Модель цифровой трансформации трудовых ресурсов производственного предприятия, учитывающая эффект запаздывания внутренних инвестиций

Полный текст

Введение

Цифровая трансформация производственных предприятий существенно влияет на их экономические показатели. Она включает широкое применение новых информационных технологий в структуре предприятия. Снижение стоимости таких технологий, развитие компьютерной техники и доступность быстрой передачи данных способствуют активному внедрению цифровизации на предприятиях. Одним из важных аспектов цифровой трансформации предприятия является операционная цифровизация, которая включает внедрение цифровых инструментов для повышения эффективности работы предприятия в рамках его бизнес-модели.

 

Ход исследования

Комплексный процесс операционной цифровизации включает постепенную замену человеческого труда цифровыми технологиями, искусственным интеллектом и робототехникой. Эти преобразования способствуют увеличению выпуска готовой продукции, повышению ее качества, сокращению затрат на материалы, амортизации промышленного оборудования и т. д. При этом сохраняется рост показателей национальной экономики и развитие производства [1; 2].

Модели развития предприятий учитывают значимость технических инноваций и информационных технологий в экономическом росте. Построение таких моделей основано на анализе баланса запаздывающих инвестиций, вложенных в производство, и выводимых ресурсов из него. Математические инструменты, такие как системы дифференциальных уравнений, используются для моделирования экономического развития предприятий.

Неуклонное увеличение показателей национальной экономики обеспечивается экономическим ростом и развитием производственных предприятий. Теоретические положения теории роста экономических систем за счет технических инноваций и информационных технологий представлены в работах [3–7].

Динамика развития предприятий определяется соотношением балансов вкладываемых в производство объемов запаздывающих инвестиций и выводимых в результате амортизации объемов ресурсов. Поэтому основным инструментом моделирования является математический аппарат теории систем дифференциальных уравнений [8–13].

Исследования и моделирование показывают, что вложение инвестиций и эффективное использование ресурсов являются ключевыми факторами для развития предприятий и стимулирования роста национальной экономики. Это позволяет оптимизировать процессы производства, повысить эффективность и конкурентоспособность предприятий, а также создать благоприятную среду для инноваций и развития.

 

1. Трансформационные производственные функции

Пусть выручка производственного предприятия обеспечивается определенными объемами ресурсов в виде капитала , трудовых ресурсов , технологий искусственного интеллекта и робототехники .

Выпуск продукции предприятием сопровождается цифровой трансформацией бизнес-процессов и модернизацией производства, основная цель которой заключается в максимально возможном вытеснении ручного труда.

Очевидно, что в самом начале процесса трансформации предприятия объем производимой предприятием продукции можно описать двухфакторной производственной функцией Кобба-Дугласа

 

.                                                          (1)

 

После завершения процесса трансформации предприятия объем выручки предприятия будет определятся двухфакторной производственной функцией

 

.                                                         (2)

 

Здесь параметры a, b, c – эластичности выпуска продукции по соответствующим ресурсам K, L, R, коэффициенты ,  – выручки, соответствующие единичным объемам ресурсов.

Поскольку замена ручного труда полностью автоматизированным трудом приводит к значительному увеличению выпуска продукции предприятием, то целесообразно считать, что и .

Процесс вытеснения человеческих ресурсов  ресурсами цифровых технологий робототехники  определяется безразмерной функцией инновационного потенциала , . Ее значения близкие к нулю соответствуют началу процесса трансформации предприятия, а ее значения близкие к единице соответствуют концу этого процесса.

Динамическая производственная функция рассматриваемого предприятия имеет вид

 

.                  (3)

 

Процесс трансформации трудовых ресурсов предприятия происходит на некотором интервале времени с центром в точке  и радиусом .

Если руководство предприятия, задавая рамки этого интервала, внедряет трансформацию трудовых ресурсов пропорционально, то функция  будет иметь вид

 

                                             (4)

 

 

 

Рисунок 1 – Графики функций инновационных потенциалов , построенные по формулам (4) и (6). Расчетные значения: , . Сплошная линия соответствует формуле (4), штриховая линия соответствует формуле (6)

Figure 1 – Graphs of functions of innovation potentials , built according to formulas (4) and (6). Estimated values: , . The solid line corresponds to formula (4), the dashed line corresponds to formula (6)

 

 

В соответствии с формулой (4) процесс преобразований начинается точно в момент времени  и заканчивается окончательно в момент времени . Однако, практика показывает, что на предприятии до момента времени  всегда присутствуют элементы цифровой трансформации, а после момента времени  остаются некоторые не трансформируемые фрагменты производства.

В этом случае безразмерную функцию инновационного потенциала  целесообразно описывать логистическим дифференциальным уравнением

 

.                                                    (5)

 

Поскольку момент времени  соответствует середине процесса трансформации, решением дифференциального уравнения (5) с начальным условием  будет функция

 

.                                                         (6)

 

На рисунке 1 представлены графики функций инновационных потенциалов , построенные по формулам (4) и (6)

 

2. Модели динамики роста объемов ресурсов и выручки производственного предприятия

Рассмотрим несколько вариантов развития производственного предприятия.

Пусть цифровой трансформации трудовых ресурсов не происходит. Составим уравнения баланса для объемов факторов производства  и .

Приращения величин  и  за некоторый малый промежуток времени  можно представить в виде суммы двух слагаемых

 

                                                       (7)

 

Здесь  – доля приращений ресурсов  и  за счет амортизации,  – доля приращений ресурсов  и  за счет их восстановления внутренними инвестициями.

Амортизация ресурсов предполагается пропорциональной, поэтому величины  можно представить в виде

 

                                                        (8)

 

Здесь  – коэффициенты амортизации, доли выбывших за единицу времени объемов факторов производства  и .

Для запаздывающих внутренних инвестиций величины  можно записать в виде

 

                                                                  (9)

Здесь

                                           (10)

 

– объемы инвестиций, вложенные в предприятие к моменту времени ,  – функции распределения постепенного и непрерывного ввода инвестиций за весь период работы предприятия,  – инвестиции, сделанные в момент времени .

Для стационарного процесса ввода инвестиций формулы (10) принимают вид

 

                          (11)

Функции распределения ввода инвестиций  удовлетворяют условиям нормировки

,

в соответствии с которым, при перераспределении во времени потоков капиталовложений и трудовых ресурсов запаздывающих внутренних инвестиций суммы вложенных инвестиций за весь период остаются инвариантными.

Поскольку эффект от вводимых внутренних инвестиций будет тем меньше, чем ранее они были вложены, то функции распределения ввода инвестиций  являются монотонно убывающими.

Для экспоненциальных распределений ввода внутренних инвестиций

соотношения (11) принимают вид

 

                             (12)

Здесь  – параметры распределения, описывающие степени влияния ранее сделанных внутренних инвестиций на капиталовложения и трудовые ресурсы текущего момента. Следует отметить, что чем больше значения величин , тем меньше эти влияния и наоборот.

Интегральные уравнения (12) могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений. Для этого их следует продифференцировать по времени , воспользоваться формулой интегрирования по частям и учесть очевидные равенства

 

 

 

Уравнения (12) принимают вид

 

 

или

                                                      (13)

 

Здесь  – нормы накопления внутренних инвестиций , с помощью которых объемы внутренних инвестиций  связаны с производственной функцией  соотношениями .

Подставляя формулы (8) и (9) в уравнение баланса (7), получаем

 

                                              (14)

 

Переходя в уравнении (14) к пределу при условии , находим систему нелинейных дифференциальных уравнений

 

                                                       (15)

 

Уравнения (13) и (15) образуют систему нормальных нелинейных связанных уравнений первого порядка. Исключение из них производственной функции  дает

                          (16)

 

Начальные условия для системы (16) имеют вид

 

                                                                     (17)

 

В общем случае нелинейная задача Коши (16) и (17) может быть решена только численно.

Если в качестве функций распределения ввода инвестиций  выбрать функцию Дирака , то построенная модель (16), (17) не будет учитывать эффект запаздывания внутренних инвестиций, и будет в точности совпадать с моделью полученной в работе [14].

Система уравнений (16) показывает, что рост ресурсов предприятия  и  будет иметь место только при строго положительных производных  и . Если эти производные обратятся в нуль

 

                                                 (18)

 

·

,

то развитие предприятия остановится. Решением системы уравнений (18) являются предельные значения ресурсов  и  [13]

 

                                          (19)

 

Совершенно аналогично рассматривается предельный вариант развития предприятия, который соответствует полной цифровой трансформации производства и замене человеческих ресурсов цифровыми технологиями и робототехникой. Уравнения баланса динамики предприятия относительно объемов факторов производства  и  в этом случае принимают вид

 

                         (20)

 

Начальные условия для системы (20) имеют вид

 

                                                    (21)

Предельные значения ресурсов  и  вычисляются по формулам [13]

 

                                     (22)

 

Если рассматриваемое предприятие находится в условиях цифровой трансформации производства, то ее производственная функция описывается соотношением (3). Система уравнений баланса для такой функции относительно объемов факторов производства  будет иметь вид

 

 

                        (23)

 

Начальные условия для системы (23) имеют вид

 

 

                                                             (24)

 

В общем случае нелинейная задача Коши (16), (17), нелинейная задача Коши (20), (21) и нелинейная задача Коши (23), (24) могут быть решены только численно.

На рисунке 2 показаны графики функций объемов выпуска продукции, построенные по результатам численных решений задачи Коши (16), (17), задачи Коши (20), (21) и задачи Коши (23), (24).

 

 

 

Рисунок 2 – Графики функций объемов выпуска продукции, построенные по результатам численных решений задачи Коши (16), (17), задачи Коши (20), (21) и задачи Коши (23), (24). Сплошные линии соответствуют вариантам, в которых учитывается эффект запаздывания внутренних инвестиций. Штрихпунктирные линии соответствуют вариантами, в которых эффект запаздывания внутренних инвестиций не учитывается

Figure 2 – Graphs of functions of production volumes, constructed from the results of numerical solutions of the Cauchy problem (16), (17), Cauchy problem (20), (21) and Cauchy problem (23), (24). Solid lines correspond to options that take into account the lag effect of domestic investment. The dashed lines correspond to options in which the lag effect of domestic investment is not taken into account

 

Расчетные значения: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Предельные значения объемов выпуска продукции  и  вычислены по формулам (1), (19) и (2), (22).

 

Заключение

1. Разработаны варианты новых расчетных математических моделей оценки динамики роста выручки предприятия, трудовые ресурсы которого постепенно вытесняются цифровыми технологиями, элементами искусственного интеллекта и робототехникой.
2. Полученные модели представляют собой системы дифференциальных уравнений относительно производственных факторов и учитывают эффект запаздывания вложений в производство внутренних инвестиций.
3. Вычислены предельные значения ресурсов и выручки, соответствующие равновесным состояниям работы предприятий и являющиеся стационарными решениями систем уравнений моделей.
4. Показано, что модели выпуска продукции предприятием соответствующие отсутствию цифровой трансформации и полной цифровизации производства представляют собой нижнюю и верхнюю границы всевозможных вариантов вытеснения человеческих трудовых ресурсов.

Об авторах

Елена Алексеевна Ильина

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: elenaalex.ilyina@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2590-6138

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и бизнес- информатики

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Леонид Александрович Сараев

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

Дополнительные файлы