Dynamics of the three-qubits Tavis — Cummings model

Full Text

Введение

Многочастичные перепутанные состояния кубитов играют важную роль в квантовой информации. Они нужны для различных квантовых информационных приложений, таких как квантовые вычисления и безопасная связь [1–3]. В последние годы наблюдается существенный прогресс в проектировании квантовых чипов, содержащих большое количество кубитов. В 2019 году [4] представлен квантовый компьютер на 53 сверхпроводящих джозефсоновских кольцах. В 2021 году создан чип для квантового компьютера на 127 сверхпроводящих джозефсоновских кольцах [5]. В последние годы также реализованы многокубитные устройства на ионах в магнитных ловушках, фотонах, квантовых точках, примесных спинах, содержащие более десятка кубитов [6]. Для реализации эффективной работы квантовых устройств, таких как квантовые компьютеры или квантовые сети, используют перепутанные состояния кубитов [7; 8]. Для количественной меры перепутывания кубитов предложены различные меры. Однако большинство из них требуют выполнения определенных условий, которые можно определить как набор аксиом, таких как обнуление меры для сепарабельных состояний, инвариантность относительно локальных унитарных операций и другие. Сложность расчета этих мер для произвольных состояний лежит в их незамкнутой форме. Простейшая система, для которой в настощее время определены строгие количественные критерии перепутывания кубитов, — двухкубитная. Критерии Переса — Хородецких (отрицательность) [9; 10] и Вуутерса (согласованность) [11] являютя необходимыми условиями сепарабельности двухкубитной матрицы плотности. Для систем с числом кубитов, большим чем два, такие строгие количественные критерии отсутствуют. В этом случае при анализе динамики перепутывания многокубитной системы обычно рассматривают перепутывание различных пар кубитов с использованием отрицательности или согласованности. При этом особое внимание уделялось строгому математическому анализу свойств и динамики перепутанных состояний в трехкубитных системах [12–17].

Для генерации, управления и контроля перепутанными состояниями кубитов обычно используют поля резонаторов. В настоящее время экспериментально получены перепутанные состояния кубитов различной физической природы (сверхпроводящих джозефсоновских колец, примесных спинов, ионов в магнитных ловушках и др.) в резонаторах при различных температурах от милликельвин до комнатных [1–3]. Для теоретического анализа динамики систем кубитов в резонаторах обычно используется модель Тависа-Каммингса [18]. В резонаторах конечной температуры естественно присутствуют тепловые фотоны. Поэтому представляет значительный интерес исследование динамики перепутывания кубитов, индуцированного тепловыми полями резонаторов. Особенности динамики перепутывания кубитов, индуцированного тепловым полем резонатора, для двухкубитных систем впервые были рассмотрены в работе Питера Найта с соавторами [19], а для различных обобщений двухкубитной модели в работах [20–27]. Динамика перепутывания трех кубитов, индуцированного тепловым полем одномодового резонатора, была рассмотрена в работе [13]. В качестве критерия перепутывания пар кубитов была использован параметр Вуутерса или согласованность. Однако авторы ограничились рассмотрением сепарабельных начальных состояний кубитов. Представляет большой интерес изучить осбенности перепутывания трех кубитов, взаимодействующих с тепловым полем резонатора, как для сепарабельных, так и для перепутанных начальных состояний кубитов. В настоящей статье мы нашли точное решение квантового уравнения Лиувилля для системы, состоящей из трех идентичных кубитов, резонансно взаимодействующих с модой теплового квантового электромагнитного поля идеального резонатора посредством однофотонных состояний. Точное решение использовано для расчета параметра перепутывания кубитов в качестве критерия отрицательности для сепарабельных и перепутанных начальных состояний кубитов.

1. Модель и точное решение квантового уравнения Лиувилля

Рассмотрим систему трех идентичных кубитов (двухуровневых атомов), резонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля идеального микроволнового резонатора. Гамильтониан взаимодействия такой системы в дипольном приближении и приближении вращающейся волны есть

$H=\hslash \gamma \sum _{i=3}^3(a^{+}{\sigma }_i^{-}+{\sigma }_i^{+}a),$ (1)

где $a^{+}$($a$) – оператор рождения (уничтожения) фотонов резонаторной моды поля, ${\sigma }_i^{+}$ и ${\sigma }^{-}$ – повышающий и понижающий оператор в i-м кубите и $\gamma$ – константа взаимодействия кубитов с полем резонатора.

Обозначим через $|+{⟩}_i$ и $|-{⟩}_i$ возбужденное и основное состояние i-го кубита. Выберем в качестве начальных состояний подсистемы кубитов сепарабельные состояния вида

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}=|+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩,$ (2)

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}=|+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩,$ (3)

а также состояния, в которых перепутаны второй и третий кубит

$\left|\Psi \right(0\left){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}=\cos \theta \right|+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\sin \theta |+\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩$ (4)

или

$\left|\Psi \right(0\left){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}=\cos \theta \right|-\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩+\sin \theta |-\mathrm{,}-\mathrm{,}+⟩.$ (5)

В качестве начального состояния поля резонатора выберем тепловое состояние с матрицей плотности вида one-mode state

${\rho }_F\left(0\right)\underset{n}{=\sum }{p}_n|n⟩⟨n|.$ (6)

Весовые коэффициенты в (6) есть

$p_n=\frac{{\overline{n}}^n}{{\left(1+\overline{n}\right)}^{n+1}}\mathrm{,}$

где $\overline{n}$ – среднее число тепловых фотонов

$\overline{n}={\left(\exp \left[\hslash {\omega }_{cav}/k_{B}T\right]-1\right)}^{-1}\mathrm{,}$

$k_B$ – постоянная Больцмана и $T$ – температура резонатора.

Найдем вначале временную волновую функцию системы для фоковского начального состояния поля $|n⟩(n=0,1,2,...)$. А потом обобщим результаты на случай теплового поля резонатора. Введем для нашей системы число возбуждений $N$, равное $N=n+n$, где $n$ – число кубитов, приготовленных в возбужденном состоянии. Для чисел возбуждения $N\ge 3$ в работе [12] ранее был найден оператор эволюции, который имеет вид

$U\left(n\mathrm{,}t\right)=\left(\begin{array}{ccc}{U}_{11}\left(n\right)& \cdots & U_{18}\left(n\right)\\ ⋮& & ⋮\\ U_{81}\left(n\right)& \cdots & U_{88}\left(n\right)\end{array}\right),$(7)

где

$U_{11}\left(n\right)=\frac{(7+2n+\Omega )\cos \left({\theta }_1\gamma t\right)+(-7-2n+\Omega )\cos \left({\theta }_2\gamma t\right)}{2\Omega }\mathrm{,}$

$U_{22}\left(n\right)=\frac{4\Omega \cos \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right)+(-1-2n+\Omega )\cos \left({\theta }_1\gamma t\right)+(1+2n+\Omega )\cos \left({\theta }_2\gamma t\right)}{6\Omega }\mathrm{,}$

$u_{12}\left(n\right)=-i\frac{(7+2n+\Omega ){\theta }_1\sin \left({\theta }_1\gamma t\right)+(-7-2n+\Omega ){\theta }_2\sin \left({\theta }_2\gamma t\right)}{6\sqrt{1+n}\Omega }\mathrm{,}$

$U_{15}\left(n\right)=\frac{\sqrt{(1+n)(2+n)}{\displaystyle (}-\cos \left({\theta }_1\gamma t\right)+\cos \left({\theta }_2\gamma t\right))}{\Omega }\mathrm{,}$

$U_{25}\left(n\right)=-i\frac{\sqrt{2+n}\Omega \sin \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right)-(2+n){\theta }_1\sin \left({\theta }_1\gamma t\right)+(2+n){\theta }_2\sin \left({\theta }_2\gamma t\right)}{3\sqrt{2+n}\Omega }\mathrm{,}$

$U_{58}\left(n\right)=-i\frac{(1+2n+\Omega ){\theta }_1\sin \left({\theta }_1\gamma t\right)+(-1-2n+\Omega ){\theta }_2\sin \left({\theta }_2\gamma t\right)}{6\sqrt{3+n}\Omega }\mathrm{,}$

$U_{18}\left(n\right)=-i\frac{\sqrt{2+n}{\displaystyle (}\sin {\displaystyle (}{\theta }_2\gamma t){\theta }_1-\sin ({\theta }_1\gamma t\left){\theta }_2\right)}{\Omega }\mathrm{,}$

$U_{55}\left(n\right)=u_{22}\left(n\right)-\frac{1}{\Omega }\left(\cos \right({\theta }_1\gamma t)-\cos ({\theta }_2\gamma t\left)\right), u_{23}\left(n\right)=u_{22}\left(n\right)-\cos \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right)$,

$U_{88}\left(n\right)=u_{11}\left(n\right)-\frac{3}{\Omega }\left(\cos \right({\theta }_1\gamma t)-\cos ({\theta }_2\gamma t\left)\right), u_{56}\left(n\right)=u_{55}\left(n\right)-\cos \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right),$

$U_{27}\left(n\right)=u_{25}\left(n\right)+i\sin \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right), u_{28}\left(n\right)=\sqrt{\frac{n+3}{n+1}}{u}_{15}\left(n\right)$

$U_{22}=U_{33}=U_{44}\mathrm{,}{U}_{55}=U_{66}=U_{77}\mathrm{,}{U}_{12}=U_{13}=U_{14}=U_{21}=U_{31}=U_{41}\mathrm{,}$

$U_{15}=U_{16}=U_{17}=U_{51}=U_{61}=U_{71}\mathrm{,}{U}_{23}=U_{24}=U_{32}=U_{34}=U_{42}=U_{43}\mathrm{,}$

$U_{27}=U_{36}=U_{45}=U_{54}=U_{63}=U_{72}\mathrm{,}{U}_{56}=U_{57}=U_{65}=U_{67}=U_{75}=u_{76}\mathrm{,}$

$U_{25}=U_{26}=U_{35}=U_{37}=U_{46}=U_{47}=U_{52}=U_{53}=U_{62}=U_{64}=U_{73}=U_{74}\mathrm{,}$

$U_{28}=U_{38}=U_{48}=U_{82}=U_{83}=U_{84}\mathrm{,}{U}_{58}=U_{68}=U_{78}=U_{85}=U_{86}=U_{87}\mathrm{,}{U}_{18}=U_{81}$

и

${\Omega }_n=\sqrt{9+16{(n+2)}^2}\mathrm{,} {\theta }_1=\sqrt{5(n+2)-{\Omega }_n}\mathrm{,} {\theta }_2=\sqrt{5(n+2)+{\Omega }_n}\mathrm{.}$

При записи оператора эволюции в матричной форме мы использовали базисные векторы вида

$|+\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,}n⟩,|+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,}n+1⟩,|+\mathrm{,}-\mathrm{.}+\mathrm{,}n+1⟩,|-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,}n+1⟩\mathrm{,}$

$|+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,}n+2⟩,|-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,}n+2⟩,|-\mathrm{,}-\mathrm{,}+n+2⟩,|-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,}n+3⟩\mathrm{.}$

В рассматриваемом случае волновую функцию можно найти как

$\left|{\Psi }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\right(t\left){⟩}_n=U\right|\Psi \left(t\right){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}|n⟩.$ (8)

В дальнейшем при обобщении результатов на случай теплового поля резонатора нам потребуются также волновые функции, соответствующие числам возбуждения $N=2,1,0$. Для $N=2$ базис гильбертова пространства должен быть сужен до набора

$|+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩,|+\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩,>|-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩\mathrm{,}$

$|+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩,|-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩,|-\mathrm{,}-\mathrm{,}+1⟩,|-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,2}⟩\mathrm{.}$

Соответствующая временная волновая функция есть

$\left|{\psi }_1\right(t)⟩=x_1(t\left)\right|+\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩+x_2\left(t\right)|+\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩+x_3(t\left)\right|-\mathrm{,}+\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩+$

$+x_4\left(t\right)|+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩++x_5(t\left)\right|-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩+x_6\left(t\right)|-\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,1}⟩+x_7(t\left)\right|-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,2}⟩$, (9)

где коэффициенты $x_i\left(t\right) (i=1,2,3,4,5,6,7)$ есть

$x_1\left(t\right)=\frac{1}{15}[3\left(C_1+C_2+C_3-\sqrt{2}{C}_7\right)+5\left(2C_1-C_2-C_3\right)\cos t+\left(2C_1+2C_2+2C_3+3\sqrt{2}{C}_7\right)\cos \sqrt{10}t-$

$-i\left(5(C_4+C_5-2C_6)\sin t+\sqrt{10}(C_4+C_5+C_6)\sin \sqrt{10}t\right)],$

$x_2\left(t\right)=\frac{1}{15}[3\left(C_1+C_2+C_3-\sqrt{2}{C}_7\right)-5(C_1-2C_2+C_3)\cos t+(2C_1+2C_2+2C_3+3\sqrt{2}{C}_7)\cos \sqrt{10}t-$

$-i\left(5(C_4-2C_5+C_6)\sin t+\sqrt{10}(C_4+C_5+C_6)\sin \sqrt{10}t\right)],$

$x_3\left(t\right)=\frac{1}{15}[3\left(C_1+C_2+C_3-\sqrt{2}{C}_7\right)-5(C_1+C_2-2C_3)\cos t+(2C_1+2C_2+2C_3+3\sqrt{2}{C}_7)\cos \sqrt{10}t+$

$+5i\left(2C_4-C_5-C_6\right)\sin t-i\sqrt{10}\left(C_4+C_5+C_6\right)\sin \sqrt{10}t],$

$x_4\left(t\right)=\frac{1}{15}[5\left(2C_4-C_5-C_6\right)\cos t+(5C_4+C_5+C_6)\cos \sqrt{10}t-i(5(C_1+C_2-2C_3)\sin t+$

$+\sqrt{5}(\sqrt{2}{C}_1+\sqrt{2}{C}_2+\sqrt{2}{C}_3+3C_7)\sin \sqrt{10}t\left)\right],$

$x_5\left(t\right)=\frac{1}{15}[-5(C_4-2C_5+C_6)\cos t+5(C_4+C_5+C_6)\cos \sqrt{10}t-i(5(C_1-2C_2+C_3)\sin t+$

$+\sqrt{5}(\sqrt{2}{C}_1+\sqrt{2}{C}_2+\sqrt{2}{C}_3+3C_7)\sin \sqrt{10}t\left)\right],$

$x_6\left(t\right)=\frac{1}{15}[-5(C_4+C_5-2C_6)\cos t+5(C_4+C_5+C_6)\cos \sqrt{10}t+5i(2C_1-C_2-C_3)\sin t-$

$-i\sqrt{5}(\sqrt{2}{C}_1+\sqrt{2}{C}_2+\sqrt{2}{C}_3+3C_7)\sin \sqrt{10}t],$

$x_7\left(t\right)=\frac{1}{5}[\sqrt{2}{C}_1-\sqrt{2}{C}_2-\sqrt{2}{C}_3+2C_7+(\sqrt{2}{C}_1+\sqrt{2}{C}_2+\sqrt{2}{C}_3+$

$+3C_7)\cos \sqrt{10}t-i\sqrt{5}(C_4+C_5+C_6\left)\sin \sqrt{10}t\right].$

Здесь использовано обозначение $C_i=x_i\left(0\right)$.

Для $N=1$ выбираем базис гильбертова пространства в виде

$|+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩,|-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩,|-\mathrm{,}-\mathrm{,}+0⟩,|-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩\mathrm{.}$

Соответствующая временная волновая функция есть

$\left|{\psi }_2\right(t)⟩=y_1(t\left)\right|+\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩+y_2\left(t\right)|-\mathrm{,}+\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩+y_3(t\left)\right|-\mathrm{,}-\mathrm{,}+\mathrm{,0}⟩+y_4\left(t\right)|-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,1}⟩$, (10)

где коэффициенты $y_i\left(t\right) (i=1,2,3,4)$ имеют вид

$y_1\left(t\right)=\frac{1}{3}[2F_1-F_2-F_3+(F_1+F_2+F_3)\cos \sqrt{3}t-i\sqrt{3}{F}_4\sin \sqrt{3}t],$

$y_2\left(t\right)=\frac{1}{3}[-F_1+2F_2-F_3+(F_1+F_2+F_3)\cos \sqrt{3}t-i\sqrt{3}{F}_4\sin \sqrt{3}t],$

$y_3\left(t\right)=\frac{1}{3}[-F_1-F_2+2F_3+(F_1+F_2+F_3)\cos \sqrt{3}t-i\sqrt{3}{F}_4\sin \sqrt{3}t],$

$y_4\left(t\right)=F_4\cos \sqrt{3}t-\frac{i(F_1+F_2+F3)\sin \sqrt{3}t}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$

Здесь использованы обозначения $F_i=y_i\left(0\right) (i=1,2,3,4).$

Наконец для $N=0$ базис гильбертова пространства составляет вектор $|-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩$. Соответствующая временная волновая функция есть

$\left|{\psi }_3\right(t)⟩=|-\mathrm{,}-\mathrm{,}-\mathrm{,0}⟩.$ (11)

Имея явный вид для временных волновых функций системы (8)–(11), мы можем вычислить временную матрицу плотности полной системы "три кубита+мода поля" в случае теплового состояния поля. Для состояний (2) и (4) временную матрицу плотности можно записать как

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left|{\Psi }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\right(t){⟩}_{n-1 n-1}⟨{\Psi }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}(t\left)\right|+p_0\left|{\psi }_1\right(t)⟩⟨{\psi }_1(t\left)\right|.$ (12)

Для состояний (3) и (5) временная матрица плотности есть

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left|{\Psi }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\right(t){⟩}_{n-2 n-2}⟨{\Psi }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}|+p_1\left|{\psi }_1\right(t)⟩⟨{\psi }_1(t\left)\right|+p_0\left|{\psi }_2\right(t)⟩⟨{\psi }_2(t)$

(13)

Редуцированную матрицу плотности трех кубитов мы можем вычислить, усредняя выражения (12) или (13) по переменным поля

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\left(t\right)=S{p}_F{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\left(t\right).$ (14)

Как уже отмечалось во введении, точные количественные меры перепутывания кубитов в настоящее время разработаны только для двухкубитных систем. настоящей работе в качестве меры перепутывания выбран критерий Переса — Хородецких или отрицательность. Для вычисления отрицательности двух кубитов необходимо вычислить редуцированную двухкубитную матрицу плотности. Для это необходимо усреднить трехкубитную матрицу плотности (14) по переменным третьего кубита, т. е.

${\rho }_{Q_i{Q}_j}\left(t\right)=S{p}_{Q_k}{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\left(t\right) (i\mathrm{,}j\mathrm{,}k=1,2,3 i\ne j\mathrm{,}j\ne k\mathrm{,}i\ne k)$

2. Вычисление отрицательности и обсуждение результатов

Определим отрицательность для двух кубитов $Q_i$ и $Q_j$ стандартным образом [35]

${\epsilon }_{ij}=-2\sum _l{\mu }_l^{-}\mathrm{,}$

где ${\mu }_l^{-}$ — отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита (атома) редуцированной двухкубитной матрицы плотности. Для неперепутанных состояний $\epsilon =0$. Для перепутанных состояний $0<\epsilon \le 1$. Максимальной степени перепутывания соответствует значение $\epsilon =1$.

Для сепарабельных начальных состояний кубитов (2) и (3) и перепутанных состояний (4) и (5) двухкубитная матрица редуцированная матрица плотности имеет вид

${\rho }_{Q_i{Q}_j}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& 0& 0& 0\\ 0& {\rho }_{22}& {\rho }_{23}& 0\\ 0& {\rho }_{23}^{}& {\rho }_{33}& 0\\ 0& 0& 0& {\rho }_{44}\end{array}\right). \left(15\right)$

Матричные элементы (15) для начального состояния (2) и кубитов $Q_1$ и $Q_2$ имеют вид

${\rho }_{11}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{12}\right(n-1){|}^2+|U_{22}(n-1){|}^2\right)+p_0|x_1{|}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{22}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(|U_{32}{(n-1)}^2+|U_{52}(n-1){|}^2\right)+p_0\left(|x_2{|}^2+|x_4{|}^2\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{33}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{42}\right(n-1){|}^2+|U_{62}(n-1){|}^2\right)+p_0\left(|x_3{|}^2+|x_5{|}^2\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{44}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{72}\right(n-1){|}^2+|U_{82}(n-1){|}^2\right)+p_0\left(|x_6{|}^2+|x_7{|}^2\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{23}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(U_{32}(n-1)U{*}_{42}^{}(n-1)+U_{52}(n-1)U{*}_{62}^{}(n-1)\right)+p_0\left(x_{4}x{*}_5^{}+x_{2}x{*}_3^{}\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{32}=\left({\rho }_{23}\right)*$

Для того же начального состояния и кубитов $Q_2$ и $Q_3$ матричные элементы принимают вид

${\rho }_{11}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{12}\right(n-1){|}^2+|U_{42}(n-1){|}^2\right)+p_0|x_3{|}^2\mathrm{,}$

${\rho }_{22}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{22}\right(n-1){|}^2+|U_{62}(n-1){|}^2\right)+p_0\left(|x_1{|}^2+|x_5{|}^2\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{33}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{32}\right(n-1){|}^2+|U_{72}(n-1){|}^2\right)+p_0\left(|x_2{|}^2+|x_6{|}^2\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{44}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{52}\right(n-1){|}^2+|U_{82}(n-1){|}^2\right)+p_0\left(|x_4{|}^2+|x_7{|}^2\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{23}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|U_{22}\right(n-1\left)U_{32}^{*}\right(n-1)+U_{62}(n-1\left)U_{72}^{*}\right(n-1)\right)+p_0\left(x_1{x}_2^{*}+x_5{x}_6^{*}\right)\mathrm{,}$

${\rho }_{32}=\left({\rho }_{23}\right)*.$

Явные выражения для матричных элементов в (15) для начальных состояний кубитов (3)–(5) имеют аналогичную структуру и поэтому в настоящей работе не приведены.

Частично транспонированная по переменным одного кубита редуцированная матрица плотности кубитов для (15) может быть представлена в виде

${\rho }_{Q_i{Q}_j}^{T_1}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& 0& 0& {\rho }_{23}^{*}\\ 0& {\rho }_{22}& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_{33}& 0\\ {\rho }_{23}& 0& 0& {\rho }_{44}\end{array}\right). \left(16\right)$

Матрица (16) имеет всего одно собственное значение, которое может быть отрицательным. В результате отрицательность может быть записана как

${\epsilon }_{ij}=\sqrt{({{\rho }_{44}-{\rho }_{11})}^2+4\cdot {\rho }_{23}^2}-{\rho }_{11}-{\rho }_{44}\mathrm{.}$

Результаты компьютерного моделирования временной зависимости отрицательностей ${\epsilon }_{12}$ и ${\epsilon }_{13}$ для кубитов 1 и 2 и 1 и 3 от приведенного времени $\gamma t$ для начального сепарабельного состояния кубитов, в котором два из них возбуждены, а один находится в основном состоянии, например $|+\mathrm{,}+\mathrm{,}-⟩$, и различных значений средних чисел тепловых фотонов в моде представлены на рис. 1.  Для выбранного начального состояния кубиты 1 и 2 перепутаны в любой момент времени, в то время как для кубитов 1 и 3 имеет место эффект мгновенной смерти и возрождения перепутывания. Мгновенной смертью перепутывания называется исчезновение перепутывания кубитов на временах меньше времени диссипации энергии, фазы и т. д. Степень перепутывания монотонно уменьшается с увеличением среднего числа фотонов. Поведение отрицательности в случае, когда два кубита изначально находятся в основном состоянии, а один – в возбужденном состоянии, например $|+\mathrm{,}-\mathrm{,}-⟩$, представлено на рис. 2. Для указанного начального состояния кубитов поведение отрицательностей ${\epsilon }_{12}$ и ${\epsilon }_{13}$ аналогично предыдущему случаю. Заметим, что для двухкубитной модели и начального состояния, в котором один из них возбужден, а второй находится в основном состоянии, эффект мгновенной смерти перепутывания отсутствует для любых интенсивностей теплового поля резонатора [19].

 

Рис.1: Зависимость отрицательностей ε₁₂ (а) и ε₂₃ (b) от приведенного времени γt для начального состояния кубитов |+,+,-⟩. Среднее число тепловых фотонов в моде ¯n=0.1 (сплошная линия), ¯n=1 (штриховая линия) и ¯n=4 (пунктирная линия)

 

Рис.2: Зависимость отрицательностей ε₁₂ (а) и ε₂₃ (b) от приведенного времени γt для начального состояния кубитов |+,-,-⟩. Среднее число тепловых фотонов в моде ¯n=0.1 (сплошная линия), ¯n=1 (штриховая линия) и ¯n=4 (пунктирная линия)

 

Рис.3: Зависимость отрицательностей ε₁₂ (а) и ε₂₃ (b) от приведенного времени γt для начального перепутанного состояния кубитов (4) при θ=П/4. Среднее число тепловых фотонов в моде для расчёта ε₁₂ ¯n=0.1  (сплошная линия), ¯n=0.5 (штриховая линия) и ¯n=0.7 (пунктирная линия). Для ε₂₃ ¯n=0.1 (сплошная линия), ¯n=1 (штриховая линия) и ¯n=3 (пунктирная линия)

 

Рис.4: Зависимость отрицательностей ε₁₂ (а) и ε₂₃ (b) от приведенного времени γt для начального перепутанного состояния кубитов (5) при θ=П/4. Среднее число тепловых фотонов в моде для расчёта ε₁₂ ¯n=0.1 (сплошная линия), ¯n=0.5 (штриховая линия) и ¯n=0.7 (пунктирная линия). Для ε₂₃ ¯n=0.1 (сплошная линия), ¯n=1 (штриховая линия) и ¯n=3 (пунктирная линия)

 

Результаты компьютерного моделирования временной зависимости отрицательностей ${\epsilon }_{12}$ и ${\epsilon }_{13}$ для кубитов 1 и 2 и 1 и 3 от приведенного времени $\gamma t$ для начального состояния (4), в котором перепутаны состояния кубитов 2 и 3, а кубит 1 находится в возбужденном состоянии, представлены на рис. 3. Аналогичные зависимости для начального состояния (5), в котором также перепутаны состояния кубитов 2 и 3, а кубит 1 находится в основном состоянии, представлены на рис. 4. Наиболее интересным в поведении отрицательности как для случая начальных сепарабельных, так и перепутанных состояний кубитов, представленных на рис. 3 и 4, является проявление эффекта мгновенной смерти перепутывания кубитов для любых средних чисел тепловых фотонов. Заметим, что для двухкубитной модели и белловских начальных состояний кубитов вида $\cos \theta |+\mathrm{,}-⟩+\sin \theta |-\mathrm{,}+⟩$ эффект мгновенной смерти перепутывания имеет место только для достаточно интенсивных тепловых полей резонатора $\overline{n}\ge 1$ [26].

Выводы

Таким образом, в данной статье нами была найдена точная динамика системы, состоящей из трех идентичных кубитов, взаимодействующих с модой теплового поля резонатора без потерь. Полученное явное выражение для полной матрицы плотности системы использовано для вычисления критерия перепутывания пар кубитов как для начальных сепарабельных, так и для перепутанных состояний кубитов. Результаты численного моделирования кубитов показывают, что максимальная степень перепутывания пар кубитов быстро уменьшается с увеличением интенсивности теплового поля резонатора. Установлено, что для рассматриваемой системы для любых начальных состояний кубитов и среднего числа тепловых фотонов в моде имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания. Полученное в настоящей работе точное решение для временной матрицы плотности будет использовано нами для расчета других наблюдаемых подсистемы кубитов и поля: населенностей, дипольных моментов, корреляционных функций, параметра сжатия моды поля и других. Будет рассмотрено также влияние диссипации энергии и фазы на динамику системы. Такие расчеты будут предметом нашей следующей работы.

About the authors

Alexander R. Bagrov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: alexander.bagrov00@mail.ru

undergraduate student of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, Samara

Eugene K. Bashkirov

Samara National Research University

Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files