Поле направленного низкочастотного акустического излучателя в пограничном слое атмосферы

1. Модели направленных низкочастотных акустических излучателей

В [1$–$3], а также рядом других авторов показано не только то, что многие реальные акустические излучатели обладают свойством направленности, но и то, что для построения адекватных моделей таких излучателей необходимо учитывать это свойство, так как оно оказывает существенное влияние на создаваемое ими поле. Однако, например, в [4$–$6] и других современных работах при решении важных практических задач все еще используется модель монополя $—$ ненаправленного акустического излучателя.

Для описания направленности источников звука предлагаются различные подходы. Условно их можно разделить на непараметрические [7$–$10] и параметрические [11$–$13]. Чаще всего авторами непараметрических моделей предлагается рассматривать реальный источник звука как совокупность монополей или диполей, которые непрерывно распределены по поверхности или объему источника. Однако функция, описывающая такой закон распределения, как правило, задается очень большим или даже бесконечным количеством уравнений, что приводит к вычислительным сложностям и затрудняет применение таких моделей на практике. Авторы параметрических моделей предполагают, что по поверхности или объему источника дискретным образом распределено конечное число монополей или диполей. В качестве параметров модели могут выступать геометрические характеристики источника, его местоположение в пространстве, амплитуда или фаза, а также мощности используемых монополей или диполей. Для получения выражения, описывающего потенциал поля, создаваемого таким источником, используют преобразование Фурье. По сути, полученное выражение представляет собой разложение потенциала в ряд Тейлора по совокупности плоских волн, которые хорошо изучены [14$–$17]. Однако использование ряда Тейлора приводит к тому, что разложение осуществляется по системе линейно зависимых функций. В связи с этим получить удобные для вычислений соотношения, позволяющие решить обратную задачу, возможно лишь для мультиполей нулевого или первого порядка. В силу отсутствия единственности решения использовать такие выражения для мультиполей более высоких порядков невозможно, что является существенным недостатком таких моделей.

Избежать описанных трудностей позволяет подход, предложенный в [18]. Авторами предлагается реальный источник звука заменить эквивалентным точечным направленным излучателем, а создаваемое им поле в неограниченном пространстве описывать при помощи разложения в ряд по сферическим мультиполям, образующим систему линейно независимых функций. Коэффициенты такого разложения являются мультипольными моментами и позволяют описать направленные свойства источника. Использование этой модели позволяет и в свободном пространстве, и в волноводах различных типов описывать поле звукового давления выражениями, линейно зависящими от параметров мультипольной модели.

Согласно этому подходу переход к модельному излучателю осуществляется следующим образом. Пусть источник низкочастотных колебаний находится в однородном неограниченном пространстве и имеет конечный размер, а также произвольную форму. Из произвольной точки O внутри излучателя построим сферу $S_0$ так, чтобы источник находился внутри нее. Введем сферическую систему координат, совместив ее центр с точкой О. В произвольной точке на поверхности сферы рассматриваемый источник создает давление, величина которого может быть определена при помощи соотношения:

                                         $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\phi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i\omega {\rho }_0\tilde{\psi }\left(r_0\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}\right.\mathrm{,}$

 где $r_0\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\phi$ $—$ сферические координаты точки наблюдения; $t$ $—$ время; $i$ $—$ мнимая единица; $\omega$ $—$ частота колебаний; ${\rho }_0$ $—$ плотность среды; $\tilde{\psi }$ $—$ потенциал скоростей поля давления.

Потенциал $\tilde{\psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{r}_0\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является непрерывно дифференцируемой функцией, модуль которой на поверхности сферы единичного радиуса представляет собой приведенную амплитудную, а аргумент $—$ приведенную фазовую диаграмму направленности источника.

Колебания, которые создает источник в области $\Omega$, находящейся за пределами сферы $S_0$, описываются функцией, которая может быть найдена как решение внешней задачи Дирихле для сферы $S_0$ [18]. Это решение единственно и для $r\ge 0$ может быть представлено равномерно сходящимся рядом:

                                 $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^N}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>}-n}^n}{C}_{nm}{h}_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}kr\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_n^{\mathrm{<mo>|</mo>}m\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{im\varphi }\mathrm{,}$ (1)

 где  N $—$ порядок мультипольности модели; $C_{nm}$ $—$ мультипольные моменты, описывающие направленность источника; $P_n^{\mathrm{<mo>|</mo>}m\mathrm{<mo>|</mo>}}$ $—$ присоединенные полиномы Лежандра; $h_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ $—$ сферические функции Бесселя третьего рода порядка $n$; $k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\omega }{c}$ $—$ волновое число; $c$ $—$ фазовая скорость распространения волны в области; $r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\varphi$ $—$ сферические координаты точки наблюдения.

2. Моделирование пограничного слоя атмосферы системой однородных слоев

 При моделировании поля, создаваемого излучателем в пространстве, необходимо учитывать не только особенности самого источника, но и среды распространения сигнала. Большое внимание при исследовании полей низкочастотных источников звука уделяется случаю, когда они находятся в воде [19$–$22]. Однако в современном мире появились низкочастотные акустические излучатели, исследование полей которых важно именно в атмосфере. Практический интерес в этом случае представляет ее нижний слой, начинающийся от поверхности Земли и не превышающий 2$–$3 км. Согласно [23] такие высоты соответствуют пограничному слою атмосферы.

Известны различные модели атмосферы. Самым простым, но менее всего соответствующим действительности, является хорошо исследованный случай однородного пространства. Именно при использовании такой модели потенциал поля, создаваемого в нем рассматриваемым точечным мультипольным излучателем, описывается соотношением (1).

Для того чтобы учесть влияние на создаваемое поле поверхности Земли, можно применить модель однородного полупространства. Тогда потенциал поля, создаваемого в нем рассматриваемым точечным мультипольным излучателем, будет описываться следующим соотношением [18]:

               $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^N}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>}-n}^n}{C}_{nm}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{h}_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}kr\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_n^{\mathrm{<mo>|</mo>}m\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\chi }_{nm}{h}_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k{r}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_n^{\mathrm{<mo>|</mo>}m\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos {\theta }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}{e}^{im\varphi }\mathrm{,}$ (1)

 где ${\chi }_{nm}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+\mathrm{<mo>|</mo>}m\mathrm{<mo>|</mo>}}$, $r^{\text{'}}{}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{r}^2+4r{z}_0\cos \theta +4z_0^2$, $\cos {\theta }^{\text{'}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r\cos \theta +2z_0}{r^{\text{'}}}$.

Однако большинство реальных сред, в том числе и атмосфера, являются неоднородными. Исследования в области атмосферной акустики показали, что особенно резко ее свойства изменяются в вертикальном направлении. В связи с этим по температуре, составу, электрическим характеристикам атмосфера может быть разделена на слои в вертикальном направлении. В качестве модели такого пространства может быть взята система однородных слоев с неидеальными границами, то есть границами, для которых коэффициент отражения волны зависит от угла ее падения.

В отличие от подходов, в которых атмосфера рассматривается как непрерывно-стратифицированная среда с определенным профилем показателя преломления [24], такая модель позволяет учесть наличие условных границ, отделяющих однородные слои друг от друга. Кроме того, ее использование целесообразно в случае, когда длина волны сравнима с толщиной слоя, в котором находится излучатель, или расстояние до него существенно превышает толщину слоя.

Для осуществления замены реального излучателя модельным будем считать, что выполняются условия $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_2-z_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>1}$ и $k{z}_0\mathrm{<mo>></mo>1}$.

3. Постановка и решение задачи о направленном излучателе в пространстве, моделируемом системой однородных слоев

Рассмотрим точечный излучатель, потенциал поля которого в неограниченном пространстве описывается функцией (1), находится в многослойной области, состоящей из однородных в горизонтальном направлении слоев ${\Omega }_1\mathrm{...}{\Omega }_m\mathrm{...}{\Omega }_{m+n}$. Каждый слой имеет неидеальные границы ${\Sigma }_i$ и ${\Sigma }_{i+1}$ и характеризуется толщиной $d_i$, постоянной плотностью ${\rho }_i$, фазовой скоростью распространения волны $c_i$. Над слоем ${\Omega }_{m+n}$ находится полупространство ${\Omega }_{m+n+1}$, а под слоем ${\Omega }_1$ находится полупространство ${\Omega }_0$. Полупространства являются однородными в горизонтальном направлении и характеризуются постоянными плотностью ${\rho }_{m+n+1}\mathrm{,}{\rho }_0$ и фазовой скоростью распространения колебаний $c_{m+n+1}$, $c_0$.

Пусть точечный излучатель находится в точке $r\mathrm{<mo>=</mo>0,}z\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_1\mathrm{,}{z}_1\mathrm{<mo>></mo>0}$ слоя ${\Omega }_m$ на расстоянии $z_0$ от его верхней границы.

Поле, создаваемое источником в слое ${\Omega }_p$, описывается функцией, которая является решением следующей краевой задачи:

Найти функцию $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая удовлетворяет:

1) однородному дифференциальному уравнению в области ${\Omega }_m$ 

                                                      $\Delta \psi +k^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (1)

 где $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{k}_{0}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

2) условию сохранения непрерывности потенциала и его нормальной производной на границах ${\Sigma }_m$ и ${\Sigma }_{m+1}$ волновода

                                         $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_s\mathrm{<mo>=</mo>0,<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{d\psi }{dn}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_s\mathrm{<mo>=</mo>0,}s\mathrm{<mo>=</mo>}{\Sigma }_m\cup {\Sigma }_{m+1}\mathrm{<mo>;</mo>}$ (2)

3) краевому условию

                                           $\underset{r\to 0}{{\displaystyle \lim }}r\mathrm{<mo>|</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>0,}$ (3)

 где ${\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ потенциал поля в однородном неограниченном пространстве, рассчитанный по формуле (1).

Приближенное решение поставленной задачи было найдено авторами при помощи вычисления имеющегося в точном решении интеграла методом перевала. Полученное решение имеет следующий вид:

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^N}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>}-n}^n}\frac{Cnm}{k_{m}r}{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\varphi +k_{m}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\frac{a}{\sin \theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{i{F}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{8k_{m}r{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sin \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}-\frac{i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{'}\text{'}}}{2k_{m}r}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$ (4)

                                    $-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\frac{a}{\sin \theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{'}}}{2k_{m}r\tan \theta }-\frac{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4k_{m}r{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sin \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

где

                                   $F^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_n^{\mathrm{<mo>|</mo>}m\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{b}_m\mathrm{<mo>=</mo>}i{k}_m\cos {\beta }_m\mathrm{,}$

                  $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1+{\chi }_{nm}{e}^{2b_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_m-z_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{V}_m+{\chi }_{nm}{e}^{2b_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_j-z_{j-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{V}_{m+1}+e^{2b_m{d}_m}{V}_m{V}_{m+1}}{1-V_m{V}_{m+1}{e}^{2b_m{d}_m}}\mathrm{,}$

${\beta }_j$ $—$ угол падения плоской волны на границы $j$ -го слоя.

Полученные расчетные формулы позволяют вычислять поле направленного излучателя, находящегося в пространстве, которое моделируется системой однородных слоев с неидеальными границами. Соотношения для коэффициентов отражения $V_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $V_{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ были получены авторами путем обобщения полученных ими [25] выражений для случая трехслойной области:

                                                    $V_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{Z^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-Z_m}{Z^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+Z_m}\mathrm{,}$

                                                   $V_{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{Z^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-Z_m}{Z^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+Z_m}\mathrm{,}$

где

                       $Z^i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{i-1}+Z_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{iz}{z}_{i+1}}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{i-1}-Z_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{iz}{z}_i}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{i-1}+Z_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{iz}{z}_{i+1}}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{i-1}-Z_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{iz}{z}_i}}{Z}_i\mathrm{,1}⩽i⩽m-\mathrm{1,}$

                    $Z^0\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\rho }_0{c}_0}{\cos {\beta }_0}\mathrm{,}{Z}^{m+n+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_{m+n+1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\rho }_{m+n+1}{c}_{m+n+1}}{\cos {\beta }_{m+n+1}}\mathrm{,}{Z}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\rho }_i{c}_i}{\cos {\beta }_i}\mathrm{,}$

                                  $k_{iz}\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_i\cos {\beta }_i\mathrm{,}{k}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_i}{c_i}\mathrm{,}{k}_i\sin {\beta }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_{i-1}\sin {\beta }_{i-1}\mathrm{,}$

                               $k_{jz}\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_j\cos {\beta }_j\mathrm{,}{k}_j\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_j}{c_j}\mathrm{,}{k}_j\sin {\beta }_j\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_{j+1}\sin {\beta }_{j+1}\mathrm{,}$

                    $Z^j\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{j+1}+Z_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{jz}{z}_{j+1}}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{j+1}-Z_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{jz}{z}_j}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{j+1}+Z_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{jz}{z}_{j+1}}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}^{j+1}-Z_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2i{k}_{iz}{z}_j}}{Z}_j\mathrm{,}m⩽j⩽m+n\mathrm{,}$

                               $Z_j\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\rho }_j{c}_j}{\cos {\beta }_j}\mathrm{,}{z}_i\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _{q\mathrm{<mo>=</mo>}i}^{m+1}}{d}_q+z\mathrm{0,}{z}_j\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{q\mathrm{<mo>=</mo>}m+2}^{j-1}}{d}_q+z0.$

4. Результаты численного моделирования поля направленного низкочастотного акустического излучателя в пограничном слое атмосферы

 С целью исследования влияния на амплитудную структуру звукового поля, создаваемого направленным низкочастотным излучателем в атмосфере, таких факторов, как его частота, высота и горизонтальное расстояние до приемников, при помощи разработанного авторами пакета прикладных программ была проведена серия вычислительных экспериментов.

Пространство, в котором находится источник, моделировалось системой из 10 однородных слоев. Из Международной стандартной модели атмосферы (International Standard Atmosphere, МСА, англ. ISA) были взяты среднемесячные значения плотности и скорости звука для летнего периода времени, приведенные в табл. 4.1.

 Таблица 4.1  Характеристики системы слоев

Table 4.1 Characteristics of the layer system 

 При проведении расчетов в качестве модели источника был выбран мультиполь, состоящий из монополя, диполя, квадруполя с моментами: $C_{nm}\mathrm{<mo>=</mo>1}+i$ для всех n и m. Предполагалось, что регистрация сигнала осуществляется датчиками колебаний, расположенными вдоль прямой на равных расстояниях друг от друга.

Во всех сериях расчетов в качестве базовых были выбраны следующие значения: частота источника 10 Герц, высота источника над поверхностью земли 390 м. Также считалось, что датчики колебаний находятся на высоте 220 м вдоль прямой, параллельной оси  OY системы координат, связанной с поверхностью Земли, на горизонтальном расстоянии 50 м от излучателя.

В первой серии численных экспериментов изучалось влияние на амплитуду звуковых колебаний частоты излучателя. Частоты брались в диапазоне от 10 до 35 Гц.

На рис. 4.1 изображены обезразмеренные значения амплитуды звуковых колебаний, создаваемых источниками частотой 10, 20 и 35 Гц. Как видно, увеличение частоты источника приводит к существенному уменьшению его амплитуды. Также с увеличением частоты источника существенно вырождается определяемая направленностью излучателя структура поля.

Рис. 4.1. Зависимость амплитудной структуры полей от частоты сигналов

Fig. 4.1. Dependence of the amplitude structure of the field on the frequency of the source

Далее была изучена зависимость амплитуды от высоты излучателя.

На рис. 4.2 изображены обезразмеренные значения амплитуды звуковых колебаний, создаваемых источником, находящимся на высоте 390, 690 и 890 м. Анализ графиков показывает, что положения точек максимума и минимума амплитуды сигналов зависят от высоты излучателя и с увеличением его высоты положение максимума смещается. Максимальное значение амплитуды поля наблюдается в точке расположения излучателя, что согласуется с экспериментальными данными и может быть использовано для решения обратных задач по обнаружению источников звука.

Рис. 4.2. Зависимость амплитудной структуры полей от высоты источника

Fig. 4.2. Dependence of the amplitude structure of the fields on the height of the source

Рис. 4.3. Зависимость амплитудной структуры полей от высоты источника

Fig. 4.3. Dependence of the amplitude structure of the fields on the height of the source

 При расположении источника на различных высотах наблюдаются качественно близкие интерференционные картины, которые определяются тремя факторами: влиянием изменения ориентации в пространстве характеристики направленности мультиполей относительно перемещающегося по горизонтали приемника; влиянием дипольного эффекта и влиянием увеличения расстояния между приемником и источником.

Кроме перемещения реальных источников в вертикальном направлении, типичным является их движение вблизи приемной антенны на некоторой фиксированной высоте с заданным горизонтальным расстоянием. Для анализа структурных особенностей сигналов в описанных условиях были рассчитаны значения амплитуды тонального сигнала в точках приема при разных значениях горизонтального расстояния между источником и приемниками.

В результате анализа графиков, приведенных на рис. 4.3, можно заметить, что поля на различных расстояниях имеют схожую структуру, но наблюдается небольшое изменение характера интерференции при удалении источника от приемников. Сохраняются и характерные особенности, такие как, например, максимум в точке расположения излучателя. На больших расстояниях амплитуда сглаживается.

Выводы

 1. В результате сравнительного анализа существующих моделей акустических излучателей установлено, что наиболее подходящей для описания направленного низкочастотного излучателя в пограничном слое атмосферы является параметрическая модель, предложенная в [18], основанная на замене реальных источников эквивалентным точечным направленным излучателем и описании создаваемого им поля при помощи разложения в ряд по сферическим мультиполям, образующим систему линейно независимых функций.

2. Использование в качестве модельного представления атмосферы неограниченного однородного пространства, однородного полупространства или однородного слоя является сильным упрощением. Более точным, учитывающим ее горизонтальную стратифицированность, является описание атмосферы системой однородных слоев.

3. Полученные соотношения (4) являются приближенным решением краевой задачи (1)$–$(3) и позволяют вычислять потенциал поля, создаваемого низкочастотным акустическим излучателем в пограничном слое атмосферы, а также могут быть использованы для решения прямых и обратных задач, связанных с мультипольным излучателем.

4. В неоднородном пространстве, которое моделируется системой однородных слоев, существенное влияние на амплитуду поля, создаваемого направленным низкочастотным излучателем, оказывают все рассмотренные факторы: высота и частота источника, а также горизонтальное расстояние между источником и приемниками.

В результате проведенных численных экспериментов установлено, что увеличение частоты источника приводит к существенному уменьшению его амплитуды, положение точек максимума и минимума амплитуды сигналов зависят от высоты излучателя, а при удалении источника от приемников наблюдается небольшое изменение характера интерференции.

Отмеченные закономерности позволяют формировать практические рекомендации по выбору зоны, в которой необходимо производить анализ характеристик источника в каждом конкретном случае.