MOLECULAR DYNAMIC MODELING OF STRESS FIELDS IN PLATES WITH A CENTRAL CRACK MADE OF MATERIALS WITH A FACE-CENTERED CUBIC LATTICE

Full Text

Введение

Наличие трещины приводит к значительной концентрации напряжений или деформаций в непосред- ственной близости от вершины трещины, и напряжение представляется в виде сингулярности у вершины, которая интенсивно накапливает энергию деформации как движущая сила, инициирующая разрушение. Следовательно, не максимальное напряжение в одной точке, а интенсивность напряжений этого контину- ального «сингулярного поля» вблизи вершины трещины определяет начало разрушения. За длительный период было проведено огромное количество исследований, основанных на этой концепции механики разрушения, как экспериментально, так и теоретически для широкого диапазона размеров образцов, от метров до микрометров. Эти исследования показали, что разрушение успешно описывается сингу- лярным полем сплошных напряжений независимо от размера материалов, тем не менее разрушение в конечном счете характеризуется дискретными событиями в атомном масштабе, такими как разрыв свя- зей. Однако на наноуровне возникает двусмысленность: поскольку структурные размеры материалов далее уменьшаются до нанометров, поле сингулярных напряжений, образующееся вблизи вершины тре- щины, аналогичным образом ограничивается нанометрами, где присутствует только чрезвычайно мень- шее количество атомов по сравнению с материалами макромасштабов. Эта ситуация явно противоречит концепции механики разрушения, основанной на теории континуума, которая постулирует наличие до- статочно большого числа атомов, чтобы рассматривать даже область кончика трещины как сплошную среду. Это несоответствие порождает фундаментальные вопросы о том, до какого масштаба доходит ме- ханика разрушения и каков альтернативный принцип, управляющий разрушением ниже критического размера, при котором механика разрушения разрушается. Хотя было предпринято очень мало попыток решить эту критическую проблему из-за экспериментальных трудностей в нанометровом масштабе, ре- зультат показал, что даже сингулярное поле напряжений в несколько десятков нанометров все равно будет управлять трещиной.

Однако испытания на разрушение даже для небольших образцов экспериментально практически неразрешимы. Таким образом, интерпретация с точки зрения механики сплошных сред и нахождение предела по-прежнему остаются значительной и трудной задачей. По всей видимости, именно вычисли- тельный эксперимент предоставляет неограниченные возможности исследования процессов разрушения на всей совокупности временных и пространственных масштабах. Данная статья посвящена вопросам численного моделирования разрушения и деформирования образцов с дефектами с учетом кристалли- ческой решетки деформируемого тела.

Классическая механика сплошных сред предоставляет высокоразвитый и многократно апробирован- ный математический аппарат для описания напряженно-деформированного состояния в нагруженных телах. Идея настоящей работы заключается в распространении математических методов и полученных результатов механики континуума на наноразмерные объекты. Поэтому в настоящей статье далее пред- ставлены результаты атомистического моделирования пластины с дефектом на наноскопическом уровне. Все вычисления выполнены посредством метода молекулярной динамики в симуляторе LAMMPS (Large- scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator). Основная задача состоит в сравнении подходов ме- ханики континума и дискретного описания полей напряжений в пластине с учетом строения кристал- лической решетки материала.

 

1. Атомистический подход к определению упругих констант материалов в открытом коде LAMMPS

   Прежде чем перейти к исследованию полей напряжений в пластине с центральной трещиной, опре- делим упругие свойства монокристаллов меди и алюминия с помощью молекулярно-динамического мо- делирования в программном пакете LAMMPS.

   Потенциальную энергию атомов можно представить разложением в ряд Тейлора по компонентам тензора деформаций:

   6

    

   E(ε) = E(0) + ∑ ∂E ε

   6

    

   + 1 ∑

   ∂2E

    

   o ε ,

    

   i=1

   

   ∂εi i

   

   2

   i,j=1

   

   ∂εi∂εj i j

   где E(0) – энергия равновесного состояния, εi и εj – компоненты тензора деформаций в нотации Фойгта.

   Тогда компоненты тензора упругих модулей можно рассчитать по формуле:

   1 ∂2E

   

   i

    

   j

    

   Cij = V ∂ε ∂ε

   . (1.1)

   Мушанкова К.А., Степанова Л.В. Молекулярно-динамическое моделирование полей напряжений в пластинах ...

   70 Mushankova K.A., Stepanova L.V. Molecular dynamics modeling of stress fields in plates with a central crack ...

    

   Для нахождения компонент тензора упругих модулей гранецентрированной кубической меди и гра- нецентрированного кубического алюминия был написан код в программном пакете LAMMPS. Командой boundary задавались периодические граничные условия для уменьшения влияния границ на результаты эксперимента. С помощью команды lattice задавалась исходная конфигурация атомов. Нами указыва- лась конфигурацияя fcc (face-centered cubic) с параметром решетки 3.615 ˚A для меди и 3.986 ˚A для алюминия. Значения параметров решетки были взяты из файлов Cu_u3.eam и Al_jnp.eam, которые использовались для задания межатомных взаимодействий командами pair_style и pair_coeff. Командой region box моделировался блок кубической формы со сторонами 20 в единицах решетки, включающий в себя 32 000 атомов. Временной шаг моделирования задавался равным tstep = 0.001ps.

   В течение 2 пс применялась команда минимизации энергии для нахождения равновесного состояния блока атомов. Процесс минимизации потенциальной энергии нужен для приведения исходной системы атомов к энергетическому минимуму.

   С помощью команды fix nvt, реализующей термостат Нозе — Гувера, поддерживалась температура равная 0.1 К. Нами был выбран этот ансамбль, так как для рассматриваемых условий нет отличий в результатах исследования при моделировании c NVE или NVT ансамблями.

   ij

    

   Командой erate задавалась постоянная скорость деформации блока атомов ε˙0

   = 0.01 1/ps. Нормаль-

   ные компоненты тензора деформаций на различных временных шагах определялись по формуле εii =

   = ε˙0 t, касательные компоненты тензора деформации по формуле εij = ε˙0 t/2. Для нахождения тензора

   ii ij

   упругих модулей гранецентрированных кубических меди и алюминия моделирование проводилось в те-

   чение 30 пс.

   Результаты работы программного пакета LAMMPS записывались в выходные файлы. С помощью кода на языке Python строились графики зависимости энергии от компонент тензора деформаций. На точечный график накладывалась аппроксимирующая полиномиальная кривая, коэффициенты которой подбирались методом наименьших квадратов. С помощью этих коэффициентов рассчитывались компо- ненты тензора упругих модулей по формуле (1.1).

   На рис. 1.1 приведен график зависимости энергии E от компоненты тензора деформации ε1 для вычисления компоненты тензора упругих модулей C11 гранецентрированной кубической меди. Точка- ми обозначены результаты атомистического моделирования в программном пакете LAMMPS, черной линией — аппроксимирующая кривая.

    

   

    

   Рис. 1.1. Зависимость потенциальной энергии блока атомов E от компоненты тензора деформации ε1

   для расчета C11 для ГЦК меди

   Fig. 1.1. Dependence of the potential energy of a block of atoms E on the strain tensor component ε1

   for calculation C11 for FCC copper

    

   Проведя аналогичные вычисления для всех компонент тензора, мы получили тензор упругих модулей исследуемой меди:

    

   	162	115	115	0	0	0	
   	115	162	115	0	0	0	
    	115	115	162	0	0	0	 
    	0	0	0	81	0	0	 , 
    	0	0	0	0	81	0	 
   	0	0	0	0	0	81

    

   (1.2)

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 68–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 68–82 71

    

   где значения представлены в ГПа.

   Аналогичный расчет был проведен для гранецентрированного кубического алюминия при использо- вании потенциала Al_jnp.eam.

    

   	118	88	88	0	0	0	
   	88	118	88	0	0	0	
    	88	88	118	0	0	0	 
    	0	0	0	45	0	0	 , 
    	0	0	0	0	45	0	 
   	0	0	0	0	0	45

    

   (1.3)

    

   где значения также представлены в ГПа.

   Затем нами были вычислены средние значения модуля всестороннего сжатия, модуля сдвига, коэф- фициента Пуассона и модуля Юнга. Усреднение проводилось по Фойгту — Ройссу — Хиллу [17]. В этой схеме для нахождения модуля сдвига G и модуля всестороннего сжатия K берется среднее арифмети- ческое оценок Фойгта и Ройсса:

   1

   

   G = 2 (GV + GR), K =

   1

   

   2 (KV + KR). (1.4)

    

   Оценки Фойгта и Ройсса для модуля всестороннего сжатия и модуля сдвига представлены ниже:

    

   1

   

   KV = 9 [(C11 + C22 + C33) + 2(C12 + C23 + C31)],

    

   1

   

   GV = 15 [(C11 + C22 + C33) − (C12 + C23 + C31) + 3(C44 + C55 + C66)],

    

   1

   

   K

    

   = (S11 + S22 + S33) + 2(S12 + S23 + S31),

   R

    

   15

   

   G

    

   = 4(S11 + S22 + S33) − 4(S12 + S23 + S31) + 3(S44 + S55 + S66).

   R

   ij

    

   где Sij – тензор податливости Sij = C−1.

   Средние значения коэффициента Пуассона и модуля Юнга определяются через модули всестороннего сжатия и сдвига, полученные по формулам (1.4):

    

   v = 3K − 2G

   2(3K + G)

    

   , E =

   9KG

   3K + G

    

   . (1.5)

    

   Результаты для ГЦК меди и ГЦК алюминия представлены в таблице, они с достаточной точностью согласуются с результатами, представленными в [13].

    

   Таблица

   Table

    

   Средние значения	ГЦК медь	ГЦК алюминий
   Модель всестороннего сжатия	130.279 ГПа	98.53 ГПа
   Модуль сдвига	49.436 ГПа	29.15 ГПа
   Коэффициент Пуассона	0.336	0.365
   Модуль Юнга	131.656 ГПа	76.59 ГПа

    

   С помощью онлайн-инструмента для анализа тензоров упругости ELATE [14] по тензорам (1.2) и (1.3) были построены графики, визуализирующие зависимость модуля Юнга от направления для ГЦК меди и ГЦК алюминия. Фигуры на рис. 1.2 иллюстрируют относительное удлинение по каждому направлению для гранецентрированных кубических меди и алюминия. На рис. 1.3–1.4 представлены распределения модуля Юнга на плоскостях.

   Мушанкова К.А., Степанова Л.В. Молекулярно-динамическое моделирование полей напряжений в пластинах ...

   72 Mushankova K.A., Stepanova L.V. Molecular dynamics modeling of stress fields in plates with a central crack ...

    

   

   Рис. 1.2. Модуль Юнга ГЦК меди и ГЦК алюминия

   Fig. 1.2. Young’s modulus of FCC copper and FCC aluminum

    

   

    

   Рис. 1.3. Модуль Юнга ГЦК меди в плоскостях xy, xz и yz

   Fig. 1.3. Young’s modulus of FCC copper in the xy, xz and yz planes

    

   

    

   Рис. 1.4. Модуль Юнга ГЦК алюминия в плоскостях xy, xz и yz

   Fig. 1.4. Young’s modulus of FCC aluminum in the xy, xz and yz planes

    

   По тензору упругих модулей были построены и графики распределения коэффициента Пуассона. В ELATE коэффициент Пуассона изображается с помощью трех цветов, которые показывают макси- мальные положительные, минимальные положительные и отрицательные значения коэффициента Пуас- сона. На рис. 1.5 максимальные положительные значения коэффициента Пуассона представлены внеш- ней поверхностью, минимальные положительные и отрицательные значения — внутренними поверхно- стями (поверхность с отрицательными значениями коэффициента Пуассона имеет меньшую площадь). На рис. 1.6–1.7 представлены распределения коэффициента Пуассона на плоскостях.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 68–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 68–82 73

    

   

   Рис. 1.5. Коэффициент Пуассона ГЦК меди и ГЦК алюминия

   Fig. 1.5. Poisson’s ratio FCC copper and FCC aluminum

    

   

    

   Рис. 1.6. Коэффициент Пуассона ГЦК меди в плоскостях xy, xz и yz

   Fig. 1.6. Poisson’s ratio of FCC copper in the xy, xz and yz planes

    

   

    

   Рис. 1.7. Коэффициент Пуассона ГЦК алюминия в плоскостях xy, xz и yz

   Fig. 1.7. Poisson’s ratio of FCC aluminum in the xy, xz and yz planes

    

   На рис. 1.8–1.10 демонстрируются графики распределения модуля сдвига. Внутренней поверхностью представлены минимальные значения модуля сдвига, внешней — максимальные.

   Мушанкова К.А., Степанова Л.В. Молекулярно-динамическое моделирование полей напряжений в пластинах ...

   74 Mushankova K.A., Stepanova L.V. Molecular dynamics modeling of stress fields in plates with a central crack ...

    

   

   Рис. 1.8. Модуль сдвига ГЦК меди и ГЦК алюминия

   Fig. 1.8. Shear modulus FCC copper and FCC aluminum

    

   

    

   Рис. 1.9. Модуль сдвига ГЦК меди в плоскостях xy, xz и yz

   Fig. 1.9. Shear modulus of FCC copper in the xy, xz and yz planes

    

   

    

   Рис. 1.10. Модуль сдвига ГЦК алюминия в плоскостях xy, xz и yz

   Fig. 1.10. Shear modulus of FCC aluminum in the xy, xz and yz planes

    

2. Молекулярно-динамическое определение полей напряжений у верщины центральной трещины

   Дальнейшим направлением исследования было получение с помощью метода молекулярной динамики полей напряжений пластин с центральной трещиной из материалов с гранецентрированной кубической решеткой при приложении к ним нормального нагружения.

   В программном пакете LAMMPS был написан код, согласно которому моделировалась пластинка, состоящая из 200 000 атомов, размерами 398.6 ˚A× 398.6 ˚A× 11.96 ˚A. Нами исследовались гранецентриро- ванная кубическая медь с параметром решетки 3.615 ˚A и гранецентрированный кубический алюминий

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 68–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 68–82 75

    

   с параметром решетки 3.986 ˚A. Потенциалы, температура, граничные условия задавались такими же, как в эксперимете по определению упругих констант материалов.

   Центральная трещина размером 36.5 ˚A моделировалась путем удаления взаимодействий между груп- пами атомов (рис. 2.1).

    

    

   

    

   Рис. 2.1. Визуализация центральной трещины в программе OVITO на временном шаге 4.5 пс

   Fig. 2.1. Visualization of the central crack in the OVITO program at a time step of 4.5 ps

    

   Пластина растягивалась в направлении, пермендикулярном трещине, с постоянной скоростью дефор-

   22

    

   мации ε˙0

   22

    

   = 0.01 1/ps. Длина пластины менялась с течением времени по закону L(t) = L0(1 + ε˙0 t), где

   t – прошедшее время (в пикосекундах), L0 – исходная длина пластины.

   Моделирование пластины с центральной трещиной рационально проводить до тех пор, пока трещина не начинает распространяться, так как только в этом случае мы можем сравнить результат атомисти- ческого моделирования с решением континуальной механики разрушения для неподвижной трещины.

   В пакете визуализации OVITO по выходным файлам LAMMPS были получены рис. 2.2–2.4, изобра- жающие распределение компонент тензора напряжений σ11, σ22, σ12 с течением времени для ГЦК меди. Синим обозначены области с минимальным значением соответствующей компоненты тензора напряже- ния, красным — с максимальным значением.

    

   

    

   Рис. 2.2. Распределение компоненты тензора напряжений σ11 на временных шагах 1.5 пс, 3.3 пс и 5.5 пс для ГЦК меди

   Fig. 2.2. Distribution of the stress tensor component σ11 at time steps of 1.5 ps, 3.3 ps, and 5.5 ps for FCC copper

   Мушанкова К.А., Степанова Л.В. Молекулярно-динамическое моделирование полей напряжений в пластинах ...

   76 Mushankova K.A., Stepanova L.V. Molecular dynamics modeling of stress fields in plates with a central crack ...

    

   

    

   Рис. 2.3. Распределение компоненты тензора напряжений σ22 на временных шагах 1.5 пс, 3.3 пс и 5.5 пс для ГЦК меди

   Fig. 2.3. Distribution of the stress tensor component σ22 at time steps of 1.5 ps, 3.3 ps, and 5.5 ps for FCC copper

    

    

   

    

   Рис. 2.4. Распределение компоненты тензора напряжений σ12 на временных шагах 1.5 пс, 3.3 пс и 5.5 пс для ГЦК меди

   Fig. 2.4. Distribution of the stress tensor component σ12 at time steps of 1.5 ps, 3.3 ps, and 5.5 ps for FCC copper

    

   Аналогичные визуализации компонент тензора напряжений σ11, σ22, σ12 были получены для ГЦК алю- миния, они представлены на рис. 2.5–2.7.

    

   

    

   Рис. 2.5. Распределение компоненты тензора напряжений σ11 на временных шагах 1.5 пс, 3.3 пс и 5.5 пс для ГЦК алюминия

   Fig. 2.5. Distribution of the stress tensor component σ11 at time steps of 1.5 ps, 3.3 ps, and 5.5 ps for FCC aluminum

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 68–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 68–82 77

    

   

    

   Рис. 2.6. Распределение компоненты тензора напряжений σ22 на временных шагах 1.5 пс, 3.3 пс и 5.5 пс для ГЦК алюминия

   Fig. 2.6. Distribution of the stress tensor component σ22 at time steps of 1.5 ps, 3.3 ps, and 5.5 ps for FCC aluminum

    

   

    

   Рис. 2.7. Распределение компоненты тензора напряжений σ12 на временных шагах 1.5 пс, 3.3 пс и 5.5 пс для ГЦК алюминия

   Fig. 2.7. Distribution of the stress tensor component σ12 at time steps of 1.5 ps, 3.3 ps, and 5.5 ps for FCC aluminum

    

   Нами выбиралась кольцевая область с центром в вершине трещины и записывался файл, содержа- щий значения компонент тензора напряжений и координат атомов. Внешний радиус кольца выбирался равным 15 ˚A, внутренний радиус – 10 ˚A. В кольцевую область при моделировании ГЦК меди вошли 321 атом, при моделировании алюминия – 261.

    

   

   Рис. 2.8. Выбор кольцевой области в программе OVITO на временном шаге 5.5 пс для ГЦК меди

   Fig. 2.8. Selection of the annular area in the OVITO program at a time step of 5.5 ps for FCC copper

    

   Результаты обрабатывались кодом на языке Python. Поскольку в LAMMPS и OVITO для определе- ния положения атомов использовались декартовы координаты, с помощью кода на языке Python они переводились в полярные, и строились зависимости компонент тензора напряжений σ11, σ22, σ12 от поляр- ного угла θ. Также на этих графиках строились зависимости компонент тензора напряжений σ11, σ22, σ12,

   Мушанкова К.А., Степанова Л.В. Молекулярно-динамическое моделирование полей напряжений в пластинах ...

   78 Mushankova K.A., Stepanova L.V. Molecular dynamics modeling of stress fields in plates with a central crack ...

    

   полученные с помощью классического решение Уильямса [1], содержащего 20 слагаемых, от полярного угла θ.

    

3. Сравнение результатов атомистического моделирования и аналитического решения континуальной механики разрушения

 

Проведем сравнение результатов, полученных для гранецентрированной кубической меди и гранецен- трированного кубического алюминия. Для этого рассмотрим графики 3.1 – 3.3, на которых точками обозначены результаты молекулярно-динамического моделирования, реализованного в программном па- кете LAMMPS, а сплошной линией обозначено решение, полученное с помощью разложения Уильямса.

 

 

Рис. 3.1. Зависимость компоненты тензора напряжений σ11 от полярного угла θ в окрестности вершины трещины (слева – для ГЦК меди, справа – для ГЦК алюминия)

Fig. 3.1. Dependence of the stress tensor component σ11 on the polar angle θ in the vicinity of the crack tip (left — for FCC copper, right — for FCC aluminum)

 

 

Рис. 3.2. Зависимость компоненты тензора напряжений σ22 от полярного угла θ в окрестности вершины трещины (слева – для ГЦК меди, справа – для ГЦК алюминия)

Fig. 3.2. Dependence of the stress tensor component σ22 on the polar angle θ in the vicinity of the crack tip (left — for FCC copper, right — for FCC aluminum)

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 68–82

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 68–82 79

 

Рис. 3.3. Зависимость компоненты тензора напряжений σ12 от полярного угла θ в окрестности вершины трещины (слева – для ГЦК меди, справа – для ГЦК алюминия)

Fig. 3.3. Dependence of the stress tensor component σ12 on the polar angle θ in the vicinity of the crack tip (left — for FCC copper, right — for FCC aluminum)

 

Сравнивая результаты, полученные с помощью континуальной механики разрушения и молекулярно- динамического моделирования угловых распределений компонент тензора напряжений, можно сделать вывод о качественном и количественном соответствии результатов как для ГЦК меди, так и для ГЦК алюминия. Даже с 321 атомом для меди и с 261 атомом для алюминия, попавшим в контур, охваты- вающий вершину трещины, оказывается справедливым решение континуальной механики разрушения. Сравнивая результаты для различных материалов, наблюдаются непосредственные качественные сходства, однако можно видеть, что количественно значения компонент тензора напряжений для выбран- ных материалов отличаются, для меди можем наблюдать более высокие напряжения при определенных

значениях полярного угла, хотя оба материала моделировались при одинаковых условиях.

Стоит понимать, что решение континуальной механики разрушения – это идеализированная картина, которая получена в рамках представления механики сплошных сред, когда мы полностью отвлекаемся от кристаллической структуры материала и получаем гладкое решение, идеально удовлетворяющее кра- евым условиям на берегах трещины, так как трещина в механике сплошных сред моделируется идеаль- ным математическим разрезом. В методе молекулярной динамики мы строим математическую модель, которая учитывает кристаллическую структуру материала, и наблюдаем реальный физический разрез, поэтому выбросы частиц, которые мы наблюдаем на графиках при сравнении решения континуальной механики разрушения и метода молекулярной динамики, всегда будут, и это решение является более близким к действительности.

 

Выводы

Материалы разрушаются в результате зарождения и распространения трещины, критическое состоя- ние которой количественно описывается механикой разрушения, которая использует интенсивность син- гулярного поля напряжений, характерно формируемого вблизи вершины трещины. Однако предположе- ние о континууме, основанное на механике разрушения, затрудняет прогнозирование разрушения мате- риалов на наноуровне из-за дискретности атомов. В настоящей статье показано, что лишь небольшое число атомов включено в сингулярное поле сплошных напряжений, образующихся вблизи вершины тре- щины. Удивительно, но сингулярное поле напряжений на расстояниях всего в несколько нанометров по-прежнему управляет разрушением так же успешно, как и на макроуровне, в то время как коэффи- циент интенсивности напряжений, так и скорость высвобождения энергии не могут описать разрушение ниже критически ограниченного сингулярного поля.

В представленной работе выполнено компьютерное имитационное моделирование нагружения пластин с центральной трещиной в монокристаллической меди и алюминии на атомистическом уровне в пакете LAMPPS. В ходе вычислений проанализированы поля напряжений в пластине на наноуровне. Построен- ные поля напряжений сопоставлены с результатами классической континуальной механики разрушения. Оказалось, что распределения напряжений на макро- и наноуровнях сходны по своим распределениям. Поэтому заключаем, что математический аппарат современной механики разрушения может быть ис- пользован для описания атомистических полей напряжений. Подготовлена совокупность программ, позволяющих быстро проанализировать и сравнить механические поля. Следует отметить, что результаты атомистического расчета совпали с континуальными распределениями компонент напряжений даже в случае, когда мы сравниваем два различных материала: в МД моделировании кристаллическая решетка отвечает кубической сингонии, тогда как континуальное решение соответствует изотропному материалу. Даже в рамках принятого предположения результаты близки друг к другу.

 

About the authors

K. A. Mushankova

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: karinamushankova@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6081-1169

Master of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation

L. V. Stepanova

Samara National Research University

Email: stepanovalv2015@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6693-3132

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, head of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

Russian Federation

References

Supplementary files