Модель динамики развития многофакторного производственного предприятия, учитывающая взаимодействие продуктовых и процессных инновационных потенциалов

Полный текст

Введение

Инновационная трансформация бизнес–процессов производственных предприятий представляет собой актуальное и приоритетное направление развития национальной экономики.

Общая динамика развития любого предприятия определяется динамикой роста объемов каждого производственного фактора, участвующего в его бизнес–процессах.

На особенности изменений объемов производственных факторов существенно влияют внедряемые в производство технологические инновации. Ресурсные, цифровые, финансовые, кадровые, научные, патентные и лицензионные компоненты технологических инноваций образуют инновационные потенциалы предприятия.

Они создают технологическую основу инновационной деятельности предприятия, выпускающего новые виды продукции и осваивающие новые методы их производства, и существенно влияют на сценарии его динамического развития [1-7].

На практике технологические инновации предприятия обеспечивают внедрение в производство комплексной автоматизации технологических процессов производства, новых материалов, высококвалифицированного персонала, робототехники, манипуляторов, гибких производственных систем, элементов искусственного интеллекта, промышленного интернета вещей, цифровых технологий и т.д. [8-18].

Инновационные потенциалы предприятия могут быть реализованы либо в виде принципиально новых выпускаемых продуктов, либо в виде нового бизнес–процесса или способа производства.

В первом случае технологические инновации являются процессными инновациями, выводящими на рынок новые товары.

Во втором случае технологические инновации представляют собой продуктовые инновации, внедряющие новые или значительно улучшенные способы производства продукции.

Очевидно, что на практике возможно сочетание таких вариантов применения инновационного потенциала, при которых продуктовые инновации и процессные инновации реализуются одновременно, генерируя и новый продукт, и новый процесс производства. [19-24].

Различные способы применения инновационного потенциала могут формировать различные сценарии развития предприятия.

Применение определенных инновационных технологий в производстве способно существенно повысить выручку предприятия, выпуская большее количество изделий той же номенклатуры.

Используя другие инновационные технологии предприятие может увеличить свою выручку, выпуская то же число изделий, но более высокого качества и более высокой цене.

Наконец, продвинутые инновационные технологии могут помочь предприятию решить одновременно обе вышеуказанные задачи, и выпускать большее число новых качественных и более дорогих изделий [25-28].

Таким образом, математическое моделирование подобных сценариев является актуальной задачей современной экономической теории, успешное решение которой может помочь экономическим системам и предприятиям правильно выбирать свой инновационный вектор развития, эффективно управляя инновационными процессами и инновационным потенциалом.

Целью предлагаемой работы является построение математической модели формирования и функционирования инновационных потенциалов и ее применения для разработки сценариев развития многофакторных предприятий.

1. Постановка задачи

Пусть динамика выпуска продукции предприятия обеспечивается произвольным числом производственных факторов $(Q_1,Q_2,\dots ,Q_n)$, представляющиие собой финансовые объемы основного капитала, оборотного капитала, объемы трудовых ресурсов, материалы, технологии и т.д.

Переменные величины этих объемов $Q_i=Q_i\left(t\right)$, предполагаются непрерывными, непрерывно – дифференцируемыми и ограниченными на интервале $(0⩽t<\infty )$ функциями времени $t$

$\begin{array}{c}{Q}_i^0⩽Q\left(t\right)<Q_i^{\infty },\left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,n\right).\\ \end{array}$

Здесь $Q_i^0$ – заданные начальные значения ресурсов $Q_i=Q_i\left(t\right)$, $Q_i^{\infty }=\underset{t\to \infty }{}{Q}_i\left(t\right)$ – его предельные значения, которые подлежат вычислению, единицей измерения непрерывного аргумента времени $t$ служит соответствующий обстоятельствам рыночный период (месяц, квартал, год).

Для увеличения объемов выручки предприятия и для повышения качества выпускаемой им продукции необходимо внедрение соответствующих инновационных технологий.

Технологии способствующие увеличению выпуска предприятием продукции и соответствующие каждому объему ресурса $Q_i$ образуют продуктовые инновационные потенциалы $U_i$.

Технологии способствующие повышению качества выпускаемой продукции $V$ и его цены образуют процессный инновационный потенциал предприятия $W$.

Функции продуктовых и процессных инновационных потенциалов $U_i\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ представляют собой специальные индикаторные функции, которые принимают значения от нуля до единицы, и задают особенности внедрения технологических инноваций в производство.

Если на некотором временном интервале функции $U_i\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ принимают значения близкие к нулю, то на этом интервале внедрение инновационных потенциалов $U=U\left(t\right)$ и $W=W\left(t\right)$ в производственную деятельность предприятия практически отсутствует.

Если же на некотором интервале функции $U_i\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ принимают значения близкие к единице, то на этом временном интервале внедрение продуктовых и процессных технологических инноваций в производственную деятельность предприятия практически полностью завершено.

Во временных интервалах, на которых происходит сравнительно интенсивное изменение функций $U_i\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ от нуля до единицы, наблюдается соответствующее внедрение технологических инноваций в производственную деятельность предприятия.

Начало, конец и временную длительность временных интервалов процессов внедрения инноваций определяются руководством предприятия.

Если процессы внедрения технологических инноваций выполняются строго на заданном отрезке времени, то в качестве индикаторных функций следует выбрать кусочно-линейные функции

$U_i\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l};t<t_i-{\sigma }_i\\ \\ \frac{t-t_i+{\sigma }_i}{2{\sigma }_i};t_i-{\sigma }_i⩽t⩽t_i+{\sigma }_i;\\ \\ ;t>t_i+{\sigma }_i,\end{array}\right.$ (1)

 и кусочно-линейную функцию

$W\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l};t<t_W-{\sigma }_W\\ \\ \frac{t-t_W+{\sigma }_W}{2{\sigma }_W};t_W-{\sigma }_W⩽t⩽t_W+{\sigma }_W;\\ \\ ;t>t_W+{\sigma }_W.\end{array}\right.$ (2)

Следует отметить, что в центрах интервалов $(t_i-{\sigma }_i,t_i+{\sigma }_i)$ и $(t_W-{\sigma }_W,t_W+{\sigma }_W)$ функции (1) и (2) принимают значения $U_i\left(t_i\right)=W\left(t_W\right)=\frac{1}{2}$.

Если на предприятии до моментов времени $t_i-{\sigma }_i$ и $t_W-{\sigma }_W$ уже имели место элементы внедрения инноваций, а после моментов времени $t_i+{\sigma }_i$ и $t_W+{\sigma }_W$ еще оставались фрагменты производства не подверженные инновациям, то в этом случае качестве функций $U_i\left(t\right), W\left(t\right)$ целесообразно выбрать логистические функции

$\begin{array}{l}{U}_i\left(t\right)=\frac{\exp (2\cdot \frac{t-t_i}{{\sigma }_i})}{\exp (2\cdot \frac{t-t_i}{{\sigma }_i})+1}W\left(t\right)=\frac{\exp (2\cdot \frac{t-t_W}{{\sigma }_W})}{\exp (2\cdot \frac{t-t_W}{{\sigma }_W})+1},\end{array}$ (3)

 являющиеся решениями задач Коши

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{U}_i\left(t\right)}{dt}=\frac{2}{{\sigma }_i}\cdot U_i\left(t\right)\cdot (1-U_i(t\left)\right),\\ \\ U_i\left(t_i\right)=\frac{1}{2},\\ \\ \left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,n\right),\end{array}\right.$ (4)

 и задачи Коши

$\left\{\begin{array}{c}\frac{dW\left(t\right)}{dt}=\frac{2}{{\sigma }_W}\cdot W\left(t\right)\cdot (1-W(t\left)\right),\\ \\ W\left(t_W\right)=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$ (5)

На Рис.1 представлены графики функций $U_i\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$, построенные по формулам (3)

 

Рис. 1: Графики функций $U_i\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$, построенные по формулам (3). Расчетные значения: $t_i=4$; ${\sigma }_i=0,75$; $t_w=8$; ${\sigma }_w=0,75$.

Fig. 1: Graphs of the functions $U_i\left(t\right)$ and $W\left(t\right)$, constructed using the formulas (3). Calculated values: $t_i=4$; ${\sigma }_i=0.75$; $t_w=8$; ${\sigma }_w=0,75$.

 

Производственная функция объема выручки предприятия может быть описана мультипликативной многофакторной функцией Кобба-Дугласа с переменными коэффициентами

$\begin{array}{l}V\left(t\right)=P\left(t\right)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)}.\\ \end{array}$ (6)

Здесь

$\left\{\begin{array}{l}P\left(t\right)=P^0\cdot (1-W(t\left)\right)+P^{\infty }\cdot W\left(t\right),\\ \\ a_s\left(t\right)=a_s^0\cdot (1-U_i(t\left)\right)+a_s^{\infty }\cdot U_i\left(t\right),\end{array}\right.$ (7)

коэффициенты $P_0, P_{\infty }$ – представляют собой начальную и предельную стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурсов $Q_s\left(t\right)$, показатели степени $a_s^0,a_s^{\infty }$ – представляют собой начальные и предельные эластичности выпусков продукции по ресурсам $Q_s\left(t\right)$. Относительно этих параметров выполняются очевидные неравенства

$\left\{\begin{array}{c}{P}_0⩽P_{\infty },\\ \\ 0⩽a_s^0⩽a_s^{\infty }⩽1.\end{array}\right.$

2. Модель многофакторного предприятия

Динамика развития рассматриваемого предприятия определяется системой уравнений балансов относительно объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$.

Рассмотрим приращения объемов ресурсов $Q_i\left(t\right)$ на некотором малом отрезке времени $[t,t+\Delta t]$

$\begin{array}{l}\Delta Q_i=Q_i(t+\Delta t)-Q_i\left(t\right),\left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,n\right)\\ \end{array}$

Каждое из этих приращений может быть представлено в виде двух слагаемых

$\begin{array}{l}\Delta Q_i=\Delta Q_i^A+\Delta Q_i^I,\\ \end{array}$ (8)

Здесь $\Delta Q_i^A$ – частичные амортизации объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$ за время $∆t$; $\Delta Q_i^I$ – частичные восстановления объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$ счет внутренних инвестиций за время $∆t$.

Приращения частичных амортизаций объемов $\Delta Q_i^A$ за время $∆t$ имеют вид

$\begin{array}{l}\Delta Q_i^A\left(t\right)=-\lambda \cdot A_i\cdot Q_i\left(t\right)\cdot \Delta t,\\ \end{array}$ (9)

Приращения частичных восстановлений объемов $\Delta Q_i^I$ за время $∆t$ можно записать в виде

$\begin{array}{l}\Delta Q_i^I\left(t\right)=\lambda \cdot I_i\left(t\right)\cdot \Delta t,\\ \end{array}$ (10)

Здесь $A_i$ – коэффициенты амортизации, доли выбывших за единицу времени объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$; $I_i\left(t\right)$ – инвестиции, восстанавливающие объемы ресурсов $Q_i\left(t\right)$

 

$\begin{array}{l}{I}_s\left(t\right)=B_i\cdot V\left(t\right),\\ \end{array}$

или, с учетом формулы (6) для производственной функции

$\begin{array}{l}{I}_i\left(t\right)=B_i\cdot P\left(t\right)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)},\\ \end{array}$ (11)

Здесь $B_i$ – нормы накопления внутренних инвестиций для факторов производства $Q_i\left(t\right)$, $\lambda$ – скорость роста объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$, задаваемая в начале процесса развития предприятия его руководством.

Подстановка формул (9) – (11) в уравнения (8) дает

$\begin{array}{l}\Delta Q_i=\lambda \cdot (-A_i{Q}_i(t)+B_i\cdot P(t)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)})\cdot \Delta t.\\ \end{array}$ (12)

Предельный переход в соотношениях (12) при условии $∆t\to 0$, приводит к системе связанных нелинейных дифференциальных уравнений

$\begin{array}{l}\frac{d{Q}_i\left(t\right)}{dt}=\lambda \cdot (-A_i\cdot Q_i(t)+B_i\cdot P(t)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)}).\\ \end{array}$ (13)

Начальные условия для системы уравнений (13) имеют вид

$\begin{array}{l}{Q}_i{|}_{t=0}=Q_i\left(0\right)=Q_i^0.\end{array}$ (14)

Система дифференциальных уравнений (14) показывает, что рассматриваемое производственное предприятие будет иметь поступательное развитие, до тех пор пока объемы внутренних инвестиций в бизнес–процессы будет численно превосходить объемы амортизационных отчислений. Очевидно, что при этом производные функций этих объемов будут принимать положительные значения.

Если численные значения объемов внутренних инвестиций и объемов амортизационных отчислений сравняются, то производные функций этих объемов будут обращаться в нуль, и процесс развития предприятия выйдет на свою предельную мощность.

Таким образом, значения предельных объемов производственных факторов $Q_i\left(t\right)$ и значения предельных значений объемов инновационных потенциалов могут получены в качестве решений системы уравнений

$\begin{array}{l}{A}_i\cdot Q_i^{\infty }=B_i\cdot P^{\infty }\cdot \prod _{s=1}^n{\left(Q_s^{\infty }\right)}^{a_s^{\infty }},\cdot (i=\mathrm{1,2,}\dots ,n).\\ \end{array}$ (15)

Для решения системы (15) разделим первые его $n$ уравнений на коэффициенты амортизации $A_i$

$\begin{array}{l}{Q}_i^{\infty }=\frac{B_i}{A_i}\cdot P\cdot \prod _{s=1}^n{\left(Q_s^{\infty }\right)}^{a_s^{\infty }}.\\ \end{array}$

Возведем левые и правые части всех равенств в степени $a_i$

$\begin{array}{l}{\left(Q_i^{\infty }\right)}^{a_i}={\left(\frac{B_i}{A_i}\right)}^{a_i}\cdot {\left(P\right)}^{a_i}\cdot {\left(\prod _{s=1}^n{\left(Q_s^{\infty }\right)}^{a_s^{\infty }}\right)}^{a_i},(i=\mathrm{1,2,}\dots ,n).\\ \end{array}$

Перемножим полученные равенства

$\begin{array}{l}\prod _{s=1}^n{\left(Q_s^{\infty }\right)}^{a_s}={\left(P\right)}^{\sum _{p=1}^n{a}_p}\cdot \prod _{s=1}^n{\left(\frac{B_s}{A_s}\right)}^{a_s}\cdot {\left(\prod _{s=1}^n{\left(Q_s^{\infty }\right)}^{a_s^{\infty }}\right)}^{\sum _{p=1}^n{a}_p}.\\ \end{array}$

Вычислим из полученного равенства произведение факторов производства

$\begin{array}{l}\prod _{s=1}^n{\left(Q_s^{\infty }\right)}^{a_s}={({\left(P\right)}^{\sum _{p=1}^n{a}_p}\cdot \prod _{s=1}^n{\left(\frac{B_s}{A_s}\right)}^{a_s})}^{\frac{1}{1-{\displaystyle \sum _{p=1}^n}{a}_p}}.\\ \end{array}$ (16)

Подставляя формулу (16) в систему уравнений (15), окончательно находим

$\begin{array}{l}{Q}_i^{\infty }=\frac{P^{\infty }\cdot B_i}{A_i}\cdot {({\left(P^{\infty }\right)}^{\sum _{p=1}^n{a}_p}\cdot \prod _{s=1}^n{\left(\frac{B_s}{A_s}\right)}^{a_s})}^{\frac{1}{1-{\displaystyle \sum _{p=1}^n}{a}_p}}.\\ \end{array}$ (17)

Рассмотрим несколько частных вариантов динамики развития предприятий.

3. Модель однофакторного предприятия

Пусть выпуск продукции предприятия обеспечивается одним производстенным фактором $Q\left(t\right)=Q_1\left(t\right)$.

Производственная функция (6) в таком случае принимает вид

$\begin{array}{l}V\left(t\right)=P\left(t\right)\cdot Q{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}.\\ \end{array}$ (18)

Здесь

$\left\{\begin{array}{c}P\left(t\right)=P_0\cdot (1-W(t\left)\right)+P_{\infty }\cdot W\left(t\right)a\left(t\right)=a_0\cdot (1-U(t\left)\right)+a_{\infty }\cdot U\left(t\right),\\ \\ U\left(t\right)=\frac{\exp (2\cdot \frac{t-t_U}{{\sigma }_U})}{\exp (2\cdot \frac{t-t_U}{{\sigma }_U})+1}W\left(t\right)=\frac{\exp (2\cdot \frac{t-t_W}{{\sigma }_W})}{\exp (2\cdot \frac{t-t_W}{{\sigma }_W})+1},\\ \end{array}\right.$ (19)

коэффициенты $P_0, P_{\infty }$ – представляют собой начальную и предельную стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурса $Q\left(t\right)$, показатели степени $a_0$ и $a_{\infty }$ – представляют собой начальные и предельные эластичности выпусков продукции по ресурсу $Q\left(t\right)$.

Система дифференциальных уравнений балансов (13) для однофакторного предприятия сводится к одному уравнению

$\begin{array}{l}\frac{dQ\left(t\right)}{dt}=\lambda \cdot (-A_Q\cdot Q(t)+B_Q\cdot P(t)\cdot Q{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}).\\ \end{array}$ (20)

Здесь $A_Q$ – коэффициент амортизации, $B_Q$ – норма накопления внутренних инвестиций для фактора производства $Q\left(t\right)$.

Начальное условие для уравнения (20) имеет вид

$\begin{array}{l}Q{|}_{t=0}=Q\left(0\right)=Q_0.\\ \end{array}$ (21)

Формулы (17) для значения предельного объема производственного фактора $Q\left(t\right)$ принимают в данном случае вид

$\begin{array}{l}{Q}_{\infty }={\left(\frac{P_{\infty }\cdot B_Q}{A_Q}\right)}^{\frac{1}{1-a_{\infty }}}.\end{array}$ (22)

Очевидно, что задачу Коши (20), (21) относительно объема фактора производства $Q\left(t\right)$ можно решать только численно.

На Рис.2 представлены три варианта графиков функций объемов фактора производства $Q\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (20), (21).

 

Рис. 2: Варианты графиков функций объемов фактора производства $Q\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (20), (21). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

Fig. 2: Variants of graphs of functions of production factor volumes $Q\left(t\right)$, constructed in accordance with numerical solutions of the Cauchy problem (20), (21). The dashed line corresponds to the first option, the solid line corresponds to the second option, and the dashed line corresponds to the third option.

 

В первом варианте внедрения продуктовых и процессных инноваций в структуру производства не происходит на всем временном интервале $(0⩽t<\infty )$, при этом функции продуктового и процессного инновационных потенциалов обращаются в нуль $U\left(t\right)=0$, $W\left(t\right)=0$.

Во втором варианте все продуктовые технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_U-{\sigma }_U,t_U+{\sigma }_U)$, все процессные технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_W-{\sigma }_W,t_W+{\sigma }_W)$, а функции $U\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ описываются формулами (19).

В третьем варианте внедрение продуктовых и процессных инноваций в структуру производства выполняется с самого начала, при этом функции продуктового и процессного инновационных потенциалов обращаются в единицу $U\left(t\right)=1$, $W\left(t\right)=1$.

На Рис.3 представлены три варианта графиков функций объемов выпуска продукции $V\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (20), (21) и формулой (18).

 

Рис. 3: Варианты графиков функций объемов выпуска продукции $V\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (20), (21) и формулой (18). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

Fig. 3: Variants of graphs of functions of production volumes $V\left(t\right)$, constructed in accordance with numerical solutions of the Cauchy problem (20), (21) and the formula (18). The dashed line corresponds to the first option, the solid line corresponds to the second option, and the dashed line corresponds to the third option.

 

В первом варианте внедрения продуктовых и процессных инноваций в структуру производства не происходит на всем временном интервале $(0⩽t<\infty )$, при этом функции продуктового и процессного инновационных потенциалов обращаются в нуль $U\left(t\right)=0$, $W\left(t\right)=0$.

Во втором варианте все продуктовые технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_U-{\sigma }_U,t_U+{\sigma }_U)$, все процессные технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $t_W-{\sigma }_W\mathrm{,}{t}_W+{\sigma }_W$, а функции $U\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ описываются формулами (19).

В третьем варианте внедрение продуктовых и процессных инноваций в структуру производства выполняется с самого начала, при этом функции продуктового и процессного инновационных потенциалов обращаются в единицу $U\left(t\right)=1$, $W\left(t\right)=1$.

При построении графиков функций на Рис.2 и Рис.3 были использованы следующие расчетные значения:

$\left\{\begin{array}{l}{t}_U=4;{\sigma }_U=1;t_W=8;{\sigma }_W=1;\\ \\ P_0=10;P_{\infty }=12;\\ \\ a_0=\mathrm{0,4};a_{\infty }=\mathrm{0,45};\\ \\ A_Q=\mathrm{0,1};B_Q=\mathrm{0,2};\lambda =12.\end{array}\right.$

4. Модель двухфакторного предприятия

Рассмотрим важный частный случай, при котором выпуск продукции предприятия обеспечивается двумя производстенными факторами – капиталом $K\left(t\right)=Q_1\left(t\right)$ и трудовыми ресурсами $L\left(t\right)=Q_2\left(t\right)$.

Производственная функция (6) принимает вид

$\begin{array}{l}V\left(t\right)=P\left(t\right)K{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}L{\left(t\right)}^{b\left(t\right)}.\\ \end{array}$ (23)

Здесь

$\left\{\begin{array}{c}P\left(t\right)=P_0\cdot (1-W(t\left)\right)+P_{\infty }\cdot W\left(t\right)a\left(t\right)=a_0\cdot (1-U_K(t\left)\right)+a_{\infty }\cdot U_K\left(t\right),\\ \\ b\left(t\right)=b_0\cdot (1-U_L(t\left)\right)+b_{\infty }\cdot U_L\left(t\right)U_K\left(t\right)=\frac{\exp (2\cdot \frac{t-t_K}{{\sigma }_K})}{\exp (2\cdot \frac{t-t_K}{{\sigma }_K})+1},\\ \\ U_L\left(t\right)=\frac{\exp (2\cdot \frac{t-t_L}{{\sigma }_L})}{\exp (2\cdot \frac{t-t_L}{{\sigma }_L})+1}W\left(t\right)=\frac{\exp (2\cdot \frac{t-t_W}{{\sigma }_W})}{\exp (2\cdot \frac{t-t_W}{{\sigma }_W})+1},\\ \end{array}\right.$ (24)

коэффициенты $P_0, P_{\infty }$ – по-прежнему представляют собой начальную и предельную стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурсов $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$, показатели степени $a_0\mathrm{,}{b}_0$ и $a_{\infty }\mathrm{,}{b}_{\infty }$ – представляют собой начальные и предельные эластичности выпусков продукции по ресурсам $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$.

Относительно этих параметров выполняются очевидные неравенства

$\left\{\begin{array}{c}{P}_0⩽P_{\infty },\\ \\ 0⩽a_0⩽a_{\infty }⩽\mathrm{1,}\\ \\ 0⩽b_0⩽b_{\infty }⩽1.\end{array}\right.$

Система дифференциальных уравнений балансов (13) для объемов факторов производства, описывающая динамику развития рассматриваемого двухфакторного предприятия записывается в виде

null (25)

Здесь величины $A_K, A_L$ – коэффициенты амортизации, доли выбывших за единицу времени объемов факторов производства $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$; величины $B_K, B_L$ – нормы накопления внутренних инвестиций для факторов производства $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$.

Начальные условия для системы уравнений (20) имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}K{|}_{t=0}=K\left(0\right)=K_0,\\ \\ L{|}_{t=0}=L\left(0\right)=L_0.\\ \end{array}\right.$ (26)

Формулы (17) для значений предельных объемов производственных факторов $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$ и предельных значений объемов инновационных потенциалов $U\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ принимают в данном случае вид

$\left\{\begin{array}{l}{K}_{\infty }={(P_{\infty }\cdot {\left(\frac{B_K}{A_K}\right)}^{1-b_{\infty }}\cdot {\left(\frac{B_L}{A_L}\right)}^{b_{\infty }})}^{\frac{1}{1-a_{\infty }-b_{\infty }}},\\ \\ L_{\infty }={(P_{\infty }\cdot {\left(\frac{B_K}{A_K}\right)}^{a_{\infty }}\cdot {\left(\frac{B_L}{A_L}\right)}^{1-a_{\infty }})}^{\frac{1}{1-a_{\infty }-b_{\infty }}}.\\ \end{array}\right.$ (27)

Очевидно, что задачу Коши (25), (26) относительно объемов факторов производства $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$ можно решать только численно.

На Рис.4 представлены три варианта графиков функций объемов фактора производства $K\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (25), (26).

 

Рис. 4: Варианты графиков функций объемов фактора производства $K\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (25), (26). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

Fig. 4: Variants of graphs of functions of production factor volumes $K\left(t\right)$, constructed in accordance with numerical solutions of the Cauchy problem (25), (26). The dashed line corresponds to the first option, the solid line corresponds to the second option, and the dashed line corresponds to the third option.

 

В первом варианте внедрения продуктовых и процессных инноваций в структуру производства не происходит на всем временном интервале $(0⩽t<\infty )$, при этом функции продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала обращаются в нуль $U_K\left(t\right)=0$, $U_L\left(t\right)=0$, $W\left(t\right)=0$.

Во втором варианте все продуктовые технологические инновации внедряются в структуру производства во временных интервалах $(t_K-{\sigma }_K,t_K+{\sigma }_K)$ и $(t_L-{\sigma }_L\mathrm{,}{t}_L+{\sigma }_L)$, все процессные технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_W-{\sigma }_W,t_W+{\sigma }_W)$, а функции $U_K\left(t\right)$, $U_L\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ описываются формулами (24).

В третьем варианте внедрение продуктовых и процессных инноваций в структуру производства выполняется с самого начала, при этом функции продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала обращаются в единицу $U_K\left(t\right)=1$, $U_L\left(t\right)=1$, $W\left(t\right)=1$.

На Рис.5 представлены три варианта графиков функций объемов фактора производства $L\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (25), (26).

 

Рис. 5: Варианты графиков функций объемов фактора производства $L\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (25), (26). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих-пунктирная линия соответствует третьему варианту.

Fig. 5: Variants of graphs of functions of production factor volumes $L\left(t\right)$, constructed in accordance with numerical solutions of the Cauchy problem (25), (26). The dashed line corresponds to the first option, the solid line corresponds to the second option, and the dashed line corresponds to the third option.

 

В первом варианте внедрения продуктовых и процессных инноваций в структуру производства не происходит на всем временном интервале $(0⩽t<\infty )$, при этом функции продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала обращаются в нуль $U_K\left(t\right)=0$, $U_L\left(t\right)=0$, $W\left(t\right)=0$.

Во втором варианте все продуктовые технологические инновации внедряются в структуру производства во временных интервалах $(t_K-{\sigma }_K,t_K+{\sigma }_K)$ и $(t_L-{\sigma }_L,t_L+{\sigma }_L)$, все процессные технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_W-{\sigma }_W,t_W+{\sigma }_W)$, а функции $U_K\left(t\right)$, $U_L\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ описываются формулами (24).

В третьем варианте внедрение продуктовых и процессных инноваций в структуру производства выполняется с самого начала, при этом функции продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала обращаются в единицу $U_K\left(t\right)=1$, $U_L\left(t\right)=1$, $W\left(t\right)=1$.

На Рис.6 представлены три варианта графиков функций объемов выпуска продукции $V\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (25), (26) и формулой (23).

 

Рис. 6: Варианты графиков функций объемов выпуска продукции $V\left(t\right)$, построенные в соответствии с численными решениями задачи Коши (20), (21) и формулой (18). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих-пунктирная линия соответствует третьему варианту.

Fig. 6: Variants of graphs of functions of production volumes $V\left(t\right)$, constructed in accordance with numerical solutions of the Cauchy problem (20), (21) and the formula (18). The dashed line corresponds to the first option, the solid line corresponds to the second option, and the dashed line corresponds to the third option.

 

В первом варианте внедрения продуктовых и процессных инноваций в структуру производства не происходит на всем временном интервале $(0⩽t<\infty )$, при этом функции продуктового и процессного инновационных потенциалов обращаются в нуль $U_K\left(t\right)=0$, $U_L\left(t\right)=0$, $W\left(t\right)=0$.

Во втором варианте все продуктовые технологические инновации внедряются в структуру производства во временных интервалах $(t_K-{\sigma }_K,t_K+{\sigma }_K)$ и $(t_L-{\sigma }_L,t_L+{\sigma }_L)$, все процессные технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_W-{\sigma }_W,t_W+{\sigma }_W)$, а функции $U_K\left(t\right)$, $U_L\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ описываются формулами (24).

В третьем варианте внедрение продуктовых и процессных инноваций в структуру производства выполняется с самого начала, при этом функции продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала обращаются в единицу $U_K\left(t\right)=1$, $U_L\left(t\right)=1$, $W\left(t\right)=1$.

При построении графиков функций на Рис.5 – Рис.6 были использованы следующие расчетные значения:

$\left\{\begin{array}{l}{t}_U=3;{\sigma }_U=\mathrm{0,25};t_W=9;{\sigma }_W=\mathrm{0,25};\\ \\ \lambda =12;P_0=10;P_{\infty }=12;\\ \\ a_0=\mathrm{0,2};a_{\infty }=\mathrm{0,25};b_0=\mathrm{0,15};b_{\infty }=\mathrm{0,2};\\ \\ A_K=\mathrm{0,1};B_K=\mathrm{0,2};A_L=\mathrm{0,1};B_L=\mathrm{0,15.}\\ \end{array}\right.$

Заключение

1. В публикуемой статье предлагается экономико-математическая модель динамики развития многофакторного производственного предприятия, учитывающая взаимодействие продуктовых и процессных инновационных потенциалов.
2. Выпуск продукции рассматриваемого предприятия обеспечивается производственной мультипликативной функцией Кобба–Дугласа, параметры которой зависят от уровней продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала.
3. Установлена система дифференциальных уравнений баланса предприятия относительно объемов всех его ресурсов. Вычислены предельные значения объемов ресурсов предприятия и предельное значение объема выручки.
4. Показано, что управление процессами поэтапного внедрения в производство технологических инноваций осуществляется параметрами функций инновационных потенциалов.
5. Численное решение системы дифференциальных уравнений разработанной модели позволяет получить динамические траектории развития предприятия, на основе которых, управляя индикаторными функциями, можно строить различные сценарии работы предприятия.

Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

Об авторах

Владимир Иванович Аксинин

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: aksininvladimir@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6959-8053

аспирант кафедры математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Леонид Александрович Сараев

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

доктор физико-математических наук, профессор; профессор кафедры математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

Дополнительные файлы