A QUANTITATIVE ANALYSIS OF THE EVOLUTION OF THE WASP 1 SYSTEM WITH USING NON MINIMAL MODEL OF TIDAL INTERACTION. ANALYSIS OF THE EFFECTS OF THE EXOPLANET FALLING

Full Text

25 сентября 2006 года международной ко широкоугольных телескопов, в широком диапазоне мандой астрофизиков из Франции и Южной Аф электромагнитных волн, расположенных на Канар рики было объявлено об обнаружении за пре ских островах и в Южной Африке), одной из са делами Солнечной системы, в рамках проекта мых горячих (T = 1800 К, и потому больших eff SuperWASP (Wide Angle Search for Planets, проек по размеру R = 1.483 R ) и самых быстрых (пе 2 J (r) та нацеленного на поиск экзопланет с использова риод обращения планеты равен T = 2, 520 сут, нием транзитного метода, при помощи двух сверх см. табл. 1 2) экзопланет [2]. Высокая температу ра обусловлена близостью экзопланеты к материн c Филиппов Ю. П., Бильданов С. З., 2019. ской звезде, - расстояние между ними всего лишь Филиппов Юрий Петрович, a = 0, 0382 а.е., что более чем в 26 раз меньше (yuphil@mail.ru), большой полуоси Земли. Расстояние от Солнца до доцент кафедры общей и теоретической физики звезды WASP 1 составляет 1330 световых лет (см. Самарского университета, табл. 3 4). 443086, Россия, Самара, Московское шоссе, 34; Эти факты являются главными причинами Бильданов Сергей Зявдатович, приливных явлений как на самой звезде, так и на (bildanov@inbox.ru), планете, в частности, приливного трения вещества ученик XI класса Лицея Созвездие №131, этих тел. Последнее, в свою очередь, приводит к 443083, Россия, Самара, ул. Промышленности, 319. Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 31 Таблица 1 Основные характеристики экзопланеты WASP 1b, вычисленные предшественниками по данным ее наблюдений -2 3 a,×10 а.е. ε T, сут i, град M , M R , R ρ, кг/м 2 J 2 J +0,053 +0,057 +0,024 +29 3, 889 -0,073 0 0, 854 -0,052 1, 483 -0,034 348 -32 2, 5199454±-0, 0000005 90, 0 ±-1, 3 Примечание: a, ε - большая полуось и эксцентриситет орбиты экзопланеты, T - е¨ e орбитальный период; i - наклонение орбиты планеты к лучу зрения, M2 - е¨ e радиус (в e масса (в массах Юпитера MJ ), R2 - е¨ радиусах Юпитера RJ ), ρ - средняя массовая плотность экзопланеты. Таблица 2 Вычисленные в работе [1] значения некоторых параметров экзопланеты WASP 1b 2 42 2 ω, рад/сут V , км/с w , м/с p c L , ×10 кг м /с 2,4933 168,22 4,863 1,5869 Примечание: ω, V - угловая и линейная скорости орбитального движения экзопланеты; wc - е¨ e центростре мительное ускорение, Lp - момент количества движения экзопланеты. Таблица 3 Основные характеристики звезды WASP 1, вычисленные предшественниками по данным е¨ e наблюдений 9 3 †- †- †- τ , 10 лет T , 10 K R, R m r , пк Спектральный класс M , M age eff ⊙- ⊙- V +1,2 +0,022 m +0,05 3, 4 -0,6 1, 470 -0,032 F7V 1, 24 -0,07 6, 20 ±-0, 20 (11, 79 ±-0, 21) 408 ±-27 Примечание: τage - текущий возраст звезды, Teff - эффективная температура поверхности звезды; mV - е¨ e видимая зв¨ e радиус, M - масса звезды. eздная величина, r - гелиоцентрическое расстояние до звезды, R - е¨ Таблица 4 Вычисленные в работе [1] значения некоторых параметров звезды WASP 1 9 3 2 τ , 10 лет L, L M M ρ, кг/м g, м/с V , км/с V , км/с life ⊙- V b I II m m 6,50 2,671 4,299 4,252 549,12 157,28 400,88 566,93 Примечание: τ life - ожидаемое время жизни звезды, L - светимость звезды; MV - е¨ e визуальная абсолютная зв¨ b - болометрическая абсолютная зв¨ eздная величина, M eздная величина; ρ - средняя массовая плотность звезды, g, VI, VII - ускорение свободного падения, первая и вторая космические скорости у е¨ e поверхности соответственно. неминуемой потери механической энергии системы чительных приливных эффектов не только на по и плавному падению экзопланеты на центральное верхности центрального тела, но и на поверхности тело. Проведенный обзор литературных источни самой экзопланеты. ков [2] [6], посвященных исследованию данной эк В связи со сказанным, главной целью на зопланеты, указал на отсутствие каких либо иссле стоящей работы является количественный анализ дований в отношение эволюции системы WASP 1 эволюции орбит тел системы WASP 1 с исполь в будущем. Также в работах предшественников от зованием Неминимальной модели приливного вза сутствует оценка оставшегося времени жизни пла имодействия, новая оценка оставшегося времени неты WASP 1b. жизни экзопланеты WASP 1; анализ последствий Регулярные наблюдения системы WASP 1 падения экзопланеты на поверхность звезды. позволили существенно повысить точность опреде 1. Определение потенциала ления основных параметров планеты, определяю приливообразующей силы щих ее динамику. В работе [1] вычислено время В данном параграфе будет построен потен жизни данной экзопланеты, как с учетом уточнен циал приливообразующей силы (ПОС), действую ных данных [7], так и с учетом эффекта разру щей на элемент массы dm небесного тела. Рассмот шения небесного тела в полости Роша, в рамках рим в качестве примера систему Солнце Земля Минимальной модели приливного взаимодействия. (см. рис. 1а). Введем декартову систему координат Следует отметить, что в данной модели не учи (OXY) так, чтобы ось OX содержала центры дан тывались приливные эффекты, проявляющиеся на ных тел и при этом была направлена от Солнца самой экзопланете, последняя моделировалась то к Земле, начало координат (точка О) совпадает с чечным телом. Однако, размеры планеты очень центром Земли. Перейдем в полярную систему ко большие для объекта такого класса, а ее близость ординат, начало которой совпадает с центром Зем к звезде является серьезным основанием для зна ли, а полярная ось - с осью ОХ. Данная система 32 Астрономия n ‘ n r Y q da A r ‘ B r j S q R da A Å a O i X олн З мля а а ′- Рис. 1. К определению: а - полярных координат r и θ, задающих структуру приливообразующей силы (без сохранения масштаба), б - величины статической деформации (объяснения в тексте) координат характеризуется двумя ортами ( , n ′ n ), ца представляется в виде: r θ аналогично ортам декартовой системы координат ′- ⊙- n ′ определяет направление вектора t ′- 3 G M r 2 1 (1.4) (i, j). Вектор ′-′- ϕ (r , θ) = -- a a cos 2θ + 3 . r ′- 4 ⊕- ⊕- и задается выражением ′ = /r . Вектор r n r n r θ 2. Оценка величины статической есть единичный вектор, перпендикулярный векто ру и направленный в сторону увеличения угла n r ′ деформации поверхности шарообразного тела в рамках энергетического подхода θ (см. рис. 1а). Согласно работе [1], проекции ПОС Рассмотрим случай невращающейся Земли. dF , действующей со стороны Солнца на элемент t тела Земли массы dm, на направления, задавае Полная потенциальная энергия пробного тела мас мые данными ортами, представляются в виде: сы ∆m у ее поверхности определяется суммой двух слагаемых: энергией поля силы тяжести пла  (r ) , dF x cos 2θ + dF = g t  t ′ 3 3 0 1 неты U и потенциальной энергией ПОС U Солн      (θ) = 2 2 0 3  (1.1) ца: U ′- g ′- t ′- dF x sin 2θ, где  tot (r , θ) = U (r ) + U (r , θ), (2.1) dFt --   где U (r ) = ∆m g(r --R ),   r  ⊙-  dF = G dm M , x = ′- g ′- ′- ′- ⊕-    0 , 2 a  U = ∆m ϕ (r , θ). ⊕-  a ⊕- t t ⊕-  ′-  У поверхности Земли r = R + h, где h - вы здесь G - универсальная гравитационная постоян сота точки наблюдения над поверхностью Земли ная, M - масса Солнца, a - большая полуось ⊙- ⊕- земной орбиты. ′ (h ≪-R ). Тогда энергию U можно представить ⊕- tot (r ) в виде: Проекция приливной силы dF перпенди t кулярна поверхности Земли, поэтому традиционно tot 3 G M 2 cos 2θ + 1 R ⊙- ⊕- называется вертикальной составляющей; проек U ≈∆m g h --∆m a a 3 . 4 ⊕- ⊕- (θ) ция dF направлена параллельно горизонту, по R t U 3 G M 2 ⊙- ⊕- (h, θ) = ∆m g h -- этому ее называют горизонтальной составляющей tot ∆m cos 2θ. (2.2) 4 a a ⊕- ⊕- приливной силы [8]. При записи последнего выражения учтено, что по Поскольку ПОС определяется как суперпо тенциальная энергия всегда определяется с точно зиция двух сил притяжения, которые являются по стью до постоянной величины, поэтому последнее тенциальными, то и сама сила является потенци постоянное слагаемое было отброшено. альной. Следовательно для нее можно построить ′- С учетом явного выражения для ПОС (1.1) скалярную функцию ϕ (r , θ), градиент от кото t можно легко убедиться в том, что последняя стре рой, взятый со знаком - и домноженной на dm, мится растянуть шарообразное тело Земли вдоль даст саму ПОС dF , то есть t оси OX и сдавить в направлениях, перпендикуляр ′- dF = -dm∇ϕ (r , θ), где  (1.2) ных данному. В результате тело планеты приобре t t ∂ n + 1 ∂ .  тает форму слабо вытянутого эллипсоида враще ∇-= ∂r ′ ′- n ния, большая полуось которого равна a = R + δa ′-r r ∂θ θ  где R ⊕- ⊕- Последнее выражение, с учетом (1.1), удобно рас (h = δa), а малая полуось - b = R --δa (h = -δa), - радиус шарообразного, невозмущенного ⊕- писать в виде двух уравнений в проекциях: тела Земли; δa - величина статической деформа ′- ции поверхности шарообразного тела Земли, обу ∂ϕ 3 G M r 1  (1.3) словленной действием ПОС Солнца. t ⊙- = -- cos 2θ + ,  ∂r a  ⊕- ⊕- G M ∂ϕ r 3 1 ′-t = 2 2 a ′- 3  Поскольку форма тела Земли не меняется, ⊙- sin 2θ. то ее поверхность должна быть эквипотенциаль  ′- 2 2 a взятия  ной, то есть потенциальная энергия U во всех r ∂θ a ⊕-  tot ⊕- Путем непосредственного производной точках ее поверхности должна быть величиной по можно убедиться в том, что потенциал ПОС Солн стоянной. Следовательно, потенциальные энергии Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 33 в точке А (см. рис. 1б ), лежащей на большой оси, Элементарный объем в обобщенных сферических и в точке B, лежащей на малой оси, равны между координатах представляется так собой 2 dV = ˜ 1 r dθ dφ . (3.2) r a b c sin θ d˜ 1 1 1 1 U tot tot (h, π) = U (-h, π/2), ⇒- Тело массой M будем моделировать матери 2 3 G M 2 = альной точкой, движущейся относительно эллип R ⊙- ⊕- ∆m ∆mgh -- a a соида по круговой орбите радиуса r, лежащей в 4 ⊕- ⊕- R ⊙- ⊕- -∆mgh + 3 G M 2 , плоскости ОХY, что и экватор эллипсоида. Поло ∆m жение точечного тела в данной системе координат 4 a a ⊕- ⊕- определяется радиусом вектором r: R ⊙- ⊕- gδa = 3 G M 2 . (2.3) (3.3) r = (r cos∆ϕ, r sin∆ϕ, 0). 4 a a ⊕- ⊕- Учитывая, что ускорение свободного падения у по Далее определим в терминах данных координат 2 верхности Земли есть g = GM /R , тогда величи cos θ (здесь θ - угол между радиусами векторами ⊕-⊕- r и на статической деформации представляется в ви - r , см. рис. 2.а): 1 де: cos θ = -( - n n ), (3.4) M R ⊙- ⊕- R . δa = 3 3 ⊕- (2.4) где = r r1 4 M a ⊕- ⊕- r n = (cos∆ϕ, sin∆ϕ, 0), r Очевидно, последняя величина пропорциональна r массе приливообразующего тела (Солнца) и чет r 1 вертой степени радиуса тела, испытывающего при = a sin θ cos φ , ˜ b sin θ sin φ , ˜ n = r 1 r 1 1 r1 1 1 1 r r r ливы (Земли). 1 1 1 3. Расчет потенциальной энергии r c 1 ˜ cos θ . 1 приливного взаимодействия однородного r 1 слабо вытянутого эллипсоида вращения и 2 2 2 2 2 r = ˜ a 1 1 1 1 1 массивного точечного тела 1 2 r 2 sin θ cos φ + b sin θ sin φ + 1 2 1/2 2 2 r R (1 + 2β) sin θ cos φ + Для достижения сформулированной цели + c cos θ ) 2 ≈-˜ 2 2 1 1/2 1 1 1 1 необходимо вычислить потенциальную энергию +(1 --2β)(sin θ sin φ + cos θ ) ≈- приливного взаимодействия однородного слабо вы r R λ, 1 1 (3.5) тянутого эллипсоида вращения (полуоси которого 1 1 есть a = R + δa, b = R --δa, c = R --δa, а мас 1 1 1 ≈-˜ 2 2 λ = 1 + γ(2 sin θ cos φ --1) , са - M ) и массивного точечного тела. Согласно 1 1 1 (3.6) 1 определению, потенциальной энергией приливного здесь γ = δa/R , причем γ ≪-1 для большинства взаимодействия бесконечно малого элемента мас рассматриваемых физических систем. При записи сы dm тела эллипсоида и массивного точечного последнего выражения было использовано биноми тела массы M , с учетом (1.4), можно записать альное приближением вида [9]: 2 так α 2 3 G dm M r 1 (1 + x) ≈-1 + α x, при x ≪-1. (3.7) 2 1 dU = dm ϕ (r , θ) = -- r 2 cos 2θ + 3 = Следовательно, проекции вектора на декарто t t 1 n 4 r r1 вы оси можно представить в виде: r 2 1 3 cos θ --1 , = -- 2 r 2 r sin θ cos φ ≈-(1 + 2γ(1 --sin θ ×- r1 x λ здесь r 1 G dm M 2 2 (3.1) (n ) = 1 + γ 1 1 2 1 вектора элемента, 1 - величина радиуса 2 1 1 1 определенного относительно центра эллипсоида; ×-cos φ )) sin θ cos φ , r - расстояние между телами; угол θ определяется (n ) = 1 --γ 1 1 2 1 2 1 согласно рис. 1.a. r1 y λ sin θ sin φ ≈-(1 --2γ sin θ cos φ ) ×- 1 1 Выберем декартову систему координат, ×-sin θ sin φ , жестко связанную с телом эллипсоида так, что (n ) = 1 --γ 1 2 1 2 1 1 r1 z λ cos θ ≈-(1 --2γ sin θ cos φ ) cos θ . б´ ольшая полуось эллипсоида совпадает с осью ОХ (см. рис. 2a). Положение бесконечно малого Следовательно, cos θ представляется в виде: элемента объемом dV и массой dm = ρdV будем 2 2 cos θ = --sin θ (1 + 2γ(1 --sin θ cos φ )) cos φ ×- определять радиусом вектором = (x , y , z ) в 1 2 1 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 1 ×-cos∆ϕ + (1 --2γ sin θ cos φ ) sin φ sin∆ϕ = обобщенных сферических координатах (˜ --sin θ 1 1 1 r , θ , φ ). 1 1 1 2 cos(φ --∆ϕ) + 2γ(cos φ cos∆ϕ --sin θ ×- Последние координаты связаны с декартовыми по 2 1 1 (3.8) средством выражений вида: ×-cos φ cos(φ --∆ϕ)) .  x = ˜ 1 1 1 t 1 r a cos φ sin θ , 1 В итоге потенциал dU можно представить в виде:  y = ˜ 1 1  t 1 G dm M r 2 1 cos (φ  1 r b sin φ sin θ , 1 z = ˜ 1 1 1 dU ≈--- r 2 2 3 sin θ 2 1 --∆ϕ)+ 1 r c cos θ , 1 1  0 6 ˜  2 2 r 6 1, 0 6 θ 6 π, 0 6 φ 6 2π. r 1  34 Астрономия Z 1 w Y M 1 1 M A 2 E 2 r 1 j Dj 2 q 2 O R 2 1 Y 1 E C j f M 1 3 1 Dj 1 X j Dj 1 r 1 O r 1 X 2 R 2 1 w 2 M 2 а а Рис. 2. К определению а - потенциальной энергии приливного взаимодействия однородного слабо сплюснутого эллипсоида вращения и массивного точечного тела, б - основных параметров физической системы (объяснения в тексте) 2 +4γ cos(φ --∆ϕ)(cos φ cos∆ϕ --sin θ ×- 2 1 1 1 1 1 ×-cos φ cos(φ --∆ϕ)) = 2 1 1 (3.9) 3 G M M 2 π(3 cos 2∆ϕ + 1) = = -- 1 2 R 8 ×-cos φ cos(φ --∆ϕ)) --1 . Для получения искомой потенциальной энергии 40π 3 1 ×- r 3 необходимо проинтегрировать (просуммировать) R последний результат по всем элементам dm послед 3 G M M 1 2 1 (3.12) 1 2 cos 2∆ϕ + . 5 него: = -- r r 3 1 G M 2 2 3 sin θ cos dmr U = dU =-- 1 1 t t 2 3 2 2 (φ --∆ϕ)+ Последний двухкратный интеграл был вычислен 1 r аналитически с использованием системы аналити 2 2 ческих вычислений Mathematica [10]. Окончатель +4γ cos(φ --∆ϕ)(cos φ cos∆ϕ --sin θ cos φ ×- но имеем следующее выражение для искомой по 1 1 1 1 тенциальной энергии U : 2 R ρ a b c r d˜ ˜ r ×-cos(φ --∆ϕ))] --1] ≈--- 1 1 1 1 G M 2 1 4 t 3 G M M t 1 cos 2∆ϕ + 1 , или 1 3 2 r 0 R U = -- π 2π r sin θ dθ 1 2 1 2 1 5 γ 1 2 r 2 3 5 0 1 1 0 dφ 1 + 2γ(2 sin θ cos φ --1) ×- 2 R 2 U = -- . 2 1 1 1 t 9 G M 1 cos 2∆ϕ + 1 (3.13) 1 2 2 1 2 1 1 20 r r 3 ×-3 sin θ cos (φ --∆ϕ) + 4γ cos(φ --∆ϕ)×- 4. Неминимальная модель приливного ×(cos φ cos∆ϕ --sin θ cos φ cos(φ --∆ϕ)) -1 = (3.10) = K-+ γK-, взаимодействия 0 1 Рассмотрим физическую систему двух тел 1 2 где K-= -- sin θ R 1 1 0 3 G M M 2 π dθ ×- (здесь и далее первое тело - звезда WASP 1, вто 1 3 40π r 0 рое тело - экзопланета WASP 1b) с массами M 1 2 1 2 2π и M соответственно (M > M ), взаимодейству 2 2 3 3 sin --∆ϕ) --1 = ×- dφ θ cos (φ -- ×- ющих между собой посредством гравитационных 1 1 1 сил. Для описания взаимодействия этих тел и эво 0 40π люции их движения будем использовать следую G M M 2 π 2π 1 + 3 π 3 θ dθ ×- щую модель - Неминимальную модель приливного 1 2 sin θ ×- 3 1 -- dθ 0 dφ sin 1 1 R 1 1 r 0 0 взаимодействия. 2π 3 G M M 1. Данные тела будем моделировать одно 2 1 1 40π 1 2 2 родными (с постоянной массовой плотностью ρ и ×-cos (φ --∆ϕ)dφ = -- 3 1×- 1 R 0 r ρ соответственно) трехосными эллипсоидами (сла 2 (3.11) ×(-4π + 4π) = 0. бо отличающимися по форме от шаров с радиуса 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 sin θ dφ K-= -- R 1 1 1 3 G M M 2 π dθ 2π 1 ми R и R ) c полуосями (a , b , c ) и (a , b , c ), 1 40π 3 которые представляются в виде: r 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  a = R + δa , a = R + δa ,  (4.1) 2(2 sin θ cos φ --1)(3 sin θ cos (φ --φ ) --1)+ 1 1 2 2 b = R --δa , b = R --δa , 1 2 2 1 1 1 2  1 1 1 2 2 2  +12 sin θ cos(φ --∆ϕ)(cos φ cos∆ϕ --sin θ ×- c = R --δa , c = R --δa ,  1 1 1 2 2 2  Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 35 где δa - значения статической деформации 6. Со стороны тела 2 на тело 1 действу {1,2}- сферических поверхностей данных тел (в отсут ют приливные силы, порождающие момент M , 1 ствии второго тела), обусловленной действием при лишь z проекция которого способна изменять пе ливных сил со стороны второго тела, и определя риод вращения первого тела. Сила гравитационно емые по аналогии с (2.4) выражениями вида: го притяжения между телами помимо ньютонов ского слагаемого должна содержать дополнитель M R  δa = 3 2 1 3 1  (4.2) ные слагаемые δF , обусловленные слабой вы  1 R , {1,2}-  1 3 литические выражения для M и δF будут по 3 M R 1 {1,2}- 1 2  R2.  δa = 4 M r  тянутостью эллипсоидов данных тел. Явные ана 2 4 M r  лучены в следующем параграфе. 2  7. Со стороны тела 1 на тело 2 действу 2. Выберем декартову систему координат ют приливные силы, порождающие момент M , 2 так, чтобы центр масс системы совпадал с нача лишь z проекция которого способна изменять пе лом координат, а плоскость OXY - с плоскостью риод вращения второго тела. Явное аналитическое орбит тел (см. рис. 2б ). При этом в начальный выражение для M будет получено в следующем 2 момент времени данные тела находятся на оси параграфе. OX. Ось OZ образует правый винт с направлени ем обращения системы тел относительно их цен 5. Лагранжев подход к выводу уравнений тра масс. эволюции физической системы 3. Будем полагать, что тело массой 2 дви Центральным объектом Лагранжева подхо жется относительно тела 1 по круговой орбите ра да в теоретической механике является функция диуса r, лежащей в плоскости ОХY. Орбиты дви Лагранжа, которая для замкнутой системы из N жения этих тел относительно центра масс, следо взаимодействующих тел представляется в наибо вательно, также есть окружности с радиусами R лее общем виде [11]: 1 и R соответственно. Из определения радиуса век 2 N N тора центра масс следует, что T ( ˙ , t) --U q, t) = i j i R = M = α < 1. L(q, ˙ i q ij (q , q , t), (5.1) 1 2 i=1 i,j=1 R M 2 1 где T - кинетическая энергия i того тела, U - i ij При этом потенциальная энергия взаимодействия i того те R + R = r. ла с j ым телом рассматриваемой физической си 1 2 стемы (предполагается, что данная физическая си Из двух последних выражений следует, что стема состоит из N тел, в нашем случае N = 2), q = {q }-- обобщенные координаты i того тела, r, R = r. R = α 2 1 (4.3) i a a i 1 1 + α 1 + α где a - индекс характеризующий порядковый но q }-- обобщенная скорость i 4. Положения центров данных тел в выбран мер измерения, q˙ = {-˙i i того тела, t - время. ной системе координат определяются радиусами Выбор обобщенных координат диктуется со векторами: ображениями удобства в описании физической си 2 1 3 3 2 1 3 3 (4.4) стемы, для которой четко определены независи r = (-R cos ϕ ,-R sin ϕ , 0), 1 мые степени свободы. Для физических систем, в r = (R cos ϕ , R sin ϕ , 0), 2 которых присутствуют силы трения и сопротивле где ϕ - азимутальный угол второго тела отно 3 ния (диссипативные силы), имеют место уравне сительно центра масс, его можно представить в ния Лагранжа второго рода (для каждой обобщен случае кругового характера движения как ϕ = 3 a 2π ной координаты q ), представляемые в виде: i ω t, где t - время движения, ω = (r) - угловая 3 3 T скорость обращения системы относительно центра d ∂L- -- = Q ,  масс, T  i a dt ∂ ˙ q ∂q , i i мы. (r) - орбитальный период обращения систе a ∂L- a  (5.2) -----→- i = 1, . . . , N ; a = 1, . . . , D,  5. Будем полагать, что данные тела враща a -----→- ется вокруг осей, параллельных OZ, c угловыми где Q - обобщенные диссипативные силы, присут i (s) (s) скоростями и (ω = 2π/T , T - пе ствующие в системе, D - максимальное число из ω ω i 1 2 i i риод осевого вращения i го тела) соответственно. мерений (число степеней свободы для одного тела) Направления вращений образуют правый винт с для данной физической системы. осью OZ. Данным вращательным движениям со Построим функцию Лагранжа и выведем ди ответствуют моменты импульса (моменты количе намические уравнения эволюции физической си (s) (s) стемы, определенной в рамках Неминимальной ства движения, МКД) L и L , которые можно 1 2 представить в виде: модели приливного взаимодействия, в предыду щем параграфе. Для этого определим обобщен (s) (s) (s) 2 2 (4.5) ные координаты системы. В роли таковых удобно L = (0, 0, L ), L = M R ω , 1 1z 1z 5 1 1 1z (s) (s) (s) 2 2 L = (0, 0, L ), L = M R ω . взять полярные углы точек экваторов тел 1 и 2 и 2 2z 2z 5 2 2 2z 36 Астрономия прямой их соединяющей - ϕ , а также рассто первое тело посредством приливных сил, соответ {1,2,3}- яние между телами r. Выберем эти точки (см. рис. ствующая энергия взаимодействия для которых 2б, точки E и E ) и направление полярной оси представляется в виде: 1 2 таким образом, чтобы начальные значения всех по 2 1 R 1 1 U1 -- cos(2∆ϕ ) + . лярных углов были равны нулю. (t) = 3 γ GαM r 2 1 (5.8) 1 5 r 3 Далее определим кинетическую энергию си Аналогично рассуждая в случае второго тела, име стемы. Для этого учтем, что тела 1 и 2 участвуют ем: в двух видах движения: 1) в обращении вокруг об G M 1 R щего центра масс; 2) во вращении вокруг собствен (t) = 3 2 2 r 2 2 2 1 1 γ αβ U ной оси. Следовательно, кинетические энергии тел 2 -- r cos(2∆ϕ ) + 3 . 5 представляются в виде: (5.9) (t) (t) (r) (s) Важно отметить, что U , U зависят от 1 2 T = T + T , (5.3) 1 1 1 углов ∆ϕ , которые на больших временных ин {1,2}- 1 1 2 2 тервалах не являются уже постоянными, а явля (r) = 2 (r) = 2 M ˙ 1 2 2 ются функциями обобщенных скоростей ω i и T M V 1 R + ω R = 1 1 1 3 1 {1,2,3}- 2 1 α 2 2 обобщенных координат - r (как минимум ∆ϕ ∼- 2 = 2 M 1 + α r + ω r , (ω --ω )t), что для энергии взаимодействия, со 1 ˙ 3 i 3 ответствующей потенциальной силе, нехарактерно [12]. Особый характер зависимости указывает на 2 (s) = 1 2 1 2 2 1 2 2 присутствие диссипации механической энергии в T I ω = M R ω = M R ω , 1 2 1 1 2 - 1 1 1 5 1 1 1 5 системе и на необходимость определения обобщен (r) a где V - скорость орбитального движения перво ных диссипативных сил Q (что будет сделано ни 1 i го тела, ω - угловая скорость орбитального дви же). Следовательно, полная потенциальная энер 3 жения первого тела, r - расстояние между телами, гия есть U = U . В итоге функция Лагранжа рас G I - момент инерции первого тела (шар). сматриваемой физической системы есть 1 Аналогично для второго тела можно запи 1 α r + ω + ˙ r 1 сать: 2 (r) (s) , (5.4) L-= T --U = 2 M (1 + α) 2 2 2 2 3 T = T + T 2 2 1 α G M 1 ω + αβ + ω M R 1 1 1 2 2 (r) 1 (r) 2 = 1 M ˙ 2 2 2 = + 5 2 2 2 2 r . (5.10) T = M V 2 R + ω R 2 2 2 3 2 2 2 Вычислим производные от функции Лагранжа, 1 α стоящие в левой части уравнений (5.2): r + ω , ˙ r = 2 M 2 2 2 2 2 d ∂L- = 2 2 ˙ , ∂L- 1 3 (1 + α) 1 1 1 dt ∂ω 1 (s) 1 2 1 2 2 = 1 5 M R ω ∂ϕ = 0, T = I ω = M R ω 2 2 2 2 2 -5 2 2 2 d 2 ∂L- = αβ M R ω = 0, 1 1 2 dt ∂ω ∂ϕ 2 αβ M R ω , = 1 2 2 2 2 5 2 2 ˙ , ∂L- 1 1 2 5 d ∂L- где β = R . (5.5) 1 α 2 ˙ + 2rω r), ∂L- = M (r ω 3 ˙ = 0, 3 3 3 2 dt ∂ω (1 + α) ∂ϕ R 1 ∂L- = M ¨ Полная кинетическая энергия системы определяет d 1 α r, dt ∂ ˙ (1 + α) r ся выражением: 2 α 2 α G M 1 M α ∂L- 1 r 2 1 . = M 2 2 2 T = T + T = 1 r 3 ∂r (1 + α) ω3 -- r 1 2 ˙ + ω r + 2 (1 + α) a Для определения обобщенных сил Q учтем, i 1 что элементарная работа, совершаемая обобщен ω + αβ ω + 5 2 2 2 2 (5.6) ной силой на элементарном перемещении δq , есть M R 1 1 1 2 i и является функцией только обобщенных скоро δA = Q δq , i i стей: ω r и координаты r. , ˙ {1,2,3}- иначе ее можно представить Определим потенциальную энергию взаимо (t) (t) (t) действия тел физической системы. Здесь домини δU j i i j i )) = δA = -- j = --(U (q +δq )+U (q рующее слагаемое - потенциальная энергия грави j=1,2 j=1,2 тационного взаимодействия двух однородных ша (t) j рообразных тел: G M M 2 ∂U δq . = -- ∂q i i j=1,2 1 2 α G M 1 = -- U = -- G . (5.7) Откуда следует r r (t) (t) q j j i Очевидно, что U является лишь функцией обоб i ∂U ∂U ∂ ˙ . (5.11) G Q = -- ∂q = -- ∂ ˙ ∂q щенной координаты r. Второе тело действует на i i q i j=1,2 j=1,2 Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 37 Следовательно, внешней газовой оболочкой - атмосферой. Именно 2 2 R атмосфера в наибольшей степени подвержена дей 1 Q = 6 γ GαM 1 sin(2∆ϕ ), ствию приливных сил. Поскольку атмосфера звез ϕ1 1 1 5 r r ды (экзопланеты) представляет собой смесь ча Gαβ M R 1 Q = 6 γ 2 2 1 2 sin(2∆ϕ ), стично или полностью ионизованных газов (пре ϕ2 2 2 имущественно водорода и гелия), то как и любое 5 r r массивное тело, она с некоторым запаздыванием Q = -Q --Q , реагирует на возмущение приливной силы (инерт ϕ3 ϕ 1 ϕ 2 ность отклика), то есть горб приливной волны дол GαM R 1 Q = -- cos(2∆ϕ ) + -- r 9 γ 2 2 1 2 1 1 жен формироваться с некоторым запаздыванием 1 5 r r 3 (на малый угол δϕ ) по отношению к прямой, со i единяющей тела 1 и 2 или прямой, перпендику Gαβ M 9 γ 2 2 1 2 2 1 лярной последней. i R 1 -- 2 cos(2∆ϕ ) + . 2 5 r r 3 В общем случае величина δϕ является ква С учетом явного вида параметров γ , γ мож зистатичной, т.е. очень медленно и незначитель 1 2 но записать итоговую систему дифференциальных но меняющейся во времени. Однако, в дальнейшем уравнений: мы будем пренебрегать слабой зависимостью δϕ i 2 2 ˙ = 9 2 2 1 5 sin(2∆ϕ ), (5.33) от времени, по аналогии с работами предшествен Gα M R 1 M R ω 1 1 1 1 ников (смотри, например, работу [13]). Данную ве 5 10 r r личину, согласно [1], можно представить выраже 2 2 2 ˙ = 9 5 2 5 2 2 2 (5.34) нием вида: δϕ = 1 arcctg 1 , (6.2) Gβ M R 1 1 αβ M R ω sin(2∆ϕ ), 1 1 2 5 10 r r i R i 1 (r ω ˙ -- M α 2 ˙ + 2rω r) = 9 Gα M 1 5 ×- 2 i Q 1 3 3 в последнем выражении Q - добротность i го те (1 + α) 10 r r ла как колебательной системы, в которой присут Gβ M R 1 ×-sin(2∆ϕ )-- 2 1 9 5 2 1 5 sin(2∆ϕ ), (5.35) ствует диссипация механической энергии (в силу 10 r r наличия приливного трения). 2 Планетарные системы, где центральная звез α α 2 α G M 1 ¨ M (1 + α) r --M (1 + α) ω r + 2 = да схожа по своим характеристикам с Солнцем, 1 1 3 r а экзопланета является горячим Юпитером (ка 27 2 2 1 5 1 1 ким и является WASP 1b) уверенно описываются Gα M R 1 = -- 2 r cos(2∆ϕ ) + 3 -- теоретическими моделями приливного взаимодей 20 r ствия, если добротности центральной звезды и эк Gβ M 27 5 2 1 5 2 1 (5.36) зопланеты принимают значения [13]: R 1 cos(2∆ϕ ) + . -- 2 r 3 20 r 6 7 Q = 10 , Q = 10 . 1 2 Для численного решения полученной системы дифференциальных уравнений необходимо опреде Эти величины задают значения δϕ : {1,2}- лить углы ∆ϕ (что будет сделано в следую {1,2}- -7 -8 δϕ = 5 -10 , δϕ = 5 -10 щем параграфе), задать начальные условия, вы 1 2 . (6.3) полнить процедуры обезразмеривания и алгебра В выражении (6.1) Ω - собственная частота i ической редукции системы (что будет сделано в обращения приливной волны по поверхности i го параграфе 7). тела. Очевидно, ее можно представить так 6. Расчет углов запаздывания ∆ϕ ,∆ϕ V 1 2 i Ω = . (6.4) i приливных горбов R i Согласно работе [1], параметр ∆ϕ можно i здесь V - линейная скорость распространения i определить системой вида: приливной волны в атмосфере i го тела. Учт¨ eм, ω ω |-< Ω i 3z iz 3 i ∆ϕ = π δϕ S(ω --ω ), 2| -- i i i что экзопланета WASP 1b в круговом движении i вс¨ e положение по отношению e время меняет сво¨ ( i 3z iz ω ω |-> Ω , 3 2 --δϕ )S(ω --ω ), 2| -- к звезде. В соответствии с этим меняется вес раз (6.1) личных частей атмосферы как звезды, так и эк где зопланеты. Давление смеси газов, которое проти x > 0, S(x) = sign(x) = 1, востоит гравитационному сжатию небесного тела, , -1, x < 0 не может измениться мгновенно. Перестройка кар δϕ - величина угла "запаздывания" горба при i тины распределения давления в атмосфере небес ливной волны на поверхности i го тела от линии, ного тела (а следовательно и величина скорости соединяющей центры тел 1 и 2 (или ей перпенди V ) ограничена скоростью распространения упру i кулярной), обусловленный конечностью скорости гих продольных волн в газах [14]: распространения волны в поверхностном слое и приливным трением (всегда 0 6 δϕ ≪-1). По V = γ R T (6.5) i s M , верхность WASP 1 (как и WASP 1b) ограничена 38 Астрономия Таблица 5 Основные параметры плазмы атмосферы WASP 1 -3 Компонента кг/моль n,(в ед. n ) γ M , ×10 p протон (p) 1 1 5/3 α частица (α) 4 0.1 5/3 -3 электрон (e) 1.2 5/3 5.45 -10 здесь γ - показатель адиабаты атмосферного га и в этой ситуации реализуется первый случай си за, T - абсолютная температура атмосферы, M - стемы (6.1), то есть в данном случае приливной молярная масса газа (плазмы), R - универсальная горб бежит позади прямой "звезда планета". газовая постоянная. ω 2 В случае, когда | -- 3 ω |-→-0 то, соглас Согласно данным наблюдений эффективная 2 ω 2 но выше сказанному ∆ϕ ∼-| -- 3 ω |. При суще температура поверхности звезды составляет T = ственном различии угловых скоростей, например 1 6200 К (см. табл. 3). При таких температурах 2 3 2 3 2 ω ≪-ω , ∆ϕ ∼-ω →-δϕ . В итоге искомый угол плазма является почти полностью ионизованной. следует представить так Как известно, возраст звезды невелик (но не ме 2z нее 3,4 млрд. лет), при этом масса звезды близка 2 ω 2 (6.6) δϕ . ∆ϕ = 1 --3z ω к массе Солнца, следовательно, можно полагать, что WASP 1 является молодой звездой, где в ат 7. Редукция и обезразмеривание системы мосфере основными компонентами являются водо уравнений род и гелий в пропорциях (10:1) [15]. Следователь Для решения системы уравнений (5.33) (5.36) но, основными компонентами зв¨ eздной плазмы яв выполним предварительно их алгебраическую ре ляются протоны, α частицы (ядра атомов гелия) дукцию и обезразмеривание. Для этого введем и электроны. Нетрудно убедиться в том, что мо систему безразмерных параметров: лярная масса и показатель адиабаты смеси газов ω ω ω 1z 2z 3z представляются в виде: w = ω , w = ω , w = ω ,  (7.1) 1 2 3  N t r , τ = . , M = N M n n x = 0 t 0 0   1 i=1 i i i=1 i R 0  Тогда уравнение (5.33) можно представить в виде: i . n γ = 1 + N N i n 2 2 ω dw = 9 2 1 2 R sin 2∆ϕ , G M i=1 i i=1 γ --1 5 M R 0 1 10 α 1 1 5 1 1 1 t dτ R x R x 0 1 C использованием последних результатов и дан G M t α ных для плазмы WASP 1, представленных в dw = 9 3 1 0 2 sin 2∆ϕ . (7.2) 1 1 табл. 3, легко убедиться в том, что молярная мас dτ 4 R ω 6 1 0 x -4 са водородной плазмы - M = 6, 364 10 кг/моль, Потребуем выполнение следующих условий: а показатель адиабаты - γ = 5/3. В итоге V = 1 9 11, 615 км/c, и Ω = 1, 14 -10 -5 рад/c. eн G M t 0 0 1 0 1 К сожалению, осевой период вращения звез 4 3 = 1, ω t = 1 ⇒- R ω 1 0 ды не известен, однако из наблюдений определ¨ спектральный класс и подкласс звезды - F7. По 0 1 , t = 2 R R 1 (7.3) 1 ω = 0 1 . скольку звезда по спектральному классу весьма t 3 G M 0 близка к Солнцу (G2), далее мы будем полагать, В итоге уравнение (7.2) представляется в виде: что период е¨ e вращения равен периоду вращения Солнца вокруг оси - T = 25, 38 суток = 2,193 - dw = 2 sin 2∆ϕ . (7.4) 1 1 α 6 1 10 с. Согласно данным наблюдений (см. табл. 1) dτ 6 x 5 T = 2, 18 -10 с. В результате 2|ω --ω |-= 5, 2 - Уравнение (5.34) можно представить в виде: 3 3 1 -5 -1 -10 с и 2|ω --ω |-> Ω , следовательно реали 3 1 1 π зуется второй случай (6.1) и ∆ϕ = 1 2 ω dw 2 --δϕ . 2 2 0 2 = αβ M R 1 1 В силу относительно близкого расположения 5 t dτ 0 тел бинарной системы и как следствие наличия значительных приливных эффектов является ра = 9 5 1 2 R 5 sin 2∆ϕ , ⇒- G M 1 1 β 2 зумным предполагать, что к настоящему моменту 10 R x R x 1 вращательные движения экзопланеты синхронизи G M t β ровались, тогда ω = ω . dw = 9 3 1 0 3 sin 2∆ϕ . 2 2 6 1 0 2 3 dτ 4 R ω αx Следовательно, в случае WASP 1b выполняется В итоге неравенство: 3 dw δ β 2 2| -- ω = sin 2∆ϕ , где δ = . (7.5) 3 ω |-< Ω , dτ 6 2 α 2 2 x Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 39 Рассмотрим уравнение (5.35): G(M + M ) ω dx 3 2 α 0 2 dw + 2xw ω = 1 3 2 , M R x 3 = 3 1 1 r (1 + α) t dτ dτ 0 и выполняя алгебраические преобразования, в ре G M 9 1 2 R 5 ×- зультате получаем выражение для производной 1 1 = -- R x R x dx (0): 10 1 dτ 1 + α 2 5 dx 3 √- 1 ×-α sin 2∆ϕ + β sin 2∆ϕ (0) = -- α 5 11/2 ×- 1 2 , ⇒- dτ 10 x используя замены переменных (7.3), в итоге полу ×-α sin(2∆ϕ ) + β sin (2∆ϕ ) . чаем 3 + 2xw dx 2 (1 + α) α sin 2∆ϕ + 2 1 2 2 dw x dτ 3 dτ = -- 6 2 1 (7.6) Решение полученной системы обезразмерен 5 α x ных дифференциальных уравнений имеет физиче 5 + β sin 2∆ϕ . 2 ский смысл лишь при τ 6 τ , где τ - момент вре f f Рассмотрим уравнение (5.36): мени, удовлетворяющий условию x(τ ) = 1+ β. По f 2 d x (1 + α) G M t 1 R 2 следнее условие определяет феномен столкновения 1 2 2 2 1 0 ω w x + 2 2 --t0 0 3 3 2 = тела 2 с телом 1. Здесь и далее будем называть t dτ R x 0 1 τ - временем падения тела 2 на тело 1. f GM 9 α(1 + α) 1 2 R 5 ×- R Как известно, если R < R (здесь 1 Roche 1 1 = -- 2 2 R x Roche - радиус полости Роша), то тело 2 будет 20 R x 1 5 разрушено в полости Роша приливными силами, 1 β 2 (7.7) порожд¨ ×-(1 + 3 cos 2∆ϕ ) + (1 + 3 cos 2∆ϕ ) . eнными гравитационным полем тела 1 до 2 α момента его падения. В силу выше сказанного, мо В результате получаем мент времени τ , отвечающий попаданию те Roche 2 2 2 x + 4 (1 + α) 5 1 (1 + α) 1 ×- ла 2 в полость Роша, будем называть временем d x dτ --w3 9 2 = -- α 7 падения тела 2 в полость Роша, созданную те x 5 x лом 1. Моменту времени τ отвечает расстоя 2 1 2 ние x = R /R = 2 1/3 3 ρ /ρ , здесь ρ , ×-α (1 + 3 cos 2∆ϕ ) + β (1 + 3 cos 2∆ϕ ) . 2 Roche Roche 1 Roche 1 2 1 (7.8) ρ - средние массовые плотности тел 1 и 2 (при В итоге система обезразмеренных дифференциаль записи последнего выражения использована фор ных уравнений представляется в виде: мула для радиуса полости Роша). 2 dw α 1 = 6 sin 2∆ϕ ,  Следовательно, временем жизни тела 2,  dτ = x 1  будем называть величину, определяемую условием    dw δ sin 2∆ϕ ,  вида:    dτ x     Roche Roche dw   life 2 2 3 6 dx 2 2 (1 + α)  τ = τ , если x > 1, . (7.9)  x + 2xw τ , если x < 1 dτ 3 dτ = -- 6 ×- f Roche 5 α x 2 2 1 4 5 2 (1 + α) 1  8. Численные результаты и анализ ×-α sin 2∆ϕ + β sin 2∆ϕ ,  В настоящем параграфе будут представле      2 d x x + (1 + α) 1  ны основные численные результаты и их анализ   ×-  2 --w3 9 2 = -- α 7  для системы WASP 1-WASP 1b с использовани dτ x 5 x   2  ×-α (1 + 3 cos 2∆ϕ ) + β (1 + 3 cos 2∆ϕ ) . 1 5 2  ем значений вспомогательных параметров и на Для однозначного решения полученной системы чальных условий, представленных в таблице 6. нелинейных связанных дифференциальных урав Согласно таблице 6 значение x > 1, то Roche нений необходимо задать начальные условия (при есть полость Роша для WASP 1b лежит вне те τ = 0): ла звезды и, следовательно, время жизни плане ты определяется временем τ . Согласно числен Roche ω (0) 2π r(0) a 1z w (0) = = , x(0) = = , ным расчетам в системе Mathematica [10], остав 1 (s) R R ω 1 1 0 ω T 0 1 шееся время жизни экзопланеты составляет t = life ˙ ω (0) 2π dx r(0) 8 w (0) = w (0) = 2z = (r) , (0) = R . 8, 869 -10 лет, что незначительно больше оценки 2 3 8 ω ω T dτ 1 02 0 (8, 731 -10 лет) работы [1]. После падения в по Для определения начального условия для лость Роша WASP 1b будет скорее всего разорва dx воспользуемся уравнением (7.6). Заметим, что на приливными силами, и в течение последующих dτ в начальный момент экзопланета находится на 235,5 тысяч лет (согласно работе [1] 143,3 тысяч значительном расстоянии от звезды и движет лет) останки планеты будут образовывать торо ся по круговой орбите, тогда слагаемым в ле идальное кольцо раскал¨ eнного аккрецирующего га вой части уравнения (7.6), пропорциональным за вокруг WASP 1, плавно падая на поверхность dw /dτ , можно пренебречь. Используя также тре звезды по плотно закрученной спирали. По проше 2 тий обобщ¨ ствии указанного интервала останки экзопланеты eнный закон Кеплера для данной физи ческой системы в виде: полностью погрузятся в тело звезды. 40 Астрономия Таблица 6 Численные значения некоторых вспомогательных параметров расч¨ eтов (объяснения в тексте) 3 3 ω (0), рад/cут ω (0), рад/ сут r(0), км ρ , кг/м ρ , кг/м α x 1 {2,3}- 1 2 Roche 6 -4 0, 2476 2, 4934 550,938 324,793 1,502 5, 795 -10 6, 574 ×-10 ω , рад/cут t , c w (0) w (0) x(0) x(0) Q Q β 0 0 1 {2,3}- ˙ 1 2 -3 -2 -14 6 7 -1 50,7231 1698,71 5,690 10 10 4, 881 -10 4, 916 -10 -5.232 -10 1, 037 -10 25 r, млн. км T , 5 1 24 4 23 22 3 21 2 20 1 0 200 400 600 800 0 200 400 600 800 t, млн. л t, млн. л a б 2.5 3 м о , / T , 3 2 2.0 0 2 1.5 lg r/V), V=1 0 • ( 1 1.0 0.5 0 0 200 400 600 800 0 200 400 600 800 t, млн. л t, млн. л в г Рис. 3. Зависимости от времени: а) астроцентрического расстояния WASP 1b, б) периода обращения WASP 1 вокруг своей оси, в) периодов вращения WASP 1b вокруг своей оси и системы вокруг центра масс, г) радиальной скорости падения WASP 1b (в логарифмическом масштабе) на центральное тело (объяснения в тексте) На рис. 3 а в представлены зависимости Периоды вращательного движения экзопла r(t), T (t), T (t), T (t) от времени t, полученные неты и ее орбитального движения изменяются еще 1 2 3 с использованием системы аналитических исчис более существенным образом - с 2,52 суток до лений Mathematica [10]. Очевидно, что при t 6 9,241 и 9,216 часа соответственно (см. рис. 4.в), 600 млн. лет все переменные меняются крайне сла т.е. искомые величины уменьшились в 6,54 и 6,56 бо и по квазилинейному закону, это объясняется раза. относительно большой удаленностью экзопланеты Существенным образом изменяется и ско от центрального тела и как следствие относитель рость падения экзопланеты за последние 60 млн. 2 ной малостью приливных эффектов. Однако при лет своего существования - более чем в 10 раз и t > 600 млн. лет все зависимости принимают су в момент погружения в тело звезды составит око щественно нелинейный характер и быстро изменя ло 1.1 км/год. ются со временем. 8. Оценка последствий катастрофы Заметим, что в результате эволюции систе На момент падения экзопланеты на поверх мы в течение времени жизни WASP 1b период ность центрального тела угловые скорости всех звезды уменьшается в 1,28 раза, а именно с 25,4 вращательных движений достигают своих макси до 19,77 суток (см. рис. 4.б ). Таким образом, при -6 мальных значений: ω ливные силы оказывают существенное влияние на 1 max = 3, 689 -10 рад/c, -4 2 max 3 max вращение звезды. ω -4 = 1, 889 -10 рад/c, ω = 1, 893 - -10 рад/c. Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 41 Таблица 7 Численные значения искомых параметров WASP 1 после катастрофы (объяснения в тексте) ¯ ε , % ε , % ε , % T , сут ∆Q, Дж M1 R1 ω1 1 -2 -2 37 6.57 -10 2.19 -10 8.32 18.248 4.577 -10 Процесс падения можно рассматривать как Из данных таблицы 7 очевидно, что масса абсолютно неупругий удар, при этом выполняется и радиус звезды меняются незначительно (их от закон сохранения момента импульса: носительные изменения составляют соответствен -2 -2 (s) (s) (r) ¯ (s) но 6.57 -10 % и 2.19 -10 %), однако период вра L L + L + L = , или 1 2 1 щения последней вокруг собственной оси умень шается с 19.77 сут до 18.25 сут (что соответству 2 2 2 2 M R ω + M R ω + 1 1 1 max 2 2 2 max ет относительному изменению угловой скорости - 5 5 8.32%). При этом переходит в тепло огромное ко 2 +M ω α 2 1 2 ¯ 2 ¯ , личество энергии - 4.577 -10 37 Дж! Именно энер R = (M + M ) R ω 1 3 max 1 1 1 1 + α 5 гия такой величины выделяется при взрыве новых 2 звезд. Данная энергия будет затрачена на нагрев M R 1 1 3 ω ⇒-¯ = ¯ 2 1 max + ω αβ + верхних слоев звезды, большая часть которой за ω 2 max 1 (1 + α)M R 1 1 тем будет вынесена электромагнитным излучением в окружающее пространство. В указанный период, , +ω 5 α (8.1) очевидно, светимость звезды существенно возрас 3 max 2 (1 + α) тет, что ознаменует окончание существования эк здесь ¯ 1 - угловая скорость вращения WASP 1 ω зопланеты WASP 1b и демонстрацию редкого аст ¯ после падения WASP 1b, R - ее новый радиус. 1 рономического явления - звездного каннибализ Определим последний параметр из закона сохра ма - поглощения звездой планет из своей пла нения массы вещества бинарной системы: нетной системы. 4 3 4 3 4 3 ¯ ρ πR + ρ πR = ρ , 1 3 1 2 3 2 1 3 πR1 ⇒- Литература 1. Филиппов Ю. П., Ойлер А. П., Бильда ¯ 1 1 β 3 , (8.2) нов С. З. Количественный анализ эволюции систе 3 R = R 1 + 2 x Roche мы WASP 1 c использованием Минимальной мо здесь учтено, что в силу малости параметра α, дели приливного взаимодействия. Оценка оставше средняя плотность звезды не может измениться гося времени жизни WASP 1b // Вестник моло значительно при падении экзопланеты на ее по 3 дых ученых и специалистов Самарского государ верхность и потому ρ =const; ρ /ρ = 2/x . 1 2 1 Roche В итоге угловую скорость ¯ можно представить ственного университета. 2018. №2(13). С. 5-20. ω 1 в виде: 2. Collier Cameron A., Bouchy F., Hebrard G., 1 Maxted P. et al. WASP 1b and WASP 2b: Two new ω [ω + ¯ = 1 max 1 β 3 2/3 transiting exoplanets detected with SuperWASP and (1 + α) 1 + 2 x Roche SOPHIE // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2007. 375. P. 951 957. +ω 3 3 max 5 α (8.3) 3. Charbonneau D., Winn J., Everett M., 2 max αβ + ω . 2 (1 + α) Latham D., Holman M., et al. Precise Radius Определим величину механической энергии, кото Estimates for the Exoplanets WASP 1b and рая перешла в тепло: WASP 2b // The Astrophysical Journal. 2007. 658. 1 2 2 1 2 2 ∆Q = M R ω + M R ω + P. 1322 1327. 1 1 1 max 2 2 2 max 5 5 4. Shporer A., Tamuz O., Zucker S., Mazeh T. -- M R ω (M + M ) R ω + 1 1 2 2 α 1 1 2 ¯ 2 2 Photometric follow up of the transiting planet 1 3 max ¯ = 1 1 2 1 + α 5 WASP 1b // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2007. ω + ω αβ ω = 1 2 2 2 2 + 5 2 α --376. P. 1296. M R 1 1 1 max 2 max 3 max 5 2 (1 + α) 5. Mardling R. M. Long term tidal evolution of short period planets with companions // Mon. Not. 2 ω + ω 3 3 max 5 α  (8.4) Roy. Astron. Soc. 2007. 382. P. 1768. 1 max 2 max αβ + ω 2 (1+α) -- (1 + α) 1 + 2 x β  6. Smith A., Hebb L., Collier Cameron A.,  3 2/3  . Anderson D. et al. SuperWASP search for additional Roche  42 Астрономия transiting planets in 24 known systems // Mon. Not. 11. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Roy. Astron. Soc. 2009. 398. P. 1827. ФИЗМАТЛИТ, 2010. Т. I. Механика. 560 с. 7. Wheatley P., Collier Cameron A., 12. Маркеев А. П. Теоретическая механи Harrington J., Fortney J., et al. The thermal ка. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, emission of the exoplanets WASP 1b and WASP 2b. 2007. 592 с. - 2010. - astro ph.EP:arXiv:1004.0836. - 10p. 13. Jackson B., Greenberg R., Barnes R. Tidal 8. Бутиков Е. И. Физика океанских прили Evolution of Close in Extra Solar Planets // Ap. J. вов в компьютерных моделях. СПб.: СПбГУ, 2007. 2008. 678. 1396 p. 16 с. 14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теорети 9. Выгодский М. Я. Справочник по высшей ческая физика. Теория упругости. М.: Наука, Гл. математике // М.: ACT: Астрель, 2006. 991 с. ред. физ. мат. лит., 1987. 248 с. 10. Дьяконов В. П. Mathematica 5/6/7. Пол 15. Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий ное руководство. М.: ДМК Пресс, 2010. 624 с. курс астрономии. М.: УРСС, 2001. 544 с.

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
Russia, Samara

Sergey Zyavdatovich Bildanov

Liceum Sozvezdie №131

Email: bildanov@inbox.ru
Russia, Samara

References

Supplementary files