A PROBLEM WITH NONLOCAL CONDITION FOR ONE-DIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATION

Full Text

Введение

В статье рассмотрена нелокальная задача с интегральным условием, внеинтегральные члены которо- го содержат как след производной по пространственной переменной, так и след производной по времени, что отражает наличие в рассматриваемой системе демпфера. Такие условия возникают при математиче- ском моделировании многих физических процессов и явлений. Строительные конструкции и сооружения в значительной степени подвержены как природным, так и техногенным динамическим воздействиям, к которым можно отнести ветровые и сейсмические воздействия, нагрузки от оборудования, движуще- гося транспорта, пешеходов. Энергия колебаний инженерных систем постепенно рассеивается за счет внутреннего трения в материале и внешнего сопротивления, что, безусловно, влияет на их колебатель- ный процесс, а снижение интенсивности внешних динамических воздействий приводит к затуханию коле- баний. Для обеспечения безаварийной работы инженерных систем необходимо проводить динамические расчеты конструкций и сооружений, выявлять их динамические характеристики. Также стоит отметить, что необходимо учитывать влияние эффекта внутреннего демпфирования, которое гасит колебания за счет трения в материале и тем самым влияет на общий колебательный процесс. И если уже известно,

Богатов А.В. Задача с динамическим нелокальным условием для одномерного гиперболического уравнения

8 Bogatov A.V. A problem with nonlocal condition for one-dimensional hyperbolic equation

как учитывать эффекты внешнего трения (внешнее гашение колебаний), то задача учета внутреннего трения до сих пор не имеет однозначного решения. Переходя к математическим терминам, мы получаем задачу с нелокальными условиями, которая описывает модель внутреннего трения (нелокального демп- фирования материала). В современной теории дифференциальных уравнений задачи с нелокальными условиями представляют собой интенсивно развивающееся направление [1–6]. Исследования нелокаль- ных задач показали, что классические подходы к их решению неприменимы [7]. Однако к настоящему времени разработаны некоторые методы, позволяющие преодолеть трудности, возникающие вследствие нелокальных условий [8]. Модификацией одного из них мы и воспользовались для доказательства од- нозначной разрешимости поставленной задачи в пространстве Соболева.

1. Постановка задачи

   В области QT = (0, l) × (0, T ) рассмотрим уравнение

   Lu ≡ utt − (aux)x + but + cu = f (x, t) (1)

   и поставим задачу: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

    

    

   граничному условию

    

   и нелокальному условию

   u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, (2)

    

   ux(0, t) = 0 (3)

    

   ∫ l

   ux(l, t) + γut(l, t) +

   K(x)ut(x, t)dx = 0. (4)

   0

   Введем понятие обобщенного решения задачи. Обозначим

   2

    

   W (QT ) = {u : u ∈ W 1(QT ), ut(l, t) ∈ L2(0, T )},

   Wˆ (QT ) = {v : v ∈ W (QT ), v(x, T ) = 0}.

   Следуя известной процедуре [9] и предположив, что u(x, t) является классическим решением постав- ленной задачи, v(x, t) — произвольная гладкая функция, такая, что v(x, T ) = 0, получим равенство

   ∫ T ∫ l

   ∫ T

   (−utvt + auxvx + butv + cuv)dxdt +

    

   v(l, t)[γut(l, t) +

   ∫ l

   K(x)ut(x, t)dx]dt

   0 0 0 0

   ∫ T ∫ l

   = f (x, t)v(x, t)dxdt. (5)

   0 0

   Заметим, что (5) выполняется, если u ∈ W (QT ), v ∈ Wˆ (QT ).

   Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(4) будем называть функцию u ∈ W (QT ), удовле- творяющую условию u(x, 0) = 0 и тождеству (5) для всех v ∈ Wˆ (QT ).

    

2. Разрешимость задачи

Теорема 2.1. Если

a, at, b, bt, c ∈ C(Q¯T ), f ∈ L2(QT ), K ∈ C[0, l], γ > 0,

то существует единственное обобщенное решение задачи (1)–(4).

Доказательство

Единственность решения. Предположим, что существуют два обобщенных решения u1(x, t) и u2(x, t)

задачи (1)–(4). Тогда их разность u(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t) удовлетворяет условию u(x, 0) = 0 и тожде-

ству

∫ T ∫ l

∫ T

(−utvt + auxvx + butv + cuv)dxdt +

v(l, t)[γut(l, t) +

∫ l

Kutdx]dt = 0. (6)

0 0

Выберем в (6)

0 0

{ ∫ t

v = τ u(x, η)dη, x � t � τ,

0, τ � t � T.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 7–14

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 7–14 9

Заметим, что v ∈ Wˆ (QT ), причем vt(x, t) = u(x, t). Интегрируя по частям в левой части (6), в ре- зультате несложных преобразований получим

∫ l ∫ τ

x

[u2(x, τ ) + av2 (x, 0)]dx + 2γ

u2(l, t)dt = 2

∫ τ ∫ l

cuvdxdt −

∫ τ ∫ l

x

atv2 dxdt−

0

∫ τ ∫ l

0

∫ τ ∫ l

0 0 0 0

∫ T ∫ l

— bu2dxdt − 2

0 0 0

btuvdxdt + 2

0 0

v(l, t)

Kutdxdt.

0

Так как по условию γ > 0, то из этого равенства вытекает неравенство

∫ l ∫ τ

x

[u2(x, τ ) + av2 (x, 0)]dx + 2γ

u(l, t)2dt � 2|

∫ τ ∫ l

cuvdxdt| + |

∫ τ ∫ l

x

atv2 dxdt|+

0

∫ τ ∫ l

0

∫ τ ∫ l

0 0 0 0

∫ T ∫ l

+| bu2dxdt| + 2|

0 0 0

btuvdxdt| + 2|

0 0

v(l, t)

Kutdxdt|. (7)

0

Оценим правую часть (7). Заметим, что в силу условий теоремы существуют числа a1, c0, b0, k0 такие,

l

0

что |a, at| � a1, |b, bt| � b0, |c| � c0, ∫

K2(x)dx � k0. Тогда

∫ τ ∫ l

|

x

atv2 dxdt| � a1

∫ τ ∫ l

x

v2 dxdt,

0 0 0 0

∫ τ ∫ l

|

bu2dxdt| � b0

∫ τ ∫ l

u2dxdt.

0

Применяя неравенство Коши, получим

∫ τ ∫ l

2|

0

cuvdxdt| � c0

0

∫ τ ∫ l

0

(u2 + v2)dxdt;

0 0 0 0

∫ τ ∫ l

2|

btuvdxdt| � b0

∫ τ ∫ l

(u2 + v2)dxdt.

0 0 0 0

Прежде чем оценивать последнее слагаемое правой части (7), преобразуем его, интегрируя по частям и учитывая, что v(x, τ ) = 0, u(x, 0) = 0. Получим

∫ τ ∫ l

v(l, t)

0 0

∫ τ

K(x)utdxdt = −

0

∫ l

vt(l, t)

0

K(x)u(x, t)dxdt.

Теперь воспользуемся неравенством Коши "с ε" и учтем, что vt = u.

∫ τ ∫ l

| u(l, t)

0 0

∫ τ

K(x)udxdt| � ε

0

∫ τ

u2(l, t)dt + c(ε)

∫ τ ∫ l

∫ τ ∫ l

(

0 0

Kudx)2dt �

� ε u2(l, t)dt + c(ε)k0

0 0

u2dxdt.

0

0

Выберем ε так, чтобы 2γ − ε > 0, и перенесем ε ∫ τ u2(l, t)dt в левую часть. Тогда

∫ l ∫ τ

x

[u2(x, τ ) + a0v2 (x, 0)]dx + ν

u2(l, t)dt � M

∫ τ ∫ l

x

(u2 + v2 )dxdt,

0 0 0 0

где ν = 2γ − ε, M = max{c(ε)k0 + a1; b0τ + a1} и в силу гиперболичности уравнения (1) всюду в

a(x, t) ) a0 > 0.

В частности,

Q¯T

∫ l

x

u2(x, τ ) + a0v2 (x, 0)dx � M

∫ τ ∫ l

x

(u2 + v2 )dxdt.

0 0 0

0

x

Для дальнейшей оценки введем функцию w(x, t) = ∫ t u

dη. Нетрудно видеть, что тогда справедливы

равенства

что приводит к неравенству

vx(x, t) = w(x, t) − w(x, τ ), vx(x, 0) = −w(x, τ ),

∫ l

[u2(x, τ ) + a0w2(x, τ )]dx �

0

∫ τ ∫ l

� M

u2dxdt + 2M

∫ τ ∫ l

w2(x, t)dxdt + 2M

∫ τ ∫ l

w2(x, τ )dxdt. (8)

0 0 0 0 0 0

Богатов А.В. Задача с динамическим нелокальным условием для одномерного гиперболического уравнения

10Bogatov A.V. A problem with nonlocal condition for one-dimensional hyperbolic equation

Заметим, что

∫ τ ∫ l

w2(x, τ )dxdt = τ

∫ l

w2(x, τ )dx.

Тогда (8) принимает вид

∫ l

0 0 0

∫ τ ∫ l ∫ l

[u2(x, τ ) + a0w2(x, τ )]dx � 2M

0 0

(u2(x, t) + w2(x, t))dxdt + 2Mτ

0

w2(x, τ )dx.

0

2

Поскольку τ — произвольно, выберем его так, чтобы a0 − 2Mτ ) a0 .

0

Перенесем 2Mτ ∫ l w2(x, τ )dx в левую часть и получим:

∫ l

m0 [u2(x, τ ) + w2(x, τ )]dx � 2M

∫ τ ∫ l

(u2(x, t) + w2(x, t))dxdt,

0 0 0

4M

где m0 = min{1, a0 − 2Mτ }, τ ∈ [0, a0 ].

4M

Применяя лемму Гронуолла, получим, что u = 0 для τ ∈ [0, a0 ]. Теперь рассмотрим следующий промежуток: τ ∈ [ µ , µ ]. Так же получим u = 0. Продолжая эту процедуру так, как описано в [9],

4M 2M

приходим к выводу, что u = 0 всюду в QT . Это и означает, что наше предположение неверно, стало

быть, не может существовать более одного обобщенного решения поставленной задачи.

Единственность решения доказана.

Существование решения. Рассмотрим произвольную систему функций wk (x), принадлежащих C2[0, l],

2

линейно независимую и полную в W 1(0, l).

k=1

Будем искать решение в виде um(x, t) = ∑m

ck (t)wk (x) из соотношений:

∫ l ′

(umwi + aumw

+ bumwi + cumwi)dx+

tt x i t

0

∫ l ∫ l

t

+wi(l)[γum(l, t) +

t

Kumdx] =

0

fwidx. (9)

0

Подставив в (9) представление um(x, t), приходим к системе обыкновенных дифференциальных урав- нений:

m

∑ c′′ ′

где

k=1

k (t)Aik + ck (t)Bik (t) + ck (t)Dik (t) = gi(t), (10)

Aik =

∫ l

∫ l

wk widx,

0

∫ l

Bik (t) =

b(x, t)wk wi(l)dx + γwk (l)wi(l) + wi(l)

0

K(x)wk (x)dx,

0

∫ l ′ ′

Dik (t) =

(awk wi + cwk wi)dx,

0

gi(t) =

присоединив к которой начальные условия

∫ l

f (x, t)wi(x)dx.

0

получим задачу Коши.

′

ck (0) = 0, ck (0) = 0, (11)

k

Так как функции wk (x) линейно независимы, то матрица при старших коэффициентах (10) — мат- рица Грама, в силу чего система (10) разрешима относительно c′′ (t). Условия теоремы гарантируют ограниченность ее коэффициентов и принадлежность правой части пространству L2(0, T ). Поэтому за-

k

дача Коши для этой системы однозначно разрешима, причем c′′ ∈ L1(0, T ). Таким образом, построена

последовательность приближений {um(x, t)}.

Покажем, что из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящу- юся к элементу пространства W (QT ).

Для дальнейших шагов в доказательстве существования решения поставленной задачи нам потребу- ются оценки, к выводу которых мы и перейдем.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 7–14

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 7–14 11

i

Умножим (9) на c′ (t), просуммируем по i от 1 до m и проинтегрируем в промежутке [0, τ ], получим:

∫ τ ∫ l

[umum + aumum + b(um)2 + cumum]dxdt+

tt t

0 0

∫ τ

x xt t

∫ l

t

∫ τ ∫ l

+ um(l, t)[γum(l, t) +

Kumdx]dt =

fumdxdt.

t t t t

0 0 0 0

Интегрируя по частям, приходим к равенству

1. ∫ l

   [um(x, τ ))2 + a(um(x, τ )2]dx + γ

    

   ∫ τ

   (um(l, t))2dt =

   

2. 0 t

∫ τ ∫ l

x

∫ τ ∫ l

t

0

∫ τ ∫ l

t

= − b(um)2dxdt −

0 0 0

t

cumumdxdt −

0

t

um(l, t)

0

t

K(x)um(x, t)dxdt+

0

1 ∫ τ ∫ l

+

at(um)2dxdt +

∫ τ ∫ l

fumdxdt,

2 0 0 x 0 0 t

из которого после умножения обеих частей на 2 следует неравенство

∫ l

[um(x, τ ))2 + a(um(x, τ )2]dx + 2γ

∫ τ

(um(l, t))2dt �

t

0

∫ τ ∫ l

x

∫ τ ∫ l

t

0

∫ τ ∫ l

t

� 2 |b|(um)2dxdt + 2|

0 0 0

t

umumdxdt| + 2|

0

t

um(l, t)

0

t

K(x)um(x, t)dxdt|+

0

∫ τ ∫ l

+

x

|at|(um)2dxdt + 2|

∫ τ ∫ l

t

fumdxdt|.

0 0 0 0

Получим априорную оценку, используя технику, продемонстрированную при доказательстве един- ственности. Особо отметим, что

∫ τ ∫ l

t

2| um(l, t)

0 0

t

K(x)um(x, t)dxdt| �

∫ τ

t

� ε (um(l, t))2dt + c(ε)

0

∫ τ ∫ l

(

0 0

t

Kumdx)2dt.

Выберем ε так, чтобы 2γ − ε > 0, и перенесем в левую часть первое слагаемое, получим

∫ l

[(um(x, τ ))2 + a(um(x, τ )2]dx + ν

∫ τ

(um(l, t))2dt �

t x t

0 0

∫ τ ∫ l

� 2

[P (um)2 + c0(um)2 + a1(um)2]dxdt +

∫ τ ∫ l

f 2dxdt,

t x

0 0 0 0

где P = max{2b1 + k0 + c0 + 1}, ν = 2γ − ε.

Прибавив к обеим частям очевидное неравенство

∫ l

(um(x, τ ))2dx � τ

∫ τ ∫ l

t

(um(x, t))2dxdt, (12)

0 0 0

которое является следствием представления um(x, τ ) = ∫ τ um(x, t)dt, получим

0 t

∫ l ∫ τ

m [(um(x, τ ))2 + (um(x, τ ))2 + (um(x, τ ))2]dx + ν

(um(l, t))2dt �

t

0

∫ τ ∫ l

x t

0

∫ τ ∫ l

� P1

[(um)2 + (um)2 + (um)2]dxdt +

f 2dxdt, (13)

t x

0 0 0 0

где m = min{1, a0}, P1 = max{P, c0, a1}.

В частности,

∫ l

[(um(x, τ ))2 + (um(x, τ ))2 + (um(x, τ ))2]dx �

0

∫ τ ∫ l

t x

1 ∫ τ ∫ l

� P2

[(um)2 + (um)2 + (um)2]dxdt +

f 2dxdt,

0 0 t x m 0 0

Богатов А.В. Задача с динамическим нелокальным условием для одномерного гиперболического уравнения

12Bogatov A.V. A problem with nonlocal condition for one-dimensional hyperbolic equation

где P2 = P1/m. Применим лемму Гронуолла:

∫ l

||f ||2

1

[( L2 (QT ).

0 m

После интегрирования по τ в промежутке [0, T ]:

∫ T ∫ l

2

[(um(x, τ ))2 + (um(x, τ ))2 + (um(x, τ ))2]dxdt � 1 (eP2 T − 1)||f || .

0 0 t x P1

L2 (QT )

Возвращаясь к (10), рассмотрим и оценим второе слагаемое левой части неравенства:

ν

Обозначим

0

1

P

(eP2 T − 1) = P3.

1

f 2dxdt.

0

Выше было доказано, что

∫ τ ∫ l

(um)2 + (um)2 + (um)2dxdt � 1 (eP2 T − 1)||f || = P ||f ||.

P

t x 3

0 0 1

Тогда получим

∫ τ

t

(um(l, t))2dt � P4||f ||2, ∀τ ∈ [0, T ],

0

где P4 = P2P3 + 1, откуда получаем, что

m 2

||u (x, t)||W (QT

) � K, K = max{P3, P4},

причем K не зависит от m. Так как константа в правой части последнего неравенства не зависит от m,

то из последовательности um(x, t) можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к неко- торому элементу u(x, t) ∈ W (QT ).

Покажем, что этот предел удовлетворяет тождеству (5). Умножим (9) на функцию hj (t) ∈ C1(QT ),

такую, что hj (T ) = 0, просуммируем по j (от 1 до m) и проинтегрируем по t от 0 до T .

Обозначив

m

η(x, t) = ∑ hj (t)wj (x),

j=1

получаем после интегрирования первого слагаемого левой части

∫ T ∫ l

(−umηt + aumηx + bumη + cumη)dxdt+

t x

0 0

∫ T ∫ l

t

∫ T ∫ l

t

+ η[γum(l, t) +

0

t

Kumdx]dt =

0 0

fηdxdt. (14)

0

Тождество (12) справедливо для любой функции η(x, t). Обозначим совокупность таких функций

η(x, t) через σm. В (12) перейдем к пределу при фиксированной функции η(x, t) ∈ σm. Это приведет

к тождеству (5) для предельной функции u(x, t). Так как совокупность всех функций η(x, t) плотна в

W 1 1

2 (QT ) [10], то полученное тождество выполнено для любой функции v(x, t) ∈ W2 (QT ). Следовательно,

u(x, t) — обобщенное решение задачи (1).

Теорема полностью доказана.

Заключение

Таким образом, была поставлена задача с динамическим нелокальным условием для одномерного гиперболического уравнения, возникающая при исследовании колебаний стержня, получено обобщенное решение поставленной задачи. Проведены необходимые преобразования, получены оценки для доказа- тельства единственности и существования решения.

About the authors

A. V. Bogatov

Author for correspondence.
Email: andrebogato@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5797-1930

postgraduate student of the Department of Equations of Mathematical Physics

References

Supplementary files