Dynamics of entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states in three qubits thermal Tavis — Cummings model

Full Text

Введение
Перепутанные состояния в настоящее время являются основным ресурсом физики квантовых вы-
числений, квантовых коммуникаций и квантовой криптографии, квантовой метрологии и т. д. [1–10].
Используя различные классы перепутанных состояний, можно ускорить вычисления, обеспечить безопас-
ность коммуникаций и преодолеть стандартные квантовые пределы при измерениях. Для многокубит-
ных систем существуют несколько неэквивалентных классов перепутанных состояний [11–13]. В част-
ности, для простейшего случая трехкубитной системы существуют всего два подлинно перепутанных
состояния [14–19]. К последним относятся перепутанные состояния Гринбергера — Хорна — Цайлингера
(GHZ-состояния) и перепутанные состояния Вернера (W-состояния). Среди всех классов перепутанных
состояний GHZ-состояния являются одними из наиболее востребованных состояний для целей квантовой
информатики и квантовой метрологии [20–23]. В последние годы многочастичные GHZ-состояния были
реализованы для различных физических систем кубитов: ионов в ловушках [24–26], ридберговских ато-
мов [27], фотонов [28–30], сверхпроводящих кубитов [31–33]. Указанные работы открыли новые возмож-
ности в развитии масштабируемых квантовых компьютеров, квантовой метрологии и квантовой связи.
В работах [22; 23] осуществлено перепутывание до 20 кубитов с точностью (степенью совпадения) выше
0,5. Точность и технические сложности в реализации перепутанных состояний кубитов растут экспонен-
циально с увеличением числа кубитов. Сложности теоретического анализа динамики GHZ-состояний
также существенно возрастают с увеличением числа кубитов в системе. Поэтому при теоретическом рас-
смотрении таких состояний особое внимание уделяется анализу трехкубитных систем (см. ссылки в [34]).
Для генерации, управления, контроля и измерения состояний систем кубитов используют электромаг-
нитные поля резонаторов. При этом резонаторы функционируют при конечных температурах от мК для
систем сверхпроводящих кубитов до комнатных в случае примесных спинов. Это означает, что куби-
ты взаимодействуют с тепловыми полями резонаторов. Такое взаимодействие приводит к осцилляциям
Раби параметров перепутывания кубитов и, соответственно, к уменьшению степени их начального пере-
путывания. Еще одним эффектом, приводящим к ошибкам при измерении состояний кубитов, является
мгновенная смерть перепутывания [35]. Указанный эффект экспериментально наблюдался для кубитов
различной физической природы [36–38]. Поэтому представляет значительный интерес изучение мето-
дов, предотвращающих эффект мгновенной смерти перепутывания кубитов, вызванной взаимодействи-
ем с тепловыми полями резонаторов. Изучение указанного эффекта для кубитов, взаимодействующих
с тепловыми шумами резонаторов, особенно важно в связи с тем, что в резонаторах всех квантовых
устройств обязательно присутствуют тепловые фотоны.
В нашей работе [39] мы детально исследовали динамику перепутывания в системе трех кубитов,
резонансно взаимодействующих с модой теплового квантового электромагнитного поля в идеальном ре-
зонаторе, для сепарабельных, бисепарабельных и истинно перепутанных состояний W-типа. При этом
было показано, что эффект мгновенной смерти перепутывания имеет место для любых интенсивностей
теплового поля резонатора. Представляет большой интерес изучить динамику трехкубитной модели в
резонаторе для истинно перепутанного состояния кубитов GHZ-типа.
В настоящей статье мы исследовали динамику системы, состоящей из трех идентичных кубитов,
резонансно взаимодействующих с модой теплового квантового электромагнитного поля идеального ре-
зонатора посредством однофотонных переходов, для перепутанных состояний кубитов GHZ-типа. При
этом в качестве количественной меры перепутывания подсистемы кубитов использовались не отрица-
тельности пар кубитов, а cтепень совпадения (fidelity) состояния подсистемы кубитов в произвольный
момент времени и начального GHZ-состояния.
1. Модель и решение временного уравнения Шредингера
Рассмотрим систему трех идентичных кубитов Q1,Q2,Q3, резонансно взаимодействующих с модой
квантового электромагнитного поля идеального резонатора. Гамильтониан взаимодействия такой модели
в дипольном приближении и приближении вращающейся волны можно представить в виде
ˆH
int =
Σ3
k=1
~γ(ˆσ+
k ˆc + ˆσ
????
k ˆc+), (1)
где ˆσ+
k = |+⟩
kk
⟨−| и ˆσ
????
k = |−⟩
kk
⟨+| — повышающий и понижающий операторы в k-м кубите, |−⟩
k–
основное и |+⟩
k — возбужденное состояние k-го кубита (k = 1, 2, 3), ˆc+ и ˆc — операторы рождения и
уничтожения фотонов резонаторной моды и γ — параметр кубит-фотонного взаимодействия.
Будем полагать, что в начальный момент времени кубиты приготовлены в истинно перепутанном
состоянии GHZ-типа
|Ψ(0)⟩Q1Q2Q3 = cos θ|+,+,+⟩ + sin θ|−,−, −⟩ (2)
84
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутанных состояний Гринбергера — Хорна — Цайлингера...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states...
или GHZ-подобном состоянии вида
|Ψ(0)⟩Q1Q2Q3 = cos φ|+,−, −⟩ + sin φ|−,+,+⟩, (3)
где θ и φ — параметры, определяющие степень начального перепутывания кубитов. Начальные состо-
яния кубитов вида (2) и (3) в резонаторах можно получить с помощью импульсов электромагнитного
поля определенной длительностью.
В качестве начального состояния поля выберем одномодовое тепловое состояние с матрицей плотно-
сти вида
ϱF (0) =
Σ
n
pn |n⟩ ⟨n| . (4)
Здесь весовые функции pn в формуле (4) имеют вид
pn =
nn
(1 + n)n+1 ,
где n — среднее число тепловых фотонов, определяемое формулой Бозе–Эйнштейна
n = (exp [~ω/kBT] − 1)
????1 ,
здесь kB — постоянная Больцмана и T — температура микроволнового резонатора.
Поставим перед собой задачу найти динамику рассматриваемой модели для начального состояния
кубитов (2) и (3) и теплового поля резонатора (4). В качестве первого шага для решения поставленной
задачи рассмотрим решение уравнения эволюции в случае фоковского начального состояния электро-
магнитного поля резонатора, а затем обобщим полученные результаты для теплового состояния поля
резонатора (4).
В случае чистого фоковского состояния начальную волновую функцию поля резонатора выберем в
виде
|ϕ(0)⟩F;n = |n⟩ (n = 0, 1, 2, . . .). (5)
Найдем вначале временную волновую функцию системы для фоковского начального состояния по-
ля (5), а потом обобщим результаты на случай теплового поля резонатора. Введем для нашей системы
число возбуждений N, равное N = q + n, где q — число кубитов, приготовленных в возбужденном
состоянии. Для чисел возбуждения N > 3 оператор эволюции рассматриваемой системы имеет вид
S(n, t) =


S11(n, t) · · · S18(n, t)
...
...
S81(n, t) · · · S88(n, t)


, (6)
где
S11(n, t) =
(7 + 2n + Ωn) cos(θ1γt) + (−7 − 2n + Ωn) cos(θ2γt)
2Ωn
,
S22(n, t) =
4Ωn cos(
√
2 + nγt) + (−1 − 2n + Ωn) cos(θ1γt) + (1 + 2n + Ωn) cos(θ2γt)
6Ωn
,
S12(n, t) = −i
(7 + 2n + Ωn)θ1 sin(θ1γt) + (−7 − 2n + Ωn)θ2 sin(θ2γt)
6
√
1 + nΩn
,
S15(n, t) =
√
(1 + n)(2 + n)(−cos(θ1γt) + cos(θ2γt))
Ω
,
S25(n, t) = −i
√
2 + nΩn sin(
√
2 + nγt) − (2 + n)θ1 sin(θ1γt) + (2 + n)θ2 sin(θ2γt)
3
√
2 + nΩn
,
S58(n, t) = −i
(1 + 2n + Ωn)θ1 sin(θ1γt) + (−1 − 2n + Ωn)θ2 sin(θ2γt)
6
√
3 + nΩn
,
S18(n, t) = −i
√
2 + n(sin(θ2γt)θ1 − sin(θ1γt)θ2)
Ωn
,
S55(n, t) = S22(n, t) − 1
Ωn
(cos(θ1γt) − cos(θ2γt)), S23(n, t) = S22(n, t) − cos(
√
2 + nγt),
S88(n, t) = S11(n, t) − 3
Ω
(cos(θ1γt) − cos(θ2γt)), S56(n, t) = S55(n, t) − cos(
√
2 + nγt),
S27(n, t) = S25(n, t) + i sin(
√
2 + nγt), S28(n, t) =
√
n + 3
n + 1
S15(n, t),
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 82–95
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 82–95 85
S22 = S33 = S44, S55 = S66 = S77, S12 = S13 = S14 = S21 = S31 = S41,
S15 = S16 = S17 = S51 = S61 = S71, S23 = S24 = S32 = S34 = S42 = S43,
S27 = S36 = S45 = S54 = S63 = S72, S56 = S57 = S65 = S67 = S75 = S76,
S25 = S26 = S35 = S37 = S46 = S47 = S52 = S53 = S62 = S64 = S73 = S74,
S28 = S38 = S48 = S82 = S83 = S84, S58 = S68 = S78 = S85 = S86 = S87, S18 = S81,
где
Ωn =
√
9 + 16(n + 2)2, θ1 =
√
5(n + 2) − Ωn, θ2 =
√
5(n + 2) + Ωn.
При записи оператора эволюции в матричной форме мы использовали базисные векторы вида
|+,+,+, n⟩, |+,+,−, n + 1⟩, |+,−,+, n + 1⟩, |−,+,+, n + 1⟩,
|+,−,−, n + 2⟩, |−,+,−, n + 2⟩, |−,−,+n + 2⟩, |−,−,−, n + 3⟩.
В рассматриваемом случае волновую функцию можно найти как
|ΨQ1 Q2 Q3 F (t)⟩n = S(n, t)|Ψ(t)⟩Q1 Q2 Q3
|n⟩. (7)
В дальнейшем при обобщении результатов на случай теплового поля резонатора нам потребуются
также волновые функции, соответствующие числам возбуждения N = 2, 1, 0. Для N = 2 базис гильбер-
това пространства должен быть сужен до набора
|+,+,−, 0⟩, |+,−,+, 0⟩, |−,+,+, 0⟩,
|+,−,−, 1⟩, |−,+,−, 1⟩, |−,−,+, 1⟩, |−,−,−, 2⟩.
Соответствующая временная волновая функция есть
|Ψ1(t)⟩ = Z1(t)|+,+,−, 0⟩ + Z2(t)|+,−,+, 0⟩ + Z3(t)|−,+,+, 0⟩+
+Z4(t)|+,−,−, 1⟩ + + Z5(t)|−,+,−, 1⟩ + Z6(t)|−,−,+, 1⟩ + Z7(t)|−,−,−, 2⟩, (8)
где коэффициенты Zi(t) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) есть
Z1(t) =
1
15
[
3
(
C1 + C2 + C3 −
√
2C7
)
+ 5 (2C1 − C2 − C3) cos γt +
(
2C1 + 2C2 + 2C3 + 3
√
2C7
)
cos
√
10γt −
−i
(
5(C4 + C5 − 2C6) sin γt +
√
10(C4 + C5 + C6) sin
√
10γt
)]
,
Z2(t) =
1
15
[
3
(
C1 + C2 + C3 −
√
2C7
)
− 5(C1 − 2C2 + C3) cos γt + (2C1 + 2C2 + 2C3 + 3
√
2C7) cos
√
10γt −
−i
(
5(C4 − 2C5 + C6) sin γt +
√
10(C4 + C5 + C6) sin
√
10γt
)]
,
Z3(t) =
1
15
[
3
(
C1 + C2 + C3 −
√
2C7
)
− 5(C1 + C2 − 2C3) cos γt + (2C1 + 2C2 + 2C3 + 3
√
2C7) cos
√
10γt +
+5i (2C4 − C5 − C6) sin γt − i
√
10 (C4 + C5 + C6) sin
√
10γt
]
,
Z4(t) =
1
15
[
5 (2C4 − C5 − C6) cos γt + 5(C4 + C5 + C6) cos
√
10γt − i
(
5(C1 + C2 − 2C3) sin γt +
+
√
5(
√
2C1 +
√
2C2 +
√
2C3 + 3C7) sin
√
10γt
)]
,
Z5(t) =
1
15
[
−5(C4 − 2C5 + C6) cos γt + 5(C4 + C5 + C6) cos
√
10γt − i
(
5(C1 − 2C2 + C3) sin γt +
+
√
5(
√
2C1 +
√
2C2 +
√
2C3 + 3C7) sin
√
10γt
)]
,
Z6(t) =
1
15
[
−5(C4 + C5 − 2C6) cos γt + 5(C4 + C5 + C6) cos
√
10γt + 5i(2C1 − C2 − C3) sin γt −
−i
√
5
(√
2C1 +
√
2C2 +
√
2C3 + 3C7
)
sin
√
10γt
]
,
Z7(t) =
1
5
[√
2C1 −
√
2C2 −
√
2C3 + 2C7 +
(√
2C1 +
√
2C2 +
√
2C3 +
+3C7
)
cos
√
10γt − i
√
5(C4 + C5 + C6) sin
√
10γt
]
.
86
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутанных состояний Гринбергера — Хорна — Цайлингера...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states...
Здесь использовано обозначение Ci = Zi(0).
Для N = 1 выбираем базис гильбертова пространства в виде
|+,−,−, 0⟩, |−,+,−, 0⟩, |−,−,+, 0⟩, |−,−,−, 1⟩.
Соответствующая временная волновая функция есть
|Ψ2(t)⟩ = Y1(t)|+,−,−, 0⟩ + Y2(t)|−,+,−, 0⟩ + Y3(t)|−,−,+, 0⟩ + Y4(t)|−,−,−, 1⟩, (9)
где коэффициенты Yi(t) (i = 1, 2, 3, 4) имеют вид
Y1(t) =
1
3
[
2F1 − F2 − F3 + (F1 + F2 + F3) cos
√
3γt − i
√
3F4 sin
√
3γt
]
,
Y2(t) =
1
3
[
−F1 + 2F2 − F3 + (F1 + F2 + F3) cos
√
3γt − i
√
3F4 sin
√
3γt
]
,
Y3(t) =
1
3
[
−F1 − F2 + 2F3 + (F1 + F2 + F3) cos
√
3γt − i
√
3F4 sin
√
3γt
]
,
Y4(t) = F4 cos
√
3γt − i(F1 + F2 + F3) sin
√
√ 3γt
3
.
Здесь использованы обозначения Fi = Yi(0) (i = 1, 2, 3, 4).
Наконец, для N = 0 базис гильбертова пространства состоявляет вектор |−,−,−, 0⟩. Соответствую-
щая временная волновая функция есть
|ψ3(t)⟩ = |−,−,−, 0⟩. (10)
2. Расчет степени совпадения состояний кубитов
Имея явный вид для временных волновых функций системы (7)–(10), мы можем вычислить времен-
ную матрицу плотности полной системы (три кубита+мода поля) в случае теплового состояния поля
ρQ1 Q2 Q3 F (t) =
1Σ
n=0
pn|Ψ(t)⟩n n⟨Ψ(t)|. (11)
Для вычисления параметра перепутывания кубитов нам потребуется редуцированная матрица плотности
трех кубитов. Ее мы можем вычислить, усредняя выражение (11) по переменным поля
ρQ1 Q2 Q3 (t) = SpF ρQ1 Q2 Q3F (t). (12)
При исследовании перепутывания кубитов в рассматриваемой модели для сепарабельных, бисепарабель-
ных и истинно перепутанных состояний W-типа в качестве количественного критерия перепутывания
мы использовали отрицательности пар кубитов. В случае GHZ-состояний такой критерий малоинфор-
мативен, поскольку при усреднении трехкубитной матрицы плотности ρQ1 Q2 Q3 (t) по переменным одного
из кубитов два оставшихся кубита оказываются неперепутанными. Поэтому в настоящей работе мы в
качестве количественного критерия перепутывания кубитов используем cтепень совпадения (fidelity) те-
кущего состояния кубитов в момент времени t и их начального GHZ-состояния. В случае теплового
поля резонатора состояние кубитов в произвольный момент времени является смешанным. Количествен-
ная мера степени совпадения для смешанных состояний кубитов предложена в работе [40]
F(ρ, ρ
′
) =
(
tr
√
ρ1
2 ρ′ρ1
2
)2
. (13)
В формуле (13) ρ – начальная матрица плотности системы и ρ
′ – матрица плотности кубитов в момент
времени t > 0. Выражение (13) достаточно сложное, однако, если одна из матриц, допустим ρ, описывает
чистое состояние (ρ = |ψ⟩⟨ψ|), то формула сильно упрощается:
F(ρ, ρ
′
) =
(
tr
√
|ψ⟩⟨ψ|ρ′ |ψ⟩⟨ψ|
)2
= ⟨ψ|ρ
′ |ψ⟩ = tr(ρρ
′
). (14)
Выбранные начальные состояния кубитов (2) и (3) являются чистыми с матрицами плотности вида
|Ψ(0)⟩Q1Q2Q3 Q1Q2Q3
⟨Ψ(0)|.
Рассчитаем параметр степени совпадения для начального GHZ-состояния кубитов вида (2). В трех-
кубитном базисе
|+,+,+⟩, |+,+, −⟩, |+,−,+⟩, |−,+,+⟩,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 82–95
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 82–95 87
|+,−, −⟩, |−,+, −⟩, |−,−,+⟩, |−,−, −⟩
матрица плотности кубитов для начального состояния вида (2) есть
MQ1Q2Q3(0) = |Ψ(0)⟩Q1Q2Q3 Q1Q2Q3
⟨Ψ(0)| =


M11 0 · · · 0 M18
0
. . . 0
...
0
...
0
. . . 0
M81 0 · · · 0 M88


, (15)
где элементы матрицы плотности задаются формулами:
M11 = ⟨+,+,+|MQ1Q2Q3(0)|+,+,+⟩ = cos2θ, M88 = ⟨−,−, −|MQ1Q2Q3(0)|−,−, −⟩ = sin2θ,
M18 = ⟨+,+,+|MQ1Q2Q3(0)|−,−, −⟩ = cosθsinθ, M81 = ⟨−,−, −|MQ1Q2Q3(0)|+,+,+⟩ = cosθsinθ.
Запишем матрицу конечного смешанного состояния ρ
′
= ρQ1Q2Q3 (t) в произвольный момент времени t
для состояния (3):
ρQ1Q2Q3 (t) =
1Σ
n=0
pn|Ψ(t) >n n< Ψ(t)| =


ρ11 0 0 0 0 0 0 ρ18
0 ρ22 ρ23 ρ24 0 0 0 0
0 ρ32 ρ33 ρ34 0 0 0 0
0 ρ42 ρ43 ρ44 0 0 0 0
0 0 0 0 ρ55 ρ56 ρ57 0
0 0 0 0 ρ65 ρ66 ρ67 0
0 0 0 0 ρ75 ρ76 ρ77 0
ρ81 0 0 0 0 0 0 ρ88


. (16)
Тогда, подставляя матрицы (15) и (16) в формулу (14), получаем для степени совпадения следующее
выражение:
F = cos2θρ11 + cosθsinθ (ρ18 + ρ81) + sin2θρ88, (17)
где
ρ11 = ⟨+,+,+|ρQ1Q2Q3 (t)|+,+,+⟩ =
1Σ
n=3
pn
[
cos2θ|S11(n, t)|2 + sin2θ|S18(n − 3, t)|2]
+
+p2cos2θ|S11(2, t)|2 + p1cos2θ|S11(1, t)|2 + p0cos2θ|S11(0, t)|2,
ρ88 = ⟨−,−, −|ρQ1Q2Q3 (t)|−,−, −⟩ =
1Σ
n=3
pn
[
cos2θ|S81(n, t)|2 + sin2θ|S88(n − 3, t)|2]
+
+p2
(
cos2θ|S81(2, t)|2 + |x7(t)|2)
+ p1(cos2θ|S81(1, t)|2 + |y4(t)|2) + p0
(
cos2θ|S81(0, t)|2 + sin2θ
)
,
ρ18 = ⟨+,+,+|ρQ1Q2Q3 (t)|−,−, −⟩ =
1Σ
n=3
pn [cosθsinθS11(n, t)S

88(n − 3, t)] +
+p2cosθS11(2, t)x

7(t) + p1cosθS11(1, t)y

4(t) + p0cosθsinθS11(0, t), ρ81 = ρ

18.
Трехкубитная матрица плотности в начальный момент времени для начального состояния (3) выра-
жается формулой:
MQ1Q2Q3(0) = |Ψ(0)⟩Q1Q2Q3 Q1Q2Q3
⟨Ψ(0)| =


0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 M44 M45 0 0 0
0 0 0 M54 M55 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0


, (18)
где элементы матрицы плотности задаются формулами:
M44 = ⟨−,+,+|MQ1Q2Q3(0)|−,+,+⟩ = sin2 φ, M55 = ⟨+,−, −|MQ1Q2Q3(0)|+,−, −⟩ = cos2 φ,
M54 = ⟨+,−, −|MQ1Q2Q3(0)|−,+,+⟩ = cos φ sin φ, M45 = ⟨−,+,+|MQ1Q2Q3(0)|+,−, −⟩ = sin φ cos φ.
88
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутанных состояний Гринбергера — Хорна — Цайлингера...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states...
Запишем матрицу конечного смешанного состояния ρQ1Q2Q3 (t) в произвольный момент времени t
для начального состояния (3):
ρQ1Q2Q3 (t) =
1Σ
n=0
pn|Ψ(t) >n n< Ψ(t)| =


ρ11 ρ12 ρ13 ρ14 0 0 0 0
ρ21 ρ22 ρ23 ρ24 ρ25 ρ26 ρ27 0
ρ31 ρ32 ρ33 ρ34 ρ35 ρ36 ρ37 0
ρ41 ρ42 ρ43 ρ44 ρ45 ρ46 ρ47 0
0 ρ52 ρ53 ρ54 ρ55 ρ56 ρ57 ρ58
0 ρ62 ρ63 ρ64 ρ65 ρ66 ρ67 ρ68
0 ρ72 ρ73 ρ74 ρ75 ρ76 ρ77 ρ78
0 0 0 0 ρ85 ρ86 ρ87 ρ88


. (19)
Теперь, подставляя матрицы (18) и (19) в формулу (14), получаем для степени совпадения:
F = sin2 φρ44 + cos φ sin φ · (ρ45 + ρ54) + cos2 φρ55, (20)
где элементы матрицы плотности задаются выражениями:
ρ44 = ⟨−,+,+|ρQ1Q2Q3 (t)|−,+,+⟩ =
1Σ
n=2
pn
[
cos2 φ|S45(n − 2, t)|2 + sin2 φ|S44(n − 1, t)|2]
+
+p1 ·
[
|Z3(t)|2 + sin2 φ|S44(0, t)|2]
+ p0|x3(t)|2,
ρ55 = ⟨+,−, −|ρQ1Q2Q3 (t)|+,−, −⟩ =
1Σ
n=2
pn
[
cos2 φ|S55(n − 2, t)|2 + sin2 φ|S54(n − 1, t)|2]
+
+p1 ·
[
|Z4(t)|2 + sin2 φ|S54(0, t)|2]
+ p0
[
|x4(t)|2 + |y1(t)|2]
,
ρ45 = ⟨−,+,+|ρQ1Q2Q3(t)
|+,−, −⟩ =
1Σ
n=2
pn [sin φ cos φS44(n − 1, t)S

55(n − 2, t)] +
+p1 sin φS44(0, t)Z

4 (t) + p0x3(t)y

1(t), ρ54 = ρ

45.
Сравним поведение степени совпадения для трехкубитных GHZ и GHZ-подобных состояний с пове-
дением аналогичной величины для двухкубитного состояния вида
|Ψ(0)⟩Q1Q2 = cos ϕ|+,+⟩ + sin ϕ|−, −⟩. (21)
Двукубитная система с начальным состоянием кубитов (21) и полем в фоковском состоянии (5) эво-
люцинирует следующим образом:
а) для случая начального числа фотонов в моде n = 0:
|ψn=0(t)⟩ = x1(t)|+,+, 0⟩ + x2(t)|+,−, 1⟩ + x3(t)|−,+, 1⟩ + x4(t)|−,−, 2⟩ + sinϕ|−,−, 0⟩,
б) для случая начального числа фотонов в моде n = 1:
|ψn=1(t)⟩ = y1(t)|+,+, 1⟩ + y2(t)|+,−, 2⟩ + y3|−,+, 2⟩ + y4(t)|−,−, 3⟩ + Z1(t)|+,−, 0⟩ + Z2(t)|−,+, 0⟩ +
+Z3(t)|−,−, 1⟩,
в) для случая начального числа фотонов в моде n > 2:
|ψn>2(t)⟩ = c1(t)|+,+, n⟩ + c2(t)|+,−, n + 1⟩ + c3(t)|−,+, n + 1⟩ + c4(t)|−,−, n + 2⟩ + k1(t)|+,+, n − 2⟩ +
+k2(t)|+,−, n − 1⟩ + k3(t)|−,+, n − 1⟩ + k4(t)|−,−, n⟩.
Временные коэффициенты находятся из следующих систем дифференциальных уравнений:


i ˙Z1(t) = gZ3(t)
i ˙Z2(t) = gZ3(t)
i ˙Z3(t) = g (Z1(t) + Z2(t))
,


i˙k1(t) = g
√
n − 1(k2(t) + k3(t))
i˙k2(t) = g
(√
n − 1k1(t) +
√
nk4(t)
)
i˙k3(t) = g
(√
n − 1k1(t) +
√
nk4(t)
)
i˙k4(t) = g
√
n (k2(t) + k3(t))
, (22)


i ˙ c1(t) = g
√
n + 1(c2(t) + c3(t))
i ˙ c2(t) = g
(√
n + 1c1(t) +
√
n + 2c4(t)
)
i ˙ c3(t) = g
(√
n + 1c1(t) +
√
n + 2c4(t)
)
i ˙ c4(t) = g
√
n + 2 (c2(t) + c3(t))
. (23)
Решая системы дифференциальных уравнений (21) со следующими начальными условиями: k1(0) =
= k2(0) = k3(0) = 0, k4(0) = sin ϕ и Z1(0) = Z2(0) = 0,Z3(0) = sin ϕ, находим аналитические выражения
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 82–95
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 82–95 89
для временных коэффициентов ki(t), Zi(t):
Z1(t) = −i · sin(
√
2γt) · √ sin ϕ
2
, Z2(t) = −i · sin(
√
√2γt) · sin ϕ
2
, Z3(t) = cos(
√
2γt) · sin ϕ,
k1(t) = −
2 ·
√
n − 1 ·
√
n · sin2
(√
n − 1
2
· γt
)
· sin ϕ
2n − 1
, k2(t) = −i ·
√
n · sin(
√
√4n − 2 · γt) · sin ϕ
4n − 2
,
k3(t) = −i ·
√
n · sin(
√
√4n − 2 · γt) · sin ϕ
4n − 2
, k4(t) =
(
n − 1 + n · cos(
√
4n − 2 · γt)
)
sin ϕ
2n − 1
.
Для того чтобы найти временные коэффициенты yi(t), xi(t), нужно учесть следующее: ci(t) → yi(t) при
числе фотонов в моде n = 1 и ci(t) → xi(t) при числе фотонов в моде n = 0.
Для системы дифференциальных уравнений (23) используем следующие начальные условия: c1(0) =
= cos ϕ, c2(0) = c3(0) = c4(0). В итоге получаем следующие аналитические формулы для ci(t):
c1(t) =
(
n + 2 + (n + 1) · cos(
√
4n + 6 · γt)·
)
cos ϕ
2n + 3
, c2(t) = −i ·
√
n + 1 · cos ϕ · sin(
√
√ 4n + 6 · γt)
4n + 6
,
c3(t) = −i ·
√
n + 1 · cos ϕ · sin(
√
√ 4n + 6 · γt)
4n + 6
, c4(t) = −
2 ·
√
n + 1 ·
√
n + 2 · cos ϕ · sin2
(√
n + 3
2
· γt
)
2n + 3
.
Двухкубитная матрица плотности в начальный момент времени для начального состояния (21) вы-
ражается формулой:
MQ1Q2(0) = |Ψ(0)⟩Q1Q2 Q1Q2
⟨Ψ(0)| =


M11 0 0 M14
0 0 0 0
0 0 0 0
M41 0 0 M44


, (24)
где элементы матрицы плотности задаются формулами
M11 = ⟨+,+|MQ1Q2(0)|+,+⟩ = cos2ϕ, M44 = ⟨−, −|MQ1Q2(0)|−, −⟩ = sin2ϕ,
M14 = ⟨+,+|MQ1Q2(0)|−, −⟩ = cosϕsinϕ, M41 = ⟨−, −|MQ1Q2(0)|+,+⟩ = sinϕcosϕ.
Запишем матрицу конечного смешанного состояния ρQ1Q2 (t) в произвольный момент времени t для
начального состояния (21):
ρQ1Q2 (t) =
1Σ
n=0
pn|ψn(t)⟩⟨ψn(t)| =


ρ11 0 0 ρ14
0 ρ22 ρ23 0
0 ρ32 ρ33 0
ρ41 0 0 ρ44


. (25)
Теперь подставим матрицы (24) и (25) в формулу (14) и получим для степени совпадения следующую
формулу:
F = ρ11cos2ϕ + (ρ14 + ρ41)cosϕsinϕ + ρ44sin2ϕ, (26)
где элементы матрицы плотности имеют следующий вид:
ρ11 = ⟨+,+|ρQ1Q2 (t)|+,+⟩ =
1Σ
n=2
pn
[
|c1(t)|2 + |k1(t)|2]
+ p1|y1(t)|2 + p0|x1(t)|2,
ρ44 = ⟨−, −|ρQ1Q2(t)
|−, −⟩ =
1Σ
n=2
pn
[
|c4(t)|2 + |k4(t)|2]
+ p1
[
|y4(t)|2 + |Z3(t)|2]
+ p0
[
|x4(t)|2 + sin2ϕ
]
,
ρ14 = ⟨+,+|ρQ1Q2 (t)|−, −⟩ =
1Σ
n=2
pnc1(t)k

4(t) + p1y1(t)Z

3 (t) + p0x1(t)sinϕ, ρ41 = ρ

14.
3. Результаты и их обсуждение
Результаты компьютерного моделирования временной зависимости степени совпадения F(t) от при-
веденного времени γt для начального истинно перепутанного GHZ-состояния (2) в случае θ = π/4 и
различных значений среднего числа фотонов представлены на рис. 1. Из рисунка хорошо видно, что
взаимодействие кубитов с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра перепу-
тывания кубитов. При этом увеличение среднего числа фотонов в моде приводит к уменьшению макси-
мальной степени перепутывания. Это означает, что при увеличении интенсивности шума состояние трех
90
Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутанных состояний Гринбергера — Хорна — Цайлингера...
Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states...
a b
Рис. 1. График зависимости параметра степени совпадения F(γt) от приведенного времени γt для
начального GHZ-состояния вида (2) с θ = π/4 для различных средних чисел тепловых фотонов ¯n:
¯n = 0.05 (сплошная линия), ¯n = 1 (пунктирная линия), ¯n = 2.5 (точечная линия) (a); ¯n = 1 (сплошная
линия), ¯n = 3 (пунктирная линия), ¯n = 10 (точечная линия) (b)
Fig. 1. Graph of the dependence of the fidelity F(γt) on the reduced time γt for the initial GHZ state of the
form (2) with θ = π/4 for various average numbers of thermal photons n: n = 0.05 (solid line), n = 1 (dashed
line), n = 2.5 (dotted line) (a); n = 1 (solid line), n = 3 (dashed line), n = 10 (dotted line) (b)
a b
Рис. 2. График зависимости параметра степени совпадения F(γt) от приведенного времени γt для
начального двухкубитного состояния вида (21) с ϕ = π/4 для различных средних чисел тепловых
фотонов ¯n: ¯n = 0.05 (сплошная линия), ¯n = 1 (пунктирная линия), ¯n = 2.5 (точечная линия) (a); ¯n = 1
(сплошная линия), ¯n = 3 (пунктирная линия), ¯n = 10 (точечная линия) (b)
Fig. 2. Graph of the dependence of the fidelity F(γt) on the reduced time γt for the initial two-qubit state of
the form (21) with ϕ = π/4 for various average numbers of thermal photons n: n = 0.05 (solid line), n = 1
(dotted line), n = 2.5 (dotted line) (a); n = 1 (solid line), n = 3 (dotted line), n = 10 (dotted line) (b)
кубитов все менее походит на начальное перепутанное GHZ-состояние и все ближе к сепарабельному
состоянию. Для сравнения на рис. 2 показаны аналогичные зависимости степени совпадения F(t) для
двухкубитной модели с начальным состоянием (20) в случае ϕ = π/4. Сравнение графиков показыва-
ет, что в случае двухкубитной системы тепловой шум приводит к существенно меньшему разрушению
начального максимально перепутанного состояния, нежели в случае трехкубитной системы. Это гово-
рит нам о том, что истинно перепутанное GHZ-состояние менее устойчиво по отношению к внешнему
шуму, чем двухкубитное состояние вида (21). Временная зависимость степени совпадения F(t) от при-
веденного времени γt для начального GHZ-подобного перепутанного состояния (3) в случае φ = π/4
и различных значений среднего числа фотонов представлена на рис. 3. Из рисунка видно, что, как
и для двух предыдущих состояний, взаимодействие кубитов с тепловым полем резонатора приводит
к осцилляциям Раби параметра перепутывания кубитов. Однако в отличие от начального истинно пе-
репутанного GHZ-состояния в рассматриваемом случае увеличение среднего числа тепловых фотонов
в моде приводит к более существенному уменьшению максимальной степени перепутывания кубитов.
Таким образом, GHZ-подобное перепутанное состояние значительно менее устойчиво по отношению к
разрушающему действию теплового шума.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 82–95
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 82–95 91
a b
Рис. 3. График зависимости параметра степени совпадения F(γt) от приведенного времени γt для
начального GHZ подобного состояния (3) с φ = π/4 для различных средних чисел тепловых
фотонов ¯n: ¯n = 0.05 (сплошная линия), ¯n = 1 (пунктирная линия), ¯n = 2.5 (точечная линия) (a); ¯n = 1
(сплошная линия), ¯n = 3 (пунктирная линия), ¯n = 10 (точечная линия) (b)
Fig. 3. Graph of the dependence of the fidelity F(γt) on the reduced time γt for the initial GHZ like state (3)
with φ = π/4 for various average numbers of thermal photons n: n = 0.05 (solid line), n = 1 (dotted line), n = 2.5
(dotted line) (a); n = 1 (solid line), n = 3 (dotted line), n = 10 (dotted line) (b)
Выводы
Таким образом, в данной статье нами исследована динамика перепутывания в системе, состоящей из трех идентичных кубитов, резонансно взаимодействующих с общей модой теплового поля идеального резонатора. В работе рассмотрены два типа начальных состояний кубитов: истинно перепутанное состояние GHZ-типа (2) и GHZ-подобное перепутанное состояние (3). Нами найдено точное решение квантового уравнения Лиувилля для начальных состояний кубитов и теплового состояния поля резонатора. На основе точного решения нами рассчитана временная зависимость параметра перепутывания кубитов. В качестве критерия перепутывания кубитов выбран параметр, называемый степенью совпадения. В нашем случае данный параметр определяет степень совпадения трехкубитной матрицы плотности в произвольный момент времени t и начальной трехкубитной матрицы плотности чистых состояний (2) и (3). Для сравнения результатов нами проведен также аналогичный расчет степени совпадения в случае двухкубитной системы с начальным состоянием вида (21) и теплового поля резонатора. Результаты численного моделирования степени совпадения показали, что для всех выбранных начальных состояний кубитов их взаимодействие с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра перепутывания кубитов с уменьшением амплитуд осцилляций в процессе эволюции. При этом увеличение интенсивности поля резонатора приводит к уменьшению максимальной степени перепутывания кубитов. Показано также, что наименее устойчивым по отношению к внешнему шуму является GHZ-подобное трехкубитное состояние (3), а наиболее устойчивым — двухкубитное перепутанное состояние (21).

About the authors

A. R. Bagrov

Author for correspondence.
Email: alexander.bagrov00@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1098-0300

Master’s Degree Student of the Department of General and Theoretical Physics

E. K. Bashkirov

Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

References

Supplementary files