A METHOD OF A DAILY DRIFT OF THE CELESTIAL BODIES. II. A DETERMINATION OF KINEMATIC AND DYNAMIC CHARACTERISTICS OF GIANT PLANETS AND THEIR SATELLITES USING ASTRONOMICAL TOOLS AVAILABLE TO THE AMATEUR ASTRONOMER

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, the method of a daily drift (MDD) of the celestial bodies, formulated in [1], is adapted to the problem of determining the angular distance between two points on the celestial sphere. In particular, a general astrometric algorithm was developed to determine the angular distance between two point light sources (between the components of a binary star) for two kinds of optical astronomical instruments available to an amateur astronomer. With use of the results of [1], the problem of determining the topocentric distance to the classical planet was solved. Using the example of Jupiter, it is shown that the desired distance can be determined with an accuracy of O(1%). The algorithm for determining the radius of the circular orbit of a planet satellite is represented here. Explicit analytical expressions for the polar angle of the satellite, its topocentric distance, and sidereal rotation period are obtained. Numerical analysis using the example of the Galilean satellites showed that the errors in determining their periods do not exceed 6%, and their values are consistent with known reference data. According to observational data, it was proved that the orbits of all Galilean satellites can be considered as circular, when they are studied by amateur instruments. The mass of the planet was calculated with use of the second Newton’s law, the Newton’s law of universal gravitation and the obtained values of the satellite orbit parameters. Using the model of a slightly compressed inhomogeneous ellipsoid of rotation, an explicit analytical expression for the density of the giant planet was obtained. The numerical analysis of the results on the example of Jupiter showed their confident agreement with the results of professionals. In obtaining all the results, only a 50 mm telescope, a theodolite, and values for the three parameters of the reference data were used.

Full Text

При изучении физической природы про диаметров и угловых расстояний позволяет опре тяж¨ делить линейные размеры данных тел, расстояния eнных объектов космоса или феноменов атмо сферы Земли одной из главных задач является между ними. Используя последние, можно опре определение угловых размеров небесных тел (ат делить динамические характеристики данных тел мосферных феноменов). Под угловыми размерами (например, массы компонентов двойных зв¨ eзд) и понимаются, как правило, два основных угловых даже параметры, характеризующие внутреннюю ′′- масштаба - угловой радиус (ρ ) или угловой диа структуру и химический состав тела (например, ′′- метр (D , см. рис. 1а) небесного тела и угло среднюю массовую плотность тела). ′′- вое расстояние между двумя точками (d , см. Высокоточное решение этой важной задачи рис. 1б ) небесной сферы (НС). Знание угловых практической астрономии сопряжено со значитель ными денежными затратами при е¨ e практической c Филиппов Ю. П., 2019. реализации, которые могут себе позволить лишь Филиппов Юрий Петрович, крупные астрономические обсерватории и некото (yuphil@mail.ru), рые астрономы любители. Телескопы астрономов доцент кафедры общей и теоретической физики любителей фабричного производства, как правило, Самарского университета, не оснащаются высокоточными инструментами 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34. Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 45 A C 1 R p r” O O D” d D d” C r r C 2 a ′′- ′′- Рис. 1. К определению: а - углового радиуса (ρ ) и углового диаметра планеты D ; б - ′′- углового расстояния d между компонентами двойной звезды (объяснения в тексте) для измерения углов, а в розничной торговле они лового диаметра с точностью порядка 1% и даже встречаются редко. Сделать это устройство само меньше! стоятельно и вмонтировать его самому в тело за Возникает другой вопрос: возможно ли водского телескопа - весьма трудная и рискован адаптировать данный метод к определению угло ная процедура. вого расстояния между двумя точками НС и до Тем не менее в последнее десятилетие на биться столь же высокой точности? На сего блюдается бурное развитие фотоцифровых техно дняшний день в астрономической литературе, до логий, которые стали дешевле и доступнее для ступной широкому кругу читателей, не представ массового пользователя. Развитие в Китае и Евро лен детально разработанный математический аппа пе производства телескопов любительского класса рат МСД для решения подобных задач. сделало эти инструменты общедоступными. Мно В связи со сказанным, главной целью насто гие обладатели таких инструментов с течением ящей работы является построение последователь времени отходят от сугубо визуальных наблюде ной, заверш¨ eнной методики определения углового ′′- ний и переходят к астрофотографии, получая мно расстояния (d ) между двумя точечными источни го качественных и эффектных фотографий объек ками света на НС, основанной на методе их су тов космоса. Некоторые исследователи идут даль точного дрейфа , а также расч¨ eт динамических ше и проводят посильные астрометрические изме параметров планет гагантов и кинематических па рения положений небесных тел. Особое их внима раметров круговых орбит их спутников. ние занимают планеты гиганты с их богатыми си 1. Визуальный метод суточного дрейфа стемами спутников. Это быстро изменяющие поло небесных тел. Определение углового жения в пространстве системы тел, движение ко расстояния между двумя точечными торых полностью описывается небесной механикой источниками света на НС Ньютона, но разобраться на практике по собствен ным фотографиям на глаз , без измерения углов В данном параграфе будут сформулирова ны основные положения данного метода, адаптиро и использования программ симуляторов с их види ванного к проблеме определения углового рассто мыми положениями является весьма трудной зада ′′- чей даже для профессионала. яния (d ) между двумя точечными источниками света на НС, с использованием оптических инстру Естественным образом возникает вопрос: Можно ли решить проблему определения угло ментов двух видов (доступных астроному любите лю): 1) с визирным перекрестием и 2) без визир вых расстояний между точками НС с точно ного креста. К инструментам первого вида отно стью O-(1%) c использованием лишь инструмен тов, доступных в использовании астроному люби сятся некоторые виды оптических труб и телеско пы, окулярный узел которых в своей фокальной телю? Положительный ответ на данный вопрос плоскости имеет визирный крест - систему двух может быть получен с помощью метода суточно го дрейфа (МСД) небесных тел [1, 2]. и более тонких нитей, расположенных в теле оку ляра, и формирующие крест (перекрестие) с пря В работе [1] данный метод был адаптирован к созданию последовательной, заверш¨ мыми углами (на рис. 2а представлен окуляр с eнной мето ′′- визирным крестом и светодиодным модулем его дики определения углового диаметра (D ) класси подсветки; на рис. 2б представлен фрагмент по ческой планеты, а также выполнен расч¨ eт искомой величины с использованием данных собственных ля зрения телескопа с данным окуляром, в режи 1 ме работы подсветки) . К инструментам второго измерений для Юпитера, Сатурна, Марса. Числен типа относятся большинство инструментов люби ный анализ показал, что с использованием предло женной методики и простейших инструментов аст тельского уровня: бинокли, зрительные трубы, те лескопы, окулярный узел которых не имеет визир ронома любителя можно добиться определения уг 1 Преимущество инструментов с визирным крестом в том, что планета во время измерений находится на оптической оси инструмента, где потери света минимальны, а внеосевые аберрации инструмента не проявляются, следовательно изображение планеты является наиболее ч¨ eтким и ярким. Более того, при искусственной подсветке креста можно более точно запечатлеть моменты начала и окончания дрейфа планеты. 46 Астрономия а Рис. 2. Приборная база современного астронома любителя: а - окуляр телескопа c модулем подсветки и создаваемое им (б) видимое поле зрения с визирным перекрестием; в - окуляр телескопа и создаваемое им (г) видимое поле зрения без визирного перекрестия; д - современный электронный секундомер (объяснения в тексте) N N E G W 1 1 d’’ B d’’ B 2 N 1 a E E W O A C W d’’ S 1 A C 1 S S “ D T a Рис. 3. К определению углового расстояния между компонентами двойной звезды (объяснения в тексте) ного креста (на рис. 2в представлен пример тако торого дрейфует A - компонента звезды. Однако го окуляра для телескопа; на рис. 2г формируемое можно предложить следующее решение. Из точки им поле зрения, прямое изображение). B мысленно опустим перпендикуляр BC на диа 1. Будем полагать, что для астрономиче метр EW . Рассмотрим сферический прямоуголь ′′-′′-′′- ских наблюдений классической планеты использу ный треугольник △-ABC со сторонами d , d , d . s 1 2 ется оптический инструмент (например, телескоп) Согласно формуле косинусов [3] для △-ABC мож s ′′- с прямым изображением, поле зрения которого но определить cos d : есть круг N ESW с известным угловым диаметром ′′- ′′- ′′- cos d = cos d -cos d , ⇒- ′′- 1 2 D (см. рис. 3a). T ′′- ′′- ′′- d = arccos [cos d -cos d ] . (1.1) 2. Исследуемый объект - двойная звезда, 1 2 ′′- ◦- компоненты (A и B) которой отчетливо просмат Для двух близких звезд, для которых d 1 , риваются (см. рис. 3а) в данный инструмент, а уг можно воспользоваться приближением плоского ′′- ловое расстояние между которыми равно d . Звез треугольника и использовать теорему Пифагора. ду всегда можно ориентировать в поле зрения так, Как известно, при x ≪-1 (где [x]=рад) выполняет что компонента A будет дрейфовать вдоль диамет ся приближенное выражение для функции cos x: ра EW круга поля зрения, а компонента B вдоль 2 x ′′-′′-′′- хорды E W того же круга, причем отрезок AB cos x ≈-1 -- , x ≪-1, где x = d , d , d . (1.2) 1 1 1 2 2 образует острый угол α с направлением EW . Тогда соотношение (1.1) принимает следующий 3. В общем случае, непосредственно опре ′′- вид: делить d невозможно, поскольку отрезок AB не d d d является параллельным диаметру EW , вдоль ко ′′-2 ′′-2 ′′-2 ′′- ′′-2 ′′-2 1 2 1-- ≈-1-- -- , ⇒-d ≈- d + d . (1.3) 1 2 2 2 2 Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 47 ′′- Таким образом определение d сводится к опреде C у ё ч том (1.6) последнее выражение представля ′′-′′- лению катетов d , d . ется в виде: 1 2 ′′-удобно вос ′′- ω 2 τ ω 2 τ ′′- (1.8) 4. Для определения катета d 1 vis A vis B d = arccos cos cos . пользоваться одним из двух простых приемов. 2 Прием №1. Если оптический инструмент облада ◦- В случае близких звезд, для которых d 1 , ет визирным перекрестием, то одну из его нитей можно вновь воспользоваться приближением (1.2) всегда можно ориентировать так, чтобы она бы ′′- и получить выражение для d в случае плоского 2 ла перпендикулярна направлению суточного дви треугольника (по теореме Пифагора): жения светил, а следовательно - катету AC. Неиз бежно наступит момент t , когда звезда B прой ′′- D = 1 ω 2 2 ′′-2 2 B t ℓ . дет через эту нить (и окажется в точке G, см. d = -- vis τ --τ (1.9) 2 A B 2 2 2 рис. 3а). В момент времени t звезда A пройдет A через нить. Тогда временем дрейфа звездной пары При этом ориентацию компонентов двойной звез вдоль EW будем называть величину, равную ды относительно небесного экватора можно задать углом α, который для сферического прямоугольно τ = |t --t |. (1.4) 1 A B го треугольника △-ABC, по формуле синусов [3] s Данный временной интервал легко измерить с по можно определить так 2 мощью современного секундомера (см. рис. 2д ) . ′′- ′′- ◦- sin α sin d = sin d sin 90 , ⇒- Зная угловую скорость суточного движения ω 2 vis на данной суточной параллели, можно легко вы ′′- ′′- α = arcsin[sin d / sin d ]. (1.10) 2 ′′- числить угловое расстояние d : 1 В случае малых углов, в приближении плоского ′′- d = ω τ . (1.5) треугольника имеем 1 vis 1 Прием №2. Если оптический инструмент не обла ′′-′′- (1.11) α = arctg [d /d ] . 2 1 дает визирным перекрестием, то необходимо распо ё 6. При м №4. В случае инструмента с визир ложить звезду в поле зрения так, чтобы середина ным перекрестием всегда можно ориентировать по отрезка BC двигалась вдоль диаметра EW (см. следнее в поле зрения инструмента таким образом, рис. 3б ). В этом случае в точках N и S , дан 1 1 чтобы прямая AB совпала с одной из нитей пере ные звезды покинут круг поля зрения инструмен крестья (см. рис. 4а). В своем суточном движении та, причем хорда N S является перпендикуляром 1 1 звезда B будет двигаться по хорде E W и пересе 2 2 к диаметру EW (см. рис. 3.б). Тогда под t и t A B чет одну из нитей перекрестья последовательно в в (1.5) следует понимать моменты выхода компо точках D и B, в моменты t и t . Следователь D B3 нент двойной звезды из поля зрения инструмента. но, можно определить дугу DB = d : ё ′′- ′′- vis 2 2 ′′- (1.12) 3 5. При м №3. Для определения катета d2 с помощью инструмента без визирного перекрестья d = ω τ , τ = |t --t |. 3 B3 D будем использовать следующее свойство окружно Воспользуемся формулами косинусов для сфериче сти: длина хорды окружности тем меньше, чем ских треугольников △-DBA и △-F DA: больше расстояние от нее до параллельного ей s s диаметра окружности. Длина хорды прямо про ′′- ′′- ′′- 1 (1.13) cos d = cos d cos d , 3 4 порциональна времени дрейфа компоненты вдоль ′′- ′′- ′′-′′- cos d = cos d cos(d --d ). 4 2 3 этой хорды в поле зрения инструмента. Если пола где d = DA. Из выражений (1.1), (1.13) следует гать, что (t , t ), (t , t ) - моменты входа и ′′- ′′- ′′- A1 A2 B1 B2 4 выхода компонентов A и B из поля зрения инстру альтернативный результат для cos d : мента, тогда измеряя в наблюдениях их времена ′′- 1 ′′- (1.14) cos d cos d дрейфа 3 cos d = . ′′-′′- cos(d --d ) 3 1 τ = t --t , τ = t --t , A A2 A1 B B2 B1 В случае тесной пары звезд и малых углов, с можно легко определить длины хорды E W и 1 1 использованием (1.2), получаем в случае плоских диаметра EW : ′′- фигур следующий результат для d : ℓ = E W = ω τ , D = EW = ω 1 1 vis A T d d . d = 1 3 Для сферического прямоугольного треугольника Т.о., для определения углового расстояния меж △-OE G (см. рис. 3a) справедлива следующая 1 s \\ vis B ′′- τ . (1.6) ′′- ′′-′′- (1.15) ду двумя звездами необходимо измерить времена формула косинусов: дрейфа {τ , τ , τ }, в случае инструмента без ви 1 A B ′′- D ′′- ℓ t зирного перекрестья и {τ , τ } - в случае инстру 1 2 cos = cos d cos , ⇒- 2 2 2 мента с визирным перекрестием, а также опреде ′′- ℓ vis t ′′- D 2 (1.7) лить угловую скорость ω суточного движения на d = arccos cos cos . 2 данной суточной параллели. 2 2 Сегодня для астронома любителя наиболее доступны в практическом использовании недорогие электронные секун домеры с ценой деления 0, 01 c. 48 Астрономия z N Z D y D d’’ E 3 B W 2 2 d’’ d’’ d’’ d’’ 4 2 2 z C 2 1 E W F A d’’ z 1 C 1 O s S A 1 A x 2 C 2 DA A B S E a b Рис. 4. К определению: а - углового расстояния между звездами с использованием инструмента с визирным перекрестием, б - угловой скорости видимого перемещения звезды (объяснения в тексте) 7. Параметр ω для звезды можно опреде здесь ω = 2π/T - угловая скорость суточного vis ⊕- ⊕- лить по данным собственных измерений ее гори вращения Земли. Необходимо также знать склоне зонтальных координат [1]: ние светила δ. Его можно определить как самосто σ 1 ятельно с использованием одного из астрометриче ω = = arccos [cos∆A cos h cos h + vis 1 2 ских методов, либо взять из стороннего источника τ τ vis vis достоверных справочных данных. + sin h sin h ] , ∆A = A --A , (1.16) 1 2 2 1 2. Определение топоцентрического здесь (h , A ), (h , A ) - горизонтальные координа 1 1 2 2 расстояния до классической планеты ты (высота и азимут) рассматриваемой звезды, из ′- ′- Рассмотрим задачу об определении топоцен меренные в моменты времени t и t соответствен 1 2 трического расстояния до классической планеты но (см. рис. 4б ), например, с помощью теодоли 3 ′-′- Солнечной системы с фазой, близкой к единице та. Интервал τ = t --t должен удовлетворять vis 2 1 (находящейся вблизи точки своего противостояния условию τ ≪-T (в измерениях, как правило, vis ⊕- с Солнцем). Предположим, что на практике изме τ 5 мин), где T - сидерический период враще vis ⊕- 4 ′′- рен ее угловой диаметр (D ) с использованием ния Земли вокруг своей оси. Требование выполне метода дрейфа, согласно методике [1]. Параметр ния сильного неравенства τ ≪-T обусловлено vis ⊕- ′′- ′′- D связан с угловым радиусом планеты (ρ ) выра необходимостью совпадения части дуги суточной ′′- ′′- жением D = 2 ρ . Согласно рис. 1а, из треуголь параллели, описываемой звездой в результате е¨ e ника △OAC следует, что суточного дрейфа, с дугой большого круга, кото рой и соответствует угол σ. R R ′′- p p Наиболее существенным фактором, искажа sin ρ = , ⇒-r = , (2.1) ′′- r sin D /2 ющим истинное положение небесного тела над го ризонтом, является рефракция света. Чтобы ис здесь R - радиус планеты. Учитывая, что для p ′′- ключить е¨ любой планеты Солнечной системы D ≪-1 (при e из данных наблюдений, следует ис ′′- пользовать значения горизонтальных координат, [D ] =рад), последний результат можно редуциро исправленные за рефракцию c помощью формулы вать к виду: Лапласа (работает для высот h 15 ) [4]: 2 R 206265 , ′′- h →-h = h --ρ , где i ref i i h i 3 ◦- (1.17) r = D p ′′- ′′- (2.2) в последнем выражении [D ] = угл. сек. Т.о., ρ = A ctg h --B ctg h , h i h i h i ′′- ′′- для определения искомого расстояния необходимо A = 57.085 , B = 0.067 . h h знать лишь радиус планеты (будет взят из спра Можно также определить параметр ω с помо ′′- vis вочных данных) и угловой диаметр D . щью формулы [1]: Все данные измерений, необходимые для ω = ω cos δ, (1.18) определения настоящих и будущих искомых вели vis ⊕- 3 Топоцентрическим расстоянием до небесного тела называется расстояние от наблюдателя до центра данного тела. 4 ′′ Под угловым диаметром планеты (D ) традиционно понимается плоский угол между двумя лучами, провед¨ eнными к двум диаметрально противоположным точкам видимого диска небесного тела (см. рис. 1а). Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 49 Таблица 1 Значения основных параметров использованных оптических инструментов Параметр ЗТ Стерео Т15 Диаметр объектива, мм 50 40 Угол поля зрения, град 0,6 - 1,6 2,0 Диаметр выходного зрачка, мм 2,5 - 1,0 2,0 Предел фокусировки, м 12 -∞- 10 -∞- Увеличение, крат 20 - 50 20 m Предельная звездная величина, 10,6 10,1 Таблица 2 Значения данных наблюдений Юпитера от 22.08.2000 г. и вычисленных ω и ∆ω vis vis ′′- ′′- № п/п h , град h , град ∆A, град τ , град ω , /с ∆ω , /с 1 2 vis vis vis 1 12,175 13,367 0,875 372,59 14,212 0,037 2 14,408 15,225 1,038 333,06 14,005 0,037 3 16,446 17,333 1,142 354,88 14,298 0,035 4 18,933 19,592 0,842 264,32 14,070 0,047 5 21,150 21,883 0,946 295,15 13,985 0,042 6 23,417 24,242 1,083 324,69 14,309 0,037 7 27,733 28,592 1,129 328,69 14,406 0,037 8 29,925 30,500 0,825 228,69 14,427 0,052 9 34,183 35,000 1,183 329,16 13,910 0,036 10 35,800 36,392 0,913 242,75 14,026 0,048 11 37,508 38,350 1,317 342,09 14,074 0,034 12 39,150 39,875 1,200 304,09 13,927 0,037 13 40,846 41,692 1,617 382,43 13,942 0,028 14 42,967 43,525 1,054 245,28 13,940 0,044 15 44,675 45,308 1,283 286,91 13,891 0,037 16 46,592 47,183 1,229 265,25 13,950 0,040 17 48,167 48,767 1,604 311,28 14,128 0,031 среднее - - - - 14,088 0,091 чин, были получены Филипповым Ю. П. (при под но е¨ ω и погрешность его определения e среднее ¯ vis держке Филиппова В. П.) в 2000 году на террито ∆ω по схеме обработки прямых измерений. vis рии Самарской области. При этом были использо В табл. 3 представлены вычисленные сред ваны часы с секундомером (с ценой деления шка ние значения для времени дрейфа Юпитера, его лы - 0, 01 с) для измерения промежутков време абсолютная и относительная погрешность для че ни τ и τ , теодолит (T 15) для измерения гори тыр¨ i vis eх дат сеансов наблюдений. Благодаря малой зонтальных координат планет и зрительная тру цене деления прибора и большому количеству из ба ЗТ Стерео (20--50×-50) для определения уг мерений времени дрейфа (30-60 значений), автор ловых диаметров исследуемых объектов. Значения смог достичь относительно малой погрешности в основных параметров данных оптических инстру определении τ , составляющей 2-3%. C использо ментов приведены в табл. 1. ванием средних значений ¯ vis и ¯ ω τ вычислен угло В табл. 2, в качестве примера, представлены вой экваториальный диаметр Юпитера, согласно численные значения измеренных горизонтальных методике работы [1], а также его абсолютная и от координат Юпитера 22.08.2000 г, вычисленные по носительная погрешности. Поскольку погрешности формуле (1.16) значения ω и их погрешности определения ω и τ являются малыми, погреш vis i vis ′′- ∆ω , рассчитанные по схеме косвенных измере ность определения D также является малой и в vis i ний [5]. По полученным значениям ω вычисле большинстве экспериментов не превосходит 3% vis 50 Астрономия Таблица 3 Сводка итоговых результатов для Юпитера, полученных в настоящей работе, а также значения тех же параметров из библиотек программ Orbits 3.0 и RedShift 3 Дата Показатель Результаты Филиппова Ю. П. Результаты Результаты и Филиппова В. П. Orbits 3.0 RedShift 3 14.08.2000 τ ±-∆τ , c 2, 716 ±-0, 076 - - ε , % 2,79 - - τ ′′- ′′-′′- D ±-∆D , 38, 19 ±-1, 18 - 38 8 8 8 r ±-∆r, км (7, 71 ±-0, 24) -10 7, 78 -10 7, 77 -10 ε , ε , % 3,08 - - D ′′ r 22.08.2000 τ ±-∆τ , c 2, 750 ±-0, 033 - - ε , % 1,22 - - τ ′′- ′′-′′- D ±-∆D , 38, 74 ±-0, 54 - 39 8 8 8 r ±-∆r, км (7, 60 ±-0, 11) -10 7, 60 -10 7, 60 -10 ε , ε , % 1,39 - - D ′′ r 29.08.2000 τ ±-∆τ , c 2, 848 ±-0, 082 - - ε , % 2,87 - - τ ′′- ′′-′′- D ±-∆D , 39, 99 ±-1, 19 - 40 8 8 8 r ±-∆r, км (7, 36 ±-0, 22) -10 7, 44 -10 7, 44 -10 ε , ε , % 2,97 - - D ′′ r 30.08.2000 τ ±-∆τ , c 2, 847 ±-0, 061 - - ε , % 2,15 - - τ ′′- ′′-′′- D ±-∆D , 40, 02 ±-0, 92 - 40 8 8 8 r ±-∆r, км (7, 36 ±-0, 17) -10 7, 42 -10 7, 42 -10 ε , ε , % 2,30 - - D ′′ r O 2 Y R p C A q 2 q D R 1 A e X W q B O B i D O 1 “ d “ 2 а d 1 “ d O Рис. 4. К определению радиуса круговой орбиты спутника классической планеты (объяснения в тексте) ′′- (что соответствует абсолютной погрешности ∼-1 ). (абсолютная погрешность равна 10-20 млн. км). В Наконец, с использованием (2.2) и экваториально той же таблице для сравнения представлены дан го диаметра Юпитера (D = 142754 км) были вы ные для тех же параметров, взятые из электрон J числены расстояния до Юпитера на указанные да ных библиотек специализированных астрономиче ты и ошибки их определения. Указанная погреш ских программ Orbits 3.0 и RedShift 3. ность также является малой и составляет 2-3% Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 51 Таблица 4 ′′- Значения углового диаметра Юпитера (D ), расстояния до него (r ), угловых расстояний P ′′- между планетой и спутниками (d ) и соответствующие возможные значения их радиусов (R ) на пятнадцать дат наблюдений 2000 года S Дата Юпитер Ио Европа Ганимед Каллисто ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ D , r , d , R , d , R , d , R , d , R , P S S S S 6 ×10 × × × × 3 3 3 3 км ×10 ×10 ×10 ×10 км км км км W E W W 14.07 34,5 854/839 96,3 398,7 161,5 668,2 166,1 687,3 425,5 1761 W W W W 16.07 35,1 839/835 44,3 180,4 157,1 638,9 157,1 638,9 412,0 1675 E W 17.07 35,1 839/834 Т - П - 73,0 296,6 315,7 1283 W W E W ⋆ 19.07 35,4 833/830 50,6 204,3 57,8 233,3 262,6 1060 40 - E W E E 20.07 35,4 832/828 103,3 416,4 121,7 490,5 104,4 421,0 178,8 721,0 E ⋆ E ⋆ E 24.07 35,9 821/821 40 - П - 25 - 473,7 1885 W W W W 30.07 36,5 807/809 77,8 304,4 141,5 553,9 215,2 842,1 365,9 1432 E W W W 31.07 36,5 807/807 86,7 339,1 50,2 196,3 28,0 109,6 437,3 1711 E W 2.08 36,7 803/803 Т - Т - 277,9 1082 415,4 1617 W W W E 6.08 36,8 800/795 94,2 365,4 112,8 437,5 234,0 907,7 216,0 837,9 W E E E 8.08 37,0 795/791 62,0 238,8 175,4 676,3 175,5 676,4 466,8 1799 E W W W 14.08 38,2 771/778 109,7 410,1 106,7 398,8 107,5 401,8 119,2 445,6 E E W E 26.08 39,3 750/751 64,1 233,1 184,8 671,7 172,4 627,1 520,0 1890 W E E E 29.08 40,0 736/744 105,3 375,9 132,7 473,5 50,3 179,7 285,1 1018 E E E E 30.08 40,0 736/742 113,3 404,1 131,8 473,5 271,0 966,7 49,9 194,0 средн. - - - 413,3 - 672,1 - 1071 - 1888 истин. - - - 421,8 - 671,1 - 1070 - 1883 Примечание: среди возможных значений радиусов орбит спутников выявлены их максимальные значения (отмечены жирным шрифтом). Даты, отмеченные жирным шрифтом, соответствуют сеансам наблюдений, когда угловая скорость ω определялась по формуле (1.16), с использованием собственных данных для горизонтальных координат Юпитера. vis Для прочих дат использовались сторонние справочные данные по склонению δ Юпитера. Индексами E и W указаны восточная и западная элонгации спутников соответственно; буквой П , отмечены сеансы, в которые спутник не был виден из за его покрытия телом материнской планеты, Т - транзит спутника по диску Юпитера. 3. Определение радиуса круговой орбиты S r = 2 2 P S (3.2) S r + R --2r R cos θ, P S спутника здесь r = OA - расстояние от наблюдателя до Рассмотрим физическую систему классиче спутника, R = AC - радиус орбиты спутника. В ская планета со спутником, движущимся по круго S общем случае эти два уравнения содержат три вой орбите . Определим радиус орбиты спутника неизвестные величины: R , θ, r и не могут быть по данным его наблюдений. S S решены однозначно относительно этих величин. В общем случае круговая орбита спутни Рассмотрим частный случай: предположим, ка (O AO ) может быть ориентирована сложным 1 2 что спутник занимает такое положение на орби образом (см. рис. 4а) относительно плоскости те, что его угловое расстояние принимает макси (O BO ), которая построена на 2 ух радиусах век 1 2 ′′- мальное значение d (т.е. спутник будет нахо торах, проведенных из точки наблюдения (центра max диться в своей наибольшей элонгации). Очевидно, небесной сферы) к точкам небесной сферы, где на что при фиксированных r и r это достигается блюдался центр видимого диска планеты в момен P S ◦- при ∠A = 90 . Для прямоугольного △OAC имеем ты времени t , t (t -t ≪-T ). Предположим, что 1 2 2 1 ⊕- sin θ = r /r , тогда согласно (3.1) имеем данный спутник находится в точке A своей орби 0 S P ты, которая характеризуется угловым расстоянием S ′′- R ′′- ′′- d от центра диска Юпитера и полярным углом sin d = , ⇒-R = r sin d . (3.3) S P max max r P θ - углом между лучами, проведенными из центра планеты к наблюдателю и спутнику. Воспользуем Т.о., для определения радиуса орбиты спутника ся теоремами синусов и косинусов для плоского необходимо измерить максимальное угловое рас треугольника △OAC: ′′- и определить расстояние до планеты стояние d max R r R r на момент измерений. В наблюдениях весьма P S S ′′- S = , ⇒-sin d = sin θ, (3.1) ′′- сложно определить момент наибольшей элонгации sin d sin θ r S 52 Астрономия спутника: в пространстве соответствующая точка ации для спутника, удаляющегося от диска плане орбиты спутника никак не обозначена. Кроме то ты, в случае восточной элонгации, или сближаю го, расстояние между Юпитером и наблюдателем щегося с диском планеты, в случае западной элон непрерывно меняется. гации. Однозначный выбор корня можно сделать Для того, чтобы поймать спутник в его лишь по данным предшествующих и последующих наибольшей элонгации мы предлагаем следую за данным моментом наблюдений. щую методику. Предположим, что спутник про Используя вновь (3.1) и зная полярный угол шел окрестность диска планеты и удаляется от по θ, можно определить расстояние до спутника: следнего. Мы проводим регулярные измерения уг sin θ лового расстояния спутника от центра диска пла r = R . (4.2) S S ′′- ′′- ′′- sin d неты {d }-и углового диаметра {D }-центральной i i Рассмотрим сферический прямоугольный планеты, с интервалом времени 3 --5 часов c ис треугольник △-O AB (см. рис. 4а), воспользу S 1 пользованием метода дрейфа. По мере удаления емся теоремой синусов [3]: спутника от планеты темпы роста углового рас стояния будут падать и здесь надо, по возможно π sin i sin β = sin θ sin , ⇒- 2 сти, проводить измерения с периодом 30--60 мин. 2 Измерения проводятся до тех пор пока не обнару sin β 1 = = const, (4.3) жится попятное движение спутника в сторону дис sin θ sin i 2 ка планеты. Для каждой вычисленной пары зна где β = O A = ω t, где ω - угловая скорость ′′-′′- P i до S S 1 чений {d , D }, рассчитываем расстояние r i i орбитального движения спутника вокруг планеты, планеты с использованием (2.2) и табличного зна t - время, прошедшее после прохождения спутни чения линейного диаметра планеты. Далее вычис ком восходящего узла O . Предположим, что спут 1 ляем радиус орбиты R по формуле (3.3). Тогда, S i ник находился в трех точках своей орбиты в мо согласно выше сказанному, максимальное значение менты t , t , t , положение которых на орбите 1 2 3 из множества значений {R }-и будет определять S i определялось значениями β , β , β . Адаптируем 1 2 3 радиус орбиты спутника. формулу (4.3) для данной ситуации R = max{R }. (3.4) S S i sin ω t = sin ω (t + ∆t ) ,    В таблице 4 представлены вычисленные S 1 = S 1 1  (1) (2) sin θ sin θ 2 2 возможные значения радиусов орбит галилеевых sin θ sin ω t sin ω (t + ∆t )  ⇒- S 1 S 1 2 ,  спутников на пятнадцать дат наблюдений. В ка (2) (1) (3)  sin θ sin θ 2 2 честве радиусов орбит спутников приняты средние арифметические двух наибольших значений радиу 2 = cos ω ∆t + sin ω ∆t ctg ω ,  (4.4)    сов, выделенных жирным шрифтом. Здесь же для sin θ (1) S 1 S 1 S  2 сравнения приведены "истинные" значения ради sin θ S 2 S 2 S 1   усов орбит спутников, представленных в справоч (3)  = cos ω ∆t + sin ω ∆t ctg ω t ,   ной литературе [6] и программе Orbits-3.0. Оче 2 2 1 2 3 1  (1) sin θ 2 видно, что новые результаты уверенно согласуют где ∆t = t --t , ∆t = t --t . Домножая первое 1 ся с результатами, полученными профессионала уравнение системы (4.4) на sin ω ∆t , а второе - S 2 ми. на sin ω ∆t и вычитая из первого второе, в ре S 1 4. Расчет полярного угла, зультате получаем: топоцентрического расстояния до спутника sin ω ∆t 2 2 (2) (3) sin θ sin θ и периода его обращения --sin ω ∆t = S 2 S 1 (1) (1) sin θ sin θ Вычислим полярный угол θ с использовани 2 2 ем теорем синусов (3.1) и косинусов (3.2) для плос = sin ω (∆t --∆t ). S 2 1 кого треугольника △OAC: выразим из первого вы ражения r и подставим в квадрат второго, в ре Далее будем полагать, что ∆t = 2∆t = 2∆t, то S 2 1 зультате получаем квадратное уравнение относи гда последнее уравнение приводится к виду: тельно cos θ: (1) (3) sin θ + sin θ 2 2 2 2 ′′- 2 2 2 ′′- cos ω ∆t = , ⇒- S α (1 + ctg d ) cos θ --2α cos θ + 1 --α ctg d = 0, (2) 2 sin θ 2 ′′- α (1 + ctg d ) --1 1 ±-ctg d (3) sin θ ,(4.1) θ = arccos 2 2 ′′- ω = 1 arccos (1) + sin θ (4.5) . ±- 2 2 2 ′′- S α(1 + ctg d ) (2) ∆t 2 sin θ 2 R π здесь α = S ; при этом 0 θ , что соот Учитывая, что ω = 2π/T , получаем окончатель + r P 2 S S ветствует ситуации для спутника, сближающегося но выражение для периода обращения спутника: с диском планеты, в случае восточной элонгации, S (1) + sin θ (4.6) (3) sin θ 2 или удаляющегося от диска планеты, в случае за 2 T = 2π∆t arccos . π (2) падной элонгации; θ π соответствует ситу 2 sin θ -- 2 2 Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 53 Таблица 5 Значения расстояний до Юпитера (r ), полярного угла θ и разности расстояний до P ±- планеты и спутника r --r для Ио и Европы на пятнадцать дат наблюдений 2000 года P S Дата Юпитер Ио Европа ◦- + ◦- -- ◦- + ◦- -- r , ×- θ , r --r , θ , r --r , θ , r --r , θ , r --r , P + S P -- S P + S P -- S P 6 3 3 3 3 ×10 км ×10 км ×10 км ×10 км ×10 км W W E E 14.07 854 74,7 109,0 105,2 108,9 83,8 72,2 96,1 71,7 W W W W 16.07 839 25,9 371,9 154,1 371,8 71,9 208,9 108,0 208,4 17.07 839 Т - Т - П - П - W W W W 19.07 833 29,6 359,3 150,4 359,2 20,3 630,3 159,7 630,3 E E W W 20.07 832 90 0,1 90 0,1 46,8 459,6 133,1 459,3 24.07 821 - - - - З - З - W W W W 30.07 807 47,4 279,6 132,5 279,5 55,5 380,9 124,5 380,5 E W W W 31.07 807 55,1 236,3 124,8 236,2 17,0 642,8 163,0 642,7 2.08 803 Т - Т - Т - Т - W W W W 6.08 800 62,1 193,2 117,8 193,1 40,6 510,3 139,3 510,1 W W E E 8.08 795 35,2 337,3 144,7 337,3 90 0,3 90 0,3 E E W W 14.08 771 83,0 50,6 97,0 50,3 36,3 541,0 143,5 540,8 E E E E 26.08 750 34,3 341,4 145,7 341,3 88,0 23,1 92,0 22,6 W W E E 29.08 736 65,4 172,0 114,5 171,8 44,8 477,1 135,2 476,8 E E E E 30.08 736 77,8 86,9 102,1 86,7 44,4 480,3 135,6 480,0 Примечание: здесь и далее жирным шрифтом выделены среди прочих математических решений значения полярного угла, отвечающие действительному положению спутника. Данный результат был получен в предполо Важно рассмотреть предельный случай, когда жении, что угол i является постоянным, который, угол i →-0. В этом случае плоскость орбиты вообще говоря, зависит от горизонтальных коорди спутника совпадает с плоскостью, содержащей ра нат планеты (точнее говоря, от ее экваториальных диус вектор планеты и перпендикулярной картин координат и времени наблюдения). Считая, что в ной плоскости (см. рис. 4а). Из формул (4.3) и ′′- течении суток экваториальные координаты плане (4.7) следует также, что d →-0. Применим фор 2 ты меняются незначительно, в силу большой уда мулу косинусов для сторон сферического треуголь ленности от Земли, то спустя T , планета вновь ника △-O DA: ⊕- S 1 будет иметь те же горизонтальные координаты, а cos θ = cosΩ cos β + sinΩ sin β cos i, при i →-0, следовательно и угол i. Поэтому в качестве ∆t на практике будем принимать значение T . ⊕- cos θ = cos(β --Ω), ⇒-θ = (β --Ω), ⇒-∆θ = ∆β, ⇒- Для определения периода обращения спут ω = ω , ника необходимо знать значения угла θ в трех S θ 2 точках орбиты спутника, разделенных временным здесь ω - скорость изменения полярного угла спут θ интервалом T . Данный угол можно определить ⊕- ника в плоскости его орбиты. Следовательно, пе по теореме синусов из плоского прямоугольного риод обращения спутника планеты в этом случае треугольника △ABC: представляется в виде: AB sin θ = , 2π 2π∆t 2 R T = = . (4.8) S S ω ∆θ θ с другой стороны из плоского прямоугольного тре Для доказательства того, что орбита спутника яв угольника △OAB следует, что ′′- ляется круговой, достаточно провести серию на AB = r sin d . S 2 блюдений и определить T для каждой тройки S 5 В итоге получаем (пары) сеансов, согласно (4.6) или (4.8) . Если sin θ sin d r ′′- полученные значения T сосредоточены в малой S i S ′′- 2 sin θ = sin d = . (4.7) 2 2 ′′- окрестности некоторого фиксированного значения R sin d S 5 Выражение (4.6) было получено в предположении постоянства угловой скорости спутника ω , что достигается лишь S при движении по окружности. При движении по эллипсу, значительно отличающемуся от окружности, это предполо жение становится неверным. И период T , определенный по (4.6), не может быть постоянной величиной. S 54 Астрономия Таблица 6 Значения расстояний до Юпитера (r ), полярного угла θ и разности расстояний до P ±- планеты и спутника r --r для Ганимеда и Каллисто на пятнадцать дат наблюдений P S 2000 года Дата Юпитер Ганимед Каллисто ◦- + ◦- -- ◦- + ◦- -- r , ×- θ , r --r , θ , r --r , θ , r --r ,×- θ , r --r , P + S P -- S P + S P -- S P 6 3 3 3 3 ×10 км ×10 км ×10 км ×10 км ×10 км W W W W 14.07 854 39,8 821,6 140,0 821,0 68,8 682,2 111,0 678,6 W W W W 16.07 839 36,6 859,8 143,3 859,3 62,4 872,4 117,3 869,0 E E W W 17.07 839 16,0 1029,1 163,9 1029,1 42,7 1385,8 137,0 1383,8 E E 19.07 833 81,1 163,3 98,7 162,0 - - - - E E E E 20.07 832 23,1 984,9 156,8 984,7 22,4 1745,2 157,5 1744,6 E E 24.07 821 - - - - 89,9 2,2 90,1 2,3 W W W W 30.07 807 51,8 662,2 128,1 661,2 49,3 1227,6 130,5 1225,1 W W W W 31.07 807 5,87 1065,4 174,1 1065,4 64,8 801,0 114,9 797,4 E E W W 2.08 803 90 0,7 90 0,7 58,9 976,5 121,0 973,3 W W E E 6.08 800 57,8 568,9 122,0 567,9 26,3 1692,3 153,6 1691,5 E E E E 8.08 795 39,1 830,6 140,8 830,1 72,2 573,7 107,5 569,6 W W W W 14.08 771 22,0 992,9 157,9 992,6 13,6 1834,8 166,3 1834,5 W W E E 26.08 750 35,8 868,4 144,1 867,9 90 0,8 90 0,8 E E E E 29.08 736 9,6 1055,8 170,3 1055,8 32,5 1591,0 147,3 1589,6 E E E E 30.08 736 64,4 461,6 115,4 460,3 5,4 1879,6 174,6 1879,6 Таблица 7 Значения изменения полярного угла (∆θ) и промежутка времени между двумя ближайшими наблюдениями (∆t) для спутников Ио и Европа Ио Европа Даты ∆θ, рад ∆t, сут T , сут Даты ∆θ, рад ∆t, сут T , сут S S 14.07, 16.07 7,1367 2,0069 1,767 14.07, 16.07 2,9317 1,9601 4,201 16.07, 19.07 10,3934 3,0097 1,819 16.07, 19.07 5,3831 3,0122 3,516 19.07, 20.07 4,1955 0,9969 1,493 19.07, 20.07 1,9687 0,9802 3,128 20.07, 30.07 35,2999 10,0420 1,787 20.07, 30.07 17,4946 10,0597 3,613 30.07, 31.07 3,0083 0,9819 2,051 30.07, 31.07 1,8769 0,9646 3,229 31.07, 6.08 21,8679 6,0090 1,727 31.07, 6.08 10,4298 6,0181 3,625 6.08, 8.08 6,7517 1,9465 1,811 6.08, 8.08 4,0041 2,0233 3,175 8.08, 14.08 21,1596 6,0865 1,807 8.08, 14.08 10,3597 5,9892 3,633 14.08, 26.08 41,6892 11,9552 1,802 14.08, 26.08 21,0912 11,9677 3,565 26.08, 29.08 12,0235 3,0348 1,586 26.08, 29.08 5,4598 3,0420 3,501 29.08, 30.08 2,9253 0,8399 1,804 29.08, 30.08 1,5849 0,9868 3,912 средн. - - 1,769 средн. - - 3,554 ∆T - - 0,095 ∆T - - 0,212 S S ε ,% - - 5,36 ε ,% - - 5,965 T T S S истин. - - 1,769 истин. - - 3,551 Примечание: здесь и далее значения T вычислены согласно (4.7). Точные значения для сидерических орбитальных S периодов спутников взяты из работы [6]. Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 55 Таблица 8 Значения изменения полярного угла (∆θ) и промежутка времени между двумя ближайшими наблюдениями (∆t) для спутников Ганимед и Каллисто Ганимед Каллисто Даты ∆θ, рад ∆t, сут T , сут Даты ∆θ, рад ∆t, сут T , сут S S 14.07, 16.07 1,8057 1,9931 6,935 14,07,16,07 0,8481 2,0930 15,507 16.07, 17.07 0,9209 1,0147 6,923 16,07,17,07 0,3446 0,9226 16,824 17.07, 19.07 1,4435 2,0249 8,814 17,07,20,07 1,1416 3,0740 16,919 19.07, 20.07 1,0136 0,9809 6,081 20,07,24,07 1,5295 3,8342 15,751 20.07, 30.07 8,9225 10,0211 7,057 24,07,30,07 2,0802 6,1778 18,660 30.07, 31.07 0,8031 0,9900 7,745 31,07,6,08 0,2708 0,7746 17,973 31.07, 2.08 1,6735 1,9659 7,381 6,08,8,08 0,9798 2,1668 13,895 2.08, 6.08 3,6999 4,0014 6,795 8,08,14,08 1,4911 4,0393 17,021 6.08, 8.08 1,6970 2,0591 7,624 14,08,26,08 0,8046 1,9465 15,200 8.08, 14.08 5,2136 5,9892 7,218 26,08,29,08 2,1139 6,0538 17,994 14.08, 26.08 10,4347 11,9465 7,194 29,08,30,08 4,4746 11,9250 16,745 26.08, 29.08 2,6857 3,0122 7,047 29,08,30,08 1,1426 3,0334 16,681 29.08, 30.08 0,9583 1,0625 6,966 29,08,30,08 0,3341 0,9673 18,192 средн. - - 7,214 средн. - - 16,720 ∆T - - 0,381 ∆T - - 0,818 S S ε ,% - - 5,28 ε ,% - - 4,89 T T S S истин. - - 7,155 истин. - - 16,689 (и относительная ошибка в определении T не пре ными данными для периодов галилеевых спутни S восходит 5÷10%), то можно утверждать что наше ков. Следует отметить, что погрешности определе 6 предположение о круговой (или почти круговой) ния T не велики и не превосходят 6% . Это мож S орбите спутника является верным. В противном но рассматривать как доказательство существова случае наше предположение неверно. ния почти круговых орбит у всех галилеевых спут В работе были вычислены значения поляр ников. ного угла (см. табл. 5, 6) галилеевых спутников 5. Оценка массы и средней массовой и разности расстояний от наблюдателя до спутни плотности планеты ка и планеты на те же даты наблюдений. Здесь Будем полагать доказанным, что орбита жирным шрифтом выделены среди прочих мате спутника классической планеты является круговой матических решений значения полярного угла, от (с приемлемой степенью точности). Тогда в силу вечающие действительному положению спутника. закона сохранения момента импульса в поле цен Данные результаты подтверждаются с помощью тральной силы (силы притяжения) [7] имеем ресурса Galilean Finder визуализации расположе ния спутников программы Orbits 3.0. m R V sin α = const, S S S Полученные данные наблюдений галилеевых здесь m - масса спутника, R - радиус спутника, S S спутников указали на малость углового расстоя S ′′- ′′- V - скорость спутника, α - угол между вектором ния d в сравнении с d . Это факт свидетельству 2 1 скорости V и вектором R , проведенным из цен S S ет о малости угла i. Следовательно, для определе тра классической планеты к спутнику. Поскольку ния периода обращения спутника можно использо при движении по окружности вектора V и R S S вать результат (4.8). Значения изменения полярно ◦- всегда взаимно перпендикулярны, то α = 90 . Ра го угла (∆θ) и промежутка времени между двумя диус орбиты R и масса спутника m являются S S ближайшими наблюдениями (∆t) для спутников также постоянными величинами, следовательно и представлены в таблицах 7 8. Здесь же представле V - постоянная величина. Т.о., спутник движет S ны значения T для более чем десять пар сеансов S ся по окружности с постоянной линейной скоро наблюдений. Очевидно, что средние значения пе стью, под действием лишь центростремительной риодов обращения спутников надежно согласуют силы, которая равна силе всемирного тяготения, ся (в пределах статистической ошибки) с таблич действующей со стороны центрального тела. Сле 6 Причем наибольшая погрешность достигается в случае Европы - галилеева спутника с наибольшим орбитальным эксцентриситетом (0.009). 56 Астрономия довательно, второй закон Ньютона для спутника Перейдем в неинерциальную систему отсче можно представить в виде [8]: та, вращающуюся вместе с планетой. В этой систе 2 2 ме отсчета вещество (газ), формирующее тело пла V Gm M V R S S S S m = , ⇒-M = , неты, покоится. Рассмотрим малый элемент веще S 2 R R G S S ства планеты массы ∆m. На данный элемент дей здесь M - масса классической планеты, G -универ ствуют сила притяжения, сила реакции (со сторо сальная гравитационная постоянная. Учитывая, ны других элементов) и центробежная сила. При что скорость спутника можно представить как рода последней силы обусловлена исключительно неинерциальностью системы отсчета. Сила притя 2πR S V = , S жения и центробежная сила являются потенциаль T S ными силами, для которых работа по любому за тогда последний результат можно представить в мкнутому контуру равна нулю [7]. Вычислим ра виде: 2 3 боту суммы этих сил при перемещении элемента 4π R S M = . (5.1) ∆m вдоль замкнутого контура ABCDA. Ее мож 2 G T S но представить в виде: С использованием результата (5.1) и полученных A = A + A + A + A = 0. tot AB BC CD DA значений радиуса орбиты (R ) и сидерического пе S риода обращения (T ) спутника можно оценить Вычислим работу на каждом участке отдельно. S массу центрального тела (Юпитера). При перемещении вдоль отрезка AB: Зная массу классической планеты и ее объ AB R G∆m M 2 e A = (Fпр + F )d ем (V ) можно оценить среднюю массовую плот цб r = (-- + ∆mω x)dx = J 2 AB R x ность планеты: 0 ∆mω . ρ = M (5.2) 1 1 2 2 2 ¯ J 2 = G∆m M -- + R --R . (5.4) V R e 0 0 e R Все классические планеты Солнечной системы Работу этих сил вдоль поверхности планеты мож имеют форму слабо сплюснутого эллипсоида вра но представить в виде: щения, масштабы которого можно охарактеризо вать полярным R и экваториальным радиусом A = U --U = 0, (5.5) p BC pB pC R (см. рис. 4б ). Объем эллипсоида вращения e здесь U - суммарная потенциальная энергия дан p можно представить в виде [9]: ных сил в указанных точках. Последний результат 4π 2 обусловлен тем фактом, что потенциальная энер V = R R . (5.3) p e 3 гия на поверхности BC планеты постоянна. Если бы это было не так, то наблюдались бы макроско Экваториальный радиус планеты R будет взят e пические токи вещества вдоль поверхности плане из справочных данных по планетам Солнечной си ты (подобно течению реки на поверхности Земли), стемы [6]. Важно отметить, что это единствен что не наблюдается в действительности; сила реак ный феноменологический параметр в данной за ции здесь всюду перпендикулярна поверхности, по даче, который обязательно необходимо взять этому не может препятствовать движению токов. из справочных сторонних данных, полученных астрономами профессионалами. Для определения CD r = R G∆m M 0 R можно воспользоваться методом дрейфа, при A = Fпрd dy = p 2 CD R y p условии, что используемый для этого инструмент обладает больш´ 1 1 (5.6) им увеличением (∼-200 крат). Од = G∆m M -- . нако, далеко не у каждого есть возможность ис R R 0 p пользовать инструмент с большой апертурой и уве Наконец, работу на участке окружности DA личением, поэтому его можно определить иначе - можно представить в виде: с использованием следующей несложной теорети 0 ческой модели на примере Юпитера. DA R 2 rd A = (Fпр+ F )d цб r = UпрD--UпрA+ ∆mω r, J Как известно, Юпитер представляет собой DA 0 гигантское скопление водорода и гелия, стянутое в здесь Uпр - потенциальная энергия силы притяже эллипсоид вращения силами притяжения. Он вра ния в указанной точке, при этом UпрD = UпрA = щается вокруг оси с периодом T (частотой ω ). -G∆m M/R ; в последнем интеграле J J 0 r направлен Большую часть его объема занимает разреженный от оси вращения планеты OC, а d r - по касатель газ, плотность которого является крайне низкой. ной к дуге в каждой точке. В итоге Очевидно, плотность газа должна возрастать в 2 R 2 0 направлении к центру планеты. Поэтому можно A = ∆mω . (5.7) DA J 2 предположить, что основная часть массы планеты Подставляя (5.4) (5.7) в выражение для A , в ре tot сосредоточена во внутренней области планеты - в зультате получаем компактном центральном ядре (на рис. 4б показа но красным кружком радиуса R = OA, причем 1 1 2 2 2 0 ∆mω J G∆m M -- = R . R ≪-R , R ). R R e 0 p e p e Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 57 Таблица 9 Значения важнейших кинематических параметров спутников и соответствующие им значения массы Юпитера (M ) и его средней массовой плотности (ρ ) J J Параметры Ио Европа Ганимед Каллисто Среднее Справочные данные 3 R , ×10 км 413,3 672,1 1071 1888 - - S T , сут 1,769 3,554 7,214 16,720 - - S V , км/c 16,990 13,753 10,796 8,212 - - S 27 M , ×10 кг 1,788 1,905 1,871 1,908 1,868 1,898 [10] J 3 3 ρ , ×10 кг/м 1,230 1,307 1,284 1,309 1,282 1,326 [10] J Откуда следует окончательное выражение для R : случае, когда не были измерены его горизонталь p ные координаты). R e R = , (5.8) p 2 3 2 Литература 1 + (2π R )/(G M T ) e J а средняя массовая плотность планеты представ 1. Филиппов Ю. П. Метод суточного дрейфа ляется в виде: небесных тел. I. Определение угловых размеров 2π R e 1 + . ρ = 3M 2 3 (5.9) классических планет с использованием инструмен ¯ 3 2 тов, доступных астроному-любителю // Вестник 4πR G M T e J молодых ученых и специалистов Самарского госу Период вращения Юпитера вокруг своей оси (T ) J . С. 5-18. можно легко определить из наблюдений по измене дарственного университета. 2018. № 1(12) нию положения характерных объектов на поверх 2. Чурюмов К. И. Кометы и их наблюдение. ности планеты, например Большого красного пят М.: Наука, Главная редакция физико математиче на. ской литературы, 1980. 160 с. В таблице 9 приведены итоговые результаты 3. Куликов К. А. Курс сферической астро настоящей работы для периодов обращения, ради номии. М.: Наука, 1969. 216 c. усов орбит и орбитальных скоростей галилеевых спутников, а также вычисленные согласно (5.1), 4. Жаров В. Е. Сферическая астрономия. (5.9) значения массы и средней массовой плотно М.: УРСС, 2006. 560 с. сти Юпитера. Здесь же представлены усреднен 5. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физи ные по спутникам значения данных параметров ческих величин. М.: Лань, 2009. 112 с. и табличные данные, согласно [10]. Следует отме 6. Куликовский П. Г. Справочник любителя тить, что полученные значения искомых парамет ров близки к соответствующим значениям, полу астрономии. М.: УРСС, 2017. 704 с. ченным профессионалами. 7. Маркеев А. П. Теоретическая механи Таким образом, разработанная методика ка. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, определения искомых кинематических величин 2007. 592 с. для спутника классической планеты и динами 8. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: ческих характеристик классической планеты, ос нованная на МСД и проверенная на галилеевых ФИЗМАТЛИТ, 2010. Т. I. Механика. 560 с. спутниках и Юпитере показала свою валидность 9. Выгодский М. Я. Справочник по высшей и эффективность в использовании. При этом бы математике // М.: ACT: Астрель, 2006. 991 с. ло задействовано лишь 2(3) феноменологических 10. Williams D.R. Jupiter Fact Sheet. URL: параметра: D - экваториальный диаметр пла неты, T = 9.925 часа - ее сидерический период https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/jupi- J вращения вокруг оси (δ - склонение планеты в terfact.html (дата обращения: 15.06.2019). J 58
×

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
Russia, Samara

References

  1. Филиппов Ю. П. Метод суточного дрейфа небесных тел. I. Определение угловых размеров классических планет с использованием инструментов, доступных астроному-любителю // Вестник молодых ученых и специалистов Самарского государственного университета. 2018. № 1(12). С. 5-18.
  2. Чурюмов К. И. Кометы и их наблюдение. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 160 с.
  3. Куликов К. А. Курс сферической астрономии. М.: Наука, 1969. 216 c.
  4. Жаров В. Е. Сферическая астрономия. М.: УРСС, 2006. 560 с.
  5. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. М.: Лань, 2009. 112 с.
  6. Куликовский П. Г. Справочник любителя астрономии. М.: УРСС, 2017. 704 с.
  7. Маркеев А. П. Теоретическая механика. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2007. 592 с.
  8. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. Т. I. Механика. 560 с.
  9. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике // М.: ACT: Астрель, 2006. 991 с.
  10. Williams D.R. Jupiter Fact Sheet. URL: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/jupiterfact.html (дата обращения: 15.06.2019).

Copyright (c) 2019 Proceedings of young scientists and specialists of the Samara University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies