Production of η_c with two-photon decay in the gpm at the energies of NICA collider

Full Text

Введение

С момента открытия в 1974 году $J/\psi$-мезона физика тяжелых кваркониев всегда была в центре экспериментального и теоретического внимания. Тяжелый кварконий – это связанное состояние, состоящее из тяжелого кварка и тяжелого антикварка. В зависимости от аромата кварков различают семейство чармониев $\left(c\overline{c}\right)$ и боттомониев $\left(b\overline{b}\right)$. Большая масса c или b-кварка определяет величину жесткого масшаба в партонном подпроцесе рождения кварк-антикварковой пары, на котором константа сильного взаимодействия является достаточно малой ${\alpha }_S=0.2~0.3$, что позволяет проводить расчет в рамках теории возмущений квантовой хромодинамики (КХД). Адронизация пары тяжелых кварка и антикварка в конечный кваркониум может быть описана в нерелятивистском приближении, когда пренебрегается относительным импульсом кварка и антикварка. В модели цветовых синглетов (МЦС) [1; 2] предполагается, что кварк-антикварк рождаются с квантовыми числами конечного кваркониума в синглетном состоянии по цвету. В более общем подходе нерелятивистской КХД (НРКХД), в котором учитываются релятивистские поправки по степеням относительной скорости кварка и антикварка, рождение кваркониума может происходить через промежуточные октетные по цвету состояния [3]. В настоящее время накоплено большое количество экспериментальных данных по рождению $J/\psi$-мезонов в адронных взаимодействиях от энергий $\sqrt{s}=19$ ГэВ до $\sqrt{s}=13$ ТэВ. В гораздо меньшей степени экспериментально изучены Р-волновые чармонии, ${\chi }_c$-мезоны (см. ссылки в работе [4]). Что касается рождения основного состояния ${\eta }_c$-мезона с квантовыми числами $c\overline{c}{[}^1{S}_0]$, то в настоящее время проведено только одно измерение сечения рождения ${\eta }_c$ коллаборацией LHCb на Большом адронном коллайдере (БАК) в канале распада ${\eta }_c\to p\overline{p}$ [5].

В программу экспериментальных исследований коллаборации SPD NICA входит измерение сечений и спектров чармониев в протон-протонных столкновениях при энергиях до $\sqrt{s}=27$ ГэВ [6]. В настоящей статье мы оцениваем возможность измерения сечения рождения ${\eta }_c$-мезонов при энергии $\sqrt{s}=27$ ГэВ в эксперименте SPD NICA в канале распада в два фотона, ${\eta }_c\to \gamma \gamma$. Несмотря на малость относительной ширины распада ${\eta }_c$-мезона в два фотона, $Br({\eta }_c\to \gamma \gamma )=1.8\cdot {10}^{-4}$, этот канал распада может оказаться предподчительным, т. к. в эксперименте SPD NICA планируется специально исследовать рождение жестких фотонов как в процессах прямого рождения на партонном уровне, так и в распадах короткоживущих адронов [6].

1.1. Обобщенная партонная модель

Стандартная схема вычислений сечений жестких процессов (процессов с большой передачей импульса) основывается на коллинеарной партонной модели (КПМ) [7]. Формула факторизация КПМ предполагает, что жесткий масштаб процесса $\mu$ много больше характерной величины поперечного импульса партонов в протоне $<q_T>$, который не превышает 1 ГэВ. Таким образом, при описании процессов рождения частиц с малыми поперечными импульсами $p_T~1$ ГэВ или $p_T<<\mu$ необходимо учитывать поперечные импульсы партонов в протоне. Для описания таких процессов был разработан подход факториции, зависящей от поперечного импульса, или TMD-факторизации [8]. Для решения задач нашего исследования будет достаточно использовать так называемую обобщенную партонную модель (ОПМ)[9], основанную на подходе TMD-факторизации. В ОПМ сечение рождения ${\eta }_c$-мезона в лидирующем приближении (ЛП) по константе сильного взаимодейсвия записывается в виде

$d\sigma (p+p\to {\eta }_c+X)=\int d{x}_1\int d^2{q}_{1T}\int d{x}_2\int d^2{q}_{2T}{F}_g\left(x_1\mathrm{,}{q}_{1T}\mathrm{,}\mu \right)F_g\left(x_2\mathrm{,}{q}_{2T}\mathrm{,}\mu \right)\times$

$\times d\widehat{\sigma }(g+g\to {\eta }_c)$ (1.1)

где $F_g\left(x_{\mathrm{1,2}}\mathrm{,}{q}_{\mathrm{1,2}T}\mathrm{,}\mu \right)$ – зависящие от поперечных импульсов $q_{\mathrm{1,2}T}$ глюоонные функции распределения (ФР) в протонах, $d\widehat{\sigma (}g+g\to {\eta }_c)$ – сечение партонного подпроцесса слияния двух глюонов в ${\eta }_c$-мезон. Несмотря на наличие у начальных глюонов поперечных импульсов, они остаются на массовой поверхности, что достигается путем введения положительной и отрицательной конусных компонент в 4-импульсы глюонов:

$q_1^{\mu }=x_1{P}_1^{\mu }+{\tilde{x}}_1{P}_2^{\mu }+q_{1T}^{\mu }\mathrm{,}$ (1.2)

$q_2^{\mu }=x_2{P}_2^{\mu }+{\tilde{x}}_2{P}_1^{\mu }+q_{2T}^{\mu }\mathrm{,}$ (1.3)

где $P_1^{\mu }=\frac{\sqrt{s}}{2}(1,0,0,1)$, $P_2^{\mu }=\frac{\sqrt{s}}{2}(1,0,0,-1)$, $q_{\mathrm{1,2}T}=90,q_{\mathrm{1,2}T},0)$, ${\tilde{x}}_1=q_{1T}^2/S{x}_1$, ${\tilde{x}}_2=q_{2T}^2/S{x}_2$. В ОПМ зависимость ФР от продольного и поперечного импульса факторизуется таким образом, что

$F_g\left(x\mathrm{,}{q}_T\mathrm{,}\mu \right)=f_g\left(x\mathrm{,}\mu \right)G\left(q_T\right)$ (1.4)

где $f_g\left(x\mathrm{,}\mu \right)$ — коллинеарная ФР глюонов в протоне, а зависимость от поперечного импульса аппроксимируется гауссианом

$G\left(q_T\right)=\frac{e^{-\frac{q_T^2}{a^2}}}{\pi a^2}\mathrm{,} a=\sqrt{<q_T^2>}\mathrm{.}$ (1.5)

Сравнение результатов расчетов в ОПМ для рождения $J/\psi$-мезонов с экспериментальными данными показывает, что согласие при малых поперечных импульсах достигается при $a\simeq 1$ ГэB [10], которое мы и будем использовать в наших расчетах. В качестве коллинеарных ФР глюонов и кварков (при расчете сечения рождения двух прямых фотонов) используется параметризация MSTW [11].

Дифференциальное сечение подпроцесса $g+g\to {\eta }_c$ связано с квадратом модуля амплитуды $\overline{\left|M\right(g+g\to {\eta }_c){|}^2}$ стандартным образом:

$d\widehat{\sigma }(gg\to {\eta }_c)={\left(2\pi \right)}^4{\delta }^{\left(4\right)}(q_1+q_2-p)\frac{{\displaystyle |}\overline{M(g+g\to {\eta }_c){|}^2}}{2x_1{x}_{2}s}\frac{d^{3}p}{{\left(2\pi \right)}^{3}2p_0}\mathrm{.}$ (1.6)

Дифференциальное сечение для процесса рождения ${\eta }_c$-мезона с распадом в 2 фотона имеет вид

$d\widehat{\sigma }(g+g\to {\eta }_c\to \gamma +\gamma )={\left(2\pi \right)}^4{\delta }^{\left(4\right)}(q_1+q_2-k_1-k_2)\frac{\overline{\left|M\right(g+g\to {\eta }_c\to \gamma +\gamma ){|}^2}}{2x_1{x}_{2}s}\times$

$\times \frac{d^3{k}_1}{{\left(2\pi \right)}^{3}2k_{10}}\frac{d^3{k}_2}{{\left(2\pi \right)}^{3}2k_{20}}\mathrm{,}$ (1.7)

где $k_{\mathrm{1,2}}^{\mu }$ – 4-импульсы конечных фотонов. Аналогичным образом в ОПМ записывается и сечение подпроцесса прямого рождения 2-х фотонов в подпроцессе $q+\overline{q}\to \gamma +\gamma$ или фотона и кварка в подпроцессе $q+g\to q+\gamma$.

2. Модели адронизации $\mathit{c}\overline{\mathbf{c}}\mathbf{\to }{\mathit{\eta }}_{\mathbf{c}}$

Впервые экспериментальная информация о рождении в адронных столкновениях ${\eta }_c$-мезонов была получена коллаборацией LHCb, изучавшей протон-протонные столкновения [5]. В работе [12] в рамках расчетов в НРКХД было показано, что эти данные хорошо описываются в МЦС, а учет октетного механизма рождения приводит к существенному превышению результатов расчетов над экспериментальными данными, если октетные непертурбативные матричные элементы (НМЭ) извлекаются из описания спектров $J/\psi$-мезонов. Другим аргументом в пользу использования МЦС вместо модели НРКХД является сравнение результатов расчетов в ОПМ $p_T$-спектров $J/\psi$-мезонов с данными коллаборации PHENIX при малых $p_T$ [10]. Таким образом, при малых поперечных импульсах вклад октетного механизма является несущественным для всех чармониев, что позволяет не использовать неизвестные октетные НМЭ и более точно предсказать абсолютную величину сечения рождения. Cинглетный по цвету НМЭ $⟨O^{{\eta }_c}{[}^1{S}_0^{\left(1\right)}]⟩$ может быть выражен через волновую функцию ${\eta }_c$-мезона в начале координат

$⟨O^{{\eta }_c}{[}^1{S}_0^{\left(1\right)}]⟩=6|{\Psi }_{{\eta }_c}\left(0\right){|}^2\mathrm{,}$

которая точно вычисляется в потенциальной модели тяжелых кваркониев, или может быть извлечен из формулы для экспериментально известной ширины распада ${\eta }_c\to \gamma +\gamma$:

$\Gamma ({\eta }_c\to \gamma \gamma )=\frac{24}{3}\pi e_q^4{\alpha }^2⟨O^{{\eta }_c}{[}^1{S}_0^{\left(1\right)}]⟩\mathrm{.}$

Сечение рождения чармония $H$ в НРКХД через образование $c\overline{c}$-пары c квантовыми числами ${}^{2S+1}{L}_J^{(1,8)}$ связано с сечением рождения состояния ${}^{2S+1}{S}_J^{(1,8)}$ в жестком подпроцессе и НМЭ перехода $⟨O^H{[}^{2S+1}{L}_J^{1,8}]⟩$ таким образом (см. формулы в [3]), что в случае рождения ${\eta }_c$-мезона в МЦС получаем

$\widehat{\sigma (}gg\to {\eta }_c)=\widehat{\sigma }(gg\to c\overline{c}{[}^1{S}_0^{\left(1\right)}]\frac{⟨O^{{\eta }_c}{[}^1{S}_0^{\left(1\right)}⟩}{2N_c}\mathrm{,}$

где $N_c=3$. Амплитуда процесса рождения $c\overline{c}$-пары с определенными квантовыми числами строится согласно правилам Фейнмана с применением метода проекционных операторов [3]. В итоге квадрат модуля амплитуды процесса $g+g\to {\eta }_c$ в МЦС записывается в виде:

$|\overline{M(gg\to {\eta }_c){|}^2}=\frac{256{\pi }^2}{9M^5}{\alpha }_s^2⟨O^{{\eta }_c}{[}^1{S}_0^{\left(1\right)}]⟩\mathrm{,}$ (2.1)

где $M=2.98$ ГэВ – масса ${\eta }_c$-мезона.

Квадрат модуля амплитуды процесса рождения ${\eta }_c$-мезона с последующим распадом в два фотона в формализме НРКХД, с учетом конечной ширины распада ${\eta }_c$-мезона записывается в виде

$\overline{\left|M\right(g+g\to {\eta }_c\to \gamma +\gamma ){|}^2}=\frac{16}{27}\frac{e_q^4{\alpha }^2{\alpha }_s^2{\pi }^4}{M^4}\frac{{\left(⟨O^{{\eta }_c}{[}^1{S}_0^{\left(1\right)}]⟩\right)}^2}{({(\widehat{s}-M^2)}^2+M^2{\Gamma }_{{\eta }_c}^2)}\mathrm{,}$ (2.2)

 где $\widehat{s}=(k_1+k_2)2$, ${\Gamma }_{{\eta }_c}=29.7$ MeV – полная ширина распада ${\eta }_c$-мезона [13].

Другая популярная модель адронизации пары $c\overline{c}$ в чармониум – модель испарения цвета (МИЦ) [14; 15]. Актуальный статус МИЦ представлен в работе [16]. В ОПМ начальные партоны имеют поперечный импульс, поэтому описание спектров по поперечному импульсу ${\eta }_c$ возможно уже в лидирующем приближении по константе сильного взаимодействия в партонных подпроцессах

$g+g\to c+\overline{c}$ (2.3)

и

$q+\overline{q}\to c+\overline{c}\mathrm{,}$ (2.4)

где $q=u\mathrm{,}d\mathrm{,}s$. В МИЦ сечение рождения прямых ${\eta }_c$-мезонов связано с сечением рождения $c\overline{c}$-пары следующим образом:

$\sigma (p+p\to {\eta }_c+X)=F^{{\eta }_c}{\int }_M^{2m_D}\frac{d\sigma (p+p\to c+\overline{c}+X)}{d{M}_{c\overline{c}}}d{M}_{c\overline{c}}\mathrm{,}$ (2.5)

где $M_{c\overline{c}}$ — инвариантная масса $c\overline{c}$-пары с 4-импульсом $p_{c\overline{c}}^{\mu }=p_c^{\mu }+p_{\overline{c}}^{\mu }$, $m_D$ – масса легчайшего D-мезона. Для учета кинематического эффекта, связанного с разницей масс промежуточного состояния и конечного чармония, 4-импульс $c\overline{c}$-пары и ${\eta }_c$-мезона связаны соотношением $p^{\mu }=(M/M_{c\overline{c}})p_{c\overline{c}}^{\mu }$. Универсальный параметр $F^{{\eta }_c}$ рассматривается как вероятность превращения $c\overline{c}$-пары с инвариантной массой $M<M_{c\overline{c}}<2m_D$ в ${\eta }_c$-мезон.

3. Рождение фотонной пары в ОПМ

Для анализа отношения сигнал/фон необходимо рассчитать с той же точностью, что и для процесса рождения ${\eta }_c$-мезона с последующим распадом в два фотона, сечение рождения пары прямых фотонов в ЛП ОПМ в подпроцессе

$q\left(q_1\right)+\overline{q(}{q}_2)\to \gamma (k_1)+\gamma (k_2)$ (3.1)

где при энергиях коллайдера NICA вклад дают процессы только с легкими кварками, т. е. $q=u\mathrm{,}d\mathrm{,}s$. Квадрат модуля амплитуды этого процесса хорошо известен [17]

$\overline{\left|M\right(q+\overline{q}\to \gamma +\gamma ){|}^2}=\frac{32}{3}{\pi }^2{e}_q^4{\alpha }^2\left(\frac{\widehat{t}}{\widehat{u}}+\frac{\widehat{u}}{\widehat{t}}\right)\mathrm{,}$ (3.2)

где переменные Мандельстама определены следующим образом: $\widehat{s}={(q_1+q_2)}^2$, $\widehat{t}={(k_1-q_1)}^2$, $\widehat{u}={(k_2-q_1)}^2$, и $e_q$ – электрический заряд кварка сорта q. Наряду с ЛП подпроцессом (2) примем во внимание также фрагментационный вклад, который учитывает логарифмически усиленную часть следующей за лидирующей поправки по константе сильного взаимодействия. Если пренебрегать малой вероятностью испускания фотона глюоном, то основным источником фрагментационных фотонов является множество процессов совместного рождения фотона и кварка: $q+g\to q(\to \gamma )+\gamma$, $\overline{q}+g\to \overline{q}(\to \gamma )+\gamma$ с фрагментацией конечного кварка (антикварка) в фотон. Квадрат модуля амплитуды "комптоновского" процесса рассеяния записывается следующим образом [17]:

$\overline{\left|M\right(qg\to q\gamma ){|}^2}=-\frac{16}{3}{\pi }^2\alpha {\alpha }_s{e}_q^2\left(\frac{\widehat{u}}{\widehat{s}}+\frac{\widehat{s}}{\widehat{u}}\right)\mathrm{.}$ (3.3)

Вероятность двойного фрагментационного рождения в процессах типа $q+q\to q(\to \gamma )+q(\to \gamma )$ пренебрежимо мала и не рассматривается. Процесс испускания коллинеарного фотона кварком (антикварком) описывается функцией фрагментации (ФФ) $D_{q\to \gamma }\left(z\mathrm{,}\mu \right)$, которая может быть рассчитана по теории возмущений КХД. Зависимость ФФ и ФР от жесткого масштаба $\mu$ описывается системой уравнений Докшицера — Грибова — Липатова — Алтаррели — Паризи (ДГЛАП). При расчетах фрагментационного рождения используется параметризация GRV [18], а фрагментационный параметр z связывает 4-импульсы начального кварка и фотона, $k_{\gamma }^{\mu }=z{k}_q^{\mu }$. Cечение рождения пары из прямого фотона и фрагментационного фотона описывается формулой

$d^{frag}\sigma (pp\to \gamma \gamma X)=\sum _{q\mathrm{,}\overline{q}}\int d{x}_1\int d^2{q}_{1T}\int d{x}_2\int d^2{q}_{2T}{F}_g\left(x_1\mathrm{,}{q}_{1T}\mathrm{,}\mu \right)\times$ $\times F_{q\mathrm{,}\overline{q}}\left(x_2\mathrm{,}{q}_{2T}\mathrm{,}\mu \right)\int dz{D}_{q\mathrm{,}\overline{q}\to \gamma }d\widehat{\sigma (}g+q\to \gamma +q)$, (3.4)

Численные расчеты многомерных интегралов в формулах (1.1) и (3.5) выполняются методом Монте-Карло с помощью программного пакета CUBA [19].

4. Результаты расчетов

Проведен расчет дифференциального сечения рождения в протон-протонных столкновениях ${\eta }_c$-мезона по поперечному импульсу $p_T$ в МЦС как в ОПМ, так и в КПМ. На рис. 4.1 показан спектр ${\eta }_c$-мезонов по поперечному импульсу. Центральные кривые (сплошная и пунктир) получены при выборе жеcткого масштаба $\mu =\sqrt{M^2+p_T^2}$, неопределенности расчетов от вариации жесткого масштаба на фактор 2 ограничены корридорами, закрашенными сером цветом. Полученные результаты согласуются с предсказаниями, полученными ранее в подходе реджезации партонов (ПРП) и МЦС [20]. Хорошее согласие с расчетами в ПРП, в котором эффективно учтены высшие поправки по теории возмущений по константе сильного взаимодейсвия, подтверждает правильность нашей оценки сечения рождения ${\eta }_c$-мезона в ОПМ. Полное сечение рождения ${\eta }_c$-мезона, умноженное на бренчинг распада ${\eta }_c\to \gamma +\gamma$, составляет $\sigma (p+p\to {\eta }_{c}X)Br({\eta }_c\to \gamma +\gamma )=0.189$ нбн.

 

Рис. 4.1. Дифференциальное сечение рождения η_c-мезона как функция поперечного импульса при энергии √s=27 ГэВ, |y|<3, p_T<3 ГэВ. Расчет выполнен в МЦС. Сплошная кривая – в ОПМ, пунктирная – в КПМ. Серым выделены области неопределенности расчетов в зависимости от выбора жесткого масштаба

 

На рис. 4.2 мы сравниваем спектры по поперечному импульсу ${\eta }_c$-мезонов, полученные в ОПМ в разных моделях адронизации пары $c\overline{c}$-кварков: в МЦС и МИЦ. С учетом неопределенности расчетов, связанной с выбором жесткого масштаба, наблюдается качественное согласие при выборе параметра адронизации в МИЦ $F^{{\eta }_c}=0.3$ и массы c-кварка $m_c=1.2$ ГэВ.

 

Рис. 4.2. Дифференциальное сечение рождения ηc-мезона как функция поперечного импульса при энергии  √s=27 ГэВ, |y|<3, p_T<3 ГэВ. Расчет выполнен в ОПМ. Сплошная кривая – в МЦС, пунктирная — в МИЦ. Серым выделены области неопределенности расчетов в зависимости от выбора жесткого масштаба

 

Для анализа отношения ”сигнал-фон” на рис. 4.3 и 4.4 представлены спектры по суммарному импульсу фотоных пар с инвариантной массой, близкой к массе ${\eta }_c$-мезона, $2.9<M_{\gamma \gamma }<3.1$ ГэВ. При ограничении на поперечные импульсы фотонов $p_T>1.5$ ГэВ вклад прямого рождения двух фотонов на порядок превышает вклад от вклада фотонов от распадов ${\eta }_c$. Если накладывается более жесткое ограничение, $p_T>1.8$ ГэВ, то вклады прямого рождения пары фотонов и фотонов от распада ${\eta }_c$-мезонов становятся одного порядка. Однако абсолютная величина сечения рождения таких фотонных пар становится существенно меньше, что оставляет открытым вопрос о возможности экспериментального исследования при энергиях коллайдера NICA.

 

Рис. 4.3. Дифференциальное сечение рождения пары фотонов с инвариантной массой 2.9 < M_ϒϒ < 3.1 ГэВ как функция их суммарного поперечного импульса, при энергии √s=27 ГэВ, |y_ϒ|<3, P_Tϒ<1.5 ГэВ, расчет выполнен в ОПМ. Пунктирная кривая — вклад прямых фотонов, сплошная кривая — вклад фотонов от распада η_c→ϒϒ

 

Рис. 4.4. Дифференциальное сечение рождения пары фотонов с инвариантной массой 2.9 < M_ϒϒ < 3.1 ГэВ как функция их суммарного поперечного импульса при энергии √s=27 ГэВ, |y_ϒ|<3, P_Tϒ<1.8 ГэВ, расчет выполнен в ОПМ. Пунктирная кривая — вклад прямых фотонов, сплошная кривая — вклад фотонов от распада η_c→ϒϒ

 

Спектры по инвариантной массе пары фотонов показаны на рис. 4.5 и рис. 4.6, при этом на каждый фотон наложены следующие кинематические ограничения $\left|y_{\gamma }\right|<3$, $p_{T\gamma }<1.5$ ГэВ или $\left|y_{\gamma }\right|<3$, $p_{T\gamma }<1.8$ ГэВ, соответственно. В первом случае в пике $M_{\gamma \gamma }\simeq M$ сечение рождения ${\eta }_c$ с распадом в два фотона на два порядка величины меньше, чем сечение прямого рождения пары фотонов. При $p_{T\gamma }>1.8$ ГэВ сечения прямого рождения фотонов и фотонов от распада ${\eta }_c$ становятся примерно равными, что позволяет надеяться на возможность наблюдения экспериментального сигнала о рождении ${\eta }_c$-мезонов в двухфотонном канале распада.

 

Рис. 4.5. Дифференциальное сечение рождения пары фотонов как функция их инвариантной массы при энергии √s=27 ГэВ, |y_ϒ|<3, 1.5 < P_Tϒ < 5 ГэВ. Сплошная кривая — вклад от распадов η_c-мезонов, пунктирная — вклад от прямого рождения двух фотонов

 

Рис. 4.6. Дифференциальное сечение рождения пары фотонов как функция их инвариантной массы при энергии √s=27 ГэВ, |y_ϒ|<3, 2 < P_Tϒ < 5 ГэВ. Пунктирная кривая — вклад от распадов η_c-мезонов, пунктирная — вклад от прямого рождения двух фотонов

 

Заключение

При энергиях коллайдера NICA в обобщенной партонной модели проведен расчет дифференциальных сечений рождения ${\eta }_c$-мезонов в рамках моделей адронизации МЦС и МИЦ. Также проведен расчет дифференциальных сечений рождения пары жестких фотонов с инвариантной массой, близкой к массе ${\eta }_c$-мезона. При этом учитывался вклад от рождения пары прямых фотонов и вклад от рождения одного прямого и одного фрагментационного фотона. Результаты расчетов для спектров ${\eta }_c$-мезонов по поперечному импульсу сравниваются с предсказаниями коллинеарной партонной модели. Проведен анализ зависимости отношения ”сигнал-фон” от ограничений на поперечные импульсы фотонов и инвариантной массы фотонной пары.

About the authors

Anton V. Anufriev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: antonman200@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9155-5348

master of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, Samara

Vladimir A. Saleev

Samara National Research University

Email: saleev@samsu.ru
ORCID iD: 0000-0003-0505-5564

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files