Entanglemnt in nonlinear three-qubits Jaynes — Cummings

Full Text

Введение

Исследования многокубитных перепутанных состояний является одной из приоритетных задач квантовой информатики [1$–$7]. Перепутанные состояния естественных или искусственных атомов (кубитов) необходимы для функционирования таких квантовых устройств, как квантовые компьютеры, квантовые сети и др. [8$–$16]. Для теоретического и экспериментального описания свойств перепутанных состояний необходимо ввести количественные критерии степени перепутывания кубитов. В настоящее время указанная проблема полностью решена для двухкубитных систем [17$–$19]. Однако для систем, содержащих более чем два кубита, ситуация более сложная, поскольку для них до настоящего времени не удается ввести аналогичные критерии. Ненулевые значения новых критериев перепутывания, введенных для многокубитных систем, свидетельствуют лишь о наличии перепутанности в системе, но не дают информации о ее конкретной структуре и, следовательно, о возможности использования данных критериев для количественной оценки степени перепутывания кубитов [20; 21]. Проблема состоит еще в том, что существуют несколько неэквивалентных классов перепутанных состояний [22$–$24]. Для простейшего случая трехкубитной системы для чистых перепутанных состояний обычно выделяют три типа: полностью сепарабельные состояния, бисепарабельные состояния и подлинные перепутанные состояния [25$–$30]. К последним относятся перепутанные состояния Гринберга $—$ Хорна $—$ Цайлингера ( $GHZ$ -состояния) и перепутанные состояния Вернера ( $W$ -состояния). При этом $GHZ$ -состояния весьма неустойчивы по отношению к потере системой частиц. Такие состояния могут использоваться для детерминированной телепортации или плотного кодирования. Напротив, $W$ -состояния максимально устойчивы не только к потерям частиц, но и к воздействию внешнего шума. Такие состояния могут использоваться при квантовой обработке информации.

В нашей предыдущей работе мы детально исследовали динамику перепутывания в системе трех кубитов, резонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе [67]. Представляет большой интерес обобщить полученные результаты на случай нерезонансного взаимодействия трех кубитов с электромагнитным полем резонатора с нелинейной средой Керра. Такой интерес обусловлен тем, что в ряде работ на примере двухкубитных моделей было показано, что учет расстройки и нелинейной среды Керра может существенно увеличить степень перепутывания кубитов, индуцированного полем резонатора, в случае сепарабельных начальных состояний кубитов и существенно стабилизировать осцилляции Раби параметра перепутывания кубитов в случае их перепутанного начального состояния [32$–$36]. Для некоторых начальных состояний кубитов включение расстройки и нелинейности может также приводить к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания кубитов.

В настоящей статье мы исследовали динамику системы, состоящей из трех идентичных кубитов, нерезонансно взаимодействующих с модой фоковского квантового электромагнитного поля идеального нелинейного резонатора со средой Керра посредством однофотонных переходов. Полученные решения квантового уравнения эволюции использованы для расчета параметра перепутывания пар кубитов. Для оценки количественной меры перепутывания пар кубитов использовалась отрицательность или параметр Переса $—$ Хородецких [17; 18]. 

1. Модель и решение временного уравнения Шредингера

Рассмотрим систему трех идентичных сверхпроводящих кубитов $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}{A}_3$ с энергетической щелью $\hslash \Omega$, нерезонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля идеального микроволнового компланарного резонатора частоты $\omega$ со средой Керра. Гамильтониан такой модели в системе отсчета вращающейся с частотой моды поля $\omega$ можно представить в виде 

$H\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hslash \Delta {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^3}{R}_i^z+\hslash \gamma {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }^{+}{R}_i^{-}+R_i^{+}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\hslash \Xi {\eta }^{+2}{\eta }^2\mathrm{,}$ (1.1)

 где ${\eta }^{+}$ ( $\eta$ ) $–$ оператор рождения (уничтожения) фотонов моды поля, $R_i^{+}$ ( $R_i^{-}$ ) $—$ операторы перехода из основного $|-{⟩}_i$ в возбужденное $|+{⟩}_i$ (из возбужденного в основное) состояние $i$ -го кубита, $\gamma$ $—$ параметр кубит-фотонного взаимодействия, $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>}\Omega -\omega$ $—$ расстройка и $\Xi$ $—$ параметр керровской нелинейности.

Выберем в качестве начальных состояний подсистемы кубитов сепарабельные состояния вида

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{⟩}_{A_1{A}_2{A}_3}\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩\mathrm{,}$ (1.2)

 бисепарабельные состояния вида

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{⟩}_{A_1{A}_2{A}_3}\mathrm{<mo>=</mo>}\cos \theta \mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\sin \theta \mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩\mathrm{,}$ (1.3)

 а также истинно перепутанные состояния $W$ -типа

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\Phi }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{⟩}_{A_1{A}_2{A}_3}\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+b\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩+c\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+⟩\mathrm{,}$ (1.4)

 где

$\mathrm{<mo>|</mo>}a{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}b{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}c{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1,}$

и истинно перепутанные состояния $GHZ$ -типа

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\Phi }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{⟩}_{A_1{A}_2{A}_3}\mathrm{<mo>=</mo>}d\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}+⟩+g\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩\mathrm{,}$ (1.5)

где

$\mathrm{<mo>|</mo>}d{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}g{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1.}$

В качестве начального состояния поля резонатора выберем фоковские состояния вида

$\mathrm{<mo>|</mo>}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{⟩}_F\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}n⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2,}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Для описания динамики рассматриваемой системы нам необходимо найти временную волновую функцию системы. Введем для нашей системы число возбуждений $N$, равное $N\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_1+n$, где $n_1$ $–$ число кубитов, приготовленных в возбужденном состоянии. Для чисел возбуждения $N\ge 3$ будем использовать следующие базисные векторы: 

$\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,}n⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,}n+1⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,}n+1⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,}n+1⟩\mathrm{,}$ 

$\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,}n+2⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,}n+2⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}+n+2⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,}n+3⟩\mathrm{.}$

Тогда для начальных состояний кубитов (1.2)$–$(1.5) волновая функция в последующие моменты времени $t$ может быть записана следующим образом:

$\begin{array}{c}\mathrm{<mo>|</mo>}\psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A_1{A}_2{A}_{3}F}{⟩}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,}n⟩+B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,}n+1⟩+B_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,}n+1⟩+B_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,}n+1⟩+\\ +B_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,}n+2⟩+B_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,}n+2⟩+B_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,}n+2⟩+B_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,}n+3⟩\mathrm{.}\end{array}$ (1.6)

Для описания динамики рассматриваемой системы с гамильтонианом (1.1) необходимо решить квантовое уравнение Шредингера

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{<mo>|</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}H\mathrm{<mo>|</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{.}$

Подставляя в это уравнение волновую функцию вида (1.6), получаем для коэффициентов $B_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ 

$\left\{\begin{array}{ll}i{\dot{B}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \sqrt{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{3\Delta }{2}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{B}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{n+2}{B}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\sqrt{n+2}{B}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\sqrt{n+1}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\Delta }{2}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{B}}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{n+2}{B}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\sqrt{n+2}{B}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\sqrt{n+1}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi B_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\Delta }{2}{B}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{B}}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{n+1}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+2}+B_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi B_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\Delta }{2}{B}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{B}}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\sqrt{n+2}{B}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi B_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{B}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{B}}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+2}+B_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+2}+B_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi B_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{B}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{B}}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}{B}_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{n+2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi B_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{B}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{B}}_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \sqrt{n+3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Xi B_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{3\Delta }{2}{B}_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill & \hfill \end{array}\right.$ (1.7)

Для числа возбуждений $N\mathrm{<mo>=</mo>2}$ будем использовать следующие базисные векторы: 

$\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩\mathrm{,<mo>></mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩\mathrm{,}$ 

$\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}+1⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,2}⟩\mathrm{.}$

В рассматриваемом случае временная волновая функция может быть записана следующим образом: 

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\psi }_{A_1{A}_2{A}_{3}F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{⟩}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{<mo>;</mo>0}⟩+x_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{<mo>;</mo>0}⟩+x_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{<mo>;</mo>0}⟩+x_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{<mo>;</mo>1}⟩+$

$+x_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{<mo>;</mo>1}⟩+x_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{<mo>;</mo>1}⟩+x_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{<mo>;</mo>2}⟩\mathrm{.}$ (1.8)

 Система дифференциальных уравнений для коэффициентов $x_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получается аналогично предыдущему случаю: 

$\left\{\begin{array}{ll}i{\dot{x}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\Delta }{2}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{x}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\Delta }{2}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{x}}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\Delta }{2}{x}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{x}}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{2}{x}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{x}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{x}}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{2}{x}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{x}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{x}}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{2}{x}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{x}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{x}}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{3\Delta }{2}{x}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2\Xi x_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill & \hfill \end{array}\right.$ (1.9)

Для числа возбуждений $N\mathrm{<mo>=</mo>1}$ выбираем базис гильбертова пространства в виде:

$\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩\mathrm{,<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩\mathrm{.}$

Волновая функция для числа возбуждений $N\mathrm{<mo>=</mo>1}$ записывается следующим образом:

$\mathrm{<mo>|</mo>}\psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A_1{A}_2{A}_{3}F}{⟩}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{<mo>;</mo>0}⟩+y_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{<mo>;</mo>0}⟩+y_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{<mo>;</mo>0}⟩+y_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{<mo>;</mo>1}⟩\mathrm{.}$ (1.10)

Соответствующая система дифференциальных уравнений для коэффициентов $y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет следующей:

$\left\{\begin{array}{ll}i{\dot{y}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma y_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{y}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma y_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{y}}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma y_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\Delta }{2}{y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{y}}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+y_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+y_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{3\Delta }{2}{y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill & \hfill \end{array}\right.$ (1.11)

Наконец для $N\mathrm{<mo>=</mo>0}$ базис гильбертова пространства составляет вектор $\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩$. Соответствующая временная волновая функция есть

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\psi }_{A_1{A}_2{A}_{3}F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{⟩}_4\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩\mathrm{.}$ (1.12) 

В работе [67] для модели с нулевой расстройкой и в отсутсвие среды Керра нами найдены аналитические решения уравнений (1.7), (1.9) и (1.11). Для модели, рассматриваемой в настоящей статье, решения указанных уравнений имеют чрезмерно громоздкий вид. Поэтому мы ограничимся численным решением указанных уравнений. Имея временные волновые функций системы (1.6), (1.8), (1.10) или (1.12), мы можем вычислить временную матрицу плотности полной системы "три кубита+мода поля". Для начальных состояний кубитов (1.2)$–$(1.5) и фоковского состояния поля резонатора временную матрицу плотности полной системы можно записать как 

${\rho }_{A_1{A}_2{A}_{3}F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{\chi }_{A_1{A}_2{A}_{3}F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩⟨{\chi }_{A_1{A}_2{A}_{3}F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>,}$ (1.13)

где $\mathrm{<mo>|</mo>}{\chi }_{A_1{A}_2{A}_{3}F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩$ $–$ временная волновая функция системы, которая совпадает для начальных состояний (1.2)$–$(1.4) с одной из функций (1.6), (1.8), (1.10) или (1.12) в зависимости от выбора числа начальных возбуждений системы $N$, а для начального состояния кубитов (1.5) представляет собой суперпозицию состояний (1.6), (1.8), (1.10) или (1.12), соответствующих разнице числа начальных возбуждений системы равным 3.

Мы можем также вычислить редуцированную матрицу плотности трех кубитов, усредняя выражения (1.13) по переменным поля

${\rho }_{A_1{A}_2{A}_3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}S{p}_F{\rho }_{A_1{A}_2{A}_{3}F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (1.14) 

Как уже отмечалось во введении, точные количественные меры перепутывания кубитов в настоящее время разработаны только для двухкубитных систем. В настоящей работе в качестве меры перепутывания выбран критерий Переса $—$ Хородецких или отрицательность [17$–$18]. Для вычисления отрицательности пары кубитов необходимо вычислить редуцированную двухкубитную матрицу плотности. Для этого необходимо усреднить трехкубитную матрицу плотности (1.14) по переменным третьего кубита 

${\rho }_{A_i{A}_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}S{p}_{A_k}{\rho }_{A_1{A}_2{A}_3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{,}j\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3}i\ne j\mathrm{,}j\ne k\mathrm{,}i\ne k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (1.15) 

2. Вычисление отрицательности и обсуждение результатов 

Определим отрицательность для двух кубитов $A_i$ и $A_j$ стандартным образом

${\epsilon }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}-2{\displaystyle \sum _l}{\mu }_l^{-}\mathrm{,}$ (2.1)

где ${\mu }_l^{-}$ $–$ отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита редуцированной двухкубитной матрицы плотности. Для неперепутанных состояний $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0}$. Для перепутанных состояний $\mathrm{0<mo><</mo>}\epsilon \le 1$. Максимальной степени перепутывания соответствует значение $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>1}$.

Для сепарабельного начального состояния кубитов (1.2), бисепарабельного состояния (1.3) и истинных перепутанных состояний (1.4), (1.5) двухкубитная редуцированная матрица плотности имеет вид

${\rho }_{A_i{A}_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& 0& 0& 0\\ 0& {\rho }_{22}& {\rho }_{23}& 0\\ 0& {\rho }_{23}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}& {\rho }_{33}& 0\\ 0& 0& 0& {\rho }_{44}\end{array}\right)\mathrm{.}$ (2.2)

Матричные элементы (2.2) кубитов $A_1$ и $A_2$ в случае начального состояния кубитов (1.2) и числа фотонов в моде $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$ имеют вид

${\rho }_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{44}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_5^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_3^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\rho }_{32}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{.}$

Для того же начального состояния и кубитов $A_2$ и $A_3$ матричные элементы принимают вид 

${\rho }_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{44}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_2^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_6^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\rho }_{32}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{.}$

Явные выражения для матричных элементов в (2.2) кубитов $A_1$ и $A_2$ в случае начальных состояний кубитов (1.3), (1.4) и числа фотонов $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$, а также начального состояния кубитов (1.5) и числа фотонов $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$ имеют вид: 

${\rho }_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{44}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{B}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{B}_4^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{B}_6^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\rho }_{32}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{.}$ 

Явный вид матричных элементов для тех же начальных состояний, но для кубитов $A_2$ и $A_3$: 

${\rho }_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{44}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{B}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{B}_3^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{B}_7^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\rho }_{32}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{.}$ 

Частично транспонированная по переменным одного кубита редуцированная матрица плотности кубитов для (2.2) может быть представлена в виде 

${\rho }_{A_i{A}_j}^{T_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& 0& 0& {\rho }_{23}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\\ 0& {\rho }_{22}& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_{33}& 0\\ {\rho }_{23}& 0& 0& {\rho }_{44}\end{array}\right)\mathrm{.}$ (2.3)

Матрица (2.3) имеет всего одно собственное значение, которое может быть отрицательным. В результате отрицательность (2.1) может быть записана как

${\epsilon }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_{44}-{\rho }_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+4\cdot {\rho }_{23}^2}-{\rho }_{11}-{\rho }_{44}\mathrm{.}$ (2.4) 

Результаты компьютерного моделирования временной зависимости отрицательности ${\epsilon }_{12}$ для кубитов 1 и 2 от приведенного времени $\gamma t$ для начального сепарабельного состояния кубитов $\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩$, и различных значений параметра расстройки и керровской нелинейности представлены на рис. 2.1. Начальное число фотонов в моде выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Из рисунка хорошо видно, что учет расстройки и керровской нелинейности приводит к существенному увеличению максимальной степени перепутывания кубитов 1 и 2. Заметим также, что в отличие от случая теплового поля резонатора [67] для фоковского начального состояния поля для кубитов 1 и 2 отсутствует эффект мгновенной смерти перепутывания.

 

Рис. 2.1. Зависимость отрицательностей ${\epsilon }_{12}$ ( a) от приведенного времени $\gamma t$ для начального состояния кубитов $\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩$. Число фотонов в моде резонатора выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Значения параметров расстройки керровской нелинейности в случае а): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (штриховая линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>9.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (пунктирная линия). В случае б): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma$ (пунктирная линия)

Fig. 2.1. Dependence of the negatives ${\epsilon }_{12}$ ( a) on the reduced time $\gamma t$ for the initial state of qubits $\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩$. The number of photons in the resonator mode is chosen to be $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Values of Kerr nonlinearity detuning parameters in case a): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dashed line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>9.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dotted line). In case b): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma$ (dotted line)

 

На рис. 2.2 показаны аналогичные зависимости отрицательности ${\epsilon }_{23}$ для кубитов 2 и 3. В рассматриваемом случае увеличение максимальной степени перепутывания кубитов 2 и 3 возможно только при включении расстройки. Керровская нелинейность слабо влияет на максимальную степень перепутывания кубитов 2 и 3. В резонансном случае и в отсутствие керровской нелинейности для кубитов 2 и 3 так же, как и в случае теплового поля, имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания. При этом подавлению эффекта способствует только наличие расстройки. Зависимость отрицательности ${\epsilon }_{12}$ для кубитов 1 и 2 от приведенного времени $\gamma t$ для начального бисепарабельного состояния кубитов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩$ и различных значений параметра расстройки и керровской нелинейности представлена на рис. 2.3. Начальное число фотонов в моде выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$. Для рассматриваемого случая кубиты 1 и 2 в начальный момент времени не перепутаны. В отсутствие расстройки и керровской нелинейности имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания. Включение расстройки приводит к существенному увеличению максимальной степени перепутывания кубитов 1 и 2 и исчезновению мгновенной смерти перепутывания. Включение керровской нелинейности, напротив, приводит к исчезновению перепутывания кубитов, индуцированного полем резонатора. На рис. 2.4 показаны аналогичные зависимости отрицательности ${\epsilon }_{23}$ для кубитов 2 и 3. В рассматриваемом случае кубиты 2 и 3 в начальный момент времени находятся в максимально перепутанном состоянии ( ${\epsilon }_{23}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для резонансного случая и в отсутствие керровской нелинйности взаимодействие кубитов с полем резонатора приводит к осцилляциям Раби и к периодической смерти и рождению перепутывания их состояний. Включение расстройки и керровской нелинейности приводит к уменьшению амплитуд осцилляций параметра перепутывания кубитов 2 и 3 и стабилизации их начальной перепутанности. Зависимость отрицательности ${\epsilon }_{23}$ (или ${\epsilon }_{12}$ ) для кубитов 2 и 3 (для кубитов 1 и 2) от приведенного времени $\gamma t$ для начального истинного перепутанного состояния кубитов $W$ - типа $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,2}⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и различных значений параметра расстройки и керровской нелинейности представлена на рис. 2.5. Начальное число фотонов в моде выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$. Для рассматриваемого начального состояния кубитов поведение отрицательности любой пары кубитов аналогично поведению ${\epsilon }_{23}$, представленному на предыдущем рисунке. Единственное отличие заключается в том, что максимально возможное значение отрицательности любой пары кубитов равно ${\epsilon }_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{5}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Наконец, зависимость отрицательности ${\epsilon }_{23}$ (или ${\epsilon }_{12}$ ) для кубитов 2 и 3 (для кубитов 1 и 2) от приведенного времени $\gamma t$ для начального истинного перепутанного состояния кубитов $GHZ$ - типа $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}+⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и различных значений параметра расстройки представлена на рис. 2.6. Начальное число фотонов в моде выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$. В рассматриваемом случае в начальный момент времени все пары кубитов неперепутаны. Для резонансной модели в отсутствие керровской нелинейности взаимодействие кубитов с полем резонатора не индуцирует их перепутывание в процессе эволюции. Включение расстройки приводит к возникновению перепутывания пар кубитов, однако зависимость максимальной степени их перепутывания от расстройки достаточно слабая. При этом для любых расстроек имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания. Учет керровской нелинейности в случае резонасного взаимодействия кубитов с полем резонатора не приводит к возникновению их перепутывания.

 

Рис. 2.2. Зависимость отрицательностей ${\epsilon }_{23}$ ( a) от приведенного времени $\gamma t$ для начального состояния кубитов $\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩$. Число фотонов в моде резонатора выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Значения параметров расстройки керровской нелинейности в случае а): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (штриховая линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>9.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (пунктирная линия). В случае б): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma$ (пунктирная линия)

Fig. 2.2. Dependence of the negatives ${\epsilon }_{23}$ ( a) on the reduced time $\gamma t$ for the initial state of qubits $\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩$. The number of photons in the resonator mode is chosen to be $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Values of Kerr nonlinearity detuning parameters in case a): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dashed line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>9.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dotted line). In case b): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma$ (dotted line)

 

Рис. 2.3. Зависимость отрицательностей ${\epsilon }_{12}$ ( a) от приведенного времени $\gamma t$ для начального состояния кубитов $(1/\sqrt{2})\left(\overline{)+}\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\overline{)+}\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩\right)$. Число фотонов в моде резонатора выбрано равным $n=2$. Значения параметров расстройки керровской нелинейности в случае а): $\Delta =0.01\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (сплошная линия); $\Delta =5\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (штриховая линия) и $\Delta =13\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (пунктирная линия). В случае б): $\Delta =0.01\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (сплошная линия) и $\Delta =0.01\gamma$, $\Xi =\gamma$ (пунктирная линия)

Fig. 2.3. Dependence of the negatives ${\epsilon }_{12}$ ( a) on the reduced time $\gamma t$ for the initial state of qubits $(1/\sqrt{2})\left(\overline{)+}\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\overline{)+}\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩\right)$. The number of photons in the resonator mode is chosen equal to $n=2$. The values of the parameters of the Kerr nonlinearity detuning in the case of a): $\Delta =0.01\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (solid line); $\Delta =5\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (dashed line) and $\Delta =13\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (dotted line). In case b): $\Delta =0.01\gamma$, $\Xi =0.01\gamma$ (solid line) and $\Delta =0.01\gamma$, $\Xi =\gamma$ (dotted line)

 

Рис. 2.4. Зависимость отрицательностей ${\epsilon }_{23}$ для начального состояния кубитов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,2}⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi }{4}$. Число фотонов в моде резонатора выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Значения параметров расстройки керровской нелинейности в случае а): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (штриховая линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>13}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (пунктирная линия). В случае б): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$ (пунктирная линия) 

Fig. 2.4. Dependence of negatives ${\epsilon }_{23}$ for the initial state of qubits $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,2}rangle+\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ when $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi }{4}$. The number of photons in the resonator mode is chosen to be $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Values of Kerr nonlinearity detuning parameters in case a): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dashed line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>13}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dotted line). In case b): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$ (dotted line)

 

Рис. 2.5. Зависимость отрицательностей ${\epsilon }_{23}$ ( a) от приведенного времени $\gamma t$ для начального состояния кубитов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Число фотонов в моде резонатора выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Значения параметров расстройки керровской нелинейности в случае а): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>3.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (штриховая линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>12}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (пунктирная линия). В случае б): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}$ (сплошная линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$ (пунктирная линия)

Fig. 2.5. Dependence of negatives ${\epsilon }_{23}$ ( a) on the reduced time $\gamma t$ for the initial state of qubits $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}+\mathrm{,}+⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. The number of photons in the resonator mode is chosen to be $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Values of Kerr nonlinearity detuning parameters in case a): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>3.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dashed line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>12}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dotted line). In case b): $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}$ (solid line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>2.5}\gamma$ (dotted line)

 

Рис 2.6. Зависимость отрицательности ${\epsilon }_{12}$ от приведенного времени $\gamma t$ для начального состояния кубитов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}+⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Число фотонов в моде выбрано равным $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$. Значение параметра расстройки: $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (сплошная линия); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>2}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (штриховая линия) и $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>3.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (пунктирная линия) 

Fig. 2.6. Dependence of the negativity of ${\epsilon }_{12}$ on the reduced time $\gamma t$ for the initial state of qubits $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}+\mathrm{,}+\mathrm{,}+⟩+\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. The number of photons in the mode is chosen to be $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$. The value of the detuning parameter: $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (solid line); $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>2}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dashed line) and $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>3.5}\gamma$, $\Xi \mathrm{<mo>=</mo>0.01}\gamma$ (dotted line) 

 

Выводы 

Таким образом, в данной статье нами исследована динамика перепутывания пар кубитов в системе, состоящей из трех идентичных кубитов, нерезонансно взаимодействующих с модой фоковского поля идеального резонатора со средой Керра. В работе рассмотрены три типа начальных состояний кубитов: сепарабельные, бисепарабельные и истинно перепутанные состояния $W$ - и $GHZ$ -типа. Результаты численного моделирования отрицательности пар кубитов показали, что наличие расстройки и керровской нелинейности в случае начального неперепутанного состояния пары кубитов может приводить к существенному увеличению степени их перепутывания, индуцированного полем резонатора. В случае начального перепутанного состояния пары кубитов расстройка и керровская среда могут приводить к стабилизации начального перепутывания кубитов. Нерезонансное взаимодействие и керровская среда могут также подавлять эффект мгновенной смерти перепутывания кубитов. Таким образом, расстройка и керровская нелинейность могут выступать в качестве эффективного механизма контроля и управления критерия перепутывания кубитов в резонаторах.

About the authors

Alexander R. Bagrov

Samara National Research University

Email: alexander.bagrov00@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1098-0300

undergraduate student of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Eugene K. Bashkirov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, 443086

References

Supplementary files