ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЙ ПОДПРОГРАММЫ UMAT ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТИНУАЛЬНОЙ МЕХАНИКИ (ОБЗОР)

Полный текст

• 1. 1. Введение

        В настоящее время доступно множество функциональных пакетов программ, таких как Mechanical ANSYS, NASTRAN, SIMULIA Abaqus, MARC/Mentat и др., реализующих метод конечных элементов и способных решать сложные инженерные задачи [1–4]. Особую популярность получили программные комплексы SIMULIA Abaqus и Mechanical ANSYS, предоставляющие мощные и простые в использова- нии инструменты и возможности разработки, позволяющие пользователям легко выполнять моделиро- вание, анализ и постобработку полученных результатов [5–87]. Для моделирования различных матери- алов, не включенных в библиотеку материалов Abaqus, имеются специальные инструменты. В модуле Abaqus/Standard пользовательские модели реализуются с помощью подпрограммы UMAT(User-defined Material), в модуле Abaqus/Explicit – с помощью подпрограммы VUMAT. Через интерфейс подпрограм- мы пользовательского материала UMAT имеется возможность создать дополнительные модели матери- ала, описав их механическое поведение [55–87].

         

        1. Обзор задач, для решения которых применяется пользовательская процедура UMAT

           Хрупкое и вязкое квазистатическое разрушение твердых тел представляет собой сложный механиче- ский процесс, для изучения которого применяются разнообразные вычислительные подходы и активно используется набор процедур расчетного комплекса SIMULIA Abaqus.

           Расчетные процедуры комплекса SIMULIA Abaqus нашли широкое применение при моделировании процессов разрушения, происходящих в композиционных материалах [6–8]. Исследование и моделирова- ние нестабильностей из-за образования и распространения хрупкой межфазной трещины в волокнистых композитах приведено в работе Л. Тавары и соавторов [6]. Авторы используют подпрограмму UMAT для внедрения модели хрупкого разрушения композиционного материала, представляющего собой эпоксид- ную матрицу с углеродными волокнами. Процедура UMAT в данном исследовании нацелена на описание множественных отслаиваний включений от матрицы.

           В целом композиционные материалы давно используются в инженерной практике и в настоящее время находят все более обширное применение при проектировании и эксплуатации конструкций в раз- личных отраслях и при разных внешних температурно-механических воздействиях [6–8]. Следует отме- тить, что процедура UMAT используется для моделирования различных особенностей деформирования в условиях ползучести достаточно широко [7; 15; 21; 23; 24; 25]. Например, в композитах с полимерной матрицей возникают деформации ползучести даже при низких температурах из-за вязкоупругого поведе- ния матрицы [7]. Учет этих явлений является первостепенной задачей при проектировании композитных конструкций. Работа [7] посвящена изучению поведения таких материалов при ползучести. Авторами [7] были изучены изотропные материалы, в частности, полимеры, у которых сохраняются вязкоупругие свойства даже при низких температурах. На основе микромеханического подхода с использованием эле- ментарного репрезентативного объема проанализировано поведение композита с полимерной матрицей в условиях ползучести. Авторы предположили, что волокна являются линейно-упругими, а материал матрицы является вязкоупругим. Для проведения численного моделирования в пакете SIMULIA Abaqus была разработана подпрограмма UMAT для изучения одно- и разнонаправленных слоистых композитов в условиях ползучести на основе макромеханической теории.

           В настоящее время доступно несколько моделей ортотропного материала, учитывающих поврежде- ния композитных материалов с различными критериями разрушения и законами развития повреждений. В работе [8] представлен подход к разработке модели повреждения ортотропных композитных матери- алов, основанный на критерии разрушения Цая-Ву, изначально предложенного в работах [9; 10] и яв- ляющегося одним из наиболее известных критериев инициации разрушения. Авторы [8] протестировали и успешно реализовали свою модель с помощью UMAT.

           Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

           48Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

            

           В цикле работ Б.Н. Федулова [11-13] с помощью пользовательских процедур расчетной программы Abaqus рассмотрены задачи для нового критерия пластического течения, чувствительного к виду нагру- жения. Критерий пластичности описан в виде процедуры и введен в расчетную схему метода конечных элементов. Также с помощью нового критерия получены решения задач прочности термопластичных композицицонных материалов с полимерной матрицей. В работах [13] вводится параметр степени кри- сталличности, влияющий на механические свойства материала. Посредством специальной программы была создана конечно-элементная модель термопластического материала, учитывающая изменение сте- пени кристалличности материала как функции температуры.

           В работах [14; 15] проводится моделирование пластических свойств материала на основе конституцио- нальных соотношений модели градиентной пластичности, основанной на дислокационной модели Тейлора [16] как при малых, так и при конечных деформациях. Необходимость создания такой модели связана с наличием сильных размерных эффектов в микро- и субмикронных масштабах, не учитываемых при моделировании с помощью классических теорий пластичности. В проведенных исследованиях свойства материала и приложенные нагрузки связываются с физическим расстоянием до вершины трещины, где градиент деформации существенно влияет на распределение напряжений, тем самым определяя условия, при которых эффект пластической зоны должен быть учтен при определении напряженно-деформиро- ванного состояния в окрестности вершины трещины.

           Работа [17] посвящена исследованию влияния микроструктурных ловушек на диффузию водорода и охрупчивание при наличии циклических нагрузок. Разработана модель переноса водорода с несколь- кими ловушками, реализованная с помощью метода конечных элементов и подпрограммы UMAT и ис- пользуемая для регистрации изменения состояния в окрестности вершины трещины и концентрации захваченного водорода в зависимости от частоты нагрузки, энергии связи ловушек и их плотности.

           В [18] на основе конституционных уравнений градиентной пластичности представлен численный ана- лиз совместного влияния пластических свойств материала, вида напряженного состояния и параметра Тейлора структуры материала на поля напряжений и плотностей дислокаций вблизи вершины трещи- ны. Численные расчеты выполнены с привлечением вычислительного комплекса ANSYS. Определяющие соотношения градиентной теории пластичности были инкорпорированы в расчетный комплекс ANSYS посредством пользовательской подпрограммы USER-MATERIAL UMAT. В [18] установлено, что учет влияния характерного параметра структуры материала приводит к различным по масштабу эффектам повышения значений напряжений вблизи вершины трещины при плоском напряженном состоянии и плос- кой деформации по сравнению с решением для классической пластичности. На основе конечно-элемент- ных решений с использованием теории градиентной пластичности найдены поля плотностей дислокаций в функции расстояния до вершины трещины. Координата равенства значений компонент дислокаций отвечает внешней границе области преобладания градиентной пластичности. Показано, что плоское на- пряженное состояние приводит к более высоким значениям эквивалентных напряжений и плотностей дислокаций по сравнению с плоским деформированным состоянием при одинаковых условиях нагруже- ния. Выполнено многопараметрическое исследование и дана оценка коллективному влиянию пластиче- ских свойств и параметра Тейлора структуры материала в рамках теории градиентной пластичности. В [19] аналитически и численно исследованы механические поля у вершины трещины также с при- влечением теории градиентной пластичности. Конституциональные соотношения основаны на теории градиентной пластичности первого порядка (MSG), базирующейся, в свою очередь, на дислокационной теории Тейлора. Определяющие уравнения введены в коммерческий пакет ANSYS, реализующий метод конечных элементов, с помощью пользовательской подпрограммы. Рассмотрены две краевые задачи для образца с одним краевым надрезом и для двухосно нагруженной пластины. Целью исследования явля- ется определение напряженно-деформированного состояния у вершины трещины. Эффекты градиента деформации, связанные с механизмами упрочнения дислокаций, приводят к повышению напряжений в области, примыкающей к кончику трещины, по сравнению с традиционной деформационной теорией пла- стичности. Полученные численные результаты показывают, что порядок сингулярности, предсказанный теорией MSG первого порядка, равен или выше, чем в линейно-упругих телах. Авторы делают заклю- чение, что поля у вершины трещины не могут быть представлены в аналитической форме, аналогичной той, которую получают с помощью метода разделения переменных. В отличие от ранее показанной для теорий MSG пластичности более высокого порядка, порядок сингулярности проявляет зависимость от свойств пластичного материала. Аналитические и численные подходы используются для формулировки новых амплитудных (масштабных) коэффициентов. Для характеристики поля напряжений у вершины трещины предложен обобщенный J -интеграл, используемый для связи с нелинейным амплитудным ко-

           эффициентом.

           Описание механических полей (напряжений, деформаций и поврежденности) в непосредственной зоне, примыкающей к вершине трещин нормального отрыва и поперечного сдвига, на основе гради- ентной теории пластичности является предметом исследования в [20]. Определяющие соотношения гра-

           Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

           Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 49

            

           диентной теории пластичности снова инкорпорированы в расчетную схему метода конечных элементов с помощью пользовательской процедуры UMAT. На основе проведенного исследования авторы заклю- чают, что для заданного нагружения эффекты градиентной пластичности сильнее проявляются для плоского напряженного состояния, чем для плоского деформированного состояния. Вычислительные ре- зультаты показывают, что сингулярность поля напряжений зависит от типа смешанного нагружения и поля напряжений не могут быть представлены в подобной форме, которую получают с помощью метода разложения по собственным функциям.

           В диссертационной работе [21] в многопрофильном и междисциплинарном пакете Abaqus с помощью пользовательской процедуры UMAT реализовано моделирование разрушения полимерного композицион- ного материала в условиях ползучести. Автор обращается к трансверсально-изотропной вязкоупругой модели, предложенной Робинсоном и др. [22] и расширенной c учетом гидростатического напряжения. Вязкоупругая модель имеет следующую форму:

           ij

            

           e˙ij = ε˙e

           + ε˙ij , (1.1)

           

           

           

           ε˙ij = 3 Φn−1 Γij

           1

           , (1.2)

           ε˙o 2

           σo ψn

           

           −

            

           ψ˙ = 1

           (m + 1)to

           

           ∆v 1

           ψm

           , (1.3)

           ij

            

           где εe

           — компоненты упругой деформации,

           e˙ij и

           ε˙ij — компоненты скорости общей деформации и

           деформации ползучести (вязкоупругой), соответственно; σij — компоненты напряжений Коши; σo — эквивалентное напряжение; ε˙o, n, m, to и v константы материала; Φ — потенциальная функция диссипа- ции; ∆ — изохронная функция поврежденности и ψ — параметр сплошности Качанова. Значение ψ = 1 соответствует неповрежденному материалу, ψ = 0 показывает, что материал полностью разрушен. Функ- ции Φ и ∆ зависят от инвариантов напряжений σij , девиатора напряжений sij и тензора ориентации композиционного материала Dij :

           J2 = sijsij/2, Jo = Dijsij, I = σii, Io = Dijσij, J = Dijsjkski. (1.4) Потенциальная функция диссипации Φ и функция Γij имеют вид

           

           Φ = √3[J2 − ξ(J − J 2) − (ζ − η)J 2 + 1/9(ζ − 4η)I2]/σo, (1.5)

           o o

           Γij = ∂Φ/∂σij = sij − ξ(Dikskj + sik Dkj − 2JoDij ) − 2(ζ − η)Jo(Dij −

           −1/3δij ) + +2/9(ζ − 4η)Iδij. (1.6)

           Здесь ξ, ζ, η – параметры анизотропии, подбираемые, исходя из следующих неравенств [22]:

           4(ζ − η) − 3ξ � 0,

           2(ζ − η) − 3ξ � 0,

           1 + 4η − 2ζ � 0,

           ζ − 4η � 0.

           Изохронная функции поврежденности ∆ вычисляется следующим образом:

           ∆ = ∆(σij, Dij ) = ∆(N, S), (1.7)

            

           ∆(N, S) =

           [( N )p

            

           

           σo

           ( αS )p]1/p

           

           +

           σo

            

           , (1.8)

           N = (I − Io)

           2

           

           √

           + J2 +

           1

           o

            

           −

            

           J 2 J , (1.9)

           4

           

           o

            

           S = √J − J 2. (1.10)

           Описав данные законы и уравнения в подпрограмме UMAT, автору удалось провести конечно-элемент- ные расчеты в пакете Abaqus для целого ряда образцов с использованием трансверсально-изотропной вязкоупругой модели с учетом поврежденности материала.

           Другим способом описания закона ползучести является введение вязкоупругой конституциональной модели с операторами дробного интегрирования и дифференцирования. Преимущество ее обусловлено тем, что напряжения и смещения зависят от предыдущих напряжений и деформаций, что позволяет учи- тывать предыдущие значения материала. Существует несколько дробных аналогов вязкоупругих моделей типа Кельвина, Фойхта и Максвелла [23]. Данные модели описаны в работе [24], и авторы реализовали их в Abaqus посредством подпрограммы UMAT. Авторами работы [26] проведена разработка модели ортотропной нелинейной ползучести, учитывающей влияние влажности. Процедура UMAT предоставля- ет широкие возможности ее применения и позволяет описать такие свойства, как набухание материала под действием влажности.

           Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

           50Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

            

           Подпрограмма UMAT была использована для описания механического поведения различных конкрет- ных материалов, например, стали, древесины, бетона или полимерной пены [27–64]. Аустенитная нержа- веющая сталь демонстрирует сложное механическое поведение, проявляющееся в появлении пластиче- ских деформаций при низких температурах, вызванное фазовыми превращениями [27]. Для ее описания требуется модель вязкопластического материала, учитывающая действие предварительной деформации и температуры. Такая модель предложена в работе [27] и реализована с помощью пользовательской подпрограммы UMAT, имеющей преимущества при прогнозировании поведения материалов, таких как аустенитная нержавеющая сталь.

           Одним из широко используемых материалов в настоящее время остается древесина. Ее главным преимуществом являются экологичность и прочность, в связи с этим древесный материал пользуется большой популярностью [28–31]. Но остается вопрос о его долговечности. Большой интерес вызывает возможность смоделировать древесный материал и спрогнозировать его механическое поведение [28–31]. Древесина обычно представляет собой неоднородный ортотропный материал с различными уникальны- ми и независимыми механическими свойствами в трех взаимно перпендикулярных осях, определяемых направлением волокон. Кроме того, механические свойства древесины, включая прочность, модуль упру- гости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона, меняются не только по направлению, но и зависят от ви- да напряженного состояния. Развитие моделей механического поведения древесины приведено в работах [30; 31]. Авторами предложены модели поведения древесины и проведено моделирование ее нелинейного механического поведения разными способами. Статья [31] направлена на разработку пользовательской процедуры UMAT для древесного материала с помощью модели изотропного упругопластического упроч- нения в сочетании с критерием текучести Хоффмана [31; 32], анизотропным повреждением и критерием разрушения Сандаса [33]. В работе [30] моделируется ортотропный материал и используется критерий разрушения Цая-Ву [9]. Другим распространенным материалом является асфальтобетонная смесь. Ее правильная подготовка непосредственно влияет на качество и срок службы дорожного покрытия. Одной из основных проблем остается образование колеи на асфальтовом покрытии. Исследование колейности становится сложной задачей из-за присущей асфальтовой смеси вязкоупругих свойств и различных внеш- них факторов, включая температуру и нагрузку. В настоящее время метод конечных элементов широко используется в исследованиях дорожных покрытий [34–37]. В работе [34], например, авторы применили разработанную модель посредством подпрограммы UMAT и изучили влияние деформации дорожного полотна на колейность.

           Полимерные пены, такие как пенополиуретан и пенополистерол, активно используются благодаря своим превосходным свойствам, таким как легкость, высокая удельная жесткость и прочность, способ- ность поглощать энергию. Полимерная пена является пористым материалом и обладает ортотропными, поперечно-изотропными и изотропными свойствами в зависимости от процесса вспенивания, наличия добавок и других факторов. Кроме того, из-за наличия пустот поведение материала при одноосном рас- тяжении и сжатии несоизмеримо отличается друг от друга. Например, под действием растягивающей нагрузки полимерная пена проявляет упругость, а после достижения определенного уровня деформа- ции может произойти внезапное хрупкое разрушение. Однако при сжимающей нагрузке последовательно проявляются упругое и неупругое поведение, при котором наблюдаются разупрочнение, падение напря- жения и уплотнение. Моделирование поведения и разрушения изотропной полимерной пены при сжатии в зависимости от скорости деформации и температуры выполнялось в работе [64], где авторами были ис- пользованы более ранние работы и модели. Поведение полимерной пены при упруго-вязкопластическом деформировании с учетом накопления повреждений и с использованием модифицированной модели Гур- со — Твергаарда — Нидельмана [38; 39], отвечающей за уменьшение доли пустотного объема и модуля упругости при одноосном сжатии, и модифицированной модели Хана — Хуана — Лианга [40; 41], для оценки нелинейного поведения пенополимеров в зависимости от скорости деформации и температуры приведено в работе [64]. А для моделирования поврежденности было использовано уравнение эволюции поврежденности Леметра [42], объединенное с моделью Гурсо — Твергаарда — Нидельмана для оцен- ки развития повреждения (или уменьшения модуля упругости), вызванного увеличением деформации сжатия. Модель Гурсо — Твергаарда — Нидельмана имеет следующий вид [39]:

            

           φ = J2(s) −

           y

            

           σ2 [

            

           

           3

           1 + q3f ∗2

           − 2q1f ∗

            

           cosh

           ( 3q2σh )]

           

           2σy

            

           , (1.11)

            

           где φ – функция текучести, s — девиатор тензора напряжений, J2(s) — второй инвариант девиатора тензора напряжений, σy , σh обозначают предел текучести и гидростатическое напряжение и q1, q2, q3 — материальные параметры. Для учета слияния пор В. Твергаард и А. Нидельман предложили исполь-

           зовать в условии пластичности Гурсо эквивалентную пористость f ∗, вычисляемую в соответствии со

           Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

           Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 51

            

           следующим уравнением:

           

           

            

           f¯∗

            

           f f � fC,

           C

            

           f ∗ =  f

           

           + F − fC (f

• fC

) fC

< f < fF ,

(1.12)

fF − fC

 f¯F fF � f,

где f — объемная доля пустот, fC — критическая пористость, до которой поры не взаимодействуют,

1

 

fF — пористость, соответствующая разрушению, и f¯F = (q1 + √q2 − q3)/q3 — предельная пористость.

Модифицированная модель Хана — Хуана — Лианга [40; 41] для расчета зависимости поведения

материала от скорости деформации и температуры выглядит следующим образом:

{[ (

ln ε˙

)n1 ] [

( ε˙ )]

[ ( ε˙ )]}

σ = A1 + B

ln Dp

 

1 −

0

pn0

exp

A2 ln

 

ε˙0

+ A3 exp

A4 ln

ε˙0 ×

(1 − m2T ∗)m1

× λf

T − Tr

, (1.13)

T ∗ =

Tm − Tr

, (1.14)

0

 

где A1, A2, A3, A4, B, n0, n1, m1 и m2 – материальные параметры, Tm – максимальная температура, при которых пенополиуретан применяется для промышленных конструкций. Коэффициенты A1, A2, A3, A4 определяют тенденцию зависимости предела текучести по отношению к скорости деформации, B, n0 определяют форму зависимости напряжения от деформации, а n1, m1,2 контролируют скорость дефор- мации и температурную чувствительность. σ – интенсивность напряжения, ε˙ – интенсивность скорости деформации, ε˙0 – характерная скорость деформации, Dp – максимальная скорость пластической дефор- мации. Величина λf представляет собой соотношение напряжений в пористом состоянии с начальной объемной долей пустот f0 и в плотном состоянии без начальной объемной доли пустот. Модифицирован- ная модель Гурсо — Твергаарда — Нидельмана (1.11) c уравнением эволюции поврежденности Леметра примет следующий вид:

φ = J2(s)

(1 − D)Q2 −

y

 

σ2 [

 

3

1 + q3f ∗2 − 2q1f ∗ cosh

( 3q2σh

2σy

)]

, (1.15)

Geff = (1 − D)Q2 G, (1.16)

где D – параметр поврежденности, в данной модели представляющий собой объемную долю пустот, и закон его эволюции следует из закона сохранения массы. Q2 – параметр материала, который контроли- рует влияние повреждения на тензор упругих модулей. В соответствии с этим эффектом тензор упругих модулей Geff модифицируется согласно уравнению (1.16). Данные модели описываются в Abaqus посред- ством подпрограммы UMAT, проводится серия испытаний на сжатие полимерной пены, и результаты сравниваются с экспериментальными данными.

Пользовательские подпрограммы UMAT также нашли свое применение при реализации механических моделей перидинамики, которая является перспективным подходом в практических инженерных задачах [43–52].

Впервые термин «перидинамика» ввел С.А. Силлинг (Национальная лаборатория Сандии) в своей работе «Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces», опубликованной в 2000 году [43], для прогнозирования и моделирования развития разрушения элементов конструкций. Впослед- ствии теория получила существенное обобщение и распространение в других областях знания. Периди- намика сегодня стала единым физическим подходом, позволяющим предсказывать развитие поврежден- ности на разных масштабных уровнях в элементах конструкций. С момента своего создания перидина- мика растет в геометрической прогрессии благодаря вкладам и публикациям исследователей из разных уголков мира [45–48]. Перидинамическая теория – это альтернативная форма механики сплошных сред, которая более удобна, по сравнению со стандартной (локальной) теорией, для описания разрывов (рас- пространяющиеся трещины). В перидинамической теории уравнения движения и материальные модели используют интегральное представление, а не дифференциальные уравнения в частных производных. Это позволяет применять перидинамические уравнения непосредственно к поверхности трещины. Из- начально перидинамика создавалась для моделирования семейств трещин, процесса их образования и ветвления, что значительно отличает ее от традиционной классической механики линейного упругого разрушения [45–48]. Появление перидинамики обусловлено тем, что при рассмотрении и моделировании развития трещин появилась необходимость учитывать такие явления, как неоднородность тел и, прежде всего, наличие внутренних сил, возникающих на ненулевых расстояниях [45]. Классический метод изу- чения разрушения и роста трещин, основанный на моделях механики сплошных сред, базирующейся на

Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

52Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

 

уравнениях в частных производных, не дает полного представления о процессах, приводящих к обра- зованию трещин и разрывов. Суть перидинамики заключается в рассмотрении равновесия и движения твердых тел с помощью интегральных уравнений, а не дифференциальных. Основным преимуществом такого метода является изучение тел малой величины (наномасштаба) [49]. В отличие от механики раз- рушения линейно-упругих тел перидинамика дает возможность рассматривать вопросы разрушения и роста трещины с учетом поведения материала вблизи вершины трещины, ее распространения внутри материала, а также учета межатомных связей в кристаллической решетке материала. Поэтому периди- намику можно считать альтернативной формой механики сплошных сред. Еще одной из причин появле- ния перидинамики является то, что уравнения в частных производных классической теории механики сплошных сред теряют смысл вблизи вершины трещины или поверхности растущей трещины, посколь- ку непосредственно у вершины не существует требуемых частных производных. Поэтому исследователи стремятся переформулировать модель континуума, чтобы избежать этой проблемы [45]. Подход заклю- чается в использовании интегральных уравнений, а не уравнений в частных производных. Образование и рост трещин является результатом некоторого процесса: накопление изменений внутри материала, которые изменяют его до такой степени, что тело не может больше рассматриваться как континуум. Традиционная механика линейного упругого разрушения не дает полного понимания об этом процессе, сводя детали того, что происходит вблизи вершины трещины, к таким параметрам, как коэффициент интенсивности напряжений и критериальные соотношения, которые помогают смоделировать эволюцию трещины в терминах данных параметров. Еще одним преимуществом перидинамики является правиль- ный прогноз важных параметров динамического распространения и ветвления трещин, таких как: форма траекторий трещин, общий профиль распространения трещин. Для решения таких задач в перидина- мике используют теорию фазового поля [45; 48; 49; 50]. Ее преимущество заключается в объединении механики разрушения и повреждения в единую структуру. В зависимости от модели повреждений, ос- нованных на фазовом поле, предпочтение отдается двум подходам: динамическим моделям разрушения фазового поля, основанным на уравнениях эволюции фазового поля типа Ландау — Гинзбурга [48] и фазового поля, основанным на теории Гриффитcа [50]. В обеих теориях разрывы задаются с помощью дополнительной переменной поля, называемой фазовым полем или параметром порядка [48; 49]. Этот подход позволяет отслеживать самопроизвольное возникновение и распространение трещин, устраняя необходимость в специальных алгоритмах моделирования траектории трещин, как в обычной механи- ке разрушения. Это делает модель более гибкой в вычислительном отношении. Наблюдая за фазовым полем в различных точках материала, можно определить состояние материала. В модели фазового по- ля неповрежденное, разрушенное и поврежденное состояние материала соответствуют S = 1, S = 0 и

S ∈ (0, 1) соответственно, где S обозначает фазовое поле. В этой модели имеется необходимость сов-

местного решения управляющего уравнения для фазового поля в сочетании с уравнениями баланса

импульса.

Работы [54–57] посвящены реализации подхода, основанного на методе фазового поля, в конечно-эле- ментном пакете Abaqus с использованием пользовательских подпрограмм UMAT/VUMAT и VUEL/UEL. Обширное применение пользовательские подпрограммы UMAT/VUMAT получили при изучении вза- имного влияния поврежденности и ползучести [42–64], [57–70]. По всей видимости, первыми работами, в которых скалярная и тензорная мера поврежденности были инкорпорированы в расчетный комплекс SIMULIA Abaqus, были работы Петра Мика [58–60]. В [58; 60], по-видимому, впервые в процедуру много- целевого комплекса Abaqus была введена тензорная мера поврежденности в рамках модели ортотропного поврежденного материала, текущее состояние которой описывается тензором второго ранга. Предполага- ется, что тензор деформаций связан с тензором напряжений и тензором поврежденности соотношением

ε = F (σ, D) (1.17)

и в рассмотренном в [58] случае данное соотношение – линейное:

εij = Aijkl(Dmn)σkl. (1.18)

Физические свойства материала задаются матрицей податливости вида

ν

Aijkl = − E δijδkl +

D1

1 + ν

(δikδjl + δilδjk ) +

2E

+

4(1 + D1)E

(δik Djl + δilDjk + δjlDik ) . (1.19)

Для формулировки кинетического уравнения можно использовать тензор Ω, связанный с тензором по- врежденности равенствами

Di

i

 

Ωi = 1 + D , i = 1, 2, 3. (1.20)

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 53

 

Стандартная процедура Abaqus требует, что уравнение (1.17) было представлено в форме

ε = K · σ, (1.21)

где K – тензор второго ранга с компонентами Kij,

εT = [ε11, ε22, ε33, ε12, ε13, ε23] , (1.22)

σT = [σ11, σ22, σ33, σ12, σ13, σ23] , (1.23)

Компоненты тензора K определяются следующим образом:

K = 1 ( K˜11

K˜12

)

, (1.24)

K

 

E

где подматрицы являются выражениями

12

 

˜ T K˜22

 1 + Ω1D11 −ν −ν 

K˜11 = 

−ν 1 + Ω1D22 −ν

−ν −ν 1 + Ω1D33

 , (1.25)

 Ω1D12 Ω1D13 0

K˜12 =  Ω1D12 0 Ω1D23

0 Ω1D13 Ω1D23



 , (1.26)

 

 ν˜ + Ω1 (D11 + D22) Ω1D23 Ω1D13 

K˜22 = 

Ω1D23

ν˜ + Ω1 (D11 + D33) Ω1D12

 , (1.27)

Ω1D13 Ω1D12

ν˜ + Ω1 (D22 + D33)

где

ν˜ = 2 + 2ν. Текущее состояние поврежденности определяется с помощью интегрирования эволюци-

онного уравнения накопления поврежденности вида

2

∂tΩi = k (MNT)

σiH(σi), i = 1, 2, 3. (1.28)

В уравнении (1.28) Ωi –главные значения симметричного тензора поврежденности, σi – главные значе- ния тензора напряжений, H(σi) – функция Хэвисайда, входящая в эволюционное уравнение, отражает отсутствие процесса накопления повреждений при действии сжимающих напряжений, k – материальная постоянная, N и M – вектор-строки с компонентами

M = [ 1 − 2ν ,

6E

1 + ν

,

2E

Ω1 ]

E

 

, (1.29)

 

где S – девиатор напряжений.

N = [tr2σ, trS2, tr(σ2D)] , (1.30)

С помощью уравнений (1.17) – (1.30) проведено численное исследование развития поврежденности для различных значений показателя ползучести n. В [61] автор, опираясь на вычислительный экспе- риммент, приходит к выводу, что качественная природа распределения поврежденности не зависит от показателя ползучести n, ибо отличие между главными значениями тензора поврежденности Ω1 в мо- мент разрушения для каждого значения параметра n не превышает 5 %, что и приводит к близким уровням поврежденности.

Анализу задач континуального разрушения термо- и пороупругих сред в связанной постановке по- священы работы О.Я. Извекова и А.М. Крупейника [62; 63]. С помощью UMAT и UMATHT авторам удалось решить связанную задачу теплопроводности и накопления поврежденности.

В работе [25] представлен анализ ползучести с учетом влияния изменения геометрии изгибов труб при комбинированных нагрузках и внутреннего давления на основе метода конечных элементов. Для моделирования повреждения при ползучести используются модифицированные уравнения Качанова — Работнова [67], имеющие следующий вид;

dεc

 

ij = 3 Bσn−1

[(1 − ρ) + ρ(1 − D)−n]

 

, (1.31)

 

dt 2

e Sij

dD A

= g

 

(σr )v

 

, (1.32)

dt φ + 1 (1 − D)φ

1

 

ij

 

где εc

Dcr = 1 − (1 − g) φ+1 , (1.33)

– тензор деформации ползучести, Sij – тензор девиатора напряжений, D – параметр повре-

жденности и Dcr – критическое значение параметра поврежденности, D/Dcr = 1 соответствует пол- ному разрушению. Параметры B, n, A, v – постоянные материала, которые относятся к минимальной

Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

54Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

 

скорости деформации ползучести, g, φ, ρ – постоянные, которые учитывают неоднородность накопления поврежденности. Эквивалентное напряжение σr зависит от максимального главного напряжения и ин- тенсивности напряжения в соответствии со следующей формулой:

σr = ασ1 + (1 − α)σe (1.34)

где α – постоянная материала, отражающая влияние многоосного напряженного состояния. Значение α может принимать значения от 0 до 1. Максимальное главное напряжение доминирует при α = 1, а эквивалентое – при α = 0. Авторы реализовали модель развития повреждений с помощью пользова- тельской подпрограммы UMAT и получили различия в распределении деформации с использованием геометрической нелинейности и без ее учета. В целом в данной работе представлен детальный числен- ный анализ длительной ползучести в трубах с изгибным соединением под действием комбинированной нагрузки (изгиб и внутреннее давление).

Моделирование накопления повреждений в образцах с концентраторами напряжений в линейно-упру- гом изотропном материале рассмотрено в работах [68; 70–72]. Исходная модель анизотропной повре- жденности боросиликатного стекла, которая зиждется на тензоре поврежденности второго ранга, была выдвинута в статьях [73; 74]. В [70] показано, что с помощью анизотропной модели поврежденности можно качественно описать трещинообразование в стекле при вдавливании штампа.

В работе [71] в Abaqus с помощью подпрограммы UMAT проведено компьютерное имитационное моделирование процесса накопления повреждений в опытных образцах с круговыми отверстиями в ма- териале с определяющими уравнениями линейной теории упругости, включающими компоненты тензора второго ранга – тензора поврежденности. Принимается, что внедиагональные компоненты тензора по- врежденности обращаются в нуль, а диагональные компоненты вычисляют следующим образом [70]:





Dii = T



0 σi � σth,

σi − σth(T ) σ < σ < σ , σe(T ) − σth(T ) th i c

1 σi � σc ,

 

(1.35)

где приняты следующие обозначения: σi, i = 1, 2, 3 – главные напряжения, σth, σc – пороговое и крити- ческое значения напряжений соответственно, Dij – компоненты тензора поврежденности. При значении напряжений ниже порогового значения накопления повреждений не происходит. При достижении глав- ными напряжениями критических значений σc материал считается полностью поврежденным Dii = 1. Определяющие уравнения материала представляются в форме

 σ11 



 



 

 σ22 

 

 ε11 



 



 

 ε22 

 

 σ33

 = A  ε33

 , (1.36)



 

σ12

 

 ε12 

 ε13 

 σ13 

 σ23 

 



 

 ε23 

 

λ + 2µ + 2D11(C1 + C2)	0	0	0	0	0
λ + C1(D11 + D22)	λ + 2µ + 2D22(C1 + C2)	0	0	0	0
λ + C1(D11 + D33)	λ + C1(D22 + D33)	λ + 2µ + 2D33(C1 + C2)	0	0	0
0	0	0	µ	0	0
0	0	0	0	µ	0
0	0	0	0	0	µ

 

 

 

 



 



 

A =   ,

 

 



 



 

 

 

где λ, µ – постоянные Ламе, а C1, C2 – постоянные материала, определяемые экспериментально. В ре- зультате найдено численное решение задачи о трещинах в материале с поврежденностью в связанной постановке (упругость-поврежденность).

В настоящее время проводятся моделирование широкого спектра материалов и конструкций, напри- мер, глубоководных подводных оконных иллюминаторов под действием постоянного давления морской воды [65] и исследование контактных задач. Например, в работе [66] авторами изучено влияние де- формаций ползучести и контактной ползучести между шероховатыми поверхностями на долговечность болтовых композитных соединений. В ряде работ [75; 76] с помощью UMAT проводилось введение в Abaqus различных критериев разрушения и их сравнение.

Различным аспектам процессов взаимного влияния эволюции поврежденности и изменения напря- женно-деформированного состояния и их численному моделированию с помощью конечно-элементного подхода посвящены исследования [77–79].

В [77] авторы анализируют явление накопления повреждений в условиях ползучести в двухосно на- груженной пластине при плоской деформации и в компактном образце конечной толщины с использо- ванием степенного эволюционного уравнения накопления повреждений.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 55

 

Возможность описания любых моделей материала при помощи применения подпрограммы пользова- тельского материала UMAT дает существенную гибкость и широту при использовании программного комплекса Abaqus и позволяет решать обширные классы задач.

В заключение отметим одну из последних работ [79], посвященную расчету турбины – ответствен- ного элемента конструкции, находящегося в реальных эксплуатационных условиях. Паровые турбины состоят из толстостенных компонентов, подвергающихся воздействию высоких температур и цикличе- ским нагрузкам. С целью уменьшения глобального углеродного следа в настоящее время двойная цель обычной электростанции с приводом от паровой турбины заключается в максимизации тепловой эф- фективности и в то же время обеспечении гибкой работы для интеграции возобновляемых источников энергии. Первая цель исторически достигается за счет повышения температуры и давления, при которых паровая турбина работает за счет более высокого использования срока службы при ползучести. Чтобы соответствовать меняющимся требованиям к электросетям из-за возобновляемых источников энергии, гибкая работа электростанций приводит к более высокому потреблению усталостного ресурса. Поэтому взаимодействие ползучести и усталости паровых турбин имеет большое значение в настоящее время. Высокие требования к надежности, эксплуатационной готовности и аспекты безопасности человека тре- буют точного прогнозирования повреждений паровых турбин из-за таких взаимодействующих явлений. Закон линейного накопления повреждений, применяемый в настоящее время в промышленности, ча- сто переоценивает накопленную поврежденность. Напротив, усовершенствованная модель циклического вязкопластического поведения с учетом процессов накопления повреждений, базирующаяся на контину- альной механике сплошных повреждений, позволила определить распределение поврежденности. Одна- ко сложные по своей природе обобщенные модели имеют существенный недостаток, заключающийся в большом времени вычислений. В [79] представлен новый подход к прогнозированию накопления повре- ждений с использованием смешанной формулировки, основанной на аналитических результатах, и мето- дов конечных элементов с использованием передовых определяющих моделей континуальной механики сплошных сред, направленных на сокращение времени вычислений без существенной потери точности. Накопление повреждений для прогнозирования возникновения мезотрещин представлено с использовани- ем трех различных подходов. Полученные результаты сравниваются с точки зрения точности и времени вычисления.

Таким образом, можно заключить, что континуальная механика поврежденности, пройдя долгий путь от первых пионерских работ Ю.Н. Работнова и Л.М. Качанова, становится в наше время эффективным инструментом и общим подходом для построения решения задач механики, инженерии и смежных с ними направлений.

 

1. Описание подпрограммы UMAT

   В этом разделе приведены общие сведения о UMAT и краткое описание основных переменных. При описании поведения материалов в пользовательских процедурах UMAT/VUMAT используется программ- ный код языка FORTRAN. Для работы подпрограмм UMAT/VUMAT необходимо установить дополни- тельное программное обеспечение и создать связку между тремя программами: Abaqus, Visual Studio и Parallel Studio. Необходимо обеспечить совместимость версий данных программ, например, рабочим является использование связки Abaqus версии 6.14, Visual studio 2012 Professional, Intel Composer XE Suites 2015. Список всех совместимых версий представлен на сайте [80]. В модуле «Material» необходи- мо выбрать тип «User Material», сам файл с кодом с расширением .for подключается в модуле «Job» во вкладке «General».

   Пользовательская подпрограмма UMAT вызывается для каждой материальной точки на каждой итерации каждого приращения. Во всех случаях для механической модели конституциональных соот- ношений в подпрограмме необходимо объявить матрицу Якоби ∂∆σ/∂∆ε, где ∆σ — это приращение напряжений, ∆ε — приращение деформаций. В UMAT заполняют матрицу DDSDDE(i, j) значения- ми, определяющими изменение i-го компонента напряжения в конце приращения, вызванное бесконечно малым возмущением j-го компонента массива приращения деформаций. Для вязкоупругого поведения матрица Якоби должна иметь размер (NTENS, NTENS, 2). Модуль упругости должен быть указан в DDSDDE(NTENS, NTENS, 1), а модуль потерь — в DDSDDE(NTENS, NTENS, 2), где NTENS — размер- ность массива, содержащего компоненты тензоров напряжений или деформаций. Для любой нетривиаль- ной задачи определение матрицы Якоби является сложной задачей. Массив STRESS(NTENS) передается в качестве тензора напряжений в начале приращения и должен быть обновлен до конца приращения. Многие модели описания материалов требуют хранение переменных состояния Statev(NSTATV), завися- щих от решения. Для переменных состояния необходимо выделить место путем задания их количества в поле Depvar в программе Abaqus. NSTATV — количество переменных состояния, связанных с этим

   Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

   56Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

    

   типом материала. Массив STRAN(NTENS) содержит полные деформации в начале приращения, а в массиве DSTRAN(NTENS) хранятся приращения деформаций. Для заданного приращения деформации

   ∆εn+1 результаты предыдущего временного шага tn, т. е. напряжения σn и деформация εn, исполь- зуются для вычисления и обновления матрицы Якоби (DDSDDE), тензора напряжений (STRESS) и переменных состояния (STATEV), зависящих от решения на текущем временном шаге tn+1. В перемен- ной TIME(1) записывается время шага в начале приращения, в TIME(2) записывается общее время, в TIME — приращение времени. В переменных SSE, SPD, SCD задаются удельная энергия упругой деформации, пластическая диссипация и диссипация ползучести соответственно. В начале программы, как правило, идет описание переменных, используемых в UMAT, и в массив PROPS(NPROPS) вводят- ся материальные постоянные, число которых равно NPROPS. Более подробно о подпрограмме UMAT можно прочитать на сайте [81]. Примеры реализации некоторых моделей с помощью пользовательских процедур UMAT и VUMAT можно найти в руководствах [82; 83].

    

2. Результаты моделирования

   В пакете SIMULIA Abaqus проведен ряд численных расчетов с целью моделирования поведения пла- стины с центральным круговым отверстием в условиях ползучести. Выполнено компьютерное модели- рование всестороннего и одноосного растяжения пластины с центральным круговым отверстием. На рис. 3.1 приведены изображения модели с указанием размеров, типа сетки и схемы нагружения при моделировании одноосного растяжения пластины.

    

   

   Рис. 3.1. Размеры модели, вид сетки и схема приложения нагрузки при реализации

   одноосного растяжения

   Fig. 3.1. Dimensions of the model, the type of grid and the scheme of load application in the implementation of a uniaxial sprains

    

   Для моделирования ползучести с помощью пользовательской подпрограммы UMAT выбран степен- ной закон Нортона, являющийся наиболее экспериментально проверенным [84]. Выбор обусловлен еще и возможностью сравнить результаты моделирования, полученные с помощью пользовательской подпро- граммы, с результатами моделирования в Abaqus, когда закон ползучести задан в модуле материала.

   Определяющий степенной закон ползучести имеет следующий вид:

    

   3 n−1

   

   ε˙ij = 2 Bσe Sij, (3.1)

   

   

   2

    

   σe = √ 3 Sij Sij, (3.2)

    

   

   3

    

   где ε˙ij – компоненты скорости деформации ползучести, σij – компоненты напряжений Коши, σe – ин- тенсивность напряжения, n, B – постоянные материала; Sij = σij − 1 σkkδij – компоненты девиатора на-

   пряжений, где δij – символ Кронекера. При моделировании используются следующие характеристики материала: модуль Юнга E = 210000 кГ/см2, коэффициент Пуассона ν = 0.3, коэффициент B = 2.634 ×

   × 10−13 (кГ/см2)−n(h)−1 и показатель закона Нортона для установившейся ползучести n = 5. Вообще,

   показатель n для металлов колеблется от 3 до 8, а для ряда современных высокопрочных сталей из-

   меняется до 18 [85–87], для чистых металлов примерно равен 4 [84]. Время деформирования T = 10 ч, нагрузка P = 10 кГ/см2.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 57

    

   В результате моделирования получили полное совпадение распределений напряжений и деформаций в случае описания закона посредством пользовательской процедуры UMAT и в случае задания степен- ного закона через интерфейс многофункционального комплекса SIMULIA Abaqus в модуле описания материала.

   Затем степенной закон ползучести был модифицирован путем добавления закона накопления повре- жденности Работнова — Качанова следующим образом:

    

   3 ( σe )n−1 Sij

   

   

   ε˙ij = 2 B ψ

   

   ψ˙ = − 1

    

   

   ( σe

   

   , (3.3)

   ψ

   )m

   , (3.4)

   (m + 1) ψ

    

   где ψ – параметр сплошности Качанова. ψ = 1 соответствует неповрежденному материалу, ψ = 0 по-

   казывает, что материал полностью разрушен. Также часто используется параметр поврежденности ω, связанный с параметром сплошности с помощью следующего выражения ω = 1 − ψ. При моделировании констант материала m была задана равной 3.5, чтобы выполнялось соотношение m ≈ 0.7 n, выведенное

   экспериментально [85]. Более подробно о параметрах материала, участвующих в уравнениях ползуче- сти и поврежденности, можно ознакомиться в работах [86; 87], где также приведены значения констант для некоторых материалов.

   С целью проверки адекватности описания поведения материала с помощью модифицированного за- кона ползучести было проведено моделирование всестороннего растяжения пластины с круговым от- верстием. Задача симметричная, следовательно, распределения напряжений, деформаций и сплошности должны быть симметричны. На рис. 3.2 приведены полученные в результате расчета распределения интенсивности напряжений и параметра сплошности.

    

   

   а б

   Рис. 3.2. Всестороннее растяжение пластины с круговым отверстием. Распределения:

   а — интенсивности напряжений и б — параметра сплошности

   Fig. 3.2. All-round stretching plate with a circular hole. Distributions: a — intensity stresses and b — continuity parameter

   

    

   Рис. 3.3. Одноосное растяжение пластины с круговым отверстием. Распределение интенсивности

   напряжений с течением времени

   Fig. 3.3. Uniaxial stretching of the plate with a circular hole. Voltage intensity distribution over time

    

   Далее модель ползучести с учетом поврежденности применили при компьютерном моделировании одноосного растяжения пластины с круговым отверстием. На рис. 3.3 представлены картины распреде- ления интенсивности напряжений с течением времени. На рис. 3.4 приведены распределения компонент тензора напряжений σ11, σ22, σ12 с течением времени. Показаны картины в момент времени 1, 3, 9, 15 часов, что соответствует 1, 3, 5, 7 итерации.

   Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

   58Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

    

   

   

   а

   

   

   

   

   б

   

   в

   Рис. 3.4. Одноосное растяжение пластины с круговым отверстием. Распределение компонент тензора

   напряжений: а — σ11; б — σ22; в — σ12 с течением времени

   Fig. 3.4. Uniaxial tension of a plate with a circular hole. Distribution of tensor components stresses: a — σ11;

   

   

   b — σ22; c — σ12 over time

    

   а

    

   б

    

   в

   Рис. 3.5. Одноосное растяжение пластины с круговым отверстием. Распределения компонент тензора

   деформаций ползучести: а — εc ; б — εc ; в — εc

   11 22 12

   Fig. 3.5. Uniaxial tension of a plate with a circular hole. Distributions of tensor components creep strains:

   a — εc ; b — εc ; c — εc

   11 22 12

    

   На рис. 3.5 приведены распределения компонент тензора деформаций ползучести εc , εc , εc

   на пер-

   вой и последней итерации.

   11 22 12

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 59

    

   

   

   На рис. 3.6 показано изменение сплошности с течением времени. Приведены распределения параметра сплошности в момент времени 1, 3, 9, 15 часов, что соответствует 1, 3, 5, 7 итерации.

    

   a б

    

   в г

   Рис. 3.6. Одноосное растяжение пластины с круговым отверстием. Распределения параметра сплошности в момент времени: а — 1 ч; б — 3 ч; в — 9 ч; г — 15 ч

   Fig. 3.6. Uniaxial tension of a plate with a circular hole. Continuity parameter distributions at time:

   a — 1 o’clock; b — 3 o’clock; c — 9 o’clock; d — 15 o’clock

    

   Из рисунка видно, что минимальные значения сплошности, а значит максимальные значения повре- жденности, достигаются в точках кругового отверстия, лежащих вблизи оси ординат, что соответствует результатам, полученным в других работах, например, в [71]. Таким образом, были получены харак- теристические величины при одноосном нагружении пластины с центральным круговым отверстием в условиях ползучести с учетом накопления поврежденности с течением времени.

    

3. Моделирование области активного накопления повреждений у вершины трещины

Предметом настоящей части исследования является обнаружение зон активной эволюции поврежден- ности вблизи вершины трещины в условиях плоского деформированного состояния для степенного за- кона ползучести и кинетического уравнения Качанова–Работнова с помощью пользовательской проце- дуры UMAT. На основании построенной процедуры UMAT определяющее уравнение степенного закона с использованной концепции истинного напряжения и эволюционное уравнение Качанова–Работнова бы- ло включено в вычислительную схему конечных элементов и были найдены распределения параметра поврежденности и механических полей около концентратора напряжений. При моделировании исполь-

зуются следующие характеристики материала: модуль Юнга E = 210000 кГ/см2, коэффициент Пуассона ν = 0.3, коэффициент B = 2.962 · 10−11 (кГ/см2)−n(h)−1 и показатель закона Нортона для установив- шейся ползучести n = 3. Константа материала m была задана равной 2, нагрузка P = 1 кГ/см2. Длина

трещины составляла 10 % от длины пластины и создавалась путем вырезания области в виде трещи- ны с закругленными вершинами. Радиус закругления вершин трещины составлял тысячную долю от длины трещины. Типичная конечно-элементная сетка представлена на рис. 4.1.

Полученные распределения сплошности в различные моменты времени показаны на рис. 4.2 – 4.12. Поле сплошности для t = 2 ч запечатлено на рис. 4.2, для t = 5 ч — на рис. 4.3. Иллюстрации 4.4 демон- стрируют контуры равных значений параметра сплошности в момент времени t = 10 ч, слева показан весь образец, справа — увеличенная окрестность кончика трещины. На рис. 4.5 можно увидеть конечно- элементное решение для поля сплошности в момент времени t = 20 ч. Поле сплошности для t = 40 ч отражено на рис. 4.6, для t = 81 ч — на рис. 4.7. Иллюстрации 4.8 демонстрируют контуры равных значений параметра сплошности в момент времени t = 163 ч, снова слева показан весь образец, спра- ва — увеличена непосредственная окрестность кончика трещины. Найденное распределение сплошности в момент времени t = 327ч показано на рис. 4.9, в момент времени t = 655 ч показано на рис. 4.10. Скалярная функция Ψ в моменты времени t = 1311 ч и t = 1500 ч изображена на рис. 4.11 и 4.12.

Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

60Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

 

Рис. 4.1. Типичная сетка, используемая в расчетах на ползучесть

Fig. 4.1. Typical mesh used in creep calculations

 

 

Рис. 4.2. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 2 ч

Fig. 4.2. Continuity distribution near the crack tip for time t = 2 h

 

 

Рис. 4.3. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 5 ч

Fig. 4.3. Continuity distribution near the crack tip for time t = 5 h

 

Распределение интенсивности напряжений с течением времени представлено на рис. 4.13–4.15. На рис. 4.15 приведено сравнение двух расчетов в момент времени t = 1500 ч. Слева изображено распре- деление интенсивности напряжений в окрестности вершины трещины в условиях ползучести с учетом поврежденности. Справа приведено распределение интенсивности напряжений в окрестности вершины трещины в условиях ползучести без поврежденности, полученное в результате моделирования ползуче- сти посредством Abaqus.

Как видно на рис. 4.15, наличие поврежденности влияет на распределение интенсивности напряже- ний в окрестности вершины трещины в условиях ползучести. В случае ползучести с поврежденностью максимальное значение интенсивности напряжений меньше, чем без поврежденности.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 61

 

Рис. 4.4. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 10 ч

Fig. 4.4. Continuity distribution near the crack tip for time t = 10 h

 

 

Рис. 4.5. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 20 ч

Fig. 4.5. Continuity distribution near the crack tip for time t = 20 h

 

 

Рис. 4.6. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 40 ч

Fig. 4.6. Continuity distribution near the crack tip for time t = 40 h

 

 

Рис. 4.7. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 81 ч

Fig. 4.7. Continuity distribution near the crack tip for time t = 81 h

Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

62Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

 

Рис. 4.8. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 163 ч

Fig. 4.8. Continuity distribution near the crack tip for time t = 163 h

 

Рис. 4.9. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 327 ч

Fig. 4.9. Continuity distribution near the crack tip for time t = 327 h

 

Рис. 4.10. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 655 ч

Fig. 4.10. Continuity distribution near the crack tip for time t = 655 h

 

 

Рис. 4.11. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 1311 ч

Fig. 4.11. Continuity distribution near the crack tip for time t = 1311 h

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 46–73

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 46–73 63

 

Рис. 4.12. Распределение сплошности вблизи вершины трещины для момента времени t = 1500 ч

Fig. 4.12. Continuity distribution near the crack tip for time t = 1500 h

 

Рис. 4.13. Распределение интенсивности напряжений при t = 150 ч и при t = 300 ч

Fig. 4.13. Stress intensity distribution at t = 150 h and at t = 300 h

 

Рис. 4.14. Распределение интенсивности напряжений при t = 600 ч и при t = 1300 ч

Fig. 4.14. Stress intensity distribution at t = 600 h and at t = 1300 h

 

а б

Рис. 4.15. Распределение интенсивности напряжений при t = 1500 ч в окресности вершины трещины

в условиях ползучести: а — с учетом поврежденности; б — без поврежденности

Fig. 4.15. The distribution of stress intensity at t = 1500 h in the vicinity of the crack tip in creep conditions:

a — with damage taken into account; b — without damage

Белова О.Н., Чаплий Д.В., Степанова Л.В. Применение пользовательской подпрограммы UMAT...

64Belova O.N., Chapliy D.V., Stepanova L.V. Application of the UMAT User Subroutine for solving continuum...

 

Заключение

В работе представлен обзор применения подпрограммы UMAT программного комплекса SIMULIA Abaqus в механике деформируемого твердого тела. Данная подпрограмма служит для описания но- вых пользовательских материалов, отсутствующих в списке стандартных материалов пакета SIMULIA Abaqus. В этой обзорной статье приведены примеры задач и определяющих уравнений, которые моде- лируются исследователями при помощи процедур UMAT/VUMAT. Рассмотрены процессы разрушения и ползучести. Представлены типы материалов, успешно описанных посредством этих пользовательских процедур. В частности, были рассмотрены работы, посвященные изучению композитных и пористых материалов. Дано общее описание и опыт применения подпрограммы UMAT. Приведены результаты конечно-элементного моделирования деформирования пластины, ослабленной центральным круговым отверстием, при всестороннем равномерном и одноосном растяжении при установившейся ползучести в среде с поврежденностью, эволюционирующей по степенному закону, в связанной постановке задачи (ползучесть – поврежденность). Найдены распределения напряжений, деформаций и поля поврежденности у кончика дефекта в условиях ползучести и приведен анализ влияния процесса накопления повреждений на поля напряжений у вершины трещины в условиях установившейся ползучести. Продемонстрированы распределения напряжений и деформаций ползучести с учетом накопления поврежденности с течением времени.

Об авторах

О. Н. Белова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: BelovaONik@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4492-223X

аспирант кафедры математического моделирования в механике

Россия

Д. В. Чаплий

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: Dch300189@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-9510-3659

аспирант кафедры математического моделирования в механике

Россия

Л. В. Степанова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: Stepanovalv2015@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6693-3132

доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического моделирования в механике

Россия

Список литературы

Дополнительные файлы