ON THE NATURE OF ADDITIONAL SPACE AT CUTTING OF SPACES OF CUSP FORMS
- Authors: Voskresenskaya G.V.1
-
Affiliations:
- Samara National Research University
- Issue: Vol 27, No 4 (2021)
- Pages: 7-13
- Section: Articles
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/10689
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-4-7-13
- ID: 10689
Cite item
Full Text
Abstract
In the article we study a space of cusp forms by the method of cutting. This space is a direct sum of the subspace of forms divided by the fixed cusp form named the cutting function and the additional space. If the additional space is zero we have the situation of exact cutting. In common case the cutting is not exact and it is important to research the nature of the additional space. We prove that the basis of the additional space can be described by the space of cusp forms of small weight. This weight is not more than 14 and often is equal to 4. We give examples of all cutting functions for all levels. We prove the theorem about the basis of the additional space to the space of cusp forms in the space of modular forms of the same level, weight and character. We use properties of eta-products, Biagioli formula for orders in cusps and Cohen — Oesterle formula for dimensions.
Full Text
Предварительные сведения
Основные понятия и цитируемые факты можно найти в [1; 4]. Для уровня 1 известна классическая структурная теорема:
24
Sk (Γ) = ∆(z) · Mk−12(Γ), ∆(z) = η
(z).
Для высших уровней ситуация усложняется, и ее изучение является актуальной задачей. Мы можем представить пространство Sk (Γ0(N ), χ) в виде
Sk (Γ0(N ), χ) = g(z) · Mk−l(Γ0(N ), χ2) ⊕ W,
где g(z) ∈ Sl(Γ0(N ), χ1), χ = χ1 · χ2. Функция g(z) называется рассекающей функцией.
Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм
8 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms
Ее вес можно выбрать не превосходящим 12. Если пространство W нулевое, то говорят о точном рассечении.
Полное исследование точного рассечения в случае тривиального или квадратичного характера проведено в работах автора [5; 6]. Важную роль в этих исследованиях играют мультипликативные эта-произведения (функции МакКея) [7; 8] . Размерности пространств и поведение параболических форм в параболических вершинах вычисляются по формулам, приведенным в [9; 10]. В этой статье мы изучим структуру дополнительного пространства. Мы покажем, что его структура выражается через информацию о пространстве параболических форм веса l + 2. Далее, используя тот факт, что η - произведения имеют нули только в параболических вершинах, мы приведем примеры рассекающих функций для каждого уровня. Построены таблицы. Также доказывается теорема о пространстве, дополняющем Sk (Γ0(N ), χ) до Mk (Γ0(N ), χ).
Теорема 2.1. цитируется по статье [9]. Остальные теоремы статьи (теоремы 3.1, 3.2, 5.1) являются новыми.
Формула Коэна — Остерле
p
Пусть χ — характер Дирихле, χ(−1) = (−1)k , f — его кондуктор. Для p|N, rp : pr ∥N, psp ∥f.
p
pr′ + pr′ −1, 2s
:( rp
= 2r′,
p
λ(rp, sp, p) = 2pr′ , 2s
:( rp
= 2r′ + 1,
2prp −sp , 2sp ;;: rp,
0, k ≡ 1 (mod 2),
4
1
nk = − 1 , k ≡ 2 (mod 4),
4 , k ≡ 0 (mod 4),
0, k ≡ 1 (mod 3),
3
1
mk = − 1 , k ≡ 2 (mod 3),
3 , k ≡ 0 (mod 3).
D = |Γ : Γ0(N )|
0 12
= N ∏ (1 + 12
p|N
∏
1 )
p , D1,χ = λ(rp, sp, p),
p|N
D2,χ = ∑
x:x2 +1≡0(N )
χ(x), D3,χ = ∑
x:x2 +x+1≡0(N )
χ(x).
Если характер χ = χ0 — единичный характер, то будем писать Dj,χ = Dj .
Число D2,χ = 0, если N делится на 4 или на простое число p ≡ 3(mod 4), число D3,χ =
≡
= 0, если N делится на 2 или на 9, или на простое число p 2(mod 3). Эти числа учитывают
√
2
эллиптические точки, лежащие над i и над ω = −1 +
2
3 i соответственно. Мы будем называть их
"добавками"в формуле Коэна — Остерле, учитывая то, что при многих уровнях их нет. Число D1,χ равно количеству параболических вершин µ∞(N ) относительно группы Γ0(N ), если для любого простого числа p выполнены условия 2sp :( rp.
В этих обозначениях теорема Коэна — Остерле формулируется следующим образом.
Теорема 2.1
1
dim Sk (Γ0(N ), χ) − dim M2−k (Γ0(N ), χ) = (k − 1)D0 − 2 D1,χ + nk D2,χ + mk D3,χ.
Отсюда получаем при k > 2
1
dim Sk (Γ0(N ), χ) = (k − 1)D0 − 2 D1,χ + nk D2,χ + mk D3,χ.
1
dim Mk (Γ0(N ), χ) = (k − 1)D0 + 2 D1,χ − n2−k D2,χ − mk−2D3,χ.
Для k = 1 эта формула не позволяет сразу найти размерности пространств. Если χ = χ0, то dim M0(Γ0(N )) = 1, если χ ̸= χ0, то dim M0(Γ0(N ), χ) = 0.
1 1 1
dim S2(Γ0(N )) = 1 + D0 − 2 D1 − 4 D2 − 3 D3.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 7–13
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 7–13 9
1 1 1
dim S2(Γ0(N ), χ) = D0 − 2 D1,χ − 4 D2,χ − 3 D3,χ, χ ̸= χ0.
1 1 1
dim M2(Γ0(N ), χ) = D0 + 2 D1,χ − 4 D2,χ − 3 D3,χ.
Теоремы о дополнительном пространстве
Теорема 3.1
Пусть
N — такое натуральное число, что D2 = D3 = 0,
k, l — положительные целые четные числа , k ;;: l + 8,
параболическая форма g(z) ∈ Sl(Γ0(N )) и не имеет нулей в точках римановой поверхности
(H/Γ0(N ))∗ , эквивалентных i или ω относительно Γ,
{u1(z), ..., ut(z)} — базис ортогонального дополнения U к пространству g(z)M2(Γ0(N )) в
пространстве Sl+2(Γ0(N )).
Тогда
где W = h(z)U,
Sk (Γ0(N )) = g(z)Mk−l(Γ0(N )) ⊕ W,
h(z) =
k−l−8
k−l−2
E4 4 (z), k ≡ l + 2(4),
E4 4
(z) · E6(z), k ≡ l(4).
Доказательство
Сначала покажем, что dim W = dim Sk (Γ0(N ), χ) − dim (g(z) · Mk−l(Γ0(N )) при условии D2 = D3 = 0.
Действительно,
dim Sk (Γ0(N )) = (k − 1)D0 − 1 D1,
2 1
dim (g(z)Mk−l(Γ0(N )) = dim Mk−l(Γ0(N )) = (k − l − 1)D0 + 2 D1,
dim W = dim Sl+2(Γ0(N )) − dim M2(Γ0(N )) = (l + 1)D0 − 1 D1 − (D0 + 1 D1) = l · D0 − D1.
2 2
Равенство верно. Заметим также, что dim W = l|Γ : Γ0(N )| − µ∞(N ), где µ∞(N ) — число
параболических вершин относительно группы Γ0(N ). Рассматриваемая размерность зависит только
от уровня и веса рассекающей функции, но не от веса k всего пространства, при возрастании веса все большее количество функций "делятся"на рассекающую в смысле деления функций в теории модулярных форм.
Функции uj (z)h(z), j = 1, t линейно независимы, они образуют базис W.
Осталось показать, что
W ∩ g(z)Mk−l(Γ0(N )) = {0}.
Любая функция из W имеет вид u(z)h(z), где
для некоторых cj ∈ C.
t
u(z) = ∑ cj uj (z),
j=1
Если u(z)h(z) ∈ g(z)Mk−l(Γ0(N )), u(z) не является тождественно нулевой, то из того , что h(z) не
имеет нулей вне точек i и ω относительно Γ, следует , что в любой точке β римановой поверхности
(H/Γ0(N ))∗
ordβ u(z) ;;: ordβ g(z).
Следовательно, u(z) ∈ g(z) · M2(Γ0(N )), а это по условию теоремы не так. Полученное противоречие завершает доказательство.
Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм
10 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms
Теорема 3.2
Пусть
N — такое натуральное число, что D2 = D2,χ = D3 = D3,χ = 0,
k, l — положительные целые нечетные числа , k ;;: l + 8,
χ — характер Дирихле по модулю N такой, что χ(−1) = −1,
параболическая форма g(z) ∈ Sl(Γ0(N ), χ) и не имеет нулей в точках, эквивалентных i или ω
относительно Γ,
{u1(z), ..., ut(z)} — базис ортогонального дополнения U к пространству g(z)M2(Γ0(N ))
в пространстве Sl+2(Γ0(N ), χ).
Тогда
где W = h(z) · U,
Sk (Γ0(N ), χ) = g(z)Mk−l(Γ0(N )) ⊕ W,
h(z) =
k−l−8
k−l−2
E4 4 (z), k ≡ l + 2(4),
E4 4
(z) · E6(z), k ≡ l(4).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1.
Явный вид рассекающих функций
Мы приведем в этом параграфе явно примеры рассекающих функций для всех уровней и четных весов. В табл. 4.1 приведены примеры рассекающих функций для уровней N таких, что D2 = D2,χ =
= D3 = D3,χ = 0. Мы можем опереться на теорему 2, и дополнительные исследования не требуются. Для вышеназванных рассекающих функций указанный уровень N является минимальным. Далее рассмотрим случаи, когда возникают добавки. Заметим , что для всех пространств допустимо рассечение функцией
∆(z) = η24(z). Ее минимальный уровень равен 1. Но для многих уровней можно подобрать рассекающие
меньшего веса.
Таблица 4.1
Table 4.1
Условия на уровень
Рассекающая функция
Вес
N ≡ 0 (mod 24)
η( N z)η( N z)η( N z)η( N z)
2 4 6 12
2
N ≡ 4 (mod 24)
η12( N z)
2
6
N ≡ 6 (mod 24)
η6(Nz)η6( N z)
3
6
N ≡ 8 (mod 24)
η4( N z)η4( N z)
2 4
4
N ≡ 9 (mod 24)
η6(Nz)η6( N z)
3
6
N ≡ 11 (mod 24)
η2(Nz)η2(z)
2
N ≡ 12 (mod 24)
η2(Nz)η2( N z)η2( N z)η2( N z)
3 2 6
4
N ≡ 14 (mod 24)
η(Nz)η( N z)η(2z)η(z)
2
2
N ≡ 15 (mod 24)
η(Nz)η( N z)η(3z)η(z)
3
2
N ≡ 16 (mod 24)
η2( N z)η2( N z)
2 8
2
N ≡ 18 (mod 24)
η2(Nz)η2( N z)
3
2
N ≡ 20 (mod 24)
η2( N z)η2(2z)
2
2
N ≡ 22 (mod 24)
η2(Nz)η2(2z)
2
N ≡ 23 (mod 24)
η2(Nz)η2(z)
2
Далее рассмотрим ситуацию, когда уровень таков, что возможна только первая добавка. Результат приведен в таблице 4.2. Это возможно, когда N сравнимо с 2, 5,10 или 17 по модулю 24.
Для того чтобы выполнялось равенство размерностей в описанном в теореме разложении, должно выполняться условие
nk = −n2−k+l + nl+2 + n0.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 4. С. 7–13
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 4, pp. 7–13 11
Таблица 4.2
Table 4.2
Условия на уровень
Рассекающая функция
Вес
N ≡ 2 (mod 24)
η8(Nz)η8(z)
8
N ≡ 5 (mod 24)
η4(Nz)η4(z)
4
N ≡ 10 (mod 24)
η4( N z)η4(z)
2
4
N ≡ 17 (mod 24)
η4(Nz)η4(z)
4
Непосредственно проверяется, что при l = 4 или l = 8 условие nk = −n2−k+l + nl+2 + n0 выполняется
при любом k.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда уровень таков, что возможна только вторая добавка. Результат приведен в таблице 4.3. Это возможно, когда N сравнимо с 7, 19 или 21 по модулю 24.
Для того чтобы выполнялось равенство размерностей в описанном в теореме разложении, должно выполняться условие
mk = −m2−k+l + ml+2 + m0.
Таблица 4.3
Table 4.3
Условия на уровень
Рассекающая функция
Вес
N ≡ 7 (mod 24)
η6(Nz)η6(z)
6
N ≡ 6 (mod 24)
η6(Nz)η6(z)
6
N ≡ 21 (mod 24)
η6(Nz)η6(3z)
6
Непосредственно проверяется, что при l = 6 условие mk = −m2−k+l + ml+2 + m0 выполняется при
любом k.
Если N сравнимо по модулю 24 с 1 или 13, то возможны обе добавки. Рассекающей может служить параболическая форма веса 12 η24(Nz).
Условия
nk = −n14−k + n14 + n0
и
выполняются для любого k.
mk = −m14−k + m14 + m0
О дополнении к пространству параболических форм
Теорема 5.1
Пусть l > 2 таково, что Sl(Γ0(N ), χ) ̸= {0}, k ;;: l + 4,
χ — характер Дирихле по модулю N такой, что χ(−1) = (−1)k = (−1)l.
Тогда
Mk (Γ0(N ), χ) = Sk (Γ0(N ), χ) ⊕ W,
базис W образуют функции u1(z)h(z) . . . ut(z)h(z), где u1(z) . . . ut(z) — базис ортогонального дополнения к пространству Sl((Γ0(N ), χ) в Ml((Γ0(N ), χ),
k−l−2
4
E4 (z), k ≡ l + 2(4),
h(z) =
k−l−8
E4 4
(z)E6(z), k ≡ l(4).
Воскресенская Г.В. О природе дополнительного пространства при рассечении пространств параболических форм
12 Voskresenskaya G.V. On the nature of additional space at cutting of spaces of cusp forms
Доказательство
Если l > 2,
Система
dim Mk (Γ0, χ) − dim Sk (Γ0, χ) = dim Ml(Γ0, χ) − dim Sl(Γ0, χ) = D1,χ = dim W.
{uj (z)h(z)} j = 1, t = dim W
линейно независима. Осталось показать, что Sk (Γ0, χ) ∩ W = {0}. Если бы это было не так, то пространство Span (u1(z) . . . ut(z)) ∩ Sl(Γ0, χ) ̸= {0}, а это не так по условию теоремы.
Результаты статьи показывают важность нахождения базисов пространств параболических форм веса, не превосходящего 12. Для произвольного уровня это открытая проблема.
Выводы
Таким образом в статье доказывается, что базис дополнительного пространства к пространству параболических форм, рассекаемых фиксированной параболической формой, может быть описан с помощью пространства параболических форм малого веса. Приведены примеры рассекающих функций для каждого уровня. Показывается, что рассекающая функция имеет вес, не превосходящий 12. Доказана также теорема о базисе дополнительного пространства к пространству параболических форм в пространстве модулярных форм.
About the authors
G. V. Voskresenskaya
Samara National Research University
Author for correspondence.
Email: galvosk@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6288-5372
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Algebra
and Geometry
References
- Ono K. The web of modularity: arithmetic of the coefficients of modular forms and q-series. A.M.S., Providence, 2004, 216 p. DOI: http://doi.org/10.1090/CBMS%2F102.
- Koblitz N. Introduction To Elliptic Curves and Modular Forms. Moscow: Mir, 1988, 320 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Koblitz.htm (in Russ.)
- Knapp A. Elliptic Curves. Moscow: Faktorial Press, 2004, 488 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Knapp.djv (in Russ.)
- Voskresenskaya G.V. Dedekind _—Function in Modern Research. Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 235, pp. 788–833. DOI: http://doi.org/10.1007/s10958-018-4093-5. (English; Russian original)
- Voskresenskaya G.V. Exact Cutting in Spaces of Cusp Forms with Characters. Mathematical Notes, 2018, vol. 103, no. 6, pp. 881–891. DOI: http://doi.org/10.1134/S0001434618050243. (English; Russian original).
- Voskresenskaya G.V. MacKay functions in spaces of higher levels. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2018, vol. 24, issue 4, pp. 13–18. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-4-13-18 (in Russ.)
- Gordon B., Sinor D. Multiplicative properties of _−products. In: Alladi K. (eds) Number Theory, Madras 1987. Lecture Notes in Mathematics, vol 1395. Springer, Berlin, Heidelberg, 1987, vol. 1395, pp. 173–200. DOI: http://doi.org/10.1007/BFb0086404.
- Dummit D.,Кisilevsky H., МасKay J. Multiplicative products of _− functions. Contemporary Mathematics, 1985, vol. 45, pp. 89–98.
- Cohen H., Oesterle J. Dimensions des espaces de formes modulaires. In: Lecture Notes in Mathematics, 1976, Vol. 627, pp. 69–78. DOI: http://doi.org/10.1007/BFB0065297.
- Biagioli A.J.F. The construction of modular forms as products of transforms of the Dedekind eta-function. Acta Arithmetica, 1990, vol. LIV, no 4, pp. 273–300. DOI: http://doi.org/10.4064/AA-54-4-273-300.