К ТЕОРИИ НЕТЕРА ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
- Авторы: Джангибеков Г.1, Одинабеков Д.М.2
-
Учреждения:
- Таджикский национальный университет
- Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, г. Душанбе, Таджикистан
- Выпуск: Том 26, № 1 (2020)
- Страницы: 7-13
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/8222
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-1-7-13
- ID: 8222
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Известно, что общая теория многомерных сингулярных интегральных операторов по всему пространству En построена С.Г. Михлиным. Показано, что в двумерном случае, если символ оператора не обращается в нуль, то имеет место теория Фредгольма. Что касается операторов по ограниченной области, то здесь граница области существенно влияет на разрешимость таких операторных уравнений. В статье рассматриваются двумерные сингулярные операторы с непрерывными коэффициентами по ограниченной области, которые широко применяются во многих задачах теории дифференциальных уравнений в частных производных. В связи с этим представляет интерес установление критериев
нетеровости таких операторов в виде явных условий по их коэффициентам. В зависимости от 2m + 1 компонентов связанности определяются необходимые и достаточные условия нетеровости таких операторов и дается формула для вычисления индекса. Полученные результаты применяются к задаче Дирихле для общих эллиптических систем четвертого порядка.
Полный текст
Пусть D — конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Γ и содержащая внутри точку z = 0; an(z), bn(z) (n = 0, ±1, . . . ± m)
∪
— комплекснозначные непрерывные в D = D Γ функции. В пространстве Lp
β−2/p
(D), (1 < p < ∞,
0 < β < 2)
Lp
β−2/p p p p
β−2/p = {f (z) : |z|
f (z) = F (z) ∈ L (D), ||f ||Lβ
−2/p
= ||F ||L },
рассмотрим сингулярный интегральный оператор
m
A ≡ ∑ (an(z)I + bn(z)K)Sn, (1)
n=−m
где I – тождественный оператор, операторы K, S действуют по формулам
1 ∫∫
(Kf )(z) = f (z), (Sf )(z) = − π
D
e2iθ
f (ζ)dsζ ,
|ζ − z|2
Sn – n-я степень оператора S.
S−n = Sn = KSnK, θ = arg(ζ
— z), z
∈ D,
здесь черта обозначает операцию комплексного сопряжения, dsζ – элемент плоской меры Лебега, интеграл понимается в смысле главного значения по Коши [1]. При этом, хотя функции, входящие
в Lp
β−2/p
(D), являются комплекснозначными, само пространство будем считать вещественным, т. е.
рассматривать его как линейное множество над полем вещественных чисел. Тогда оператор A будет
обычным линейным ограниченным оператором в Lp
β−2/p
(D), что следует, например, из [2].
Интегральные операторы вида A широко применяются во многих задачах теории дифференциальных
уравнений в частных производных [3–5]. В связи с этим представляет интерес установить критерии нетеровости таких операторов в виде явных условий на их коэффициенты. Некоторые частные случаи оператора A изучены в работах [6–9].
σ
Поскольку символ оператора Sn [1] равен ( σ )n (σ = σ1 + iσ2 ̸= 0), то согласно [10] свойства
оператора U определяются свойствами матрицы
( P2m(z, t) Q2m(z, t) )
GA(z, t) =
, (2)
где
m
P2m(z, t) = t
m
∑
n=−m
Q2m(z, t) P2m(z, t)
n 2m
a (z)tm+n, Q (z, t) = tm
m
∑
n=−m
bn(z)tm−n,
и для нетеровости оператора A в Lp
β−2/p
необходимо, чтобы
det GA(z, t) ≡ |P2m(z, t)|2 − |Q2m(z, t)|2 ̸= 0 для всех z ∈ D, |t| = 1. (3)
Множество комплексных матричных полиномов второго порядка степени 2m, удовлетворяющих условию (2), будем обозначать через F 2. Два полинома G1(t) и G2(t) из F 2 назовем гомотопными (пишется
G1(t) ∼ G2(t)), если существует семейство G (t; τ ) матричных полиномов из F 2, непрерывно зависящих
от действительного параметра τ, 0 � τ � 1, такое, что
G (t; 0) ≡ G1(t), G (t; 1) ≡ G2(t).
Соотношение гомотопии [4] разбивает F 2 на классы гомотопии — связные, открытые компоненты множества F 2.
Соответственно неравенству (2) возможны два случая:
а) det GA(z, t) > 0 т. е. |P2m(z, t)| > |Q2m(z, t)| для всех z ∈ D, |t| = 1;
b) det GA(z, t) < 0 т. е. |P2m(z, t)| < |Q2m(z, t)| для всех z ∈ D, |t| = 1.
Множество матричных полиномов, удовлетворяющих условию (2), а), b), будем обозначать
соответственно через F+2, F
2. Если G (t) ∼ G (t), то G (t) и G (t) принадлежат одному и тому же
− 1 2 1 2
из этих множеств. В дальнейшем будем рассматривать лишь F+2.
Итак, P2m(z, t) есть комплексный невырождающийся полином степени 2m. Пусть qk (k =
= 1, 2, . . . 2m) — комплексные корни уравнения P2m(z, t) = 0. Согласно (2), a) эти корни не лежат на окружности |t| = 1, т. е. |qk| ̸= 1. Возможно, априори 2m + 1 случаев:
j0) |qk| > 1, k = 1, 2, . . . , 2m, т. е. все корни лежат вне круга |t| = 1;
jν ) |qk| < 1, k = 1, 2, . . . ν, т. е. внутри круга |t| = 1 лежат ν корней.
(4)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 7–13
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 7–13 9
Класс матричных полиномов из F+2, для которого имеет место один из случаев (4), будем обозначать
соответственно через Mjν , ν = 0, 1, 2, . . . , 2m. Далее в зависимости от класса Mjν находятся условия, при выполнении которых матрица GA(τ, t), τ ∈ Γ, |t| = 1 факторизуется с нулевыми частными индексами.
Тогда из [8] следует, что оператор A нетеров в пространствах Lp
β−2/p
(D), 1 < p < ∞, 0 < β < 2.
Введем обозначения
∆ν = |aν|2 − |bν|2, λνn = aν an − bν bn, µνn = aν bn − bν an,
2m
M = max|t|=1Re
(∑
j=1
λj t
j ), ν = 0, ±1, . . . ± m, n = ±1, . . . ± m,
где функции λj явно выражаются через коэффициенты оператора A.
Теорема 1. Для нетеровости оператора A в лебеговых пространствах Lp
β−2/p
(D), 1 < p < ∞,
0 < β < 2 необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга)
условий:
∆0(z) > M (z) + (M 2(z) +
m
∑ (|µon(z)|2 − |λon(z)|2))
n=−m
1/2
при ∀z ∈ D, (5)
∆ν (z) > M (z) + (M 2(z) + ∑m
n= m
−
(|µνn(z)|2 − |λνn(z)|2))
1/2
, ν = ±1, . . . ± m, 0,
(6)
∏ν
k=1 Q2m(τ, qk (τ )) ̸= 0 при ∀ z ∈ D и τ ∈ Γ,
где qk (τ ) – корни уравнения P2m(τ, t) = 0, τ ∈ Γ, |t| = 1, такие, что |qk (τ )| < 1 для ∀τ ∈ Γ. При этом, если выполнено (5), то индекс оператора A равен нулю; если выполнено (6), то
ν
κ = 2 ∑ IndΓQ2m(τ, qk (τ )).
k=1
В качестве применения результатов теоремы 1 в D = {z : |z| < 1} рассмотрим общую эллиптическую систему двух дифференциальных уравнений 4-го порядка
4 [ ∂4 ω
]
∂4 ω
∑
j=0
a4−j,j (z) ∂z4−j ∂zj + b4−j,j (z) ∂z4−j ∂zj +
3 [
+ ∑ ak,j (z) ∂
k+j ω + b
(z) ∂
k+j ]
ω
= g(z),
(7)
k+j=0
∂zk ∂zj
k,j
∂zk ∂zj
где ω(z) = u(x, y) + iv(x, y), коэффициенты уравнения ak,j (z), bk,j (z) (k, j = 0, . . . , 4) будем считать непрерывными в D, g(z) ∈ Lp(D), 2 < p < ∞,
∂ 1 ( ∂
=
∂ )
+ i ,
∂ 1 ( ∂
=
∂ )
— i .
∂z 2 ∂x ∂y
∂z 2 ∂x ∂y
По главной части системы (7) построим матрицу-функцию
4 j 4 j 4
j 4 j
∑ a4−j,j (z)σ σ −
Gz (σ) = j=0
∑ b4−j,j (z)σ σ −
j=0 .
4
j
∑ b4−j,j (z)σ σ
j=0
4−j
4
j
∑ a4−j,j (z)σ σ
j=0
4−j
Эллиптичность системы (7) означает, что для любой точки z ∈ D и любого неравного нулю комплексного числа σ = σ1 + iσ2 должно выполняться неравенство det Gz (σ) ̸= 0,
Очевидно, что
где
det Gz (σ) = |Pz (t)|2 − |Qz (t)|2 ̸= 0,
4 4
Pz (t) = t
4 ∑
j=0
a4−j,j (z)t
4+j
, Qz (t) = t
4 ∑
j=0
b4−j,j (z)t
4−j
, |t| = 1.
Как и в п. 1, разобьем эллиптические системы (7) на гомотопические классы jν (j = 0, 1, . . . , 4).
Две эллиптические системы из множества всех эллиптических систем (7) с одинаковой главной частью такой, что Gz (σ) ∈ F +, можно тогда и только тогда соединить непрерывным путем в F +, если
характеристические матричные полиномы этих систем гомотопны. Известно [4], что соотношение гомотопии разбивает F + на пять классов гомотопии — связанные открытые компоненты:
класс j0 : Ind|t|=1Pz (t) = 0, т. е. полином Pz (t) внутри единичного круга |t| = 1 корней не имеет;
Джангибеков Г., Одинабеков Д.М. К теории Нетера двумерных сингулярных операторов ...
10Dzhangibekov G., Оdinabekov J.M. On the Noether theory of two-dimensional singular operators ...
класс jν (1 � ν � 4) : Ind|t|=1Pz (t) = ν, т. е. полином Pz (t) внутри единичного круга |t| = 1 имеет
ровно ν корней.
Эти классы образуют полную систему множества F +, т. е. F 1 и F 2 из F + принадлежат некоторому
z z
классу jν (ν = 0, 1, 2, 3, 4) тогда и только тогда, когда F 1 ∼ F 2.
z z
p
Задача Дирихле. Найти функцию ω(z) из класса W 4(D) ∩ C(D), удовлетворяющую внутри G
уравнению (7), а на ее границе
Γ двум краевым условиям
1Γ
ω(z)1
1
∂ω 1
∂n 1
= 0,
1Γ
= 0, (8)
∂n
где ∂ω
означает производную по направлению внешней нормали в точках контура Γ. Некоторые частные
случаи задачи (8) для системы (7) изучены в работе [11].
p
Известно [3–5], что любая комплекснозначная функция класса W 4(D) ∩ C(D), удовлетворяющая на
границе Γ однородным краевым условиям (8), представлена в виде
1 ∫∫
ω(z) = − π
D
G4(z, ζ)f (ζ)dsζ (9)
с произвольной комплекснозначной плотностью f (z) ∈ Lp(D), p > 1, где G4(z, ζ) — функция Грина бигармонического уравнения области D :
11 − zζ 12
1
1
G4(z, ζ) = |ζ − z|2 ln1
1 − (1 − |z|2)(1 − |ζ|2).
1 ζ − z 1
Очевидно, что все производные от функции ω(z) по z и z до 3-го порядка дают интегральные операторы с непрерывными ядрами или с ядрами, имеющими слабую особенность, и, следовательно,
являются вполне непрерывными в Lp(D) (1 < p < ∞) операторами.
4
∂z4
Непосредственный подсчет показывает, что ∂ ω
определяется по формуле
∂4ω
2 ∫∫
где
∂z4 = π
D
K1(z, ζ)f (ζ)dsζ , (10)
1
K (z, ζ) = ζ − z
(ζ − z)3
+
3|ζ − z|2ζ4
(1 − zζ)4
4(ζ − z)ζ3
— zζ
− (1 )3
. (11)
Следует отметить, что первое слагаемое ядра K1(z, ζ) дает сингулярный интегральный оператор
(S2f )(z) :
(S2f )(z) = 2 ∫∫
e4iθ
f (ζ)dsζ , θ = arg(ζ − z), z ∈ D,
π |ζ − z|2
D
а два других слагаемых имеют особенность лишь на границе Γ области D, поэтому они не дают вполне непрерывные операторы. Однако, если ζ ∈ Γ, т. е. когда |ζ| = 1, тогда K1(z, ζ) = 0, следовательно, в
целом ядро K1(z, ζ) имеет сингулярную особенность только внутри области D.
4
∂z3 ∂z
Аналогично вычислив производную ∂ ω
∂4ω
, получим
2 ∫∫
где
∂z3∂z = π
D
K2(z, ζ)f (ζ)dsζ , (12)
1
2(ζ − z)ζ3
3ζ2
K2(z, ζ) = − (ζ
— zζ
−
z)2 − (1 )3
+
(1 − zζ)2
. (13)
Первое слагаемое ядра K2(z, ζ) дает сингулярный интегральный оператор (Sf )(z) :
1 ∫∫
(Sf )(z) = − π
D
e2iθ
ζ − ∈
f (ζ)ds , θ = arg(ζ z), z D.
|ζ − z|2
∈
Отметим также, что K2(z, ζ) = 0 при ζ Γ.
4
∂z2 ∂z2
Вычислив производную ∂ ω
, получим
∂4ω
∂z2∂z2 = f (z).
Далее, переходя в формулах (10), (12) к комплексно-сопряженным значениям, находим другие производные от искомой функции ω(z).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 7–13
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 7–13 11
Подставляя в исходное дифференциальное уравнение (1) значения производных функций ω(z), для определения функции f (z) получим следующее двумерное сингулярное интегральное уравнение:
∗
2
∗
(a2,2I + b2,2K)f + (a4,0I + b0,4K)S2f + (a0,4I + b4,0K)S f +
+(a3,1I + b1,3K)S∗f + (a1,3I + b3,1K)S∗f + Tf = g,
(14)
здесь f (z) – искомая, g(z) – заданная функции класса Lp(D) (1 < p < ∞), а (Kf )(z) = f (z) – оператор перехода к комплексно-сопряженным значениям, T – вполне непрерывный оператор, а сингулярные
операторы S2, S2 , S , S
определяются по формулам
∗ ∗ ∗ ∗
(S2f )(z) = 2 ∫∫
2
K (z, ζ)f (ζ)ds , S = KS2K,
∗ π 1
D
ζ ∗ ∗
1 ∫∫
(S∗f )(z) = π
D
K2(z, ζ)f (ζ)dsζ , S∗ = KS∗K.
Далее к сингулярным интегральным уравнениям (14) применяется теорема 1, и в зависимости от гомотопических классов jν (ν = 0, 1, . . . , 4) для задачи Дирихле (8) общей эллиптической системы (7) получены эффективные необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для подсчета индекса. Аналогичные результаты получены для задачи Неймана системы (7).
Результаты пункта 1 опубликованы в [12].
Об авторах
Г. Джангибеков
Таджикский национальный университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: gulkhoja@list.ru
ORCID iD: 0000-0001-8804-4400
доктор физико-математических
наук, профессор кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений
Д. М. Одинабеков
Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, г. Душанбе, Таджикистан
Email: jasur_79@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-9851-9895
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий
кафедрой фундаментальных и естественных наук
Список литературы
- Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Москва: Физматгиз, 1962, 254 с. URL: https://booksee.org/book/578442.
- Stein E.M. Note on singular integrals // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 8. P. 250–254.
- Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. Москва, 1959, 652 с. URL: http://bookfi.net/book/442081.
- Боярский Б.В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничные задачи теории функции: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Москва, 1960.
- Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. Москва: Наука, 1987, 415 с. URL:
- https://b-ok.africa/book/2929918/866958.
- Бойматов К.Х., Джангибеков Г. Об одном сингулярном интегральном операторе // Успехи
- математических наук. 1988. T. 43. Bып. 3(261). C. 171–172. URL: http://www.mathnet.ru/links/
- c9d015ca602ba3d3886162c512c53f16/rm1900.pdf.
- Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем уравнений на плоскости // ДАН СССР. 1993. T. 330. № 4. C. 415–419. URL: http://www.mathnet.ru/links/bd5695ff758d87d5a246093844b3dfdb/dan5168.pdf.
- Джангибеков Г., Худжаназарова Г. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области // ДАН России. 2004. T. 396. № 4. C. 449–454. URL:
- https://www.elibrary.ru/item.asp?id=17352487.
- Джангибеков Г., Одинабеков Д.М., Худжаназарова Г.Х. Об условиях нетеровости и индексе одного класса сингулярных интегральных операторов по ограниченной односвязной области // Вестник МГУ. Cер. 1. Математика, Механика. 2019. № 2. C. 9–14. URL: http://mi.mathnet.ru/vmumm607.
- Duduchava R.V. On multidimensional singular integral operators II: The case of compact manifolds. Journal of Operator Theory, 1984, vol. 11, no. 1, pp. 41–76. URL:
- https://www.researchgate.net/publication/266063688_On_multidimensional_singular_integral_operators_I_The_half-space_case.
- Джангибеков Г., Худжаназарова Г. О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений
- четвертого порядка на плоскости // ДАН России. 2004. T. 398. № 2. C. 151–155. URL: https://
- www.elibrary.ru/item.asp?id=17352913.
- Джангибеков Г., Одинабеков Д.М. К теории нетера двумерных сингулярных операторов с четной
- характеристикой по ограниченной области // Современные проблемы математики и механики: материалы международной конференции, посвященной 80-летию академика В.А. Садовничего. Москва: Изд-во МГУ, 2019, C. 50–53. doi: 10.29003/m978-5-317-06111-1.