcal{B}\right](Q\backslash C)\subset V$. В силу свойства (S) найдется $E\in {\Gamma }_{\nu }$ такое, что $C\subset E\subset Q$. Положим $F=E\cap E_i$. Очевидно, ${\Gamma }_{\nu }∍F\subset E_i$ и $C\subset F\subset Q$. Получаем $\mu \left(B\right)=\mu \left(C\right)+\mu (B\backslash C)=\mu \left(F\right)-\mu (F\backslash C)+\mu (B\backslash C)\in 3V\subset W$. Итак, $\tilde{\mu }\left[\mathcal{B}\right]\left(E_i\right)\subset W$, $i\in \overline{1;m}$.

Предложение доказано.

Теперь мы установим взаимосвязь между следующими условиями:

 (1) $\nu$ является диффузной;

 (2) $\nu$ строго $\mathcal{B}$-непрерывна;

 (3) $\nu$ строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывна;

 (4) существует такая система $\mathcal{E}\subset {\Gamma }_{\nu }$, что алгебра ${\Gamma }_{\nu }$ будет $\mathcal{E}{\Gamma }_{\nu }{\Gamma }_{\nu }$-устойчивой.

Теорема 5. Пусть $X$ — нормальное пространство и $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — конечно-аддитивная регулярная мера.

Тогда справедливы импликации $\left(1\right)\Leftarrow \left(2\right)\iff \left(3\right)\Rightarrow \left(4\right)$.

Доказательство. Импликация $\left(2\right)\Rightarrow \left(1\right)$ очевидна; $\left(2\right)\iff \left(3\right)$ следует из предложения 3, если $\mu =\nu$. Докажем, что $\left(3\right)\Rightarrow \left(4\right)$.

По условию (3) найдется набор ${\mathcal{E}}_n={\left\{E_i^n\right\}}_{i=1}^{k_n}\subset {\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup }}{E}_i^n=X$ и $\nu \left(E_i^n\right)<1/n$, $i\in \overline{1;k_n}$. Очевидно, $\mathcal{E}={\left\{{\mathcal{E}}_n\right\}}_n$ — система в ${\Gamma }_{\nu }$. Далее, пусть ${\left\{B_n\right\}}_n$ такая дизъюнктная последовательность в ${\Gamma }_{\nu }$, что для любого $n$ существует $E_i^n\in {\mathcal{E}}_n$ такое, что $B_k\subset E_i^n$ при всех $k\ge n$. По свойству (P) для любой подпоследовательности $\{{B_{n_m}\}}_m$ имеем $\underset{m=1}{\overset{\infty }{\cup }}{B}_{n_m}\in {\Gamma }_{\nu }$. Очевидно, алгебра ${\Gamma }_{\nu }$ является $\mathcal{E}{\Gamma }_{\nu }{\Gamma }_{\nu }$-устойчивой.

Теорема 6. Пусть $X$ — сепарабельное метрическое пространство и $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — счетно-аддитивная мера.

Тогда справедливы импликации $\left(1\right)\iff \left(2\right)\iff \left(3\right)\Rightarrow \left(4\right)$.

Если, кроме того, $X$ не имеет изолированных точек, то условия (1)–(4) эквивалентны.

Доказательство. Сначала заметим, что $\nu$ будет регулярной как борелевская мера на метрическом пространстве (например, см. [10, теорема 7.1.7]) и $X$ — нормальное пространство. Поэтому в силу теоремы 5 достаточно доказать, что $\left(1\right)\Rightarrow \left(2\right)$ и, для доказательства второго утверждения, $\left(4\right)\Rightarrow \left(1\right)$.

Импликация $\left(1\right)\Rightarrow \left(2\right)$ известна, для полноты изложения докажем ее. Пусть последовательность ${\left\{Q_n\right\}}_n$ — база топологии $\tau$. Зафиксируем $\epsilon >0$. Так как $\nu$ диффузная и регулярная, то для любой точки $x\in X$ найдется $Q_n∍x$ c $\nu \left(Q_n\right)<\epsilon$. Без ограничения общности можно считать, что $\nu \left(Q_n\right)<\epsilon$, $n\in \mathbb{N}$. Положим $E_1=Q_1$, $E_n=Q_n\backslash \underset{i=1}{\overset{n-1}{\cup }}{Q}_i$ для $n\in \overline{2;\infty }$. Очевидно, ${\left\{E_n\right\}}_n$ — дизъюнктная последовательность из $\mathcal{B}$. В силу счетной аддитивности $\nu$ существует такое $m$, что $\nu \left(\underset{n=m}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_n\right)<\epsilon$. Очевидно, условие (2) выполняется.

Пусть теперь $X$ не имеет изолированных точек. Докажем $\left(4\right)\Rightarrow \left(1\right)$. Зафиксируем $x\in X$. Так как ${\Gamma }_{\nu }$ содержит базу топологии $\tau$, то легко построить ${\left\{V_n\right\}}_n$ — базу окрестностей точки $x$ такую, что $V_n\in {\Gamma }_{\nu }$ и $V_n\supset V_{n+1}$, $n\in \mathbb{N}$. Поскольку точка $x$ не является изолированной, то без ограничения общности можно считать, что $V_n\backslash V_{n+1}\ne \text{Ø}$, $n\in \mathbb{N}$.

Пусть $\mathcal{E}$ — это та система, о которой говорится в условии (4), $\mathcal{E}={\left\{{\mathcal{E}}_n\right\}}_n$, где ${\mathcal{E}}_n={\left\{E_i^n\right\}}_{i=1}^{k_n}\subset {\Gamma }_{\nu }$ и $\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup }}{E}_i^n=X$. Если $x$ принадлежит границе одного из множеств $E_i^n$, то, очевидно, $\nu \left(\right\{x\left\}\right)=0$. Иначе для любого $n\in \mathbb{N}$ точка $x$ попадает во внутренность некоторого множества из набора ${\mathcal{E}}_n$. Тогда легко выделить подпоследовательность ${\left\{V_{m_n}\right\}}_n$ такую, что $V_{m_n}$ накрывается некоторым множеством из ${\mathcal{E}}_n$, $n\in \mathbb{N}$. Можно считать, что это сама последовательность ${\left\{V_n\right\}}_n$. Положим $B_n=V_n\backslash V_{n+1}$, $n\in \mathbb{N}$.

Итак, ${\left\{B_n\right\}}_n$ — дизъюнктная последовательность из ${\Gamma }_{\nu }$, такая что для любого $n$ существует $E_i^n\in {\mathcal{E}}_n$, для которого $\underset{k=n}{\overset{\infty }{\cup }}{B}_k\subset E_i^n$. Рассмотрим ее подпоследовательность ${\left\{B_{2n}\right\}}_n$. Из условия (4) и определения 2 следует, что существуют множество $D\in {\Gamma }_{\nu }$ и подпоследовательность ${\left\{B_{2n_k}\right\}}_k$ такие, что $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{B}_{2n_k}\subset D$ и $\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{B}_{2n+1}\subset X\backslash D$. Очевидно, $x\in \partial D$. Значит, $\nu \left(\right\{x\left\}\right)=0$. Теорема доказана.

Лемма 1. Пусть $X$ — нормальное пространство, $\{{{\mu }_t\}}_{t\in T}$ — семейство регулярных конечно-аддитивных мер, где ${\mu }_t:\mathcal{B}\left(X\right)\to G$. Тогда если семейство ${\left\{{\mu }_t\right\}}_{t\in T}$ равномерно строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывно, то для любой окрестности $W$ в $G$ существует дизъюнктный набор ${\left\{E_i\right\}}_{i=1}^k\subset {\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{E}_i=X$ и ${\tilde{\mu }}_t\left[\mathcal{B}\right]\left(E_i\right)\subset W$, $i\in \overline{1;k}$, $t\in T$; следовательно, $\{{{\mu }_t\}}_{t\in T}$ равномерно строго $\mathcal{B}$-непрерывно.

Доказательство. Пусть $V$ и $W$ — окрестности в $G$ и $3V\subset W$. Существует дизъюнктный набор ${\left\{E_i\right\}}_{i=1}^k\subset {\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{E}_i=X$ и ${\tilde{\mu }}_t\left[{\Gamma }_{\nu }\right]\left(E_i\right)\subset V$, $i\in \overline{1;k}$, $t\in T$. Зафиксируем $i\in \overline{1;k}$ и ${\mu }_t$. Пусть $\mathcal{B}∍B\subset E_i$. Повторим рассуждения из доказательства импликации $\left(\gamma \right)\Rightarrow \left(\beta \right)$ предложения 3, заменяя $\mu$ на ${\mu }_t$. Получим, что ${\tilde{\mu }}_t\left[\mathcal{B}\right]\left(E_i\right)\subset W$, $i\in \overline{1;k}$, $t\in T$.

Теорема 7. Пусть $X$ — нормальное пространство, ${\mu }_n:\mathcal{B}\left(X\right)\to G$ — регулярные конечно-аддитивные меры, каждая из которых строго $\mathcal{B}$-непрерывна, $n\in \mathbb{N}$. Пусть $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — регулярная строго $\mathcal{B}$-непрерывная конечно-аддитивная мера. Тогда если последовательность $\{{{\mu }_n\}}_n$ поточечно фундаментальна на ${\Gamma }_{\nu }$, то она равномерно строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывна и равномерно строго $\mathcal{B}$-непрерывна.

Доказательство. В силу предложения 3 каждая ${\mu }_n$ строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывна. Тогда по теореме 2 последовательность $\{{{\mu }_n\}}_n$ равномерно строго ${\Gamma }_{\nu }$-непрерывна и по лемме 1 равномерно строго $\mathcal{B}$-непрерывна.

Хотя в следующих трех предложениях не рассматривается свойство строгой непрерывности мер, они делают картину более полной.

Предложение 4. Пусть ${\mu }_n:{\Gamma }_{\nu }\to G$ — исчерпывающие конечно-аддитивные меры, $n\in \mathbb{N}$, где $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — счетно-аддитивная мера. Пусть последовательность $\{{{\mu }_n\}}_n$ поточечно фундаментальна на ${\Gamma }_{\nu }$. Далее, пусть ${\left\{E_k\right\}}_k$ — дизъюнктная последовательность в ${\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_k\in {\Gamma }_{\nu }$. Тогда для любой окрестности $W$ в $G$ существует $m\in \mathbb{N}$ такое, что для любых $l$ и $n$ из $\mathbb{N}$ выполняется

${\tilde{\mu }}_n\left[{\Gamma }_{\nu }\right]\left(\underset{k=m+1}{\overset{m+l}{\cup }}{E}_k\right)\subset W\mathrm{.}$ (3.1)

Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют окрестность $W$ в $G$, возрастающая последовательность $\{{k_m\}}_m\subset \mathbb{N}$, дизъюнктная последовательность ${\left\{P_m\right\}}_m\subset {\Gamma }_{\nu }$ и подпоследовательность ${\left\{{\mu }_{n_m}\right\}}_m$ с $P_m\subset \underset{k=k_m+1}{\overset{k_{m+1}}{\cup }}{E}_k$ и ${\mu }_{n_m}\left(P_m\right)\notin W$, $m\in \mathbb{N}$. Так как множества $\underset{k=k_m+1}{\overset{k_{m+1}}{\cup }}{E}_k$, $m\in \mathbb{N}$, и их объединение принадлежат ${\Gamma }_{\nu }$, то в силу предложения 3 имеем $\underset{k\in J}{\cup }{P}_k\in {\Gamma }_{\nu }$, где $J\subset \mathbb{N}$. Применим (R6), когда $\mathcal{A}$ — это $\sigma$-алгебра $\{\underset{k\in J}{\cup }{P}_k:J\subset \mathbb{N}$. Получим ${\lim }_m{\mu }_n\left(P_m\right)=0$ равномерно относительно $n\in \mathbb{N}$. Это противоречит тому, что ${\mu }_{n_m}\left(P_m\right)\notin W$, $m\in \mathbb{N}$. Предложение доказано.

Заметим, что если к условиям предложения 4 добавить поточечную сходимость последовательности $\{{{\mu }_n\}}_n$ на ${\Gamma }_{\nu }$ к некоторой функции $\mu$, то $\mu$ будет конечно-аддитивной мерой, удовлетворяющей соотношению (1).

Предложение 5. Пусть ${\mu }_n:{\Gamma }_{\nu }\to G$ — счетно-аддитивные меры^[7], $n\in \mathbb{N}$, где $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — счетно-аддитивная мера. Пусть последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно фундаментальна на ${\Gamma }_{\nu }$ (или поточечно сходится на ${\Gamma }_{\nu }$ к некоторой функции $\mu$). Далее, пусть $\{{F_k\}}_k\subset {\Gamma }_{\nu }$ и $F_k\searrow \text{Ø}$ при $k\to \infty$. Тогда ${\tilde{\mu }}_n\left[{\Gamma }_{\nu }\right]\left(F_k\right)\to 0$ при $k\to \infty$ равномерно относительно $n\in \mathbb{N}$ (соответственно, $\tilde{\mu }\left[{\Gamma }_{\nu }\right]\left(F_k\right)\to 0$ при $k\to \infty$ и $\mu$ будет счетно-аддитивной мерой).

Доказательство. Положим $E_k=F_k\backslash F_{k+1}$, $k\in \mathbb{N}$. Получим дизъюнктную последовательность $\{{E_k\}}_k\subset {\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_k=F_1\in {\Gamma }_{\nu }$. Легко доказать соотношение (1). Для этого повторим рассуждения из предложения 4 (заметим, что на $\sigma$-алгебре $\mathcal{A}$ каждая ${\mu }_n$ будет исчерпывающей согласно (R3)). Пусть найдено $m$, как в предложении 4. Пусть $n\in \mathbb{N}$ и ${\Gamma }_{\nu }∍E\subset F_{m+1}$. Так как ${\mu }_n$ непрерывна сверху на пустом множестве, то ${\lim }_k{\mu }_n(E\cap F_k)=0$. Поэтому существует $k_0\in \mathbb{N}$ такое, что ${\mu }_n(E\cap F_{k_0})\in W$. Получаем ${\mu }_n\left(E\right)={\mu }_n(E\cap (F_{m+1}\backslash F_{k_0}\left)\right)+{\mu }_n(E\cap F_{k_0})\in 2W$. Отсюда следует доказываемое утверждение. Что касается $\mu$, то она, очевидно, конечно-аддитивна и непрерывна сверху на пустом множестве и, значит, счетно-аддитивна в силу (R2).

Замечание 2. Из предложения 5 легко следует, что если $\{{{\mu }_n\}}_n$, $\nu$, $\mu$, как в условии, и ${\left\{E_k\right\}}_k$ — дизъюнктная последовательность в ${\Gamma }_{\nu }$ с $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{E}_k\in {\Gamma }_{\nu }$, то для ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ и $\mu$ выполняется соотношение (1).

Вернемся к ситуации, когда ${\mu }_n:\mathcal{B}\left(X\right)\to G$, $n\in \mathbb{N}$. Что будет, если последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ все-таки является равномерно исчерпывающей на ${\Gamma }_{\nu }$?

Далее мы установим связь между следующими условиями:

 (I) $\{{{\mu }_n\}}_n$ равномерно исчерпывающая на ${\Gamma }_{\nu }$;

 (II) $\{{{\mu }_n\}}_n$ равномерно регулярна, то есть для любых множества $E\in \mathcal{B}$ и окрестности $W$ в $G$ существует такое $C\in \mathcal{C}$, что $C\subset E$ и ${\tilde{\mu }}_n\left[\mathcal{B}\right](E\backslash C)\subset W$, $n\in \mathbb{N}$;

 (III) для любых множества $E\in \mathcal{B}$ и окрестности $W$ в $G$ существует такое $F\in {\Gamma }_{\nu }$, что ${\tilde{\mu }}_n\left[\mathcal{B}\right]\left(E\Delta F\right)\subset W$ для всех $n\in \mathbb{N}$;

 (IV) $\{{{\mu }_n\}}_n$ равномерно исчерпывающая на $\mathcal{B}$;

 (V) $\{{{\mu }_n\}}_n$ равномерно непрерывна сверху на пустом множестве на $\mathcal{B}$.

Предложение 6. Пусть $X$ — нормальное пространство, ${\mu }_n:\mathcal{B}\left(X\right)\to G$ — регулярные исчерпывающие конечно-аддитивные меры, $n\in \mathbb{N}$. Пусть $\nu :\mathcal{B}\left(X\right)\to [0;+\infty )$ — конечно-аддитивная мера.

 (i) Тогда справедливы импликации $III\Leftarrow II\Leftarrow IV\iff I$.

 (ii) Если последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно фундаментальна на ${\Gamma }_{\nu }$, то условия (I)–(IV) эквивалентны между собой и эквивалентны условию:

(VI) $\{{{\mu }_n\}}_n$ поточечно фундаментальна на $\mathcal{B}$.

 (iii) Если ${\mu }_n$ к тому же счетно-аддитивны, то в пунктах (i) и (ii) добавляется эквиваленция $IV\iff V$.

Доказательство.

(i) Импликация $I\Leftarrow IV$ очевидна.

Докажем $I\Rightarrow IV$. В силу (R7) для этого достаточно доказать сконденсированность последовательности ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ на ${\Gamma }_{\nu }$. Из регулярности всех ${\mu }_n$ следует, что для любых множества $E\in \mathcal{B}$, конечного набора $\{{{\mu }_n\}}_{n=1}^k$ и окрестности $W$ в $G$ существуют множества $C\in \mathcal{C}$ и $Q\in \tau$ такие, что $C\subset E\subset Q$ и ${\tilde{\mu }}_n\left[\mathcal{B}\right](Q\backslash C)\subset W$ для всех $n\in \overline{1;k}$. В силу свойства (S) (см. предложение 1) найдется $F\in {\Gamma }_{\nu }$ такое, что $C\subset F\subset Q$. Так как $E\Delta F\subset Q\backslash C$, то ${\tilde{\mu }}_n\left[\mathcal{B}\right]\left(E\Delta F\right)\subset W$ для всех $n\in \overline{1;k}$ и, значит, есть сконденсированность.

Импликация $\left(IV\right)\Rightarrow \left(II\right)$ известна, приведем доказательство. Предположим противное. Тогда существуют окрестность $W$ в $G$ и множество $E\in \mathcal{B}$ такие, что для любого $C\in \mathcal{C}$, где $C\subset E$, существует мера ${\mu }_n$, для которой ${\tilde{\mu }}_n\left[\mathcal{B}\right](E\backslash C)\cancel{\subset }2W$. Положим $C_1=\text{Ø}$ и рассмотрим множество $E\backslash C_1$. Найдутся ${\mu }_{n_1}$ и $B\in \mathcal{B}$ такие, что $B\subset E\backslash C_1$ и ${\mu }_{n_1}\left(B\right)\notin 2W$. Так как ${\mu }_{n_1}$ регулярна, то найдется $A_1\in \mathcal{C}$ такое, что $A_1\subset B$ и ${\mu }_{n_1}(B\backslash A_1)\in W$. Поскольку ${\mu }_{n_1}\left(B\right)={\mu }_{n_1}\left(A_1\right)+{\mu }_{n_1}(B\backslash A_1)$, то ${\mu }_{n_1}\left(A_1\right)\notin W$. Положим $C_2=C_1\cup A_1$. Очевидно, $\mathcal{C}∍C_2\subset E$. Рассмотрим $E\backslash C_2$ вместо $E\backslash C_1$ и т. д. Продолжив процесс до бесконечности, получим дизъюнктную последовательность $\{{A_k\}}_k\subset \mathcal{C}$ и последовательность ${\left\{{\mu }_{n_k}\right\}}_k$ такие, что ${\mu }_{n_k}\left(A_k\right)\notin W$, $k\in \mathbb{N}$, что противоречит условию (IV).

Импликация $\left(II\right)\Rightarrow \left(III\right)$ очевидна, если использовать свойство (S).

(ii) Пусть теперь последовательность ${\left\{{\mu }_n\right\}}_n$ поточечно фундаментальна на ${\Gamma }_{\nu }$. Тогда легко доказывается импликация $\left(III\right)\Rightarrow \left(VI\right)$. Действительно, для множества $E\in \mathcal{B}$ и окрестности нуля $W$ в $G$ найдем $F\in {\Gamma }_{\nu }$ согласно условию (III). Имеем ${\mu }_n\left(E\right)={\mu }_n(E\backslash F)+{\mu }_n\left(F\right)-{\mu }_n(F\backslash E)\in {\mu }_n\left(F\right)+2W$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Тогда ${\mu }_n\left(E\right)-{\mu }_k\left(E\right)\in {\mu }_n\left(F\right)-{\mu }_k\left(F\right)+4W$ для всех $n\mathrm{,}k\in \mathbb{N}$. Очевидно, из фундаментальности последовательности ${\left\{{\mu }_n\right(F\left)\right\}}_n$ следует фундаментальность ${\left\{{\mu }_n\right(E\left)\right\}}_n$.