Associative production of J/ψ - mesons and direct photons at the energy of the NICA collider

Full Text

Введение

¹Экспериментальное исследование процессов ассоциативного рождения J/ψ -мезонов и прямых фотонов в протон-протонных взаимодействиях представляет большой интерес не только для проверки предсказаний пертурбативной квантовой хромодинамики (КХД) и различных моделей адронизации тяжелых кварков в кваркониум [1; 2], но и для получения информации о глюонных функциях распределения (ГФР) в протоне, в том числе зависящих от поперечного импульса поляризованных ГФР [3; 4].

Малость константы сильного взаимодействия на масштабе массы очарованного кварка α_S(m_c) ≃ 0.3 позволяет проводить расчеты сечений рождения чармониев в рамках теории возмущений КХД. В настоящее время достигнута точность, отвечающая следующей за лидирующим приближением (СЛП) поправке, см. например, работу [28].

Процесс адронизации $с\overline{с}$ - пары тяжелых кварков в конечный чармоний — непертурбативный процесс, который может быть описан только в рамках феноменологических моделей. В модели цветовых синглетов (МЦС) [6; 7] предполагается, что кварк-антикварковая пара рождается с квантовыми числами конечного чармония в синглетном состоянии по цвету. В более общем подходе нерелятивистской КХД (НРКХД), в котором учитываются релятивистские поправки по степеням относительной скорости кварка и антикварка, рождение чармония может происходить через промежуточные октетные по цвету состояния [31]. Другой подход к описанию адронизации, модель испарения цвета (МИЦ), предполагает, что все кварк-антикварковые пары с инвариантной массой от порога рождения чармония C до порога рождения открытого очарования с определенной вероятностью ℱ^C превращаются в этот чармоний [9; 10].

Принципиальную роль в описании спектров чармониев по поперечному импульсу играет выбор подхода факторизации эффектов физики жестких и мягких процессов. В области больших поперечных импульсов p_T ≥ m_C, когда можно пренебречь поперечными импульсами начальных партонов, процессы протон-протонного взаимодействия адекватно описываются в коллинеарной партонной модели (КПМ) [11]. Однако для описания спектров в области малых поперечных импульсов p_T ≤ m_C необходимо учитывать наличие малого поперечного импульса начальных партонов, непертурбативной природы, что достигается в подходе так называемой TMD - факторизации, т. е. факторизации, зависящей от поперечного импульса или в неколлинеарной партонной модели (нКПМ) [12]. Для описания экспериментальных данных в промежуточной области поперечных импульсов p_T ~ m_C используются различные процедуры "сшивания"  результатов расчетов в КПМ и нКПМ [15] или феноменологический вариант нКМП – обобщенная партонная модель (ОПМ) [16].

В настоящее время накоплено большое количество экспериментальных данных по рождению J/ψ -мезонов в адронных взаимодействиях от энергий $\sqrt{s}$ = 19 ГэВ до $\sqrt{s}$ = 13 ГэВ. В программу экспериментальных исследований коллаборации SPD NICA входит измерение сечений и спектров чармониев в поляризованных протон-протонных столкновениях при энергиях до $\sqrt{s}$ = 27 ГэВ [13]. Рождение одиночных прямых фотонов в неполяризованных адронных взаимодействиях экспериментально хорошо изучено в широком диапазоне энергий [14] и планируется для изучения в столкновениях поляризованных протонов в экспериментах SPD NICA [13]. Однако до настоящего времени сечение ассоциативного рождения J/ψ -мезонов и прямых фотонов не было измерено ни в одном эксперименте.

В настоящей статье мы оцениваем возможность измерения сечения ассоциативного рождения J/ψ -мезонов и фотонов при энергии $\sqrt{s}$ = 27 ГэВ в эксперименте SPD NICA. Сравниваются предсказания, полученные в ОПМ при использовании различных моделей адронизации тяжелых кварков в чармоний, а именно МЦС и МИЦ.

1  Партонная модель жестких процессов

Описание сечений жестких процессов (процессов с большой передачей импульса) основывается на факторизации процессов партон-партонного взаимодействия с большими передачами импульсов и мягких (непертурбативных) процессов в начальном состоянии, которые описываются партонными функциями распределения (ПФР). Энергетический масштаб факторизации в процессах рождения чармониев определяется массой с-кварка или чармония µ_F ≃ m_ψ . Здесь и ниже в качестве чармония рассматривается J/ψ -мезон. В области больших поперечных импульсов чармония, p_T ≥ m_F, процессы рождения описываются в КПМ [11] с использованием формулы коллинеарной факторизации

dσ(pp → J/ψX) =  $\int d{x}_1\int d{x}_2{f}_g^{\left(p\right)}$$\left(x_1\mathrm{,}{\mu }_F\right)f_g^{\left(p\right)}$$\left(x_2\mathrm{,}{\mu }_F\right)d\widehat{\sigma }$$(gg\to J/\psi g)$,                                     (1.1)

где $f_g^{\mathit{\left(}p\mathit{\right)}}$(x,µ_F)  – коллинеарные ПФР глюонов в протоне, $d\widehat{\sigma }(gg\to J/\psi g)$ – дифференциальное сечение партонного подпроцесса рождения пары $c\overline{c}$- кварков, из которых формируется конечный J/ψ -мезон с большим поперечным импульсом. Наряду с подпроцессом глюон-глюонного слияния q q → J/ψg в КПМ учитываются также и подпроцессы кварк-антикварковой аннигиляции q ̅q → J/ψg и кварк-глюонного рассеяния q ( ̅q) q → J/ψq( ̅q).

В области малых поперечных импульсов, p_T << m_ψ, КПМ, с одной стороны, предсказывает расходящееся при p_T → 0 дифференциальное сечение рассеяния, а с другой стороны, уже нельзя пренебрегать малыми поперечными импульсами партонов в протоне, которые имееют принципиально непертурбативную природу. В этой кинематической области используется нКПМ [12], в которой формула факторизации записывается как свертка зависящих от поперечного импульса ПФР и сечения партонного процесса

dσ(pp → J/ψX) = $\int d{x}_1\int d^2{q}_{T1}\int d{x}_2\int d^2{q}_{T2}{F}_g^{\left(p\right)}$(x₁, q_T1, µ_F, µ_Y )×

× $F_g^{\left(p\right)}$(x₂, q_T2, µ_F, µ_Y )d$\hat{\sigma }$(gg → J/ψ),                                                                       (1.2)

где $F_g^{\left(p\right)}$ (x, q_T, µ_F, µ_Y ) — зависящие от поперечного импульса $q_T^{\mu }$ = (0, q_T , 0)^µ глюонов или кварков(антикварков),  µ_Y — жесткий масштаб, регуляризующий быстротные расходимости в нКПМ. Так как начальные партоны в нКМП имеют ненулевые поперечные импульсы, то поперечный импульс пары $c\overline{c}$ или J/ψ -мезона тоже ненулевой и имеет непертурбативную природу. Известно, что при высоких энергиях основной вклад дает подпроцесс глюон-глюонного слияния gg → J/ψ, но в области энергий $\sqrt{s}$=10-40 ГэВ вклад кварк-антикварковой аннигиляции q ̅q → J/ψg становится соизмеримым с вкладом глюон-глюонного слияния. Партонные подпроцессы с испусканием дополнительных конечных партонов с большими поперечными импульсами в нКПМ не учитываются, т. к. вносят вклад в область больших поперечных импульсов p_T >> m_ψ, и их учет нарушает факторизацию нКПМ. Для описания сечений в кинематической области промежуточных поперечных импульсов, p_T ∼ m_ψ  используются различные процедуры "сшивания"  [15]. Другой подход для единого описания сечений рождения при малых и больших поперечных импульсах основан на ОПМ [16], в которой используется формула факторизации (1.2), но в качестве зависящих от поперечного импульса ПФР рассатриваются феноменологические распределения:

$F_{g\mathrm{,}q}^{\left(p\right)}$$\left(x\mathrm{,}{q}_T\mathrm{,}\mu \right) =$$f_{g\mathrm{,}q}^{\left(p\right)}$$\left(x\mathrm{,}\mu \right)$$G_{g\mathrm{,}q}^{\left(p\right)}$$\left(q_T\right)$                                                                            (1.3)

где $f_{g\mathrm{,}q}^{\left(p\right)}$$\left(x\mathrm{,}\mu \right)$ — коллинеарная ФР глюонов или кварков в протоне, а зависимость от поперечного импульса аппроксимируется нормированным на единицу гауссианом

$G_{g\mathrm{,}q}^{\left(p\right)}$$\left({\mathbf{q}}_T\right)$$=\frac{1}{\pi a}\exp \left(-\frac{{\mathbf{q}}_T^2}{a}\right)\mathrm{,}$

 $\int d^2{q}_T{G}_{g\mathrm{,}q}^p$$\left({\mathit{q}}_T\right)=1$                                                                                                (1.4)

где a = ⟨${\mathbf{q}}_T^2$⟩ — средний квадрат поперечного импульса партона в протоне, который рассматривается как свободный параметр модели и определяется из сравнения с экспериментальными данными. В качестве коллинеарных ПФР глюонов и кварков в протоне в наших расчетах используется параметризация MSTW [17].

Несмотря на наличие у начальных партонов в ОПМ поперечных импульсов, они остаются на массовой поверхности, что достигается путем введения связанных между собой положительной и отрицательной конусных компонент в 4-импульсы партонов:

$q_1^{\mu } = x_1{P}_1^{\mu }+{\tilde{x}}_1{P}_2^{\mu }+q_{1T}^{\mu }\mathrm{,}$                                                                                                (1.5)

$q_2^{\mu }= x_2{P}_2^{\mu }+{\tilde{x}}_2{P}_1^{\mu }+q_{2T}^{\mu }\mathrm{,}$                                                                                                (1.6)

где

$P_1^{\mu }=\frac{\sqrt{s}}{2}(1,0,0,1), P_2^{\mu } =\frac{\sqrt{s}}{2}{(1,0,0,-1)}^{\mu }\mathrm{,}$

${\mathbf{q}}_{\mathrm{1,2}T}=(0,{{\mathbf{q}}_{1,2T},0)}^{\mu },{\tilde{x}}_1\text{= }{\mathbf{q}}_{1T}^2/(x_{1}S),{\tilde{x}}_2\text{= }{\mathbf{q}}_{2T}^2/(x_{2}S)$.

2  Модель цветовых синглетов

В рамках НРКХД [8] сечение рождения чармония C в партонном подпроцессе a + b → C + X  может быть представлено как сумма членов, в которых эффекты физики больших и малых расстояний факторизованы следующим образом:

$d\widehat{\sigma }(a+b\to C+X)$$\sum _{n}d\widehat{\sigma }(a+b\to Q\overline{Q}[n]+X)$$⟨{\mathcal{O}}^C\left[n\right]⟩$                                                           (2.1)

где n обозначает набор квантовых чисел: цвет, спин, орбитальный и полный момент $c\overline{c}$ пары с 4-импульсом равным 4-импульсу физического чармония C. Сечение подпроцесса $d\widehat{\sigma }(a+b\to Q\overline{Q}[n]+X)$ может быть рассчитано в пертурбативной КХД как ряд по степеням ∝_s, используя нерелятивистское приближение для относительного движения тяжелых кварков в $c\overline{c}$ -паре. Непертурбативный переход $c\overline{c}$-пары в чармониум C описывается непертурбативными матричными элементами (НМЭ) ⟨${\mathcal{O}}^C$[n]⟩ , которые могут быть извлечены их экспериментальных данных.

В работе [18] было показано, что экспериментальные данные коллаборации PHENIX [19] для спектра по поперечному импульсу прямых J/ψ -мезонов в области p_T ≤ 1 GeV хорошо описываются в МЦС, и вклад октетных НМЭ должен быть малым. Как будет показано ниже, если фитировать экспериментальные данные по p_T - спектрам прямых J/ψ - мезонов в области p_T ≤ 3 ГэВ в МЦС и ОПМ, варьируя только параметр a в ПФР, можно получить хорошее согласие с экспериментом.

$g+g\to c\overline{c}{[}^3{S}_1^{\left(1\right)}]+g\mathrm{,}$                                                                                         (2.2)

$g+g\to c\overline{c}{{[}^{3}P}_1^{\left(1\right)}]+g\mathrm{,}$                                                                                         (2.3)

$g+g\to c\overline{c}{{[}^{3}P}_0^{\left(1\right)}]\mathrm{,}$                                                                                              (2.4)

$g+g\to c\overline{c}{{[}^{3}P}_2^{\left(1\right)}]\mathrm{,}$                                                                                              (2.5)

квадраты модулей амплитуд которых впервые были получены в работе [21] и представлены ниже:

$\overline{\overline{)M}{(g+g\to c\overline{c}{]}^3{S}_1^{\left(1\right)}]+g)}^2}$$= \frac{320{\pi }^3{\alpha }_s^{3}M}{81{(M^2-t)}^2{(M^2-u)}^2{(t+u)}^2}\times$                        

$\times [M^4\left(t^2+tu+u^2\right)-M^{2}t+u\left(2t^2+tu+2u^2\right)+{\left(t^2+tu+u^2\right)}^2]$                                                   (2.6)

$\overline{\overline{)M}{(g+g\to c\overline{c}{]}^3{P}_1^{\left(1\right)}]+g)}^2}$$=\frac{128{\pi }^3{\alpha }_s^3{\left(-\left(M^{2}t+u\right)+t^2+tu+u^2\right)}^2}{3M^3{\left(M^2-t\right)}^4{\left(M^2-u\right)}^4{(t+u)}^4}\times$

$\times (M^{10}\left(t^2+u^2\right)-2M^8(t+u)\left(3t^2-tu+3u^2\right)+M^6(13t^4+20t^{3}u+$                                     

$+10t^2{u}^2+20t{u}^3+13u^4)-4M^4(t+u)\left(3t^4+5t^{3}u+t^2{u}^2+5t{u}^3+3u^4\right)+$

$+M^2+\left(4t^6+18t^{5}u+25t^4{u}^2+20t^3{u}^3+25t^2{u}^4+18t{u}^5+4u^6\right)-2tu(t+u){\left(t^2+tu+u^2\right)}^2$.               (2.7)

$\overline{\left|M\right|(g+g\to c\overline{c}{[}^3{P}_1^{\left(1\right)}]+g^2}$$= \frac{128{\pi }^3{\alpha }_s^3{\left(-\left(M^{2}t+u\right)+t^2+tu+u^2\right)}^2}{3M^3{\left(M^2-t\right)}^4{\left(M^2-u\right)}^4{(t+u)}^4}\times$                         

$\times (M^{10}\left(t^2+u^2\right)-2M^8(t+u)\left(3t^2-tu+3u^2\right)+M^6(13t^4+20t^{3}u+$

$+10t^2{u}^2+20t{u}^3+13u{)}^4-4M^4(t+u)\left(3t^4+5t^{3}u+t^2{u}^2+5t{u}^3+3u^4\right)+$

$+M^2+\left(4t^6+18t^{5}u+25t^4{u}^2+20t^3{u}^3+25t^2{u}^4+18t{u}^5+4u^6\right)-2tu(t+u){\left(t^2+tu+u^2\right)}^2,$                     

$\overline{{\left|M\right(g+g\to c\overline{c}{[}^3{P}_0^{\left(1\right)}\left]\right|}^2}$ $=\frac{8{\pi }^2{\alpha }_s^2}{3M^3}\mathrm{,}$                                                                                (2.8)

$\overline{{\left|M\right(g+g\to c\overline{c}{[}^3{P}_2^{\left(1\right)}\left]\right|}^2}$$=\frac{32{\pi }^2{\alpha }_s^2}{45M^3}\mathrm{,}$                                                                                (2.9)

где M - масса чармония в нерелятивистском приближении M = 2m_c.

Как будет показано ниже, для согласованности результатов расчета при энергии $\sqrt{s}$ = 19.4 ГэВ с экспериментальными данными коллаборации NA3 [20] необходимо учитывать дополнительные октетные вклады

 $q+\overline{q}\to c\overline{c}{[}^3{S}_1^{\left(8\right)}]$                                                                              (2.10)

$g+\overline{g}\to c\overline{c}{[}^3{S}_0^{\left(8\right)}]$                                                                                (2.11)

$g+\overline{g}\to c\overline{c}{[}^3{P}_0^{\left(8\right)}]$                                                                                (2.12)

$g+\overline{g}\to c\overline{c}{[}^3{P}_2^{\left(8\right)}]$                                                                                (2.13)

с матричными элементами

$\overline{{\left|M(q+\overline{q}\to c\overline{c}{[}^3{S}_1^{\left(8\right)}])\right|}^2}$$=\frac{16{\pi }^2{\alpha }_s^2}{27M}\mathrm{,}$                                                          (2.14)

$\overline{{\left|M(g+\overline{g}\to c\overline{c}{{[}^{3}S}_0^{\left(8\right)}])\right|}^2}$$= \frac{5{\pi }^2{\alpha }_s^2}{12M}\mathrm{,}$                                                           (2.15)

${\left|M(g+g\to c\overline{c}{{[}^{3}P}_0^{\left(8\right)}])\right|}^2$$= \frac{5{\pi }^2{\alpha }_s^2}{M^3}\mathrm{,}$                                                          (2.16)

${\left|M(g+g\to c\overline{c}{{[}^{3}P}_2^{\left(8\right)}])\right|}^2$$=\frac{4{\pi }^2{\alpha }_s^2}{3M^3}\mathrm{.}$                                                          (2.17)

Ассоциативное рождение J/ψ + γ в ОПМ и МЦС в лидирующем приближении (ЛП) описывается только процессами, идущими через синглетное по цвету состояние

$g+g\to c{\overline{c}}^3\left[S_1^{\left(1\right)}\right]+\gamma \mathrm{,}$                                                                                          (2.18)

$g+g\to c\overline{c}{[}^3{P}_1^{\left(1\right)}]+\gamma \mathrm{.}$                                                                                          (2.19)

Однако вклад каскадных процессов рождения через распады ψ(2S) и χ_c1  оказывается пренебрежимо малым [1] и основной вклад дает процесс прямого рождения (2.18), квадрат модуля амплитуды которого равен

$\overline{{\left|M(g+g\to c\overline{c}{[}^3{S}_1^{\left(1\right)}]+\gamma )\right|}^2}$$\frac{1024{\pi }^3\alpha {\alpha }_s^2}{243M{\left(M^2-t\right)}^2{\left(M^2-u\right)}^2({t+u)}^2}\times$

$\times \left(s^3\left(t^2+tu+u^2\right)+s^2{(t+u)}^3+stu\left(t^2+3tu+u^2\right)+t^2{u}^2(t+u)\right)\mathrm{.}$                                        (2.20)

3  Модель испарения цвета

Другая популярная модель адронизации пары $c̅c$ в чармониум – МИЦ [9; 10]. Актуальный статус МИЦ представлен в работе [22]. В ОПМ начальные партоны имеют поперечный импульс, поэтому описание спектров по поперечному импульсу J/ψ -мезонов возможно уже в лидирующем приближении по константе сильного взаимодействия с учетом партонных подпроцессов

g + g → c +  ̅c → J/ψ,                                                                                          (3.1)

и

q +  ̅q → c +  ̅c → J/ψ.                                                                                        (3.2)

В МИЦ сечение рождения прямых J/ψ -мезонов связано с сечением рождения c ̅c - пар следующим образом:

$\sigma (pp\to J/\psi X)F^{\psi }{\int }_{m_{\psi }^2}^{4m_D^2}\frac{d\sigma (pp\to c\overline{c}X)}{d{M}_{c\overline{c}}^2}d{M}_{c\overline{c}}^2\mathrm{,}$                                                       (3.3)

где $M_{c\overline{c}}$ — инвариантная масса $c\overline{c}$ -пары с 4-импульсом $p_{c\overline{c}}^{\mu } =p_c^{\mu }+p_{\overline{c}}^{\mu }$, m_D – масса легчайшего D - мезона.

Для учета кинематического эффекта, связанного с разницей масс промежуточного состояния и конечного чармония, 4-импульс $c\overline{c}$-пары и J/ψ -мезона связан соотношением $p^{\mu }=\left(m_{\psi }{M}_{c\overline{c}}\right)p_{c\overline{c}}^{\mu }$.

Универсальный параметр F^ψ рассматривается как вероятность превращения $c\overline{c}$- пары с инвариантной массой $m_{\psi }<M_{c\overline{c}}<2m_D$ в J/ψ - мезон.

Протон-протонное сечение связано с партон-партонным сечением по формуле (1.2), где дифференциальное сечение рождения $c\overline{c}$- пары с импульсом ${\mathbf{p}}_{c\overline{c}}={\mathbf{p}}_c+{\mathbf{p}}_{\overline{c}}$ в партонном подпроцессе имеет вид

$\frac{d\widehat{\sigma }(gg\to c\overline{c})}{d^3{p}_{c\overline{c}}d{M}_{c\overline{c}}^2}\delta (\widehat{s}-M_{c\overline{c}}^2){\delta }^{\left(3\right)}$$({\mathbf{p}}_{c\overline{c}}-{\mathbf{p}}_{\mathbf{c}}-{\mathbf{p}}_{\overline{c}})$$\hat{\sigma }(gg\to c\overline{c})$                                   (3.4)

Здесь

$\widehat{\sigma (}gg\to c\overline{c}) =$$\frac{\pi {\alpha }_s^2}{3\widehat{s}}\left[(1+w+\frac{w^2}{16}) \ln \frac{1+\sqrt{1-w}}{1-\sqrt{1-w}}-(\frac{7}{4}+\frac{31}{16}w)\sqrt{1-w}\right]$

и в случае рождения $c\overline{c}$-пары в кварк-антикварковой аннигиляции

$\widehat{\sigma }(q\overline{q}\to c\overline{c}) =$$\frac{8\pi {\alpha }_s^2}{27\widehat{s}}\left(1+\frac{w}{2}\right)\sqrt{1-w}\mathrm{,}$

где  $w=4m_c^2/\widehat{s}$,   $\widehat{s} = {(p_c+p_{\overline{c}})}^2$

Для описания ассоциативного рождения J/ψ + γ ОПМ и МИЦ учитываются процессы

g + g → c +  ̅c + γ                                                                               (3.5)

и

q +  ̅q → c +  ̅c + γ.                                                                              (3.6)

Амплитуды процессов (5) и (6) рассчитываются аналитически с помощью программных пакетов FeynArts и FeynCalc [46] в системе Mathematica. Дифференциальное сечение рождения пары J/ψ + γ в ОПМ и МИС может быть представлено в виде

$\frac{d\sigma (pp\to c\overline{c}\gamma X)}{d{y}_{c\overline{c}}d{p}_{Tc\overline{c}}^{2}d{y}_{\gamma }d{p}_{T\gamma }^{2}d{\varphi }_{\gamma }}$$={ℱ}^{\psi }{\int }_{m_{\psi }^2}^{4m_D^2}d{M}_{c\overline{c}}^2\int d{x}_1{d}^2{q}_{T1}\int d{x}_2{d}^2{q}_{2T}\times$

$\times F_g^{\left(p\right)}\left(x_1\mathrm{,}{q}_{1T}\mathrm{,}{\mu }_F\right)F_g^{\left(p\right)}\left(x_2\mathrm{,}{q}_{2T}\mathrm{,}{\mu }_F\right)$$\frac{d\widehat{\sigma (}gg\to c\overline{c}\gamma )}{d{M}_{c\overline{c}}^{2}d{y}_{c\overline{c}}d{p}_{Tc\overline{c}}^{2}d{y}_{\gamma }d{p}_{T\gamma }^{2}d{\varphi }_{\gamma }}\mathrm{,}$                             (3.7)

где партонное сечение записывается как

$\frac{d\widehat{\sigma }(gg\to c\overline{c}\gamma )}{d{M}_{c\overline{c}}^{2}d{y}_{c\overline{c}}d{p}_{Tc\overline{c}}^{2}d{y}_{\gamma }d{p}_{T\gamma }^{2}d{\varphi }_{\gamma }}$$=\frac{1}{{\left(8\pi \right)}^4}\int d\Omega {\delta }^{\left(4\right)}(q_1+q_2-p_{c\overline{c}}-p_{\gamma })\times$

$\times \sqrt{1-\frac{4m_c^2}{M_{c\overline{c}}^2}}\frac{\overline{M{(gg\to c\overline{c}\gamma )}^2}}{x_1{x}_{2}s}\mathrm{.}$                                                                        (3.8)

Здесь используется ковариантный способ интегрирования по относительному 4-импульсу k^µ  между  и $\overline{c}$ кварками, когда квадрат модуля амплитуды подпроцесса gg → c$\overline{c}$γ, усредненный по поляризациям начальных партонов и просуммированный по поляризациям конечных частиц, представляется как функция релятивистских инвариантов и углов Коллинза — Сопера (dΩ = sinθdθdϕ) в системе центра масс $c\overline{c}$-пары:

$\overline{{\left|M(gg\to c\overline{c}\gamma )\right|}^2}$ = Φ($\hat{s}$, $M_{c\overline{c}}^2$ , $\hat{t}$, $\hat{u}$, W₁, W₂, θ, ϕ, m_c),                                    (3.9)

где

$\widehat{s}=(q_1+q_2{)}^2\mathrm{,}{M}_{c\overline{c}}^2{=(p_c+p_{\overline{c}})}^2\mathrm{,}$ 

$\widehat{t} ={{(q_1-p_{\gamma })}^2\mathrm{,}\widehat{u}\text{ = (}{q}_2-p_{\gamma })}^2\mathrm{,}$

         $W_1={(q_1-p_c)}^2\mathrm{,}{W}_2= {(q_2-p_{\overline{c}})}^2\mathrm{.}$                                                     (3.10)

При этом

$p_c^{\mu }=\frac{p_{c\overline{c}}^{\mu }}{2}+k^{\mu }\mathrm{,}{p}_{\overline{c}}^{\mu }=\frac{p_{c\overline{c}}^{\mu }}{2}-k^{\mu }$

и

$k^{\mu }=\frac{1}{2}\sqrt{M_{c\overline{c}}^2-4m_c^2}\left(X^{\mu }\sin \theta \cos \varphi +Y^{\mu }\sin \theta sin\varphi +Z^{\mu }\cos \theta \right)\mathrm{.}$                         (3.11)

В системе центра масс сталкивающихся протонов базисные единичные 4-векторы заданы следующим образом:

$X^{\mu }=\frac{1}{M_{c\overline{c}}}{\left(\left|{p_T}_{c\overline{c}}\right|\cosh \left(y\right),\sqrt{{\left|{p_T}_{c\overline{c}}\right|}^2+M_{c\overline{c}}^2}\left|{p_T}_{c\overline{c}}\right|\sinh \left(y\right)\right)}^{\mu }\mathrm{,}$                         (3.12)

Y^µ = sgn(y)(0, 0, 1, 0)^µ,                                                                 (3.13)

Z = sgn(y)(sinh(y), 0, 0, cosh(y))^µ.                                                  (3.14)

4  Результаты расчетов

В первую очередь был проведен расчет сечений рождения и спектров по поперечному импульсу прямых J/ψ - мезонов в области 0 < p_Tψ < 3 ГэВ при энергиях $\sqrt{s}$= 200 ГэВ [19] и $\sqrt{s}$ = 19,4 ГэВ [20] в ОПМ и МЦС. При этом были фиксированы параметры моделей: параметра  в гауссовском распределении глюонов и кварков по поперечному импульсу и вероятности адронизации $c\overline{c}$ - пары в J/ψ -мезон ℱ^ψ . Результаты фита представлены в таблице. Полученные значения параметров при энергии NA3 используются ниже при расчетах сечения и различных спектров при энергии эксперимента SPD NICA.

 

Таблица. Результаты фитирования параметров ОПМ и МИЦ

Table. The results of fitting the parameters of OPM and MIC

Эксперимент	Энергия,$\sqrt{s}$ , ГэВ	ℱψ	${⟨q_T^2⟩}_g$ , ГэВ	${⟨q_T^2⟩}_g$ , ГэВ
PHENIX [42]	200	0.05	${2.09}_{-0.07}^{+0.13}$	${0.45}_{-0.18}^{+0.48}$
NA3 [43]	19.4	0.33	${0.96}_{-0.04}^{+0.05}$	${0.29}_{-0.03}^{+0.04}$

 

На рис. 4.1–4.10 серым выделены области неопределенности теоретических расчетов в зависимости от выбора жесткого масштаба µ_F = ξm, где ξ = 0.5, 1.0, 2.0. Как видно, на рисунках 4.1 и 4.2 в ОПМ экспериментальные данные для p_T - спектров прямых J/ψ -мезонов очень хорошо описываются, если область фитирования параметров моделей ограничена областью 0 < p_Tψ < 3 ГэВ. Причем параметр  для глюонных и кварковых функций распределения получается разным и сильно зависящим от энергии сталкивающихся протонов. Расчеты показывают, что при энергии 200 ГэВ вкладом кварк-антикварковой аннигиляции можно пренебречь (см. рис. 4.1), но при энергии 19.4 ГэВ вклад кварк-антикварковой аннигиляции в рождение J/ψ -мезонов становится существенным, особенно в области малых поперечных импульсов.

Рис. 4.1. Дифференциальное сечение рождения J/ψ-мезонов как функция поперечного импульса при энергии √s = 200 ГэВ, |y| < 0.35 [19]. Сплошная кривая – в МЦС, штрих-пунктирная – в МИЦ, пунктирная — вклад кварк-антикварковой аннигиляции

Fig. 4.1. Differential cross-section of the J/ψ-mesons production as a function of the transverse momentum, at an energy of √s = 200 GeV, |y| < 0.35 [19]. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM, the dotted line – the contribution of quark-antiquark annihilation

 

Рис. 4.2. Дифференциальное сечение рождения J/ψ-мезонов как функция поперечного импульса при энергии √s = 19.4 ГэВ, y > 0 [20]. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ, пунктирная – вклад кварк-антикварковой аннигиляции

Fig. 4.2. Differential cross-section of the J/ψ-mesons production as a function of the transverse momentum, at an energy of  √s = 19.4 GeV, y > 0 [20]. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM, the dotted line – the contribution of quark-antiquark annihilation

 

Рис. 4.3. Дифференциальное сечение рождения J/ψ + γ пары как функция их суммарного поперечного импульса при энергии √s = 27 ГэВ, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ

Fig. 4.3. Differential cross-section of the J/ψ+γ pairs production as a function of their total transverse momentum, at an energy of √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM

 

На рис. 4.3 показаны предсказания для зависимости дифференциального сечения ассоциативного рождения J/ψ +γ как функции суммарного поперечного импульса J/ψ -мезона и фотона в МИЦ и МЦС, а на рис. 4.4 как функции инвариантной массы системы J/ψ +γ, M_ψγ. Наблюдается хорошее согласие между результатами расчетов в различных моделях адронизации.

 

Рис. 4.4. Дифференциальное сечение рождения J/ψ + γ пары как функция инвариантной массы пары Mψγ при энергии √s = 27 ГэВ, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ

Fig. 4.4. Differential cross-section of the J/ψ+γ pairs production as a function of the invariant mass of a pair , at an energy of √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM

 

На рис. 4.5 и 4.6 показаны, соответственно, дифференциальные спектры по разности быстрот  и разности азимутальных углов . Угловые корреляции особенно чувствительны к выбору зависящих от поперечного импульса ПФР.

 

Рис. 4.4. Дифференциальное сечение рождения J/ψ + γ пары как функция инвариантной массы пары Mψγ при энергии √s = 27 ГэВ, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ

Fig. 4.5. Differential cross-section of the J/ψ+γ pairs production as a function of the rapidity difference , at an energy of  √s = 27 GeV GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM

 

Рис. 4.6. Дифференциальное сечение рождения J/ψ + γ пары как функция разности азимутальных углов ∆y_ψγ при энергии √s = 27 ГэВ, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ

Fig. 4.6. Differential cross-section of the J/ψ+γ pairs production as a function of the azimuthal angles difference ∆y_ψγ, at an energy of √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM

 

Спектры по поперечному импульсу J/ψ -мезонов и фотонов в процессах ассоциативного рождения J/ψ + γ показаны на рис. 4.7 и 4.8. На рис. 4.9 и 4.10 изображены спектры по быстроте J/ψ-мезона и фотона, соответственно. При расчетах предполагалось, что на поперечные импульсы фотонов наложено ограничение p_Tγ > 0.5 ГэВ, которое связано с возможностью экспериментальной регистрации прямых фотонов.

 

Рис. 4.7. Дифференциальные сечения рождения J/ψ + γ пары как функции поперечных импульсов p_Tψ при энергии √s = 27 ГэВ, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ.

Fig. 4.7. Differential cross-section of the J/ψ + γ pairs production as a function of the J/ψ-meson transverse momentum p_Tγ, at an energy of √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve — in CSM, dashed — in iCEM

 

Рис. 4.8. Дифференциальные сечения рождения J/ψ + γ пары как функции поперечных импульсов p_Tγ при энергии √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ

Fig. 4.8. Differential cross-section of the J/ψ+γ pairs production as a function of the photon transverse momentum p_Tγ, at an energy of √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM

 

Рис. 4.9. Дифференциальные сечения рождения J/ψ + γ пары как функции быстроты y_ψ при энергии √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная – в МИЦ

Fig. 4.9. Differential cross-section of the J/ψ+γ pairs production as a function of the J/ψ -meson rapidity , at an energy of √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM

 

Рис. 4.10. Дифференциальные сечения рождения J/ψ + γ пары как функции быстроты y_γ при энергии √s = 27 ГэВ, |yψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 ГэВ. Сплошная кривая — в МЦС, пунктирная — в МИЦ

Fig. 4.10. Differential cross-section of the J/ψ+γ pairs production as a function of the photon rapidity , at an energy of √s = 27 GeV, |y_ψ| < 3, |y_γ| < 3, p_Tγ > 0.5 GeV. Solid curve – in CSM, dashed – in iCEM

 

Заключение

При энергиях коллайдера NICA проведен расчет дифференциальных сечений ассоциативного рождения J/ψ - мезонов и прямых фотонов в ОПМ и в рамках моделей адронизации МЦС и МИЦ. Параметры моделей были фиксированы из сравнения с экспериментальными данными по спектрам прямых J/ψ -мезонов при энергиях экспериментов PHENIX [42] и NA3 [43]. Рассчитанные спектры для ассоциативного рождения J/ψ+γ слабо зависят от выбора модели адронизации, МЦС или МИЦ. Основная погрешность теоретических расчетов, как это обычно наблюдается в расчетах в ЛП по константе сильного взаимодействия, обусловлена неопределенностью в выборе жесткого масштаба и может достигать 100 %. Однако предсказываемые нами величины сечения ассоциативного рождения J/ψ+γ при энергии эксперимента SPD NICA достаточно велики, что позволяет надеяться на возможность их экспериментального измерения, т. к. рождения прямых J/ψ -мезонов и прямых фотонов характеризуются по отдельности достаточными для выделения сигнала отношениями "сигнал-фон". Анализ этого отношения в случае совместного рождения J/ψ+γ требует специального исследования, которое планируется сделать в будущем.

 

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

 

¹ Работа выполнена при поддержке гранта ОИЯИ.

About the authors

Lev E. Alimov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: alimov.le@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0009-4259-6707

Master’s Degree Student of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, 443086

Vladimir A. Saleev

Samara National Research University

Email: saleev@samsu.ru
ORCID iD: 0000-0003-0505-5564

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, 443086

References

Supplementary files