Поле направленного низкочастотного акустического излучателя в пограничном слое атмосферы

Обложка


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В связи с тем, что именно к низкочастотным относятся многие излучатели волн, которые способен воспринимать человек, актуальными являются исследования звуковых полей, создаваемых такими излучателями. Благодаря полученным результатам становится возможным понимать, в каких направлениях и с какой мощностью будет распространяться созданное ими звуковое поле, формировать практические рекомендации по выбору зоны, наиболее подходящей для наблюдения за ними, решать обратные задачи по определению их местоположения. В результате проведенного анализа существующих моделей, используемых для описания акустических излучателей, установлено, что наиболее адекватными являются модели, учитывающие направленность источников звука. Среди них отдельного внимания заслуживает параметрическая модель, предложенная Г.Н. Кузнецовым и А.Н. Степановым, которая и была использована в статье. В качестве модельного представления атмосферы была выбрана система однородных слоев, в одном из которых находится источник. Для выбранных моделей источника и среды поставлена краевая задача нахождения потенциала создаваемого источником поля, получены точные и приближенные соотношения, которые могут быть использованы для решения прямых и обратных задач, связанных с мультипольным излучателем. Проведено исследование влияния на амплитудную составляющую поля таких факторов, как высота и частота источника, а также горизонтальное расстояние между источником и приемником. 

Полный текст

1. Модели направленных низкочастотных акустических излучателей

В [1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 3], а также рядом других авторов показано не только то, что многие реальные акустические излучатели обладают свойством направленности, но и то, что для построения адекватных моделей таких излучателей необходимо учитывать это свойство, так как оно оказывает существенное влияние на создаваемое ими поле. Однако, например, в [4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 6] и других современных работах при решении важных практических задач все еще используется модель монополя MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  ненаправленного акустического излучателя.

Для описания направленности источников звука предлагаются различные подходы. Условно их можно разделить на непараметрические [7 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 10] и параметрические [11 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 13]. Чаще всего авторами непараметрических моделей предлагается рассматривать реальный источник звука как совокупность монополей или диполей, которые непрерывно распределены по поверхности или объему источника. Однако функция, описывающая такой закон распределения, как правило, задается очень большим или даже бесконечным количеством уравнений, что приводит к вычислительным сложностям и затрудняет применение таких моделей на практике. Авторы параметрических моделей предполагают, что по поверхности или объему источника дискретным образом распределено конечное число монополей или диполей. В качестве параметров модели могут выступать геометрические характеристики источника, его местоположение в пространстве, амплитуда или фаза, а также мощности используемых монополей или диполей. Для получения выражения, описывающего потенциал поля, создаваемого таким источником, используют преобразование Фурье. По сути, полученное выражение представляет собой разложение потенциала в ряд Тейлора по совокупности плоских волн, которые хорошо изучены [14 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 17]. Однако использование ряда Тейлора приводит к тому, что разложение осуществляется по системе линейно зависимых функций. В связи с этим получить удобные для вычислений соотношения, позволяющие решить обратную задачу, возможно лишь для мультиполей нулевого или первого порядка. В силу отсутствия единственности решения использовать такие выражения для мультиполей более высоких порядков невозможно, что является существенным недостатком таких моделей.

Избежать описанных трудностей позволяет подход, предложенный в [18]. Авторами предлагается реальный источник звука заменить эквивалентным точечным направленным излучателем, а создаваемое им поле в неограниченном пространстве описывать при помощи разложения в ряд по сферическим мультиполям, образующим систему линейно независимых функций. Коэффициенты такого разложения являются мультипольными моментами и позволяют описать направленные свойства источника. Использование этой модели позволяет и в свободном пространстве, и в волноводах различных типов описывать поле звукового давления выражениями, линейно зависящими от параметров мультипольной модели.

Согласно этому подходу переход к модельному излучателю осуществляется следующим образом. Пусть источник низкочастотных колебаний находится в однородном неограниченном пространстве и имеет конечный размер, а также произвольную форму. Из произвольной точки O внутри излучателя построим сферу S 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37B1@  так, чтобы источник находился внутри нее. Введем сферическую систему координат, совместив ее центр с точкой О. В произвольной точке на поверхности сферы рассматриваемый источник создает давление, величина которого может быть определена при помощи соотношения:

 

                                         P ˜ (r,θ,φ,t)=iω ρ 0 ψ ˜ r 0 ,θ,φ) e iωt , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaacaaeaaca WGqbaacaGLdmaacaaIOaGaamOCaiaaiYcacqaH4oqCcaaISaGaeqOX dOMaaGilaiaadshacaaIPaGaaGypaiaadMgacqaHjpWDcqaHbpGCda WgaaWcbaGaaGimaaqabaGcdaaiaaqaaiabeI8a5bGaay5adaWaaeqa aeaacaWGYbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaGilaiabeI7aXjaaiY cacqaHgpGAcaaIPaGaamyzamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaamyAaiab eM8a3jaadshaaaaakiaawIcaaiaaiYcaaaa@57ED@

 

 где r 0 ,θ,φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCamaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiaaiYcacqaH4oqCcaaISaGaeqOXdOgaaa@3CB9@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  сферические координаты точки наблюдения; t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36EC@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  время; i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaaaa@36E1@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  мнимая единица; ω MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyYdChaaa@37C0@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  частота колебаний; ρ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdi3aaS baaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3899@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  плотность среды; ψ ˜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaacaaeaacq aHipqEaiaawoWaaaaa@3883@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  потенциал скоростей поля давления.

Потенциал ψ ˜ ( r 0 ,θ,φ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaacaaeaacq aHipqEaiaawoWaaiaaiIcacaWGYbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGa aGilaiabeI7aXjaaiYcacqaHgpGAcaaIPaaaaa@40AE@  является непрерывно дифференцируемой функцией, модуль которой на поверхности сферы единичного радиуса представляет собой приведенную амплитудную, а аргумент MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  приведенную фазовую диаграмму направленности источника.

Колебания, которые создает источник в области Ω MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdCfaaa@3781@ , находящейся за пределами сферы S 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37B1@ , описываются функцией, которая может быть найдена как решение внешней задачи Дирихле для сферы S 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37B1@  [18]. Это решение единственно и для r0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaiabgw MiZkaaicdaaaa@396A@  может быть представлено равномерно сходящимся рядом:

 

                                 ψ(r,θ,ϕ)= n=0 N m=n n C nm h n (1) (kr) P n |m| (cosθ) e imϕ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiYdKNaaG ikaiaadkhacaaISaGaeqiUdeNaaGilaiabew9aMjaaiMcacaaI9aWa aabCaeqaleaacaWGUbGaaGypaiaaicdaaeaacaWGobaaniabggHiLd GcdaaeWbqabSqaaiaad2gacaaI9aGaeyOeI0IaamOBaaqaaiaad6ga a0GaeyyeIuoakiaadoeadaWgaaWcbaGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaam iAamaaDaaaleaacaWGUbaabaGaaGikaiaaigdacaaIPaaaaOGaaGik aiaadUgacaWGYbGaaGykaiaadcfadaqhaaWcbaGaamOBaaqaaiaaiY hacaWGTbGaaGiFaaaakiaaiIcaciGGJbGaai4BaiaacohacqaH4oqC caaIPaGaamyzamaaCaaaleqabaGaamyAaiaad2gacqaHvpGzaaGcca aISaaaaa@670B@ (1)

 

 где  N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  порядок мультипольности модели; C nm MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaWGUbGaamyBaaqabaaaaa@38CC@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  мультипольные моменты, описывающие направленность источника; P n |m| MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiuamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaaGiFaiaad2gacaaI8baaaaaa@3AE6@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  присоединенные полиномы Лежандра; h n (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaaGikaiaaigdacaaIPaaaaaaa@3A20@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  сферические функции Бесселя третьего рода порядка n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@ ; k= ω c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaiaai2 dadaWcaaqaaiabeM8a3bqaaiaadogaaaaaaa@3A6F@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  волновое число; c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yaaaa@36DB@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  фазовая скорость распространения волны в области; r,θ,ϕ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaiaaiY cacqaH4oqCcaaISaGaeqy1dygaaa@3BD4@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  сферические координаты точки наблюдения.

 

2. Моделирование пограничного слоя атмосферы системой однородных слоев

 При моделировании поля, создаваемого излучателем в пространстве, необходимо учитывать не только особенности самого источника, но и среды распространения сигнала. Большое внимание при исследовании полей низкочастотных источников звука уделяется случаю, когда они находятся в воде [19 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 22]. Однако в современном мире появились низкочастотные акустические излучатели, исследование полей которых важно именно в атмосфере. Практический интерес в этом случае представляет ее нижний слой, начинающийся от поверхности Земли и не превышающий 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 3 км. Согласно [23] такие высоты соответствуют пограничному слою атмосферы.

Известны различные модели атмосферы. Самым простым, но менее всего соответствующим действительности, является хорошо исследованный случай однородного пространства. Именно при использовании такой модели потенциал поля, создаваемого в нем рассматриваемым точечным мультипольным излучателем, описывается соотношением (1).

Для того чтобы учесть влияние на создаваемое поле поверхности Земли, можно применить модель однородного полупространства. Тогда потенциал поля, создаваемого в нем рассматриваемым точечным мультипольным излучателем, будет описываться следующим соотношением [18]:

 

               ψ(M)= n=0 N m=n n C nm [ h n (1) (kr) P n |m| (cosθ) χ nm h n (1) (k r ' ) P n |m| (cos θ ' )] e imϕ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiYdKNaaG ikaiaad2eacaaIPaGaaGypamaaqahabeWcbaGaamOBaiaai2dacaaI WaaabaGaamOtaaqdcqGHris5aOWaaabCaeqaleaacaWGTbGaaGypai abgkHiTiaad6gaaeaacaWGUbaaniabggHiLdGccaWGdbWaaSbaaSqa aiaad6gacaWGTbaabeaakiaaiUfacaWGObWaa0baaSqaaiaad6gaae aacaaIOaGaaGymaiaaiMcaaaGccaaIOaGaam4AaiaadkhacaaIPaGa amiuamaaDaaaleaacaWGUbaabaGaaGiFaiaad2gacaaI8baaaOGaaG ikaiGacogacaGGVbGaai4CaiabeI7aXjaaiMcacqGHsislcqaHhpWy daWgaaWcbaGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaamiAamaaDaaaleaacaWGUb aabaGaaGikaiaaigdacaaIPaaaaOGaaGikaiaadUgacaWGYbWaaWba aSqabeaacaWGNaaaaOGaaGykaiaadcfadaqhaaWcbaGaamOBaaqaai aaiYhacaWGTbGaaGiFaaaakiaaiIcaciGGJbGaai4BaiaacohacqaH 4oqCdaahaaWcbeqaaiaadEcaaaGccaaIPaGaaGyxaiaadwgadaahaa WcbeqaaiaadMgacaWGTbGaeqy1dygaaOGaaGilaaaa@7CBB@  (1)

 

 где χ nm =( 1) n+|m| MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Xdm2aaS baaSqaaiaad6gacaWGTbaabeaakiaai2dacaaIOaGaeyOeI0IaaGym aiaaiMcadaahaaWcbeqaaiaad6gacqGHRaWkcaaI8bGaamyBaiaaiY haaaaaaa@4299@ , r ' 2 = r 2 +4r z 0 cosθ+4 z 0 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCamaaCa aaleqabaGaam4jaaaakmaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaai2dacaWG YbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaaGinaiaadkhacaWG6b WaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqiUdeNa ey4kaSIaaGinaiaadQhadaqhaaWcbaGaaGimaaqaaiaaikdaaaaaaa@48C2@ , cos θ ' = rcosθ+2 z 0 r ' MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaci4yaiaac+ gacaGGZbGaeqiUde3aaWbaaSqabeaacaWGNaaaaOGaaGypamaalaaa baGaamOCaiGacogacaGGVbGaai4CaiabeI7aXjabgUcaRiaaikdaca WG6bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaGcbaGaamOCamaaCaaaleqabaGa am4jaaaaaaaaaa@4713@ .

Однако большинство реальных сред, в том числе и атмосфера, являются неоднородными. Исследования в области атмосферной акустики показали, что особенно резко ее свойства изменяются в вертикальном направлении. В связи с этим по температуре, составу, электрическим характеристикам атмосфера может быть разделена на слои в вертикальном направлении. В качестве модели такого пространства может быть взята система однородных слоев с неидеальными границами, то есть границами, для которых коэффициент отражения волны зависит от угла ее падения.

В отличие от подходов, в которых атмосфера рассматривается как непрерывно-стратифицированная среда с определенным профилем показателя преломления [24], такая модель позволяет учесть наличие условных границ, отделяющих однородные слои друг от друга. Кроме того, ее использование целесообразно в случае, когда длина волны сравнима с толщиной слоя, в котором находится излучатель, или расстояние до него существенно превышает толщину слоя.

Для осуществления замены реального излучателя модельным будем считать, что выполняются условия k( d 2 z 0 )>1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4AaiaaiI cacaWGKbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaeyOeI0IaamOEamaaBaaa leaacaaIWaaabeaakiaaiMcacaaI+aGaaGymaaaa@3E82@  и k z 0 >1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4AaiaadQ hadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaaI+aGaaGymaaaa@3A55@ .

 

3. Постановка и решение задачи о направленном излучателе в пространстве, моделируемом системой однородных слоев

Рассмотрим точечный излучатель, потенциал поля которого в неограниченном пространстве описывается функцией (1), находится в многослойной области, состоящей из однородных в горизонтальном направлении слоев Ω 1 ... Ω m ... Ω m+n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaGOlaiaai6cacaaIUaGaeuyQdC1aaSba aSqaaiaad2gaaeqaaOGaaGOlaiaai6cacaaIUaGaeuyQdC1aaSbaaS qaaiaad2gacqGHRaWkcaWGUbaabeaaaaa@43F9@ . Каждый слой имеет неидеальные границы Σ i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4Odm1aaS baaSqaaiaadMgaaeqaaaaa@3891@  и Σ i+1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4Odm1aaS baaSqaaiaadMgacqGHRaWkcaaIXaaabeaaaaa@3A2E@  и характеризуется толщиной d i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37F6@ , постоянной плотностью ρ i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdi3aaS baaSqaaiaadMgaaeqaaaaa@38CD@ , фазовой скоростью распространения волны c i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37F5@ . Над слоем Ω m+n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaad2gacqGHRaWkcaWGUbaabeaaaaa@3A74@  находится полупространство Ω m+n+1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaad2gacqGHRaWkcaWGUbGaey4kaSIaaGymaaqabaaaaa@3C11@ , а под слоем Ω 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaaigdaaeqaaaaa@3868@  находится полупространство Ω 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3867@ . Полупространства являются однородными в горизонтальном направлении и характеризуются постоянными плотностью ρ m+n+1 , ρ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdi3aaS baaSqaaiaad2gacqGHRaWkcaWGUbGaey4kaSIaaGymaaqabaGccaaI SaGaeqyWdi3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3FA9@  и фазовой скоростью распространения колебаний c m+n+1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGTbGaey4kaSIaamOBaiabgUcaRiaaigdaaeqaaaaa@3B6B@ , c 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37C1@ .

Пусть точечный излучатель находится в точке r=0,z= z 1 , z 1 >0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaiaai2 dacaaIWaGaaGilaiaadQhacaaI9aGaamOEamaaBaaaleaacaaIXaaa beaakiaaiYcacaWG6bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaGOpaiaaic daaaa@40FF@  слоя Ω m MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaad2gaaeqaaaaa@389F@  на расстоянии z 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37D8@  от его верхней границы.

Поле, создаваемое источником в слое Ω p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaadchaaeqaaaaa@38A2@ , описывается функцией, которая является решением следующей краевой задачи:

Найти функцию ψ(r,θ,ϕ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiYdKNaaG ikaiaadkhacaaISaGaeqiUdeNaaGilaiabew9aMjaaiMcaaaa@3F07@ , которая удовлетворяет:

1) однородному дифференциальному уравнению в области Ω m MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyQdC1aaS baaSqaaiaad2gaaeqaaaaa@389F@  

                                                      Δψ+ k 2 (z)ψ=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdqKaeq iYdKNaey4kaSIaam4AamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaaiIcacaWG 6bGaaGykaiabeI8a5jaai2dacaaIWaGaaGilaaaa@4255@ (1)

 где k(z)= k 0 n(z) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4AaiaaiI cacaWG6bGaaGykaiaai2dacaWGRbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGa amOBaiaaiIcacaWG6bGaaGykaaaa@3F45@ ;

2) условию сохранения непрерывности потенциала и его нормальной производной на границах Σ m MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4Odm1aaS baaSqaaiaad2gaaeqaaaaa@3895@  и Σ m+1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4Odm1aaS baaSqaaiaad2gacqGHRaWkcaaIXaaabeaaaaa@3A32@  волновода

                                         [ψ ]| s =0,[ dψ dn ]| s =0,s= Σ m Σ m+1 ; MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaG4waiabeI 8a5jaai2facaaI8bWaaSbaaSqaaiaadohaaeqaaOGaaGypaiaaicda caaISaGaaG4wamaalaaabaGaamizaiabeI8a5bqaaiaadsgacaWGUb aaaiaai2facaaI8bWaaSbaaSqaaiaadohaaeqaaOGaaGypaiaaicda caaISaGaam4Caiaai2dacqqHJoWudaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccq GHQicYcqqHJoWudaWgaaWcbaGaamyBaiabgUcaRiaaigdaaeqaaOGa aG4oaaaa@53EB@ (2)

 

3) краевому условию

                                           lim r0 r|ψ(r,θ,ϕ) ψ 0 (r,θ,ϕ)|=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaybuaeqale aacaWGYbGaeyOKH4QaaGimaaqabOqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaaa caWGYbGaaGiFaiabeI8a5jaaiIcacaWGYbGaaGilaiabeI7aXjaaiY cacqaHvpGzcaaIPaGaeyOeI0IaeqiYdK3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqa aOGaaGikaiaadkhacaaISaGaeqiUdeNaaGilaiabew9aMjaaiMcaca aI8bGaaGypaiaaicdacaaISaaaaa@5624@ (3)

 где ψ 0 (r,θ,ϕ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiYdK3aaS baaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaGikaiaadkhacaaISaGaeqiUdeNaaGil aiabew9aMjaaiMcaaaa@3FF7@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  потенциал поля в однородном неограниченном пространстве, рассчитанный по формуле (1).

Приближенное решение поставленной задачи было найдено авторами при помощи вычисления имеющегося в точном решении интеграла методом перевала. Полученное решение имеет следующий вид:

ψ(r,θ,ϕ)= n=0 N m=n n Cnm k m r e i(mϕ+ k m r) (i) n+1 [(1+ a sinθ )( F * (θ)) i F * (θ) 8 k m r (sinθ) 2 i (( F * (θ))) '' 2 k m r ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiYdKNaaG ikaiaadkhacaaISaGaeqiUdeNaaGilaiabew9aMjaaiMcacaaI9aWa aabCaeqaleaacaWGUbGaaGypaiaaicdaaeaacaWGobaaniabggHiLd GcdaaeWbqabSqaaiaad2gacaaI9aGaeyOeI0IaamOBaaqaaiaad6ga a0GaeyyeIuoakmaalaaabaGaam4qaiaad6gacaWGTbaabaGaam4Aam aaBaaaleaacaWGTbaabeaakiaadkhaaaGaamyzamaaCaaaleqabaGa amyAaiaaiIcacaWGTbGaeqy1dyMaey4kaSIaam4AamaaBaaabaGaam yBaaqabaGaamOCaiaaiMcaaaGccaaIOaGaeyOeI0IaamyAaiaaiMca daahaaWcbeqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaaG4waiaaiIcaca aIXaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGHbaabaGaci4CaiaacMgacaGGUbGa eqiUdehaaiaaiMcacaaIOaGaamOramaaCaaaleqabaGaaGOkaaaaki aaiIcacqaH4oqCcaaIPaGaaGykaiabgkHiTmaalaaabaGaamyAaiaa dAeadaahaaWcbeqaaiaaiQcaaaGccaaIOaGaeqiUdeNaaGykaaqaai aaiIdacaWGRbWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaOGaamOCaiaaiIcaciGG ZbGaaiyAaiaac6gacqaH4oqCcaaIPaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaa aakiabgkHiTmaalaaabaGaamyAaiaaiIcacaaIOaGaamOramaaCaaa leqabaGaaGOkaaaakiaaiIcacqaH4oqCcaaIPaGaaGykaiaaiMcada ahaaWcbeqaaiaadEcacaWGNaaaaaGcbaGaaGOmaiaadUgadaWgaaWc baGaamyBaaqabaGccaWGYbaaaiaaiMcacqGHsislaaa@93AC@ (4)

 

 

                                    (1 a sinθ )( i ( F * (θ)) ' 2 k m rtanθ i( F * (θ)) 4 k m r (sinθ) 2 )], MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0IaaG ikaiaaigdacqGHsisldaWcaaqaaiaadggaaeaaciGGZbGaaiyAaiaa c6gacqaH4oqCaaGaaGykaiaaiIcadaWcaaqaaiaadMgacaaIOaGaam OramaaCaaaleqabaGaaGOkaaaakiaaiIcacqaH4oqCcaaIPaGaaGyk amaaCaaaleqabaGaam4jaaaaaOqaaiaaikdacaWGRbWaaSbaaSqaai aad2gaaeqaaOGaamOCaiGacshacaGGHbGaaiOBaiabeI7aXbaacqGH sisldaWcaaqaaiaadMgacaaIOaGaamOramaaCaaaleqabaGaaGOkaa aakiaaiIcacqaH4oqCcaaIPaGaaGykaaqaaiaaisdacaWGRbWaaSba aSqaaiaad2gaaeqaaOGaamOCaiaaiIcaciGGZbGaaiyAaiaac6gacq aH4oqCcaaIPaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiaaiMcacaaIDbGa aGilaaaa@65B0@

где

                                   F * (θ)= P n |m| (cosθ)f( β j ), b m =i k m cos β m , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOramaaCa aaleqabaGaaGOkaaaakiaaiIcacqaH4oqCcaaIPaGaaGypaiaadcfa daqhaaWcbaGaamOBaaqaaiaaiYhacaWGTbGaaGiFaaaakiaaiIcaci GGJbGaai4BaiaacohacqaH4oqCcaaIPaGaamOzaiaaiIcacqaHYoGy daWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaaIPaGaaGilaiaadkgadaWgaaWcba GaamyBaaqabaGccaaI9aGaamyAaiaadUgadaWgaaWcbaGaamyBaaqa baGcciGGJbGaai4BaiaacohacqaHYoGydaWgaaWcbaGaamyBaaqaba GccaaISaaaaa@5870@

 

                  f( β j )= 1+ χ nm e 2 b m ( d m z 0 ) V m + χ nm e 2 b m ( z j z j1 ) V m+1 + e 2 b m d m V m V m+1 1 V m V m+1 e 2 b m d m , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaaiI cacqaHYoGydaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaaIPaGaaGypamaalaaa baGaaGymaiabgUcaRiabeE8aJnaaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqaba GccaWGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaGaamOyamaaBaaabaGaamyBaaqa baGaaGikaiaadsgadaWgaaqaaiaad2gaaeqaaiabgkHiTiaadQhada WgaaqaaiaaicdaaeqaaiaaiMcaaaGccaWGwbWaaSbaaSqaaiaad2ga aeqaaOGaey4kaSIaeq4Xdm2aaSbaaSqaaiaad6gacaWGTbaabeaaki aadwgadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWGIbWaaSbaaeaacaWGTbaabeaa caaIOaGaamOEamaaBaaabaGaamOAaaqabaGaeyOeI0IaamOEamaaBa aabaGaamOAaiabgkHiTiaaigdaaeqaaiaaiMcaaaGccaWGwbWaaSba aSqaaiaad2gacqGHRaWkcaaIXaaabeaakiabgUcaRiaadwgadaahaa WcbeqaaiaaikdacaWGIbWaaSbaaeaacaWGTbaabeaacaWGKbWaaSba aeaacaWGTbaabeaaaaGccaWGwbWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaOGaam OvamaaBaaaleaacaWGTbGaey4kaSIaaGymaaqabaaakeaacaaIXaGa eyOeI0IaamOvamaaBaaaleaacaWGTbaabeaakiaadAfadaWgaaWcba GaamyBaiabgUcaRiaaigdaaeqaaOGaamyzamaaCaaaleqabaGaaGOm aiaadkgadaWgaaqaaiaad2gaaeqaaiaadsgadaWgaaqaaiaad2gaae qaaaaaaaGccaaISaaaaa@7BC0@

β j MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdi2aaS baaSqaaiaadQgaaeqaaaaa@38AF@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  угол падения плоской волны на границы j MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOAaaaa@36E2@  -го слоя.

Полученные расчетные формулы позволяют вычислять поле направленного излучателя, находящегося в пространстве, которое моделируется системой однородных слоев с неидеальными границами. Соотношения для коэффициентов отражения V m (β) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvamaaBa aaleaacaWGTbaabeaakiaaiIcacqaHYoGycaaIPaaaaa@3AFC@  и V m+1 (β) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvamaaBa aaleaacaWGTbGaey4kaSIaaGymaaqabaGccaaIOaGaeqOSdiMaaGyk aaaa@3C99@  были получены авторами путем обобщения полученных ими [25] выражений для случая трехслойной области:

                                                    V m ( β m )= Z (i) Z m Z (i) + Z m , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvamaaBa aaleaacaWGTbaabeaakiaaiIcacqaHYoGydaWgaaWcbaGaamyBaaqa baGccaaIPaGaaGypamaalaaabaGaamOwamaaCaaaleqabaGaaGikai aadMgacaaIPaaaaOGaeyOeI0IaamOwamaaBaaaleaacaWGTbaabeaa aOqaaiaadQfadaahaaWcbeqaaiaaiIcacaWGPbGaaGykaaaakiabgU caRiaadQfadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaaaaOGaaGilaaaa@4A60@

 

                                                   V m+1 ( β m )= Z (j) Z m Z (j) + Z m , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvamaaBa aaleaacaWGTbGaey4kaSIaaGymaaqabaGccaaIOaGaeqOSdi2aaSba aSqaaiaad2gaaeqaaOGaaGykaiaai2dadaWcaaqaaiaadQfadaahaa WcbeqaaiaaiIcacaWGQbGaaGykaaaakiabgkHiTiaadQfadaWgaaWc baGaamyBaaqabaaakeaacaWGAbWaaWbaaSqabeaacaaIOaGaamOAai aaiMcaaaGccqGHRaWkcaWGAbWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaaaakiaa iYcaaaa@4BFF@

где

 

                       Z i = ( Z i1 + Z i ) e 2i k iz z i+1 +( Z i1 Z i ) e 2i k iz z i ( Z i1 + Z i ) e 2i k iz z i+1 ( Z i1 Z i ) e 2i k iz z i Z i ,1im1, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOwamaaCa aaleqabaGaamyAaaaakiaai2dadaWcaaqaaiaaiIcacaWGAbWaaWba aSqabeaacaWGPbGaeyOeI0IaaGymaaaakiabgUcaRiaadQfadaWgaa WcbaGaamyAaaqabaGccaaIPaGaamyzamaaCaaaleqabaGaeyOeI0Ia aGOmaiaadMgacaWGRbWaaSbaaeaacaWGPbGaamOEaaqabaGaamOEam aaBaaabaGaamyAaiabgUcaRiaaigdaaeqaaaaakiabgUcaRiaaiIca caWGAbWaaWbaaSqabeaacaWGPbGaeyOeI0IaaGymaaaakiabgkHiTi aadQfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaaIPaGaamyzamaaCaaaleqa baGaeyOeI0IaaGOmaiaadMgacaWGRbWaaSbaaeaacaWGPbGaamOEaa qabaGaamOEamaaBaaabaGaamyAaaqabaaaaaGcbaGaaGikaiaadQfa daahaaWcbeqaaiaadMgacqGHsislcaaIXaaaaOGaey4kaSIaamOwam aaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaaiMcacaWGLbWaaWbaaSqabeaacqGH sislcaaIYaGaamyAaiaadUgadaWgaaqaaiaadMgacaWG6baabeaaca WG6bWaaSbaaeaacaWGPbGaey4kaSIaaGymaaqabaaaaOGaeyOeI0Ia aGikaiaadQfadaahaaWcbeqaaiaadMgacqGHsislcaaIXaaaaOGaey OeI0IaamOwamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaaiMcacaWGLbWaaWba aSqabeaacqGHsislcaaIYaGaamyAaiaadUgadaWgaaqaaiaadMgaca WG6baabeaacaWG6bWaaSbaaeaacaWGPbaabeaaaaaaaOGaamOwamaa BaaaleaacaWGPbaabeaakiaaiYcacaaIXaWefv3ySLgznfgDOjdary qr1ngBPrginfgDObcv39gaiuaacqWF9PcHcaWGPbGae8xFQqOaamyB aiabgkHiTiaaigdacaaISaaaaa@958A@

 

                    Z 0 = Z 0 = ρ 0 c 0 cos β 0 , Z m+n+1 = Z m+n+1 = ρ m+n+1 c m+n+1 cos β m+n+1 , Z i = ρ i c i cos β i , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOwamaaCa aaleqabaGaaGimaaaakiaai2dacaWGAbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqa aOGaaGypamaalaaabaGaeqyWdi3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaam 4yamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOqaaiGacogacaGGVbGaai4Caiab ek7aInaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaGccaaISaGaamOwamaaCaaale qabaGaamyBaiabgUcaRiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaaGypaiaa dQfadaWgaaWcbaGaamyBaiabgUcaRiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaabe aakiaai2dadaWcaaqaaiabeg8aYnaaBaaaleaacaWGTbGaey4kaSIa amOBaiabgUcaRiaaigdaaeqaaOGaam4yamaaBaaaleaacaWGTbGaey 4kaSIaamOBaiabgUcaRiaaigdaaeqaaaGcbaGaci4yaiaac+gacaGG ZbGaeqOSdi2aaSbaaSqaaiaad2gacqGHRaWkcaWGUbGaey4kaSIaaG ymaaqabaaaaOGaaGilaiaadQfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaaI 9aWaaSaaaeaacqaHbpGCdaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaWGJbWaaS baaSqaaiaadMgaaeqaaaGcbaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqOSdi2a aSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaaakiaaiYcaaaa@761B@

 

                                  k iz = k i cos β i , k i = ω i c i , k i sin β i = k i1 sin β i1 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4AamaaBa aaleaacaWGPbGaamOEaaqabaGccaaI9aGaam4AamaaBaaaleaacaWG PbaabeaakiGacogacaGGVbGaai4Caiabek7aInaaBaaaleaacaWGPb aabeaakiaaiYcacaWGRbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaGypamaa laaabaGaeqyYdC3aaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaGccaaISaGaam4AamaaBaaaleaacaWGPbaa beaakiGacohacaGGPbGaaiOBaiabek7aInaaBaaaleaacaWGPbaabe aakiaai2dacaWGRbWaaSbaaSqaaiaadMgacqGHsislcaaIXaaabeaa kiGacohacaGGPbGaaiOBaiabek7aInaaBaaaleaacaWGPbGaeyOeI0 IaaGymaaqabaGccaaISaaaaa@5EFC@

 

                               k jz = k j cos β j , k j = ω j c j , k j sin β j = k j+1 sin β j+1 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4AamaaBa aaleaacaWGQbGaamOEaaqabaGccaaI9aGaam4AamaaBaaaleaacaWG QbaabeaakiGacogacaGGVbGaai4Caiabek7aInaaBaaaleaacaWGQb aabeaakiaaiYcacaWGRbWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaaGypamaa laaabaGaeqyYdC3aaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGQbaabeaaaaGccaaISaGaam4AamaaBaaaleaacaWGQbaa beaakiGacohacaGGPbGaaiOBaiabek7aInaaBaaaleaacaWGQbaabe aakiaai2dacaWGRbWaaSbaaSqaaiaadQgacqGHRaWkcaaIXaaabeaa kiGacohacaGGPbGaaiOBaiabek7aInaaBaaaleaacaWGQbGaey4kaS IaaGymaaqabaGccaaISaaaaa@5EF0@

 

                    Z j = ( Z j+1 + Z j ) e 2i k jz z j+1 +( Z j+1 Z j ) e 2i k jz z j ( Z j+1 + Z j ) e 2i k jz z j+1 ( Z j+1 Z j ) e 2i k iz z j Z j ,mjm+n, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOwamaaCa aaleqabaGaamOAaaaakiaai2dadaWcaaqaaiaaiIcacaWGAbWaaWba aSqabeaacaWGQbGaey4kaSIaaGymaaaakiabgUcaRiaadQfadaWgaa WcbaGaamOAaaqabaGccaaIPaGaamyzamaaCaaaleqabaGaeyOeI0Ia aGOmaiaadMgacaWGRbWaaSbaaeaacaWGQbGaamOEaaqabaGaamOEam aaBaaabaGaamOAaiabgUcaRiaaigdaaeqaaaaakiabgUcaRiaaiIca caWGAbWaaWbaaSqabeaacaWGQbGaey4kaSIaaGymaaaakiabgkHiTi aadQfadaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaaIPaGaamyzamaaCaaaleqa baGaeyOeI0IaaGOmaiaadMgacaWGRbWaaSbaaeaacaWGQbGaamOEaa qabaGaamOEamaaBaaabaGaamOAaaqabaaaaaGcbaGaaGikaiaadQfa daahaaWcbeqaaiaadQgacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaey4kaSIaamOwam aaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaaiMcacaWGLbWaaWbaaSqabeaacqGH sislcaaIYaGaamyAaiaadUgadaWgaaqaaiaadQgacaWG6baabeaaca WG6bWaaSbaaeaacaWGQbGaey4kaSIaaGymaaqabaaaaOGaeyOeI0Ia aGikaiaadQfadaahaaWcbeqaaiaadQgacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaey OeI0IaamOwamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaaiMcacaWGLbWaaWba aSqabeaacqGHsislcaaIYaGaamyAaiaadUgadaWgaaqaaiaadMgaca WG6baabeaacaWG6bWaaSbaaeaacaWGQbaabeaaaaaaaOGaamOwamaa BaaaleaacaWGQbaabeaakiaaiYcacaWGTbWefv3ySLgznfgDOjdary qr1ngBPrginfgDObcv39gaiuaacqWF9PcHcaWGQbGae8xFQqOaamyB aiabgUcaRiaad6gacaaISaaaaa@95D4@

 

                               Z j = ρ j c j cos β j , z i = q=i m+1 d q +z0, z j = q=m+2 j1 d q +z0. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOwamaaBa aaleaacaWGQbaabeaakiaai2dadaWcaaqaaiabeg8aYnaaBaaaleaa caWGQbaabeaakiaadogadaWgaaWcbaGaamOAaaqabaaakeaaciGGJb Gaai4BaiaacohacqaHYoGydaWgaaWcbaGaamOAaaqabaaaaOGaaGil aiaadQhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaaI9aGaeyOeI0YaaabCae qaleaacaWGXbGaaGypaiaadMgaaeaacaWGTbGaey4kaSIaaGymaaqd cqGHris5aOGaamizamaaBaaaleaacaWGXbaabeaakiabgUcaRiaadQ hacaaIWaGaaGilaiaaysW7caWG6bWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGa aGypamaaqahabeWcbaGaamyCaiaai2dacaWGTbGaey4kaSIaaGOmaa qaaiaadQgacqGHsislcaaIXaaaniabggHiLdGccaWGKbWaaSbaaSqa aiaadghaaeqaaOGaey4kaSIaamOEaiaaicdacaaIUaaaaa@67E4@

 

4. Результаты численного моделирования поля направленного низкочастотного акустического излучателя в пограничном слое атмосферы

 С целью исследования влияния на амплитудную структуру звукового поля, создаваемого направленным низкочастотным излучателем в атмосфере, таких факторов, как его частота, высота и горизонтальное расстояние до приемников, при помощи разработанного авторами пакета прикладных программ была проведена серия вычислительных экспериментов.

Пространство, в котором находится источник, моделировалось системой из 10 однородных слоев. Из Международной стандартной модели атмосферы (International Standard Atmosphere, МСА, англ. ISA) были взяты среднемесячные значения плотности и скорости звука для летнего периода времени, приведенные в табл. 4.1.

 

 Таблица 4.1  Характеристики системы слоев

Table 4.1 Characteristics of the layer system 

 Номер слоя

 Плотность, кг / MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaG4laaaa@36AC@  м 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaWbaaSqabe aacaaIZaaaaaaa@36DD@  

 Скорость звука, м/с

 Толщина, м

 Высота над поверхностью земли, м

 

 1,1725

 345,77

 100

 100

 

 1,161172

 345,39

 100

 200

 

 1,149928

 345,01

 100

 300

 

 1,138768

 344,64

 100

 400

 

 1,127691

 344,26

 100

 500

 

 1,116698

 343,88

 100

 600

 

 1,105786

 343,05

 100

 700

 

 1,094957

 343,12

 100

 800

 

 1,08421

 342,74

 100

 900

 

 1,073544

 342,36

 100

 1000

 

 При проведении расчетов в качестве модели источника был выбран мультиполь, состоящий из монополя, диполя, квадруполя с моментами: C nm =1+i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaaI9aGaaGymaiabgUcaRiaadMga aaa@3C28@  для всех n и m. Предполагалось, что регистрация сигнала осуществляется датчиками колебаний, расположенными вдоль прямой на равных расстояниях друг от друга.

Во всех сериях расчетов в качестве базовых были выбраны следующие значения: частота источника 10 Герц, высота источника над поверхностью земли 390 м. Также считалось, что датчики колебаний находятся на высоте 220 м вдоль прямой, параллельной оси  OY системы координат, связанной с поверхностью Земли, на горизонтальном расстоянии 50 м от излучателя.

В первой серии численных экспериментов изучалось влияние на амплитуду звуковых колебаний частоты излучателя. Частоты брались в диапазоне от 10 до 35 Гц.

На рис. 4.1 изображены обезразмеренные значения амплитуды звуковых колебаний, создаваемых источниками частотой 10, 20 и 35 Гц. Как видно, увеличение частоты источника приводит к существенному уменьшению его амплитуды. Также с увеличением частоты источника существенно вырождается определяемая направленностью излучателя структура поля.

 

Рис. 4.1. Зависимость амплитудной структуры полей от частоты сигналов

Fig. 4.1. Dependence of the amplitude structure of the field on the frequency of the source

 

Далее была изучена зависимость амплитуды от высоты излучателя.

На рис. 4.2 изображены обезразмеренные значения амплитуды звуковых колебаний, создаваемых источником, находящимся на высоте 390, 690 и 890 м. Анализ графиков показывает, что положения точек максимума и минимума амплитуды сигналов зависят от высоты излучателя и с увеличением его высоты положение максимума смещается. Максимальное значение амплитуды поля наблюдается в точке расположения излучателя, что согласуется с экспериментальными данными и может быть использовано для решения обратных задач по обнаружению источников звука.

 

Рис. 4.2. Зависимость амплитудной структуры полей от высоты источника

Fig. 4.2. Dependence of the amplitude structure of the fields on the height of the source

 

Рис. 4.3. Зависимость амплитудной структуры полей от высоты источника

Fig. 4.3. Dependence of the amplitude structure of the fields on the height of the source

 

 При расположении источника на различных высотах наблюдаются качественно близкие интерференционные картины, которые определяются тремя факторами: влиянием изменения ориентации в пространстве характеристики направленности мультиполей относительно перемещающегося по горизонтали приемника; влиянием дипольного эффекта и влиянием увеличения расстояния между приемником и источником.

Кроме перемещения реальных источников в вертикальном направлении, типичным является их движение вблизи приемной антенны на некоторой фиксированной высоте с заданным горизонтальным расстоянием. Для анализа структурных особенностей сигналов в описанных условиях были рассчитаны значения амплитуды тонального сигнала в точках приема при разных значениях горизонтального расстояния между источником и приемниками.

В результате анализа графиков, приведенных на рис. 4.3, можно заметить, что поля на различных расстояниях имеют схожую структуру, но наблюдается небольшое изменение характера интерференции при удалении источника от приемников. Сохраняются и характерные особенности, такие как, например, максимум в точке расположения излучателя. На больших расстояниях амплитуда сглаживается.

 

Выводы

 1. В результате сравнительного анализа существующих моделей акустических излучателей установлено, что наиболее подходящей для описания направленного низкочастотного излучателя в пограничном слое атмосферы является параметрическая модель, предложенная в [18], основанная на замене реальных источников эквивалентным точечным направленным излучателем и описании создаваемого им поля при помощи разложения в ряд по сферическим мультиполям, образующим систему линейно независимых функций.

2. Использование в качестве модельного представления атмосферы неограниченного однородного пространства, однородного полупространства или однородного слоя является сильным упрощением. Более точным, учитывающим ее горизонтальную стратифицированность, является описание атмосферы системой однородных слоев.

3. Полученные соотношения (4) являются приближенным решением краевой задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3) и позволяют вычислять потенциал поля, создаваемого низкочастотным акустическим излучателем в пограничном слое атмосферы, а также могут быть использованы для решения прямых и обратных задач, связанных с мультипольным излучателем.

4. В неоднородном пространстве, которое моделируется системой однородных слоев, существенное влияние на амплитуду поля, создаваемого направленным низкочастотным излучателем, оказывают все рассмотренные факторы: высота и частота источника, а также горизонтальное расстояние между источником и приемниками.

В результате проведенных численных экспериментов установлено, что увеличение частоты источника приводит к существенному уменьшению его амплитуды, положение точек максимума и минимума амплитуды сигналов зависят от высоты излучателя, а при удалении источника от приемников наблюдается небольшое изменение характера интерференции.

Отмеченные закономерности позволяют формировать практические рекомендации по выбору зоны, в которой необходимо производить анализ характеристик источника в каждом конкретном случае. 

×

Об авторах

Ирина Владимировна Семенова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: semenova.iv@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-6400-4682

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной математики

Россия, 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34

Анастасия Александровна Корнеева

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: korneevaaa2002@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-4344-3357

студент механико-математического факультета

Россия, 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

  1. Pachner J. On the dependence of directivity patterns on the distance from emitter // Journal of the Acoustical Society of America. 1956. Vol. 28. Issue 1. P. 86–90. DOI: http://doi.org/10.1121/1.1908232.
  2. Horton C.W., Sabey A.E. Studies on the near field of monopole and dipole acoustic sources // Journal of the Acoustical Society of America. 1958. Vol. 30. Issue 12. P. 1088–1099. DOI: http://doi.org/10.1121/1.1909467.
  3. Isakovich M.A. Nonlinear effect accompanying the dipole radiation. // 4th Int. Congr. Acoustics. Copenhagen. 1962. Vol. 1. P. 3–4 (NK 55).
  4. Глебова Г.М., Кузнецов Г.Н. Методы оценивания приведенной шумности движущегося монопольного источника в мелком море // Акустический журнал. 2021. Т. 67, № 3. C. 275–285. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791921030035. EDN: https://www.elibrary.ru/bwdibj.
  5. Кузнецов Г.Н., Семенова И.В., Степанов А.Н. Локальные аномальные зоны звукового поля в мелком море. Эксперимент и моделирование // Акустический журнал. 2021. Т. 67, № 6. С. 626–638. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791921060046. EDN: https://www.elibrary.ru/salfzm.
  6. Сумбатян М.А., Мартынова Т.С., Мусатова Н.К. К дифракции точечного источника звука на бесконечном клине // Акустический журнал. 2022. Т. 68, № 4. С. 351–360. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791922030145. EDN: https://www.elibrary.ru/krxviz.
  7. Oestreicher H.L. Representation of the field of an acoustic source as a series of multipole fields // Journal of the Acoustical Society of America. 1957. Vol. 29. Issue 11. P. 1219–1222. DOI: http://doi.org/10.1121/1.1908749.
  8. Бобровицкий Ю.И. Физическая модель и характеристики ближнего поля мультиполя // Акустический журнал. 1998. Т. 44, № 1. С. 11–20. URL: http://www.akzh.ru/pdf/1998_1_11-20.pdf.
  9. Шарфарец Б.П. Поле протяженного излучателя в нерегулярном океаническом волноводе // Акустический журнал. 1992. Т. 38, № 2. С. 245–349. URL: http://www.akzh.ru/pdf/1992_2_345-349.pdf.
  10. Шарфарец Б.П. Представление поля давления протяженного источника в виде геометрооптического ряда в двумерном случае // Научное приборостроение. 2001. Т. 11, № 4. С. 41–45. URL: http://iairas.ru/mag/2001/full4/Art6.pdf.
  11. Welkowitz W. Directional circular arrays of point sources // Journal of the Acoustical Society of America. 1956. Vol. 28. Issue 3. Pp. 362–366. DOI: http://doi.org/10.1121/1.1908330.
  12. Виноградова Э.Л., Фурдуев В.В. Коэффициент направленности линейной группы излучателей // Акустический журнал. 1966. Т. 12, № 2. С. 181–185. URL: http://www.akzh.ru/pdf/1966_2_181-184.pdf.
  13. Бобровицкий Ю.И., Томилина Т.М. Общие свойства и принципиальные погрешности метода эквивалентных источников // Акустический журнал. 1995. Т. 41, № 5. С. 737–750. URL: http://www.akzh.ru/pdf/1995_5_737-750.pdf.
  14. Бреховских Л.М. Отражение и преломление сферических волн // Успехи физических наук. 1949. Т. 38. Вып. 1. С. 1–42. DOI: http://doi.org/10.3367/UFNr.0038.194905a.0001.
  15. Van Moorhen W.K. Reflection of a spherical wave from a plane surface // Journal of Sound and Vibration. 1975. Vol. 42. Issue 2. P. 201–208. DOI: http://doi.org/10.1016/0022-460X(75)90215-1.
  16. Matthen Nobile A., Hayek Sabih I. Acoustic propagation over an impedance plane // Journal of the Acoustical Society of America. 1985. Vol. 78. Issue 4. P. 1325–1336. DOI: http://doi.org/10.1121/1.392902.
  17. Глебова Г.М., Жбанков Г.А., Кузнецов Г.Н. Экспериментальная оценка направленности излучения движущегося надводного судна в мелком море // Акустический журнал. 2022. Т. 68, № 1. С. 57–67. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791922010038. EDN: https://elibrary.ru/mzbqsg.
  18. Кузнецов Г.Н., Степанов А.Н. Векторно-скалярные поля мультипольных гидроакустических источников, эквивалентных шумоизлучению морских объектов. Москва: Буки Веди, 2022. 304 с. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=48035148. EDN: https://elibrary.ru/qcrpkd.
  19. Аксенов С.П., Кузнецов Г.Н. Амплитудная и фазовая структура низкочастотного гидроакустического поля в глубоком океане // Акустический журнал. 2021. Т. 67, № 5. С. 493–504. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791921040018. EDN: https://www.elibrary.ru/uoyrxn.
  20. Тыщенко А.Г., Заикин О.С., Сорокин М.А., Петров П.С. Комплекс программ для расчета акустических полей в мелком море на основе метода широкоугольных модовых параболических уравнений // Акустический журнал. 2021. Т. 67, № 5. С. 533–541. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791921050117.
  21. Луньков А.А., Петников В.Г., Сидоров Д.Д. Использование линейных приемных антенн для наблюдения горизонтальной рефракции низкочастотного звука в мелком море с сильно неоднородным водоподобным дном // Акустический журнал. 2022. Т. 68, № 4. С. 400–408. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791922040074. EDN: https://www.elibrary.ru/ytwzau.
  22. Кузнецов Г.Н., Степанов А.Н. О возможности повышения помехоустойчивости обнаружения звуковых сигналов в мелком море с использованием энергетических и фазовых инвариантов // Акустический журнал. 2022. Т. 68, № 3. С. 300–311. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791922030066. EDN: https://www.elibrary.ru/zitqiz.
  23. ГОСТ Р 54084-2010. Модели атмосферы в пограничном слое на высотах от 0 до 3000 м для аэрокосмической практики. Параметры: Национальный стандарт Российской Федерации: дата введения 2012-01-01. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200088881.
  24. Петухов Ю.В. О возможности безотражательного распространения плоских акустических волн в непрерывно-стратифицированных средах // Акустический журнал. 2022. Т. 68, № 2. С. 129–138. DOI: http://doi.org/10.31857/S0320791922020071. EDN: https://www.elibrary.ru/dkvenj.
  25. Корнеева А.А., Семенова И.В. Поле направленного низкочастотного излучателя в многослойной области // XXIII Bсероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2022. C. 32. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=50142121. EDN: https://www.elibrary.ru/ihxbui.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 4.1. Зависимость амплитудной структуры полей от частоты сигналов

Скачать (377KB)
3. Рис. 4.2. Зависимость амплитудной структуры полей от высоты источника

Скачать (346KB)
4. Рис. 4.3. Зависимость амплитудной структуры полей от высоты источника

Скачать (333KB)

© Семенова И.В., Корнеева А.А., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах