Entanglement in nonlinear two-qibit Tavis — Cummings model

Full Text

Введение

Одной из наиболее изученных модельных систем в квантовой оптике является двухуровневый атом, взаимодействующий с выделенной модой электромагнитного поля резонатора без потерь. Эта предельно простая квантовая система имеет тем не менее нетривиальную квантовую динамику, описываемую гамильтонианом Джейнса — Каммингса [1]. Экспериментальная реализация такой модели на микроволновых частотах позволила наблюдать все основные эффекты квантовой оптики, такие как коллапс и восстановлеие осцилляций Раби, сжатие и антипуассоновскую статистику поля, резонаторы и др. [2]. Многоатомное расширение модели также часто называют моделью Тависа — Каммингса. Новый импульс к изучению модели Джейнса — Каммингса и ее обобщений, в частности многоатомной модели Джейнса — Каммингса, связан с ее использованием в квантовой информатике, а именно для описания динамики сверхпроводящих колец с джозефсоновскими переходами, примесных спинов и других искусственных атомов в резонаторах [3–9]. Такие искусственные атомы могут использоваться в качестве логических элементов квантовых компьютеров и квантовых сетей. Поля резонаторов при этом используются для генерации, контроля и управления перепутанными состояниями сверхпроводящих кубитов и других искусственных атомов. В этой связи представляет большой интерес исследовать случай, когда резонатор, с которым связан кубит, обладает нелинейностью, вызывая неэквидистантность энергетических уровней поля резонатора. Кубиты в нелинейном резонаторе описываются нелинейным гамильтонианом многоатомной модели Джейнса — Каммингса. Включение нелинейности значительно обогащает физику системы, позволяя, в частности, значительно более эффективно использовать поле резонатора для управления степенью перепутывания кубитов. Динамика кубитов в нелинейных резонаторах активно исследовалась в последнее время в большом количестве теоретических и экспериментальных работ [10–17]. В частности, в работе П. Бертета с соавторами [18] теоретически и экспериментально изучена динамика сверхпроводящего кубита в резонаторе с нелинейностями третьего и пятого порядка. Представляет интерес обобщить указанную модель на случай двух кубитов в неидеальном резонаторе. В настоящей статье нами исследована динамика перепутывания двух сверхпроводящих кубитов, взаимодействующих с полем идеального нелинейного комланарного резонатора в рамках нелинейной двукубитной модели Тависа — Каммингса.

1.  Модель и точное решение квантового уравнения Лиувилля

Рассмотрим систему, состоящую из двух джозефсоновских сверхпроводящих кубитов, вставленых в середине линии передачи компланарного резонатора. Джозефсоновские кубиты могут рассматриваться с электротехнической точки зрения как сосредоточенная бездиссипативная нелинейная индуктивность. В результате модовая структура резонатора глубоко модифицируется. В пределе, когда частоты управляющих сигналов генерируют гармоники, резонансные с высшими модами резонатора, резонатор можно аппроксимировать только одной нелинейной модой. В этом случае, следуя работе [18], запишем гамильтониан нашей системы в резонансном приближении в виде

$H = \hslash \gamma \sum _{i=1}^2(a^{+}{\sigma }_i^{-}+{\sigma }_i^{+}a)-K{a}^{+2}{a}^2-\tilde{K}{a}^{+3}{a}^3$                                          (1)

где a⁺ (a) – оператор рождения (уничтожения) фотонов резонаторной моды поля, ${\sigma }_i^{+}$ и ${\sigma }_{}^{-}$ – повышающий и понижающий оператор в i-м кубите и γ – константа взаимодействия кубитов с полем резонатора и $K$ и $\tilde{K}$ – константы нелинейности соответственно третьего (постоянная Керра) и пятого порядка, имеющие вид

$K =\frac{\pi p^3{\omega }_{r}Z{e}^2}{h}\mathrm{,}$  $\tilde{K} =\frac{2K^2(9-10p)}{3p{\omega }_r}\mathrm{.}$

Здесь ${\omega }_r\mathit{=}\mathit{1}\mathit{/}\sqrt{LC}$, где L_t – полная индуктивность системы, равная L_t = L_q + L_c, где = L_q и L_c –  индуктивности кубитов и резонатора соответственно и p = L_q = L_t. Z – импеданс резонатора.

В частности, в работе П. Бертета с соавторами [18] рассматриваемая модель была реализована со следующими параметрами в Гц

$\frac{K}{2\pi }\approx 7\cdot {10}^5\mathrm{,}\frac{{\omega }_r}{2\pi }\approx 6\cdot {10}^9\mathrm{,}\frac{\gamma }{2\pi }\approx 4\cdot {10}^7\mathrm{.}$

Таким образом, отношение константы нелинейности третьего порядка к константе кубит-полевого взаимодействия составляло $Kg\approx 2\cdot {10}^{-2}$. Константа $\tilde{K}$ в работе [18] не измерялась. Проведем оценку возможных значений константы нелинейности пятого порядка. Индуктивности сверхпроводящих кубитов лежат в интервале от 1 до 10 нГн, а индуктивности компланарных резонатов в интервале от 100 до 1000 нГн. Тогда значения безрамерного параметра  лежат в интервале от 0.001 до 0.1. В результате для минимального значения параметра p отношение констант пятого и третьего порядков $\tilde{K}/K$ может достигать значений порядка 10^-2.

Обозначим через | +⟩_i и | −⟩_i и  возбужденное и основное состояние i-го кубита. Выберем в качестве начальных состояний подсистемы кубитов сепарабельные состояния вида

|Ψ(0)⟩_Q1Q2 = |+; −⟩;                                                                                (2)

|Ψ(0)⟩_Q1Q2 = |+; +⟩;                                                                                (3)

а также перепутанные состояния вида

|Ψ(0)⟩_Q1Q2 = cosθ |+; −⟩ + sinθ|+; −⟩;                                                           (4)

где параметр θ определяет начальную степень перепутывания кубитов.

В качестве начального состояния поля резонатора выберем фоковские состояния вида

|Ψ(0)⟩_F = |n⟩ (n = 0; 1; 2; · · ·),

где n – число фотонов в резонаторной моде.

Для исследования динамики перепутывания кубитов найдем вначале временную волновую функцию системы для фоковского начального состояния поля. Для это необходимо решить квантовое уравнение Шрёдингера

$i\frac{\partial \Psi \left(t\right)⟩}{\partial t}[H,\overline{)\Psi (}t)⟩$                                                                                   (5)

с начальным условием

Ψ(0)⟩ = |Ψ(0)⟩_Q1Q2|Ψ(0)⟩_F :

Решение уравнения (5) будем искать в виде

|Ψ(t)⟩_n = X_1,n(t)|−, −, n + 2⟩ + X_2,n(t)|+, −, n + 1⟩ + X_3,n(t)|−, +, n + 1⟩+ X_4,n(t)|+, +, n⟩:

Для коэффициентов X_i из (6) получаем уравнения

iX˙_1,n(t) = − µn(n + 2)(n + 1)X_1,n(t) −  (n + 2)(n + 1)X_1,n(t) + $\sqrt{n+2}$X_2,n(t) + $\sqrt{n+2}$X_3,n(t),

iX˙_2,n(t) =$\sqrt{n+2}$X_1,n(t) − µn(n + 1)(n − 1)X_2,n(t) − χ(n + 1)nX_2,n(t) + $\sqrt{n+1}$X_4,n(t), 

iX˙_3,n(t) = $\sqrt{n+2}$X_1,n1(t) − µn(n + 1)(n − 1)X_3,n(t) − χ(n + 1)nX_3,n(t) + $\sqrt{n+1}$X_4,n(t), 

iX˙_4,n(t) = $\sqrt{n+1}$X_2,n(t) +  $\sqrt{n+1}$X_3,n(t) − µn(n − 2)(n − 1)X_4,n(t) − χ(n − 1)X_4,n(t).    (7)

Решение системы уравнений (7) имеет чрезвычайно громоздкий вид. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем численным решением.

Имея явный вид временной волновой функции системы (6), мы можем вычислить параметр перепутывания кубитов – отрицательность. Для этого необходимо найти редуцированную двухкубитную матрицу плотности. Найдем вначале временную матрицу плотности полной системы "два кубита+мода поля" стандартным для чистых состояний образом

 ρ_n(t) = |Ψ(t)⟩_{n  n}⟨Ψ(t)|:                                                        (8)

Редуцированную матрицу плотности двух кубитов мы можем вычислить, усредняя (8) по переменным поля

Перейдем к вычислению критерия перепутывания кубитов.

ρ_{n,qubit-qubit} (t) = Sp_Fρ_n(t).

2.  Вычисление отрицательности и обсуждение результатов

Определим отрицательность для двух кубитов стандартным образом [19; 20]

N(t) = $-2\sum _k{w}_k^{-}$                                                                                                   (9)

где $w_k^{-}$ – отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита редуцированной двухкубитной матрицы плотности. Для неперепутанных состояний N = 0. Для перепутанных состояний 0 < N ≤ 1. Максимальной степени перепутывания соответствует значение N = 1.

Для сепарабельных начальных состояний кубитов (2) и (3) и перепутанного состояния (4) двухкубитная редуцированная матрица плотности имеет вид

ρ_{n,qubit-qubit} (t)(t) = $\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{n\mathrm{,11}}& 0& 0& 0\\ 0& {\rho }_{n\mathrm{,22}}& {\rho }_{n\mathrm{,23}}& 0\\ 0& {\rho }_{n\mathrm{,23}}^{*}& {\rho }_{n\mathrm{,33}}& 0\\ 0& 0& 0& {\rho }_{n\mathrm{,44}}\end{array}\right)$

                                           (10)

Матричные элементы (10) для начальных состояний (2)–(4) имеют вид

ρ_n,11(t) = |X_1,n(t)|²,  ρ_n,22(t) = |X_2,n(t)|²,  ρ₃₃(t) = |X_3,n(t)|²; 

ρ_n,44(t) = |X_4,n(t)|²,  ρ_n,23(t) = X_2,n(t) $X_{3,n}^{*}$(t),

Частично транспонированная по переменным одного кубита редуцированная матрица плотности кубитов для (10) может быть представлена в виде

${\rho }_{n\mathrm{,}qubit-qubit}^{T_1}$$\left(t\right) =$ $\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{n\mathrm{,11}}& 0& 0& {\rho }_{n\mathrm{,23}}^{*}\\ 0& {\rho }_{n\mathrm{,22}}& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_{n\mathrm{,33}}& 0\\ {\rho }_{n\mathrm{,23}}& 0& 0& {\rho }_{n\mathrm{,44}}\end{array}\right)$

                               (11)

Матрица (11) имеет всего одно собственное значение, которое может быть отрицательным. В результате отрицательность (9) может быть записана как

$N\left(t\right) =$$\sqrt{({{\rho }_{n\mathrm{,44}}-{\rho }_{n\mathrm{,11}})}^2+4\cdot {\left|{\rho }_{n\mathrm{,23}}\right|}^2}-{\rho }_{n\mathrm{,11}}-{\rho }_{n\mathrm{,44}}\mathrm{.}$

 

Рис. 1. Зависимость отрицательностей N(t) от приведенного времени gt для начального состояния кубитов |+; −⟩. Число фотонов в моде n = 2. Значения нелинейностей χ = μ = 0 (сплошная линия) и χ = 0:1; μ = 0 (штриховая линия) (а) и χ = μ = 0 (сплошная линия) и χ = 0; μ = 0:1 (штриховая линия) (b)

Fig. 1. The negative dependence N(t) on the time gt for the initial state of qubits |+; −⟩. Number of photons in mode n = 2. Mode of nonlinearities χ = μ = 0 (solid line) and χ = 0:1; μ = 0 (dashed line) ( a) and χ = μ = 0 (solid line) and χ = 0; μ = 0,1 (dashed line) ( b)

 

 Результаты компьютерного моделирования временной зависимости отрицательностей N(t) для начального состояния кубитов |+; -⟩ и различных значений параметров нелинейности ꭓ и μ представлены на рис. 1,  a, b и рис. 2,  a. Число фотонов в резонаторной моде для этих графиков и всех последующих выбрано равным n = 2. Из графиков хорошо видно, что при включении нелинейности степень перепутывания кубитов резко возрастает, достигая для некоторых времен максимального значения N = 1. Интересно отметить, что такое поведение параметра перепутывания кубитов характерно для любых значений параметров нелинейности. При этом при увеличении параметров нелинейности времена, для которых отрицательность достигает максимального значения, уменьшаются в случае фоковских состояний поля резонатора. Например, для значений параметров нелинейностей, достигнутых в эксперименте П. Бертета с соавторами [18] (ꭓ = 0.02, μ = 0), время, для которого наблюдается первый максимум отрицательности, составляет t≈450 g, что значительно превосходит время когерентности в рассматриваемых системах кубитов в резонаторе. Таким образом, для наблюдения предсказываемого эффекта необходимо добиться экспериментально увеличения параметров нелинейностей более, чем на порядок. В силу вышесказанного численное моделирование временного поведения отрицательности проводилось для таких значений параметров нелинейности. Заметим также, что с увеличением числа фотонов в резонаторной моде времена, для которых наблюдаются максимумы отрицательности, увеличиваются.

 

Рис. 2: Зависимость отрицательностей N(t) от приведенного времени gt для начального состояния кубитов |+; +⟩ (а) и перепутанного состояния 1/√2(|+; -⟩ +|-, +⟩ (b). Число фотонов в моде n = 2 (a) и n = 10 (b). Значения нелинейностей ꭓ = 1, μ = 0 (сплошная линия) и ꭓ = 0, μ = 0.5 (штриховая линия) ( a) и ꭓ = μ = 0 (сплошная линия), ꭓ = 1, μ = 0 (штриховая линия) и ꭓ = 0, μ = 0.2 (точечная линия)

Fig. 2. The negative dependence N(t) on the time gt for the initial state of qubits |+; +⟩ ( a) and entangled state 1/√2(|+; -⟩ +|-, +⟩ (b). Number of photons in mode n = 2 and n = 10 (b). Meaning of non-linearity ꭓ = 1, μ = 0 (solid line) and ꭓ = 0, μ = 0.5 (dashed line) ( a) and ꭓ = μ = 0 (solid line), ꭓ = 1, μ = 0 (dashed line) and ꭓ = 0, μ = 0.2 (dotted line)

 

На рис. 2,  a представлена временная зависимость отрицательности от приведенного времени gt для начального состояния кубитов |+; +⟩ и различных значений параметров нелинейности. Заметим, что в отсутствие нелинейности резонатора для такого начального состояния кубитов перепутывание не возникает ни для каких начальных состояний кубитов [21]. При учете нелинейности появляется перепутывание кубитов. Расчеты показывают, что зависимость максимальной степени перепутывания кубитов от нелинейности третьего порядка ꭓ немонотонная. В интервале значений безразмерного параметра нелинейности 0 ˂ ꭓ ˂ 1 с увеличением нелинейности ꭓ максимальная степень перепутывания кубитов растет, а для ꭓ >1, наоборот, уменьшается. Для нелинейности пятого порядка μ ситуация иная. С увеличением параметра μ растет и максимальная степень перепутывания кубитов, достигая максимальных значений при μ ≥ 5. На рис. 2, b показана временная зависимость отрицательности от приведенного времени gt для начального перепутанного состояния кубитов (4) при θ = π/4 и различных значений параметров нелинейности. Число фотонов в моде равно n =10. Для выбранного начального состояния кубитов нелинейности третьего и пятого порядков приводят к уменьшению амплитуд колебаний отрицательности и, соответственно, к стабилизации перепутывания кубитов в резонаторе. Кроме того, они способствуют исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутыавния кубитов, т. е. исчезновению перепутывания кубитов на временах меньших времени декогеренции [22; 23]. Описанные эффекты характерны для состояний поля с большим числом фотонов. Для малых чисел фотонов влияние нелинейностей на поведение отрицательности незначительно.

Выводы

Таким образом, в данной статье мы рассмотрели динамику системы, состоящей из двух идентичных кубитов, взаимодействующих с модой поля идеального резонатора с нелинейностямя третьего и пятого порядков. Для количественной оценки меры перепутывания кубитов использовалась отрицательность. Вычисления отрицательности произведены для сепарабельных и белловских начальных состояний кубитов и фоковского состояния поля резонатора. Показано, что для сепарабельного состояния |+; +⟩ учет нелинейностей как третьего, так и пятого порядков приводит к существенному увеличению степени перепутывания кубитов. Хорошо известно, что для резонансной модели Тависа — Каммингса в случае начального состояния  перепутывание состояний кубитов не возникает ни для каких начальных состояний поля резонатора [21]. При включении нелинейности резонатора возможно перепутывание кубитов в процессе их дальнейшей эволюции. Для фоковских состояний поля резонатора расчеты показывают, что для малых значений безразмерного параметра нелинейности третьего порядка ꭓ< 1 увеличение параметра нелинейности приводит к увеличению максимальной степени перепутывания кубитов, а для больших значений безразмерного параметра нелинейности ꭓ> 1 имеет место обратная зависимость. С увеличением безразмерного параметра нелинейности пятого порядка μ растет максимальная степень перепутывания кубитов, достигая максимальных значений при μ ≥ 5. Для белловского начального перепутанного состояния кубитов (4) учет нелинейностей третьего и пятого порядков приводит к уменьшению амплитуд колебаний отрицательности и, соответственно, к стабилизации перепутывания кубитов в резонаторе. Наличие нелинейностей способствуют также исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания кубитов. Указанные эффекты проявляются заметным образом лишь для состояний поля с большим числом фотонов. Для малых чисел фотонов влияние нелинейностей на поведение отрицательности незначительно.

 

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

About the authors

Rodion K. Zakharov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: rk.zakharov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-8450-2248

postgraduate student of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Eugene K. Bashkirov

Samara National Research University

Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files