ON THE NATURE OF ADDITIONAL SPACE AT CUTTING OF SPACES OF CUSP FORMS

Full Text

1. Предварительные сведения

   Основные понятия и цитируемые факты можно найти в [1; 4]. Для уровня 1 известна классическая структурная теорема:

    

   24

    

   Sk (Γ) = ∆(z) · Mk−12(Γ), ∆(z) = η

   (z).

   Для высших уровней ситуация усложняется, и ее изучение является актуальной задачей. Мы можем представить пространство Sk (Γ0(N ), χ) в виде

   Sk (Γ0(N ), χ) = g(z) · Mk−l(Γ0(N ), χ2) ⊕ W,

   где g(z) ∈ Sl(Γ0(N ), χ1), χ = χ1 · χ2. Функция g(z) называется рассекающей функцией.

   Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм

   8 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms

    

   Ее вес можно выбрать не превосходящим 12. Если пространство W нулевое, то говорят о точном рассечении.

   Полное исследование точного рассечения в случае тривиального или квадратичного характера проведено в работах автора [5; 6]. Важную роль в этих исследованиях играют мультипликативные эта-произведения (функции МакКея) [7; 8] . Размерности пространств и поведение параболических форм в параболических вершинах вычисляются по формулам, приведенным в [9; 10]. В этой статье мы изучим структуру дополнительного пространства. Мы покажем, что его структура выражается через информацию о пространстве параболических форм веса l + 2. Далее, используя тот факт, что η - произведения имеют нули только в параболических вершинах, мы приведем примеры рассекающих функций для каждого уровня. Построены таблицы. Также доказывается теорема о пространстве, дополняющем Sk (Γ0(N ), χ) до Mk (Γ0(N ), χ).

   Теорема 2.1. цитируется по статье [9]. Остальные теоремы статьи (теоремы 3.1, 3.2, 5.1) являются новыми.

    

2. Формула Коэна — Остерле

   p

    

   Пусть χ — характер Дирихле, χ(−1) = (−1)k , f — его кондуктор. Для p|N, rp : pr ∥N, psp ∥f.

   p

    

    pr′ + pr′ −1, 2s

   :( rp

   = 2r′,

   p

    

   λ(rp, sp, p) =  2pr′ , 2s

   :( rp

   = 2r′ + 1,

    2prp −sp , 2sp ;;: rp,

    0, k ≡ 1 (mod 2),

   

   4

    

   1

    

   nk =  − 1 , k ≡ 2 (mod 4),

   

    4 , k ≡ 0 (mod 4),

    0, k ≡ 1 (mod 3),

   

   3

    

   1

    

   mk =  − 1 , k ≡ 2 (mod 3),

   

    3 , k ≡ 0 (mod 3).

   D = |Γ : Γ0(N )|

   0 12

   = N ∏ (1 + 12

   p|N

   ∏

    

   1 )

   p , D1,χ = λ(rp, sp, p),

   p|N

   D2,χ = ∑

   x:x2 +1≡0(N )

   χ(x), D3,χ = ∑

   x:x2 +x+1≡0(N )

   χ(x).

   Если характер χ = χ0 — единичный характер, то будем писать Dj,χ = Dj .

   Число D2,χ = 0, если N делится на 4 или на простое число p ≡ 3(mod 4), число D3,χ =

   ≡

    

   = 0, если N делится на 2 или на 9, или на простое число p 2(mod 3). Эти числа учитывают

   

   √

   

   2

    

   эллиптические точки, лежащие над i и над ω = −1 +

   

   2

    

   3 i соответственно. Мы будем называть их

   "добавками"в формуле Коэна — Остерле, учитывая то, что при многих уровнях их нет. Число D1,χ равно количеству параболических вершин µ∞(N ) относительно группы Γ0(N ), если для любого простого числа p выполнены условия 2sp :( rp.

   В этих обозначениях теорема Коэна — Остерле формулируется следующим образом.

   Теорема 2.1

    

   1

   

   dim Sk (Γ0(N ), χ) − dim M2−k (Γ0(N ), χ) = (k − 1)D0 − 2 D1,χ + nk D2,χ + mk D3,χ.

   Отсюда получаем при k > 2

   1

   

   dim Sk (Γ0(N ), χ) = (k − 1)D0 − 2 D1,χ + nk D2,χ + mk D3,χ.

   1

   

   dim Mk (Γ0(N ), χ) = (k − 1)D0 + 2 D1,χ − n2−k D2,χ − mk−2D3,χ.

   Для k = 1 эта формула не позволяет сразу найти размерности пространств. Если χ = χ0, то dim M0(Γ0(N )) = 1, если χ ̸= χ0, то dim M0(Γ0(N ), χ) = 0.

   1 1 1

   

   

   

   dim S2(Γ0(N )) = 1 + D0 − 2 D1 − 4 D2 − 3 D3.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 7–13

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 7–13 9

    

    

   1 1 1

   

   

   

   dim S2(Γ0(N ), χ) = D0 − 2 D1,χ − 4 D2,χ − 3 D3,χ, χ ̸= χ0.

   1 1 1

   

   

   

   dim M2(Γ0(N ), χ) = D0 + 2 D1,χ − 4 D2,χ − 3 D3,χ.

    

3. Теоремы о дополнительном пространстве

    

   Теорема 3.1

   Пусть

   1. N — такое натуральное число, что D2 = D3 = 0,

   2. k, l — положительные целые четные числа , k ;;: l + 8,

   3. параболическая форма g(z) ∈ Sl(Γ0(N )) и не имеет нулей в точках римановой поверхности

      (H/Γ0(N ))∗ , эквивалентных i или ω относительно Γ,

   4. {u1(z), ..., ut(z)} — базис ортогонального дополнения U к пространству g(z)M2(Γ0(N )) в

      пространстве Sl+2(Γ0(N )).

      Тогда

       

       

      где W = h(z)U,

      Sk (Γ0(N )) = g(z)Mk−l(Γ0(N )) ⊕ W,

      

      

      

       

      h(z) = 

       

      k−l−8

       

      k−l−2

      E4 4 (z), k ≡ l + 2(4),

       E4 4

      

       

      

      (z) · E6(z), k ≡ l(4).

       

      Доказательство

      Сначала покажем, что dim W = dim Sk (Γ0(N ), χ) − dim (g(z) · Mk−l(Γ0(N )) при условии D2 = D3 = 0.

      Действительно,

      

      dim Sk (Γ0(N )) = (k − 1)D0 − 1 D1,

      2 1

      

      dim (g(z)Mk−l(Γ0(N )) = dim Mk−l(Γ0(N )) = (k − l − 1)D0 + 2 D1,

      

      

      dim W = dim Sl+2(Γ0(N )) − dim M2(Γ0(N )) = (l + 1)D0 − 1 D1 − (D0 + 1 D1) = l · D0 − D1.

      2 2

      Равенство верно. Заметим также, что dim W = l|Γ : Γ0(N )| − µ∞(N ), где µ∞(N ) — число

      параболических вершин относительно группы Γ0(N ). Рассматриваемая размерность зависит только

      от уровня и веса рассекающей функции, но не от веса k всего пространства, при возрастании веса все большее количество функций "делятся"на рассекающую в смысле деления функций в теории модулярных форм.

      

      Функции uj (z)h(z), j = 1, t линейно независимы, они образуют базис W.

      Осталось показать, что

      W ∩ g(z)Mk−l(Γ0(N )) = {0}.

      Любая функция из W имеет вид u(z)h(z), где

       

       

      для некоторых cj ∈ C.

      t

      u(z) = ∑ cj uj (z),

      j=1

      Если u(z)h(z) ∈ g(z)Mk−l(Γ0(N )), u(z) не является тождественно нулевой, то из того , что h(z) не

      имеет нулей вне точек i и ω относительно Γ, следует , что в любой точке β римановой поверхности

      (H/Γ0(N ))∗

       

      ordβ u(z) ;;: ordβ g(z).

      Следовательно, u(z) ∈ g(z) · M2(Γ0(N )), а это по условию теоремы не так. Полученное противоречие завершает доказательство.

      Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм

      10 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms

       

      Теорема 3.2

      Пусть

      1. N — такое натуральное число, что D2 = D2,χ = D3 = D3,χ = 0,

      2. k, l — положительные целые нечетные числа , k ;;: l + 8,

      3. χ — характер Дирихле по модулю N такой, что χ(−1) = −1,

      4. параболическая форма g(z) ∈ Sl(Γ0(N ), χ) и не имеет нулей в точках, эквивалентных i или ω

         относительно Γ,

      5. {u1(z), ..., ut(z)} — базис ортогонального дополнения U к пространству g(z)M2(Γ0(N ))

      в пространстве Sl+2(Γ0(N ), χ).

      Тогда

       

       

      где W = h(z) · U,

      Sk (Γ0(N ), χ) = g(z)Mk−l(Γ0(N )) ⊕ W,

      

      

      

       

      h(z) = 

       

      k−l−8

       

      k−l−2

      E4 4 (z), k ≡ l + 2(4),

       E4 4

      

       

      

      (z) · E6(z), k ≡ l(4).

       

      Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1.

       

4. Явный вид рассекающих функций

    

   Мы приведем в этом параграфе явно примеры рассекающих функций для всех уровней и четных весов. В табл. 4.1 приведены примеры рассекающих функций для уровней N таких, что D2 = D2,χ =

   = D3 = D3,χ = 0. Мы можем опереться на теорему 2, и дополнительные исследования не требуются. Для вышеназванных рассекающих функций указанный уровень N является минимальным. Далее рассмотрим случаи, когда возникают добавки. Заметим , что для всех пространств допустимо рассечение функцией

   ∆(z) = η24(z). Ее минимальный уровень равен 1. Но для многих уровней можно подобрать рассекающие

   меньшего веса.

   Таблица 4.1

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   Table 4.1

    

   Условия на уровень	Рассекающая функция	Вес
   N ≡ 0 (mod 24)	η( N z)η( N z)η( N z)η( N z) 2 4 6 12	2
   N ≡ 4 (mod 24)	η12( N z) 2	6
   N ≡ 6 (mod 24)	η6(Nz)η6( N z) 3	6
   N ≡ 8 (mod 24)	η4( N z)η4( N z) 2 4	4
   N ≡ 9 (mod 24)	η6(Nz)η6( N z) 3	6
   N ≡ 11 (mod 24)	η2(Nz)η2(z)	2
   N ≡ 12 (mod 24)	η2(Nz)η2( N z)η2( N z)η2( N z) 3 2 6	4
   N ≡ 14 (mod 24)	η(Nz)η( N z)η(2z)η(z) 2	2
   N ≡ 15 (mod 24)	η(Nz)η( N z)η(3z)η(z) 3	2
   N ≡ 16 (mod 24)	η2( N z)η2( N z) 2 8	2
   N ≡ 18 (mod 24)	η2(Nz)η2( N z) 3	2
   N ≡ 20 (mod 24)	η2( N z)η2(2z) 2	2
   N ≡ 22 (mod 24)	η2(Nz)η2(2z)	2
   N ≡ 23 (mod 24)	η2(Nz)η2(z)	2

    

    

   

   

   

   

   

   

   Далее рассмотрим ситуацию, когда уровень таков, что возможна только первая добавка. Результат приведен в таблице 4.2. Это возможно, когда N сравнимо с 2, 5,10 или 17 по модулю 24.

   Для того чтобы выполнялось равенство размерностей в описанном в теореме разложении, должно выполняться условие

   nk = −n2−k+l + nl+2 + n0.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 7–13

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 7–13 11

    

   Таблица 4.2

   Table 4.2

    

   Условия на уровень	Рассекающая функция	Вес
   N ≡ 2 (mod 24)	η8(Nz)η8(z)	8
   N ≡ 5 (mod 24)	η4(Nz)η4(z)	4
   N ≡ 10 (mod 24)	η4( N z)η4(z) 2	4
   N ≡ 17 (mod 24)	η4(Nz)η4(z)	4

    

   

   Непосредственно проверяется, что при l = 4 или l = 8 условие nk = −n2−k+l + nl+2 + n0 выполняется

   при любом k.

   Теперь рассмотрим ситуацию, когда уровень таков, что возможна только вторая добавка. Результат приведен в таблице 4.3. Это возможно, когда N сравнимо с 7, 19 или 21 по модулю 24.

   Для того чтобы выполнялось равенство размерностей в описанном в теореме разложении, должно выполняться условие

   mk = −m2−k+l + ml+2 + m0.

    

   Таблица 4.3

   Table 4.3

    

   Условия на уровень	Рассекающая функция	Вес
   N ≡ 7 (mod 24)	η6(Nz)η6(z)	6
   N ≡ 6 (mod 24)	η6(Nz)η6(z)	6
   N ≡ 21 (mod 24)	η6(Nz)η6(3z)	6

    

   Непосредственно проверяется, что при l = 6 условие mk = −m2−k+l + ml+2 + m0 выполняется при

   любом k.

   Если N сравнимо по модулю 24 с 1 или 13, то возможны обе добавки. Рассекающей может служить параболическая форма веса 12 η24(Nz).

   Условия

   nk = −n14−k + n14 + n0

   и

    

    

   выполняются для любого k.

   mk = −m14−k + m14 + m0

    

5. О дополнении к пространству параболических форм

Теорема 5.1

Пусть l > 2 таково, что Sl(Γ0(N ), χ) ̸= {0}, k ;;: l + 4,

χ — характер Дирихле по модулю N такой, что χ(−1) = (−1)k = (−1)l.

Тогда

Mk (Γ0(N ), χ) = Sk (Γ0(N ), χ) ⊕ W,

базис W образуют функции u1(z)h(z) . . . ut(z)h(z), где u1(z) . . . ut(z) — базис ортогонального дополнения к пространству Sl((Γ0(N ), χ) в Ml((Γ0(N ), χ),

 k−l−2

4

 E4 (z), k ≡ l + 2(4),



h(z) =

k−l−8

 E4 4





(z)E6(z), k ≡ l(4).

Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм

12 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms

Доказательство

Если l > 2,

Система

dim Mk (Γ0, χ) − dim Sk (Γ0, χ) = dim Ml(Γ0, χ) − dim Sl(Γ0, χ) = D1,χ = dim W.

{uj (z)h(z)} j = 1, t = dim W

линейно независима. Осталось показать, что Sk (Γ0, χ) ∩ W = {0}. Если бы это было не так, то пространство Span (u1(z) . . . ut(z)) ∩ Sl(Γ0, χ) ̸= {0}, а это не так по условию теоремы.

Результаты статьи показывают важность нахождения базисов пространств параболических форм веса, не превосходящего 12. Для произвольного уровня это открытая проблема.

Выводы

Таким образом в статье доказывается, что базис дополнительного пространства к пространству параболических форм, рассекаемых фиксированной параболической формой, может быть описан с помощью пространства параболических форм малого веса. Приведены примеры рассекающих функций для каждого уровня. Показывается, что рассекающая функция имеет вес, не превосходящий 12. Доказана также теорема о базисе дополнительного пространства к пространству параболических форм в пространстве модулярных форм.

About the authors

G. V. Voskresenskaya

Author for correspondence.
Email: galvosk@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6288-5372

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Algebra
and Geometry

References

Supplementary files