ON THE NATURE OF ADDITIONAL SPACE AT CUTTING OF SPACES OF CUSP FORMS

Cover Page

Cite item

Abstract

In the article we study a space of cusp forms by the method of cutting. This space is a direct sum of the subspace of forms divided by the fixed cusp form named the cutting function and the additional space. If the additional space is zero we have the situation of exact cutting. In common case the cutting is not exact and it is important to research the nature of the additional space. We prove that the basis of the additional space can be described by the space of cusp forms of small weight. This weight is not more than 14 and often is equal to 4. We give examples of all cutting functions for all levels. We prove the theorem about the basis of the additional space to the space of cusp forms in the space of modular forms of the same level, weight and character. We use properties of eta-products, Biagioli formula for orders in cusps and Cohen — Oesterle formula for dimensions.

Full Text

  1. Предварительные сведения

    Основные понятия и цитируемые факты можно найти в [1; 4]. Для уровня 1 известна классическая структурная теорема:

     

    24

     

    Sk (Γ) = ∆(z· Mk12(Γ)∆(z) = η

    (z).

    Для высших уровней ситуация усложняется, и ее изучение является актуальной задачей. Мы можем представить пространство Sk 0(), χв виде

    Sk 0(), χ) = g(z· Mkl0(), χ2⊕ W,

    где g(z∈ Sl0(), χ1), χ χ1 · χ2Функция g(zназывается рассекающей функцией.

    Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм

    Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms

     

    Ее вес можно выбрать не превосходящим 12. Если пространство нулевое, то говорят о точном рассечении.

    Полное исследование точного рассечения в случае тривиального или квадратичного характера проведено в работах автора [5; 6]. Важную роль в этих исследованиях играют мультипликативные эта-произведения (функции МакКея) [7; 8] . Размерности пространств и поведение параболических форм в параболических вершинах вычисляются по формулам, приведенным в [9; 10]. В этой статье мы изучим структуру дополнительного пространства. Мы покажем, что его структура выражается через информацию о пространстве параболических форм веса + 2Далее, используя тот факт, что η - произведения имеют нули только в параболических вершинах, мы приведем примеры рассекающих функций для каждого уровня. Построены таблицы. Также доказывается теорема о пространстве, дополняющем Sk 0(), χдо Mk 0(), χ).

    Теорема 2.1. цитируется по статье [9]. Остальные теоремы статьи (теоремы 3.1, 3.2, 5.1) являются новыми.

     

  2. Формула Коэна — Остерле

    p

     

    Пусть χ — характер Дирихле, χ(1) = (1)k , f — его кондуктор. Для p|N, rp pr N, psp f.

    p

     

     pr′ pr 12s

    :( rp

    = 2r,

    p

     

    λ(rp, sp, p) =  2pr 2s

    :( rp

    = 2r + 1,

     2prp sp 2sp ;;: rp,

     0, k ≡ 1 (mod 2),

    image

    4

     

    1

     

    nk  − 1 , k ≡ 2 (mod 4),

    image

     4 , k ≡ 0 (mod 4),

     0, k ≡ 1 (mod 3),

    image

    3

     

    1

     

    mk  − 1 , k ≡ 2 (mod 3),

    image

     3 , k ≡ 0 (mod 3).

    |Γ : Γ0()|

    12

     (1 + 12

    p|N

     

    )

    , D1,χ λ(rp, sp, p),

    p|N

    D2,χ 

    x:x2 +10()

    χ(x), D3,χ 

    x:x2 +x+10()

    χ(x).

    Если характер χ χ0 — единичный характер, то будем писать Dj,χ Dj .

    Число D2,χ = 0, если делится на 4 или на простое число ≡ 3(mod 4)число D3,χ =

     

    = 0, если делится на 2 или на 9, или на простое число 2(mod 3)Эти числа учитывают

    image

    image

    2

     

    эллиптические точки, лежащие над и над ω +

    image

    2

     

    3 соответственно. Мы будем называть их

    "добавками"в формуле Коэна — Остерле, учитывая то, что при многих уровнях их нет. Число D1,χ равно количеству параболических вершин µ(относительно группы Γ0()если для любого простого числа выполнены условия 2sp :( rp.

    В этих обозначениях теорема Коэна — Остерле формулируется следующим образом.

    Теорема 2.1

     

    1

    image

    dim Sk 0(), χ− dim M20(), χ) = (− 1)D0 − 2 D1,χ nk D2,χ mk D3.

    Отсюда получаем при k > 2

    1

    image

    dim Sk 0(), χ) = (− 1)D0 − 2 D1,χ nk D2,χ mk D3.

    1

    image

    dim Mk 0(), χ) = (− 1)D0 2 D1,χ − n2D2,χ − mk2D3.

    Для = 1 эта формула не позволяет сразу найти размерности пространств. Если χ χ0то dim M00()) = 1если χ ̸χ0то dim M00(), χ) = 0.

    1 1 1

    image

    image

    image

    dim S20()) = 1 + D0 − 2 D1 − 4 D2 − 3 D3.

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 7–13

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 7–13 9

     

     

    1 1 1

    image

    image

    image

    dim S20(), χ) = D0 − 2 D1,χ − 4 D2,χ − 3 D3, χ ̸χ0.

    1 1 1

    image

    image

    image

    dim M20(), χ) = D0 2 D1,χ − 4 D2,χ − 3 D3.

     

  3. Теоремы о дополнительном пространстве

     

    Теорема 3.1

    Пусть

    1. — такое натуральное число, что D2 D3 = 0,

    2. k, l — положительные целые четные числа , ;;: + 8,

    3. параболическая форма g(z∈ Sl0()) и не имеет нулей в точках римановой поверхности

      (H/Γ0()) , эквивалентных или ω относительно Γ,

    4. {u1(z), ..., ut(z)— базис ортогонального дополнения к пространству g(z)M20()) в

      пространстве Sl+20()).

      Тогда

       

       

      где h(z)U,

      Sk 0()) = g(z)Mkl0()) ⊕ W,

       

      h(z) = 

       

      kl8

       

      kl2

      E(z), k ≡ + 2(4),

       E4 4

       

      (z· E6(z), k ≡ l(4).

       

      Доказательство

      Сначала покажем, что dim W dim Sk 0(), χ− dim (g(z· Mkl0()) при условии D2 D3 = 0.

      Действительно,

      image

      dim Sk 0()) = (− 1)D0 − 1 D1,

      1

      image

      dim (g(z)Mkl0()) = dim Mkl0()) = (− − 1)D0 2 D1,

      image

      image

      dim W dim Sl+20()) − dim M20()) = (+ 1)D0 − 1 D1 − (D0 1 D1) = · D0 − D1.

      2 2

      Равенство верно. Заметим также, что dim W l|Γ : Γ0()| − µ()где µ(— число

      параболических вершин относительно группы Γ0()Рассматриваемая размерность зависит только

      от уровня и веса рассекающей функции, но не от веса всего пространства, при возрастании веса все большее количество функций "делятся"на рассекающую в смысле деления функций в теории модулярных форм.

      image

      Функции uj (z)h(z), j = 1, t линейно независимы, они образуют базис W.

      Осталось показать, что

      ∩ g(z)Mkl0()) = {0}.

      Любая функция из имеет вид u(z)h(z)где

       

       

      для некоторых cj ∈ C.

      t

      u(z) =  cj uj (z),

      j=1

      Если u(z)h(z∈ g(z)Mkl0()), u(zне является тождественно нулевой, то из того , что h(zне

      имеет нулей вне точек и ω относительно Γследует , что в любой точке β римановой поверхности

      (H/Γ0())

       

      ordβ u(z;;: ordβ g(z).

      Следовательно, u(z∈ g(z· M20())а это по условию теоремы не так. Полученное противоречие завершает доказательство.

      Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм

      10 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms

       

      Теорема 3.2

      Пусть

      1. — такое натуральное число, что D2 D2,χ D3 D3,χ = 0,

      2. k, l — положительные целые нечетные числа , ;;: + 8,

      3. χ — характер Дирихле по модулю такой, что χ(1) = 1,

      4. параболическая форма g(z∈ Sl0(), χи не имеет нулей в точках, эквивалентных или ω

        относительно Γ,

      5. {u1(z), ..., ut(z)— базис ортогонального дополнения к пространству g(z)M20())

      в пространстве Sl+20(), χ).

      Тогда

       

       

      где h(z· U,

      Sk 0(), χ) = g(z)Mkl0()) ⊕ W,

       

      h(z) = 

       

      kl8

       

      kl2

      E(z), k ≡ + 2(4),

       E4 4

       

      (z· E6(z), k ≡ l(4).

       

      Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1.

       

  4. Явный вид рассекающих функций

     

    Мы приведем в этом параграфе явно примеры рассекающих функций для всех уровней и четных весов. В табл. 4.1 приведены примеры рассекающих функций для уровней таких, что D2 D2,χ =

    D3 D3,χ = 0Мы можем опереться на теорему 2, и дополнительные исследования не требуются. Для вышеназванных рассекающих функций указанный уровень является минимальным. Далее рассмотрим случаи, когда возникают добавки. Заметим , что для всех пространств допустимо рассечение функцией

    ∆(z) = η24(z)Ее минимальный уровень равен 1. Но для многих уровней можно подобрать рассекающие

    меньшего веса.

    Таблица 4.1

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    Table 4.1

     

    Условия на уровень

    Рассекающая функция

    Вес

    ≡ 0 (mod 24)

    ηN z)ηN z)ηN z)ηN z)

    2 4 6 12

    2

    ≡ 4 (mod 24)

    η12N z)

    2

    6

    ≡ 6 (mod 24)

    η6(Nz)η6N z)

    3

    6

    ≡ 8 (mod 24)

    η4N z)η4N z)

    2 4

    4

    ≡ 9 (mod 24)

    η6(Nz)η6N z)

    3

    6

    ≡ 11 (mod 24)

    η2(Nz)η2(z)

    2

    ≡ 12 (mod 24)

    η2(Nz)η2N z)η2N z)η2N z)

    3 2 6

    4

    ≡ 14 (mod 24)

    η(Nz)ηN z)η(2z)η(z)

    2

    2

    ≡ 15 (mod 24)

    η(Nz)ηN z)η(3z)η(z)

    3

    2

    ≡ 16 (mod 24)

    η2N z)η2N z)

    2 8

    2

    ≡ 18 (mod 24)

    η2(Nz)η2N z)

    3

    2

    ≡ 20 (mod 24)

    η2N z)η2(2z)

    2

    2

    ≡ 22 (mod 24)

    η2(Nz)η2(2z)

    2

    ≡ 23 (mod 24)

    η2(Nz)η2(z)

    2

     

     

    image

    image

    image

    image

    image

    image

    Далее рассмотрим ситуацию, когда уровень таков, что возможна только первая добавка. Результат приведен в таблице 4.2. Это возможно, когда сравнимо с 2, 5,10 или 17 по модулю 24.

    Для того чтобы выполнялось равенство размерностей в описанном в теореме разложении, должно выполняться условие

    n= n2k++ nl+2 + n0.

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 7–13

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 7–13 11

     

    Таблица 4.2

    Table 4.2

     

    Условия на уровень

    Рассекающая функция

    Вес

    ≡ 2 (mod 24)

    η8(Nz)η8(z)

    8

    ≡ 5 (mod 24)

    η4(Nz)η4(z)

    4

    ≡ 10 (mod 24)

    η4N z)η4(z)

    2

    4

    ≡ 17 (mod 24)

    η4(Nz)η4(z)

    4

     

    image

    Непосредственно проверяется, что при = 4 или = 8 условие nk n2k+nl+2 n0 выполняется

    при любом k.

    Теперь рассмотрим ситуацию, когда уровень таков, что возможна только вторая добавка. Результат приведен в таблице 4.3. Это возможно, когда сравнимо с 7, 19 или 21 по модулю 24.

    Для того чтобы выполнялось равенство размерностей в описанном в теореме разложении, должно выполняться условие

    m= m2k++ ml+2 + m0.

     

    Таблица 4.3

    Table 4.3

     

    Условия на уровень

    Рассекающая функция

    Вес

    ≡ 7 (mod 24)

    η6(Nz)η6(z)

    6

    ≡ 6 (mod 24)

    η6(Nz)η6(z)

    6

    ≡ 21 (mod 24)

    η6(Nz)η6(3z)

    6

     

    Непосредственно проверяется, что при = 6 условие mk m2k+ml+2 m0 выполняется при

    любом k.

    Если сравнимо по модулю 24 с 1 или 13, то возможны обе добавки. Рассекающей может служить параболическая форма веса 12 η24(Nz).

    Условия

    nk n14n14 n0

    и

     

     

    выполняются для любого k.

    mk m14m14 m0

     

  5. О дополнении к пространству параболических форм

 

Теорема 5.1

Пусть l > таково, что Sl0(), χ̸{0}, k ;;: + 4,

χ — характер Дирихле по модулю такой, что χ(1) = (1)k = (1)l.

Тогда

Mk 0(), χ) = Sk 0(), χ⊕ W,

базис образуют функции u1(z)h(z. . . ut(z)h(z)где u1(z. . . ut(z— базис ортогонального дополнения к пространству Sl((Γ0(), χв Ml((Γ0(), χ),

 

 kl2

4

 

 E(z), k ≡ + 2(4),

h(z) =

 

kl8

 E4

 

(z)E6(z), k ≡ l(4).

Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм

12 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms

 

Доказательство

Если l > 2,

 

 

Система

dim Mk 0, χ− dim Sk 0, χ) = dim Ml0, χ− dim Sl0, χ) = D1,χ dim W.

image

{uj (z)h(z)= 1, t dim W

линейно независима. Осталось показать, что Sk 0, χ∩ {0}Если бы это было не так, то пространство Span (u1(z. . . ut(z)) ∩ Sl0, χ̸{0}а это не так по условию теоремы.

Результаты статьи показывают важность нахождения базисов пространств параболических форм веса, не превосходящего 12. Для произвольного уровня это открытая проблема.

Выводы

Таким образом в статье доказывается, что базис дополнительного пространства к пространству параболических форм, рассекаемых фиксированной параболической формой, может быть описан с помощью пространства параболических форм малого веса. Приведены примеры рассекающих функций для каждого уровня. Показывается, что рассекающая функция имеет вес, не превосходящий 12. Доказана также теорема о базисе дополнительного пространства к пространству параболических форм в пространстве модулярных форм.

 

×

About the authors

G. V. Voskresenskaya

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: galvosk@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6288-5372

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Algebra
and Geometry

Russian Federation

References

  1. Ono K. The web of modularity: arithmetic of the coefficients of modular forms and q-series. A.M.S., Providence, 2004, 216 p. DOI: http://doi.org/10.1090/CBMS%2F102.
  2. Koblitz N. Introduction To Elliptic Curves and Modular Forms. Moscow: Mir, 1988, 320 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Koblitz.htm (in Russ.)
  3. Knapp A. Elliptic Curves. Moscow: Faktorial Press, 2004, 488 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Knapp.djv (in Russ.)
  4. Voskresenskaya G.V. Dedekind _—Function in Modern Research. Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 235, pp. 788–833. DOI: http://doi.org/10.1007/s10958-018-4093-5. (English; Russian original)
  5. Voskresenskaya G.V. Exact Cutting in Spaces of Cusp Forms with Characters. Mathematical Notes, 2018, vol. 103, no. 6, pp. 881–891. DOI: http://doi.org/10.1134/S0001434618050243. (English; Russian original).
  6. Voskresenskaya G.V. MacKay functions in spaces of higher levels. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2018, vol. 24, issue 4, pp. 13–18. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-4-13-18 (in Russ.)
  7. Gordon B., Sinor D. Multiplicative properties of _−products. In: Alladi K. (eds) Number Theory, Madras 1987. Lecture Notes in Mathematics, vol 1395. Springer, Berlin, Heidelberg, 1987, vol. 1395, pp. 173–200. DOI: http://doi.org/10.1007/BFb0086404.
  8. Dummit D.,Кisilevsky H., МасKay J. Multiplicative products of _− functions. Contemporary Mathematics, 1985, vol. 45, pp. 89–98.
  9. Cohen H., Oesterle J. Dimensions des espaces de formes modulaires. In: Lecture Notes in Mathematics, 1976, Vol. 627, pp. 69–78. DOI: http://doi.org/10.1007/BFB0065297.
  10. Biagioli A.J.F. The construction of modular forms as products of transforms of the Dedekind eta-function. Acta Arithmetica, 1990, vol. LIV, no 4, pp. 273–300. DOI: http://doi.org/10.4064/AA-54-4-273-300.

Copyright (c) 2022 Voskresenskaya G.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies