BIFURCATIONS OF STATIONARY REGIMES IN THE MODEL OF A WIND POWER PLANT

Full Text

Введение

В данной статье проводится математическое моделирование колебаний ветроэнергетической установ- ки (ВЭУ). Представленный анализ рассматриваемой системы приводится в первые, так как в более ранних работах на данную тему не было описания динамической модели в аналитическом виде. В ра- ботах [1; 2] были предложены новые типы конструкции ветроэнергетической установки. В статьях [3–5] исследуются движения электромеханической системы, моделирующей стационарные режимы генератора с ветротурбинными движителем с помощью качественных методов теоретической механики. Рассмотре- ны вопросы существования и устойчивости установившихся режимов и описаны области их притяже- ния [3–5]. Математическая модель в безразмерной форме представляет собой дифференциальную систе- му [1–5]:

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 92–98

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 92–98 93

J Ω˙ LI˙

= −kI + M (Ω),

= kΩ − (R + r)I,

(1)

где J — момент инерции турбины, L — индуктивность якоря, I — сила тока в обмотке якоря, Ω — коэф- фициент быстроходности, R — внешнее сопротивление, M — относительный момент аэродинамических сил. Параметр k — коэффициент электромеханического взаимодействия, r — малое внутреннее сопро- тивление якоря. Здесь точка означает производную по времени t. Функция M (Ω) задается графиком, представленным на рис. 1 [3].

Рис. 1. Экспериментальные данные

Fig. 1. Experimental data

Рассмотрим задачу определения условий, при которых в системе (1) наблюдается бифуркации Ан- дронова–Хопфа. Для этого нужно сначала получить аналитические выражения для функции M (Ω).

1. Основные результаты

   1. Аппроксимация функции M (Ω)

      Рассмотрим график экспериментальных данных M (Ω), изображенный на рис. 1, 2. В литературе экспериментальные данные представлены только в графической форме. Величины на рис. 1, 2 являются

      

      0,5ρSbV 2

       

      безразмерными (M = Ma

      

      V

       

      , Ω = bω

      , где ω — угловая скорость, b — расстояние от эффективного

      давления лопастей для оси вращения, V — скорость воздуха, Ma — момент аэродинамических сил, ρ — плотность воздуха, S – площадь лопастей) [3; 5]. Рисунок вида 2 приводится в литературе без аналитического задания, просто на основе экспериментальных данных, приведенных на предыдущем рисунке. Для построения функции M (Ω) разобьём его на четыре промежутка:

      Ω ∈ [0; 2, 0200000000]; [2, 0200000000; 2, 7700000000]; [2, 7700000000; 4, 6700000000]; [4, 6700000000; 9, 2000000000]

      и аппроксимируем ее на каждом из них отдельно.

       

      

       

      Рис. 2. График зависимости аэродинамического момента от угловой скорости

      Fig. 2. Graph of aerodynamic moment versus angular velocity

      Кирсанова А.С. Бифуркации стационарных режимов в модели ветроэнергетической установки

      94 Kirsanova A.S. Bifurcations of stationary regimes in the model of a wind power plant

       

      Зададим набор точек в каждом интервале Ω. Применяя процедуру интерполяции полинома Лагран- жа, получим следующие интерполяционные полиномы третьей степени, которые и задают функцию M (Ω):

       0, 08352201429 Ω3 − 0, 3205588527 Ω2 + 0, 2393989228 Ω + 0, 2,

      

       

       где Ω ∈ [0; 2, 0200000000];

      

       

       1, 642804329 Ω3 − 8, 942851383 Ω2 + 15, 98373866 Ω − 9, 273404856,

       где Ω ∈ [2, 0200000000; 2, 7700000000];

      

       

      M (Ω) = 0, 3083893674 Ω3 − 4, 335287773 Ω2 + 20, 01021546 Ω − 27, 41855423,

       

      (2)

       где Ω ∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000];

      

       

       0, 01644836128 Ω3 − 0, 3994220004 Ω2 + 2, 444416690 Ω − 1, 489696994,

       где Ω ∈ [4, 6700000000; 9, 200000000].

      Рисунок 3 демонстрирует график функции M (Ω), заданной (2).

       

      

      Рис. 3. График функции M (Ω), заданной (2)

      Fig. 3. Graph of the function M (Ω) given by (2)

       

   2. Стационарные положения

Стационарные положения динамической системы (1) определяются системой уравнений

−kI + M (Ω) = 0, kΩ − (R + r)I = 0.

(3)

Преобразовав систему (3), получаем:

M (Ω)

I = ,

k

kΩ

I = .

R + r

(4)

Рассмотрим систему (4) при k = 0, 5, r = 0, 1 и различных R (рис. 4). Рассмотрим некоторые характерные значения параметра R.

При R = 0 система (1) имеет единственное положение равновесия с координатами

(0, 08741320041; 0, 4370660021). Оно принадлежит первому участку кривой Ω ∈ [0; 2, 0200000000].

Это положение равновесия является устойчивым фокусом.

При R = 0, 22 система (1) имеет три положения равновесия: (0, 3258577352; 0, 4937238412) (устойчивый

фокус), (3, 511108308; 5, 486106731) (седло) и (3, 696593975; 5, 775928086) (неустойчивый фокус). Первое по- ложение равновесия принадлежит участку Ω ∈ [0; 2, 0200000000], второе и третье положения равновесия принадлежат участку Ω ∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000].

При R = 0, 25 система (1) имеет три положения равновесия: (0, 9332841322; 0, 4242200600) (устойчи-

вый фокус), (3, 162469338; 4, 517813341) (седло), (4, 197279906; 5, 996114154) (устойчивый фокус). Первое положение равновесия принадлежит участку Ω ∈ [0; 2, 0200000000], второе и третье положения равнове- сия принадлежат участку Ω ∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000].

При R = 1 система (1) имеет три положения равновесия: (0, 3471586022; 0, 4959408604) (устойчи-

вый фокус), (2, 552429151; 1, 160195069) (седло) и (7, 104353566; 3, 229251620) (устойчивый фокус). Пер- вое положение равновесия принадлежит участку Ω ∈ [0; 2, 0200000000], второе — участку Ω ∈

∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000], а третье — участку Ω ∈ [4, 6700000000; 9, 2000000000].

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 92–98

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 92–98 95

Рис. 4. Графики функции M (Ω)/k и прямой I = kΩ/(R + r) при различных значениях R

Fig. 4. Graphs of the function M (Ω)/k and the line I = kΩ/(R + r) for different values of R

При R = 10 система (1) имеет единственное положение равновесия с координата- ми (8, 903433655; 0, 4407640424), которое принадлежит четвертому участку кривой, Ω ∈

∈ [4, 6700000000; 9, 2000000000] и является устойчивым узлом.

Найдем такое значение параметра R, при котором прямая, задаваемая уравнением си- стемы (4), проходит как касательная к кривой, описываемой системой (4) на промежутках

Ω ∈ [2, 0200000000; 2, 7700000000] и Ω ∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000]. Для этого должно выполнять-

ся следующее условие:

M (Ω)

=

k

kΩ R + r

. (5)

Дискриминант уравнения (5), представляющий собой кубическое уравнение относительно переменной Ω, равен нулю.

Рис. 5. Графики функции M (Ω)/k и прямой I = kΩ/(R + r) при значениях R, соответствующих

условиям (1) и (2)

Fig. 5. Graphs of the function M (Ω)/k and the line I = kΩ/(R + r) for the values of R corresponding to conditions (1) and (2)

Выполнение этих условий на участке Ω ∈ [2, 0200000000; 2, 7700000000] определяет значение R =

= 7, 921148903 (рис. 5). Подставив найденное значение параметра в систему (4), мы получаем три поло-

жения равновесия: (2, 049034796; 0, 1277270140) (устойчивый узел), (2, 052221612; 0, 1279256648) (седло) и

Кирсанова А.С. Бифуркации стационарных режимов в модели ветроэнергетической установки

96 Kirsanova A.S. Bifurcations of stationary regimes in the model of a wind power plant

(8, 831167333; 0, 5504926689) (устойчивый фокус). Первое и второе положения равновесия принадлежат

участку Ω ∈ [2, 0200000000; 2, 7700000000], а третье — участку Ω ∈ [4, 6700000000; 9, 2000000000].

В точке касания с координатами (2, 050629377; 0, 1278205044) при R∗ = 7, 921519655 одно из собствен-

ных чисел является нулевым, а другое — отрицательным. При Ω < 2, 050629377 мы получаем устойчи- вый узел, а при Ω > 2, 050629377 – седло. Таким образом, точка касания на участке Ω ∈ [2, 02; 2, 77],

соответствует бифуркации типа седло–узел.

Выполнение условий (1), (2) на участке Ω ∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000] дает значение R =

= 0, 2190236383. Подставив найденный параметр в систему (4), мы получаем три состояния

равновесия: (0, 3141219902; 0, 4923177354) (устойчивый фокус), (3, 600676648; 0, 643275634) (седло) и

(3, 601993738; 5, 645339886) (неустойчивый узел). Первое положение равновесия принадлежит участку

Ω ∈ [0; 2, 0200000000], второе и третье — участку Ω ∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000].

Рассмотрим теперь более подробно промежуток Ω ∈ [2, 7700000000; 4, 6700000000]. Найдем условия,

при которых на данном участке возникает бифуркация Андронова–Хопфа. Для этого необходимо вы-

полнение следующих условий: TrA = 0 и det A > 0, где A — матрица первого приближения системы (1):





A = 





−

1 dM (Ω) 1 

kJ dΩ J 





.

k 1 

(R + r)L −L

Из условия TrA = 0 находим соответствующее значение Ω и подставляем в систему (4). В результате для случая J = 1, L = 1 получаем R = 0, 2214383123, где положение равновесия имеет координаты (3, 753316623; 5, 838315595) (рис. 6).

Таким образом, в системе наблюдается бифуркация рождения цикла (суперкритическая бифуркация Андронова–Хопфа). Рисунок 7 демонстрирует предельный цикл при выбранных значениях параметров. Устойчивый фокус при уменьшении значении параметра R и Ω < 3, 753316623 теряет устойчивость при бифуркационном значении R = 0, 2214383123 и становится неустойчивым фокусом, одновременно с этим рождается устойчивый предельный цикл.

Рис. 6. Графики функции M (Ω)/k и пря- мой I = kΩ/(R + r) при значении R =

= 0, 2214383123

Fig. 6. Graphs of the function M (Ω)/k and straight lines I = kΩ/(R + r) with R =

= 0, 2214383123

Рис. 7. Предельный цикл

Fig. 7. Limit cycle

Выводы

В результате анализа динамической модели малой ветроэнергетической установки, в предположении неизменности внешнего сопротивления R, были получены условия, при которых в системе наблюдаются бифуркация типа седло–узел и суперкритическая бифуркация Андронова–Хопфа. Это означает, что возможны смены режимов работы малой ВЭУ и колебания в системе.

About the authors

A. S. Kirsanova

Author for correspondence.
Email: askirsanova99@gmail.com

student

References

Supplementary files