Decompositions supercharacters into product of basic characters

Full Text

Основные определения и обозначения

Пусть G – конечная группа. Пусть заданы $X=\left\{X_1, \dots ,X_n\right\}$ – система попарно дизъюнктных характеров, $K=\left\{K_1, \dots , K_n\right\}$ – разбиение группы G на попарно непересекающиеся подмножества, причем подмножество {1} входит в разбиение K. Если каждый характер постоянен на каждом классе, то говорят, что пара (X, K)  задает теорию суперхарактеров группы $G\left(см. \left[\mathrm{1,2}\right]\right)$. При этом характеры в X называют суперхарактерами, а классы K называют суперклассами.

Пару чисел $\left(i, j\right)$ таких, что $1 \le i<j\le n$ будем называть корнем, причем i будем называть номером строки корня, а j – номером столбца корня. Множество всех корней будем обозначать через Δ.

Подмножество D в множестве положительных корней Δ будем называть расстановкой ладей, если в каждой строке и каждом столбце есть не более одного корня из D.

Треугольная группа G=T(n) представляет из себя полупрямое произведение диагональной подгруппы  и унитреугольной группы U. По корню $\gamma =\left(i, j\right)$  построим подгруппы $H_{\gamma } и U_{\gamma }$, в группах H и U соответственно по формулам

$H_{\gamma }=\left\{h=diag\left(h_1, \dots , h_n\right) : h_i=h_j=1\right\},$

$U_{\gamma }=\left\{u \in U : u_{ik}=\mathrm{0,} k<j\right\}.$

Для произвольной расстановке ладей D определим подгруппы

$H_D=\underset{\gamma \in D}{}{H}_{\gamma }, U_D=\underset{\gamma \in D}{}{U}_{\gamma } .$

Алгебра Ли u группы U состоит из верхнетреугольных матриц с нулями по диагонали. Система матричных единиц {$E_{\gamma }\}$ , где y пробегает множество корней , является базисом в u. Двойственный базис будем обозначать {$E_{\gamma }^{*}$}.

По расстановке ладей D построим  следующие элементы :

$x_D=\underset{\gamma \in D}{}{E}_{\gamma }, {\lambda }_D=\underset{\gamma \in D}{}{E}_{\gamma }^{*} .$

Суперхарактеры и суперклассы

Следуя работе [3] А. Н. Панова, построим теорию суперхарактеров для группы T(n) . Суперхарактеры строятся по следующей  схеме. Зафиксируем нетривиальный характер ε^t аддитивной группы поля F со значением в  группе обратимых элементов поля комплексных чисел.

Рассмотрим множество A, состоящее из пар $\alpha =\left(\theta , D\right)$, где D – расстановка ладей и  $\theta$ – линейный характер подгруппы $H_D$. Далее, рассмотрим полупрямое произведение  и характер на этой группе, определенный по формуле

${\xi }_{\alpha }\left(g\right)=\theta \left(h\right){\epsilon }^{{\lambda }_D\left(x\right)}.$

Пусть ${\chi }_{\alpha }$. – характер группы T(n),  индуцированный с характера ${\xi }_{\alpha }$ подгруппы  G_D.

Если D состоит из одного корня, то суперхарактер называется элементарным. Будем использовать обозначение ${\chi }_{\theta , \gamma }$ для элементарного характера, построенного по D= {γ} и линейному характеру $\theta$ подгруппы $H_{\gamma }.$

Для построения суперклассов необходимо ввести следующее отношение эквивалентности: будем говорить, что g эквивалентен $g\text{'}$, если существуют такие $h\in H, a, b \in U$, что $g^{\text{'}}-1=ha\left(g-1\right)b{h}^{-1}.$

Группа G распадается на классы эквивалентности. Проведем классификацию суперклассов.

Выберем, как и раньше, произвольную расстановку ладей D. Обозначим через B множество пар $\beta =\left(h, D\right)$, где $h\in H_D.$ Также положим $g_{\beta }=h{u}_D$, где $u_D=1+$$x_D .$   Обозначим $K\left(g_{\beta }\right)=K_{\beta }.$ Имеет место следующая теорема.

Теорема [3]. Системы $\left\{{\chi }_{\alpha }\right\}$ и $\left\{K_{\beta }\right\}$ задают теорию суперхарактеров треугольной группы $G=T\left(n\right)$.

Теорема о разложении

Всякий линейный характер (одномерное представление) группы диагональных матриц H имеет вид

$\phi \left(h\right)=\underset{i}{}{\phi }_i\left(h_i\right),$ где $h=diag\left(h_1, \dots , h_n\right)$ , и $\phi$_i – набор линейных характеров группы обратимых элементов конечного поля F.

Произвольный характер $\theta$  подгруппы  можно продолжить до характера  по написанной выше формуле положив ${\phi }_i\left(h_i\right)=1$, если i является номером строки или столбца в D.

Пусть $h \in H$, $\gamma =\left(i, j\right)\in D$ . Обозначим

$s\left(\gamma , h\right)=\left|\left\{i<k<j : h_k\ne 1\right\}\right|,$

$T\left(\gamma \right)=\left\{\left(k, m\right)\in D :i<k и m<j\right\},$

$∆\left(\gamma \right)=\left\{\left(i, k\right)\in D :i<k<j\right\},$

$∆\text{'}\left(\gamma \right)=\left\{\left(k, j\right)\in D :i<k<j\right\},$

$\delta \left(\gamma ,D\right)=\left\{\begin{array}{c} \mathrm{1,} D^{\text{'}}\cap �\left(\gamma \right)=D^{\text{'}}\cap {�}^{\text{'}\left(\gamma \right)}=\varnothing ,\\ \mathrm{0,} в противном случае, \end{array}\right.$

$t\left(\gamma ,D\right)=\left\{\begin{array}{c}-\left(q-1\right), если \gamma \in D^{\text{'}},\\ {\left(q-1\right)}^2, в противном случае. \end{array}\right.$

 

Теорема 1. Пусть $\theta$ – некоторый линейный характер группы $H_D$, y – произвольный  корень. Также пусть D' - некоторая расстановка ладей, $K_{\beta }$ – суперкласс, построенный по ней. Тогда значение элементарного характера ${\chi }_{\theta , \gamma }$ на суперклассе $K_{\beta }$ вычисляется по формуле ${\chi }_{\theta , \gamma }\left(K_{\beta }\right)=\dot{\theta }\left(h\right)\delta (\gamma ,D)t\left(\gamma ,D\text{'}\right)q^{m\left(\gamma ,D\text{'},h\right)},$

где $m\left(\gamma ,D\text{'},h\right)=j-i-1-\left|D\text{'}\cap T\left(\gamma \right)\right|- s\left(\gamma , h\right)$, $\dot{\theta }$(h) равно $\theta \left(h\right)$, если h принадлежит подгруппе H, и равно нулю, если h не принадлежит H

Теорема 2. Пусть $D=\left\{{\gamma }_1, \dots ,{\gamma }_s\right\}$ расстановка ладей. Пусть $\theta$ – линейный характер группы H_D, который является произведением характеров ${\theta }_i$ подгрупп $H_{{\gamma }_i}.$ Обозначим α= $\left(\theta , D\right). Тогда$ суперхарактер ${\chi }_{\alpha }$ разлагается в произведение элементарных характеров по формуле

${\chi }_{\alpha }=\underset{\gamma \in D}{}{\chi }_{{\theta }_i,\gamma }.$

Суперхарактеры и суперклассы для треугольной группы третьего порядка

Рассмотрим описанную выше теорию суперхарактеров в случае . Цель – разложить суперхарактеры в сумму неприводимых компонент.

Существует 5 серий неприводимых характеров для треугольной группы третьего порядка. Каждая серия строится по следующей схеме: рассматривается некоторая подгруппа в группе треугольных матриц и некоторый характер на этой группе, индуцируя с которого  получаем неприводимый характер. Например, в первой серии рассматривается подгруппа H, состоящая из матриц вида $h=\left(\begin{array}{ccc}{h}_1& 0& x_{13}\\ 0& h_2& x_{23}\\ 0& 0& h_1\end{array}\right) ,$

и характер ${\xi }_{{\theta }_1,{\theta }_2}\left(g\right)={\theta }_1\left(h_1\right){\theta }_2\left(h_2\right){\epsilon }^{x_{13}}$ этой подгруппы. Индуцируя с этого характера на всю группу, получаем неприводимый характер, который обозначим через ${\eta }_{{\theta }_1, {\theta }_2}$. Этот характер нумеруется парами линейных характеров ${\theta }_1,{\theta }_2$ группы $F^{*}.$ Аналогичным образом строятся и другие неприводимые характеры.

Вернемся к суперхарактерам. Существуют всего три положительны корня для $n=3$ корня: ${\gamma }_1=\left(\mathrm{1,} 2\right), {\gamma }_2=\left(\mathrm{2,} 3\right)$ и ${\gamma }_3=\left(\mathrm{1,} 3\right).$  Расстановок ладей в этом случае пять: три расстановки по одному корню, одна, которая содержит два корня ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$, и последняя, которая не содержит ни одного корня, то есть пустая.

$Предположим,$что расстановка ладей содержит лишь один корень $\gamma =\left(\mathrm{1,} 3\right)$. В этом случае группа $G_D$ будет состоять из матриц вида

$g=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& x_{13}\\ 0& h_2& x_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right) ,$

${\xi }_{\alpha }\left(g\right)={\theta }_2\left(h_2\right){\epsilon }^{x_{13}},$

где ${\theta }_2$ – линейный характер группы F^* . Индуцируя  с этого  характера на всю группу G, получаем суперхарактер ${\chi }_{\alpha }.$ Вычисляя его, получаем следующую формулу

${\chi }_{\alpha }= \underset{{\theta }_2\in Irr\left(H_D\right)}{}{\eta }_{{\theta }_1, {\theta }_2} ,$

где ${\eta }_{{\theta }_1, {\theta }_2}$ – неприводимый характер, описанный выше.

Пусть D = $\left\{\left(\mathrm{1,} 2\right),\left(\mathrm{2,} 3\right)\right\}.$  Тогда группа $G_D$ будет состоять из матриц вида $g=\left(\begin{array}{ccc}1& x_{12}& x_{13}\\ 0& 1& x_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right) .$

Рассмотрим характер этой подгруппы ${\xi }_{\alpha }\left(g\right)={\epsilon }^{x_{12+x_{23}}}.$ Индуцированный суперхарактер ${\chi }_{\alpha }$ распадается в сумму неприводимых характеров ${\chi }_{\alpha }= \underset{\theta \in Irr\left(H_D\right)}{}{\eta }_{\theta },$

где ${\eta }_{\theta }$ – неприводимый характер, соответствующий этой серии. Более подробно, этот характер индуцируется с подгруппы, состоящей из матриц вида $h=\left(\begin{array}{ccc}{h}_1& x_{12}& x_{13}\\ 0& h_1& x_{23}\\ 0& 0& h_1\end{array}\right)$

с характера ${\xi }_{\theta }\left(g\right)=\theta \left(h_1\right){\epsilon }^{x_{12+x_{23}}}.$

Случаи когда D = $\left\{\left(\mathrm{1,} 2\right)\right\}$  и  D = $\left\{\left(\mathrm{2,} 3\right)\right\}$  рассматриваются аналогично.

Рассмотрим, наконец, еще один отдельный случай – случай, когда расстановка ладей не содержит ни одного корня, то есть D – пустое множество. В этом случае подгруппа G_D совпадает со всей группой G и ${\chi }_{\alpha }\left(g\right)={\chi }_{\alpha }\left(hu\right)= \theta$ ₁(h₁) ₂(h₂) ₃(h₃).

About the authors

Igor Nikolaevich Chestnov

Samara University

Author for correspondence.
Email: inchestnov@gmail.com

student V course of the mathematical faculty of the Samara University

Russian Federation, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse, 34

Supplementary files