PROPERTIES OF MEASURES ON ”STABLE” BOOLEAN ALGEBRAS


Cite item

Abstract

We study the properties of finitely additive measures with values in a topological abelian group and defined on a wide class of Boolean algebras, which covers algebras with SIP and algebras ???? ( if ν satisfies some conditions). We establish sufficient conditions for the sequences of such measures to be uniformly strongly continuous. Novelty in this theme is that we do not require uniform exhaustivity and, in some theorems, even exhaustivity for measures. Applications to weak convergence of measures are presented.

Full Text

Введение
Для конечно-аддитивных мер аналогом неатомичности выступает строгая непрерывность. Известен
ряд интересных результатов в различных направлениях для конечно-аддитивных мер, обладающих од-
новременно строгой непрерывностью и исчерпываемостью, см., например, [1–4]. Легко заметить, что
строго непрерывная конечно-аддитивная мера μ : A → G, где A — булева алгебра и G — топологи-
ческая абелева группа с квазинормой, является ограниченной. Если при этом G является, например,
банаховым пространством, не содержащим co, то μ необходимо будет исчерпывающей [5, гл. I, § 4, теоре-
ма 2]. Следующий пример показывает, что также существуют строго непрерывные конечно-аддитивные
меры без свойства исчерпываемости.
8
Свистула М.Г., Срибная Т.А. Свойства мер на ”устойчивых” булевых алгебрах
Svistula M.G., Sribnaya T.A. Properties of Measures on ”stable” Boolean algebras
Пример 1. Пусть A — σ-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств [0;+∞), λ — мера Лебега, An =
= [n−1; n), n ∈ N. Определим конечно-аддитивную меру μ : A → l∞, полагая μ(E) = {λ(E∩An)}n, E ∈ A.
Очевидно, {An}n — дизъюнктная последовательность в A с ||μ(An)|| = 1, n ∈ N. Значит, μ не является
исчерпывающей. Вместе с тем μ строго непрерывна. Действительно, разобьем An на k дизъюнктных
промежутков {Ani}ki
=1 длины 1/k, n ∈ N. Положим Ei =
∞∪
n=1
Ani, i ∈ 1; k. Очевидно,
k∪
i=1
Ei = [0;+∞) и
~μ[A](Ei) = 1/k, i ∈ 1; k.
В данной статье нас прежде всего интересуют условия, при которых последовательность конечно-
аддитивных мер будет равномерно строго непрерывной. При этом, в отличие от работы [2], мы стремим-
ся отказаться от требования равномерной исчерпываемости последовательности мер и даже от исчерпы-
ваемости самих мер (см. раздел 2), что оправдано примерами 1 и 2. Вместе с тем пришлось наложить
дополнительные условия на алгебры, выступающие в качестве областей определения мер. Это привело
нас к понятию ERD-устойчивых алгебр (см. определение 2). ”Устойчивые” алгебры представляют собой
широкий класс, который содержит, например, алгебры с SIP1 и алгебры ???? (при определенных услови-
ях на ν). Рассмотрение ”устойчивых” алгебр оказалось продуктивным не только в связи с равномерной
строгой непрерывностью мер, но и в связи с равномерной ограниченностью мер (см. раздел 6).
1. Основные определения и предварительные сведения
Далее всюду A — булева алгебра с единицей e и нулем o. Семейство элементов {at}t∈T ⊂ A называем
дизъюнктным, если ai ∧ aj = o при i ̸= j.
Определение 1. Последовательность E = {En}n, где En = {eni
}kn
i=1
⊂ A и
k∨n
i=1
eni
= e, будем называть
системой в A.
Определение 2. Пусть E — некоторая система в A, пусть R и D — некоторые классы элементов
A. Алгебру A назовем ERD-устойчивой при выполнении следующего условия: если {bn}n такая дизъ-
юнктная последовательность в R, что если для любого n существует eni
∈ En такое что bk 6 eni
при
всех k > n, то для любого бесконечного множества M ⊂ N существуют элемент d ∈ D и бесконечное
множество P ⊂ M, для которых bk 6 d при всех k ∈ P и bk ∧ d = o для всех k ∈ N \ P.
Алгебру A, обладающую SIP [6], можно рассматривать как ERD-устойчивую, где R = D = A и
En = {e} для всех n ∈ N.
Далее будем рассматривать функции, определенные на A, со значениями в топологической абелевой
группе G; буквами V , U, W обозначаем симметричные окрестности нуля в G; полагаем nU = |U + .{.z. + U}
n
.
Функцию μ : A → G называем:
– конечно-аддитивной мерой, если μ(a ∨ b) = μ(a)+μ(b) для любой пары дизъюнктных элементов a
и b из A;
– счетно-аддитивной мерой, если μ(
∞∨
n=1
an) =
∞Σ
n=1
μ(an) для любой дизьюнктной последовательности
{an}n из A с
∞∨
n=1
an ∈ A.
Всюду в дальнейшем считаем все рассматриваемые функции из A в G как минимум конечно-адди-
тивными мерами.
Определение 3. Пусть μ : A → G и F — некоторый класс элементов A, содержащий o. Для элемента
a ∈ A полагаем
~μ[F](a) = {μ(b) : a > b ∈ F}.
Если G — таг с квазинормой | · |, то полагаем
~μ[F](a) = sup{|μ(b)| : a > b ∈ F}.
Под квазинормой понимаем функционал | · | : G → [0;+∞), где |OG| = 0, |−x| = |x| и |x+y| 6 |x|+|y|
для любых x, y ∈ G.
Определение 4. Пусть R и D — некоторые классы элементов A, причем o ∋ R ⊂ D ⊂ A. Функцию
μ : A → G назовем RD-монотонной, если для любой окрестности U существует такая окрестность
W ⊂ U, что если r ∈ R и ~μ[R](r) ⊂ W, то ~μ[D](r) ⊂ U.
Ясно, что это свойство выполняется, если R = D или, например, если μ неотрицательная и моно-
тонная на D.
1Subsequential Interpolation Property
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 7–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 7–22 9
Определение 5. Пусть R — некоторый класс элементов A, содержащий o. Семейство {μt}t∈T , μt :
A → G называем равномерно строго R-непрерывным на элементе r ∈ R, если для любой окрестности U
существует дизъюнктный набор {ri}ni
=1
⊂ R с
n∨
i=1
ri = r и ~μt[R](ri) ⊂ U для всех i ∈ 1; n и t ∈ T.
Если приведенное условие выполняется для любого элемента r ∈ R2, то семейство {μt}t∈T называем
равномерно строго R-непрерывным. Если речь идет об одной функции, то в определениях опускаем
слово ”равномерно”. Заметим, что выражение ”μ строго A-непрерывна” означает то же, что и часто
используемое в литературе ”μ строго непрерывна”3.
Очевидно, что если G — хаусдорфова таг и μ : A → G строго A-непрерывна, то μ неатомическая (т. е.
для любого a ∈ A с μ(a) ̸= 0 существует элемент b ∈ A такой что b 6 a и 0 ̸= μ(b) ̸= μ(a)). Если же A —
σ-алгебра и μ — счетно-аддитивная мера со свойством (С) (т. е. любое дизъюнктное семейство элементов
ненулевой меры не более чем счетно, например, когда G — линейное нормированное пространство), то
верно и обратное утверждение [7, предложение 2].
Всюду в дальнейшем X — хаусдорфово топологическое пространство, τ (X) и C(X) — классы его
открытых и замкнутых подмножеств, B(X) — борелевская σ-алгебра X (можем опускать обозначение
пространства, если это не вызывает недоразумений). Напомним, что μ : B → G называется регулярной,
если для любого множества E ∈ B и любой окрестности U в G существует такое C ∈ C, что C ⊂ E
и ~μ[B](E \ C) ⊂ U. Если C можно выбрать компактным, то μ называют радоновой. Говорят, что μ
диффузная, если μ({x}) = 0 для всех x ∈ X. Нетрудно показать, что для счетно-аддитивной меры
μ : B → G, регулярной, если X со счетной базой, или радоновой в общем случае, условия диффузности,
неатомичности и строгой B-непрерывности эквивалентны (при условии, что таг G хаусдорфова).
Говорим, что последовательность {μn}n, μn : D → G, поточечно фундаментальна (поточечно схо-
дится) на классе D, если для любого элемента a ∈ D последовательность {μn(a)}n фундаментальна
(соответственно, сходится) в G.
Семейство {μt}t∈T , μt : A → G называют равномерно исчерпывающим (равномерно непрерывным
сверху в нуле) на A, если для любой дизъюнктной последовательности {an}n ⊂ A (для любой {an}n ⊂ A
с an ↘ o) имеем: для любой окрестности U найдется k такое, что μt(an) ∈ U для всех n > k и t ∈ T.
В случае одной функции в этих определениях опускаем слово ”равномерно”.
Далее ограниченные множества будем рассматривать только в таг с квазинормой и понимать под
ограниченностью ограниченность по квазинорме.
Семейство {μt}t∈T , μt : A → G, называем поточечно ограниченным на A, если для любого a ∈ A
множество {μt(a) : t ∈ T} ограничено; называем равномерно ограниченным на A, если множество {μt(a) :
a ∈ A, t ∈ T} ограничено.
Приведем некоторые известные факты4 (напомним, что всюду как минимум μ : A → G — конечно-
аддитивная мера, A — булева алгебра, G — таг и, если речь идет об ограниченности, то с квазинормой).
(R1) Если μ : A → G исчерпывающая, то она ограниченная. Для μ : A → R верно и обратное
утверждение.
(R2) Непрерывная сверху в нуле μ : A → G счетно-аддитивна.
(R3) Если μ : A → G — счетно-аддитивная мера, то она непрерывна сверху в нуле, если при этом
A — σ-алгебра, то μ будет также исчерпывающей.
(R4) Пусть μt : A → G исчерпывающие и A — σ-алгебра; тогда если семейство {μt}t∈T поточечно
ограничено, то оно равномерно ограничено.
(R5) Пусть семейство {μt}t∈T , μt : A → G, равномерно исчерпывающее. Тогда для любых дизъюнкт-
ной последовательности {an}n ⊂ A и окрестности U существует такое n0, что для любого k имеем
~μt[A](
n0∨+k
n=n0
an) ⊂ U сразу для всех t ∈ T. Если к тому же μt непрерывны сверху в нуле, то для лю-
бой последовательности {an}n ⊂ A с an ↘ o имеем ~μt[A](an) → 0 при n → ∞ равномерно относительно
t ∈ T.
(R6) Пусть μn : A → G исчерпывающие и A — σ-алгебра; тогда если последовательность {μn}n
поточечно фундаментальна, то она равномерно исчерпывающая. Если к тому же μn непрерывны сверху
в нуле, то (в силу (R5)) последовательность {μn}n равномерно непрерывна сверху в нуле.
2Если R — алгебра, то для этого, очевидно, достаточно выполнения приведенного условия на элементе e.
3В [2] такую функцию также называли обладающей свойством Сакса.
4(R2) и (R3) очевидны, доказательства (R1), (R4) и (R6) можно найти, например, в [8, гл. 1, § 8; гл. 2, § 5, теорема 1],
(R5) и (R7) см. в [9, гл. 4, теоремы 3.1 и 2.2]. Поскольку топология в таг порождается семейством квазинорм, результаты,
приведенные в этих работах для таг с квазинормой, легко перенести на случай произвольной таг (см. [8, гл. 2, §6]); на
булеву алгебру с алгебры множеств эти результаты также легко перенести либо фактически повторяя доказательства,
либо используя теорему Стоуна о реализации булевой алгебры. Существует много обобщений приведенных результатов,
здесь даны только необходимые нам для ссылок.
10
Свистула М.Г., Срибная Т.А. Свойства мер на ”устойчивых” булевых алгебрах
Svistula M.G., Sribnaya T.A. Properties of Measures on ”stable” Boolean algebras
(R7) Пусть семейство {μt}t∈T , μt : A → G, сконденсировано на алгебре R ⊂ A (то есть для любых
элемента a ∈ A, окрестности U и набора {μti
}ni
=1 существует элемент r ∈ R такой, что ~μti [A](a △
r) ⊂ U для всех i ∈ 1; n). Тогда из равномерной исчерпываемости семейства {μt}t∈T на R следует его
равномерная исчерпываемость на A.
2. Основные результаты о равномерной строгой
непрерывности мер
Теорема 1. Пусть μn : A → G — конечно-аддитивные меры, n ∈ N. Пусть алгебра A является
ERD-устойчивой и выполняются следующие условия: (а) R — некоторая подалгебра A и R ⊂ D ⊂ A;
(б) если r ∈ R и d ∈ D, то r ∧ d ∈ D5; (в) E — некоторая система в R. Далее, пусть каждая μn строго
R-непрерывна и RD-монотонна.
Тогда если последовательность {μn}n поточечно фундаментальна на D, то она равномерно строго
R-непрерывна.
Доказательство. Зафиксируем некоторую окрестность U в G. Положим V = 5U. В процессе дока-
зательства будем использовать следующее рабочее определение: элемент r ∈ R обладает свойством (∗),
если для любого дизъюнктного набора {ri}ni
=1
⊂ R с
n∨
i=1
ri = r найдутся такие μn и ri, что ~μn[R](ri) ̸⊂ V .
Легко заметить, что если r ∈ R обладает свойством (∗), то в любом наборе {pi}ki
=1
⊂ R с
k∨
i=1
pi = r
найдется элемент pi, тоже обладающий этим свойством.
Предположим, что элемент e обладает свойством (∗). Тогда некоторый элемент семейства
{e1i
∧ e2j
, i ∈ 1; k1, j ∈ 1; k2} тоже обладает этим свойством. Обозначим его a1. Заметим, что a1 ∈ R,
и в каждом из наборов E1 и E2 найдутся элементы, мажорирующие a1.
Поскольку a1 обладает свойством (∗), то существуют функция μn1 и элемент c ∈ R такие, что c 6 a1
и μn1 (c) /∈
4U. Положим ν1 = μn1 .
▽ Так как функция ν1 является RD-монотонной, то найдется такая окрестность W ⊂ U, что если
b ∈ R и ~ν1[R](b) ⊂ W, то ~ν1[D](b) ⊂ U.
Поскольку функция ν1 строго R-непрерывна, то существует дизъюнктный набор
{r1, . . . , rk, rk+1, . . . , rn} ⊂ R такой, что
k∨
i=1
ri = c,
n∨
i=k+1
ri = a1 \ c и ~ν1[R](ri) ⊂ W для всех
i ∈ 1; n.
Так как a1 обладает свойством (∗), то в указанном наборе найдется элемент rl, тоже обладающий
этим свойством. Обозначим его q. Очевидно, ~ν1[D](q) ⊂ U. Если оказалось, что q 6 c, то полагаем b1 =
= c \ q; если же q 6 a1 \ c, то полагаем b1 = c. В любом случае ν1(b1) /∈
3U и q обладает свойством (∗).
Очевидно, среди элементов семейства {q ∧e3i
∧e4j
, i ∈ 1; k3, j ∈ 1; k4} найдется элемент, обладающий
свойством (∗). Обозначим его a2. △
Итак, имеем следующее:
a1, a2, b1 ∈ R, a1 > a2, b1 6 a1 \a2, элемент a1 мажорируется некоторым элементом из E1 и некоторым
элементом из E2, элемент a2 мажорируется некоторым элементом из E3 и некоторым элементом из E4;
ν1 = μn1 , ν1(b1) /∈
3U, ~ν1[D](a2) ⊂ U;
элемент a2 обладает свойством (∗).
Рассмотрим a2 вместо a1 и т. д. Допустим, что на m-м шаге получили элементы
a1, . . . , am, am+1, b1, . . . , bm ∈ R и функции ν1 = μn1 , νi = μni
− μn′
i , где i ∈ 2;m, n1 < n′
2 < n2 <
< . . . < n′
m < nm такие, что:
– для всех i ∈ 1;m справедливы неравенства
(C1) ai > ai+1, bi 6 ai \ ai+1;
– для всех i ∈ 1;m + 1
(C2) ai мажорируется некоторым элементом из E2i−1 и некоторым элементом из E2i;
– для всех i ∈ 2;m выполняется
(C3) νi(

j∈J bj) ∈ U, где J ⊂ 1; i − 1;
– для всех i ∈ 1;m выполняется
(C4) νi(bi) /∈
3U;
– для всех i ∈ 1;m справедливо включение
(C5) ~νi[D](ai+1) ⊂ U;
(C6) элемент am+1 обладает свойством (∗).
5Отсюда будет следовать, что если r 2 R и d 2 D, то d n r 2 D.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 7–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 7–22 11
Сделаем (m+1)-й шаг. В силу поточечной фундаментальности последовательности {μn}n на D (тем
более на R), существует такой номер n′
m+1 > nm, что если p > n′
m+1 и J ⊂ 1;m, то
(μp − μn′
m+1
)(

j∈J
bj) ∈ U.
Теперь докажем, что найдутся номер nm+1 > n′
m+1 и элемент c ∈ R такие, что c 6 am+1 и
(μnm+1
− μn′
m+1
)(c) /∈
4U.
Из определения 5 очевидно, что конечное семейство строго R-непрерывных функций будет равно-
мерно строго R-непрерывным. Значит, существует дизъюнктный набор {r1, . . . , rk} ⊂ R с
k∨
i=1
ri = am+1
и ~μj [R](ri) ⊂ U для всех i ∈ 1; k и j ∈ 1; nm+1. Предположим, что не существует искомых номера nm+1
и элемента c. Тогда если p > n′
m+1, a ∈ R и a 6 ri, где i ∈ 1; k, то
μp(a) = (μp − μn′
m+1
)(a) + μn′
m+1
(a) ∈ 4U + U = V.
Получили противоречие тому, что элемент am+1 обладает свойством (∗).
Положим νm+1 = μnm+1
− μn′
m+1
. Итак, νm+1(c) /∈
4U.
Теперь дословно повторим текст, окруженный знаками ▽ и △, заменяя соответственно a1, ν1, b1,
e3i
, e4j
, k3, k4, a2 на am+1, νm+1, bm+1, e2m+1
i , e2m+2
j , k2m+1, k2m+2, am+2.
Продолжив процесс до бесконечности, получим убывающую последовательность {ai}i и дизъюнкт-
ную последовательность {bi}i в R, а также последовательность функций {νi}i такие, что выполняются
условия (C1)–(C5) и ν1 = μn1 , νi = μni
− μn′
i , где i ∈ 2;∞ и n1 < n′
2 < n2 < . . . < n′
i < ni < . . ..
▽▽ Положим hi = (ai \ ai+1) \ bi, i ∈ 1;∞. Рассмотрим дизъюнктную последовательность
(b1, h1, . . . , bi, hi, . . .) в R. Все ее элементы, начиная с n-го по счету, мажорируются некоторым элементом
из En.
По определению 2 найдутся элемент d ∈ D и подпоследовательность {bip
}∞
p=1 такие, что bip 6 d для
всех p ∈ N, d ∧ bj = o для j ∈ N и j ̸= ip, d ∧ hi = o для всех i ∈ N.
Положим z = d ∧ a1. Очевидно, z ∈ D, z 6 a1 и z обладает всеми указанными выше свойствами
элемента d.
Положим xk =
k∨−1
p=1
bip , yk = z\(
k∨
p=1
bip ), k ∈ 2;∞. Заметим, что xk ∈ A и yk ∈ D. Имеем z = xk∨bik
∨yk.
Тогда
νik (z) = νik (xk) + νik (bik ) + νik (yk). (2.1)
Далее, yk 6 a1 и yk дизъюнктен со всеми b1, h1, . . ., bik , hik . Тогда yk 6 aik+1. В силу условия (C5)
получаем νik (yk) ∈ U. △△
В силу условия (C3) имеем νik (xk) ∈ U. Теперь, используя условие (C4) и равенство (2.1), получаем
νik (z) /∈
U для всех k ∈ 2;∞, что противоречит поточечной фундаментальности последовательности
{μn}n на D.
Значит, элемент e не обладает свойством (∗). В силу произвольности окрестности U последователь-
ность {μn}n равномерно строго R-непрерывна на элементе e. Теорема доказана.
Полагая R = D = A и En = {e}, n ∈ N, из теоремы 1 сразу получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть μn : A → G — конечно-аддитивные меры, каждая из которых строго
A-непрерывна, n ∈ N. Пусть алгебра A обладает SIP (например, σ-алгебра). Тогда если последователь-
ность {μn}n поточечно фундаментальна на A, то она равномерно строго A-непрерывна. Если к тому
же {μn}n поточечно сходится на A к функции μ, то μ будет конечно-аддитивной строго A-непрерывной
мерой.
Рассматриваемая далее алгебра множеств ???? изучается подробно в разделе 3.
Теорема 3. Пусть μn : ???? → G — конечно-аддитивные меры, каждая из которых строго
????-непрерывна, n ∈ N. Здесь ν : B(X) → [0;+∞) — регулярная строго B-непрерывная конечно-аддитив-
ная мера, X — нормальное пространство (например, ν — мера Лебега на прямоугольнике X = [0; 1]k,
k ∈ N, и ???? — алгебра борелевских измеримых по Жордану подмножеств X). Тогда если последова-
тельность {μn}n поточечно фундаментальна на ????, то она равномерно строго ????-непрерывна. Если к
тому же {μn}n поточечно сходится на ???? к μ, то μ будет конечно-аддитивной строго ????-непрерывной
мерой.
Доказательство. По теореме 5 алгебра ???? удовлетворяет условию (4) из раздела 3. Остается при-
менить теорему 1.
Для конечного набора H = {Ei}ni
=1 подмножеств некоторого метрического пространства через diamH
обозначим наименьший из диаметров множеств Ei (диаметр пустого множества считаем равным 0).
12
Свистула М.Г., Срибная Т.А. Свойства мер на ”устойчивых” булевых алгебрах
Svistula M.G., Sribnaya T.A. Properties of Measures on ”stable” Boolean algebras
Теорема 4. Пусть X — метрическое пространство, R и A — некоторые алгебры его подмножеств,
R ⊂ A; пусть R содержит некоторую систему E = {En}n с diamEn → 0 при n → ∞ (например, как в
теореме 9, X = [0; 1]k с евклидовой метрикой, k ∈ N, A = B(X), R — алгебра конечных объединений
прямоугольников из B). Пусть μn : A → G — счетно-аддитивные меры, каждая из которых строго
R-непрерывна, n ∈ N. Далее, пусть последовательность {μn}n поточечно фундаментальна на классе D,
где
D = {
∞∪
n=1
En : En ∈ R, diam
∞∪
i=n
Ei → 0, n → ∞}.
Тогда последовательность {μn}n равномерно строго R-непрерывна.
Доказательство. Очевидно, условие (б) теоремы 1 выполнено.
Пусть E = {En}n — система в R, о которой говорится в условии теоремы 4, и En = {En
i
}kn
i=1. Далее,
пусть {Fn}n ⊂ R и для любого n существует такое En
i
∈ En, что
∞∪
k=n
Fk ⊂ En
i . Тогда diam
∞∪
k=n
Fk 6
6 diamEn
i 6 diamEn → 0, n → ∞. Очевидно,

n∈J
Fn ∈ D для любого J ⊂ N. Согласно определению 2
алгебра A является ERD-устойчивой.
Покажем, что любая счетно-аддитивная мера μ : A → G будет RD-монотонной. Пусть 2W ⊂ U, где
W и U — окрестности в G. Далее, пусть E ∈ R, ~μ[R](E) ⊂ W и E ⊃ D ∈ D. Представим D =
∞∪
n=1
Rn, где
{Rn}n — дизъюнктная последовательность в R. В силу (R3) найдется k такое, что μ(
∞∪
n=k+1
Rn) ∈ W.
Имеем μ(D) = μ(
k∪
n=1
Rn) + μ(
∞∪
n=k+1
Rn) ∈ 2W ⊂ U. Итак, ~μ[D](E) ⊂ U. Значит, каждая μn является
RD-монотонной. Применим теорему 1.
Замечание 1. Теорема 4 будет верна, если вместо счетно-аддитивных мер со значениями в G
рассматривать неотрицательные конечно-аддитивные меры. В этом случае доказательство остается
прежним, за исключением доказательства RD-монотонности μn: она будет следовать из монотонно-
сти μn на A.
3. Некоторые свойства мер на алгебре ????ν
Всюду в дальнейшем предполагаем, что ν : B(X) → [0;+∞) является как минимум конечно-аддитив-
ной мерой. Мы будем использовать такие ее очевидные свойства, как монотонность, конечная полуад-
дитивность (т. е. ν(E ∪ F) 6 ν(E) + ν(F) для любых E, F ∈ B), исчерпываемость на B и свойство (С).
Определим
???? = {E ∈ B : ν(∂E) = 0},
где ∂E — граница E, т. е. ∂E = E \ E◦, где E — замыкание и E◦ — внутренность E.
Предложение 1. ???? является подалгеброй B, обладающей свойством (P): если En, Fn ∈ ????,
limn ν(Fn) = 0,
∞∪
i=n
Ei ⊂ Fn при n ∈ N, то
∞∪
m=1
Enm
∈ ???? для любой подпоследовательности {Enm
}m.
Если, кроме того, X — нормальное пространство, то алгебра ???? обладает также свойством (S): если
C ∈ C, Q ∈ τ , C ⊂ Q, то существуют множества Q0 ∈ τ ∩ ???? и C0 ∈ C ∩ ???? такие, что C ⊂ Q0 ⊂ C0 ⊂ Q.
Отсюда, в частности, следует, что ???? содержит базу топологии τ (X)6.
Доказательство. Напомним, что для любых множеств E и F в X выполняется ∂E = ∂(X \ E) и
∂(E ∪ F) ⊂ ∂E ∪ ∂F. Теперь, используя монотонность и конечную полуаддитивность ν, легко показать,
что ???? является алгеброй.
Положим E =
∞∪
n=1
En. Имеем E =
n∪
i=1
Ei

(
∞∪
i=n+1
Ei) ⊂
n∪
i=1
Ei

Fn+1 и E◦ ⊃
n∪
i=1
E◦
i . Поэтому
∂E ⊂ (
n∪
i=1
Ei

Fn+1) \
n∪
i=1
E◦
i

n∪
i=1
∂Ei

Fn+1. Тогда ν(∂E) 6 ν(Fn+1) = ν(Fn+1) → 0, n → ∞. Значит,
ν(∂E) = 0 и E ∈ ????. Доказанное применимо к любой подпоследовательности {Enm
}m. Свойство (P)
доказано.
По лемме Урысона в нормальном пространстве существует непрерывная функция f : X → [0; 1]
такая, что f(x) = 0 при x ∈ C и f(x) = 1 при x ∈ X \Q. Очевидно, {f−1(α) : α ∈ (0; 1)} — дизъюнктное
семейство замкнутых множеств. Тогда множество таких α ∈ (0; 1), для которых ν(f−1(α)) ̸= 0, не более
чем счетное. Значит, существует α0 ∈ (0; 1) такое, что ν(f−1(α0)) = 0.
6Доказательство этого утверждения в случае счетно-аддитивной меры и вполне регулярного пространства содержится,
например, в [10, предложение 8.2.7]
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 7–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 7–22 13
Положим Q0 = f−1([0; α0)) и C0 = Q0. Ясно, что Q0 ∈ τ , C0 ∈ C, C ⊂ Q0 ⊂ C0 ⊂ f−1([0; α0]) ⊂ Q.
Далее, ∂C0 ⊂ ∂Q0 ⊂ f−1(α0). Теперь очевидно, что Q0,C0 ∈ ????. Свойство (S) доказано.
Предложение 2. Пусть ν : B(X) → [0;+∞) — счетно-аддитивная мера. Пусть {En}n — дизъюнктная
последовательность в ???? с
∞∪
n=1
En ∈ ????.
Тогда если En ⊃ Pn ∈ ????, то
∞∪
n=1
Pn ∈ ????.
Доказательство. Положим Fi =
∞∪
n=i
En, i ∈ N. Имеем ???? ∋ Fi ↘ . В силу (R3) limi ν(Fi) = 0.
Остается использовать свойство (P).
Предложение 3. Пусть X — нормальное пространство и μ : B(X) → G — конечно-аддитивная
регулярная мера. Тогда следующие условия эквивалентны:
(β) μ строго B-непрерывна;
(γ) μ строго ????-непрерывна
Доказательство. (β) =⇒ (γ) Пусть V и W — окрестности в G и 2V ⊂ W. Так как μ строго
B-непрерывна, то существует дизъюнктный набор {Bi}ni
=1
⊂ B с
n∪
i=1
Bi = X и ~μ[B](Bi) ⊂ V , i ∈ 1; n.
Найдем окрестность U в G такую, что nU ⊂ V . Из конечной аддитивности и регулярности μ сразу
следует существование множеств Ci ∈ C и Qi ∈ τ таких, что Ci ⊂ Bi ⊂ Qi и ~μ[B](Qi \ CI ) ⊂ U,
i ∈ 1; n. Далее, в силу свойства (S) найдутся такие Ei ∈ ????, что Ci ⊂ Ei ⊂ Qi, i ∈ 1; n. Положим
E0 = X \
n∪
i=1
Ei. Очевидно, Ei ∈ ???? при i ∈ 0; n,
n∪
i=0
Ei = X, ~μ[????](Ei) ⊂ ~μ[B](Ei) ⊂ V + U ⊂ W при
i ∈ 1; n и ~μ[????](E0) ⊂ ~μ[B](E0) ⊂
n∪
i=1
~μ[B](Ui \ Ci) ⊂ nU ⊂ W. Без ограничения общности можно считать,
что Ei ∩ Ej = при i ̸= j.
(γ) =⇒ (β) Пусть V и W — окрестности в G и 3V ⊂ W. Существует дизъюнктный набор {Ei}m
i=1
⊂ ????
с
m∪
i=1
Ei = X и ~μ[????](Ei) ⊂ V , i ∈ 1;m.
Зафиксируем i ∈ 1;m. Пусть B ∋ B ⊂ Ei. Так как μ регулярна, то существуют C ∈ C и Q ∈ τ такие,
что C ⊂ B ⊂ Q и ~μ[B](Q\C) ⊂ V . В силу свойства (S) найдется E ∈ ???? такое, что C ⊂ E ⊂ Q. Положим
F = E ∩ Ei. Очевидно, ???? ∋ F ⊂ Ei и C ⊂ F ⊂ Q. Получаем μ(B) = μ(C)+μ(B \ C) = μ(F)−μ(F \ C)+
+ μ(B \ C) ∈ 3V ⊂ W. Итак, ~μ[B](Ei) ⊂ W, i ∈ 1;m.
Предложение доказано.
Теперь мы установим взаимосвязь между следующими условиями:
(1) ν является диффузной;
(2) ν строго B-непрерывна;
(3) ν строго ????-непрерывна;
(4) существует такая система E ⊂ ????, что алгебра ???? будет E????????-устойчивой.
Теорема 5. Пусть X — нормальное пространство и ν : B(X) → [0;+∞) — конечно-аддитивная
регулярная мера.
Тогда справедливы импликации (1) ⇐= (2) ⇐⇒ (3) =⇒ (4).
Доказательство. Импликация (2) =⇒ (1) очевидна; (2) ⇐⇒ (3) следует из предложения 3, если
μ = ν. Докажем, что (3) =⇒ (4).
По условию (3) найдется набор En = {En
i
}kn
i=1
⊂ ???? с
k∪n
i=1
En
i = X и ν(En
i ) < 1/n, i ∈ 1; kn. Очевид-
но, E = {En}n — система в ????. Далее, пусть {Bn}n такая дизъюнктная последовательность в ????, что
для любого n существует En
i
∈ En такое, что Bk ⊂ En
i при всех k > n. По свойству (P) для любой
подпоследовательности {Bnm
}m имеем
∞∪
m=1
Bnm
∈ ????. Очевидно, алгебра ???? является E????????-устойчивой.
Теорема 6. Пусть X — сепарабельное метрическое пространство и ν : B(X) → [0;+∞) — счетно-
аддитивная мера.
Тогда справедливы импликации (1) ⇐⇒ (2) ⇐⇒ (3) =⇒ (4).
Если, кроме того, X не имеет изолированных точек, то условия (1)–(4) эквивалентны.
Доказательство. Сначала заметим, что ν будет регулярной как борелевская мера на метрическом
пространстве (например, см. [10, теорема 7.1.7]) и X — нормальное пространство. Поэтому в силу тео-
ремы 5 достаточно доказать, что (1) =⇒ (2) и, для доказательства второго утверждения, (4) =⇒ (1).
Импликация (1) =⇒ (2) известна, для полноты изложения докажем ее. Пусть последовательность
{Qn}n — база топологии τ . Зафиксируем ε > 0. Так как ν диффузная и регулярная, то для любой точки
x ∈ X найдется Qn ∋ x c ν(Qn) < ε. Без ограничения общности можно считать, что ν(Qn) < ε, n ∈ N.
14
Свистула М.Г., Срибная Т.А. Свойства мер на ”устойчивых” булевых алгебрах
Svistula M.G., Sribnaya T.A. Properties of Measures on ”stable” Boolean algebras
Положим E1 = Q1, En = Qn \
n∪−1
i=1
Qi для n ∈ 2;∞. Очевидно, {En}n — дизъюнктная последовательность
из B. В силу счетной аддитивности ν существует такое m, что ν(
∞∪
n=m
En) < ε. Очевидно, условие (2)
выполняется.
Пусть теперь X не имеет изолированных точек. Докажем (4) =⇒ (1). Зафиксируем x ∈ X. Так
как ???? содержит базу топологии τ , то легко построить {Vn}n — базу окрестностей точки x такую,
что Vn ∈ ???? и Vn ⊃ Vn+1, n ∈ N. Поскольку точка x не является изолированной, то без ограничения
общности можно считать, что Vn \ Vn+1 ̸= , n ∈ N.
Пусть E — это та система, о которой говорится в условии (4), E = {En}n, где En = {En
i
}kn
i=1
⊂ ????
и
k∪n
i=1
En
i = X. Если x принадлежит границе одного из множеств En
i , то, очевидно, ν({x}) = 0. Иначе
для любого n ∈ N точка x попадает во внутренность некоторого множества из набора En. Тогда легко
выделить подпоследовательность {Vmn
}n такую, что Vmn накрывается некоторым множеством из En,
n ∈ N. Можно считать, что это сама последовательность {Vn}n. Положим Bn = Vn \ Vn+1, n ∈ N.
Итак, {Bn}n — дизъюнктная последовательность из ????, такая что для любого n существует En
i
∈ En,
для которого
∞∪
k=n
Bk ⊂ En
i . Рассмотрим ее подпоследовательность {B2n}n. Из условия (4) и опреде-
ления 2 следует, что существуют множество D ∈ ???? и подпоследовательность {B2nk
}k такие, что
∞∪
k=1
B2nk
⊂ D и
∞∪
n=1
B2n+1 ⊂ X \ D. Очевидно, x ∈ ∂D. Значит, ν({x}) = 0. Теорема доказана.
Лемма 1. Пусть X — нормальное пространство, {μt}t∈T — семейство регулярных конечно-аддитив-
ных мер, где μt : B(X) → G. Тогда если семейство {μt}t∈T равномерно строго ????-непрерывно, то для
любой окрестности W в G существует дизъюнктный набор {Ei}ki
=1
⊂ ???? с
k∪
i=1
Ei = X и ~μt[B](Ei) ⊂ W,
i ∈ 1; k, t ∈ T; следовательно, {μt}t∈T равномерно строго B-непрерывно.
Доказательство. Пусть V и W — окрестности в G и 3V ⊂ W. Существует дизъюнктный набор
{Ei}ki
=1
⊂ ???? с
k∪
i=1
Ei = X и ~μt[????](Ei) ⊂ V , i ∈ 1; k, t ∈ T. Зафиксируем i ∈ 1; k и μt. Пусть B ∋ B ⊂ Ei.
Повторим рассуждения из доказательства импликации (γ) =⇒ (β) предложения 3, заменяя μ на μt.
Получим, что ~μt[B](Ei) ⊂ W, i ∈ 1; k, t ∈ T.
Теорема 7. Пусть X — нормальное пространство, μn : B(X) → G — регулярные конечно-аддитив-
ные меры, каждая из которых строго B-непрерывна, n ∈ N. Пусть ν : B(X) → [0;+∞) — регулярная
строго B-непрерывная конечно-аддитивная мера. Тогда если последовательность {μn}n поточечно фун-
даментальна на ????, то она равномерно строго ????-непрерывна и равномерно строго B-непрерывна.
Доказательство. В силу предложения 3 каждая μn строго ????-непрерывна. Тогда по теореме 2 после-
довательность {μn}n равномерно строго ????-непрерывна и по лемме 1 равномерно строго B-непрерывна.
Хотя в следующих трех предложениях не рассматривается свойство строгой непрерывности мер, они
делают картину более полной.
Предложение 4. Пусть μn : ???? → G — исчерпывающие конечно-аддитивные меры, n ∈ N, где ν :
B(X) → [0;+∞) — счетно-аддитивная мера. Пусть последовательность {μn}n поточечно фундаментальна
на ????. Далее, пусть {Ek}k — дизъюнктная последовательность в ???? с
∞∪
k=1
Ek ∈ ????. Тогда для любой
окрестности W в G существует m ∈ N такое, что для любых l и n из N выполняется
~μn[????](
m∪+l
k=m+1
Ek) ⊂ W. (3.1)
Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют окрестность W в G, возрастающая
последовательность {km}m ⊂ N, дизъюнктная последовательность {Pm}m ⊂ ???? и подпоследовательность
{μnm
}m с Pm ⊂
km∪+1
k=km+1
Ek и μnm(Pm) /∈
W, m ∈ N. Так как множества
km∪+1
k=km+1
Ek, m ∈ N, и их объеди-
нение принадлежат ????, то в силу предложения 3 имеем

k∈J
Pk ∈ ????, где J ⊂ N. Применим (R6), когда
A — это σ-алгебра { ∪
k∈J
Pk : J ⊂ N}. Получим limm μn(Pm) = 0 равномерно относительно n ∈ N. Это
противоречит тому, что μnm(Pm) /∈
W, m ∈ N. Предложение доказано.
Заметим, что если к условиям предложения 4 добавить поточечную сходимость последовательности
{μn}n на ???? к некоторой функции μ, то μ будет конечно-аддитивной мерой, удовлетворяющей соотно-
шению (3.1).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 7–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 7–22 15
Предложение 5. Пусть μn : ???? → G — счетно-аддитивные меры7, n ∈ N, где ν : B(X) → [0;+∞) —
счетно-аддитивная мера. Пусть последовательность {μn}n поточечно фундаментальна на ???? (или пото-
чечно сходится на ???? к некоторой функции μ). Далее, пусть {Fk}k ⊂ ???? и Fk ↘ при k → ∞. Тогда
~μn[????](Fk) → 0 при k → ∞ равномерно относительно n ∈ N (соответственно, ~μ[????](Fk) → 0 при k → ∞
и μ будет счетно-аддитивной мерой).
Доказательство. Положим Ek = Fk \ Fk+1, k ∈ N. Получим дизъюнктную последовательность
{Ek}k ⊂ ???? с
∞∪
k=1
Ek = F1 ∈ ????. Легко доказать соотношение (3.1). Для этого повторим рассужде-
ния из предложения 4 (заметим, что на σ-алгебре A каждая μn будет исчерпывающей согласно (R3)).
Пусть найдено m, как в предложении 4. Пусть n ∈ N и ???? ∋ E ⊂ Fm+1. Так как μn непрерывна сверху
на пустом множестве, то limk μn(E ∩ Fk) = 0. Поэтому существует k0 ∈ N такое, что μn(E ∩ Fk0 ) ∈ W.
Получаем μn(E) = μn(E ∩ (Fm+1 \ Fk0 )) + μn(E ∩ Fk0 ) ∈ 2W. Отсюда следует доказываемое утвержде-
ние. Что касается μ, то она, очевидно, конечно-аддитивна и непрерывна сверху на пустом множестве
и, значит, счетно-аддитивна в силу (R2).
Замечание 2. Из предложения 5 легко следует, что если {μn}n, ν, μ, как в условии, и {Ek}k —
дизъюнктная последовательность в ???? с
∞∪
k=1
Ek ∈ ????, то для {μn}n и μ выполняется соотношение (3.1).
Вернемся к ситуации, когда μn : B(X) → G, n ∈ N. Что будет, если последовательность {μn}n все-таки
является равномерно исчерпывающей на ?????
Далее мы установим связь между следующими условиями:
(I) {μn}n равномерно исчерпывающая на ????;
(II){μn}n равномерно регулярна, то есть для любых множества E ∈ B и окрестности W в G существует
такое C ∈ C, что C ⊂ E и ~μn[B](E \ C) ⊂ W, n ∈ N;
(III) для любых множества E ∈ B и окрестности W в G существует такое F ∈ ????, что ~μn[B](E△F) ⊂ W
для всех n ∈ N;
(IV){μn}n равномерно исчерпывающая на B;
(V){μn}n равномерно непрерывна сверху на пустом множестве на B.
Предложение 6. Пусть X — нормальное пространство, μn : B(X) → G — регулярные исчерпываю-
щие конечно-аддитивные меры, n ∈ N. Пусть ν : B(X) → [0;+∞) — конечно-аддитивная мера.
(i) Тогда справедливы импликации (III) ⇐= (II) ⇐= (IV ) ⇐⇒ (I).
(ii) Если последовательность {μn}n поточечно фундаментальна на ????, то условия (I)–(IV) эквивалентны
между собой и эквивалентны условию:
(VI) {μn}n поточечно фундаментальна на B.
(iii) Если μn к тому же счетно-аддитивны, то в пунктах (i) и (ii) добавляется эквиваленция (IV ) ⇐⇒ (V ).
Доказательство.
(i) Импликация (I) ⇐= (IV ) очевидна.
Докажем (I) =⇒ (IV ). В силу (R7) для этого достаточно доказать сконденсированность последова-
тельности {μn}n на ????. Из регулярности всех μn следует, что для любых множества E ∈ B, конечного
набора {μn}k
n=1 и окрестности W в G существуют множества C ∈ C и Q ∈ τ такие, что C ⊂ E ⊂ Q
и ~μn[B](Q \ C) ⊂ W для всех n ∈ 1; k. В силу свойства (S) (см. предложение 1) найдется F ∈ ???? та-
кое, что C ⊂ F ⊂ Q. Так как E △ F ⊂ Q \ C, то ~μn[B](E △ F) ⊂ W для всех n ∈ 1; k и, значит, есть
сконденсированность.
Импликация (IV ) =⇒ (II) известна, приведем доказательство. Предположим противное. Тогда суще-
ствуют окрестность W в G и множество E ∈ B такие, что для любого C ∈ C, где C ⊂ E, существует
мера μn, для которой ~μn[B](E \ C) ̸⊂ 2W. Положим C1 = и рассмотрим множество E \ C1. Найдутся
μn1 и B ∈ B такие, что B ⊂ E \ C1 и μn1 (B) /∈
2W. Так как μn1 регулярна, то найдется A1 ∈ C такое,
что A1 ⊂ B и μn1 (B \ A1) ∈ W. Поскольку μn1 (B) = μn1 (A1) + μn1 (B \ A1), то μn1 (A1) /∈
W. Положим
C2 = C1∪A1. Очевидно, C ∋ C2 ⊂ E. Рассмотрим E\C2 вместо E\C1 и т. д. Продолжив процесс до бес-
конечности, получим дизъюнктную последовательность {Ak}k ⊂ C и последовательность {μnk
}k такие,
что μnk (Ak) /∈
W, k ∈ N, что противоречит условию (IV).
Импликация (II) =⇒ (III) очевидна, если использовать свойство (S).
(ii) Пусть теперь последовательность {μn}n поточечно фундаментальна на ????. Тогда легко доказы-
вается импликация (III) =⇒ (V I). Действительно, для множества E ∈ B и окрестности нуля W в G
найдем F ∈ ???? согласно условию (III). Имеем μn(E) = μn(E\F)+μn(F)−μn(F \E) ∈ μn(F)+2W для всех
n ∈ N. Тогда μn(E) − μk(E) ∈ μn(F) − μk(F) + 4W для всех n, k ∈ N. Очевидно, из фундаментальности
последовательности {μn(F)}n следует фундаментальность {μn(E)}n.
Импликация (V I) =⇒ (IV ) следует из (R6).
7Напомним, что счетно-аддитивная мера на алгебре не обязана быть исчерпывающей, но является непрерывной сверху
на пустом множестве(см. (R3) из раздела 1).
16
Свистула М.Г., Срибная Т.А. Свойства мер на ”устойчивых” булевых алгебрах
Svistula M.G., Sribnaya T.A. Properties of Measures on ”stable” Boolean algebras
Пункт (iii) следует из (R5) и (R6). Предложение доказано.
Замечание 3. Очевидно, что доказательство первого утверждения предложения 6 остается верным
для семейства функций {μt}t∈T (а не только для последовательности).
4. Приложения к слабой сходимости мер
В данном параграфе X — совершенно нормальное пространство и под мерой будем понимать только
счетно-аддитивную меру. Сразу заметим, что меры со значениями в R и определенные на B(X) будут
регулярными [10, следствие 7.1.9]. Говорят, что последовательность {μn}n слабо сходится к μ, если для
любой непрерывной ограниченной функции f : X → R выполняется limn

X f(x)dμn =

X f(x)dμ.
Как известно, для неотрицательных мер слабая сходимость эквивалентна поточечной сходимости
{μn}n к μ на ???? (см., например, [10, теорема 8.2.8]). Поэтому в силу пункта (ii) предложения 6 всякий
раз, когда последовательность неотрицательных мер {μn}n слабо сходится к μ и при этом нет ее по-
точечной сходимости на B(X), мы имеем пример последовательности мер, которая сходится поточечно
на алгебре ???? и при этом не является равномерно исчерпывающей на ????. Если к тому же X — сепара-
бельное метрическое пространство и μ диффузная, то найдется такая система E в ????, что алгебра ????
будет E????????-устойчивой (см. теорему 6); если, кроме того, все μn диффузные, то последовательность
{μn}n будет равномерно строго ????-непрерывной. Приведем конкретный пример.
Пример 2. Разобьем отрезок [0; 1] на 22n равных частей, n ∈ N. Положим pn(x) = 2n для x ∈
∈ [k/2n; k/2n + 1/22n], где k ∈ 0; 2n − 1, и pn(x) = 0 для остальных x ∈ [0; 1]. Рассмотрим функции
Fn(x) =
x ∫
0
pn(t)dt, x ∈ [0; 1]. Справедлива оценка k/2n 6 Fn(x) 6 (k + 1)/2n, если k/2n 6 x 6 (k + 1)/2n.
Отсюда |Fn(x) − x| 6 1/2n для всех x ∈ [0; 1]. Значит, limn Fn(x) = x = F(x), x ∈ [0; 1]. Пусть
μn, μ : B([0; 1]) → [0; 1] — вероятностные меры, задаваемые функциями распределения Fn и F. Очевид-
но, μ — это мера Лебега. Далее, μn и μ диффузные, так как Fn и F непрерывны; {μn}n слабо сходится
к μ, так как Fn(x) сходится к F(x) для всех x ∈ [0; 1] [11, гл. III, § 1, теорема 2]. Значит, {μn}n пото-
чечно сходится к μ на алгебре ????, которая, как отмечалось выше, является E????????-устойчивой (можно
напрямую показать, используя предложение 2, что в качестве E подойдет, например, E = {En}∞
n=1, где
En = {[(i−1)/n; i/n]}ni
=1). Тогда {μn}n равномерно строго ????-непрерывна. При этом {μn}n не является
равномерно исчерпывающей на ????, так как нет ее поточечной сходимости на B([0; 1]) к μ. Действитель-
но, положим En =
n∪−1
k=0
[k/2n; k/2n + 1/22n]. Имеем μn(En) = 1 и μ(En) = 1/2n. Возьмем E =
∞∪
n=1
E2n.
Очевидно, E ∈ B([0; 1]), μ2n(E) = 1 и μ(E) 6
∞Σ
n=1
μ(E2n) =
∞Σ
n=1
1/22n = 1/3. Итак, limn μn(E) ̸= μ(E).
Вернемся к общей ситуации и предположим, что все μn диффузные и {μn}n слабо сходится к μ.
Допустим, что μ диффузная, будет ли тогда {μn}n равномерно строго B-непрерывной? Если X — се-
парабельное метрическое пространство и меры неотрицательные, то ответ утвердительный (выше по-
казано, что {μn}n будет равномерно строго ????-непрерывной и, следовательно, по лемме 1 равномерно
строго B-непрерывной). Здесь важную роль играет тот факт, что для неотрицательных мер из сла-
бой сходимости следует поточечная сходимость на ????. Для мер со значениями в R мы не имеем такой
теоремы и не знаем ответа на этот вопрос; можем лишь утверждать, что если X — полное сепарабель-
ное метрическое пространство, то существует подпоследовательность {μni
}i, которая равномерно строго
B-непрерывна (это легко доказать, раскладывая μn по Жордану и используя критерий Прохорова).
Как показывает следующий простой пример, равномерная строгая B-непрерывность {μn}n не гаран-
тирует диффузность μ.
Пример 3. Положим pn(x) = 2n для x ∈ [1 − 1/2n; 1] и pn(x) = 0 для остальных x ∈ [0; 1], n ∈ 0;∞.
Функции распределения Fn(x) =
x ∫
0
pn(t)dt непрерывны и limn Fn(x) = F(x), где F(x) = 0 для x ∈ [0; 1) и
F(1) = 1. Отсюда ясно, что диффузные меры μn, задаваемые Fn, сходятся слабо к мере Дирака μ{1}.
Возьмем k ∈ N. Разобьем отрезки [1 − 1/2n; 1 − 1/2n+1], n ∈ 0;∞, на k равных частей. Объединение
i-тых частей этих разбиений обозначим Ei, i ∈ 1; k. Имеем μn(Ei) =

Ei
pn(t)dt = 1/k. Очевидно, {μn}n
равномерно строго B-непрерывна.
Теоремы 8 и 9 дают достаточные условия того, чтобы последовательность диффузных мер слабо
сходилась к диффузной мере. При их доказательстве используем критерий А.Д. Александрова в ре-
дакции [10, теорема 8.1.9], из которого следует, что если X — совершенно нормальное пространство,
μn, μ : B(X) → R — меры, то
1) {μn}n фундаментальна в слабой топологии в точности тогда, когда она равномерно ограничена
и для любых ε > 0 и множеств C ∈ C и Q ∈ τ с C ⊂ Q найдется такое m, что для всех n, k > m
inf{|μn(A) − μk(A)| : A ∈ τ, C ⊂ A ⊂ Q} < ε; (4.1)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 7–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 7–22 17
2) {μn}n слабо сходится к μ в точности тогда, когда она равномерно ограничена и для любых мно-
жеств C ∈ C и Q ∈ τ с C ⊂ Q
lim
n→∞
inf{|μn(A) − μ(A)| : A ∈ τ, C ⊂ A ⊂ Q} = 0. (4.2)
Теорема 8. Пусть X — совершенно нормальное пространство, μn : B(X) → R — меры, n ∈ N. Пусть
ν : B(X) → [0;+∞) — строго B-непрерывная мера. Пусть последовательность {μn}n поточечно сходится
на ????.
Тогда {μn}n слабо сходится к некоторой мере μ : B(X) → R, для которой μ(E) = limn μn(E) при
всех E ∈ ????.
Если, кроме того, все μn строго B-непрерывны, то {μn}n будет равномерно строго ????-непрерывна
(следовательно, равномерно строго B-непрерывна) и μ будет строго ????-непрерывна (следовательно, стро-
го B-непрерывна).
Доказательство. Положим φ(E) = limn μn(E), E ∈ ????. В силу предложения 5 φ будет мерой на ????.
По теореме 13 последовательность {μn}n равномерно ограничена на ????. Тогда φ ограниченная и, будучи
скалярной, единственным образом продолжается с алгебры ???? на порожденную σ-алгебру σ(????), которая
в нашем случае совпадает с B(X).8 Обозначим это продолжение через μ.
Далее, пусть C ∈ C, Q ∈ τ и C ⊂ Q. В силу свойства (S) существует множество E ∈ τ ∩ ???? такое,
что C ⊂ E ⊂ Q. Очевидно,
inf{|μn(A) − μ(A)| : A ∈ τ, C ⊂ A ⊂ Q} 6 |μn(E) − μ(E)|.
Так как |μn(E)−μ(E)| → 0 при n → ∞, то выполняется условие (4.1). Значит, последовательность {μn}n
слабо сходится к μ. Первое утверждение доказано.
Последнее утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.
Теорема 9. Пусть X = [0; 1]k с евклидовой метрикой, k ∈ N, P — класс всех прямоугольников вида
⟨a1; b1⟩ × . . . × ⟨ak; bk⟩ в X и D = {
∞∪
n=1
En : En ∈ P, diam
∞∪
i=n
Ei → 0, n → ∞}. Пусть μn : B(X) → R —
диффузные меры, n ∈ N. Тогда если {μn}n поточечно сходится на классе D, то
1) для любого ε > 0 существует дизъюнктный набор {Pi}mi
=1
⊂ P с
m∪
i=1
Pi = X и ~μn[B](Pi) < ε,
i ∈ 1;m, n ∈ N; следовательно, {μn}n равномерно строго B-непрерывна;
2){μn}n слабо сходится к некоторой диффузной мере μ.
Доказательство. Пункт 1 докажем с помощью теоремы 4. Пусть R — алгебра всех конечных
объединений прямоугольников (можно считать их попарно диъюнктными) из P. Очевидно, определяя
D, можно брать En ∈ R. Для любого n ∈ N существует набор En = {En
i
}kn
i=1
⊂ P с
k∪n
i=1
En
i = X и
diamEn 6 1/n. Таким образом, R содержит систему E = {En}n с diamEn → 0, n → ∞.
Зафиксируем n ∈ N. Из регулярности и диффузности μn следует, что для любых ε > 0 и точки
x ∈ X существует P ∈ P ∩ τ (X) такой, что x ∈ P и ~μn[B](P) < ε. Используя компактность X, легко
убедиться, что μn строго R-непрерывна. По теореме 4 {μn}n равномерно строго R-непрерывна. Тогда
для любого ε > 0 существует дизъюнктный набор {Pi}mi
=1
⊂ P с
m∪
i=1
Pi = X и ~μn[R](Pi) < ε. Покажем,
что ~μn[B](Pi) < ε. Для этого повторим доказательство импликации (γ) =⇒ (β) предложения 3, заменив
μ, Ei, ???? на μn, Pi, R. Вместо свойства (S) используем то, что в силу компактности C найдется E ∈ R9
такое, что C ⊂ E ⊂ Q.
Пункт 2. Из равномерной строгой B-непрерывности {μn}n следует ее равномерная ограниченность.
Применив разложение Жордана μn = μ+n
−μ−
n [12, гл. III, пункт 3.1], получим равномерно ограниченные
последовательности неотрицательных диффузных мер {μ+
n}n и {μ−
n}n. По критерию Прохорова [10,
теорема 8.6.2] найдется возрастающая последовательность номеров {ni}i такая, что подпоследователь-
ности {μ+
ni
}i и {μ−
ni
}i сходятся к некоторым неотрицательным мерам φ и ψ. Очевидно, {μni
}i слабо
сходится к μ = φ − ψ. Теперь для доказательства слабой сходимости {μn}n к μ достаточно доказать
фундаментальность {μn}n в слабой топологии. Как уже отмечалось, если C ∈ C, Q ∈ τ и C ⊂ Q, то
существует E ∈ R∩ τ (X) такое, что C ⊂ E ⊂ Q. Отсюда и поточечной фундаментальности {μn}n на R
следует выполнение условия (4.1). Значит, {μn}n слабо сходится к μ.
8Очевидно, всегда (????) B(X). Если же X — совершенно нормальное пространство, то любое множество Q из
представимо в виде Q = [1
n=1Cn, где Cn 2 C. Используя свойство (S) из предложения 1, получаем Q = [1
n=1En, где
En 2 ????. Отсюда легко следует, что (????) = B(X).
9Множество E можно выбрать из R \ (X), это уточнение мы используем ниже.
18
Свистула М.Г., Срибная Т.А. Свойства мер на ”устойчивых” булевых алгебрах
Svistula M.G., Sribnaya T.A. Properties of Measures on ”stable” Boolean algebras
Осталось доказать диффузность μ. Опять применим теорему 4, изменив рассматриваемые классы
множеств по сравнению с пунктом 1. Положим ν = φ + ψ. Рассмотрим алгебру R∗ = R ∩ ???? и D∗ =
= {
∞∪
n=1
En : En ∈ R∗, diam
∞∪
i=n
Ei → 0, n → ∞}.
Далее понадобится следующий известный факт: пусть x ∈ Q ∈ τ (X); тогда существует P ∈ P ∩τ (X)
такое, что x ∈ P ⊂ Q и ν(∂P) = 0. Действительно, можно построить континуум прямоугольников из
P ∩ τ (X), содержащих точку x и содержащихся в Q, с попарно дизъюнктными границами. Множество
таких границ с ненулевой мерой ν не более, чем счетное. Значит, существует искомый прямоугольник P.
Используя доказанное утверждение, легко построить набор E∗
n = {En
i
}kn
i=1
⊂ P с
k∪n
i=1
En
i = X, где En
i

∈ P ∩ ???? и diamEn 6 1/n, n ∈ N. Таким образом, R∗ содержит систему E∗ = {E∗
n
}n с diamE∗
n
→ 0,
n → ∞.
Рассмотрим последовательность {μ+
ni
}i. Легко показать, что каждая μ+
ni строго R∗-непрерывна.
Далее, очевидно, для E ∈ R∗ имеем φ(∂E) = 0. Так как {μ+
ni
}i сходится слабо к φ, то она сходится к φ
поточечно на R∗. Выполнены все условия теоремы 2. Значит, {μ+
ni
}i равномерно строго R∗-непрерывна
и для любого ε > 0 существует дизъюнктный набор {Ej}mj
=1
⊂ R∗ такой, что
m∪
j=1
Ej = X и μni (Ej) < ε,
j ∈ 1;m, i ∈ N. Отсюда в силу поточечной сходимости {μ+
ni
}i на R∗ к φ имеем φ(Ej) < ε, j ∈ 1;m.
В силу произвольности ε > 0 φ диффузная. Аналогично, ψ диффузная. Значит, μ тоже диффузная.
5. Об ослаблении условия строгой непрерывности меры
Следующее условие является более слабым, чем строгая A-непрерывность.
Определение 6. Функцию μ : A → G (здесь по-прежнему A — булева алгебра) называем слабо
A-непрерывной, если для любого элемента a ∈ A и любой окрестности U в G существует дизъюнктный
набор {ai}ni
=1
⊂ A с
n∨
i=1
ai = a и μ(ai) ∈ U, i ∈ 1; n.
Для конечно-аддитивной μ : A → [0;+∞) в силу ее монотонности условия строгой и слабой
A-непрерывности эквивалентны. В более общем случае справедлива
Теорема 10. Пусть {μt}t∈T , где μt : A → G, — некоторое семейство слабо A-непрерывных конечно-
аддитивных мер. Тогда если семейство {μt}t∈T равномерно исчерпывающее, то оно равномерно строго
A-непрерывное.
Доказательство. Пусть U — окрестность в G и V = 2U. Как и при доказательстве теоремы 1, будем
говорить, что элемент r ∈ A обладает свойством (∗), если для любого дизъюнктного набора {ri}ni
=1
⊂ A
с
n∨
i=1
ri = r найдутся такие μt и ri, что ~μt[A](ri) ̸⊂ V .
Предположим, что элемент e обладает свойством (∗). Положим a1 = e. Cуществуют функция μt1 и
элемент c ∈ A такие, что c 6 a1 и μt1 (c) /∈
V . В силу слабой A-непрерывности μt1 есть дизъюнктный
набор {r1, . . . , rk, rk+1, . . . , rn} ⊂ A с
k∨
i=1
ri = c,
n∨
i=k+1
ri = a1 \c и μt1 (ri) ∈ U, i ∈ 1; n. Так как a1 обладает
свойством (∗), то в этом наборе найдется элемент rl, также обладающий свойством (∗). Обозначим его q.
Очевидно, μt1 (q) ∈ U. Если оказалось, что q 6 c, то полагаем b1 = c \ q; если же q 6 a1 \ c, то полагаем
b1 = c. Получаем, что μt1 (b1) /∈
U, b1 ∧ q = 0 и q обладает свойством (∗).
Положим a2 = q. Рассмотрим a2 вместо a1. Повторим описанную выше процедуру. Продолжив про-
цесс до бесконечности, получим дизъюнктную последовательность {bi}i ⊂ A и последовательность {μti
}i
такие, что μti (bi) /∈
U, это противоречит равномерной исчерпываемости семейства {μt}t∈T . Значит, эле-
мент e не обладает свойством (∗). Теорема доказана.
Из теоремы 10 сразу следует
Предложение 7. Исчерпывающая слабо A-непрерывная конечно-аддитивная мера μ : A → G будет
строго A-непрерывной.
Замечание 4. Теорема 1 остается справедливой, если условие ”каждая μn строго R-непрерывна”
заменить на ”каждая μn слабо R-непрерывна и исчерпывается на R”; если в теореме 2 от каждой μn
требовать исчерпываемость и слабую A-непрерывность, то теорема остается верной и, кроме того, по-
следовательность {μn}n будет равномерно исчерпывающей, следовательно, к свойствам функции μ до-
бавится еще исчерпываемость и т. д. Нетрудно также показать, что предложение 3 останется верным,
если в (β) и (γ) слово ”строго” заменить на ”слабо”.
Теперь рассмотрим конечно-аддитивные меры со значениями в банаховом пространстве Z. Согласно
теореме Дистеля — Файреса [5, гл. I, § 4, теорема 2], если существует ограниченная конечно-аддитивная
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Том 28, № 1–2. С. 7–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 7–22 19
мера μ : A → Z на алгебре A, которая не является исчерпывающей, то Z содержит подпространство
топологически изоморфное c0; если A — это σ-алгебра, то при выполнении тех же условий Z содержит
подпространство топологически изоморфное l∞. Отсюда и из предложения 7 сразу следует
Предложение 8. Пусть μ : A → Z — ограниченная слабо A-непрерывная конечно-аддитивная мера,
где A — это алгебра и Z не содержит c0. Тогда μ строго A-непрерывна.
Вместе с тем справедливо
Предложение 9. Пусть μ : A → c0 — ограниченная слабо A-непрерывная конечно-аддитивная
мера, пусть алгебра A является EAA-устойчивой, где E — некоторая система в A. Тогда μ строго
A-непрерывна.
Доказательство. Пусть {μn}n — последовательность проекций μ. Очевидно, каждая μn : A → R —
ограниченная слабо A-непрерывная конечно-аддитивная мера; как скалярная ограниченная она будет
исчерпывающей и, по предложению 7, строго A-непрерывной. Далее, {μn}n поточечно сходится на A.
Применим теорему 1, когда R = D = A. Получим, что {μn}n равномерно строго A-непрерывна и,
следовательно, μ строго A-непрерывна.
Из теоремы Дистеля — Файреса и предложения 7 также следует
Предложение 10. Пусть μ : A → Z — ограниченная слабо A-непрерывная конечно-аддитивная
мера, где A — это σ-алгебра и Z не содержит l∞. Тогда μ строго A-непрерывна.
Мы не знаем, будет ли справедливо предложение 10, если требовать, чтобы алгебра A была
EAA-устойчивой, а не обязательно σ-алгеброй. Однако, например, на ???? при определенных условиях
этот результат распространяется, а именно справедливо
Предложение 11. Пусть μ : ???? → Z — ограниченная слабо A-непрерывная конечно-аддитивная
мера. Здесь ν : B(X) → [0;+∞) — регулярная слабо (= строго) B-непрерывная конечно-аддитивная
мера, X — нормальное пространство. Далее, пусть Z не содержит l∞. Тогда μ строго A-непрерывна.
Доказательство. Пусть ε > 0. Будем говорить, что множество F ∈ ???? обладает свойством (∗), если
для любого дизъюнктного набора {Fi}ni
=1
⊂ ???? с
n∪
i=1
Fi = F найдется такое Fi, что ~μ[????](Fi) > ε.
Построим систему E как в доказательстве импликации (3) =⇒ (4) теоремы 5. Предположим, что
множество X обладает свойством (∗). Положим A1 = X. Без ограничения общности можно считать,
что A1 включено в некоторое E1
i
∈ E1. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 10, когда μt1 =
= μ, U = {z ∈ Z : ||z|| < ε, e = X и a1 = A1, найдем множества B1 и A2 из ????, такие что B1,A2 ⊂ A1,
B1 ∩ A2 = и A2 обладает свойством (∗). Без ограничения общности можно считать, что A2 включено
в некоторое E2
i
∈ E2 Рассмотрим A2 вместо A1 и т. д. Продолжив процесс до бесконечности, получим
дизъюнктную последовательность {Bk}k ⊂ ???? с ||μ(Bk)|| > ε и

k∈J
Bk ∈ ???? для J ⊂ N (см. доказательство
теоремы 5). С другой стороны, по теореме Дистеля — Файреса на σ-алгебре = { ∪
k∈J
Bk ∈ ???? : J ⊂ N}
функция μ является исчерпывающей. Полученное противоречие говорит о том, что предположение было
неверно.
6. О равномерной ограниченности мер
В данном параграфе G — таг с квазинормой | · |.
Лемма 2. Пусть алгебра A является EAA-устойчивой, где E — некоторая система в A. Пусть {bn}n
такая дизъюнктная последовательность в A, что для любого n существует eni
∈ En такое, что bk 6 eni
при
всех k > n. Тогда существует дизъюнктная последовательность {am}m ⊂ A такая, что все множества
Jm = {n : bn 6 am} бесконечные, m ∈ N.
Доказательство. Представим N =
∞∪
m=1
Mm, где все Mm бесконечные и попарно дизъюнктные. По
определению 2 для каждого Mm существуют элемент dm ∈ A и бесконечное множество Pm ⊂ Mm, для
которых bk 6 dm при всех k ∈ Pm и bk ∧ dm = 0 при всех k ∈ N \ Pm. Преобразуем получившуюся
последовательность {dm}m в {am}m, полагая a1 = d1, am = dm \ (
m∨−1
i=1
di), m ∈ 2;∞. Очевидно, {am}m
искомая.
Теорема 11. Пусть алгебра A является EAA-устойчивой, где E — некоторая система в A. Пусть
μn : A → G — исчерпывающие конечно-аддитивные меры, n ∈ N. Тогда если последовательность {μn}n
поточечно ограничена на A, то она равномерно ограничена на A.
Доказательство. Далее обозначаем La = {b ∈ A : b 6 a}, a ∈ A. Говорим, что элемент a ∈ A
обладает свойством (⋄), если {μn}n не является равномерно ограниченной на La.
Часть 1. Сначала докажем, что если элемент a ∈ A обладает свойством (⋄), то существует дизъ-
юнктная последовательность {am}m ⊂ La такая, что каждый элемент am обладает свойством (⋄). Дей-
20
Свистула М.Г., Срибная Т.А. Свойства мер на ”устойчивых” булевых алгебрах
Svistula M.G., Sribnaya T.A. Properties of Measures on ”stable” Boolean algebras
ствительно, в этом случае можно построить последовательность {bn}n ⊂ La, удовлетворяющую условиям
леммы 2, и последовательность {νn}n ⊂ {μn}n такие, что |νn(bn)| > n, n ∈ N (см. часть 2). Далее найдем
последовательность {am}m согласно лемме 2; можно считать все am 6 a. Очевидно, {am}m искомая.
Часть 2. Предположим, что элемент e обладает свойством (⋄). Тогда некоторый элемент семейства
{e1i
∧ e2j
, i ∈ 1; k1, j ∈ 1; k2} тоже обладает этим свойством. Обозначим его a1. В силу поточечной
ограниченности {μn}n существует k ∈ N такое, что supn
|μn(a1)| < k. Так как a1 обладает свойством (⋄),
то существуют c ∈ La1 и ν1 ∈ {μn}n такие, что |ν1(c)| > (k+1). Тогда, очевидно, |ν1(c)| > 1, |ν1(e\c)| > 1
и хотя бы один из элементов c и e \ c обладает свойством (⋄). Обозначим этот элемент q, а другой b1.
В силу части 1 существует дизъюнктная последовательность {qm}m ⊂ Lq, где каждый элемент обладает
свойством (⋄). Так как ν1 исчерпывающая, то найдется ql с ~ν1[A](ql) < 1. Очевидно, среди элементов
семейства {ql ∧ e3i
∧ e4j
, i ∈ 1; k3, j ∈ 1; k4} найдется элемент, обладающий свойством (⋄). Обозначим
его a2. Рассмотрим a2 вместо a1 и так далее.
Допустим, что на m-м шаге получили элементы a1, . . . , am, am+1, b1, . . . , bm в A и функции ν1, . . . , νm ∈
∈ {μn}n такие, что:
– для всех i ∈ 1;m справедливы неравенства
(B1) ai > ai+1, bi 6 ai \ ai+1;
– для всех i ∈ 1;m + 1
(B2) ai мажорируется некоторым элементом из E2i−1 и некоторым элементом из E2i;
– для всех i ∈ 1;m выполняется
(B3) |νi(

j∈J bj

bi)| > i для любого J ⊂ 1; i − 1;
– для всех i ∈ 1;m справедливо неравенство
(B4) ~νi[A](ai+1) < 1;
(B5) элемент am+1 обладает свойством (⋄).
Сделаем (m + 1)-й шаг. В силу поточечной ограниченности {μn}n найдется k ∈ N такое, что
sup{|μn(

j∈J
bj)|, |μn(am+1)|, n ∈ N, J ⊂ 1;m} > k. (6.1)
Так как am+1 обладает свойством (⋄), то существуют c ∈ Lam+1 и νm+1 ∈ {μn}n такие, что |νm+1(c)| >
> 2k + m + 1. Очевидно, |νm+1(c)| > k+m+1, |νm+1(am+1 \c)| > k+m+1 и хотя бы один из элементов c
и am+1 \ c обладает свойством (⋄). Обозначим этот элемент q, а другой bm+1. Итак,
|νm+1(bm+1)| > k + m + 1. (6.2)
Из (6.1) и (6.2) получаем, что |νm+1(

j∈J bj

bm+1)| > (m + 1), J ⊂ 1;m.
Подобно тому как это делалось на первом шаге, найдем обладающий свойством (⋄) элемент ql 6 q
такой, что ~νm+1[A](ql) < 1.
Среди элементов {ql ∧ e2m+1
i
∧ e2m+2
j , i ∈ 1; k2m+1, j ∈ 1; k2m+2} найдем обладающий свойством (⋄).
Обозначим его am+2.
Продолжив процесс до бесконечности, получим убывающую последовательность {ai}i и дизъюнктную
последовательность {bi}i в A, а также последовательность {νi}i ⊂ {μi}i такие, что выполняются условия
(B1)–(B4).
Теперь дословно повторим текст доказательства теоремы 1, окруженный знаками ▽▽ и △△, заменяя
R и D на A, условие (С5) на (В4) и равенство (2.1) на следующее равенство:
νik (z) = νik (xk ∨ bik ) + νik (yk). (6.3)
Из условия (В3) и равенства (6.3) получаем, что |νik (z)| > (ik − 1), k ∈ N (заметим, что последова-
тельность {ik}k возрастающая). Это противоречит поточечной ограниченности {μn}n. Значит, элемент e
не обладает свойством (⋄).
Теорема 12. Пусть алгебра A является EAA-устойчивой, где E — некоторая система в A. Пусть
μn : A → G — строго A-непрерывные конечно-аддитивные меры, n ∈ N. Тогда если последовательность
{μn}n поточечно ограничена на A, то она равномерно ограничена на A.
Доказательство. Доказательство повторяет часть 2 теоремы 11, за исключением того, что ql на-
ходится из условия строгой A-непрерывности функции νm+1 (а не исчерпываемости).
Замечание 3. Очевидно, теоремы 11 и 12 остаются верны, если последовательность {μn}n заменить
на семейство {μt}t∈T .
На основании теоремы 11 и замечания 5 можно, например, сформулировать следующую теорему,
доказанную в [13, теорема 4.5] для алгебры A с SIP и обобщающую [14, предложение 3.3] в случае
A = ????.
Теорема 13. Пусть алгебра A обладает SIP или A = ????, где ν : B(X) → [0;+∞) — регулярная
строго B-непрерывная конечно-аддитивная мера, X — нормальное пространство. Пусть μt : A → G — исчерпывающие конечно-аддитивные меры, t ∈ T. Тогда из поточечной ограниченности семейства {μt}t на A следует его равномерная ограниченность.

×

About the authors

M G. Svistula

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: marinasvistula@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2444-5605

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Functional Analysis and Function Theory

Russian Federation

T. A. Sribnaya

Samara National Research

Email: sribnayata@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1197-5650

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the
Department of Functional Analysis and Function Theory

Russian Federation

References

  1. Bhaskara Rao M., Bhaskara Rao K.P.S. Charges on Boolean algebras and almost discrete spaces. Mathematika, 1973, vol. 20, issue 02, pp. 214–223. DOI: http://dx.doi.org/10.1112/S0025579300004800.
  2. Klimkin V.M., Svistula M.G. On the Pointwise Limit of Vector Charges with the Saks Property. Mathematical Notes, 2003, vol. 74, issue 3, pp. 407–415. DOI: https://doi.org/10.4213/MZM274. (In Russ.)
  3. Luschgy H., Solecki S. Strong continuity of invariant probability charges. Colloquium Mathematicum, 2004, vol. 101, issue 1, pp. 135–142. DOI: http://dx.doi.org/10.4064/cm101-1-9.
  4. Cavaliere P., de Lucia P., Weber H. Approximation of finitely additive functions with values in topological groups. Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen = Journal of analysis and its applications, 2013, vol. 32, no. 4, pp. 477–495. DOI: http://dx.doi.org/10.4171/ZAA/1495.
  5. Diestel J., Jr. Uhl J. Vector measures. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 15. Providence: American Mathematical Society, 1977, 319 p. Available at: https://www.ams.org/books/surv/015/surv015-endmatter.pdf.
  6. Freniche F.J. The Vitali-Hahn-Saks theorem for Boolean algebras with the Subsequential Interpolation Property. Proceedings of the American Mathematical Society, 1984, vol. 92, issue 3, pp. 362–366. DOI: http://doi.org/10.1090/S0002-9939-1984-0759653-1.
  7. Musial K. Absolute Continuity and the Range of Group Valued Measure. Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences. Serie de sciences math., astr. et phys., 1973, vol. XXI, no. 2, pp. 105–113. Avaiilable at: https://www.researchgate.net/profile/Kazimierz-Musial-2/publication/284178504_Absolute_Continuity_and_the_Range_of_Group_Yalued_Measure/links/564e305d08ae1ef9296c67ad/Absolute-Continuity-and-the-Range-of-Group-Yalued-Measure.pdf.
  8. Aleksyuk V.N. Set functions. Leningrad: LGPI, 1982, 78 p. (In Russ.)
  9. Klimkin V.M. Introduction to the theory of set functions. Saratov: Izd-vo Saratovskogo universiteta, Kuibyshevskii filial, 1989, 210 p. Available at: https://bookree.org/reader?file=583121&pg=1. (In Russ.)
  10. Bogachev V.I. Fundamentals of measure theory. Moscow-Izhevsk: NITs ”Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika”, 2003, vol. 2, 576 p. Available at: https://bookree.org/reader?file=507098. (In Russ.)
  11. Shiryaev A.N. Probability. Moscow: Nauka, 1980, 574 p. Available at: https://bookree.org/reader?file=470836. (In Russ.)
  12. Bogachev V.I. Fundamentals of measure theory. Moscow-Izhevsk: NITs ”Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika”, 2003, vol. 1, 544 p. Available at: https://bookree.org/reader?file=443457. (In Russ.)
  13. Candeloro D. Alcuni teoremi di uniforme limitatezza. Rendiconti dell’Accademia Nazionale detta dei XL, 1985, vol. 9, pp. 249–260. Available at: https://www.researchgate.net/publication/237311429_Alcuni_teoremi_di_uniforme_limitatezza.
  14. Schachermayer W. On some classical measure-theoretic theorems for non-sigma-complete Boolean algebras. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), 1983, 214, pp. 1–36. Available at: https://eudml.org/doc/268517.

Copyright (c) 2022 Svistula M.G., Sribnaya T.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies