О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

K. Zh. Nazarova; Назарова К. Ж.; B. Kh. Turmetov; Турметов Б. Х.; K. I. Usmanov; Усманов К. И.

doi:10.18287/2541-7525-2020-26-3-7-16

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Авторы: Назарова К.Ж.¹, Турметов Б.Х.¹, Усманов К.И.¹
Учреждения:
1. Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави
Выпуск: Том 26, № 3 (2020)
Страницы: 7-16
Раздел: Статьи
URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/8684
DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-3-7-16
ID: 8684

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

Настоящая статья посвящена исследованию вопросов разрешимости некоторых краевых задач для нового класса дифференциальных уравнений с инволюцией. В пространстве Rn вводится отображение Sx= −x. С помощью этого отображения вводится нелокальный аналог оператора Лапласа, а также граничный оператор с наклонной производной. Изучены краевые задачи, обобщающие известную задачу с наклонной производной. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения исследуемых задач. В классе Гельдера изучена также гладкость решения. Используя известные утверждения о решениях краевой задачи с наклонной производной для классического уравнения Пуассона, найдены точные порядки гладкости решения исследуемой задачи.

Ключевые слова

инволюция, нелокальное уравнение, нелокальная задача, наклонная производная, уравнение Пуассона, гладкость, существование, единственность

Полный текст

Введение

Дифференциальные уравнения, в которых наряду с искомой функцией u(t) присутствуют значение u(S(t)), где S2(t) = t, называются уравнениями со сдвигами Карлемана [1] или уравнениями с инво- люцией. Теория уравнений с инволютивно преобразованными аргументами и их приложения подробно описаны в монографиях [2; 3]. В целом дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов называют нелокальными дифференциальными уравнениями.

Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных аналогов классических дифференциальных уравнений исследовались в многочисленных работах авторов [4–9].

Помимо этого для классических уравнений можно исследовать нелокальные краевые задачи типа Бицадзе — Самарского [10], в которых значения искомой функции u(x) в границе области связаны со значениями u(Sx). Отметим, что многочисленные приложения нелокальных краевых задач для эллип- тических уравнений к задачам физики, техники и других отраслей науки подробно описаны в рабо- тах [11; 12].

В настоящей статье при помощью отображения типа инволюции рассматривается аналог нелокально- го оператора Лапласа, и для соответствующего нелокального аналога уравнения Пуассона исследуется краевая задача с наклонной производной. Кроме того, для классического уравнения Пуассона изучает- ся также нелокальная краевая задача, в котором граничная условия задается в виде связи значений наклонной производной в точках x и Sx.

Отметим, что основные краевые задачи (Дирихле, Неймана и Робена) для нелокального аналога уравнения Пуассона с преобразованиями типа инволюции исследованы в работе [13]. Кроме того, для классического уравнения Пуассона обобщенная краевая задача Дирихле с отображениями типа инволю- ции изучена в работе [14].

Переходим к постановке задач, рассматриваемых в настоящей статье. Для любого x =

= (x1, ..., xn−1, xn) из R

введем обозначение x = (x˜, xn), где x˜

= (x1, ..., xn−1). Пусть m ?: 2,

Ωm = {x ∈ Rn : |x˜|2 + |xn|m < 1}, ∂Ωm = {x ∈ Rn : |x˜|2 + |xn|m = 1} , Γ = {x ∈ ∂Ωm : xn = 0} , n ?: 3.

В пространстве Rn рассмотрим отображение Sx = −x и введем оператор IS u(x) = u(−x). Очевидно,

что отображение S является инволюцией, т. е. S2x = x.

Пусть a, b — действительные числа. Рассмотрим в области Ωm следующие задачи

Задача 1. Найти функцию u (x) ∈ C2 (Ωm) ∩ C1 (Ω¯ m), удовлетворяющую условиям

a∆u(x) + b∆u(−x) = f (x), x ∈ Ωm, (1)

∂u

∂xn

(x) = g (x) , x ∈ ∂Ωm (2)

u (x) = ϕ (x) , x ∈ Γ. (3)

Задача 2. Найти функцию u (x) ∈ C2 (Ωm) ∩ C1 (Ω¯ m), удовлетворяющую условиям

∆u(x) = f (x), x ∈ Ωm, (4)

∂u

∂xn

(x) + b

∂u

∂xn

(−x) = g (x) , x ∈ ∂Ωm, (5)

u (x) = ϕ (x) , x ∈ Γ. (6)

∂x

Здесь ∂u

∂xn

(−x) означает ∂u

[ ∂u

(−x) = IS ∂xn

[ ∂u

(x)]

]

Заметим, что

∂

∂xn

(x)

̸= ∂x

IS [u (x)] .

Если a = 1, b = 0, то рассматриваемые задачи совпадают с известной краевой задачей с наклонной производной для классического уравнения Пуассона. Известные утверждения относительно этой задачи мы изложим в п. 2 настоящей работы.

Отметим также, что краевые задачи с отображениями типа инволюция исследованы в рабо- тах [15; 16].

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16

Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 9

О задаче с наклонной производной
Приведем известные утверждения относительно задачи с наклонной производной для уравнения Ла- пласа.
Рассмотрим следующую задачу:
∆v(x) = 0, x ∈ Ωm, (7)

∂v

∂xn
(x) = h (x) , x ∈ ∂Ωm, (8)

v(x) = ψ (x) , x ∈ Γ. (9)
Заметим, что вырождающиеся краевые задачи с наклонной производной для эллиптических уравнений исследованы в работах многочисленных авторов [17; 18]. В работе [17] доказаны следующие утвержде- ния.
Теорема 1. Пусть в задаче (7)–(9) ψ (x) = 0 и h (x) ∈ Cλ (∂Ωm), где λ > 1 − 1 , причем число λ + 1
m m
m (¯ m)
нецелое. Тогда решение задачи (7)–(9) существует, единственно и принадлежит классу Cλ+ 1 Ω .
m

Теорема 2. Пусть в задаче (7)–(9) ψ (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1
нецелое. Тогда существует
функция h (x) ∈ Cλ (∂Ωm) такое, что решение задачи (7)–(9) при любом ε > 0 не принадлежит классу
m

Cλ+ 1 +ε (Ω¯
m).
m

Таким образом, из утверждений теорем 1 и 2 следует, что в отличие от задачи Неймана в случае задачи с наклонной производной получается потеря гладкости решения на порядок 1 − 1 . В следующем
утверждении доказывается, что при специальном выборе граничной функции h (x) эту потерю гладкости решения можно восстановить. В работе [18] доказано следующее утверждение.
n

Теорема 3. Пусть 0 < λ < 1 и ψ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Предположим, что h (x) = xm−1 · g0 (x), где
g0 (x) ∈ Cλ (∂Ωm). Тогда существует решение задачи (7)–(9), принадлежащее классу Cλ+1 (Ω¯ m).
В дальнейшем при доказательстве основных утверждений относительно задач 1 и 2 существенно используются утверждения теорем 1–3.
Исследования задачи 1
Исследуем задачу 1. Сначала приведем теорему о единственности решения.
Теорема 4. Пусть a ̸= ±b, и решение задачи 1 существует, тогда оно единственно.
Доказательство. Пусть u (x) — решение однородной задачи 1. Обозначим v(x) = au(x) + bu(−x), x ∈ Ωm. Тогда ∆v(x) = 0, x ∈ Ωm; v(x)|Γ = 0. Далее из равенства

∂v(x)
∂xn
∂u(x)
= a
∂xn
∂
+ b
∂xn

IS u(x) = a
∂u(x)
∂xn
— b · IS
[ ∂u(x)]
∂xn
∂u(x)
= a
∂xn
b∂u(−x)
— ∂xn
и однородного граничного условия (2) следует

∂ v(x)

= 0.
∂xn

∂Ωm
Таким образом, если u (x) — решение однородной задачи 1, то функция v(x) = au(x) + bu(Sx) бу- дет удовлетворять однородным условиям задачи (7)–(9). Тогда по теореме 1 имеем v(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
Следовательно,

Из этого равенства также следует

Отсюда
au(x) + bu(−x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. au(−x) + bu(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
(a2 − b2) u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
Тогда, если a ̸= ±b, то u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Теорема доказана.
Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией
10 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution

Замечание 1. Если в задаче 1 выполняется условие a = ±b, то легко показать, что однородная задача имеет ненулевые решения. Например, рассмотрим функцию u (x) = (1 − |x|2)2 H (x), где H (x) =

= xn · (x1 + x2 + ... + xn−1). Очевидно, что u (x)
= 0, ∂u
= 0 и H (x) — гармоническая функция

в Ω. Тогда из равенств
m

Γ ∂xn ∂Ω
∆H (x) = 0; ∆ (1 − |x|2)2 = ∆ [1 − 2|x|2 + |x|4] = −4n + 4 (2 + n) |x|2;

n
∑

j=1
∂

∂xj
∂
H (x)
∂xj
(1 − |x|2)2 =
n−1
∂

= xn ∑

(x1 + ... + xn
1

) ∂ (1 − |x|2)2
− (x1 + ... + xn
1) 4 (1 − |x|2) x =

j=1
∂xj

n−1
— ∂xj − n
= −xn ∑ 4 (1 − |x|2) xj − 4xn (1 − |x|2) (x1 + ... + xn
j=1
−1) =

следует
2)

= −4xn (x1 + x2 + ... + xn−1) (1 − |x|
= −4H (x)
(1 − |x|2)

n
∆u (x) = H (x) ∆ (1 − |x|2)2 + (1 − |x|2) ∆H (x) + 2 ∑
j=1

∂

∂xj

∂
H (x)
∂xj
(1 − |x|2)2 =

Следовательно,
= −4n + 4 (2 + n) |x|2 − 8 (1 − |x|2) H (x) .
2

∆u (−x) = −4n + 4 (2 + n) |x|
( 2)
− 8 1 − |x|

H (x) .
Отсюда получаем, что функция u (x) удовлетворяет уравнению
∆u (x) − ∆u (−x) = 0, x ∈ Ωm
и однородным граничным условиям (2) и (3).
Далее исследуем существование и гладкость решения задачи 1.
1

1 (

Теорема 5. Пусть a ̸= ±b, λ > 1 − 1 , причем число λ + 1
нецелое, f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯
, g (x) ∈
m m m)
∈ Cλ (∂Ωm), ϕ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Тогда решение задачи 1 существует и принадлежит классу Cλ+ m
Ω¯ m).
Доказательство. Пусть u (x) — решение задачи (1)–(3). Обозначим v(x) = au(x) + bu(−x), x ∈ Ωm.
Тогда для функции v(x) получаем краевую задачу
∆v(x) = f (x), x ∈ Ωm, (10)
∂v(x)
= ag(x) − bg(−x) ≡ h(x), (11)
∂xn

∂Ωm

v(x)
Γ
= aϕ(x) + bϕ(−x) ≡ ψ(x). (12)
Решение задачи (10)–(12) будем искать в виде v(x) = v1(x)+v2(x), где функции v1(x) и v2(x) являются решениями следующих задач:
∆v1(x) = f (x), x ∈ Ωm, v1(x)|∂Ωm = 0, (13)
∂v2(x)

∂v1(x)
∆v2(x) = 0, x ∈ Ωm;
∂xn

∂Ωm

= h(x) −
∂xn
, v2(x)
Γ
= ψ(x). (14)
1

По условию теоремы f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯ m). Тогда решение задачи (13) существует, единственно и
(¯ )
m ( )
принадлежит классу Cλ+ 1
Ω . Следовательно, ∂v (x)
C 1 Ω¯
. Далее, если ϕ (x)
Cλ+1
(Γ) ,
m +1 m
1 λ+
∂xn ∈ m ∈
∂xn

g (x) ∈ Cλ (∂Ωm), то ψ (x) ∈ Cλ+1 (Γ), а функция h(x) − ∂v1 (x) , по крайней мере, принадлежит классу
1

Cλ (∂Ωm). Тогда по теореме 1 решение задачи (14) существует и принадлежит классу Cλ+ m (Ω¯ m).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 11

Значит, функция v(x) = v1(x) + v2(x) удовлетворяет условиям задачи (10)–(12) и, по крайней мере,
m (¯ m)
−x), x ∈ Ωm, меняя x на −x, получим
принадлежит классу Cλ+ 1 Ω
. В равенстве v(x) = au(x) + bu(
b, то
.

u(x) =
= ±
a a2 − b2

v(x) −

b a2 − b2

v(−x), x ∈ Ω¯ m. (15)
Покажем, что если функция v(x) является решением задачи (10)–(12), то при выполнении условии a ̸= ±b функция u(x) из (15) удовлетворяет всем условиям задачи 1. Действительно, применяя к ра- венству (15) оператор ∆, для точек x ∈ Ωm имеем

∆u(x) =
a a2 − b2
∆v(x) −
b a2 − b2
∆v(−x) =
a a2 − b2
f (x) −
b a2 − b2
f (−x).
Меняя в последнем равенстве x на −x, получим
a b

Отсюда
∆u(−x) = a2 − b2 f (−x) − a2 − b2 f (x).

a∆u(x) + b∆u(x) =
a2 a2 − b2
f (x) −
ab a2 − b2
f (−x) +
ba a2 − b2
1. (−x) −
  b2 a2 − b2
  
  f (x) = f (x),
  т. е. функция u(x) удовлетворяет уравнению (1). Далее для точек x ∈ ∂Ωm из граничного условия (11)
  имеем
  
  ∂u(x)
  
  a ∂v(x)
  =
  
  + b ∂v(−x)
  a
  = h(x) +
  b
  h(−x) =
  ∂xn
  
  ∂Ωm
  a2 − b2
  a
  ∂xn
  
  ∂Ωm
  a2 − b2
  ∂xn
  b
  
  ∂Ωm
  a2 − b2
  a2 − b2
  =
  a2 − b2
  [ag(x) − bg(−x)] +
  a2 − b2
  [ag(−x) − bg(x)] = g(x).
  Аналогично для точек x ∈ Γ, используя условие (12), получим
  
  u(x)
  Γ
  a
  =
  a2 − b2
  a
  
  v(x)
  Γ
  b
  − a2 − b2
  
  v(−x)
  Γ
  b
  a
  =
  a2 − b2
  b ψ(x) − a2 − b2
  ψ(−x) =
  =
  a2 − b2
  [aϕ(x) + bϕ(−x)] −
  a2 − b2
  [aϕ(−x) + bϕ(x)] = ϕ(x).
  Далее, так как v(x) ∈ Cλ+ m (Ω¯ m), то v(−x) ∈ Cλ+ m (Ω¯ m), и поэтому функция u(x) из равенства
  1 1
  
  1
  
  (15) также принадлежит классу v(x) ∈ Cλ+ m (Ω¯ m). Теорема доказана.
  Следующее утверждение показывает, что полученный в теореме 5 показатель гладкости решения
  задачи 1 нельзя улучшить.
  m
  
  Теорема 6. Пусть a ̸= ±b, f (x), ϕ (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1
  нецелое. Тогда существу-
  ет функция g (x) ∈ Cλ (∂Ωm) такая, что решение задачи 1 при любом ε > 0 не принадлежит классу
  m
  
  Cλ+ 1 +ε (Ω¯
  m).
  Доказательство. Пусть ϕ (x) ≡ 0. Тогда ψ (x) = aϕ(−x) + bϕ(x) ≡ 0. В задаче 1 выберем функцию
  g (x) ∈ Cλ (∂Ωm) таким образом, чтобы решение этой задачи для любого ε > 0 не принадлежало классу
  1
  
  Cλ+ 2 +ε (Ω¯ m)
  (по теореме 2 такая функция существует). Тогда функция u (x), построенная по формуле
  m (¯ m)
  (15), является гармонической, удовлетворяет краевым условиям (2),(3), принадлежит классу Cλ+ 1 Ω
  m)
  1
  
  и u (x) ∈/ Cλ+ m +ε (Ω¯
  . Теорема доказана.
  Аналогично доказывается следующее утверждение.
  n
  
  Теорема 7. Пусть a ̸= ±b, f (x) = 0, 0 < λ < 1 и ϕ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Предположим, что g (x) = xm−1×
  ×g0 (x), где g0 (x) ∈ Cλ (∂Ωm). Тогда существует решение задачи 1, принадлежащее классу Cλ+1 (Ω¯ m).
Исследования задачи 2

Переходим к изучению задачи 2. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8. Пусть a ̸= ±b. Если решение задачи 2 существует, то оно единственно.

Доказательство. Предположим, что u (x) — решение однородной задачи 2. Обозначим v(x) =

= au(x) −bu(−x), x ∈ Ωm. Очевидно, что функция v(x) гармоническая в области Ωm и v(x)

= au(x) −

− bu(−x)

∂x

= 0. Далее, так как ∂u(−x)

≡ IS ∂

def

∂xn

u(x) = − ∂

IS u(x), то

Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией

12 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution

∂v(x)

∂xn

∂u(x)

= a

∂xn

∂

∂xn

IS u(x) = a

∂u(x)
∂xn
+ b∂u(−x)
∂xn

. (16)
Тогда из однородного краевого условия (5) следует

∂v(x)
∂u(x)
= a

+ b∂u(−x)

= 0.
∂xn

∂Ωm
∂xn
∂xn

∂Ωm
Итак, если u (x) — решение однородной задачи 2, то функция v(x) = au(x) − bu(−x), x ∈ Ωm будет
решением однородной задачи (10),(11). В силу утверждения теоремы 1 решение этой задачи единственно, и, следовательно, v(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Отсюда
au(x) − bu(−x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m, au(−x) − bu(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
Из последней системы следует (a2 − b2) u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Тогда, если выполняется условие a ̸= ±b, то u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Теорема доказана.
1

Теперь переходим к исследованию существования и гладкости решения задачи 2. Справедливо утвер- ждение.
1

Теорема 9. Пусть a ̸= ±b, λ > 1 − 1 , причем число λ + 1
нецелое, f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯
, g (x) ∈
m m m)
∈ Cλ (∂Ωm), ϕ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Тогда решение задачи 2 существует и принадлежит классу Cλ+ m (Ω¯
m).
Доказательство. Пусть u (x) — решение задачи 2. Обозначим v(x) = au(x) −bu(−x), x ∈ Ωm. Тогда
с учетом равенства (16) для функции v(x) получаем краевую задачу
∆v(x) = af (x) − bf (−x), x ∈ Ωm, (17)
∂v(x)
= g(x), (18)
∂xn

∂Ωm

v(x)
Γ
= aϕ(x) − bϕ(−x) ≡ ψ(x). (19)
Решение задачи (17)–(19) будем искать в виде v(x) = v1(x)+v2(x), где функции v1(x) и v2(x) являются решениями следующих задач:
∆v1(x) = f (x), x ∈ Ωm, v1(x)|∂Ωm = 0, (20)
∂v2(x)

∂v1(x)
∆v2(x) = 0, x ∈ Ωm;
∂xn

∂Ωm

= g(x) −
∂xn
, v2(x)
Γ
= ψ(x), (21)
1

По условию теоремы f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯ m). Тогда решение задачи (20) существует, единственно и при-
1

m) ∂x
( )
надлежит классу Cλ+ m +1 (Ω¯
∈

m

. Следовательно, ∂v1 (x) Cλ+ 1
n
Ω¯ m
. Далее, если ϕ (x) ∈ C
λ+1
(Γ) , g (x) ∈
∂xn

∈ Cλ (∂Ωm), то ψ (x) ∈ Cλ+1 (Γ), а функция g(x)− ∂v1 (x) , по крайней мере, принадлежит классу Cλ (∂Ωm).
m (¯ m)
Тогда по теореме 1 решение задачи (21) существует и принадлежит классу Cλ+ 1 Ω .
Значит, функция v(x) = v1(x) + v2(x) удовлетворяет условиям задачи (10)–(12) и, по крайней мере,
m (¯ m)
— bu(−x), x ∈ Ωm, меняя x на −x, получим,
принадлежит классу Cλ+ 1 Ω
. В равенстве v(x) = au(x) b, то
.

u(x) =
= ±
a a2 − b2

v(x) +
b a2 − b2
v(−x), x ∈ Ω¯ m. (22)
Покажем, что если функция v(x) является решением задачи (17)–(19), то при выполнении условии a ̸= ±b функция u(x) из (22) удовлетворяет всем условиям задачи 2. Действительно, применяя к ра- венству (22) оператор ∆, для точек x ∈ Ωm имеем

∆u(x) =
a
a a2 − b2

∆v(x) +
b
a2 − b2 b
∆v(−x) =
=
a2 − b2
[af (x) − bf (−x)] +
a2 − b2
[af (−x) − bf (x)] =
a2f (x)
−

=
a2 − b2
b2f (x) a2 − b2

= f (x).
Значит, функция u(x) удовлетворяет уравнению (4). Далее для точек x ∈ ∂Ωm из граничного усло-
вия (18) имеем
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 13

∂u(x)

a ∂v(x)
=

b ∂v(−x)

a
= g(x) −

b
g(−x).
∂xn

∂Ωm
a2 − b2
∂xn

∂Ωm
− a2 − b2
∂xn

∂Ωm
a2 − b2
a2 − b2
Меняя в последнем равенстве x на −x, получим

∂u(−x)
a
= g(−x) −
b
g(x).

Тогда

∂u(x)

∂u(−x)
∂xn

∂Ωm

a2
a2 − b2

ab
a2 − b2

ab b2
a + b
∂xn
∂xn
=
∂Ωm
a2 − b2
g(x) −
a2 − b2
g(−x) +
a2 − b2
1. (−x) −
a2 − b2
g(x) =
−

a2 b2
=
a2 − b2

g(x) = g(x).
Аналогично для точек x ∈ Γ, используя условие (19), получим

u(x)
Γ
a
=
a2 − b2
a

v(x)
Γ
b
+
a2 − b2

v(−x)
Γ
b
a
=
a2 − b2
b
ψ(x) +
a2 − b2
ψ(−x) =
=
a2 − b2
[aϕ(x) − bϕ(−x)] +
m)
a2 − b2
m (¯
[aϕ(−x) − bϕ(x)] = ϕ(x).
)
1

Далее, так как v(x) ∈ Cλ+ m (Ω¯
1

, то v(−x) ∈ Cλ+
Ωm , и поэтому функция u(x) из равенства (22)
1 (¯ )
также принадлежит классу v(x) ∈ Cλ+ m
Ωm . Теорема доказана.
Покажем, что показатель гладкости решения задачи 2, полученный в теореме 9, нельзя улучшить.
Справедливо следующее утверждение.
m

Теорема 10. Пусть f (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1
нецелое. Существует функция g(x) ∈
∈ Cλ(∂Ωm) такая, что решение задачи 2 при любом ε > 0 не принадлежит классу Cλ+1/m+ε(Ω¯ m).
Доказательство. Предположим, что функция v(x˜) является решением задачи
∆v(x˜) = 0, |x| < 1; v(x˜)|Γ = ϕ(x˜). (23) Выберем функцию ϕ(x˜) ∈ Cλ(Γ) так, чтобы v(x˜) ∈ Cλ(|x| � 1) и чтобы для любого ε > 0 выпол-
нялось условие v(x˜) ∈/
Cλ+ε(|x| � 1). Далее, если рассмотрим функцию u(x) = xnv(x˜), то она будет
удовлетворять условиям следующей задачи:

∂u(x)
∆u(x) = 0, x ∈ Ωm;
∂xn

∂Ωm
= ϕ, u(x)
Γ
= 0.
В силу утверждения теоремы 3 при выборе такой функции v(x˜) функция u(x) принадлежит классу
Cλ+1/m(Ω¯ m) и u(x) ∈/ Cλ+1/m+ε(Ω¯ m), ε > 0.
Далее имеют место следующие равенства:

Тогда
∂u(x)
∂xn

= v(x˜),
∂u(−x)
∂xn
= v(−x˜).
∂u(x)
a
∂xn
+ b∂u(−x)
∂xn

= av(x˜) + bv(−x˜)
Γ
= aϕ(x˜) + bϕ(−x˜) ≡ g(x).
Таким образом, функция u(x) = xnv(x˜) принадлежит классу Cλ+1/m(Ω¯ m) и u(x) ∈/ Cλ+1/m+ε(Ω¯ ), ε > 0,
а также удовлетворяет условиям
∂u(x)
∂u(Sx)

Теорема доказана.
∆u(x) = 0, x ∈ Ω; a

+ b
∂xn
∂xn

∂Ω
= g(x), u(x)
Γ
= 0.
Замечание 2. Если в задаче 2 выполняется один из условий a = ±b, то можно показать, что од-
нородная задача имеют ненулевые решения. Например, если рассмотрим функцию u (x) = xnv (x˜), где

v (x˜) — решение задачи (23), то ∆u(x) = 0, x ∈ Ω; u(x)
Γ
= 0. Если функция v (x˜) дополнительно об-
ладает свойством четности v (x˜) = v (−x˜) или нечетности v (−x˜) = −v (x˜), то функция u (x) = xnv (x˜)
будет удовлетворять граничному условию
Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией
14 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution

∂u(x)

∂u(−x)
= 0, a = −b

или
∂xn −
∂xn

∂Ωm
∂u(x)
+

∂u(−x)

= 0, a = b.
∂xn
∂xn

∂Ωm

Об авторах

К. Ж. Назарова

Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави

Автор, ответственный за переписку.
Email: gjnazarova@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2093-1879

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики

Казахстан, 161200, Казахстан, г. Туркестан,пр. Б. Саттарханова, 29

Б. Х. Турметов

Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави

Email: turmetovbh@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7735-6484

профессор, доктор физико-математических наук

Казахстан, 161200, Казахстан, г. Туркестан,пр. Б. Саттарханова, 29

К. И. Усманов

Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави

Email: y_kairat@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1377-4633

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики

Казахстан, 161200, Казахстан, г. Туркестан,пр. Б. Саттарханова, 29

Список литературы

[1] Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongresse Zurich. 1932. Vol. 1. P. 132–151. URL: https://studylibfr.com/doc/1054399/sur-la-th%C3%A9orie-des-%C3%A9quations-int%C3%A9grales-et-ses-applications.
[2] Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston: Birkh¨auser, 2001. 427 p. DOI: http://doi.org/10.1007/978-1-4612-0183-0
[3] Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. Москва: Наука, 1977. 448 с. URL: https://booksee.org/book/578151.
[4] Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 8. С. 1126–1128. URL: http://www.mathnet.ru/links/84f04cf1cbc2cfa20e42c2d0e4da812c/de11126.pdf.
[5] Андреев А.А., Огородников Е.Н. К постановке и обоснованию корректности начальной краевой задачи для одного класса нелокальных вырождающихся уравнений гиперболического типа // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер.: Физико-математические науки. 2006. № 43. С. 44–51. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu452.
[6] Баскаков А.Г., Ускова Н.Б. Метод Фурье для дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов // Уфимский математический журнал. 2018. Т. 10, № 3. С. 11–34. URL: http://www.mathnet.ru/links/a8d354bb845125c6ec03b3fef20e3a6c/ufa433.pdf.
[7] Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Классическое решение для смешанной задачи с инволюцией // Доклады Академии наук. 2010. Т. 435, № 2. С. 151–154. URL: https://istina.ipmnet.ru/publications/article/224014071/
[8] Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Обоснование метода Фурье в смешанных задачах с инволюцией // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, №.4. С. 3–12. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2011-11-4-3-12.
[9] Линьков А.В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 1999. Т. 12, № 2. С. 60–65. URL: https://studylib.ru/doc/2719636/obosnovanie-metoda-fur._e-dlya-kraevyh-zadach-s-involyutivnym.
[10] Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185, № 4. C. 739–740. URL: http://www.mathnet.ru/links/082eaf65360bc8ae00527123d59756ba/dan34529.pdf.
[11] Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 26. С. 3–132. URL: http://www.mathnet.ru/links/729dedc4db3fb10a104bedd2e96a4e1a/cmfd116.pdf.
[12] Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. II // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. Т. 33. С. 3–179. URL: http://www.mathnet.ru/links/27bb7dc74e7aa9bc0c9b560f7070f6a3/cmfd133.pdf
[13] Karachik V.V., Sarsenbi A., Turmetov B.Kh. On the solvability of the main boundary value problems for a nonlocal Poisson equation // Turkish Journal of Mathematics. 2019. Vol. 43, No. 3. P. 1604–1625. DOI: http://doi.org/10.3906/mat-1901-71.
[14] Karachik V.V., Turmetov B.Kh. Solvability of one nonlocal Dirichlet problem for the Poisson equation // Novi Sad Journal of Mathematics. 2020. Vol. 50, № 1. P. 67–88. DOI: http://doi.org/10.30755/NSJOM.08942.
[15] Przeworska-Rolewicz D. Some boundary value problems with transformed argument // Commentationes Mathematicae. 1974. Vol. 17. P. 451–457. URL: http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.ojs-doi-10_14708_cm_v17i2_5790/c/5790-5331.pdf.
[16] Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On solvability of some nonlocal boundary value problems for polyharmonic equation // Kazakh Mathematical Journal. 2019. Vol. 19, № 1. P. 39–49. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39528389.
[17] Алимов Ш.А. Об одной задаче с наклонной производной // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, № 10. С. 1738–1751. URL: http://www.mathnet.ru/links/13fbcb22f29f7e709f94c414c81ba104/de4370.pdf.
[18] Алимов Ш.А. Об одной краевой задаче // Доклады АН СССР. 1980. Т. 252, № 5. С. 1033–1034.

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Полный текст

Аннотация

Ключевые слова

Полный текст

Введение

О задаче с наклонной производной

Исследования задачи 1

Исследования задачи 2

Об авторах

К. Ж. Назарова

Б. Х. Турметов

К. И. Усманов

Список литературы

Дополнительные файлы

Данный сайт использует cookie-файлы