К задаче оптимального управления переориентацией оси вращения космического аппарата

Полный текст

Введение
Рассматривается управляемое движение динамически симметричного космического аппара-
та (КА) вокруг центра масс. Исследованию оптимальной по быстродействию переориентации
КА посвящен ряд работ [1–5]. Например, в [1; 2; 5] рассмотрены задачи оптимального управ-
ления переориентацией оси вращения КА, являющейся осью его динамической симметрии, в
классе движений с одним направленным плоским поворотом. Соответственно, в [1; 3] были
поставлены и решены задачи оптимального управления в предположении, что угловая ско-
рость закрутки КА в течение маневра остается постоянной, а в [2] — в предположении, что
она может регулироваться с помощью автономной системы реактивных двигателей, когда
допустимые управляющие моменты ограничены поверхностью круглого прямого цилиндра.
В настоящей статье рассматривается также постановка взаимной задачи к задаче наискорейшей
переориентации оси вращения КА. Эти задачи аналогичны задаче оптимального управления,
рассмотренной в [2], но отличающиеся тем, что множество допустимых управляющих моментов
КА здесь ограничивается эллипсоидом вращения. Такую схему управления обычно называют
схемой «поворотного реактивного двигателя» [4]. В этом случае, как и в [2], требуется найти
оптимальное управление наискорейшей переориентацией оси вращения КА в классе движений
с одним направленным (в заданной плоскости) поворотом в инерциальном пространстве на
заданный угол γT: 0 < γT ≤ π. Кроме того, с целью анализа постановки рассматриваемой
задачи оптимального управления в настоящей статье также приводятся результаты ее сведения
к соответствующей краевой задаче и к изопериметрической задаче вариационного исчисления.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 76–88
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 76–88 77 из 88
1. Уравнения управляемого движения оси вращения КА
в заданной плоскости
Пусть оси связанной системы координат КА Oxyz являются главными центральными осями
инерции, а ось Oz является также осью динамической симметрии КА. Тогда Jx = Jy = J и в
общем случае Jz ̸= J, где Jx, Jy, Jz — главные центральные моменты инерции КА. Управление
движением КА относительно центра масс и, соответственно, управление движением оси Oz в
заданной плоскости P с нормалью eω осуществляется в рассматриваемой задаче с помощью
моментов, создаваемых «поворотным реактивным двигателем» [4]:
Mx = auνx; My = auνy; Mz = azuνz, (1.1)
где a и az — постоянные, характеризующие эффективность управляющего воздействия «пово-
ротного реактивного двигателя»; νx, νy, νz — направляющие косинусы: ν2
x + ν2
y + ν2
z = 1; u —
степень дросселирования: 0 ≤ u ≤ 1.
В начальный момент пусть ось Oz совмещена с осью OZ некоторой инерциальной системы
координат OXYZ, а угол между осью Ox (или осью Oy) и осью OX (или осью OY) равен φ0.
Если обозначить через e0 орт оси Oz в начальный момент и через eT — в конечный момент
маневра ее переориентации, то нормаль к плоскости P определяется так: eω = e0 × eT/ sin γT,
и e0 · eT = cos γT. Угол между осью OX и нормалью eω равен δ, а между осью Ox и осью
OX в начальный момент, соответственно, δ − φ0. Угол между осью Ox и нормалью eω в
произвольный момент времени в течение маневра будет равен квазикоординате φ, равной
φ(t) = φ0 +
Rt
0
ωz(ξ)dξ.
Если γ — текущий угол поворота оси Oz (угол между осью Oz и OZ), ω = dγ
dt — ее угловая
скорость, а Ω — мгновенная угловая скорость закрутки КА вокруг оси Oz, то проекции вектора
угловой скорости КА на оси связанной системы координат Oxyz будут равны [2; 3]:
ωx = ω cos(δ − φ); ωy = ω sin(δ − φ), ωz = Ω. (1.2)
Дополнительно введем направляющие косинусы для экваториальной составляющей вектора
управляющего момента:
νэ
x = νx(ν2
x + ν2
y)−1
2 ; νэ
y = νy(ν2
x + ν2
y)−12
,
где (νэ
x )2 + (νэ
x )2 = (nэ)2 = 1, а nэ — управляющий параметр, который равен nэ = ±1. Можно
записать, что νx = νэ
x (ν2
x + ν2
y)
12
и νy = νэ
y (ν2
x + ν2
y)
12
, где ν2
x + ν2
y = 1 − ν2
z . Учитывая эти
соотношения и подставляя выражения (1.1) и (1.2) в динамические уравнения Эйлера [6],
получим
dω
dt
cos(δ − φ) + σωΩsin(δ − φ) =
a
J
u(1 − ν2
z )
1
2 νэ
x ; (1.3)
dω
dt
sin(δ − φ) − σωΩcos(δ − φ) =
a
J
u(1 − ν2
z )
1
2 νэ
y ; (1.4)
dΩ
dt
=
az
Jz
uz, (1.5)
где обозначено uz = uνz и σ = Jz/J.
Исключая направляющие косинусы для экваториальной составляющей управляющего
момента из первых двух уравнений системы (1.3) и (1.4), получим

dω
dt
2
+ σ2ω2Ω2 = b2(u2 − u2z
)(nэ)2,
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. К задаче оптимального управления переориентацией оси вращения...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. On the problem of optimal control of rotation axis reorientation... 78 из 88
где b = a/J. С учетом этого уравнения и кинематического соотношения dγ
dt = ω, а также
(nэ)2 = 1 получим следующую систему уравнений управляемого движения оси динамической
симметрии КА:
dγ
dt
= ω;
dω
dt
= bn(u2 − u2z
− k2ω2Ω2)
1
2 , (1.6)
где n = 0,±1 — управляющий параметр, κ = σ/b = Jz/a. Соответственно, уравнение управле-
ния закруткой КА вокруг оси Oz получается из уравнения (1.5):
dΩ
dt
= bzuz, (1.7)
где bz = az/Jz.
Множество допустимых управлений для системы (1.6), (1.7) определяется следующими
ограничениями:
n = 0,±1; 0 ≤ κωΩ ≤ u ≤ 1; (1.8)
0 ≤ u2z
≤ u2 − k2ω2Ω2. (1.9)
Отметим, что компонента κωΩ в (1.9) пропорциональна гироскопическому моменту, возникаю-
щему при движении оси Oz и при Ω ̸= 0, то есть ограничение на величину uz = uνz необходимо
связано с выполнением условий плоского движения оси Oz.
Граничные условия для системы дифференциальных уравнений (1.6), (1.7) имеют следую-
щий вид:
γ(0) = 0; ω(0) = 0; Ω(0) = Ω0; (1.10)
γ(T) = γT; ω(T) = 0; Ω(T) = Ω0, (1.11)
где γT и Ω0 — заданные параметры маневра (0 < γT ≤ π и Ω0 > 0), а T — длительность
маневра, которую по условиям рассматриваемой здесь задачи требуется минимизировать.
Итак, теперь можно сформулировать следующую задачу оптимального управления, в
которой требуется минимизировать функционал
J0 =
ZT
0
dt (1.12)
на допустимом множестве, определяемом условиями (1.6)–(1.11).
2. Сведение исходной задачи оптимального управления
к взаимной задаче
Следуя [1; 2], вместо задачи оптимального управления (1.6)–(1.12) можно рассматривать
взаимную для нее задачу, в которой требуется переориентировать ось Oz КА за фиксированное
время T на максимальный угол γT. С учетом первого уравнения в (1.6) эта задача будет
эквивалентна задаче максимизации функционала
γT =
ZT
0
ω dt (2.1)
на множестве, которое определяется условиями (1.6)–(1.9), а также при учете граничных
условий (1.10), (1.11) в виде
ω(0) = 0; Ω(0) = Ω0; ω(T) = 0; Ω(T) = Ω0. (2.2)
Доказательство эквивалентности задач (1.6)–(1.12) и (1.6)–(1.9), (2.1), (2.2) аналогично
доказательству эквивалентности взаимных задач, которое приведено в [1].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 76–88
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 76–88 79 из 88
Нормируя переменные γ, ω и Ω, систему уравнений (1.6), (1.7) приведем к следующему
виду:
dy
dτ
= n(u2 − u2z
− p2y2z2)
1
2 ;
dz
dτ
= uz

dx
dτ
= y

, (2.3)
где τ = t/T, x = (bT2)−1γ, y = (bT)−1ω, z = (bzT)−1Ω, p = κbbzT2 — параметр. Тогда с
учетом указанных преобразований с точностью до постоянного множителя функционал (2.1)
можно заменить функционалом
J1 =
Z1
0
ydτ (J1 = xT = (bT2)−1γT, xT = x(1)). (2.4)
Соответственно, граничные условия (2.2) здесь также следует переписать в виде:
y(0) = 0; z(0) = z0; y(1) = 0; z(1) = z0, (2.5)
где z0 = (bzT)−1Ω0 > 0.
Таким образом, вместо задачи (1.6)–(1.12) далее можно рассматривать эквивалентную ей
задачу максимизации функционала (2.4) при условиях (2.3), (2.5) и допустимых управлениях:
n = 0,±1; 0 ≤ u ≤ 1; 0 ≤ u2z
≤ u2 − p2y2z2. (2.6)
Можно показать, что на основе принципа оптимальности В.Ф. Кротова [1; 7] решение задачи
(2.3)–(2.6), как и в [2], сводится к построению верхней границы функции y(τ) на интервале [0, 1],
которая доставляет абсолютный максимум функционалу (2.4). Получаемая при этом программа
оптимального управления: n˜ (τ); u˜(τ); u˜z(τ), ∀τ ∈ [0, 1], в силу симметрии граничных условий
(2.5), также будет симметрична относительно момента времени τ = 1/2, а именно:
n˜ (τ) = −n˜ (1 − τ); u˜(τ) = u˜(1 − τ); u˜z(τ) = −u˜z(1 − τ), ∀τ ∈ [0, 1].
То же самое имеет место и для оптимальной траектории задачи: ˜ y(τ), ˜z(τ), которая получается
для указанной программы управления n˜ (τ), u˜(τ), u˜z(τ) и граничных условий (2.5):
˜ y(τ) = ˜ y(1 − τ); ˜z(τ) = ˜z(1 − τ); ˜ x(τ) = xT − ˜ x(1 − τ), ∀τ ∈ [0, 1].
Кроме того, здесь же можно показать, что функция ˜ y(τ) на интервале [0, 1/2) является
возрастающей, а функция ˜z(τ) — убывающей; на интервале (1/2, 1], наоборот, функция ˜ y(τ) —
убывающая, а ˜z(τ) — возрастающая функция. Соответственно, на интервале [0, 1/2) имеет
место: n˜ (τ) ≥ 0 и u˜z(τ) ≤ 0 — это участок «разгона» оси Oz; интервал (1/2, 1] — участок
«торможения» оси Oz, на котором n˜ (τ) ≤ 0 и u˜z(τ) ≥ 0. Очевидно, что если на некоторых
конечных подынтервалах ˜n(τ) = 0, то на этих же подынтервалах имеет место: d ˜ y(τ)
dτ = 0, а
также выполняется условие
˜ u2(τ) − ˜ u2z
(τ) − p2 ˜ y2(τ) ˜z2(τ) = 0.
Более того, можно показать, что для оптимального управления здесь, как и в [2], имеет
место:
u˜(τ) = 1, ∀τ ∈ [0, 1]. (2.7)
Действительно, пусть uz(τ) = u˜z(τ), где u˜z(τ) — оптимальное управление. В этом случае
решение второго уравнения (2.3) — z(τ) = z˜(τ). Соответственно, далее примем u˜(τ) = 1,
∀τ ∈ [0, 1/2), имея в виду, что в общем случае u(τ) = 1 + δu(τ), где δu(τ) ≤ 0, ∀τ ∈ [0, 1/2),
и при этом выполняется условие [1 + δu(τ)]2 − ˜ u2z
(τ) − p2y2(τ) ˜z2(τ) ≥ 0. Первое уравнение в
(2.3) тогда принимает вид:
dy
dτ
= ˜n(u2 − ˜ u2z
− p2y2 ˜z2)
1
2 ,
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. К задаче оптимального управления переориентацией оси вращения...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. On the problem of optimal control of rotation axis reorientation... 80 из 88
где y(τ) = ˜ y(τ) + δy(τ). Проводя линеаризацию этого уравнения в окрестности оптимальной
траектории, получим
dδy
dτ
=
˜n(δu − p2 ˜ y ˜z2δy)
(1 − ˜ u2z
− p2 ˜ y2 ˜z2)
1
2
.
Выберем такой подынтервал [τ0, τ0 + ε) ∈ [0, 1/2), на котором ˜n(τ) = 1; здесь 0 ≤ τ0 <
< τ0 + ε < 1/2, а ε > 0 — некоторое малое число. Пусть
u(τ) =

1 − δu0, ∀τ ∈ [τ0, τ0 + ε);
1, ∀τ ∈ [0, 1/2)\[τ0, τ0 + ε),
где 0 < δu0 < 1 −
p
˜ u2z
(τ0) + p2 ˜ y2(τ0) ˜z2(τ0). Поэтому δy(τ0 + ε) ≤ 0. Но тогда отсюда сле-
дует, что ∀τ ∈ [τ0 + ε, 1/2) имеет место: δy(τ) ≤ 0, и, стало быть, для функционала (2.4),
вычисляемого на интервале [0, 1/2), получим
Z1/2
0
y(τ)dτ <
Z1/2
0
˜ y(τ)dτ.
Следовательно, u˜(τ) = 1, ∀τ ∈ [0, 1/2). То же самое имеет место и ∀τ ∈ (1/2, 1].
В конечном счете эквивалентная задача (2.3)–(2.6) с интервалом управления [0, 1] сводится
к задаче с интервалом управления [0, 1/2], в которой с учетом (2.4) требуется максимизировать
функционал
J2 =
Z1/2
0
ydτ (2.8)
на множестве решений системы дифференциальных уравнений (2.3) с учетом (2.6), (2.7), то
есть на траекториях управляемой системы:
dy
dτ
= n(1 − u2z
− p2y2z2)
1
2 ;
dz
dτ
= uz; (2.9)
для которой заданы только начальные условия
y(0) = 0; z(0) = z0, (2.10)
и выполняются следующие ограничения для управляющих параметров:
n = 0, 1; 0 ≤ |δuz| ≤ (1 − p2y2z2)
1
2 . (2.11)
Очевидно, что в этом случае исходная задача (1.6)–(1.12) сведена к взаимной задаче
(2.8)–(2.11) со свободным правым концом, то есть значения y(1/2) > 0 и z(1/2) ≥ 0 для
которой не фиксированы. Соответственно, допустимые и оптимальные траектории в этой
задаче находятся в области D, определяемой условиями: 0 ≤ y ≤ 1/2; 0 ≤ z ≤ min {z0, 1/py}.
3. Сведение задачи оптимального управления к краевой задаче
Решение задачи оптимального управления (2.8)–(2.11) можно отыскивать с помощью прин-
ципа максимума Понтрягина [5; 6; 8]. Введем в системе уравнений (2.9) вместо параметра uz
новый управляющий параметр с учетом структуры ограничения (2.11). Итак, пусть
uz = (1 − p2y2z2)
1
2 sin μ, (3.1)
где μ — управляющий параметр, удовлетворяющий ограничениям:
−π/2 ≤ μ ≤ π/2, (3.2)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 76–88
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 76–88 81 из 88
то есть с учетом (3.1), (3.2) уравнения (2.9) принимают вид
dy
dτ
= (1 − p2y2z2)
1
2 cos μ;
dz
dτ
= (1 − p2y2z2)
12
sin μ. (3.3)
С учетом (2.8) и (3.3) введем функцию Гамильтона — Понтрягина
H = y + ψy(1 − p2y2z2)
1
2 cos μ + ψz(1 − p2y2z2)
12
sin μ, (3.4)
где ψy и ψz — сопряженные переменные, которые должны удовлетворять дифференциальным
уравнениям [8]:
dψy
dτ
= −
∂H
∂y
;
dψz
dτ
= −
∂H
∂z
.
Дифференцируя функцию H (3.4) по y и z, получим
∂H
∂y
= 1 − p2(ψy cos μ + ψz sin μ)(1 − p2y2z2)−1
2 yz2;
∂H
∂z
= −p2(ψy cos μ + ψz sin μ)(1 − p2y2z2)−12
y2z.
Эти производные от правых частей уравнений (3.3) не существуют при выполнении условия:
1 − p2y2z2 = 0, когда имеет место y = const, то есть ось Oz движется по «инерции», также
z = const, то есть угловая скорость закрутки КА сохраняется постоянной. При этом управ-
ляющий момент полностью направлен на компенсацию гироскопического момента, так как в
этом случае u = 1 и, соответственно, uz = 0. Такого вида экстремали были выявлены в задачах
оптимальной переориентации оси вращения КА в [1–5].
Если условие 1 − p2y2z2 = 0 не выполняется для некоторого множества значений z0 и p
∀τ ∈ [0; 1/2), то в силу существования частных производных функции H по y и z применение
принципа максимума будет правомерным.
Вводя вспомогательную переменную ϑ с помощью соотношений:
cos ϑ = ψy(ψ2
y + ψ2
z )−1
2 ; sin ϑ = ψz(ψ2
y + ψ2
z )−12
,
функцию H (3.4) с учетом ψy cos μ + ψz sin μ = (ψ2
y + ψ2
z )
1
2 cos(ϑ − μ) можно переписать в
следующем виде:
H = y + (1 − p2y2z2)
12
(ψ2
y + ψ2
z )
1
2 cos(ϑ − μ). (3.5)
Тогда из условия максимума функции H по μ получим: ˜μ = arg max
μ
H(y, z, ψy, ψz, μ). Так как
max
μ
cos(ϑ − μ) = 1, то тогда
˜μ
= ϑ = arctg ψz
ψy
. (3.6)
Следовательно, cos ˜μ = ψy (ψ2
y + ψ2
z )−1
2 и sin ˜μ = ψz (ψ2
y + ψ2
z )−1
2 .
С учетом приведенных выше выражений для ∂H
∂y и ∂H
∂z , а также (3.6) дифференциальные
уравнения для ψy и ψz будут иметь следующий вид:
dψy
dτ
= −1 + p2 (ψ2
y + ψ2
z )
12
(1 − p2y2z2)−12
yz2; (3.7)
dψz
dτ
= p2 (ψ2
y + ψ2
z )
12
(1 − p2y2z2)−12
y2z. (3.8)
Соответственно, исходя из граничных условий задачи (2.8)–(2.11), для системы (3.7), (3.8)
должны выполняться условия
ψy(1/2) = 0; ψz(1/2) = 0. (3.9)
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. К задаче оптимального управления переориентацией оси вращения...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. On the problem of optimal control of rotation axis reorientation... 82 из 88
Начальные условия: ψy(0) = ψy0 и ψz(0) = ψz0, здесь не определены, хотя можно показать, что
для них должны выполняться условия: ψ2
y0 + ψ2
z0 > 0.
Уравнения движения (3.3), для которых заданы начальные условия (2.10), с учетом (3.6)
будут иметь следующий вид:
dy
dτ
= ψy (ψ2
y + ψ2
z )−1
2 (1 − p2y2z2)
12
; (3.10)
dz
dτ
= ψz (ψ2
y + ψ2
z )−12
(1 − p2y2z2)
12
. (3.11)
Таким образом, задача оптимального управления (2.8)–(2.11) сведена к краевой задаче
(2.10), (3.7)–(3.11).
На экстремали задачи, получаемой из условий принципа максимума [8], функция H (3.4)
сохраняет постоянное значение. Поэтому с учетом (3.5) и (3.6) получим
H = y + (1 − p2y2z2)
1
2 (ψ2
y + ψ2
z )
1
2 = const. (3.12)
Так как
dy
dτ
=
∂H
∂ψy
,
dz
dτ
=
∂H
∂ψz
,
то соответствующее дифференцирование (3.12) приводит к уравнениям (3.10), (3.11). То же
самое справедливо и для уравнений сопряженной системы (3.7), (3.8), поскольку
dψy
dτ
= −
∂H
∂y
,
dψz
dτ
= −
∂H
∂z
.
Далее, учитывая начальные условия (2.10), из (3.12) получим
H(0) = (ψ2
y0 + ψ2
z0)
12
= c0,
где c0 — некоторая константа, и, соответственно, с учетом конечных условий (3.9) имеет место:
H(0) = y(1/2) = c0 > 0,
то есть y(1/2) = c0. Исходя из очевидных оценок для правых частей (3.3), имеем 0 < y(1/2) <
< 1/2, но тогда 0 < ψ2
y0 + ψ2
z0 < 1/4 и, с учетом допустимого характера изменения ψy(τ) и
ψz(τ) на интервале [0, 1/2], получим: 0 < ψy0 < 1/2; −1/2 < ψz0 ≤ 0. Кроме того, из (3.12)
также получим (1 − p2y2z2)
1
2 (ψ2
y + ψ2
z )
1
2 = c0 − y, а отсюда следует
(ψ2
y + ψ2
z )
12
=
c0 − y
(1 − p2y2z2)
12
.
4. Сведение взаимной задачи оптимального управления
к изопериметрической задаче вариационного исчисления
Сформулируем еще одну вспомогательную задачу, исходя из задачи управления (2.8)–(2.11).
Для этого вначале предположим, что решение первого уравнения (2.9), y(τ) монотонно воз-
растающая функция, что имеет место в том случае, когда n(τ) ≡ 1, а также 0 ≤ |uz(τ)| <
< [1 − p2y2(τ)z2(τ)]
1
2 , ∀τ ∈ [0, 1/2). При этом из первого уравнения (2.9) следует
dτ =
dy
(1 − u2z
− p2y2z2)
12
. (4.1)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 76–88
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 76–88 83 из 88
Кроме того, если в (2.9) разделить второе уравнение на первое, то получим
dz
dy
= z′
y =
uz
(1 − u2z
− p2y2z2)
1
2
. (4.2)
Отсюда нетрудно установить, что имеет место соотношение:
u2z
=
(1 − p2y2z2)z′2
y
1 + z′2
y
. (4.3)
С учетом (4.3) выражение для дифференциала (4.1) можно переписать так:
dτ =
(1 + z′2
y )
1
2 dy
(1 − p2y2z2)
12
,
и, соответственно, переходя к новой независимой переменной, функционал (2.8) можно пред-
ставить в следующем виде:
˜J2 =
y∗ Z
0
y(1 + z′2
y )
1
2
(1 − p2y2z2)
12
dy, (4.4)
где y∗ = y(1/2) > 0 — значение новой независимой переменной на момент τ = 1/2 в (2.8)–(2.11).
Очевидно, что это значение удовлетворяет ограничениям: 0 < y∗ < 1/2. В свою очередь, в
силу перехода к взаимной задаче (2.8)–(2.11) время маневра фиксировано, то есть при этом
должно выполняться условие:
1R/2
0
dτ = 1
2 . Поэтому при максимизации функционала (4.4)
следует учитывать наличие указанного условия, которое в вариационном исчислении называют
изопериметрическим ограничением для рассматриваемой задачи [9]:
y∗ Z
0
(1 + z′2
y )
12
(1 − p2y2z2)
12
dy =
1
2
. (4.5)
Таким образом, задача (2.8)–(2.11) сведена к изопериметрической задаче вариационного
исчисления, в которой требуется найти экстремаль, доставляющую максимум функционалу
(4.4) при выполнении условия (4.5). С учетом граничных условий (2.10) для искомой экстремали
z = z(y) должны выполняться такие условия:
z(0) = z0. (4.6)
Следует также отметить, что сформулированная изопериметрическая задача (4.4)–(4.6)
относится к классу вариационных задач с подвижными концами, а именно: здесь и значение y∗,
и правый конец экстремали, то есть значение z∗ = z(y∗), не фиксированы.
В соответствии с правилом множителей Лагранжа [9] задача (4.4)–(4.6) сводится к простей-
шей вариационной задаче на максимум функционала
˜J3 =
y∗ Z
0
(y + λ0)(1 + z′2
y )
1
2
(1 − p2y2z2)
12
dy, (4.7)
где λ0 — постоянный множитель Лагранжа.
Как известно, необходимыми условиями экстремума функционала (4.7) (здесь — его макси-
мума) являются следующие условия: во-первых, первая вариация (4.7) должна обращаться в
нуль, то есть δ ˜J3 = 0, и, во-вторых, его вторая вариация должна быть неположительной, то
есть δ2 ˜J3 ≤ 0.
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. К задаче оптимального управления переориентацией оси вращения...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. On the problem of optimal control of rotation axis reorientation... 84 из 88
Первое из этих условий приводит к уравнению Эйлера [9]:
Fz −
d
dy
Fz′
y
= 0, (4.8)
где
F = F(y, z, z′
y) =
(y + λ0)(1 + z′2
y )
12
(1 − p2y2z2)
12
, (4.9)
и, соответственно, в развернутом виде уравнение (4.8) записывается так:
Fz − Fz′
yy − Fz′
yzz′
y − Fz′
yz′
y
z′′
yy = 0, (4.10)
где
Fz′
yy =
∂Fz′
y
∂y
, Fz′
yz =
∂Fz′
y
∂z
, Fz′
yz′
y
=
∂Fz′
y
∂z′
y
и z′′
yy =
dz′
y
dy
.
Второе из указанных необходимых условий, то есть δ2 ˜J3 ≤ 0, известно как условие Лежандра [9]:
Fz′
yz′
y
≤ 0. (4.11)
Кроме того, к необходимым условиям экстремума функционала (4.7) здесь также относятся
следующие условия:
Fz′
y
(y, z, z′
y)
   
y=y∗
δz∗ = 0; (4.12)
[F(y, z, z′
y) − z′
yFz′
y
(y, z, z′
y)]
   
y=y∗
δy∗ = 0. (4.13)
Вычисляя входящие в (4.10) соответствующие частные производные от функции (4.9)
и подставляя полученные для них выражения в (4.10) при условии, что 1 − p2y2z2 > 0 и
1 + z′2
y < ∞, уравнение Эйлера (4.8) можно переписать в явном виде:
[p2y2z(y + λ0) − (1 + p2λ0yz2)z′
y](1 + z′2
y ) − (y + λ0)(1 − p2y2z2)z′′
yy = 0.
При этом следует отметить, что условие 1+z′2
y < ∞ означает отсутствие вертикальных участков
экстремали z = z(y), что предполагалось в начале настоящего раздела, а условие 1− p2y2z2 > 0
то, что эта экстремаль лежит в допустимой области D .
Возвращаясь к рассмотрению необходимых условий экстремума функционала (4.7), вначале
отметим, что с учетом выражений для F (4.9) и Fz′
y
, а также δy∗ ̸= 0 и δz∗ ̸= 0 из условий (4.12)
и (4.13) следует
(y + λ0)z′
y
(1 − p2y2z2)
12
(1 + z′2
y )
1
2
     
y=y∗
= 0, (4.14)
y + λ0
(1 − p2y2z2)
12
(1 + z′2
y )
1
2
     
y=y∗
= 0. (4.15)
Очевидно, что при выполнении условия (4.15) условие (4.14) также выполняется, если
только при этом 1 − p2y2z2 > 0 и 1 + z′2
y < ∞. Тогда соответствующие необходимые условия
принимают следующий вид:
y∗ + λ0 = 0.
Отсюда получим λ0 = −y∗, но 0 < y∗ < 1/2 (при z0 > 0), то есть −1/2 < λ0 < 0. Следова-
тельно, ∀y ∈ [0, y∗) имеет место: y + λ0 < 0, и условие Лежандра (4.11) с учетом выражения
(4.9) строго выполняется ∀y ∈ [0, y∗) и, стало быть, функционал (4.7) достигает на искомой
экстремали максимума.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 76–88
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 76–88 85 из 88
Как известно [9], приведенные выше необходимые условия экстремума функционала (4.7) вы-
полняются в классе кусочно-гладких функций z(y). Но в общем случае экстремум функционала
(4.7) может достигаться на более широком классе функций, а именно кусочно-непрерывных
функций. Для того чтобы установить возможность существования вертикальных участков
экстремали z(y), рассмотрим введенные В.Ф. Кротовым функции [9; 10]:
W(y, z) = lim
z′
y→±∞
1
z′
y
F(y, z, z′
y), (4.16)
где пределW(y, z) при z′
y → +∞ называют правым пределом, а при z′
y → −∞ — левым пределом.
Соответственно, характер экстремалей в рассматриваемой задаче определяется поведением
функции W(y, z), и в зависимости от этого возможны пять основных случаев, перечисленных в
[9]. С учетом (4.9) для соответствующих пределов в (4.16) получим, во-первых,
W(y, z) = lim
z′
y→+∞
(y + λ0)(1 + z′2
y )
1
2
z′
y(1 − p2y2z2)
1
2
= +
y + λ0
(1 − p2y2z2)
12
; (4.17)
во-вторых,
W(y, z) = lim
z′
y→−∞
(y + λ0)(1 + z′2
y )
1
2
z′
y(1 − p2y2z2)
12
= −
y + λ0
(1 − p2y2z2)
12
. (4.18)
Отсюда видно, что при y = 0 и y = y∗ правый и левый пределы (4.17) и (4.18) существуют и
равны, то есть в этом случае функционал (4.7) относится ко второму типу по классификации
[9; 10], и, стало быть, экстремаль может содержать вертикальные отрезки. Сразу же отметим,
что при y = y∗ или, что то же самое, в момент времени τ = 1/2 такой отрезок, очевидно,
отсутствует. Если y = 0, то в этом случае экстремаль может содержать вертикальный отрезок
и, соответственно, на некотором подынтервале [0, τ0), где τ0 < min(z0, 1/2), имеет место
uz(τ) = −1; y(τ) = 0; z(τ) = z0 − τ, ∀τ ∈ [0, τ0).
Если же 0 < y < y∗ < 1/2, то пределы (4.17) и (4.18) существуют, но не равны друг другу
всюду на интервале (0, y∗), что отвечает пятому типу функционалов. В этом случае могут
существовать как кусочно-гладкие экстремали, так и экстремали с вертикальными отрезками.
Можно показать, что в общем случае экстремали функционала (4.7), за исключением точки
y = 0, вертикальных отрезков не имеют.
Выводы
Рассмотрены различные постановки задачи оптимального управления переориентацией оси
вращения динамически симметричного КА, решение которой отыскивается в классе движений
с одним направленным (плоским) поворотом оси вращения. При этом до и после ее переори-
ентации угловая скорость закрутки КА должна быть одной и той же. Управление угловым
движением КА, совершающим указанный маневр, осуществляется по схеме «поворотного ре-
активного двигателя», когда управляющий момент ограничивается эллипсоидом вращения.
Приведена соответствующая математическая модель движения КА для рассматриваемой зада-
чи управления. Кроме постановки задачи о наискорейшей переориентации оси вращения КА
также сформулирована взаимная к ней задача оптимального управления, для которой было
найдено оптимальное управление для полного управляющего момента. С целью дальнейшего
анализа рассматриваемой задачи приводятся также результаты ее сведения к краевой задаче
и к изопериметрической вариационной задаче. Последнее существенно как для разработки
численного метода решения рассматриваемой задачи, так и для выявления ее возможных
особенностей при отыскании оптимальной экстремали.
В заключение также следует отметить, что в последнее время широко используются но-
вые постановки различных задач оптимального управления ориентацией КА с применением
кватернионных моделей вращательного движения твердого тела [11; 12]

Об авторах

Ю. Н. Горелов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: yungor07@mail.ru
ORCID iD: 0009-0003-2183-6261

доктор технических наук, профессор, директор НИИ проблем моделирования и управления Самарского университета, профессор кафедры дифференциальных уравнений и теории управления

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Л. В. Курганская

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: limbo83@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-1513-3802

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник НИИ проблем моделирования и управления Самарского университета, доцент кафедры дифференциальных уравнений и теории управления

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

Дополнительные файлы