О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ИНВОЛЮЦИЕЙ
- Авторы: Назарова К.Ж.1, Турметов Б.Х.1, Усманов К.И.1
-
Учреждения:
- Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави
- Выпуск: Том 26, № 3 (2020)
- Страницы: 7-16
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/8684
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-3-7-16
- ID: 8684
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Настоящая статья посвящена исследованию вопросов разрешимости некоторых краевых задач для нового класса дифференциальных уравнений с инволюцией. В пространстве Rn вводится отображение Sx= −x. С помощью этого отображения вводится нелокальный аналог оператора Лапласа, а также граничный оператор с наклонной производной. Изучены краевые задачи, обобщающие известную задачу с наклонной производной. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения исследуемых задач. В классе Гельдера изучена также гладкость решения. Используя известные утверждения о решениях краевой задачи с наклонной производной для классического уравнения Пуассона, найдены точные порядки гладкости решения исследуемой задачи.
Полный текст
Введение
Дифференциальные уравнения, в которых наряду с искомой функцией u(t) присутствуют значение u(S(t)), где S2(t) = t, называются уравнениями со сдвигами Карлемана [1] или уравнениями с инво- люцией. Теория уравнений с инволютивно преобразованными аргументами и их приложения подробно описаны в монографиях [2; 3]. В целом дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов называют нелокальными дифференциальными уравнениями.
Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных аналогов классических дифференциальных уравнений исследовались в многочисленных работах авторов [4–9].
Помимо этого для классических уравнений можно исследовать нелокальные краевые задачи типа Бицадзе — Самарского [10], в которых значения искомой функции u(x) в границе области связаны со значениями u(Sx). Отметим, что многочисленные приложения нелокальных краевых задач для эллип- тических уравнений к задачам физики, техники и других отраслей науки подробно описаны в рабо- тах [11; 12].
В настоящей статье при помощью отображения типа инволюции рассматривается аналог нелокально- го оператора Лапласа, и для соответствующего нелокального аналога уравнения Пуассона исследуется краевая задача с наклонной производной. Кроме того, для классического уравнения Пуассона изучает- ся также нелокальная краевая задача, в котором граничная условия задается в виде связи значений наклонной производной в точках x и Sx.
Отметим, что основные краевые задачи (Дирихле, Неймана и Робена) для нелокального аналога уравнения Пуассона с преобразованиями типа инволюции исследованы в работе [13]. Кроме того, для классического уравнения Пуассона обобщенная краевая задача Дирихле с отображениями типа инволю- ции изучена в работе [14].
Переходим к постановке задач, рассматриваемых в настоящей статье. Для любого x =
n
= (x1, ..., xn−1, xn) из R
введем обозначение x = (x˜, xn), где x˜
= (x1, ..., xn−1). Пусть m ?: 2,
Ωm = {x ∈ Rn : |x˜|2 + |xn|m < 1}, ∂Ωm = {x ∈ Rn : |x˜|2 + |xn|m = 1} , Γ = {x ∈ ∂Ωm : xn = 0} , n ?: 3.
В пространстве Rn рассмотрим отображение Sx = −x и введем оператор IS u(x) = u(−x). Очевидно,
что отображение S является инволюцией, т. е. S2x = x.
Пусть a, b — действительные числа. Рассмотрим в области Ωm следующие задачи
Задача 1. Найти функцию u (x) ∈ C2 (Ωm) ∩ C1 (Ω¯ m), удовлетворяющую условиям
a∆u(x) + b∆u(−x) = f (x), x ∈ Ωm, (1)
∂u
∂xn
(x) = g (x) , x ∈ ∂Ωm (2)
u (x) = ϕ (x) , x ∈ Γ. (3)
Задача 2. Найти функцию u (x) ∈ C2 (Ωm) ∩ C1 (Ω¯ m), удовлетворяющую условиям
∆u(x) = f (x), x ∈ Ωm, (4)
∂u
a
∂xn
(x) + b
∂u
∂xn
(−x) = g (x) , x ∈ ∂Ωm, (5)
u (x) = ϕ (x) , x ∈ Γ. (6)
∂x
Здесь ∂u
n
∂xn
(−x) означает ∂u
[ ∂u
(−x) = IS ∂xn
[ ∂u
.
(x)]
]
Заметим, что
∂
IS
∂xn
(x)
n
̸= ∂x
IS [u (x)] .
Если a = 1, b = 0, то рассматриваемые задачи совпадают с известной краевой задачей с наклонной производной для классического уравнения Пуассона. Известные утверждения относительно этой задачи мы изложим в п. 2 настоящей работы.
Отметим также, что краевые задачи с отображениями типа инволюция исследованы в рабо- тах [15; 16].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 9
О задаче с наклонной производной
Приведем известные утверждения относительно задачи с наклонной производной для уравнения Ла- пласа.
Рассмотрим следующую задачу:
∆v(x) = 0, x ∈ Ωm, (7)
∂v
∂xn
(x) = h (x) , x ∈ ∂Ωm, (8)
v(x) = ψ (x) , x ∈ Γ. (9)
Заметим, что вырождающиеся краевые задачи с наклонной производной для эллиптических уравнений исследованы в работах многочисленных авторов [17; 18]. В работе [17] доказаны следующие утвержде- ния.
Теорема 1. Пусть в задаче (7)–(9) ψ (x) = 0 и h (x) ∈ Cλ (∂Ωm), где λ > 1 − 1 , причем число λ + 1
m m
m (¯ m)
нецелое. Тогда решение задачи (7)–(9) существует, единственно и принадлежит классу Cλ+ 1 Ω .
m
Теорема 2. Пусть в задаче (7)–(9) ψ (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1
нецелое. Тогда существует
функция h (x) ∈ Cλ (∂Ωm) такое, что решение задачи (7)–(9) при любом ε > 0 не принадлежит классу
m
Cλ+ 1 +ε (Ω¯
m).
m
Таким образом, из утверждений теорем 1 и 2 следует, что в отличие от задачи Неймана в случае задачи с наклонной производной получается потеря гладкости решения на порядок 1 − 1 . В следующем
утверждении доказывается, что при специальном выборе граничной функции h (x) эту потерю гладкости решения можно восстановить. В работе [18] доказано следующее утверждение.
n
Теорема 3. Пусть 0 < λ < 1 и ψ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Предположим, что h (x) = xm−1 · g0 (x), где
g0 (x) ∈ Cλ (∂Ωm). Тогда существует решение задачи (7)–(9), принадлежащее классу Cλ+1 (Ω¯ m).
В дальнейшем при доказательстве основных утверждений относительно задач 1 и 2 существенно используются утверждения теорем 1–3.
Исследования задачи 1
Исследуем задачу 1. Сначала приведем теорему о единственности решения.
Теорема 4. Пусть a ̸= ±b, и решение задачи 1 существует, тогда оно единственно.
Доказательство. Пусть u (x) — решение однородной задачи 1. Обозначим v(x) = au(x) + bu(−x), x ∈ Ωm. Тогда ∆v(x) = 0, x ∈ Ωm; v(x)|Γ = 0. Далее из равенства
∂v(x)
∂xn
∂u(x)
= a
∂xn
∂
+ b
∂xn
IS u(x) = a
∂u(x)
∂xn
— b · IS
[ ∂u(x)]
∂xn
∂u(x)
= a
∂xn
b∂u(−x)
— ∂xn
и однородного граничного условия (2) следует
∂ v(x)
= 0.
∂xn
∂Ωm
Таким образом, если u (x) — решение однородной задачи 1, то функция v(x) = au(x) + bu(Sx) бу- дет удовлетворять однородным условиям задачи (7)–(9). Тогда по теореме 1 имеем v(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
Следовательно,
Из этого равенства также следует
Отсюда
au(x) + bu(−x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. au(−x) + bu(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
(a2 − b2) u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
Тогда, если a ̸= ±b, то u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Теорема доказана.
Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией
10 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution
Замечание 1. Если в задаче 1 выполняется условие a = ±b, то легко показать, что однородная задача имеет ненулевые решения. Например, рассмотрим функцию u (x) = (1 − |x|2)2 H (x), где H (x) =
= xn · (x1 + x2 + ... + xn−1). Очевидно, что u (x)
= 0, ∂u
= 0 и H (x) — гармоническая функция
в Ω. Тогда из равенств
m
Γ ∂xn ∂Ω
∆H (x) = 0; ∆ (1 − |x|2)2 = ∆ [1 − 2|x|2 + |x|4] = −4n + 4 (2 + n) |x|2;
n
∑
j=1
∂
∂xj
∂
H (x)
∂xj
(1 − |x|2)2 =
n−1
∂
= xn ∑
(x1 + ... + xn
1
) ∂ (1 − |x|2)2
− (x1 + ... + xn
1) 4 (1 − |x|2) x =
j=1
∂xj
n−1
— ∂xj − n
= −xn ∑ 4 (1 − |x|2) xj − 4xn (1 − |x|2) (x1 + ... + xn
j=1
−1) =
следует
2)
= −4xn (x1 + x2 + ... + xn−1) (1 − |x|
= −4H (x)
(1 − |x|2)
n
∆u (x) = H (x) ∆ (1 − |x|2)2 + (1 − |x|2) ∆H (x) + 2 ∑
j=1
∂
∂xj
∂
H (x)
∂xj
(1 − |x|2)2 =
Следовательно,
= −4n + 4 (2 + n) |x|2 − 8 (1 − |x|2) H (x) .
2
∆u (−x) = −4n + 4 (2 + n) |x|
( 2)
− 8 1 − |x|
H (x) .
Отсюда получаем, что функция u (x) удовлетворяет уравнению
∆u (x) − ∆u (−x) = 0, x ∈ Ωm
и однородным граничным условиям (2) и (3).
Далее исследуем существование и гладкость решения задачи 1.
1
1 (
Теорема 5. Пусть a ̸= ±b, λ > 1 − 1 , причем число λ + 1
нецелое, f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯
, g (x) ∈
m m m)
∈ Cλ (∂Ωm), ϕ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Тогда решение задачи 1 существует и принадлежит классу Cλ+ m
Ω¯ m).
Доказательство. Пусть u (x) — решение задачи (1)–(3). Обозначим v(x) = au(x) + bu(−x), x ∈ Ωm.
Тогда для функции v(x) получаем краевую задачу
∆v(x) = f (x), x ∈ Ωm, (10)
∂v(x)
= ag(x) − bg(−x) ≡ h(x), (11)
∂xn
∂Ωm
v(x)
Γ
= aϕ(x) + bϕ(−x) ≡ ψ(x). (12)
Решение задачи (10)–(12) будем искать в виде v(x) = v1(x)+v2(x), где функции v1(x) и v2(x) являются решениями следующих задач:
∆v1(x) = f (x), x ∈ Ωm, v1(x)|∂Ωm = 0, (13)
∂v2(x)
∂v1(x)
∆v2(x) = 0, x ∈ Ωm;
∂xn
∂Ωm
= h(x) −
∂xn
, v2(x)
Γ
= ψ(x). (14)
1
По условию теоремы f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯ m). Тогда решение задачи (13) существует, единственно и
(¯ )
m ( )
принадлежит классу Cλ+ 1
Ω . Следовательно, ∂v (x)
C 1 Ω¯
. Далее, если ϕ (x)
Cλ+1
(Γ) ,
m +1 m
1 λ+
∂xn ∈ m ∈
∂xn
g (x) ∈ Cλ (∂Ωm), то ψ (x) ∈ Cλ+1 (Γ), а функция h(x) − ∂v1 (x) , по крайней мере, принадлежит классу
1
Cλ (∂Ωm). Тогда по теореме 1 решение задачи (14) существует и принадлежит классу Cλ+ m (Ω¯ m).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 11
Значит, функция v(x) = v1(x) + v2(x) удовлетворяет условиям задачи (10)–(12) и, по крайней мере,
m (¯ m)
−x), x ∈ Ωm, меняя x на −x, получим
принадлежит классу Cλ+ 1 Ω
. В равенстве v(x) = au(x) + bu(
b, то
.
u(x) =
= ±
a a2 − b2
v(x) −
b a2 − b2
v(−x), x ∈ Ω¯ m. (15)
Покажем, что если функция v(x) является решением задачи (10)–(12), то при выполнении условии a ̸= ±b функция u(x) из (15) удовлетворяет всем условиям задачи 1. Действительно, применяя к ра- венству (15) оператор ∆, для точек x ∈ Ωm имеем
∆u(x) =
a a2 − b2
∆v(x) −
b a2 − b2
∆v(−x) =
a a2 − b2
f (x) −
b a2 − b2
f (−x).
Меняя в последнем равенстве x на −x, получим
a b
Отсюда
∆u(−x) = a2 − b2 f (−x) − a2 − b2 f (x).
a∆u(x) + b∆u(x) =
a2 a2 − b2
f (x) −
ab a2 − b2
f (−x) +
ba a2 − b2
(−x) −
b2 a2 − b2
f (x) = f (x),
т. е. функция u(x) удовлетворяет уравнению (1). Далее для точек x ∈ ∂Ωm из граничного условия (11)
имеем
∂u(x)
a ∂v(x)
=
+ b ∂v(−x)
a
= h(x) +
b
h(−x) =
∂xn
∂Ωm
a2 − b2
a
∂xn
∂Ωm
a2 − b2
∂xn
b
∂Ωm
a2 − b2
a2 − b2
=
a2 − b2
[ag(x) − bg(−x)] +
a2 − b2
[ag(−x) − bg(x)] = g(x).
Аналогично для точек x ∈ Γ, используя условие (12), получим
u(x)
Γ
a
=
a2 − b2
a
v(x)
Γ
b
− a2 − b2
v(−x)
Γ
b
a
=
a2 − b2
b ψ(x) − a2 − b2
ψ(−x) =
=
a2 − b2
[aϕ(x) + bϕ(−x)] −
a2 − b2
[aϕ(−x) + bϕ(x)] = ϕ(x).
Далее, так как v(x) ∈ Cλ+ m (Ω¯ m), то v(−x) ∈ Cλ+ m (Ω¯ m), и поэтому функция u(x) из равенства
1 1
1
(15) также принадлежит классу v(x) ∈ Cλ+ m (Ω¯ m). Теорема доказана.
Следующее утверждение показывает, что полученный в теореме 5 показатель гладкости решения
задачи 1 нельзя улучшить.
m
Теорема 6. Пусть a ̸= ±b, f (x), ϕ (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1
нецелое. Тогда существу-
ет функция g (x) ∈ Cλ (∂Ωm) такая, что решение задачи 1 при любом ε > 0 не принадлежит классу
m
Cλ+ 1 +ε (Ω¯
m).
Доказательство. Пусть ϕ (x) ≡ 0. Тогда ψ (x) = aϕ(−x) + bϕ(x) ≡ 0. В задаче 1 выберем функцию
g (x) ∈ Cλ (∂Ωm) таким образом, чтобы решение этой задачи для любого ε > 0 не принадлежало классу
1
Cλ+ 2 +ε (Ω¯ m)
(по теореме 2 такая функция существует). Тогда функция u (x), построенная по формуле
m (¯ m)
(15), является гармонической, удовлетворяет краевым условиям (2),(3), принадлежит классу Cλ+ 1 Ω
m)
1
и u (x) ∈/ Cλ+ m +ε (Ω¯
. Теорема доказана.
Аналогично доказывается следующее утверждение.
n
Теорема 7. Пусть a ̸= ±b, f (x) = 0, 0 < λ < 1 и ϕ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Предположим, что g (x) = xm−1×
×g0 (x), где g0 (x) ∈ Cλ (∂Ωm). Тогда существует решение задачи 1, принадлежащее классу Cλ+1 (Ω¯ m).
Исследования задачи 2
Переходим к изучению задачи 2. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть a ̸= ±b. Если решение задачи 2 существует, то оно единственно.
Доказательство. Предположим, что u (x) — решение однородной задачи 2. Обозначим v(x) =
= au(x) −bu(−x), x ∈ Ωm. Очевидно, что функция v(x) гармоническая в области Ωm и v(x)
Γ
= au(x) −
Γ
− bu(−x)
Γ
∂x
= 0. Далее, так как ∂u(−x)
n
≡ IS ∂
def
∂xn
∂xn
u(x) = − ∂
IS u(x), то
Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией
12 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution
∂v(x)
∂xn
∂u(x)
= a
∂xn
∂
b
∂xn
IS u(x) = a
∂u(x)
∂xn
+ b∂u(−x)
∂xn
. (16)
Тогда из однородного краевого условия (5) следует
∂v(x)
∂u(x)
= a
+ b∂u(−x)
= 0.
∂xn
∂Ωm
∂xn
∂xn
∂Ωm
Итак, если u (x) — решение однородной задачи 2, то функция v(x) = au(x) − bu(−x), x ∈ Ωm будет
решением однородной задачи (10),(11). В силу утверждения теоремы 1 решение этой задачи единственно, и, следовательно, v(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Отсюда
au(x) − bu(−x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m, au(−x) − bu(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m.
Из последней системы следует (a2 − b2) u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Тогда, если выполняется условие a ̸= ±b, то u(x) ≡ 0, x ∈ Ω¯ m. Теорема доказана.
1
Теперь переходим к исследованию существования и гладкости решения задачи 2. Справедливо утвер- ждение.
1
Теорема 9. Пусть a ̸= ±b, λ > 1 − 1 , причем число λ + 1
нецелое, f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯
, g (x) ∈
m m m)
∈ Cλ (∂Ωm), ϕ (x) ∈ Cλ+1 (Γ). Тогда решение задачи 2 существует и принадлежит классу Cλ+ m (Ω¯
m).
Доказательство. Пусть u (x) — решение задачи 2. Обозначим v(x) = au(x) −bu(−x), x ∈ Ωm. Тогда
с учетом равенства (16) для функции v(x) получаем краевую задачу
∆v(x) = af (x) − bf (−x), x ∈ Ωm, (17)
∂v(x)
= g(x), (18)
∂xn
∂Ωm
v(x)
Γ
= aϕ(x) − bϕ(−x) ≡ ψ(x). (19)
Решение задачи (17)–(19) будем искать в виде v(x) = v1(x)+v2(x), где функции v1(x) и v2(x) являются решениями следующих задач:
∆v1(x) = f (x), x ∈ Ωm, v1(x)|∂Ωm = 0, (20)
∂v2(x)
∂v1(x)
∆v2(x) = 0, x ∈ Ωm;
∂xn
∂Ωm
= g(x) −
∂xn
, v2(x)
Γ
= ψ(x), (21)
1
По условию теоремы f (x) ∈ Cλ+ m −1 (Ω¯ m). Тогда решение задачи (20) существует, единственно и при-
1
m) ∂x
( )
надлежит классу Cλ+ m +1 (Ω¯
∈
m
. Следовательно, ∂v1 (x) Cλ+ 1
n
Ω¯ m
. Далее, если ϕ (x) ∈ C
λ+1
(Γ) , g (x) ∈
∂xn
∈ Cλ (∂Ωm), то ψ (x) ∈ Cλ+1 (Γ), а функция g(x)− ∂v1 (x) , по крайней мере, принадлежит классу Cλ (∂Ωm).
m (¯ m)
Тогда по теореме 1 решение задачи (21) существует и принадлежит классу Cλ+ 1 Ω .
Значит, функция v(x) = v1(x) + v2(x) удовлетворяет условиям задачи (10)–(12) и, по крайней мере,
m (¯ m)
— bu(−x), x ∈ Ωm, меняя x на −x, получим,
принадлежит классу Cλ+ 1 Ω
. В равенстве v(x) = au(x) b, то
.
u(x) =
= ±
a a2 − b2
v(x) +
b a2 − b2
v(−x), x ∈ Ω¯ m. (22)
Покажем, что если функция v(x) является решением задачи (17)–(19), то при выполнении условии a ̸= ±b функция u(x) из (22) удовлетворяет всем условиям задачи 2. Действительно, применяя к ра- венству (22) оператор ∆, для точек x ∈ Ωm имеем
∆u(x) =
a
a a2 − b2
∆v(x) +
b
a2 − b2 b
∆v(−x) =
=
a2 − b2
[af (x) − bf (−x)] +
a2 − b2
[af (−x) − bf (x)] =
a2f (x)
−
=
a2 − b2
b2f (x) a2 − b2
= f (x).
Значит, функция u(x) удовлетворяет уравнению (4). Далее для точек x ∈ ∂Ωm из граничного усло-
вия (18) имеем
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 13
∂u(x)
a ∂v(x)
=
b ∂v(−x)
a
= g(x) −
b
g(−x).
∂xn
∂Ωm
a2 − b2
∂xn
∂Ωm
− a2 − b2
∂xn
∂Ωm
a2 − b2
a2 − b2
Меняя в последнем равенстве x на −x, получим
∂u(−x)
a
= g(−x) −
b
g(x).
Тогда
∂u(x)
∂u(−x)
∂xn
∂Ωm
a2
a2 − b2
ab
a2 − b2
ab b2
a + b
∂xn
∂xn
=
∂Ωm
a2 − b2
g(x) −
a2 − b2
g(−x) +
a2 − b2
(−x) −
a2 − b2
g(x) =
−
a2 b2
=
a2 − b2
g(x) = g(x).
Аналогично для точек x ∈ Γ, используя условие (19), получим
u(x)
Γ
a
=
a2 − b2
a
v(x)
Γ
b
+
a2 − b2
v(−x)
Γ
b
a
=
a2 − b2
b
ψ(x) +
a2 − b2
ψ(−x) =
=
a2 − b2
[aϕ(x) − bϕ(−x)] +
m)
a2 − b2
m (¯
[aϕ(−x) − bϕ(x)] = ϕ(x).
)
1
Далее, так как v(x) ∈ Cλ+ m (Ω¯
1
, то v(−x) ∈ Cλ+
Ωm , и поэтому функция u(x) из равенства (22)
1 (¯ )
также принадлежит классу v(x) ∈ Cλ+ m
Ωm . Теорема доказана.
Покажем, что показатель гладкости решения задачи 2, полученный в теореме 9, нельзя улучшить.
Справедливо следующее утверждение.
m
Теорема 10. Пусть f (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1
нецелое. Существует функция g(x) ∈
∈ Cλ(∂Ωm) такая, что решение задачи 2 при любом ε > 0 не принадлежит классу Cλ+1/m+ε(Ω¯ m).
Доказательство. Предположим, что функция v(x˜) является решением задачи
∆v(x˜) = 0, |x| < 1; v(x˜)|Γ = ϕ(x˜). (23) Выберем функцию ϕ(x˜) ∈ Cλ(Γ) так, чтобы v(x˜) ∈ Cλ(|x| � 1) и чтобы для любого ε > 0 выпол-
нялось условие v(x˜) ∈/
Cλ+ε(|x| � 1). Далее, если рассмотрим функцию u(x) = xnv(x˜), то она будет
удовлетворять условиям следующей задачи:
∂u(x)
∆u(x) = 0, x ∈ Ωm;
∂xn
∂Ωm
= ϕ, u(x)
Γ
= 0.
В силу утверждения теоремы 3 при выборе такой функции v(x˜) функция u(x) принадлежит классу
Cλ+1/m(Ω¯ m) и u(x) ∈/ Cλ+1/m+ε(Ω¯ m), ε > 0.
Далее имеют место следующие равенства:
Тогда
∂u(x)
∂xn
= v(x˜),
∂u(−x)
∂xn
= v(−x˜).
∂u(x)
a
∂xn
+ b∂u(−x)
∂xn
= av(x˜) + bv(−x˜)
Γ
= aϕ(x˜) + bϕ(−x˜) ≡ g(x).
Таким образом, функция u(x) = xnv(x˜) принадлежит классу Cλ+1/m(Ω¯ m) и u(x) ∈/ Cλ+1/m+ε(Ω¯ ), ε > 0,
а также удовлетворяет условиям
∂u(x)
∂u(Sx)
Теорема доказана.
∆u(x) = 0, x ∈ Ω; a
+ b
∂xn
∂xn
∂Ω
= g(x), u(x)
Γ
= 0.
Замечание 2. Если в задаче 2 выполняется один из условий a = ±b, то можно показать, что од-
нородная задача имеют ненулевые решения. Например, если рассмотрим функцию u (x) = xnv (x˜), где
v (x˜) — решение задачи (23), то ∆u(x) = 0, x ∈ Ω; u(x)
Γ
= 0. Если функция v (x˜) дополнительно об-
ладает свойством четности v (x˜) = v (−x˜) или нечетности v (−x˜) = −v (x˜), то функция u (x) = xnv (x˜)
будет удовлетворять граничному условию
Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией
14 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution
∂u(x)
∂u(−x)
= 0, a = −b
или
∂xn −
∂xn
∂Ωm
∂u(x)
+
∂u(−x)
= 0, a = b.
∂xn
∂xn
∂Ωm
Об авторах
К. Ж. Назарова
Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави
Автор, ответственный за переписку.
Email: gjnazarova@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2093-1879
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
Казахстан, 161200, Казахстан, г. Туркестан,пр. Б. Саттарханова, 29Б. Х. Турметов
Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави
Email: turmetovbh@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7735-6484
профессор, доктор физико-математических наук
Казахстан, 161200, Казахстан, г. Туркестан,пр. Б. Саттарханова, 29К. И. Усманов
Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави
Email: y_kairat@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1377-4633
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
Казахстан, 161200, Казахстан, г. Туркестан,пр. Б. Саттарханова, 29Список литературы
- [1] Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongresse Zurich. 1932. Vol. 1. P. 132–151. URL: https://studylibfr.com/doc/1054399/sur-la-th%C3%A9orie-des-%C3%A9quations-int%C3%A9grales-et-ses-applications.
- [2] Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston: Birkh¨auser, 2001. 427 p. DOI: http://doi.org/10.1007/978-1-4612-0183-0
- [3] Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. Москва: Наука, 1977. 448 с. URL: https://booksee.org/book/578151.
- [4] Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 8. С. 1126–1128. URL: http://www.mathnet.ru/links/84f04cf1cbc2cfa20e42c2d0e4da812c/de11126.pdf.
- [5] Андреев А.А., Огородников Е.Н. К постановке и обоснованию корректности начальной краевой задачи для одного класса нелокальных вырождающихся уравнений гиперболического типа // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер.: Физико-математические науки. 2006. № 43. С. 44–51. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu452.
- [6] Баскаков А.Г., Ускова Н.Б. Метод Фурье для дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов // Уфимский математический журнал. 2018. Т. 10, № 3. С. 11–34. URL: http://www.mathnet.ru/links/a8d354bb845125c6ec03b3fef20e3a6c/ufa433.pdf.
- [7] Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Классическое решение для смешанной задачи с инволюцией // Доклады Академии наук. 2010. Т. 435, № 2. С. 151–154. URL: https://istina.ipmnet.ru/publications/article/224014071/
- [8] Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Обоснование метода Фурье в смешанных задачах с инволюцией // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, №.4. С. 3–12. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2011-11-4-3-12.
- [9] Линьков А.В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 1999. Т. 12, № 2. С. 60–65. URL: https://studylib.ru/doc/2719636/obosnovanie-metoda-fur._e-dlya-kraevyh-zadach-s-involyutivnym.
- [10] Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185, № 4. C. 739–740. URL: http://www.mathnet.ru/links/082eaf65360bc8ae00527123d59756ba/dan34529.pdf.
- [11] Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 26. С. 3–132. URL: http://www.mathnet.ru/links/729dedc4db3fb10a104bedd2e96a4e1a/cmfd116.pdf.
- [12] Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. II // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. Т. 33. С. 3–179. URL: http://www.mathnet.ru/links/27bb7dc74e7aa9bc0c9b560f7070f6a3/cmfd133.pdf
- [13] Karachik V.V., Sarsenbi A., Turmetov B.Kh. On the solvability of the main boundary value problems for a nonlocal Poisson equation // Turkish Journal of Mathematics. 2019. Vol. 43, No. 3. P. 1604–1625. DOI: http://doi.org/10.3906/mat-1901-71.
- [14] Karachik V.V., Turmetov B.Kh. Solvability of one nonlocal Dirichlet problem for the Poisson equation // Novi Sad Journal of Mathematics. 2020. Vol. 50, № 1. P. 67–88. DOI: http://doi.org/10.30755/NSJOM.08942.
- [15] Przeworska-Rolewicz D. Some boundary value problems with transformed argument // Commentationes Mathematicae. 1974. Vol. 17. P. 451–457. URL: http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.ojs-doi-10_14708_cm_v17i2_5790/c/5790-5331.pdf.
- [16] Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On solvability of some nonlocal boundary value problems for polyharmonic equation // Kazakh Mathematical Journal. 2019. Vol. 19, № 1. P. 39–49. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39528389.
- [17] Алимов Ш.А. Об одной задаче с наклонной производной // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, № 10. С. 1738–1751. URL: http://www.mathnet.ru/links/13fbcb22f29f7e709f94c414c81ba104/de4370.pdf.
- [18] Алимов Ш.А. Об одной краевой задаче // Доклады АН СССР. 1980. Т. 252, № 5. С. 1033–1034.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)