HYPOTHESIS OF THE EXISTENCE OF NEMESIS AND TYCHE. I. BASIC PHYSICAL BODIES PROPERTIES

Full Text

Масштабные исследования природы звезд главной последовательности нашей Галактики (на диаграмме Герцшпрунга-Рессела), к кото- рым принадлежит и Солнце, выполненные аст- рофизиками в XX-XXI столетиях, указали на то, что не менее 50 % от их общего количества, входят в двойные и кратные системы [1]. Приведенный факт естественным образом порождает следующие вопросы: Солнце - это единственная звезда в Солнечной сис- теме? Есть ли у Солнца компаньон? Сегодня человечество располагает большим набором фактов (они будут подробно из- ложены в следующем параграфе), косвенно подтверждающих существование массивного тела на окраинах Солнечной системы. Эти факты оказались столь значимыми, что американское космическое агентство NASA в качестве одной из главных задач мис- сии с миллиардным бюджетом New Horizons (запущена в 2005 г.) утвердила поиск массив- © Филиппов Ю. П., Чобану М. И., 2015. Филиппов Юрий Петрович (yuphil@mail.ru), старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1; Чобану Мария Игоревна (marychobanu@gmail.com), ученица X класса Самарского международного аэрокосмического лицея, 443086, Россия, г. Самара, ул. Лукачева, 45. ного объекта за орбитой Нептуна [2]. Также NASA не скрывает больших надежд на обна- ружение прямых доказательств существования такого объекта, которые мог бы получить ин- фракрасный телескоп WISE [3]. Однако в на- стоящее время NASA не предоставляет какой либо информации относительно подобных на- ходок. Анализ данных, собранных телескопом, продолжается и в настоящее время. Если допустить, что компаньон существует, то какими свойствами он может об- ладать? Данное тело может быть маломас- сивной звездой, коричневым карликом или массивной планетой. Первая гипотеза наименее вероятна, по- скольку всякая маломассивная звезда, хотя и обладает светимостью в 102-105 раз меньшей светимости Солнца, но ее относительная бли- зость к Земле позволила бы быстро ее обна- ружить в телескопических исследованиях. Однако оптические телескопические исследо- вания ведутся уже более 400 лет, но ничего подобного пока не было зафиксировано. Гипотезы о коричневым карлике или массивной планете, подобной Юпитеру, об- ладают большими шансами на существова- ние. Ведь оба типа астрофизических объек- тов могут быть с одной стороны, холодными темными телами и потому не видны не только в оптическом диапазоне, но должны быть достаточно тусклыми телами даже в инфракрасном диапазоне, с другой стороны, - движущимися на окраинах Солнечной сис- темы телами с огромными периодами обра- щения и потому гравитационные возмуще- ния, наводимые ими в движениях наблюдае- мых тел, должны проявляться крайне редко и медленно, наконец, они могут быть обнару- жены по их гравитационному действию не только на известные тела Солнечной сис- темы, но и на свет, идущий от далеких звезд, который рассматривается нами как фон. Последний аргумент лежит в основе принципиально нового подхода к поиску массивного темного тела на окраинах Солнечной системы - применения метода гравитационного микролин- зирования. Данный метод был впервые предло- жен американским астрофизиком Б. Пачинским и основан на эффекте гравитационной микро- линзы, заключающемся в искривлении лучей све- та далекой звезды в гравитационном поле темно- го точечного тела, в результате чего блеск звезды сильно возрастает [4, 5]. Этот метод уже неодно- кратно был реализован на практике, но, возмож- но, в будущем сможет быть использован для ре- шения именно данной задачи. О фактах возможного существования Немезиды или (и) Тюхе В настоящее время существует ряд фактов, косвенно подтверждающих существование массивного космического тела на окраине Солнечной системы. В XX веке при изучении природы звезд главной последовательности было обнаружено, что среди них преобладают двойные звезды [1]. Поскольку наше Солнце принадлежит той же последова- тельности, то ученые высказали предпо- ложение о возможности существования у Солнца звезды-компаньона, образующей вместе с Солнцем двойную систему. В 1984 году палеонтологи Д. Роп и Д. Сепкоский [6] опубликовали результаты анализа геологических пластов, отвечающих разным эпохам, охватывающим последние 250 миллионов лет. Они обнаружили двена- дцать событий, отвечающих резкому увели- чению смертности живых организмов на Земле. Промежуток времени между двумя ближайшими событиями составляет 26 мил- лионов лет (рис. 1). Д. Роп и Д. Сепкоский заключили, что такие события (включая предполагаемое исчезновение динозавров 65 млн лет назад) случались регулярно и могли иметь внеземную причину, в частности, гра- витационное возмущение в облаке комет Оорта, вызванное массивным космическим телом, порождавшим ливень комет во внут- ренней части Солнечной системы и, как следствие, бомбардировку ими Земли. По- следнее приводило к глобальной катастрофе и массовой гибели живого мира. Рис. 1. Изменение смертности органического мира на Земле [6]. Стрелками показаны периоды крупного вымирания живых организмов Многолетние исследования комет по- казали, что «новые кометы», приходящие к нам с окраин Солнечной системы, появляются нерегулярно: в одни годы их количество су- щественно больше, чем в другие. Согласно современным представлениям большинство «новых комет» приходят к нам из облака Оорта - гипотетического гигантского хранилища ледяных глыб, имеющего форму сферическо- го слоя. Согласно оценке некоторых специа- листов периодичность ливней комет напря- мую связана с периодичностью движения не- известного массивного небесного тела. Также известно, что истинные поло- жения Сатурна, Урана и Нептуна и их спут- ников в пространстве не совпадают с про- гнозами Ньютоновской теории их местопо- ложения в отдельные моменты времени. В 2001 году обнаружено аномальное ускорение аппаратов Pioneer 10 и Pioneer 11, находившихся уже в тот момент далеко за орбитой Плутона. Плутон, Эрида и другие транснептуновые объекты обладают сильно вытянуты- ми орбитами и большими углами наклона плоскостей их орбит к плоскости эклиптики. Такую сплюснутость орбит и большие углы наклона можно легко объяснить существо- ванием массивного небесного тела, находя- щегося на периферии Солнечной системы и воздействующего своим гравитационным полем на данные тела. Седна - один из самых удаленных от Солнца транснептуновых объектов, вра- щающийся по чрезвычайно вытянутой эл- липтической орбите. В настоящее время нет убедительных теорий, лаконично объясняю- щих эволюцию ее эксцентричной орбиты. Данное тело не приближается в перигелии достаточно близко к Солнцу, чтобы испы- тать его значимое гравитационное действие, и не удаляется слишком далеко в афелии, чтобы попасть под влияние других звезд. Очень трудно объяснить форму ее орбиты без предположения о наличии на «задвор- ках» нашей системы массивного космиче- ского тела. 13 декабря 2005 года был открыт еще один странный транснептуновый объ- ект, которому присвоен индекс 2004 XR190 «Баффи». Его орбита лежит в области холодных тел, известной как пояс Койпера. Странность заключается в исключительно большом значении наклонения его орбиты к плоскости эклиптики - оно составляет 47°. При этом его орбита практически круговая. Исследовательская группа из калифорнийского университета в Беркли провела с помощью космического телескопа им. Э. Хаб- бла исследование дисков темного планетно- го вещества у звезд и изучение их свойств. Такие диски были обнаружены у HD53143 и HD139664, расположенных на расстоянии около 60 световых лет от Земли. Оба диска, по всей видимости, находятся в равновесном стабильном состоянии. Ученым удалось исследовать распределение плотности вещества, обращающегося вокруг звезд, в зависимости от расстояния до центра системы. В пылевом диске каждой из указанных звезд были выявлены две зоны. Одна из них представляет собой широкий по- яс с постепенно спадающей плотностью ве- щества, начинающийся с r ≥ 50 а.е. от цен- трального светила. Второй диск расположен в диапазоне 20-30 а.е. от звезды и имеет четко выраженный внешний край - то есть на опре- деленном расстоянии от звезды плотность вещества в диске резко падает. Он, по мне- нию астрономов, чрезвычайно напоминает пояс Койпера в Солнечной системе. Боль- шинство объектов пояса Койпера располага- ются в узком диапазоне орбит на удалении от 30 а.е. (орбита Нептуна) до 50 а.е. от Солнца. Согласно существующим представлениям это может свидетельствовать о наличии спутни- ков звезды - в частности, спутника, орбита которого пролегает по внешней границе дис- ка. Он постоянно «подрезает» край дискооб- разного облака темного вещества, предохра- няя его от «размывания». Аналогичные эф- фекты наблюдаются в системе колец Сатурна - кольца планеты зачастую ограничиваются спутниками, постоянно подравнивающими их внешний край. В январе 2015 года группа британ- ских и испанских ученых опубликовала ре- зультаты масштабного компьютерного мо- делирования эволюции орбит транснепту- новых объектов с использованием новой сложной модели [7, 8]. Согласно получен- ным результатам за орбитой Плутона на расстояниях порядка 150 а.е. от Солнца должны находиться как минимум две массивных планеты. Такое положение планет гарантировало выполнение правила планет- ных расстояний Тициуса-Боде (при n = 9). Модель была построена на основе данных наблюдений за кометой 96P / Machholz 1 и дюжиной других транснептуновых объектов и воспроизводила их движения по истин- ным орбитам, угол наклона которых к плос- кости эклиптики достигает 20°. При этом расстояния в афелии и перигелии различа- лись, как и ожидалось, в 2-3 раза. Физические свойства Немезиды и Тюхе В 1984 году профессором университета Беркли (США) Р. Мюллером и его коллегами [9, 10] впервые была предложена гипотеза о существовании звезды-спутницы Солнца - Немезиды (название было дано в честь древ- негреческой богини мщения) - темного кос- мического тела, связанного гравитационным полем с Солнцем, движущегося вместе с ним относительно общего центра масс и таким образом образующего вместе двойную звезду (подробнее о ней см. в работе R. A. Müller [11]). Другие ученые поддержали точку зре- ния авторов гипотезы и провели теоретиче- ский анализ свойств данного объекта. В табл. 1 представлена сводка числен- ных значений основных характеристик Не- мезиды и ее орбиты на основании собствен- ных расчетов и литературных данных. Отме- тим, что при определении интервала допус- тимых значений массы и эффективной тем- пературы поверхности Немезиды мы вслед за A. Burrows с соавторами [13] полагали, что она является коричневым карликом. Здесь также было учтено, что масса Солнца () составляет 1,989 × 1030 кг, а коричне- вые карлики имеют радиус, приблизительно равный радиусу Юпитера - то есть . Основные характеристики Немезиды и ее орбиты Таблица 1 Показатель Значение Источник данных Масса V. Bhalerao,M. N. Vahia [12] D. P. Whitmire,A. A. Jackson [10] (2.1) Ю. П. Филиппов,М. И. Чобану Радиус (2.2) Ю. П. Филиппов,М. И. Чобану Эффективнаятемпература (2.3) Ю. П. Филиппов,М. И. Чобану Большая полуось (2.4) D. P. Whitmire,A. A. Jackson [10]; Ю. П. Филиппов, М. И. Чобану Эксцентриситет (2.5) D. P. Whitmire,A. A. Jackson [10]; Ю. П. Филиппов, М. И. Чобану Период обращения V. Bhalerao,M. N. Vahia [12] D. P. Whitmire,A. A. Jackson [10];Ю. П. Филиппов, М. И. Чобану Гелиоцентрическоерасстояние (2.6) Ю. П. Филиппов,М. И. Чобану В 2011 году американские астрономы Дж. Матис, П. Витмен и Д. Уитмир из уни- верситера Луизианы (США) предложили ги- потезу о существовании в облаке Оорта мас- сивного космического тела - Тюхе (название было дано в честь богини удачи Тюхе, доб- рой сестры богини возмездия Немезиды), которая, в отличие от Немезиды, является не звездой, а планетой - газовым гигантом [14]. Анализ данных многолетних наблюдений за орбитами комет, сближавшихся с Солнцем, привели исследовательскую группу Д. Мати- са к убедительному выводу - около 20 % па- дающих во внутреннюю часть Солнечной системы комет «втягиваются» гравитацион- ными силами массивного космического объ- екта, находящегося в облаке Оорта, с массой, как минимум в 1,4 раза большей массы Юпитера, но не являющегося звездой, иначе доля захваченных гравитационным полем комет была бы гораздо больше. Численные значения основных харак- теристик Тюхе представлены в табл. 2. Здесь в качестве интервала возможных значений для массы Тюхе использован интервал зна- чений, допустимых для планет, подобных Юпитеру [13], при этом массу Юпитера () считали равной 1,8986 × 1027 кг. При определении допустимых гелиоцентрических расстояний (2.7) учтено, что орбита Тюхе не должна выходить за пределы солнечной сфе- ры Хилла, внешний радиус которой не менее 120 тыс. а.е. Нижняя граница для опреде- ляется внутренним радиусом облака Оорта в предположении, что орбита планеты полно- стью располагается в нем. Гравитационная микролинза. Расчет угла отклонения светового луча в ее гравитационном поле Для решения последующих задач будем использовать следующие предположе- ния о гравитационной микролинзе и излу- чении. Гравитационная микролинза (Немезида или Тюхе) - это тело, имеющее форму шара с радиусом и массой , со сфериче- ски симметричным распределением вещест- ва, угловые размеры которого настолько ма- лы (с точки зрения наблюдателя), что оно видится как точечный источник света. Гравитационным влиянием планет и других тел Солнечной системы на ход свето- вых лучей в окрестности микролинзы будем пренебрегать. Поглощением света межпланетной средой будем также пренебрегать. Электромагнитное излучение звезды можно рассматривать как поток фотонов - квантов электромагнитного поля. Основные характеристики Тюхе Таблица 2 Показатель Значение Источникданных Масса ( ) J. J. Matese et al.[14, 15] (2.7) Ю. П. Филиппов, М. И. Чобану Радиус (2.8) Ю. П. Филиппов,М. И. Чобану Эффективная температура (2.9) J. J. Matese,D. P. Whitmire,P. G. Whitman [14] Период обращения J. J. Matese,D. P. Whitmire,P. G. Whitman [14] (2.10) Ю. П. Филиппов,М. И. Чобану Гелиоцентрическоерасстояние (2.11) Ю. П. Филиппов,М. И. Чобану Динамическая масса фотона опреде- ляется с использованием формулы Эйнштейна: (3.1) где - импульс фотона, - энергия фото- на, c - скорость света. Вычислим угол отклонения фотона в гра- витационном поле микролинзы. Согласно зако- ну всемирного тяготения, на фотон, находя- щийся на расстоянии r от центра микролинзы, действует сила притяжения (), направленная по прямой, соединяющей рассматриваемые объекты, вектор которой представляется в виде: (3.2) где G = 6,674 × 10-11 Н·м2 / кг2 - гравитаци- онная постоянная, - радиус вектор фотона, проведенный из центра микролинзы, r - его величина. Будем полагать, что изначально фотон двигался вдоль прямой c прицельным пара- метром b (рис. 2 а). В результате взаимодей- ствия с микролинзой фотон будет двигаться по геодезической кривой, «сближающейся» c данным телом. Углом отклонения (θ) фотона γ будем называть угол между векторами на- чального и конечного импульсов фотонов (рис. 2 а). Степень отклонения от прямоли- нейного движения, очевидно, зависит от ве- личины массы тела и от прицельного па- раметра b. Далее рассмотрим случай слабого грави- тационного поля для сферического тела, когда кривизной траектории фотона в расчетах мож- но пренебречь, другими словами, будем пола- гать, что фотон движется по прямой AB (рис. 2 б) все время взаимодействия. С использованием закона изменения импульса и декартовой системы координат, представленной на рис. 2 б, в настоящей ра- боте получены проекции изменения импуль- са (по отношению к направлению первона- чального движения) фотона в виде: (3.3) Очевидно, что первый интеграл систе- мы (3.3) равен нулю - интеграл вычисляется по симметричному интервалу (относительно точки O) от нечетной подынтегральной функции [16]. Выполнив ряд математических преобразований, получаем для второго интеграла следующий результат: Данный результат получен в прибли- жении ньютоновской (потенциальной) тео- рии тяготения. Однако, как было показано еще А. Эйнштейном, гравитационное поле является тензорным и потому определяется не только массами взаимодействующих тех, но и кривизной пространства. а б Рис. 2. К определению рассеяния фотона в гравитационном поле микролинзы (объяснения в тексте) А. Эйнштейном было также установле- но, что кривизна пространства дает такой же вклад в итоговый результат в , что и нью- тоновская теория тяготения [17]. Следова- тельно, окончательно имеем следующее вы- ражение для изменения импульса: (3.4) Поскольку угол θ мал, то на практике его, как правило, представляют в угловых секундах: (3.5) где - радиус Шварцшильда - критиче- ский радиус небесного тела, при котором под влиянием своего собственного притяже- ния оно становится черной дырой, из кото- рой ничто не может вырваться, даже свет. Данный радиус определяется выраже- нием (3.6) C использованием интервалов (2.1) и (2.7) получаем следующие интервалы воз- можных значений для (в радиусах Юпи- тера) для Немезиды и Тюхе: (3.7) Важно отметить, что угол θ согласно выражению (3.5) не зависит от частоты (дли- ны волны) фотона, таким образом, фотоны разных энергий в гравитационном поле мик- ролинзы отклоняются на равные углы при прочих равных условиях. Это свойство на- зывается ахроматичностью эффекта мик- ролинзирования. Выполним численный анализ получен- ных результатов. На рис. 3 а представлена зависимость угла отклонения θ светового луча от массы Немезиды (при вариации по- следней в интервале 13-73 ) при значении прицельного параметра b = 1,5· . Данная зависимость является линейной, при этом величина угла меняется в пределах 0,14- 0,80 . При этом принимаем массу Юпитера 1,899·1027 кг, а его радиус 71492 км. В случае Тюхе (см. рис. 4 а) при изменении массы планеты в интервале (1-13) , значение уг- ла θ изменяется в пределах 0,012- 0,140. На рис. 3 б, 4 б представлены кривые зависимости угла θ от величины прицель- ного параметра b, выраженного в радиусах Юпитера, для Немезиды и Тюхе соответст- венно. а б Рис. 3. Кривые зависимости угла отклонения светового луча в гравитационном поле Немезиды от некоторых параметров: а) от массы планеты (выраженной в массах Юпитера) при b = 1,5· ; б) от прицельного параметра b (выраженного в радиусах Юпитера) а б Рис. 4. Кривые зависимости угла отклонения светового луча в гравитационном поле Тюхе от некоторых параметров: а) от массы планеты (выраженной в массах Юпитера) при b = 1,5·; б) от прицельного параметра b (выраженного в радиусах Юпитера) В случае Немезиды представлены три кривые для значений масс звезды = {13, 45, 73,3} , отвечающие сценариям мало- массивного коричневого карлика, карлика с промежуточной массой и массивного корич- невого карлика. В случае Тюхе представле- ны четыре кривые, отвечающие значениям массы планеты = {1, 4, 7, 13}(данные значения отвечают сценариям: «двойник Юпитера», тяжелая планета-гигант, очень тяжелая планета-гигант, сверхтяжелая пла- нета-гигант). Очевидно, что данная зависимость яв- ляется гиперболической. Для всех рассмат- риваемых случаев с Немезидой и Тюхе вели- чина угла отклонения не меньше 10-2. По- следнее значение сравнимо с разрешающей способностью действующего космического телескопа им. Э. Хаббла (β = 0,05 ) и бу- дущего телескопа им. Дж. Вебба (β = 0,018) и существенно больше теоретиче- ской оценки (β = 0,003) разрешающей спо- собности будущего телескопа E-ELT (European Extremely Large Telescope) c диа- метром DE-ELT = 39 м. Следовательно, уже сегодня величина θ может быть, в принци- пе, измерена в эксперименте. Дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов в гравитационном поле микролинзы В процессах рассеяния фотонов в гравитационным поле линзы наблюдать траекторию отдельного фотона не представляется возможным. И потому на эксперименте из- меряют поток рассеянных частиц (Fsca) - количество частиц, рассеянных линзой в не- котором направлении за единицу времени. Основная физическая величина, используе- мая для описания процесса рассеяния, - пол- ное эффективное сечение σ, которое опреде- ляется соотношением вида (4.1) где j0 - плотность потока частиц (фото- нов) - количество частиц, движущихся в на- правлении мишени и проходящих через еди- ничную площадку за единицу времени. Параметр σ несет информацию о харак- тере взаимодействия рассеянных частиц. На- глядно его можно рассматривать как эффек- тивную площадь мишени, попадая в кото- рую, частицы рассеиваются под углом θ > θmin , где θmin - наперед заданная величина. Процессы упругого рассеяния можно охарактеризовать дифференциальным эф- фективным сечением рассеяния, равным от- ношению потока частиц dFsca, рассеянных мишенью в телесный угол dΩ, к величине плотности потока падающих частиц j0 и ве- личине телесного угла dΩ: (4.2) C использованием определения (4.2) и полученного ранее результата (3.4) диффе- ренциальное сечение рассеяния представля- ется в виде: (4.3) Полное сечение процесса рассеяния есть (4.4) где θmax - максимальный угол отклонения, который может быть достигнут в данных ус- ловиях. Согласно выражению (3.5) угол макси- мален в том случае, когда прицельный пара- метр b минимален. Очевидно, что последний не может быть меньше радиуса звезды то есть тогда (4.5) Угол θmin - минимальный угол откло- нения, который еще может быть зафиксиро- ван телескопом. Предполагая, что наблюде- ния с помощью телескопа проводятся в ви- димом диапазоне, то данный угол должен быть ограничен снизу разрешающей способ- ностью телескопа (β). В качестве β воспользуемся теоретическим значением разре- шающей способности для самого большого наземного телескопа E-ELT: (4.6) В численном анализе полученных ре- зультатов удобнее использовать безразмер- ные величины дифференциального и полно- го сечений, которые можно получить из (4.3) и (4.4) делением на площадь поперечного сечения тела линзы SG = . Окончательное выражение для дифференциального и полного эффективного сече- ний рассеяния есть (4.7) (4.8) Поскольку для Немезиды и Тюхе , то параметр x принадлежит интер- валам возможных значений (3.7). На рис. 5 представлены кривые зави- симости дифференциального сечения SΩ рас- сеяния электромагнитного излучения в гра- витационном поле Немезиды и Тюхе от угла рассеяния θ в логарифмическом масштабе для трех и четырех значений их массы соот- ветственно. а б Рис. 5. Зависимость дифференциального сечения SΩ рассеяния электромагнитного излучения от угла рассеяния θ в гравитационном поле Немезиды (а) и Тюхе (б) а б Рис. 6. Зависимость полного сечения Stot рассеяния от величины параметра x рассеяния электромагнитного излучения в гравитационном поле Немезиды (а) и Тюхе (б) Из рисунка видно, что искомая зависи- мость в данном представлении является ли- нейной, она чувствительна к массе звезды (планеты), причем с уменьшением ее массы интервал возможных значений для парамет- ра x сокращается. На рис. 6 представлены кривые зави- симости полного сечения Stot рассеяния от величины параметра x рассеяния электро- магнитного излучения в гравитационном по- ле Немезиды и Тюхе в логарифмическом масштабе. Оказалось, что искомая зависи- мость является монотонно возрастающей. Задача о формировании «духов» гравитационной микролинзой Рассмотрим задачу о формировании изображений - «духов» - первичного точечного источника света гравитационной мик- ролинзой. Пусть в точке D находится точеч- ная гравитационная линза (дефлектор), в точке S - источник света (звезда фона), в точке O находится наблюдатель (рис. 7). По- скольку вдали от тела D фотон движется практически по прямой линии, то его траек- торию можно аппроксимировать двумя пря- мыми линиями, изломанными вблизи тела D (в точках A и B). Угол α между ними показы- вает, насколько отклонился фотон, пройдя гравитационное поле тела D. Угол между направлением на дефлек- тор и истинное положение источника S обо- значим через θ. Два луча света (изображены двумя жирными линиями), прошедшие по разные стороны тяготеющего тела, будут отклонены от первоначальных направлений в сторону этого тела. Если источник света S находится достаточно далеко от тела D, то лучи начнут сходиться и пересекутся в неко- торой удаленной точке [18]. Из рис. 7 с учетом простейших свойств плоского треугольника для △ AOS нетрудно установить, что (5.1) (5.2) Для △ AOS согласно теореме синусов имеем: Поскольку углы β1, γ1 являются малы- ми, то sin β1 ≈ β1, sin γ1 ≈ γ1. Будем также счи- тать, что угол θ мал, поэтому SA ≈ SD = Dsd, AO ≈ DO = Dd. Следовательно, (5.3) Выразим из уравнения (5.1) параметр β1 и подставим его в уравнение (5.2). С уче- том того, что получим . Затем из (5.3) выразим В последнем выражении учтем, что β1 = θ1 - θ согласно (5.2). Примем также во внимание, что прицельный параметр b ≈ DA ≈Dd · θ1 . Рис. 7. К определению искривления лучей и образование изображений источника света S в гравитационном поле точечной линзы D (объяснения в тексте) В итоге имеем Умножим последнее уравнение на θ1 и поделим все уравнение на сумму двух сла- (5.6) Для звезд фона (принадлежащих на- шей Галактике) с годичным параллаксом πs ~ 103 - 102 искомая величина (c учетом гаемых, стоящих при 1  2 , в итоге получаем πs ≪ πd ) представляется в виде: следующее уравнение, в котором θ0 - угловой радиус конуса Эйнштейна: где (5.4) (5.5) Очевидно, что уравнение (5.4) имеет два действительных корня: Уравнение (5.4) называют уравнением гравитационной точечной сферически сим- метричной линзы. Последний параметр удобно выразить через годичные параллаксы источника πs и дефлектора (линзы) πd. Так как Dsd = Ds - Dd и (здесь πs, πd выражены в угловых секундах), то (5.7) соответствующих двум изображениям - «ду- хам» - источника. На рис. 8 представлены кривые зависимо- стей искомых величин от угла θ, а также величина ∆θ =  (1) -  (2) . Из рисунка видно, что при 1 1 где = 2,95 км - радиус Шварцшильда для Солнца. Выражая θ0 в угловых секундах, в ре- зультате получаем: тесном сближении источника и дефлектора (θ → 0), что отвечает ярко выраженному фено- мену микролинзирования, угловые расстояния между дефлектором и «духами» стремятся к угловому радиусу конуса Эйнштейна (θ0), а расстояние между «духами» - к 2θ0. По сути, «духи» перемещаются по конусу Эйнштейна. Рис. 8. Зависимость  (1) ,  (2) ,  и  Немезиды 1 1 1 0 от угла отклонения θ при , Dd = 8800 а.е. а б Рис. 9. Зависимость  (max) ,  (min) и ρ Немезиды (а) и Тюхе (б) 0 0 от гелиоцентрического расстояния линзы Dd 1 Следует отметить, что два «духа» на- блюдаются не всегда. В реальной ситуации, когда меньший корень  (2) становится меньше углового радиуса дефлектора ρ, изображение I2 исчезает для наблюдателя О (луч света засло- няется телом гравитационной линзы, если по- следняя является непрозрачной), в этом случае В такой ситуации остается только один «дух», положение которого не совпадает с положением источника. На рис. 9 представлены кривые зави- 0 0 симости минимального ( (min) ) и максималь- ного ( (max) ) возможного радиуса конуса Эйнштейна для Немезиды и Тюхе. Очевидно, что в случае Немезиды ее угловой радиус на любых допустимых гелиоцентрических расстояниях существенно меньше радиуса θ0. Таким образом, «духи», порождаемые Немезидой, всегда видны и, в принципе, мо- гут быть обнаружены на эксперименте. В случае Тюхе, на большей части интервала допустимых значений rТ, оба «духа» видны и могут быть обнаружены, лишь на расстояни- ях rТ < 6060 а.е. и при массе будет наблюдаться один «дух». На рис. 10 для большей наглядности представлены результаты моделирования тра- екторий движения источника S, и «духов» I1, I2 в картинной плоскости линзы для двух значе- ний прицельного углового параметра θp = 0,01 (рис. 10 а) и θp = 0,1 (рис. 10 б). Стрел- ками указаны направления их движений. Важ- но отметить, что источник S, «духи» и дефлек- тор всегда расположены на одной прямой в данной плоскости. Причем второй дух I2 отде- ляется от линзы, а первый - I1 от источника, когда последний достаточно близко подходит к своему конусу Эйнштейна. а б Рис. 10. Траектории движения источника (S) и его изображений I1 и I2, сформированных точечной гравитационной линзой (Немезидой c массой и расстоянием Dd = 8800 а.е.) при разных условиях наблюдения: а) θp = 0,01; б) θp = 0,1 Заключение В данной работе представлено де- сять наиболее значимых фактов, косвенно свидетельствующих в пользу существова- ния массивного темного тела на окраинах Солнечной системы, а именно Немезиды или (и) Тюхе. Рассмотрены основные фи- зические свойства и орбитальные харак- теристики данных тел. Представлено ре- шение задачи об определении угла откло- нения фотона в гравитационном поле сферической микролинзы. Выполнен чис- ленный анализ полученного результата для Немезиды и Тюхе. Показано, что дан- ная величина может быть измерена в экс- перименте уже сегодня. Получены анали- тические результаты для дифференциаль- ного и полного сечений рассеяния фото- нов в слабом гравитационном поле сфе- рической микролинзы, в том числе в при- веденном обезразмеренном виде. Показа- но, что обезразмеренная функция дифференциального сечения SΩ принимает экс- тремально большие значения в силу крайне малых углов отклонения θ и зависимости вида ~ θ -4. Решена задача о формировании «ду- хов» гравитационной микролинзой. Пока- зано, что можно фиксировать на экспери- менте два «духа». Лишь для случая Тюхе с массой близкой к массе Юпитера, находя- щейся на расстояниях меньших 6060 а.е. от Солнца, возможно покрытие одного из «духов» телом микролинзы. Фотометрия феномена гравитационного микролинзиро- вания данных тел требует отдельного рас- смотрения.

About the authors

Yury Petrovich Philippov

Samara State University

Email: yuphil@mail.ru
443011, Russia, Samara, Academic Pavlov Str., 1

Mary Igorevna Chobanu

Samara International Aerospace Lyceum

Email: marychobanu@gmail.com
443086, Russia, Samara, Lukacheva Str., 45

References

Supplementary files