Отправить статью по E-mail 
ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДОМИНИРУЮЩЕЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
- Авторы: Гилев А.В.1
-
Учреждения:
- Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
- Выпуск: Том 26, № 4 (2020)
- Страницы: 25-35
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/9196
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-4-25-35
- ID: 9196
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В статье рассмотрена задача Гурса с нелокальными интегральными условиями для гиперболического уравнения с доминирующей смешанной производной. Методы исследования разрешимости классических краевых задач для уравнений с частными производными не могут быть применены без серьезных модификаций и предварительных действий к нелокальным задачам. Выбор метода исследования разрешимости нелокальной задачи зависит от вида интегрального условия. В процессе разработки методов, эффективных для нелокальных задач, были выделены интегральные условия различных типов [1]. Разрешимость нелокальной задачи Гурса с интегральными условиями первого рода для общего уравнения с доминирующей смешанной производной второго порядка была исследована в [2]. Интегральные условия рассматриваемой задачи являются нелокальными условиями второго рода, поэтому для исследования разрешимости задачи мы предлагаем другой метод, который заключается в сведении поставленной нелокальной задачи к классической задаче Гурса, но для нагруженного уравнения. В статье получены условия, выполнение которых гарантирует существование единственного решения поставленной задачи. Основным инструментом доказательства являются априорные оценки, полученные в работе.
Полный текст
Введение
Математическое моделирование явлений окружающей нас действительности приводит к различным новым задачам дифференциальных уравнений с частными производными. Одним из классов качественно новых задач являются задачи с нелокальными условиями, к которым приводит моделирование различ- ных процессов и явлений в случаях, когда мы не знаем или не можем измерить то, что происходит на границе какого-либо реального процесса.
По определению [1], нелокальными условиями называются соотношения, связывающие значения ис- комого решения и его производных в различных граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение поставленной задачи.
Гилев А.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с доминирующей смешанной производной
26Gilev A.V. A nonlocal problem for a hyperbolic equation with a dominant mixed derivative
Началом многих исследований данного класса задач для уравнений в частных производных послу- жила статья Дж. Кэннона [3], в которой исследована задача с нелокальным интегральным условием для уравнения теплопроводности, а в конце XX века задачи с интегральными условиями для гипербо- лических уравнений стали объектом систематических исследований [4–7].
Дальнейшие исследования показали, что нелокальные задачи тесно связаны с нагруженными урав- нениями, которыми занимались многие исследователи в последней четверти XX века.
Нагруженным уравнением называется уравнение, которое содержит след некоторых операций от иско- мого решения [8]. К данному типу уравнений приводят задачи математической физики, математической биологии, теории моделирования нелокальных процессов. Стоит отметить, что задачи, связанные как с нелокальными условиями, так и с нагруженными уравнениями, не являются классическими в силу неприменимости к ним ранее известных методов исследования, что приводит к новым трудностям при решении задач, а также к потребности в разработке новых методов решения.
Как было отмечено раньше, существует взаимосвязь между нагруженными уравнениями и нелокаль- ными задачами, а именно установлено, что нагруженные уравнения используются как метод решения нелокальных задач для дифференциальных уравнений в производных [9]. Указанная связь удобна тем, что благодаря ей возможно редуцировать задачу о решении некоторого уравнения, удовлетворяющего нелокальному условию, к задаче о нахождении решения некоторого нагруженного уравнения, удовле- творяющего классическим граничным условиям.
В данной статье рассмотрена нелокальная задача для гиперболического уравнения в области, огра- ниченной его характеристиками. Отметим, что задачи с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения в характеристической области рассматривались в работах [2; 10; 11].
В настоящей статье в качестве нелокальных условий рассмотрены интегральные условия второго рода. Благодаря методу редукции нелокальная задача сведена к задаче Гурса, но для нагруженного уравнения. Сформулированы условия, выполнение которых гарантирует существование единственного решения поставленной задачи. Основным инструментом доказательства являются априорные оценки, полученные в работе.
Постановка задачи
Рассмотрим в Q = (0, a) × (0, b) следующую нелокальную задачу: найти решение уравнения
uxy (x, y) + A(x, y)ux(x, y) + B(x, y)uy (x, y) + C(x, y)u(x, y) = f (x, y), (1.1) удовлетворяющее нелокальным условиям
b
∫
u(x, 0) +
0
a
∫
K2(x, y)u(x, y)dy = φ(x), u(0, y) +
0
K1(x, y)u(x, y)dx = ψ(y). (1.2)
Будем предполагать, что коэффициенты уравнения, его правая часть, а также функции Ki(x, y) доста- точно гладкие, причем выполняются условия
K1(x, 0) = 0, K2(0, y) = 0. (1.3)
В силу того, что условия (1.2) являются нелокальными, мы не можем воспользоваться известными результатами о разрешимости задачи Гурса. Однако предложенный в статье метод позволит свести нелокальную задачу (1.1)–(1.2) к классической задаче Гурса для нагруженного уравнения и доказать разрешимость поставленной задачи.
Одним из методов решения подобных задач является метод редукции задачи с нелокальными усло- виями к задаче с классическими граничными условиями, но для нагруженного уравнения.
Редукция к задаче Гурса
Введем новую неизвестную функцию
a
∫
v(x, y) = u(x, y) +
0
b
∫
K1(ξ, y)u(ξ, y)dξ +
0
K2(x, η)u(x, η)dη, (2.1)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 25–35
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 25–35 27
предполагая, что u(x, y) является решением задачи (1.1)–(1.2). Тогда легко видеть, что в силу (1.2) и
(1.3)
a
∫
v(x, 0) = u(x, 0) +
0
b
∫
K1(ξ, 0)u(ξ, 0)dξ +
0
b
∫
K2(x, η)u(x, η)dη = u(x, 0) +
0
K2(x, η)u(x, η)dη = φ(x);
a
∫
v(0, y) = u(0, y) +
0
b
∫
K1(ξ, y)u(ξ, y)dξ +
0
a
∫
K2(0, η)u(0, η)dη = u(0, y) +
0
K1(ξ, y)u(ξ, y)dξ = ψ(y).
Отсюда следует, что новая неизвестная функция удовлетворяет условиям
v(x, 0) = φ(x), v(0, y) = ψ(y).
Выразив из (2.1) u(x, y) и подставив в уравнение (1.1), получим уравнение относительно функции
v(x, y) :
b
∂ ∫
vxy (x, y) + A(x, y)vx(x, y) + B(x, y)vy (x, y) + C(x, y)v(x, y) − A(x, y) ∂x
0
K2(x, η)u(x, η)dη−
∂
−B(x, y) ∂y
a a
∫ ∫
K1(ξ, y)u(ξ, y)dξ − C(x, y)(
0 0
b
∫
K1(ξ, y)u(ξ, y)dξ +
0
K2(x, η)u(x, η)dη) = f (x, y).
Таким образом, мы получили задачу Гурса для нагруженного гиперболического уравнения с домини- рующей смешанной производной. Введем следующее обозначение:
b
∂ ∫
P (x, y, u) = A(x, y)
∂x
0
∂ K2(x, η)u(x, η)dη + B(x, y) ∂y
a
∫
K1(ξ, y)u(ξ, y)dξ+
0
a
∫
+C(x, y)(
0
b
∫
K1(ξ, y)u(ξ, y)dξ +
0
K2(x, η)u(x, η)dη).
Тогда задачу Гурса можно записать в следующем виде:
vxy (x, y) + A(x, y)vx(x, y) + B(x, y)vy (x, y) + C(x, y)v(x, y) = f (x, y) + P (x, y, u); (2.2)
v(x, 0) = φ(x), v(0, y) = ψ(y). (2.3)
Разрешимость задачи Гурса для нагруженного уравнения
Теорема 1
Пусть
A, B, C ∈ C(Q), Ki ∈ C1(Q), f (x, y) ∈ L2(Q), √2(a + b)κ < 1, K1(x, 0) = K2(y, 0) = 0.
Тогда существует единственное решение задачи Гурса (2.2)–(2.3).
Доказательство
Доказательство проведем в несколько этапов:
Покажем, что задача (2.2)–(2.3) эквивалентна системе интегральных уравнений.
Докажем разрешимость уравнения (2.1).
Выведем предварительные оценки.
Докажем разрешимость системы (3.4).
Сначала сведем задачу (2.2)–(2.3) к системе интегральных уравнений.
Предположим, что v — решение задачи Гурса. Положим
vx(x, y) = ν(x, y), vy (x, y) = w(x, y), (3.1)
Гилев А.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с доминирующей смешанной производной
28Gilev A.V. A nonlocal problem for a hyperbolic equation with a dominant mixed derivative
откуда
Тогда из (2.2)
vxy (x, y) = νy (x, y), vyx(x, y) = wx(x, y). (3.2)
νy (x, y) = f (x, y) + P (x, y, u) − A(x, y)ν(x, y) − B(x, y)w(x, y) − C(x, y)v(x, y),
wx(x, y) = f (x, y) + P (x, y, u) − A(x, y)ν(x, y) − B(x, y)w(x, y) − C(x, y)v(x, y),
vy (x, y) = w(x, y).
Из (2.3) получим
(3.3)
v(x, 0) = φ′(x); w(0, y) = ψ′(y).
Проинтегрировав каждое из соотношений (3.3), приходим к системе интегральных уравнений
y
ν(x, y) = φ′(x) + ∫ (f + P − Aν − Bw − Cv)dy,
0
x
w(x, y) = ψ′(y) + ∫ (f + P − Aν − Bw − Cv)dx,
(3.4)
v(x, y) = φ(x) +
0
y
∫ wdy.
0
Таким образом, если v(x, y) — решение задачи Гурса, то (u, ν, w) удовлетворяет системе интегральных уравнений (3.4). Покажем обратное. Пусть (v, ν, w) — решение (3.4). Тогда из последнего равенства (3.4)
Аналогично
y
∫
v(0, y) = φ(0) +
0
y
∫
w(0, y)dy = φ0 +
0
v(x, 0) = φ(x).
ψ′(y)dy = ψ(y).
Еще раз воспользуемся последним равенством (3.4) и получим
y
∂v ∫
∂x = φ′(x) +
0
∂w(x, y)
∂x
dy = φ′(x) +
y
∫
(f + P − Aν − Bw − Cv)dy = ν(x, y).
0
Покажем, что v удовлетворяет (2.2). Из третьего уравнения системы (3.4) vy (x, y) = w(x, y). В силу (3.1)–(3.3) и первого уравнения (3.4), имеем
y
∫
vx(x, y) = φ′(x) +
0
wx(x, y)dy = φ′(x) +
y
∫
(f − P − Aν − Bw − Cv)dy = ν(x, y).
0
Следовательно, (3.1) выполняется. Подставим теперь (3.1) в первое уравнение системы (3.3)
vxy (x, y) = f (x, y) + P (x, y, u) − A(x, y)vx(x, y) − B(x, y)vy (x, y) − C(x, y)v(x, y).
Получили, что v удовлетворяет уравнению (2.2).
Таким образом, система (3.4) эквивалентна (2.2)–(2.3).
Докажем, что система (3.4) имеет единственное решение. Однако заметим, что для доказательства разрешимости поставленной задачи нам потребуется доказать разрешимость уравнения (2.1), а также оценить P (x, y, u) через v(x, y).
Доказательство разрешимости (2.1)
Рассмотрим интегральное уравнение
a
∫
v(x, y) = u(x, y) +
0
b
∫
K1(x, y)u(x, y)dx +
0
K2(x, y)u(x, y)dy.
Докажем его разрешимость при помощи принципа сжатых отображений.
Рассмотрим оператор
a
∫
Au(x, y) = u(x, y) +
0
b
∫
K1(x, y)u(x, y)dx +
0
K2(x, y)u(x, y)dy
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 25–35
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 25–35 29
и покажем, что он переводит функцию u(x, y) ∈ L2(Q) в другую функцию из этого же пространства. Обозначим
A(x, y) =
a b
∫ ∫
K1(x, y)u(x, y)dx +
0 0
K2(x, y)u(x, y)dy.
Заметим, что в силу условий теоремы существуют числа Ki > 0 такие, что
a
∫
κ1 = max
b
∫
K2(x, y)dx, κ2 = max
K2(x, y)dy.
[0,b] 1
0
[0,a] 2
0
Применим неравенство Коши, получим
a
∫
A2(x, y) � 2(
0
b
∫
K1(x, y)u(x, y)dx)2 + 2(
0
a
∫
K2(x, y)u(x, y)dy)2 � 2κ1
0
b
∫
u2(x, y)dx + 2κ2
0
u2(x, y)dy. (4.1)
Тогда легко видеть, что
Оценим теперь
b a b
∫ ∫ ∫
A2(x, y)dxdy � 2aκ1
0 0 0
a b
∫ ∫
u2(x, y)dxdy + 2bκ2
0 0
a
∫
u2dxdy.
0
b
∫
ρ(Au1, Au2) = (
0
a
∫ ∫
1
(Au1 − Au2)2dxdy) 2 � (
0 0
a
∫ ∫
(2(
0 0
K1(x, y)(u1(x, y) − u2(x, y))dx)2+
b
∫
+2(
0
a
∫
1
K2(x, y)(u1(x, y)−u2(x, y))dy)2)dxdy) 2 � (2(a+b)κ
0
b
1
1 2
∫
(u1(x, y)−u2(x, y))2dxdy) 2 � √2(a + b)κρ(u , u ),
0
где κ = κ1 + κ2.
Если √2(a + b)κ < 1, то мы находимся в условиях принципа сжатых отображений. Тем самым до- казано, что уравнение (2.1) разрешимо, если Ki ∈ C1(Q).
Вывод априорных оценок решения
Приступим к выводу оценок.
Сначала оценим u(x, y) через v(x, y), используя соотношение (2.1).
В силу условий теоремы существуют положительные числа κˆ1, κˆ2 такие, что
a
∫
max
[0,b]
0
|K1y (x, y)|dx � κˆ1,
Из равенства
b
∫
max
[0,a]
0
a
∫
|K2x(x, y)|dy � κˆ2.
b
∫
следует неравенство
u(x, y) = v(x, y) −
0
a
∫
K1(x, y)u(x, y)dx −
0
b
∫
K2(x, y)u(x, y)dy
Тогда
|u(x, y)| �
0
|K1(x, y)||u(x, y)|dx +
0
|K2(x, y)||u(x, y)|dy.
max
(x,y)∈Q
|u(x, y)| � max
(x,y)∈Q
|v(x, y)| + max
(x,y)∈Q
a
∫
|u(x, y)|
0
|K1(x, y)|dx + max
(x,y)∈Q
b
∫
|u(x, y)|
0
|K2(x, y)|dy,
Гилев А.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с доминирующей смешанной производной
30Gilev A.V. A nonlocal problem for a hyperbolic equation with a dominant mixed derivative
Получим
max
(x,y)∈Q
|u(x, y)| � max
(x,y)∈Q
|v(x, y)| + (κ1 + κ2) max
(x,y)∈Q
|u(x, y)|.
max
1
|u(x, y)| �
max
|v(x, y)|. (5.1)
(x,y)∈Q
1 − κ1 − κ2 (x,y)∈Q
Для нахождения нормы в C1 нам потребуются оценки ux(x, y) и uy (x, y).
Оценим ux(x, y)
b
∫
|ux(x, y)| � |vx(x, y)| +
0
b
∫
|K2(x, y)||ux(x, y)|dy +
0
|(K2(x, y))x||u(x, y)|dy,
max
(x,y)∈Q
|ux(x, y)| � max
(x,y)∈Q
|vx(x, y)| + κ2 max
(x,y)∈Q
|ux(x, y)| + κˆ2 max
(x,y)∈Q
|u(x, y)|.
Окончательно получим
max
|ux(x, y)| �
1
( max
|vx(x, y)| +
κˆ2
max
|v(x, y)|). (5.2)
(x,y)∈Q
1 − κ2
(x,y)∈Q
1 − κ1 − κ2 (x,y)∈Q
Аналогично можно оценить и uy (x, y)
1
κˆ1
max
(x,y)∈Q
|uy (x, y)| �
1 − κ1
( max
(x,y)∈Q
|vy (x, y)| +
max 1 − κ1 − κ2 (x,y)∈Q
|v(x, y)|). (5.3)
Принимая во внимание оценки (5.1)–(5.3), получим
||u(x, y)||C1 = max
(x,y)∈Q
|u(x, y)| + max
(x,y)∈Q
|ux(x, y)| + max
(x,y)∈Q
|uy (x, y)| �
1
κˆ2
κˆ1
� ( 1 − κ − κ
+
(1 − κ )(1 − κ
+
− κ ) (1 − κ )(1 − κ
) max
− κ ) (
v(x, y)|+
1 2 2 1 2
1
1 1 2
1
x,y)∈Q |
+ max
1 − κ2 (x,y)∈Q
|vx(x, y)| +
max 1 − κ1 (x,y)∈Q
|vy (x, y)|.
Запишем данную оценку в более компактном виде
||u(x, y)||C1 (D) � γ||v(x, y)||C1 (D), (5.4)
где
1 − κ1 − κ2 + κ1κ2 + κˆ2 − κ1κˆ2 + κˆ1 − κˆ1κ2
1 1
γ = max{
(1 − κ )(1 − κ )(1 − κ
;
− κ ) 1 − κ
; }.
1 − κ
Теперь оценим
1 2 1 2 2 1
b b
P (x, y, u) � |A(x, y)|(∫ |K2(x, y)||ux(x, y)|dy + ∫ |(K2(x, y))x||u(x, y)|dy) +
0 0
a a
+|B|(∫ |K1(x, y)||uy (x, y)|dx + ∫ |(K1(x, y))y ||u(x, y)|dx) + (5.5)
0 0
a b
+|C(x, y)|(∫ |K1(x, y)||u(x, y)|dx + ∫ |K2(x, y)||u(x, y)|dy).
0 0
Учитывая приведенные выше оценки, получим
max
P (x, y, u) � ( |A(x, + + (5.6)
y)| + |B(x, y)|κˆ1 + |C(x, y)|(κ1 + κ2) |A(x, y)|κˆ2
| |
(x,y)∈Q
1 − κ1 − κ2
(1 − κ2)(1 − κ1 − κ2)
+ |B(x, y)|κˆ1
) max
|v(x, y)| + |A(x, y)|
max
|vx
(x, y)| + |B(x, y)|
max
|vy (x, y)|.
(1 − κ1)(1 − κ1 − κ2)
(x,y)∈Q
1 − κ2
(x,y)∈Q
1 − κ2
(x,y)∈Q
Отметим, что в силу условий теоремы существует число M > 0 такое, что
|A(x, y)| + |B(x, y)| + |C(x, y)| � M.
Тогда, увеличив правую часть (5.6), окончательно имеем
||P (x, y, u)||C(Q) � Mγ||v(x, y)||C1 (Q). (5.7)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 25–35
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 25–35 31
Метод последовательных приближений
В одном из предыдущих разделов задача Гурса (2.2)–(2.3) была сведена к системе интегральных уравнений (3.4). Решение системы (3.4) будем искать методом последовательных приближений. Положим
ν0 = φ′(x); w0 = ψ′(y); v0 = φ(x);
y y
νn(x, y) = ν0 + ∫ (f − Aν − Bw − Cv)dy + ∫ P (x, y, un)dy,
0 0
x x
wn(x, y) = w0 + ∫ (f − Aν − Bw − Cv)dx + ∫ P (x, y, un)dx,
vn(x, y) = v0 +
0 0
y
∫ wn−1dy.
0
Докажем сходимость последовательностей {νn},{wn},{vn}.
Покажем, что для разности |νn − νn−1|, для разностей |wn − wn−1| и |vn − vn−1| данная оценка до-
казывается аналогично, имеет место следующая оценка:
|νn − νn−1| � TM
n−1 (x + y)
n−1
, (6.1)
(n − 1)!
где T — максимум среди всех чисел, ограничивающих разности |νn − νn−1|, |wn − wn−1|, |vn − vn−1|.
При n = 1 имеем
ν1 − ν0 =
y y
∫ ∫
(f − Aφ′(x) − Bψ′(y) − Cφ(x))dy +
0 0
||P (x, y, u1)|| � Mγ||v1||C1 .
P (x, y, u1)dy,
Пусть φ, ψ, φ′, ψ′, A, B, C ограничены. Тогда оценка (6.1) очевидна, так как найдется такое число T , что
|ν1 − ν0| �
b y
∫ ∫
(|f | + |A||φ′(x)| + |B||ψ′(y)| + |C||φ(x)|)dy +
0 0
M κ˜γ(|φ(x)| + |ψ(y)| + |φ′(x)| + |ψ′(y)|)dy � M κ˜T γ,
где κ˜ = max{κ1; κ2; κ}.
Аналогично доказывается справедливость оценки (6.1) для разностей |w1 − w0| и |v1 − v0|.
При n = 2 получим
|ν2 − ν1| �
y y
∫ ∫
(|A||ν1 − ν0| + |B||w1 − w0| + |C||v1 − v0|)dy +
0 0
|P (x, y, u2) − P (x, y, u1)|dy.
Принимая во внимание случай n = 1, для первого слагаемого данной суммы имеем
y
∫
(|A||ν1 − ν0| + |B||w1 − w0| + |C||v1 − v0|)dy �
0
y
∫
TMdy � TMy.
0
Рассмотрим второе слагаемое. В силу линейности P (x, y, u)
P (x, y, u2) − P (x, y, u1) = P (x, y, u2 − u1).
Тогда
Отметим, что
|P (x, y, u2 − u1)| � Mqγ(|v2 − v1| + |(v2)x − (v1)x| + |(v2)y − (v1)y |). (6.2)
y
∫
(v2)x = (v0)x + (
0
w1dy)x = ν1,
(v1)x = ν0, (v2)y = w1; (v1)y = w0.
Тогда (6.2) можно записать в следующем виде:
P (x, y, u2) − P (x, y, u1) � M κ˜γ(|v2 − v1| + |ν1 − ν0| + |w1 − w0|). (6.3)
Рассмотрим теперь
|v2 − v1| = |
y
∫
(w1 − w0)dy| � TY.
0
Гилев А.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с доминирующей смешанной производной
32Gilev A.V. A nonlocal problem for a hyperbolic equation with a dominant mixed derivative
Из (6.3) получим Таким образом
|P (x, y, u2) − P (x, y, u1)| � MT κ˜yγ.
|ν2 − ν1| � TMy + TM κ˜yγ = TMy(1 + κ˜γ).
Положим, что для произвольного n оценка (6.1) верна. Покажем, что она верна и для n + 1. Имеем
|νn+1 − νn| �
Очевидно, что
y y
∫ ∫
(|A||νn − νn−1| + |B||wn − wn−1| + |C||vn − vn−1|)dy +
0 0
y
|P (x, y, un+1) − P (x, y, un)|dy.
∫
(|A||νn − νn−1| + |B||wn − wn−1| + |C||vn − vn−1|)dy � TM
0
n−1
yn−1.
Распишем |P (x, y, un+1) − P (x, y, un)|
|P (x, y, un+1) − P (x, y, un)| = M κ˜γ(|vn+1 − vn| + |(vn+1)x − (vn)x| + |(vn+1)y − (vn)y |).
Оценим теперь
vn+1 − vn =
По предположению индукции получим
y
y
∫
(wn − wn−1)dy.
0
∫
|vn+1 − vn| �
0
Заметим, что
(x + y)n−1 TMn−1 dy =
(n − 1)!
TMn−1
(
(n − 1)!
(x + y)n
n −
xn (x + y)n
) � TMn . n n!
Следовательно
(vn+1)x − (vn)x =
y
∫
((wn)x − (wn−1)x)dy = νn − νn−1.
0
(x + y)n
Аналогичным образом
Значит
n!
|vn+1 − vn| � TMn .
(vn+1)y − (vn)y = wn − wn−1,
(x + y)n
n!
|(vn+1)y − (vn)y | � TMn .
(x + y)n
n!
|P (x, y, un+1) − P (x, y, un)| � TMn .
Таким образом, справедливость оценки (6.1) доказана для разности |νn − νn−1|. Для других разностей данная оценка доказывается аналогично.
Мы получили, что ряды
∞ ∞ ∞
ν0 + ∑(νn − νn−1); v0 + ∑(vn − vn−1); w0 + ∑(wn − wn−1) (6.4)
n=1
сходятся, так как они мажорируются рядом
n=1
∞
n−1
n=1
T + T ∑ Mn−1 (x + y) ,
(n − 1)!
который сам является сходящимся, так как
n=1
∞ n
ex+y = ∑ (x + y) .
n!
n=0
Из полученного результата следует, что сходятся и последовательности частичных сумм {vn}; {wn}; {νn}. Заметим, что наши последовательности приближенных решений являются последовательностями ча- стичных сумм рядов, сходимость которых мы доказали. Тогда, в силу определения сходимости ряда,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 25–35
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 25–35 33
последовательности приближенных решений сходятся. Покажем, что последовательности приближенных решений сходятся к решениям системы (3.4).
Введем обозначения
ν(x, y) = lim
n→∞
w(x, y) = lim
νn(x, y); v(x, y) = lim
n→∞
wn(x, y); u(x, y) = lim
vn(x, y);
un(x, y).
n→∞
n→∞
Напомним, что по нашему предположению, φ, ψ, φ′, ψ′, A, B, C ограничены, а значит, можно перейти к
пределу под знаком интеграла. Тогда, переходя к пределу в
получим
0
νn = φ′ (x) +
y y
∫ ∫
(f − Aνn−1 − Bwn−1 − Cvn−1) +
0 0
P (x, y, un)dy,
0
ν = φ′ (x) +
y y
∫ ∫
(f − Aν − Bw − Cv)dy +
0 0
P (x, y, u)dy.
Переходя к пределу в двух других соотношениях, получим (3.4), а значит, предельные функции явля- ются решениями (3.4).
Докажем единственность решения задачи (2.2)–(2.3). Предположим, что существуют два различных решения поставленной задачи
Обозначим
Тогда
(ν1; w1; v1); (ν2; w2; v2).
ν0 = ν1 − ν2, w0 = w1 − w2, v0 = v1 − v2.
ν0 = −
y
∫
(Aν0 + Bw0 + Cv0)dy.
0
Аналогично можно переписать и два других соотношения, входящих в систему (3.4). Раннее была доказана оценка (6.1). Значит
|ν0| � TMn−1 (x + y)
n−1
; |w0| � TMn−1 (x + y)
n−1
; |v0| � TMn−1 (x + y)
n−1
.
(n − 1)!
(n − 1)!
(n − 1)!
Так как единственной тройкой функций, удовлетворяющей этим неравенствам для любого n, явля- ется
ν0 = w0 = v0 = 0,
то
ν1 = ν2; w1 = w2; v1 = v2.
Таким образом система (3.4) имеет единственное решение.
В силу эквивалентности системы интегральных уравнений (3.4) и задачи Гурса (2.2)–(2.3), задача Гурса (2.2)–(2.3) имеет единственное решение.
Разрешимость задачи (1.1) − (1.2)
Теорема 2
Пусть выполняются условия теоремы 1, а также следующие условия:
1
max
(x,y)∈Q
|u(x, y)| �
max 1 − κ1 − κ2 (x,y)∈Q
|v(x, y)|,
||u(x, y)||C1 (D) � γ||v(x, y)||C1 (D).
Тогда существует единственное решение задачи (1.1)–(1.2).
Доказательство
Для доказательства достаточно показать, что (1.1)–(1.2) и задача Гурса (2.2)–(2.3) эквивалентны. Пусть v — решение (2.2)–(2.3) и выполняется (2.1). Тогда, очевидно, выполняются условия (1.2).
Подставив v в (2.2), после элементарных, но громоздких, преобразований получим (1.1).
Об авторах
А. В. Гилев
Самарский национальный исследовательский университетимени академика С.П. Королева
Автор, ответственный за переписку.
Email: toshqaaa@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-6747-5826
аспирант кафедры дифференциальных уравнений и теории управления
РоссияСписок литературы
- [1] Пулькина Л.С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Изд-во ”Самарский университет”, 2012. 194 с.
- [2] Пулькина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 2. С. 279–280. URL: http://mi.mathnet.ru/de10101
- [3] Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quarterly of Applied Mathematics. 1963. Vol. 21, № 2. P. 155–160. DOI: https://doi.org/10.1090/QAM
- [4] Byszewski L. Existance and uniqueness of solutions of nonlocal problems for hyperbolic equation uxt == F(x; t; u; ux) // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1990. Vol. 3, № 3. P. 163–168. URL: https://www.univie.ac.at/EMIS/journals/HOA/JAMSA/Volume3_3/168.pdf.
- [5] Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 5. С. 656–661. URL: http://mi.mathnet.ru/de10157.
- [6] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решение нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование. 2000. Т. 12, № 1. С. 94–103. URL: http://mi.mathnet.ru/mm832.
- [7] Bouziani A., Benouar N. Probleme mixte avec conditions integrales pour une classe d’equations hyperboliques // Bull. Belg. Math. Soc. 1996. № 3. P. 137–145. URL: http://doi.org/10.36045/BBMS
- [8] Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. Москва: Наука, 2012. 232 с. URL: https://obuchalka.org/20210213129285/nagrujennie-uravneniya-i-ih-primenenie-nahushev-a-m-2012.html; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=20886619.
- [9] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006, Т. 42, № 9. С. 1166–1179. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=9296592
- [10] Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 1. С. 171–174. URL: http://mi.mathnet.ru/de5770
- [11] Асанова А.Т. Нелокальная задача с интегральными условиями для системы гиперболических уравнений в характеристическом прямоугольнике // Изв. вузов. Матем. 2017. № 5. С. 11–25. URL: http://mi.mathnet.ru/ivm9233.
- [12] Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Москва: Физматгиз, 1959. 232 с. URL: https://1lib.education/book/571663/1c6922?id=571663&secret=1c6922.
Дополнительные файлы
